Matriek Hersiening. Kry n ander perspektief oor Wiskunde eksamens. Opgestel en aangebied deur Sarel van Greunen. Sarel van Greunen

Transcriptie

1 Matriek Hersiening Kry n ander perspektief oor Wiskunde eksamens Opgestel en aangebied deur Sarel van Greunen Sarel van Greunen

2 - - Inhoudsopgawe Funksies, relasies en inverse... 3 Rye en Reekse... 6 Differensiasie... 7 Eksponente... 9 Logaritmes... 0 Finansiele Wiskunde... Euklidiese Meetkunde... 5 Sirkel Stellings... 6 Analitiese meetkunde... Statistiek... 3 Oefeninge Funksies, relasies en inverses - Oefeninge... 5 Rye en Reekse - Oefeninge... 7 Differensiasie - Oefeninge... 8 Eksponente en Logaritmes - Oefeninge... 3 Finansiele Wiskunde - Oefeninge... 3 Trigonometrie - Oefeninge Euklidiese Meetkunde Oefeninge Analitiese Meetkunde - Oefeninge Statistiek - Oefeninge Sarel van Greunen Alle regte behou. Geen deel van die publikasie mag herproduseer, versprei, of aangestuur word in enige vorm of op enige manier nie, insluitend deur fotokopiëring, opnames, of op enige elektronies of meganiese maniere, sonder voorafgaande toestemming van die verspreider, behalwe in die geval van kortbondige kwoterasie in die geval van resensie en sekere non-komersiele gebruike wat toegelaat word onderhewe aan die kopieregwetgewing. Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

3 Funksies, relasies en inverse Definisie: n Relasie is wanner n veranderlike in verhouding tree met n ander veranderlike, m.a.w. x word in verhouding met y gebring. Hoe y reageer gee vir ons die verskillende grafieke n Funksie is n spesiale relasie waarvoor daar vir elke x slegs y is. Die oomblik wanneer dit nie meer waar is nie, kry ons wat ons noem, n nie-funksie. Daar is 8 verskillende grafieke wat ons gaan analiseer, interpreteer en skets: Reguitlyn Parabool Hiperbool Eksponensieel Logaritmies Sinus Cosinus Tangent Daar is sekere generiese vrae:. x-afsnit o Laat y = 0. y-afsnit o Laat x = 0 3. Definisieversameling o Alle x-waardes waarvoor die funksie bestaan 4. Waardeversameling o Alle y-waardes waarvoor die funksie bestaan 5. Snypunte van grafieke o Stel die y-waardes gelyk aan mekaar of o Gebruik substitusie en los gelyktydig op 6. Inverses van grafieke o Die inverse van n grafiek is eenvoudig die refleksie van die grafiek in die lyn y = x. o Vergelyking bepaling: Neem jou grafiek en ruil die x en y in die vergelyking om en kry maak dan verkieslik y die onderwerp. o Skets van inverse: Neem die koordinate van die oorspronklike grafiek en ruil AL die x en y-waardes om. Plot die nuwe koordinate en teken jou skets. o ONTHOU: Die definisieversameling van die oorspronklike grafiek is die waardeversameling van die inverse; en die waardeversameling van die oorspronklike is die definisieversameling van die inverse. Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

4 - 4 - Spesifieke grafieke het hul eie unieke vra: Reguitlyne ons gaan hierna kyk in Analitiese Meetkunde. Parabool Vergelyking: y = a(x p) + q met (p; q) as stasionere punt OF y = ax + bx + c o o Die draaipunt kan bereken word deur te differensieer en gelyk te stel aan nul of deur die simmetrie-as te kry deur x = b en die x-waarde te vervang in die oorspronklike vergelyking Vergelyking bepaal: Om die vergelyking te bepaal hang dit af van wat vir jou gegee is. Gewoonlik word daar die volgende gegee: Draaipunt(p;q): y = a(x p) + q x-afsnitte(x en x ): y = a(x x )(x x ) a Hiperbool o Vergelyking: o Vergelykings van asimptote: Horisontaal y = q en Vertikaal x = p y = a x p + q o n Baie belangrike ding om te onthou is dat hiperbole is altyd simmetries. o Daar is simmetrie asse: Een met n positiewe gradiënt: y = x p + q en Een met n negatiewe gradiënt: y = x + p + q Eksponsieel o Vergelyking: y = a. b x p + q o Vergelyking van asimptoot: Horisontaal y = q o Die p-waarde is slegs daar om te wys hoeveel waardes die grafiek links of regs geskuif is. Logaritmies o Vergelyking: y = log a (x p) + q o VergelykingAsimptote: Vertikaal x = p o Die q-waarde is slegs daar om te wys hoeveel waardes die grafiek op of af geskuif is Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

5 - 5 - Trigonometriese grafieke o Die standaard sinus and cosinus grafieke is baie dieselfde: Periode= 360 Amplitude= o Die tangens grafiek is n snaakse kalant: Periode= 80 Amplitude= o Daar is n hele paar verandering wat vir jou gevra gaan word. Periode: Indien y = sin ax, y = cos ax of y = tan ax,dan word die nuwe periode (Oorspronklike periode) a. Amplitude: In die geval van y = b sin x of b cos xdan word die nuwe amplitude die positiewe waarde van b. Indien b negatief is dan verander dit die rigting van die grafiek. 3. Skuif van die grafieke: a. Links y = cos( x + 30 ) grafiek links geskuif met b. Regs y = sin( x 40 ) grafiek regs geskuif met c. Op y = tan x + grafiek opgeskuif met eenh d. Af y = sin x grafiek afgeskuif met eenh 4. Een van die maklikste manier om trig grafieke te is om die kritieke punte te kry deur die periode deur 4 te deel. Dit is waar iets spesiaal op die grafiek gebeur Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

6 Rye en Reekse Daar is 3 basiese tipes rye en reekse waarmee ons werk: Kwadraties Rekenkundig Meetkundig Kwadratiese patroon: Definisie: Tweede verskille is dieselfde en die eerste verskille vorm n rekenkundige patroon. Algemene Term: T n = an + bn + c Om die waardes van a, b en c te bepaal: a = Tweede verskil 3a + b = Eerste eerste verskil a + b + c = Eerste Term Rekenkundige patroon: Definisie: Alle eerste verskille is dieselfde, maw jy tel by of trek af met dieselfde getal die heeltyd. NB: T T = T3 T Algemene Term: T n = a + ( n ) d Som van n Terme: d = T T S n n = (a + ( n ) d OF S n n = ( a + l) Laaste term of n-de Term l = Meetkundige patroon: Definisie: Daar bestaan n gemene verhouding, maw jy maal met n getal om die volgende term te kry. T NB: T = 3 T T Algemene Term: T n = a. r n r = T T n a( r ) Som van n Terme: S =... r Som tot oneindig: S = a - r n r NB!!!Voorwaardes vir konvergensie: r Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

7 Differensiasie Definisie: Formule: Oombliklike tempo van verandering Eerste Beginsels/ Grond Beginsel/ Definisie f ( x + h) f ( x) = lim h 0 h f ( x) Kort formule: n. f ( x) = ax dan f ( x) = a nx dy. dan = 3 dx 3. y = 3x D x [ k] = 0 n Jou manier van skryf is verskriklik belangrik Daar is sekere beperkings wanneer jy nie mag differensieer nie, op universitiet gaan jy sekere strategiëe leer om hulle direk aan te vat, maar vir nou moet jy die uitdrukking manipuleer voordat jy mag differensieer. NOTASIE WANNEER JY DIFFERENSIËER. f(x) f (x). y dy dx 3. D x ሾ ሿ = {Afgeleide binne die hakies} d 4. ( ) = {Afgeleide binne die hakies}} dx Beperkings: Oplossing:. Hakies Vermenigvuldig uit 3 3. Wortels Eksponensielewette bv. x = x 3. x in die noemer Wanneer x alleen is, deel dit op Wanneer x nie alleen is nie, faktoriseer die boonste gedeelte en kanseleer uit Toepassings op grafieke Die eerste afgeleide van f wys die presiese vorm van f: Wanneer f ( x) 0 sal f afneem Wanneer f ( x) 0 sal f toeneem Wanneer f ( x) = 0 is f stasionêr Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

8 - 8 - Die laaste punt is baie belangrik. Dit gee vir ons die formule om enige stasionêre punt/draaipunt te kan bereken, naamlik deur te differensieer en gelyk te stel aan 0. dy f ( x) = 0 of = 0 dx Die tweede afgeleide gee vir jou konkawiteit van die grafiek: Wanneer f ( x) 0 dan is f konkaaf af, vir n maksimum Wanneer f ( x) 0 dan is f konkaaf op, vir n minimum Wanneer f ( x) = 0 dan is f by n draaipunt Ware lewens toepassing Die mees belangrikste toepassing van differensiasie is om die minimum en/of maksimum vir n problem te bepaar. Ons volg dieselfde proses as om n draaipunt te bereken: f ( x) = 0 of dy dx = 0. Dit geld vir al die probleme wat ons kan modeleer met behulp van n vergelyking. Differensiasie word ook gebruik om tempo van verandering te beskryf, dit is die tempo van verandering van afstand wat spoed gee en die tempo van verandering van spoed wat versnelling gee. Bepaal die vergelyking van n kubiese grafiek: Gegee 3 x-afsnitte: y = a(x x )(x x )(x x 3 ) Gegee x-afsnitte waar n draaipunt ook is: y = a(x x )(x x ) waar x is die x-waarde wat beide n x-afsnit is en n draaipunt. Gegee die draaipunte:. Kry die afgeleide van die vergelyking;. Maak die afgeleide gelyk aan 0; 3. Vervan die verskillende x-waardes van die draaipunt in; 4. Los die resultante vergelykings gelyktydig op. Indien jy enige verdere onbekende in die funksie het, vervang koördinate in die vergelyking in en los die vergelykings op. Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

9 Eksponente Die doel van eksponente is om enige getal in n korter manier te skryf. Eksponensiele wette = 3 6 = x x = x 3 = x 3. ( ) xy = x y = x y x y = x y 4 Eksponensiele definisies. x 0 = behalwe vir. of = a a a = a 3 3. = 3 x = 0 = a 4 bc n kortpad vir dit is, is wanneer jy die volgende het a bc = a 4 Vereenvoudiging: Vermenigvuldig en deel net die volgende: i. Verander die basisse in priemgetalle ii. Pas wet 3 of 4 toe iii. Pas wet en toe iv. Bereken die anwoorde Optel en/of aftrek van terme met eksponente i. Verdeel die terms met eksponente ii. Faktoriseer iii. Kanseleer uit iv. Bereken die antwoorde Vergelykings Jy hanteer elk van die verskillende tipes vergelykings dieselfde as vereenvoudiging, maar die vierde stap verander, in plaas om die antwoord te vind, moet jy die volgende: o Kry die basisse dieselfde o Laat die basisse weg o Los die som om Wanneer jy x as die basis het moet jy eenvoudig: o Kry x en sy eksponent alleen aan n kant o Verhef albei kante tot die mag van die eksponent se inverse Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

10 Logaritmes Die malligheid agter logaritmes is om eksponensiele vergelykings waar dit bykans onmoontlik is om die basisse dieselfde te kry, op te los. Logs is die inverse van eksponente, bv. x log 8 3 = 8 kan as log 3 8 = x of = x geskryf word, wat jy mbv n sakrekenaar kan oplos. log 3 Logaritmiese wette. log + log 3 = log ( 3) = log 6 a a a a b 8 log b = log b( 8 ) log b x 3 b = log b. log = 4 3. log 3 x 4. log log b a = log x x a b Logaritmiese definisies. log a a =. log = log log b b b a = log a a = log b logb = logb a a b a Log wette is eenvoudig net daar om van die logs ontslae te word, sodat ons kan werk met ons basies wiskunde tegnieke om die probleem op te los. Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

11 - - Finansiele Wiskunde Finansiele wiskunde behels eenvoudig die leen van en belê van geld in banke. Daar is basies tipes somme wat in ons sillabus voorkom: Een-malige transaksie Periodiese beleggings Een-malige finansiele transaksies sluit in alle transaksies wat een keer plaasvind en dan rente trek oor n tydperk. Die volgende word gesien as een-malige transaksies: Gewone beleggings Lenings by bank Inflasie Waardevermindering Gewone beleggings Enkelvoudige rente Saamgestelde rente Waardevermindering Kosprys/Reglynige metode Verminderende Saldo metode Inflasie A = P( + i. n) A = P( + i) n A = P( i. n) A = P( i) n A = P( + i) n n Geliefde vraag wat gevra word is om tussen effektiewe rente en nominale rente om te skakel. Die formule is as volg: + i e = ( + i(m) m m ) In die formule is: i e = effektiewe rentekoers m= hoeveel keer per jaar die rente saamgestel word i (m) = nominale rentekoers Periodiese finansiele transaksies word ook genoem annuïteite. Hier het ons twee keuses, of ons gaan kyk hoeveel die betalings, per maand, kwartaal, jaar, op die einde van die tydperk werd is, of hoeveel dit aan die begin van die tydperk werd is. Toekomstige waarde F = x((+i)n ) i Huidige waarde P = x( (+i) n ) i Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

12 - - In die eksamen gaan daar een van twee tipe vrae gevra word: Delgings fonds of Huislening Delgingsfonds n Delgingsfonds is n fonds gemaak vir die vervanging van enige bate (Voertuig, toerusting of masjinerie) na n aantal jare. Delgingsfonds vrae bestaan uit vier dele:. Vervangingswaarde Hoeveel hy gaan kos na die aantal jare(inflasie). Boekwaarde Hoeveel die kar gaan werd wees(waardevermindering) 3. Delgingsfondswaarde (F) F=Vervangingswaarde Boekwaarde 4. Maandelikse paaiement Annuiteit Huislenings Huislenings is baie vanselfsprekend, om n huislening te ondergaan, betaal jy paaiemente vir gewoonlik 0 of 30 jaar. Dit werk baie eenvoudig: jy wil jou paaiemente uitwerk oor hoeveel dit op die huidige stadium werd is, dit beteken jy gaan die P -annuïteit formule gebruik NB!! Hulle gaan vir jou vra om ook die balans uitstaande na n aantal jare of paaiemente uittewerk. Om die balans uittewerk moet jy eenvoudig kyk hoeveel paaiemente is oor, dit word dan die aantal paaiemente wat nog betaal moet word, die nuwe n in die huidige waarde annuiteit-formule: P = x( ( + i) n ) i Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

13 CAST diagram Trigonometrie Sin 80 θ 90 + θ Tan 80 + θ 90 θ Almal Cos 360 θ θ 90 Negatiewe hoeke Jy hanteer alle negatiewe hoeke asof dit in die vierde kwadrant is, maw slegs cos ( x) is positief. n Ander strategie wat jy kan volg is om net by die hoek te tel, want om n revolusie by n hoek te tel verander nie die posisie van n hoek op die vlak nie. 360 Hoeke groter as 360 Jy kan eenvoudig 360 by tel of aftrek to jou hoek tussen 0 en 360 val. Ko-funksies cos(90 x) = sin x sin(90 x) = cos x Kwosient identiteite tan x = sin x cos x Identiteite Vierkants identiteite sin x + cos x = sin x = cos x cos x = sin x Saamgestelde hoeke cos(a + b) = cos A cos B sin A sin B cos(a b) = cos A cos B + sin A sin B sin(a + b) = sin A cos B + cos A sin B sin(a b) = sin A cos B cos A sin B Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

14 - 4 - Dubbelhoeke sin x = sin x cos x cos x sin x cos x = { cos x sin x Die groot probleem met trig is manipulasie, want die geheim is om jou som te verander sodat jy op n punt kom waar jy jou vraag kan oplos. n Baie belangrike gedeelte van jou matriek sillabus is om te kan faktoriseer met trig uitdrukkings. Die mees algemene metodes wat:. Vervang cos x en/of sin x met ander veranderlikes, soos a en b, en dan faktoriseer jy normaalweg. Reguit faktorisering Vergelykings Wanneer dit kom by die oplossing van trigonometriese vergelykings dan is. Kry identiteit alleen OF los op deur faktorisering. a. Manipuleer som sodat jy kan faktoriseer.. Op die stadium moet jy mooi kyk wat hulle presies vir jou vra: Algemene oplossing: Indien sin x = a x = sin a + k. 360 OF x = 80 sin a + k. 360 Indien cos x = b x = ± cos b + k. 360 Indien tan x = c x = tan c + k. 80 Onthou altyd: k Z Spesifieke oplossings: Bereken die algemene oplossings Kies dan waardes vir k sodat jou antwoord in die verlange interval val Formule Sinus Reel a = sin A b sin B = c sin C Cosinus Reel a = b + c bc cos A Area Reel Area van ABC= ab sin C Wanneer formule gebruik word Werk met hoeke Werk met 3 sye Wanner gevra word Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

15 - 5 - Euklidiese Meetkunde Euklidiese meetkunde is n baie spesiale afdeling van Wiskunde waar ons fokus op die eienskappe van vorms, veral te doen met die grootte van die hoeke en die lengtes van die sye. Euklidiese meetkunde is gebasseer op stellings en bewyse. Ons gaan kyk na die basiese stellings wat jy gaan nodig hê vir die eksamen Reguitlyne B B B + B = 80 Rede: e op n reguitlyn B = B Rede: Regoorst e Parallelle lyne Neem aan vir die volgende stellings dat AB CD: B A A D B C C D B C A D C = B Rede: Ooreenk e Driehoeke C + B = 80 Rede: e aan dieselfde kant van die snylyn D = B Rede: Verw e A Gelykbenige A B C B C A + B + C = 80 Rede: Binne e van Indien B = C dan AB = AC Rede: sye teenoor = e Indien AB = AC dan B = C Rede: e teenoor = sye Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

16 - 6 - A B B + A = C Rede: Buite van C Sirkel Stellings Daar is 9 sirkel stellings en menigde omgekeerdes. Die beste manier om eksamen vrae te antwoord is deur eers jou stellings goed te ken. Ek deel die stellings in 3 groepe soos volg: Middelpunt stellings Stelling : Indien AP=PB dan is OP AB. Rede: Lyn vanuit midpt van sirkel na midpt van koord Stelling Omgek: Indien OP AB dan AP=PB Rede: Loodlyn vanuit midpt van sirkel na koord Stelling : BO C = A. Rede: Midpts = Omtreks Stelling 3: Rede: in sirkel Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

17 - 7 - Koordevierhoek Stellings Stelling 4: Rede: Omtreks e in dies sirkel segment x Stelling 5: B + C = 80 en A + D = 80 Rede: Teenoorst e van koordevierhoek A B D C Stelling 6: C = B Rede: Buite van koordevierhoek A B C D Koordevierhoek Omgekeerde stellings Stelling 4 Omg: Indien gelyke e onderspan word deur dieselfde koord, dan is die vierhoek n koordevierhoek. Rede: Koord onderspan = e Stelling 5 Omg: Indien x + y = 80 dan is die vierhoek n koordevierhoek. Rede: Teenoorst e is supplementer x y Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

18 - 8 - Stelling 6 Omg: Indien die buitehoek van n vierhoek gelyk is aan die teenoorstaande binnehoek, dan is dit n koordevierhoek. Rede: Buite = teenoorst binne. x x Raaklyn aan sirkel stellings Stelling 7: Rede: Radius raaklyn Stelling 8: AB = AC Rede: Raaklyne vanuit dies punt Stelling 9: DA B = C Rede: ts raaklyn en koord Stelling 9 Omg: Indien DA B = C, dan is AD n raaklyn Rede: ts lyn en koord= in teenoorst sirkel segment Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

19 - 9 - Gevorderde Driehoeksmeetkunde Hierdie afdeling bestaan uit Pythagoras, eweredigheid van driehoeke en verdeling van driehoeke se sye. Stelling : Eweredige verdeling van sye Indien n lyn getrek word tussen twee sye sodat die lyn ewewydig is aan die derde sy, dan verdeel die lyn die sye, m.a.w. as BC DE, AB = AC. BD CE Rede: Lyn aan een sy van A Stelling omgekeerde: Indien n lyn twee sye van n driehoek eweredig verdeel, dan gaan die lyn ewewydig wees aan die derde sy van die driehoek, m.a.w. as AB = AC, BC DE. BD CE Reded: Lyn verdeel sye van eweredig A B C B C D E D E Stelling Spesiale geval: Middelpunt stelling Indien die middelpunte van n driehoek verbind word dan gaan daai lyn ewewydig wees aan en die helfte wees van die derde sy, m.a.w. as AB = BD en AC = CE, BC DE en BC = DE. Rede: Lyn verbind middelpunte van driehoek A B C D E Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

20 - 0 - Stelling : Gelykhoekige driehoeke is eweredig Indien die ooreenkomstige hoeke van n driehoek gelyk is dan is die driehoeke gelykvormig, m.a.w. indien A = F and D = B, ADE // FBC. F Rede: OR HH A Stelling 3: Eweredige sye van driehoeke Indien twee driehoeke gelykvormig is, dan is daar n konstante verhouding tussen die ooreenkomstige sye, m.a.w indien ADE // FBC, AD = AE = DE. FB FC BC Rede: Gelykvormigheid F A B C B C D E D E Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

21 Analitiese meetkunde - - Hier volg die basiese formules wat ons gaan gebruik: Afstand: AB = ( x y x ) + ( y ) Middelpunt: x + x y + y M = ; OF x + x x M = en y + y y M = Gradient: Om die gradient te vind is daar 4 verskillende metodes: y y. Twee koördinate: m = x x. Parallelle lyne: 3. Loodregte lyne: m m = 4. Inklinasie hoek: m = m m = tan Vergelyking van n reguit lyn Formule: y y = m x ) waar x ; ) n koördinaat of die reguitlyn is ( x ( y Inklinasie hoek Formule: m = tan indien m negatief is dan moet jy onthou θ = 80 verwysings Baie belangrik om te onthou is dat jy Graad 8-0 meetkunde moet kan ken om sekere hoeke te vind. Sirkels: Formule: ( x a) ( y b) = r met die middelpunt by (a; b) Daar is spesiale lyne waarvan jy die vergelyking moet kan kry:. Hoogte lyne n lyn vanaf een hoek van n driehoek loodreg op die teenoorstaande sy a. Hier gebruik ons die formule vir loodregte lyne om die gradient van die hoogtelyn te bereken b. Daarna bereken ons die vergelyking van die reguitlyn deur n punt op die lyn te gebruik. Mediaan/Swaartelyn lyn uit n hoek wat die teenoorstaande sy halveer a. Vind die middelpunt van die oorstaande sy b. Bereken die gradient tussen die middelpunt en die hoek waar hy oorsprong c. Gebruik die formule en n punt op die lyn om sy vergelyking te bereken Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

22 Middelloodlyn ENIGE lyn wat n sy halveer en loodreg is op daardie sy a. Vind die middelpunt van die halveerde sy b. Bereken die gradient van daardie sy c. Gebruik die formule vir loodregte lyne om die gradient van die lyn te bereken d. Bereken die vergelyking van die reguitlyn deur n punt op die lyn te gebruik 4. Raaklyne aan sirkel a. Bereken die gradient van die radius b. Gebruik die formule vir loodregte lyne om die gradient van die lyn te bereken c. Vind die vergelyking van die raaklyne Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

23 Statistiek Definisie: Die kuns om sin uit syfers te maak. Basiese maatstawe wat gebruik word: Individuele statistieke Individuele statistieke is waar elke nommer gegee is. Gemiddeld Die gemiddelde getal wat verkry is. Formule: x x = n of wanneer gewerk word met frekwensies(f) fx x = n Mediaan: Die middelste getal. n + Formule: -de getal Modus: Die mees gewildste getal. Omvang(Variasiewydte): Die wydte van die populasie. Formule: Maximum minimum Onderste kwartiel(q) Die getal op n kwart van die totale populasie. n + Formule: -de getal 4 Boonste kwartiel(q3) Die getal op drie-kwart van die populasie. 3 (n + ) Formule: -de getal 4 Inter-Kwartiel Omvang(IKO) Die wydte tussen die boonste en onderste kwartiel. Formule: IKO = Q 3 Q Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

24 Variansie: Die kwadraat van die gemiddeld getal waarmee die getalle van die gemiddeld verskil. Formule: x x ( ) = n f x x ( ) = n of indien jy werk met frekwensies(f): Standaard afwyking: Die werklike getal waarmee n getal gemiddeld van die gemiddeld varieer. Formule: = Variansie = Die beste manier om variansie/standaard afwyking te kry is deur die volgende tabel te voltooi: Nommer Frekwensie (x) (f ) x x () () ()- x =(3) ( x x) ((3)) =(4) f ( x x) ( 4) ( ) Intervalle: Die getalle is nou in intervalle gegee nie meer as individu nie, maar is gegroepeer in intervalle. Al die bogenoemde bly dieselfde, maar in plaas van dat x die waarde van n spesifieke getal, word x nou die middelwaarde van die interval: Klasmiddelwaarde beginwaard e + eindwaarde Formule: Klasmiddelwaarde= Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

25 Funksies, relasies en inverses - Oefeninge. Skets die volgende grafieke: a. y = 3x x 5 b. y = x c. y = 3x x d. y = x x e. y = In die meegaande figuur word f(x) vir jou gegee f ( x) = x 6x 4 a. Herskryf f in die vorm y = a( x p) + q b. Bewys dat f (x) 5 vir alle waardes van x 3. Die skets gee vir jou die grafieke van f en g waar f ( x) = x x 3 en g ( x) = 4x 6 en PQ y as. Bereken: a. Die lengte van AB b. Die koordinaat van C c. Vir watter waardes van x is f(x)>0? d. Die vergelyking van e. Teken f g f. Die vergelyking van f g. Die maksimum lengte van PQ 4. Vind die inverse van a. f ( x) = 3x b. x f ( x) = x x+ 5. Gegeef ( x) = 4.. Bereken die volgende: a. X-afsnit b. Y-afsnit c. Vergelyking van die assimptoot d. f(-) e. Teken die skets van f f. Gee die vergelyking van g(x) indien g f is wat eenhede regs geskuif is 6. Die volgende skets verteenwoordig die grafiek x vanf ( x) = a ; g is die refleksie van f in die y-as en h, die refleksie van g in die x- as a. Bereken die waarde van a. b. Skryf die vergelykings van f en g neer. c. Vind die vegelyking van f (x) in die form y= d. Teken n skets van f (x) e. Wat is die waardeversameling van f (x) Sarel van Greunen

26 7. Gegee is die grafieke van f(x) en g(x) met f ( x) = x x + 3 en g ( x) = + q x p a. Bereken die waardes van p en q b. Vervolgens, of andersins, bereken die koordinaat van E 8. Vind die vergelykings van f(x) en g(x) Gegee: f ( x) = tanx en g( x) = sinx a. Teken f and g for x 80 ; 90 b. Vir watter waardes van x is beide f en g toenemend x 90 ; 90 vir. Die grafieke verteenwoordig: f ( x) = a sinbx en g( x) = d coscx a. Vind die waardes van a, b, c en d b. Skryf waardes van x neer waarvoor sin x cos3x = 0 3 c. Wat is die periode van g? d. Vir watter negatiewe waardes van x sal g(x) afneem soos wat x toeneem?. Die diagram hieronder wys die prentjie van n pyl-en-boog: 9. Gegee: h ( x) = cos( x + 30 ) en g( x) = sin x a. Bereken sonder n sakrekenaar die algemene oplossing van h(x) = g(x) x 0 ; 80 b. Teken n skets van h en g vir alle Die prentjie word op die assestelsel geskets. Die skets wys A(3; 0), B(7; 0) en E(6; 6) met CD AB. Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

27 - 7 - a. Bepaal die vergelyking van die parabool. b. Bepaal die vergelyking van AD as die gradient - is. c. Vervolgens bepaal die lengte van CD. d. Die pyl sal n paraboliese pad volg met n maksimum by die punt waar dit laat gaan is. Die vergelyking van die pad wat gevolg word is f(x) = 50 (x 00); 0 x 0. Skryf neer die vergelyking van f (x) en gee die definisieversameling van f. a. Is k n funksie? Indien nie, hoe kan k beperk word sodat k nie n funksie is nie. b. Bepaal die definisieversameling van k. Rye en Reekse - Oefeninge. 5; x; y vorm n rekenkundige ry en x; y; 8 is n meetkundige ry. Indien alle terme van die reeks heelgetalle is Bereken die waardes van x en y. Die som van n meetkundige reeks is 00 maal sy eerste term, terwyl die laaste term 9 keer die eerste term is. Vind die aantal terme is die reeks, indien die eerste term nie nul mag wees nie 3. Bereken die waarde van n indien: 3. Die skets hieronder wys k(x) wat gevorm is deur n parabool en n reguitlyn. Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4 n k = k 3 = 09

28 4. Die eerste term van n meetkundige reeks is 3 en die som van die eerste 4 terme is 5 maal die som van die eerste terme. Die gemene verhouding is groter as. Bereken: a. Die eerste 3 terme van die ry b. Die waarde van n waarvoor die som 765 is 5. Die som van die eerste 50 terme van n rekenkundige ry is 75. Bereken die som van die 5ste en die 6ste terme van die reeks. 6. Die som van die eerste n-terme van n rekenkundige reeks is: 3n n S n = a. Bereken S 0 b. Vind die waarde van T r, waar reeks is 0 r = 5 T r die r-de term van 7. Die som van die eerste en tweede term van n oneidigende meetkundige reeks is. Die som tot oneindig is 36 en die gemene verhouding is r. Vind alle moontlike waardes van r. 8. Die eerste terme van n rekenkundige reeks is: x+3 en x 9 a. Bepaal vir watter waardes van x sal die reeks konvergeer b. Bepaal die waarde van x sodat die som tot oneindig 3 is n Bal val van n hoogte van 0m; dit hop 6m en hou aan om elke keer 3 5 van sy vorige hoogte te hop. Bepaal na hoeveel kere se hop gaan sy hoogte minder as cm wees 0. n Fiksheids toets vereis dat n atleet herhaaldelik 0m op n slag hardloop, Hulle voltooi die afstand 5 keer in die eerste min, 6 keer in die tweede min, 7 keer in die derde min, ens. Bepaal na hoevel minute gaan die atleet 00m gehardloop het.. Skryf die volgende twee terme uit en bereken die algemene term(tn) van die volgende reekse: a. 3; ; 35; 5; b. 00; 80; 58; 34;. Indien ;3;;5;;7;. n ry vorm. Beantwoord die volgende vrae: a. Skry die volgende 3 terme neer b. Bepaal die 43ste term c. Bereken die som van die eerste 40 terme Differensiasie - Oefeninge. Bereken f (x) vanuit Eerste beginsels a. f ( x) = x 6x b. f ( x) = x Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

29 . Vind dy : dx a. y = ( x) 3x x 5 b. y = x c. xy 5 = x d. y = x 4 x + t 3. Gegee: x 0 g( x) = x en x 5 h ( x) = ( x 5 + 5x )( x 5x ) Bereken: a. g '( x) b. h '( x) c. d [ g( x) + h( x)] dx 3 4. Gegee: f ( x) = x 3 + 3x 4 a. Bereken die x en y afsnitte b. Vind die coordinate van die draaipunte c. Teken f(x) d. Vir watter waardes van x gaan f toeneem? e. Wat is die maksimum waarde van x 3 + 3x 4 indien 0 x 3 f. Hoeveel oplossings het f(x)= -5? C ( x) = 0 + 5x x Bereken teen watter tempo die koste by die 00ste hemp verander. 6. Daar is 40 vrugtebome in n vrugteboord. Die gemiddeld inkomste per boom in n seisoen, is 580 vrugte. Die boer bereken dat met elke ekstra boom wat hy plant in die boord, neem sy inkomste af met 0 vrugte. Indien die aantal ekstra bome x is en die totale inkomste N, dan is: N = ( 40 + x)( 580 0x) Bereken hoeveel extra bome geplant moet word sodat inkomste n maksimum sal wees 7. Indien vir jou gegee word: f(x) = x 3 x +. Bereken die volgende: a. Afsnitte met die asse b. Stasionere punte c. Punt van infleksie(buigpunt) d. Skets die grafiek 8. Herhaal vraag 7 met die volgende funksies: a. y = x 3 3x + b. f(x) = x + x 3 x c. g(x) = x 3 + 6x 4 d. h(x) = x 3 + x 5x n Klere produsent skat dat die koste(in Rand) om x hemde te vervaardig deur die funksie gegee word Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

30 Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

31 Eksponente en Logaritmes - Oefeninge. Vereenvoudig: a. b. c. 4 5, + log x 6x d. 3log 40 log 5 e. log 3. log m f. 36 m 9 x x x x p g. p+ p. 3 x x p 3. Indien log 5 = a, skryf log 0 in terme van a 3. Gegee: 5 n = x and n = log y a. Skryf y in terme van n b. Druk log 4y uit in terme van n c. Bereken 8 50 n+ 4. Los op vir x: a. 3 x + 3 x+ = in terme van x en y b. x+ x 3. + = 0 c.. 3 = 0 3 d. 3x 4 4 = 0 x+ x e = 5 Finansiele Wiskunde - Oefeninge. Jy wil R 5000 verdubbel teen n rentekoers van % p.j. maandeliks saamgestel. Beantwoord die volgende vrae: a. Wat is die effektiewe rentekoers vir die belegging? b. Hoe lank gaan dit hom neem om die belegging reg te kry?. Teen watter rentekoers p.j., maandeliks saamgestel, moet ek geld bele om dit te verdubbel in 4 jaar se tyd? 3. Jy bele R vir 5 effektiewe rentekoers van 0,8% p.j. Bereken die volgende: a. Die maandeliks saamgestelde nominale rentekoers b. Watter bedrag ek moet bele om dieselfde bedrag te kry indien die nominale rentekoers verlaag word na 9% pj, kwartaalliks saamgestel? 4. Wat is n beter beleggingsopsie, 9% pj maandeliks saamgestel of 9,3% pj kwartaalliks saamgestel? 5. Om n kamera oor 5 jaar te kan bekostig moet jy R kan neersit. Wat is jou maandelikse paaiement indien jy die Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

32 kamera wil koop oor 5 jaar? Die rente wat FNB jou bied is 7,% maandeliks saamgestel. 6. n Basiese kar kos jou nou R Die kar gaan R oor 3 jaar kos. Marknorm vir waardevermindering op die kar is 5% pj op verminderende saldo metode. Beantwoord die volgende vrae: a. Wat gaan die boekwaarde wees na 3 jaar? b. Bereken die inflasiekoers wat van toepassing is op die kar c. Jy wil graag die kar vervang oor 3 jaar, so jy stig n delgingsfonds om die verskil in te betaal. Die bank bied jou 6,6% p.j. maandeliks saamgestel vir jou paaiemente. Watter bedrag moet jy maandeliks in betaal sodat jy die delgingsfonds kan stig? 7. n Chevrolet Aveo is nou beskikbaar vir jou om te koop. Die kar gaan R oor 4 jaar werd wees. Marknorm vir waardevermindering op die kar is 0% pj op verminderende saldo metode en inflasie is gemiddeld 5% p.j.. Beantwoord die volgende vrae: a. Bereken die aankoop waarde b. Wat is die vervangings waarde van die kar? c. Jy wil graag die kar vervang oor 4 jaar, so jy stig n delgingsfonds om die verskil in te betaal. Die bank bied jou 8,4% p.j. maandeliks saamgestel vir jou paaiemente. Watter bedrag moet jy maandeliks in betaal sodat jy die delgingsfonds kan stig? Hoeveel jaar gaan jy moet spaar indien jy R 550 pm in n annuiteit 0% p.j. maandeliks saamgestel? 9. Jy wil n huis koop van R en die huidige rentekoers is % p.j. maandeliks saamgestel en die lening oor n tydperk van 0 jaar terugbetaal. Beantwoord die volgende vrae: a. Bereken die maandelikse paaiemente b. Balans uitstaande na jaar c. Hoe lank gaan dit jou neem om die lening afbetaal indien jy R 700 p.m. ekstra betaal? 0. Op die stadium van jou lewe kan jy slegs R p.m. betaal op n huis. Die bank leningskoers is 3 % p.j. maandeliks saamgestel. Gaan jy n huis van R kan bekostig indien jy oor n tyd van 0 jaar die lening wil afbetaal?. n Woonstel is in die mark vir R 4500 p.m. en die huidige rentekoers is 0,4% p.j. maandeliks saamgestel en die lening oor n tydperk van 0 jaar terugbetaal. Beantwoord die volgende vrae: a. Bereken die huis se aankoopprys b. Balans uitstaande na 9 jaar Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

33 Trigonometrie - Oefeninge. Vereenvoudig: a. tan( 40 ).cos56.cos 94 sin49 b. cos( 70 ) indien + = 90 sin ( 80 + ).cos( 90 ) c. d. e. cos( 90 ).sin( 80 cos( 70 + ) ) + sin( 90 ) tan( 07 ) sin ( x 360 ) tan333 cos(80 x).sin( x 90 ) cos( 585 sin( + 45 ) ).sin( 90. Indien cos 6 = p, druk die volgende uit in terme van p: a. b. c. sin 09 sin( 4 ) cos ) Los op vir x, vind die algemene oplossings: a. sin x + 3 = 0 sinx b. sin x sinx + 3cosx = 6cos x c. cos 54.cosx + sin54 sinx = sinx 5. In the diagram RT is die hoogte van n vertikale toring, met T die voet van die toring. A en B is punte wat ewe vêr van T en hulle lê op dieselfde vlak Die hoogte van die toring is h. Die dieptehoek na B vanaf R is. RBA ˆ = a. Gee die grootte van AR ˆ B in terme van b. Toon aan dat AB = hcos sin c. Bereken h as AB=5,4 eenh, = 5 en = Bewys die volgende identiteite en gee die waardes waar hulle ongedefinieerd is a. b. c. cos x+ = sin x.tan x tan x +cos A tan A = cos A tan A sin x+sin x +cos x+cos x = tan x Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

34 Euklidiese Meetkunde Oefeninge Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

35 Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

36 Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4

37 Analitiese Meetkunde - Oefeninge In die diagram het ons P(-9 ; ), Q(9 ; 9) en R(-3 ; -9) die hoekpunte van PQR. N(a ; b) is n koordinaat in die tweede kwadrant Bereken: a. Gradient van PQ b. Grootte van Qˆ c. Koordinaat van M, die middelpunt van QR d. Vergelyking van die swaartelyn PM e. Die koordinaat van N as P,N en M ko-lineer is en QN = eenh 5 5. Die diagram wys TQR, waar Q(-3 ; 3) en R( ; -3). M(3 ; 3) is die middelpunt van RT a. Bereken: i. Lengte van TR ii. Rˆ b. Vind die volgende: i. Vergelyking van die mediaan vanaf T na RQ ii. Vervolgens, of andersins, bereken die punt van snyding van die mediane van TQR c. Vind die vergelyking van die middelloodlyn van RQ Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4 3. Die vergelyking van n sirkel is: x + y 4x 6y = 0 Bereken die volgende: a. Die koordinaat van die middelpunt en die radius van die sirkel b. Die vergelyking van die raaklyn aan die sirkel by T(5 ; - ). 4. Die meegaande sirkel is C(;) en A(0;4): Bereken: a. Vergelyking van sirkel b. Vergelyking van BA c. Hoekgrootte van 5. In die skets is A( ; 3) en B(- ; 6) wat op die sirkel met middelpunt M(c ; d), lê. M is ook op die lyn met vergelyking x+5y+=0 Bepaal die koordinaat van M

38 Statistiek - Oefeninge. Ouderdom van 40 mense: a. Voltooi die tabel: Interval Telling Frekwensie Kumulatiewe Frekwensie b. Teken n ogief vir die data c. Gebruik die letters A en B en dui die onderste kwartiel en die mediaan aan d. Bereken die gemiddeld en standaard afwyking van die gegroepeerde data b. Modus c. Mediaan d. Q en Q3 e. Omvang f. IKO g. Standaard afwyking h. Uiskieters i. Teken a houer-en-puntstipping j. Lewer kommentaar oor die vorm van die data k. Watter van die sentrale maatstawwe is mees van pas? Motiveer jou antwoord 3. Vir die volgende getalle bereken die variansie en standaardafwyking deur die tabel in te vul: Number(x) x x (x x ) Die volgende is die aantal albasters van sekere kinders op die speelgrond: Bereken: a. Gemiddeld Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4 (x x ) =

39 Gegee die volgende twee kinders se punte: a b i. Watter een van die kinders het die beste gemiddeld? ii. Watter kind is meer bestendig in sy punte? iii. Indien jy n stabiele kandidaat soek, wie gaan jy kies en waarom? Sarel van Greunen Matriek Hersiening 08/06/4