Praktische opdracht Wiskunde B De gulden snede

Transcriptie

1 Praktische opdracht Wiskunde B De gulden snede Praktische-opdracht door een scholier 5855 woorden 25 mei ,4 48 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 De Gulden Snede 3 De betekenis van De Gulden Snede 4 Gelijkvormige vlakverdeling 5 Vijfvoudige Symmetrie 5.1 De constructie van de Gulden Snede 5.2 Constructie van een regelmatige vijfhoek 5.3 Een regelmatig pentagram 6 De getallen van Fibonacci 7 Voortgezette breuken 7.1 Rationele getallen 7.2 Irrationele getallen 8 De Gulden Snede in de Biologie 8.1 Le Modulor 9 De Gulden Snede in de architectuur 10.1 Parthenon 10.2 De moderne tijd 10 De Gulden Snede in de kunst 11 De Gulden Snede in de natuurkunde 12 Conclusie 13 Bronvermelding 14 Logboek 1 Inleiding Laat een stuk of wat mensen een rechthoek tekenen en vergelijk deze met elkaar. Je zult zien dat bijna iedereen onbewust een rechthoek heeft gemaakt met de breedte lengte verhouding van 1:2. De zogenaamde Gulden rechthoek. Dit valt ook als je deze drie werken bekijkt. Zowel de molen, de ogen van de jongeman en de horizon zijn in Pagina 1 van 13

2 een bepaalde verhouding met het totaalbeeld geplaatst. Grofweg zou je kunnen zeggen dat deze een derde van de kant staan. De rode en blauwe lijnen zijn in verhouding met elkaar, als 1:2. Deze verhouding vloeit voort uit de gulden snede. De verhouding 1:2 is een vuistregel voor de werkelijke verhouding. De Gulden Snede wordt hier dus toegepast, maar er zijn maar weinig mensen die dit weten. Zo zijn er meer gevallen waarbij ergens rekening mee gehouden moet worden, hiervoor gebruikt men dan vaak De Gulden Snede. Bijvoorbeeld bij het maken van een plafond in een huis. Je moet dan weten hoe lang een mens is, en hoeveel het scheelt in lengte als hij zijn arm helemaal strekt. Je mag natuurlijk niet je handen stoten als je je bijvoorbeeld uitrekt. Met deze praktische opdracht hoop ik dat ik en de lezer hiervan meer te weten te komen over de Gulden Snede en zijn gebruiken. 2 De gulden snede De Gulden Snede wordt meestal ingevoerd aan de hand van de verdeling van een lijnstuk in twee gedeelten. Het lijnstuk AB (met een lengte van 1 ) is in tweeën gedeeld door het punt M. Hierdoor is de verhouding MB : AM gelijk aan de verhouding AM : AB. De lengte van AM noemen we x. Hierdoor krijgen we de volgende vergelijking: Deze vergelijking kunnen we vereenvoudigen door middel van kruislings vermenigvuldigen: x x = 1 (1 - x) x² = 1 x x² + x 1 = 0 Met behulp van de abc-formule kan de waarde van x worden uitgerekend: Bij het invullen van de gegevens krijg je: x = ( 1 + 5)/ of x = ( 1 5)/ De oplossing moet een positief getal zijn, dus alleen x = ( 1 + 5)/2 voldoet. Het getal ( 1 + 5)/2 noemen we de Gulden Snede. De Gulden Snede wordt weergegeven met de Griekse letter. Met je rekenmachine vind je dat 0, Als je het omgekeerde van berekent (dus 1/ ), krijg je 1, De Gulden Snede heeft de eigenschap dat 1/ = 1 +. Dit getal wordt ook wel de Gulden Snede genoemd. In ons werkstuk noem ik 0, , de gulden snede, en geef ik 1 + weer met de hoofdletter (dus 1, ). 3 Betekenis van de Gulden Snede De gulden snede is om verschillende redenen interessant. Ten eerste is het een klassieke opvatting dat de Gulden Snede \"mooie\" verhoudingen geeft. Al in de oudheid gebruikten de Egyptenaren vermoedelijk De Gulden Snede bij het ontwerpen van gebouwen. Waarschijnlijk kenden zij dit getal al, maar het zou ook toeval kunnen zijn dat ze de Gulden Snede toepasten bij de bouw van hun piramides. Van de Grieken is het wel zeker dat ze dit getal kenden. De Griek Eudoxus, die in de 4e eeuw v. Chr. aan Plato s academie studeerde kwam vermoedelijk aan deze verhouding. Maar ook de filosoof/ wiskundige Euclides schreef erover. Het getal kreeg pas in 1835 de Pagina 2 van 13

3 naam De Gulden Snede. Ook de namen Gouden Snede, Sectio Aurea (Latijn voor Gouden Snede) en Sectio Divina (Latijn voor Goddelijke Snede) worden gebruikt. Nu gebruiken kunstenaars en architecten De Gulden Snede nog steeds bij de vormgeving van hun werk. De verhouding van de zijden van de knoppen op de knoppenbalk van een worddocument is zelfs gelijk aan de Gulden Snede. Een voorbeeld van \"mooie\" verhoudingen valt te zien in de inleiding. Schilders of fotografen zullen de horizon meestal niet midden in beeld plaatsen, maar een stuk daarboven of daaronder. Ook het hoofdfiguur bij een landschapsfoto zal niet in het midden staan. Omdat de gulden snede een onafgerond en groot getal is, wordt dit door de schilders en fotografen afgerond tot een mooi getal. Ze hebben een vuistregel dat het motief op 1/3 of 2/3 van het totaalbeeld moet staan. Ten tweede heeft de Gulden Snede interessante wiskundige eigenschappen: 1. De Gulden Snede leidt tot een gelijkvormige vlakverdeling. 2. De Gulden Snede blijkt voor te komen in figuren met vijfvoudige symmetrie. 3. De Gulden Snede is terug te vinden in de reeks van de getallen van Fibonacci. 4. De Gulden Snede heeft een unieke vertegenwoordiging als voortgezette breuk. Ten derde blijkt de Gulden Snede (vaak in combinatie met de getallen van Fibonacci) ook werkelijk in de natuur voor te komen. Zo kun je de Gulden Snede herkennen in de rangschikking van zonnepitten, de groei van bepaalde schelpen en de structuur van dennenappels. In ons hoofdstuk over biologie kunt u hier meer over lezen. Ook speelt De Gulden Snede en rol in de natuurkunde van gekoppelde slingers. Deze verschillende eigenschappen zullen wij in de volgende hoofdstukken nader belichten. 4 Gelijkvormige vlakverdeling De gulden snede maakt een bijzondere vlakverdeling mogelijk. Er worden namelijk alleen vierkanten gebruikt van verschillende grootte, zoals op het plaatje hieronder. We beginnen met een rechthoek met lengte 1 + en breedte 1. We snijden de linkerhelft met de zijde 1 weg, en houden rechts een rechthoek met lengte 1 en breedte over. Als gelijk is aan de gulden snede ( 0, ), dan is de kleinere rechthoek gelijkvormig met zijn voorganger. Een rechthoek met deze lengte-breedteverhouding noemen we een Gulden rechthoek. De kleinere Gulden rechthoek kunnen we wéér verdelen in een vierkant (met zijde ) en een nog kleinere Gulden rechthoek (met lengte en breedte 2). Op deze manier kun je telkens kleinere vierkanten afsplitsen, tot je uiteindelijk een microscoop nodig hebt om de kleinste vierkantjes nog te kunnen zien. De spiraal die door het figuur loopt, is logaritmisch: de hoek die de spiraal maakt met een cirkel om het accumulatiepunt is overal hetzelfde. Logaritmische spiralen komen in de natuur ook vaak voor als er sprake is van een gelijkvormige groei. Zoals bij zonnebloempitten. De logaritmische spiraal in het plaatje hierboven is een spiraal van Fibonacci. Bij de spiraal van Fibonacci is de hoek tussen de spiraal en een cirkel met het accumulatiepunt als middelpunt altijd gelijk aan 17, Vijfvoudige Symmetrie Er bestaan veel meetkundige constructies die verband houden met de Gulden Snede. In de oudheid waren veel wetenschappers daarin geïnteresseerd. Euclides bijvoorbeeld, kon een lijnstuk verdelen volgens de Gulden Snede. Ook de constructie van een regelmatige vijfhoek is heel eenvoudig te vinden als je een lijnstuk al volgens de Gulden Snede hebt verdeeld. De Gulden Snede komt ook voor in figuren met een vijfvoudige symmetrie. Hier volgen enkele voorbeelden. Pagina 3 van 13

4 De constructie van de Gulden Snede Teken een lijnstuk AB met in het midden punt C. Trek een kwartcirkel om A met straal AB en richt een loodlijn op vanuit A op AB. De cirkel snijdt deze loodlijn in twee punten D en B. Teken nu de cirkel met middelpunt C en straal CD. Deze cirkel snijdt het verlengde van AB in E. Nu geldt dat het punt B lijnstuk AE volgens de Gulden Snede verdeelt. Uitleg: Neem AC gelijk aan 1. Dan is AB dus gelijk aan 2. Met de stelling van Pythagoras vind je CD: CD 2 = AC2 + AD2 CD 2 = CD 2 = CD 2 = 5 CD = 5. CE = CD, dus CE is gelijk aan 5. AE is dus AC + CE, dus is AE gelijk aan Als we AB delen door BE: AB /BE 2 /( 5-1) 1, En als we AE delen door AB: AE/AB (1 + 5)/2 1, De uitkomst is dus in beide gevallen 1, En dit is gelijk aan ( = 1 + Constructie van een regelmatige vijfhoek Veel wiskundigen hebben geprobeerd om een constructie te vinden voor de regelmatige -hoek (n is een positief, heel getal). Maar in de negentiende eeuw, wist C.F. Gauss regelmatige n-hoeken te construeren. Dit werd gedaan met behulp van De Gulden Snede. Ook Euclides kon al een regelmatige vijfhoek construeren. Ik zal deze constructie uitvoeren. Neem een lijnstuk AB met waarde 2. Teken het punt C zo, dat het lijnstuk AB volgens de Gulden Snede ( verdeeld wordt Teken nu een cirkel met middelpunt C en met de straal BC. We gaan de vijfhoek construeren in de cirkel. Snijdt het verlengde van lijnstuk AB in D. Dit punt D is al een van de punten van de vijfhoek die we zoeken. Teken nu een cirkel met middelpunt A en met de straal die gelijk is aan het lijnstuk BC. Deze cirkel snijdt in twee punten E en F. Ook dit zijn punten van de vijfhoek. Je hebt nu al drie punten van de vijfhoek gevonden. Nu moeten de andere twee punten nog worden geconstrueerd. Dit doen we op dezelfde manier. Teken een Pagina 4 van 13

5 cirkel met middelpunt F en met de straal FD. Teken ook om punt E een cirkel met de straal ED. Op de plek waar de cirkels de cirkel snijden, liggen de andere twee punten van de vijfhoek. Als je dus een lijnstuk neemt dat verdeeld is volgens De Gulden Snede door een punt, kun je dus een regelmatige vijfhoek construeren. Een regelmatig pentagram Een pentagram is een vijfhoekige regelmatige ster. Deze kan ontstaan door de zijden van een regelmatige vijfhoek twee aan twee te verlengen. We beginnen met een regelmatige vijfhoek met zijden van 1. Zoals we nu in het pentagram kunnen zien is elk van de vijf driehoeken, een gelijkbenige driehoek waarvan de zijden zich verhouden als 1 : We zullen dit verklaren aan de hand van onze onderstaande uitwerkingen en tekeningen. ABCDE is een regelmatige vijfhoek, waarvan alle vijf de hoeken gelijk zijn, namelijk 108 (540 /5). ABC = 108 TAB = ABT ABT = 180 ABC ABT = ABT = 72 BTA = 180 TAB - ABT BTA = BTA = 36 BTP = ½ BTA BTP = 36 / 2 BTP = 18 Met de cosinusregel kunnen we nu de zijde BT uitrekenen: Cos( PBT) = PB / BT Cos(72 ) = 0,5 / BT BT = 0,5 / cos(72 ) BT = 1, En 1, is hetzelfde als ( = De getallen van Fibonacci De getallen van Fibonacci is eigenlijk een gewone reeks getallen. Zoals in elke reeks getallen, zit er ook in deze reeks ene regelmaat. Dit zijn de getallen van Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, Door steeds de voorgaande twee getallen bij elkaar op te tellen, bereken je een nieuw getal van de reeks. De reeks wordt dus als volgt aangevuld: = = = 1597 Maar dat is niet de enige regelmaat in deze bijzondere rij. De rij van Fibonacci en de Gulden Snede hebben Pagina 5 van 13

6 namelijk een apart verband met elkaar. Als je twee opeenvolgende getallen van Fibonacci s reeks door elkaar deelt, komt dit quotiënt in de richting van het getal de Gulden Snede. Hoe verder je de Fibonacci-reeks volgt, hoe beter het quotiënt klopt met het getal (= :1). 2: 1= 2 3 : 2 = 1,5 5 : 3 = 1, : 5 = 1, : 8 = 1, : 13 = 1, : 21 = 1, : 34 = 1, : 55 = 1, : 89 = 1, : 144 = 1, : 233 = 1, : 377 = 1, : 610 = 1, : 987 = 1, Voortgezette breuken Voorgezette breuken hebben met De Gulden Snede te maken. Ik zal dit hieronder uitleggen. Rationele getallen Neem een rationeel getal (een geheel getal of een breuk), bij voorbeeld. We kunnen dit schrijven als: Zoals je ziet worden steeds dezelfde stappen herhaald: 1. als er een breuk staat die groter is dan 1, splitsen we die in een geheel getal en een rest die tussen 0 en 1 ligt. 2. als er een breuk staat die kleiner is dan 1, schrijven we die als 1 gedeeld door het omgekeerde van die breuk. Op deze manier is elk getal te schrijven als, met n gehele getallen die kenmerkend zijn voor het getal. Bij rationele getallen is het aantal gehele getallen n dat je voor deze representatie nodig hebt altijd eindig; zo wordt geschreven als [3; 2, 1, 5]. Achter de drie staat een puntkomma. Hiermee wordt aangegeven dat de breuk begint met 3+ en niet met 1/(3+...). Irrationele getallen Je kunt niet alleen van rationele getallen een voortgezette breuk maken, want ook irrationale getallen (getallen als 2 en π die je niet als geheel getal of als breuk kunt schrijven) kunnen we op een vergelijkbare manier weergeven. Het enige verschil is dat de breuk van een irrationeel getal oneindig voortgezet moet worden. Als voorbeeld nemen we een bijzonder geval: de Gulden Snede. De Gulden Snede is de positieve oplossing van de vergelijking: x² + x 1 = 0 Pagina 6 van 13

7 Deze vergelijking kunnen we schrijven als: Door telkens door te vervangen vinden we: Deze uitdrukking ziet er een beetje onoverzichtelijk en raar uit. Daarom zullen we deze uitdrukking anders noteren. Het is namelijk een enorme breuk en het lijkt net of de waarde van niets meer uit maakt.. We gaan dat onderzoeken door de = tekens even te vergeten, en te kijken naar de rij die dan overblijft. Als we een getal voor de invullen, bijvoorbeeld = 0, ontstaat de volgende rij: Zoals je ziet, zijn dit de getallen van Fibonacci. Elke breuk is te schrijven als. Blijkbaar gaat de voortgezette breuk steeds meer lijken op de Gulden Snede. We zijn begonnen met een heel slechte benadering van de Gulden Snede, namelijk het getal 0. Na één stap zitten we op 1, dat is te hoog, maar toch al wat dichter in de buurt. Bij elke stap die volgt, komen we al dichter bij de werkelijke waarde van De Gulden Snede. Na tien stappen zitten we al bij. Dit is al De Gulden Snede op vier decimalen nauwkeurig. Van alle irrationale getallen heeft de Gulden Snede de eenvoudigste voortgezette breuk. Dit is de algemene voortgezette breuk voor de oplossing van x² + x 1 = 0 (met geheel). Dit kunnen we schrijven als:, en door steeds te vervangen door, vinden we: Ook deze voortgezette breuken hebben de bijzondere eigenschap dat de coëfficiënten (n) allemaal gelijk zijn (aan ). Voor vinden we de Gulden Snede; voor = 2, = 3, = 4, enzovoorts, spreken we van de Zilveren Sneden. In het algemeen geldt voor voortgezette breuken: Hoe groter de coëfficiënten (0), (1), (2), (3), (4) enzovoorts, hoe sneller de convergentie. Dit wil zeggen, hoe sneller de termen van de rij zoals in de formule met de Fibonacci getallen naar de eindwaarde gaan. Bij de Gulden Snede zijn alle coëfficiënten gelijk aan 1. Kleiner is namelijk niet mogelijk. Van alle irrationale getallen, is De Gulden Snede de voortgezette breuk die het langzaamst convergeert. De Gulden Snede wordt daarom ook wel het `meest irrationale getal\', of `het getal dat je het slechtst kunt benaderen met een breuk\', genoemd. 8 De Gulden Snede in de biologie Ook in de biologie is De Gulden Snede terug te vinden. Een mooi voorbeeld hiervan is de rangschikking van de pitten van een zonebloem. Een zonnebloem begint het vormen van zijn pitten vanuit het midden. Elke volgende pit wordt gedraaid over de gulden hoek: 360 = 222,5. Dit is de enige manier om de pitten netjes een rond hart te laten vormen. In 1993 werd door de wetenschappers Couder en Douady aangetoond dat het plaatsen van de pitten onder de gulden hoek de beste manier is oppervlakte van de zonnebloem. De Gulden Hoek is in een zonnebloem overigens niet gemakkelijk te zien. Je oog wordt snel afgeleid door andere spiralen (de parastichons) waarin de zonnepitten naar buiten lijken te groeien, vooral ook omdat de zonnepitten geen stippen zijn, maar als puzzelstukjes op elkaar passen. De spiraal door de Pagina 7 van 13

8 achtereenvolgende zonnepitten (de generatieve spiraal) is héél strak gewonden: 137,5 per zonnepit! Een andere manier waarop we De Gulden Snede terug zien komen in de flora is via de aantallen uit de rij van Fibonacci. Het aantal parastichons is een getal van Fibonacci. Als we namelijk kijken naar het aantal spiralen dat in zo n patroon zit, krijgen we vaak ook iets als 34 linksom en 55 rechtsom. Ook bij kroonbladeren komen de getallen van Fibonacci voor. Bij plant A moeten we, als we kloksgewijs ronddraaien, 3 rondjes maken om bij een blad te komen dat weer boven de vorige staat. Tijdens die drie rondjes passeren we 5 bladeren. Draaien we tegen de klok in, dan moeten we 2 rondjes maken. De getallen 2, 3 en 5 zijn opeenvolgende getallen uit de reeks van Fibonacci. Omdat bij dit voorbeeld kleine getallen optreden, zou men kunnen zeggen dat dit een toeval is. Maar er zijn ook planten te vinden, die de bladrangschikking volgens voorbeeld B hebben. Bij deze plant moet u 5 rondjes (met de klok mee) of 3 rondjes (tegen de klok in) draaien om een blad te vinden, dat weer boven een ander blad staat. Als men dat doet, passeert men 8 bladeren. Ook hier vindt men drie opeenvolgende getallen uit de reeks. De bladrangschikking volgens voorbeeld A vindt men onder andere bij de eik, de kers en de appel. Die van voorbeeld B bij de populier, roos en de peer. Bij de wilg en de amandel komt de bladrangschikking overeen met de getallen 5 (tegen de klok in), 8 (met de klok mee) en 13 (het aantal bladeren tussen twee boven elkaar staande bladeren). Ook is gebleken dat bijvoorbeeld het aantal kroonblaadjes van een heleboel bloemen gelijk is aan die van een getal uit de reeks van Fibonacci, vaak 21 of 34. Het zelfde is terug te vinden bij onder andere dennenappels, bloemkool en enkele andere bloemsoorten. Ook de spiraal in de Nautilus Pompilius-schelp is een logaritmische spiraal van Fibonacci. Naarmate het dier groter wordt, maakt het steeds grotere kamers in zijn schelp, terwijl het de kleinere kamers afsluit. De relatieve volumes van de opeenvolgende kamers verhouden zich volgens de Gulden Verhouding. Meer hierover is te vinden in het hoofdstuk Gelijkvormige Vlakverdeling. Als je kijkt naar je een van je armen kun je ook iets opmerkelijks waarnemen. Je hebt: - 1 arm met daaraan - 1 hand met - 5 vingers die allemaal verdeeld worden in. - 3 delen door. - 2 knokkels. Kijk nu naar de rij van Fibonacci, 0, 1, 1, 2, 3, 5.. Is dit toeval of niet? Maar het originele probleem wat Fibonacci onderzocht in het jaar 1202 ging over hoe snel konijnen zich konden voortplanten onder ideale omstandigheden. Stel je voor: een pasgeboren paar konijnen, een vrouwtje en een mannetje bij elkaar gezet in een veld. Konijnen zijn in staat zich voort te planten als ze een maand oud zijn. Dus aan t eind van de tweede maand baart het vrouwtje een nieuw paar konijnen. Ga er vanuit dat deze konijnen altijd blijven leven en dat ze elke maand een nieuw paar (altijd een mannetje en een vrouwtje) op de wereld zetten en dat deze allemaal gezond zijn. Hoeveel paren zullen er na een jaar zijn? 1. Aan het einde van de eerste maand paren ze, maar er is nog steeds maar een paar. 2. Aan het eind van de tweede maand baart het moederkonijn een nieuw paar. Er zijn dus 2 paren. 3. Aan het eind van de derde maand baart het eerste vrouwtje een nieuw paar. Het tweede paar paart. Er Pagina 8 van 13

9 zijn nu 3 paren in het veld. 4. Aan het eind van de vierde maand hebben zowel het tweede als het eerste paar een nieuw paar op de wereld gezet. Het derde paar paart. Dat zet de stand op 5 paren in het veld. Aantal paren Het aantal konijnenparen in het veld is aan het eind van elke maand 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, Le Modulor Charles-Eduard Jeanneret, beter bekend als Le Corbusier, was een Franse architect uit begin 20e eeuw. Hij heeft een onderzoek gedaan naar het menselijk lichaam. De resultaten gebruikte hij bij zijn ontwerpen (zie De Gulden Snede in de architectuur) Hij verdeelde het menselijk lichaam in een aantal delen. De verhouding van deze delen is in verhouding met De Gulden Snede. Le Corbusier is begonnen met de lengte van de gemiddelde de man te nemen. Dit kun je zien bij het hoofd. Het getal 1829 verwijst naar deze gemiddelde lengte, namelijk 1,829 meter, oftewel 1829 mm. De volgende stap was het verdelen van het lichaam in 2 helften bij de navel. Als je dit doet volgens De Gulden Snede verhouding, is de verdeling de volgende: m = = 699 mm M = 1130 mm totaal = 1829 M : m = totaal : M M : m = 1130 : 699 = 1,617 totaal : M = 1829 : 1130 = 1,619 Je ziet dat deze getallen het getal φ benaderen. Verder zijn de verhoudingen bovenbeen : knie (698 : 432 = 1,616) navel : bovenbeen (1130 : 698 = 1,619) arm : borst (2260 : 1397 = 1,618) ook in verhouding met De Gulden Snede. Als je goed kijkt naar de getal die Le Corbusier bij de tekening zet, zie je dat deze soortgelijk zijn als in de rij van Fibonacci. Zo is = Wanneer je twee getallen uit een rij van Fibonacci kent, kun je terugrekenen wat de voorgaande getallen zijn. Op deze manier kun je laten zien dat de getallen 66 en 100 voorkomen in deze rij. 9 De Gulden Snede in de architectuur De Gulden Snede heeft in het verleden een grote rol gespeeld in de architectuur en dan vooral die uit de klassieke oudheid. Maar niet alleen de Griekse beschaving maakte gebruik van De Gulden Snede, maar uit onderzoek is gebleken dat er bij de bouw van piramides ook gebruik werd gemaakt. Van beide beschavingen is hieronder een voorbeeld te vinden. Piramides Een piramide is een graftombe, gebouwd voor de farao. De piramide moest de dode farao helpen met Pagina 9 van 13

10 eeuwige leven na de dood. Het bouwen aan een piramide was een gewilde baan. De bouwvakkers waren meestal boeren die geloofden dat als zij hun koning hielpen in de hemel te komen, hij in de volgende wereld voor hen zou zorgen. De bouw van deze piramides nam jaren in beslag. Hoe machtiger de farao, hoe grotere piramide hij voor zichzelf liet bouwen. Bijna alle piramides zijn gebouwd tussen 2700 en 1700 v. Chr. Een aantal piramides is nog overgebleven en deze zijn dan ook een gewild onderzoeksobject voor archeologen. Naast de schat aan historisch materiaal, bieden ze ook mogelijkheden tot wiskundig onderzoek. Zo blijkt ook de De Grote piramide in Gizeh. Gulden Snede een rol te spelen in de architectuur van sommige piramides. Een goed voorbeeld daarvan is de Grote Piramide in Gizeh, gebouwd rond 2500 voor Christus. De hellingshoek die de schuine vlakken van deze piramide maken, is 51,85. Wanneer we een dwarsdoorsnede van de piramide maken, op deze manier; dan krijgen we de volgende driehoek: Hierin is α=51,85 graden. Stel de schuine zijde lengte 1 dan kun je uitrekenen dat de horizontale zijde dat is de halve breedte van de piramide lengte heeft. (cos(51,85 ) = 0,5 breedte / 1 dan is 0,5 breedte = 1 * cos(51,85 ) = 0,617 = ) De Gulden Snede komt dus terug in het ontwerp van de piramides in Egypte. Het is mogelijk dat dit toeval is, maar we kunnen alleen maar raden. Wetenschappers denken dat deze constructie van piramides beter bestand zal zijn tegen aardbevingen. Als dat zo is heeft hun bedoeling effect gehad, er zijn er nog aardig wat bewaard gebleven in gebieden waar aardbevingen voorkomen. Parthenon Bij de Grieken zijn wel geschriften gevonden waaruit blijkt dat ze De Gulden Snede kenden. De filosoof/ wiskundige Euclides (ca. 430 v. Chr.) schreef al over dit getal. Al deed hij hierover geen verwijzingen naar de architectuur. Toch is De Gulden Snede door de Grieken toegepast in hun bouwwerken en steenhouwwerk. Het bekenste voorbeeld hiervan is het Partenon. Deze Griekse tempel, gewijd aan de maagd Athene, godin van de wijsheid is gebouwd tussen 477 en 436 v. Chr.. Deze redelijk goed geconserveerde tempel op de Acropolis is ontworpen door Ictinus en Callicrates. Onder leiding van Phidias zijn er wiskundige principes gebruikt bij het ontwerp. Phidias is overigens ook degene naar wie De Gulden Snede (φ=phi) is vernoemd. Op de rechter afbeelding is aangegeven waar De Gulden Snede is terug te vinden. Maar omdat in de geschriften van Eudicles geen verwijzingen zijn gevonden naar de architectuur blijft het onzeker of dit toeval was of niet. De moderne tijd Na de Grieken die De Gulden Snede hebben ontdekt, zijn er nog vele kunstenaars geweest die De Gulden Snede hebben gebruikt voor de verhouding in hun kunstwerk. Vooral in de Renaissance, omdat er toen veel aandacht aan de verhoudingen werd besteed. De renaissance komt in Italië het eerst op in de 15e eeuw. In Nederland krijgt deze stroming pas veel later voet aan de grond. Het eerst werden renaissance principes toegepast in de ornamenten. Die verhoudingen moesten in heel het gebouw worden toegepast. In renaissance gebouwen zie je veel horizontale lijnen. In renaissance gebouwen overheersen, in tegenstelling tot de gotiek, horizontale lijnen. Ook de muur kreeg in de renaissance de zichtbare functie als drager. Renaissance gebouwen zien er massief en gesloten uit, maar wel met vele verhoudingen volgens de gulden middenweg. Pagina 10 van 13

11 In beide voorgenoemde gevallen van het gebruik van De Gulden Snede in de architectuur kunnen we niet met zekerheid zeggen of deze expres is gebruikt, of dat het voorkomen is gebaseerd op puur toeval. De eerder genoemde architect Charles-Eduard Jeanneret Le Corbusier was de eerste architect van wie we met zekerheid weten dat hij De Gulden Snede met opzet heeft gebruikt in zijn ontwerpen. Hij gebruikte zijn Modulor (zie De Gulden Snede in de biologie) in zijn ontwerpen. Hij probeerde zijn huizen zo efficiënt mogelijk te bouwen en in te richten. Maten als de hoogte van de stoelen, grootte van de gangen en bijvoorbeeld hoogte van het plafond paste hij aan dit systeem aan. Omdat de Modulor bestaat uit voornamelijk Gulden Snede verhoudingen, zijn dit soort ontwerpen zowel praktisch efficiënt als harmonisch. Charles-Eduard Jeanneret Le Corbusier gebruikte zijn modulair systeem voor de gevels van zijn huizen, maar ook voor de binnenarchitectuur. Zelfs in de door hem ontworpen meubels gebruikte hij zijn systeem. Als voorbeeld is je hier het huis dat Le Corbusier ontwierp in Weissenhof-Siedling, Stuttgart, Duitsland. Stoel en kerk, ontworpen door Charles-Eduard Jeanneret 10 De Gulden Snede in de kunst Omdat De Gulden Snede harmonische verhoudingen geeft; is De Gulden Snede is fijn om naar te kijken en te luisteren. Daarom werd De Gulden Snede gebruikt in de kunst, de poëzie en de muziek. Verschillende muziekstukken van onder andere Mozart, Vivaldi en Bach zijn geanalyseerd aan de hand van De Gulden Snede. De Romeinse dichter Virgilius gebruikte de rij van Fibonacci meerder malen bij het schrijven van zijn gedichten. Vooral de Renaissance grijpt terug op het gebruik van De Gulden Snede in de klassieke oudheid: Renaissance betekent wedergeboorte, de wedergeboorte van de klassieke beschaving. Kunstwerken moesten volgens een universele maat worden gebouwd. De verhoudingen (hoogte, lengte en breedte) waren dan dus ook erg belangrijk in deze kunststroming. De Romantiek is een stroming in de kunst, vooral de schilderkunst, literatuur en muziek. De Romantiek beheerst ongeveer de hele 19e eeuw. Een van de kenmerken is het escapisme, het zoeken naar een ideale wereld, vluchten uit de ellende van het alledaagse leven. De kunst werd geïdealiseerd. Belangrijk om op te merken is ook dat De Gulden Snede in deze periode (namelijk in 1835) haar naam krijgt. In deze tijd werd De Gulden Snede een ware cultus. De Romantiek heeft invloed gehad op latere kunstenaars. De mens van Vitruvius, een tekening van Leonardo da Vinci, is vernoemd naar de architect Vitruvius. Op de schets zijn de verhoudingen van De Gulden Snede te zien: de afstand tussen het hoofd en het middel verhoudt zich tot de afstand van het middel tot de voeten zoals deze zich verhoudt tot de totale lichaamslengte. Bij veel schilderijen en beeldhouwwerken werd de mens met deze verhoudingen weergegeven. De mens van Vitruvius, Leonardo da Vinci 11 De Gulden Snede in de natuurkunde De Gulden Snede heeft in de natuurkunde niet een heel belangrijke rol gespeeld, tenminste niet zo belangrijk als het getal Π. De Gulden Snede heeft wel een betekenis in de theorie van dynamische systemen en chaotisch gedrag. In de 17e eeuw ontdekte Christiaan Huygens ( ) zijn golftheorie van licht, zijn ontdekking van de ringen van Saturnus en zijn uitvinding van de slingerklok. Die slingerklok is heel interessant voor De Gulden Snede. Huygens ontdekte dat als twee klokken naast elkaar hingen aan Pagina 11 van 13

12 een niet al te stevige wand, ze de neiging hadden gelijk te gaan lopen. Ze beïnvloeden elkaar dus. Ik zal niet ingaan op de oorzaak, maar wel het gevolg. De klokken gaan samen lopen, ook al zijn de trillingstijden van de afzonderlijke klokken een fractie anders. Dat verschijnsel heet mode locking. Mode locking zie je bij voorbeeld ook in een piano. Voor de laagste tonen worden twee of drie snaren naast elkaar gebruikt, en die trillen altijd met precies dezelfde frequentie, mits de piano zuiver gestemd is. Mode locking treedt niet alleen op bij de frequentie waarmee een systeem in trilling is, maar ook bij veelvouden van die frequentie. Voor Huygens betekent Christiaan Huygens dit dat de slingertijden ook in elkaar gekoppeld kunnen raken in een verhouding van 1:3 of 3:5. De afstand van de klokken ten opzichte van elkaar heeft invloed op deze gebeurtenis. Maar hoe dichter de klokken bij elkaar staan, des te makkelijker het verschijnsel optreedt. Mode locking treedt ook op bij de beweging van bepaalde hemellichamen in ons zonnestelsel. Een bekend voorbeeld is de beweging van Pluto en Neptunus. De omloopstijden van deze planeten om de zon verhouden zich als 3: 2 als gevolg van de aantrekking van Neptunus op Pluto. Men spreekt in dit verband ook wel van resonanties. De theorie van dit soort aan elkaar gekoppelde systemen komt De Gulden Snede voor als de verhouding tussen twee frequenies waarbij mode locking het moeilijkst optreedt. Als de kop- peling tussen twee systemen sterker gemaakt wordt is de kans groter dat ze gevangen worden door een rationeel getal. Daardoor zal er bijna altijd mode locking komen. Behalve bij φ of Φ. De Gulden Snede is een verhouding die zich door alle getallen het minst laat beïnvloeden. Als je dus mode locking wilt voorkomen moet je de verhouding kiezen volgens De Gulden Snede. Neptunes en Pluto met hun banen 13 Bronvermelding Deze bronnen heb ik gebruikt bij het maken van ons werkstuk over De Gulden Snede. Het volgende boek: - De menselijke maat, Prof. ir. A.J.H. Haak en ir. D. Leever-van der Burgh En de volgende internetsites (bezocht in de maanden november en december 2003 en januari 2004): Logboek Taak Datum Duur Informatie gezocht 22 november 2,5 uur Pagina 12 van 13

13 Opzet maken 22 november 30 minuten Opzet maken 4 december 20 minuten Informatie zoeken 7 december 1,5 uur Informatie zoeken 8 december 0,5 uur Informatie zoeken 9 december 1,5 uur Informatie zoeken 11 december 2 uur Informatie zoeken 13 december 1,5 uur Begonnen hoofdstuk 1 en 2 19 december 2 uur Begonnen hoofdstuk 8 en 9 20 december 3 uur Titelpagina, Inleiding, 21 december 6 uur Informatie uitwerken 22 december 3,5 uur Informatie uitwerken 2 januari 4 uur Informatie uitwerken 4 januari 5,5 uur Informatie zoeken en uitwerken 6 januari 3,5 uur Informatie uitwerken 7 januari 2,5 uur Lay-out, conclusie, controle 9 januari 3,5 uur Pagina 13 van 13