Gr 9 Wiskunde: Inhoudsarea 2 Patrone, Algebra & Grafieke

Transcriptie

1 Gr 9 Wiskunde: Inhoudsarea Patrone, Algebra & Grafieke VRAE Patrone Meestal vorige ANA eksameninhoud Algebraïese Uitdrukkings Faktorisering Algebraïese Vergelkings Grafieke

2 Vrae: Patrone PATRONE ( Antwoorde op blads A) Leerders se algemeenste swakpunt wanneer hulle met patrone werk, is die bepaling van die algemene term. Wat is 'die algemene term (of reël)'? Die algemene term (of reël) van 'n r gee vir ons die waarde van enige term indien ons weet wat die posisie daarvan is. bv. As die 'algemene term' van 'n r n is, sê ons dat: die n de term n is Dus: die ste term is () die de term is () die de term is () 6 & die 0 ste term is (0) 80 Let wel: n is die posisie van die term n? 0 n OMGEKEERD: As die term, T n 0 is, wat sal n wees? d.w.s. Watter term se waarde is 0? T n Die ste term! Dus is, n. In TABELVORM: n? 0 n 0? 0 is die ste term Die 0 ste term is 80 Soos ons sien, kan enige term 'gegenereer' word. 6? 0 Die Vrae. Die volgende getal in die r ; 9 ; ;... is A B 6 C 9 D 0 (). Die twee ontbrekende getalle in die onderstaande r 8 ; 6 ; ; 7 ; ; 08 is A 8 en 7 B en 78 C en 90 D en 8 (). Watter getal ontbreek in die r? ; ; ;... ; 6 A C 8 B D 0. Watter getal ontbreek in die getaller? ;... ; A 6 C 9 ;. Die volgende term in die r ; 6 ; ; 8;... is ; 8 B D 8 0 A B C 6 D 7 () () () Leer die algemene term ken en verstaan.... Skrf die ste terme van 'n r neer, indien die algemene term: a) n b) n c) n + d) n e) n f) n is. (8). Skrf die de term vir elke geval in Vraag. neer. (6). Gebruik die tabel om die vrae wat volg te beantwoord: a b. Skrf die verwantskap tussen en neer. (). Skrf die waardes van a en b neer. (). Bestudeer die gegewe getaller en beantwoord die vrae wat volg: ; 0 ; 7 ; ; ;.... Bepaal die konstante verskil tussen die opeenvolgende terme in die getaller. (). Skrf die volgende twee terme in die r neer. (). Skrf die algemene term van die r neer. () V

3 Vrae: Patrone. Voltooi die onderstaande tabel: Posisie in patroon 'n Teëlaar gebruik wit en swart teëls om die onderstaande patrone te vorm: Term 8 7. Skrf die algemene term T n van die bostaande getalpatroon neer. (). As T n, bepaal die waarde van n. () 6. Skrf die volgende TWEE terme in die getaller 7 ; ; ;... neer. () 6. Skrf die algemene term, T n, van die bostaande getaller neer. T n () 6. Bereken die waarde van die 0 ste term. () 7. Skrf die volgende twee terme in die gegewe r neer: ; 8 ; ; ; () 7. Beskrf die patroon in Vraag 7. in jou eie woorde. () 7. Skrf die algemene term van die gegewe r in die vorm T n neer. () 7. Watter term in die r is gelk aan 8? () () Figuur Figuur Figuur 8. Bestudeer die diagrampatroon hierbo en voltooi die tabel. Figuur Aantal se 9 8. Beskrf die patroon in jou eie woorde. () 8. Skrf die algemene term van die patroon in die vorm, T n neer. () 9. Vuurhoutjies word gerangskik soos hieronder aangetoon. Figuur Figuur Figuur 9. Bereken die hoeveelheid vuurhoutjies in die volgende figuur as die patroon herhaal word. () 9. Skrf die algemene term van die gegewe r van die vuurhoutjies in die vorm T n neer. () 9. Bepaal die aantal vuurhoutjies in die 0 ste figuur. () () Figuur Figuur Figuur 0. Bestudeer die bostaande diagrampatroon en voltooi die tabel. Figuur Aantal swart teëls Aantal wit teëls 6 0. Skrf die algemene term, T n, van die getaller wat gevorm word deur die wit teëls, neer. (). Natuurlike getalle word gerangskik soos hieronder aangetoon Bepaal die eerste getal in die 0 ste r as die patroon nog 7 keer herhaal word. () Vir verdere oefening in hierdie onderwerp sien Die Antwoord-reeks Gr 9 Wiskunde in op bl.. () V

4 Vrae: Algebraïese Uitdrukkings ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS ( Antwoorde op blads A) Terminologie. Gegee die uitdrukking 7 8. Optel, Aftrek, Vermenigvuldig en Deel. Beantwoord die volgende vrae:. Tel b a c en a b + c op. (). Vermenigvuldig met. (). Deel 8a + 6a a deur a. ().0.. % ( + ) + () () () a a. Skrf die koeffisiënt van neer. (). Skrf die konstante term neer. (). Skrf die uitdrukking in dalende magte van. (). Skrf die eksponent in die term neer. (). Bereken die waarde van die uitdrukking 7 8 as.. Gegee die uitdrukking: + Omkring die letter van die verkeerde bewering. A Die uitdrukking bestaan uit terme. B Die koëffisiënt van is. C Die koëffisiënt van is. D Die uitdrukking bevat veranderlikes. () Substitusie. Bereken die waarde van as. (). Bereken die waarde van as + as. (). Bepaal die waarde van ac b as a, b en c. ( ). Bereken die waarde van as en. () (). Vereenvoudig ()() + ( ) (). Vermenigvuldig m mn + n met m n ().6 Trek ab af van ab.. Vereenvoudig:. () + (). () % (). (a b ). ab (). () Breuke (+,, %, ) a 8 a a b ac 6 + % a bc 0b + () () () () ( ) a b ab 0a b 7 b a a b ab a b b a 9a b () () () () 7 + () 6 6 % 7 Vierkantswortels en derdemagswortels () () 6 6 () 7 7 () 6a + 9a () V

5 LW: %... met homself vermenigvuldig! Dus is: Dus: En: Dus : BESTUDEER HIERDIE PRODUKTE OOR EN OOR ( + ) ( + )( + ) ( + ) is nie gelk aan + nie ( ) ( )( ) + + ( ) is nie gelk aan nie En, uiteindelik ( + )( ) +... die verskil van vierkante! 6. Bepaal die volgende produkte en vereenvoudig indien nodig: 6. ab(a b + ab ) () 6. a bc (a b c) () 6. ( + )( + ) () 6. ( )( ) () 6. ( + 7)( ) () 6.6 ( )( + ) () 6.7 ( + ) ( )( ) () 6.8 ( ) ( + ) () 6.9 ( ) ( + )( ) () 6.0 ( + ) ( )( + ) () 7. Voltooi die volgende produkte: 7. ( + ) ( + )( + ) (p ) (p )(p ) (a + ) ( ) ( + )( ) (p )(p + ) (a + )(a ) ( )( + ) ( + )( + ) ( )( ) ( + )( ) ( )( + )... () V Vrae: Algebraïese Uitdrukkings 8. Die waarde van ( ) as is... A 6 B C 6 D () 8. Die KGV van a en 60a is A 60a B 0a C 60a D 00a 6 () A C A C B D + 9 B + 9 D Vir verdere oefening in hierdie onderwerp sien Die Antwoord-reeks Gr 9 Wiskunde in op bl..8 &.0 () 9 ()

6 Vrae: Faktorisering FAKTORISERING ( Antwoorde op blads A7). Drieterme TERME Faktoriseer die volgende drieterme:. a + 8a + 6 (a....)(a....) ( ) BESTUDEER HIERDIE ONDERWERP BAIE GOED! Voltooi die produkte: Volkome vierkante Volkome Vierkant DRIETERME. p 0p + (p....)(p....) ( ) (....)(....). Gemene Faktor ab + ac a(b + c) WANT: a(b + c) ab + ac... omgekeerd Faktoriseer:. 8p + p. 0t t (). 9 + LET WEL Om te faktoriseer (). p + is om 'n produk (). ( + ) + a( + ) om te keer! ().6 ( + ) t( + ) ().7 t t + () 'n uitdagende vraag. Verskil van Vierkante ( + )( ) WANT: ( + )( )... omgekeerd Faktoriseer: Toets altd eers hiervoor!. TERME (). (). 8 00a Onthou: (). 9p 6q Toets altd eers vir 'n Gemene Faktor! (). 7 8 () () ( + ) ( + )( + ) & ( ) ( )( ) â & (a + b) (a + b)(a + b) a b a b & (a b) (a + b)(a + b) a b a b â a + ab + b & a ab + b Ander produkte DRIETERME ( + )( + ) ( )( ) ( + )( ) ( )( + ) Bestudeer die resultate hierbo om die faktorisering van drieterme goed te verstaan (....)(....). + 6 (....)(....).6 6 (....)(....) (....)(....) (....)(....) (....)(....) (....)(....) (....)(....) (....)(....). + 8 (....)(....). 8 (....)(....) LET WEL Om te faktoriseer is om 'n produk om te keer! (8) V

7 Vrae: Faktorisering Faktoriseer volledig: Gemengde Faktorisering NOTAS. a 9a 6a () Toets altd eers. a 8a + 6 vir 'n gemene faktor () Maak dan seker dat. (a + b) (a + b) die faktorisering volledig is. (). 6 (a b) + (b a) (). 6a a + 8a () Gebruik faktorisering om die volgende breuke te vereenvoudig. + ().. 8 a 6b b a () (). 8 % (). + () Vir verdere oefening in hierdie onderwerp sien Die Antwoord-reeks Gr 9 Wiskunde in op bl..0 V6

8 Vrae: Algebraïese Vergelkings ALGEBRAÏESE VERGELYKINGS (Lineêr en Kwadraties) (Antwoorde op blads A9). As 'n wortel van die vergelking + + t 0 is, is die waarde van t... A B C D. Bereken die waarde van p as p + 8. A B C 8 D (). As ( )( + ) 0, dan is A of 0 B of C D (). As 6, dan is A 9 B C 9 D () 'n 'Wortel' van 'n vergelking is ' die oplossing' van die vergelking. ( ). Die produk van 'n getal en 6, verminder met, is gelk aan 0. Watter van die volgende vergelkings pas b die bewering? A B 6 0 C 6( + ) 0 D 6 0 (). Los op vir in die volgende LINEÊRE vergelkings (d.w.s. bepaal die waarde van wat die vergelking waar maak).. + (). Hierdie voorbeelde kan (). deur inspeksie (). 6 gedoen word. (). Los op vir :. (). ( + ) 0 (). 8 + (). ( + 6) (). + 6 ().6 + () V7 Vergelkings insluitend breuke. Los op vir : ( ) - 0 () + - ( ) () + -. () 6 Kwadratiese Vergelkings. Los op vir :. ( )( + ) 0 (). 6 0 (). 0 (). 0 () 6. Los op vir : 6. ( ) ( )( ) () 6. ( ) + ( + ) () 6. ( ) 6 (6) Ander Los op vir : Vir verdere oefening in hierdie onderwerp sien Die Antwoord-reeks Gr 9 Wiskunde in op bl.. &. ()()

9 Vrae: Grafieke GRAFIEKE ( Antwoorde op blads A). Die grafiek van die reguitln gedefinieer deur f() + is. 6 d. Bepaal die koördinate van P in die grafiek hieronder. P O A f B f O Die gradiënt van die bostaande ln is. Wat is die waarde van d? () A B. Gebruik die gegewe vergelking om elk van die volgende tabelle te voltooi. f C D f C 6 D 9 (). Wat is die -afsnit van die grafiek wat gedefinieer word deur die vergelking +?. 0 (). () A B C 6 0 () D (). As T 'n punt is op die ln gedefinieer deur, dan is die koördinate van T... A (; ) B (; 0) C (; ) D (; ) (). Die reguitlngrafiek gedefinieer deur sal die as sn b die punt A ( ; 0) B ( ; 0) C ( ; 0) D ( ; 0) () V8

10 Vrae: Grafieke. Teken die grafieke gedefinieer deur en + op dieselfde assestelsel op die rooster hieronder. Benoem elke grafiek en dui die punte waar die grafieke die asse sn, duidelik aan.. Wat is die verwantskap tussen die lne wat j geteken het? (). Skrf die definiërende vergelking van elk van die volgende reguitlngrafieke neer. A B 6 O O 6 6 (6) 6. Bestudeer die onderstaande grafiek. O 6. Gebruik die grafiek om die gradiënt van die reguitln te bereken. () 6. Bepaal die vergelking van die reguitln. () 6. Skrf die gradiënt neer van enige ander reguitln wat parallel aan die gegewe ln getrek kan word. () 7. Gebruik die grafiek hieronder om die vrae wat volg te beantwoord. O 7. Skrf die koördinate van punte A, B en C in die tabel neer. koördinaat koördinaat A B A B C 7. Gebruik die tabel in Vraag 7. of enige ander metode om die vergelking van ln ABC te bepaal. () C () 6 C D (). Wat kan j aflei van lne AD en BC? Gee 'n rede vir jou antwoord. () V9

11 8. Bestudeer die reguitlngrafieke hieronder en beantwoord die vrae wat volg. Voltooi: A O 8. Die vergelking van die ln CD is () C D E B 9. Onderstreep die woord of die getal of die vergelking tussen hakies sodat elkeen van die volgende stellings korrek is. 9. Die lne en is (parallel aan/loodreg op) mekaar. () 9. Die vergelking van die horisontale ln deur die punt P(; ) is ( / ). () 9. Die gradiënt van die ln gedefinieer deur + 0 is gelk aan ( / ). () 9. Die grafiek van f hieronder stel 'n (lineêre/nie-lineêre) funksie voor. f () Vrae: Grafieke 0. Trek die grafieke wat gedefinieer word deur + en op die gegewe rooster. Benoem elke grafiek en dui die punte waar elke grafiek die as en die as sn, duidelik aan. (6) O 8. Die vergelking van die ln AB is () 8. As DE, is die koördinate van E () 0. Wat is die verwantskap tussen die lne wat j getrek het? () 8. Die lengte van CE is () V0

12 Vrae: Grafieke. Gebruik die rooster hieronder om die vrae wat volg te beantwoord.. Teken die grafieke gedefinieer deur + en op die gegewe assestelsel. Benoem elke grafiek en dui die punte waar die lne die asse sn, duidelik aan.. Teken en benoem die grafieke gedefinieer deur + en op dieselfde assestelsel. Gebruik die gegewe rooster en dui die punte waar die lne die asse sn, duidelik aan. NOTAS O O (8). Skrf die koördinate van die punt waar die twee lne mekaar sn, neer. () (6). Die lne sn b T. Toon deur berekening dat die koördinate van T en of (; ) is. () Vir verdere oefening in hierdie onderwerp sien Die Antwoord-reeks Gr 9 Wiskunde in op bl.. V

13 Gr 9 Wiskunde: Inhoudsarea Patrone, Algebra & Grafieke ANTWOORDE Patrone Algebraïese Uitdrukkings Faktorisering Algebraïese Vergelkings Grafieke

14 Antwoorde: Patrone PATRONE. C... ; ; ; 7. C... 8 ; 6 ; ; 7 ; 90. A... 0 ; ; ; ;. A... ; 6 ; ; ; 8. D... + ; + ; + ; + ; +. a) T () 6 b) T () 60 c) T () + 7 d) T () 8 e) T () f) T () 78.. a % b % 0. Posisie in patroon Term T n n. As T n, dan is n % % 8 % 8 % a) T n n: ; 6 ; 9... () ; () ; () b) T n n: ; 0 ;... () ; () ; () c) T n n + : ; 7 ; 0... () + ; () + ; () + d) T n n : ; 8 ;... () ; () ; () e) T n n : ; ; 9... () ; () ; () f) T n n : ; 8 ; 7... () ; () ; (). Die konstante verskil 7. ; 0 ; 7 ; ; ; 8 ;. Die konstante verskil is 7... sien Vraag. Skrf dus die veelvoude van 7 neer... waar T n 7n: 7 ; ; ; 8 ; ;... en vergelk die gegewe r: ; 0 ; 7 ; ; ;... Elke term is minder as die veelvoude van 7. â T n 7n A 6. 7 ; ; ; 9 ; 6. Die algemene verskil is Vergelk dus die veelvoude van... waar T n n: ; 8 ; ; 6 ;... met die gegewe r: 7 ; ; ; 9 ;... Elke term is meer as die veelvoude van â T n n ; ; ; 9 ; 6. T 0 (0) + 0

15 Antwoorde: Patrone 7. ; 8 ; ; 8 ; 7. Elke term is meer as die vorige term 7. Vergelk T n n : ; 0 ; ;... to : ; 8 ; ;... Elke term is minder as die veelvoude van â T n n 7. 8 is minder as 0 ; 0 8 â 8 is die 8 ste term OF: Los die vergelking op: n 8... die n de term 8 Tel b: â n 0 Deel deur : n 8 â Die 8 ste term 9. Figuur Aantal vuurhoutjies Aantal vuurhoutjies in Figuur 9. T n n ; 9 ; 9. T 0 (0) + 6 vuurhoutjies & elke term is meer as die veelvoude van 0. Figuur Aantal swart teëls Aantal wit teëls NOTAS 8. Figuur Aantal se T n n ; 0 ; ; 8 & elke term is meer as die veelvoude van 8. Elke figuur het vier meer se as die vorige figuur T n n +... ; 9 ; ; 7 & elke term is meer as die veelvoude van. Kk na die patroon wat gevorm word deur die eerste getalle van elke reël: ; ; 9 ;... die vierkante! r ( ) r ( ) r ( ) â Die eerste getal in die 0 ste r sal 0 00 wees A

16 Antwoorde: Algebraïese Uitdrukkings ALGEBRAÏESE UITDRUKKINGS Terminologie die term met geen veranderlike nie : ( ) 7 8 ( ) ( )( ) 7 8 ( )( ) 7 8. B... is deel van die breuk -, wat ook as ( - ) geskrf kan word. â Die koëffisiënt van is. Die twee veranderlikes is en. Substitusie : ( ) ( ) + 9( ) + ( 8) () + 9( ) : ( ) ( ) ac b ( )( ) (-) () () ()( ) ( ) () ( 6) (9) + 9 wanneer mens met breuke werk, is dit nuttig om heelgetalle oor te skrf. Optel, Aftrek, Vermenigvuldig en Deel. (b a c) + (a b + c) OF: a + b c b a c + a b + c Tel op a b + c a + a + b b c + c a b + c a b + c. ( ) 0 +. Distributiewe Eienskap: a(b + c) ab + ac 8a + 6a - a a 8a a + 6a a a a + 8a a.... ()() + ( )... GELYKSOORTIGE TERME. m n(m mn + n) m n + 9m n 6 6m n Elke term in die teller moet deur a gedeel word.... Distributiewe Eienskap.6 ab ( ab) ab + ab... GELYKSOORTIGE TERME ab A

17 Antwoorde: Algebraïese Uitdrukkings. () +... () GELYKSOORTIGE TERME 9. () %... () % %. (a b ). ab a b 6. ab a b % % % % % % % %.7.8 a b ac ab c a c a bc Wanneer ons breuke vermenigvuldig, % 0b mag ons FAKTORE kanselleer. a c % LW: Verstaan die uitdrukking b a a b b a a b c % a c c 0 b b b GELYKSOORTIGE TERME LW: Verstaan die uitdrukking 6... en kanselleer daarna! ( - ) - ( - ) a a % a a... Moenie vermenigvuldig nie!... LW: Hakies!... Hou die noemer, 6! LW: Dit is slegs wanneer ons IN VERGELYKINGS met breuke werk (Blads V6, Vraag ), dat dit logies is om albei kante van die vergelking te vermenigvuldig! Breuke (+,, %, ) Wanneer ons breuke optel of aftrek, moet ons 'n gemene noemer bepaal ( + ) Dit is 'n uitdrukking: hou die waarde dieselfde; moet dit nie vermenigvuldig nie! Alle terme moet oor 'n gemene (dieselfde) noemer geskrf word GELYKSOORTIGE TERME.6 a a 8 a - 0a a LW: Hou die noemer! Moenie daarmee vermenigvuldig nie..0 - % + ( - ) ( + ) + + ( + ) % ( + ) ( ) a Vergelk met: b % b a b. a b ab 0a b 7 a % 7 0a b 9 a b A

18 Antwoorde: Algebraïese Uitdrukkings..6 b a a b ab a b (a b) ab a b a + b ab a b ab a b b a 9a b - 7a - - 9a b... Moenie vermenigvuldig nie!... LW: Hakies!... Hou die noemer, ab! Vierkantswortels en derdemagswortels â % â % 6 6 OF: 00 0 â â 6. ( + )( + ) ( )( ) ( + 7)( ) ab... a a - - & - a ( ) a b b ( )( + ) % % 7 ; 9 % 9 % ( + ) ( )( ) + ( ) Skrf al terme oor 'n gemene noemer, 6. Moenie vermenigvuldig (met 6) nie!. 6a + 9a... tel eers GELYKSOORTIGE TERME op a a LW: 6a + 9a a + a! + ( + ) + ( + ) % 6 7 % ab(a b + ab ) 0a b + 8a b ab 6. a bc (a b c) 9a bc a b c a bc Distributiewe Eienskap: a(b + c) ab + ac en a(b c) ab ac 6.8 ( ) ( + ) Volkome Vierkant Drieterm ( ) ( )( ) A

19 6.9 ( ) ( + )( ) ( )( ) ( ) Volkome Vierkant Drieterm Verskil van Vierkante 6.0 ( + ) ( )( + ) ( + )( + ) ( + ) ( + + ) ( + ) Volkome Vierkant Drieterm ( ) ( )( ) + + & ( + )( ) + ( + ) ( + )( + ) : Volkome Vierkant Drieterme 7. ( + ) ( + )( + ) (p ) (p )(p ) p p p + 9 p 6p (a + ) (a + )(a + ) a + 6a + 6a + 9 a + a ( ) ( )( ) : Verskil van Vierkante 7. ( + )( ) (p )(p + ) p + p p 9 p (a + )(a ) a 6a + 6a 9 a ( )( + ) Antwoorde: Algebraïese Uitdrukkings 7.9 ( + )( + ) ( )( ) ( + )( ) + 7. ( )( + ) B... ( ) (( ) ) () ( ) () + 8. C 8. D D... ( - )( + ) ( ) : Let op hoe die drieterm in elke geval verkr word.... Skrf die terme oor dieselfde noemer. ()... verskil van vierkante 9 9 A6

20 Antwoorde: Faktorisering FAKTORISERING. Gemene Faktor Toets elke antwoord deur terug te vermenigvuldig (na die begin). 8p + p. 0t t p (p + ) t(t ). 8 00a. 9p 6q (9 + 0a)(9 0a) 9(p q ) 9(p + q)(p q) ( ) 7( + )( ). Drieterme TERME Toets elke antwoord deur terug te vermenigvuldig (na die begin). a + 8a + 6 (a + )(a + ) (a + ). p 0p + (p )(p ) (p ) ( + )( + ) p + ( + ) (p + ). ( + ) + a( + ).6 ( + ) t( + ) ( + )( + a) ( + )( t).7 t t + (t t) ( -- ) t( ) ( ) ( )(t ) Let op hierdie PRODUKTE: Volkome Vierkante Volkome Vierkant DRIETERME ( + ) ( + )( + ) & ( ) ( )( ) â ( + ) & ( ) (a + b) (a + b)(a + b) a + ab + ab + b a + ab + b & (a b) (a b)(a b) a ab ab + b a ab + b. + 6 ( )( ) ( + )( ) ( )( + ) Verskil van vierkante Toets elke antwoord deur terug te vermenigvuldig (na die begin).. ( + )( ) ( ) ( + )( ) Vergelk Vraag. en Vraag.! In Vraag.: is nie 'n gemene faktor nie. In Vraag.: is 'n gemene faktor. â a + ab + b (a + b) & a ab + b (a b) Ander produkte DRIETERME ( + )( + ) ( )( ) ( + )( ) ( )( + ) Kk na die resultate hierbo om faktorisering van drieterme te verstaan ( 9)( ) ( + 9)( + ) ( 9)( + ) A7

21 Antwoorde: Faktorisering ( + 9)( ) Gemengde Faktorisering Toets elke antwoord deur terug te vermenigvuldig (na die begin) ( - ) ( - )( + )... GF... Drieterm ( + 6)( + ) ( 6)( ) ( + 6)( ) ( 6)( + ) a 9a 6a a(a a ).... a 8a + 6 (a 9a + 8) (a 6)(a ). (a + b) (a + b) (a + b)( )... (a + b)( + )( ). 6 (a b) + (b a) 6 (a b) (a b)... omruiling (a b)(6 )... (a b). (6 ) (a b)(6 ). 6a a + 8a 6a(a a + )... let wel: hierdie faktoriseer nie verder nie toets altd of j verder kan faktoriseer die 'nuwe' faktor kan verder faktoriseer let wel: hierdie faktoriseer nie verder nie.. + a 6b b a (a b) (b a) ( a b ) ( a b) 8 % ( ) % ( ) ( ) ( + )( ) ( ) ( + )... Gemene Faktore... b a (a b) Moenie afgeskrik word deur hoe hierdie breuke lk nie! Fokus net op faktorisering waar moontlik; kanselleer daarna die faktore waar moontlik. FAKTORISERING Daar is TIPES faktorisering: ❶ Gemene Faktor (GF): Probeer altd hierdie eerste! ❷ Verskil van Vierkante (VvV): terme ❸ Drieterme: terme HERKEN HIERDIE!. Gebruik faktorisering om die volgende breuke te vereenvoudig - + ( + )( - ) ( + ) -... VvV... GF ( + ) % ( - ) - ( - ) ( + )( - )... let op die 'omgekeerde' breuk! A8

22 Antwoorde: Algebraïese Vergelkings ALGEBRAÏESE VERGELYKINGS (Lineêr en Kwadraties) LOGIKA IS DIE SLEUTEL!. B... As 'n wortel is, dan sal die vergelking waar maak d.w.s. + + t 0. D... p + 8 â t 0 â t â p 6 â p. B... As ( )( + ) 0, dan is 0 of + 0. D... 6 â â â OF: OF:? + 8 Antwoord: 6 Dus, p 6 â %? 6 â p? 6 Antwoord: â Dus, %? â. B... Die produk van 'n getal,, en 6 is gelk aan % ' meer as 'n getal is ' â.... ' minder as 'n getal is ' â.... 'dubbel 'n getal is '. â ' 'n vfde van 'n getal is 6' â 0 Toets jou antwoord deur substitusie in die gegewe vergelking om te sien of dit 'waar' is vir die waarde van.. â 6 â [Toets: LK () RK ]. ( + ) 0 â â 8 â OF: + â [Toets: LK ( + ) % 0 RK ]. 8 + â 8 â â Trek af & Trek af Toets: LK 8() & RK () 7. ( + 6) â LK RK â Die antwoord is korrek. d.w.s. Die vergelking is 'waar' vir. Ons sê dat die wortel (of oplossing) van die vergelking is. â â 6 â Toets jou antwoord deur substitusie in die gegewe vergelking om te sien of dit 'waar' is vir die waarde van Tel b & Trek af â 6 + â â 7... Deel deur Toets jou antwoord deur substitusie in die gegewe vergelking om te sien of dit 'waar' is vir die waarde van..6 + â â... deel deur â, OF: %? OF: + 6 â... GELYKSOORTIGE TERME... neem derdemagswortel Toets jou antwoord deur substitusie in die gegewe vergelking om te sien of dit 'waar' is vir die waarde van. A9

23 Vergelkings insluitend breuke LET WEL: In UITDRUKKINGS, die vorige afdeling, het ons nie vermenigvuldig nie. Ons het die noemer gehou!.. Nou, in VERGELYKINGS pas ons logika toe en vermenigvuldig!!! 'wat ons aan die linkerkant (LK) van die vergelking doen, doen ons ook aan die regterkant (RK)' ) â( ) + ( + ) () â â 0 â â Toets jou antwoord! Die KGV van die noemers is. Die logika: % die LK % die RK ) â ( + ) ( ) 0 â â â 7 Toets jou antwoord! LW: Hakies! LW: Hakies! ) ( ) ( + ) ( ) 6 keer die LK 6 keer die RK â â 9 â 9 + â 8 â 8 Toets jou antwoord! - ) â ( ) () keer die LK keer die RK â + 6 â + 6 â Toets jou antwoord! ) â ( + ) ( ) 6() 6 keer die LK 6 keer die RK â â + 6 â Toets jou antwoord! LW: Hakies! Vergelk die posisie van die tekens LW: Hakies! LW: Hakies! In Algebraïese Uitdrukkings (in die vorige afdeling): Die tekens is links af In Algebraïese Vergelkings (V. tot. hierbo): Die tekens is in die middel en die â tekens is aan die linkerkant Antwoorde: Algebraïese Vergelkings Kwadratiese Vergelkings Die LOGIKA: As die produk van getalle 0 is, dan moet óf die een óf die ander getal 0 wees.. ( )( + ) 0... Óf 0 of + 0 â â Toets: As : LK ( )( + ) 0(7) 0 RK As : LK ( )( + ) ( 7) % 0 0 RK â Albei antwoorde is korrek â ( 6)( + ) 0 â Óf 6 0 of + 0 â 6 Toets jou antwoorde! Faktoriseer! (Verskil van â ( + )( ) 0 vierkante) â Óf + 0 of 0 â Toets jou antwoorde! die produk van en is gelk aan 0, dus: Faktoriseer die drieterm sodat j 'n produk het 6 + OF: ± A0

24 Antwoorde: Algebraïese Vergelkings Faktoriseer! (Gemene Faktor) â ( ) 0 â Óf 0 of 0 In Vrae 6. en 6.: ( ) ( )( ) + + Nou, die vergelkings... â Toets jou antwoorde! 6. ( ) ( )( ) â ( )( ) 6 + â ( + ) 7 + â â â â Toets jou antwoord! In Vraag 6.: ( + ) ( + )( + ) die twee terme kanselleer mekaar en die vergelking word lineêr (nie meer kwadraties) nie. 6. ( ) + ( + ) â ( )( ) + ( + )( + ) â â â 6 9 â 7 7 â 6. ( ) 6 ( )( ) 6 â Toets jou antwoord! â â ( 7)( + ) 0 Die logika: ( 7) keer ( + ) is gelk aan 0, dus is.... Óf 7 gelk aan 0 of + gelk aan 0 d.w.s. Óf 7 0 of + 0 â 7 of Toets jou antwoorde! A die twee terme kanselleer mekaar en die vergelking word lineêr. Onthou die logika? Die produk moet 0 wees! Die drieterm is gefaktoriseer Ander â + 8 â 8 â â Dus, los op vir : Sien nou V7. Let Wel: Die oplossing van vergelkings vereis die omkeer van bewerkings - â â â â 6 TOETS ALTYD YOU ANTWOORD! 8 Neem aan albei kante â Kwadreer albei kante ( ) â (a) (b) Kwadreer albei kante Kwadreer albei kante â â magte wortels Let Wel: 9 â ± As die mag ewe is, dan is daar wortels! Kwadreer albei kante weer â 6

25 Antwoorde: Algebraïese Vergelkings 7. Kwadreer albei kante â ( ) () NOTAS â Kwadreer albei kante weer â ( ) () â 6 Kwadreer albei kante weer! â ( ) (6) Toets jou antwoord! â 6 7. â () â â () â 6 â 6 Toets jou antwoord! A

26 Antwoorde: Grafieke GRAFIEKE. B... f() + : positiewe gradiënt van..., -afsnit van... wanneer 0 As 'n punt op 'n ln lê, dan sal die vergelking van die grafiek waar wees vir s koördinate. (Sien Vraag.). D... Die vergelking is, dus sal en gelk moet wees (d.w.s. die koördinate moet dieselfde waarde hê). P is die snpunt van die lne en en dus moet albei hierdie vergelkings b punt P 'waar wees'. Dus moet gelk wees aan en moet gelk wees aan. â â P(; ). 0 8 ( ) ( ) 8 (0) (). ( ; 0 ) + (0; ) O (0; ) ( ; 0 ) Om die punte te bepaal waar die grafieke die asse sn:. B... d 6 â d... ekwivalente breuke Ons vervang die waardes van in die vergelking om te bepaal. : + : Baie belangrik om te weet: Op die Y-as, is die -koördinaat (altd) 0 (Sien Vraag.) Op die X-as, is die -koördinaat (altd) 0 (Sien Vraag.). C... Stel 0 in; dan is -afsnit: (0) + â â 6 Dus is die punt op die -as (0; 6). - 0 ( - ) ( ) (0) Vir die Y-afsnit, stel 0 in â (0) â (0) + â Die grafiek sn die â Die grafiek sn die as b. as b. D ie punt is (0; ) Die punt is (0; ) Vir die X-afsnit, stel 0 in â 0 â 0 +. B... Stel 0; dan is () â â -afsnit: (0) â â ; 0... die koördinate van die -afsnit â ( ) â â â Die grafiek sn die â Die grafiek sn die as b. as b. D ie punt is ( ; 0 ) D ie punt is ( ; 0 ) A

27 Antwoorde: Grafieke. Hulle is parallel... hulle het gelke gradiënte. AD: Die gradiënt... â m & die -afsnit is... â c â Die vergelking is +... m & c in m + c 6. Die gradiënt Deur inspeksie negatiewe gradiënt rise run of vertikale verandering horisontale verandering D us, en eenhede afwaarts eenheid dwarsoor Die gebruik van 'n formule vir die gradiënt is nie ideaal vir Graad 9- leerders nie. 8. Die vergelking van CD:... want elke punt op (vertikale) ln CD het 'n -koördinaat gelk aan â is die vergelking van CD Die vergelking van 'n ln is 'n 'reël' wat waar is vir alle punte op die ln. BC: Die gradiënt... â m & die -afsnit is... â c â Die vergelking is... m & c in m + c Die standaardvorm van die vergelking van 'n reguitln is m + c, waar m die gradiënt en c die -afsnit.. Hulle is parallel. Hulle het albei gradiënte van. Albei gradiënte is negatief en word aantal eenhede afwaarts gemeet as aantal eenhede dwarsoor vertikale verandering d.w.s. horisontale verandering gradiënt, m & -afsnit, c 6. Die gradiënt van enige ander reguitln parallel tot hierdie ln getrek is.... parallelle lne het dieselfde gradiënt 7. A B C -koördinaat 0 -koördinaat 0 Let Wel: 0 op die as (b A) & 0 op die as (b B) Deur inspeksie: Die -koördinate is almal minder as die -koördinate. 8. Die vergelking van AB: Metode : Kk na verskeie punte op die grafiek: bv. ( ; ) ; ( ; ) ; (; ) en let op dat altd gelk is aan twee keer Metode : m, die gradiënt + & c, die -afsnit, is 0 8. E(; )... en b punt E 8. CE 6 eenhede... CE CD + DE + 6 eenhede OF CE Y C Y E... ( ) 6 die verskil van die -koördinate van C en E. of: Gradiënt + & afsnit, c A

28 Antwoorde: Grafieke 9. Die lne en is parallel aan mekaar.... Die lne en : is albei parallel aan die as 9. Die vergelking van die horisontale ln deur die punt P(; ) is.... Die horisontale ln deur P(; ) is ; Die vertikale ln deur P(; ) is ; O O P(; ) 0. + O Vir die X-afsnit, stel 0 in â 0 + â 0 â â â... % â... % â... â... â Die grafiek sn die â Die grafiek sn die as b. as b. D ie punt is ( ; 0 ) D ie punt is ( ; 0 ) 9. Die gradiënt van die ln gedefinieer deur + 0 is gelk aan â... m + c â Die gradiënt, wat die koëffisiënt van is, is 9. Die grafiek van f hieronder stel 'n nie-lineêre funksie voor. f... 'n Lineêre funksie is 'n reguitln, nie 'n kurwe nie. Om die punte te bepaal waar die grafieke die asse sn : + : : Vir die Y-afsnit, stel 0 in â (0) + â (0) â Die grafiek sn die â Die grafiek sn die as b. as b. D ie punt is (0; ) Die punt is (0; ) 0. Hulle is loodreg. Interessantheidshalwe: Vergelk die gradiënte, en. Hulle is negatiewe inverses van mekaar. A

29 Antwoorde: Grafieke ❶ &... ❷ + O + O T ❶ ❷: + â â â Stel in, in ❷: () OF in ❶! â T(; ) Albei vergelkings moet waar wees b T, die snpunt. Om die punte te bepaal waar die grafieke die asse sn: + : afsnit (stel 0 in): (0) + afsnit (stel 0 in): 0 + â â : Hierdie grafiek is 'n vertikale ln deur. Elke punt op die grafiek het 'n koordinaat gelk aan.. Die snpunt is (; )... B hierdie punt, en + (d.w.s. albei vergelkings is waar) â () + â Die punt is (; ) Om die punte te bepaal waar die grafieke die asse sn: + : : â (0) + â (0) â Die grafiek sn die â Die grafiek sn die as b. as b. D ie punt is (0; ) Die punt is (0; ) â 0 + â 0 â â â Vir die Y-afsnit, stel 0 in Vir die X-afsnit, stel 0 in â Die grafiek sn die â Die grafiek sn die as b. as b. D ie punt is ( ; 0 ) D ie punt is (; 0) NOTAS A6