Die Verskil van Vierkante

Transcriptie

1 Die Verskil vn Vierknte Kom ons definieër gou n vierknt : n Vierknt is n uitdrukking wrvn die eksponent n ewe getl is. n Uitdrukking soos x y 3 is egter nie n vierknt nie, l is die eksponent vn die x n ewe getl. Ons gn nou gou kyk hoe n mens kn bepl of n gekombineerde uitdrukking n vierknt is of nie: Onthou jy nog die Vierde Eksponentwet? Dit het gelui: ( m. b n ) x = mx. b nx Met nder woorde s n hkie tot n mg verhef word, dn vermenigvuldig ons elke term, binne-in die hkie, se eksponent met die eksponent vn die hkie, bv. (² b) 3 = 6 b 3 (x² y²) 3 = 3 x 6 y 6 Wrin ons nou egter belngstel is die trurt weergwe vn hierdie wet. As jy gegee word: p 6 y, dn kn dit geskryf word s: (p 3 y²)² Ons gn spesifiek net belngstel om n s eksponent vn die hkie te kry, dus moet l die eksponente vn die hkie deur gedeel kn word.

2 Oefening ) Bepl of die volgende gekombineerde uitdrukkings vierknte is. ) x 6 y 5 b) ² b c 5 c) p² y 0 k 00 d) x²y e) 7x² y² f) x y 6 ) Skryf nou elkeen vn jou ntwoorde in vrg () s n hkie tot n mg vn, bv. 6² x = (x²)² Nou, bepl die produk vn die volgende deur middel vn die distributiewe wet: ( + b) ( b) Wt sien jy omtrent die verbnd tussen die ntwoord en die twee hkies wrmee ons begin het? Bepl ook gou die volgende produkte: ) (3 5b) (3 + 5b) = b) (5u 7v) (5u + 7v) = c) ( / 8 p / 9 q) ( / 8 p + / 9 q) = d) (9c² - 7d) (9c² + 7d) =

3 Kn jy sien dt, s die ntwoord die volgende eienskppe het: ) n Eerste term wt n vierknt is ) n Tweede term wt ook n vierknt is 3) n Minus tussen hierdie twee terme...kn ons dit ddelik in hkies fktoriseer deur die vierkntswortels vn die vierknte te gebruik, en een hkie het n + en die nder n mr verder is hulle identies dieselfde. Hoe bepl ons die vierkntswortel? Wel, met die tegnieke wt ons vroeër gedoen het toe ons die vierde eksponentwet in trurt toegeps het. Bv. x² - y² Ons sien die drie eienskppe rk, nl. ) n Vierknt (x²) ) n Minus 3) n Vierknt (y²) Bepl die vierkntswortel vn x² deur n hkie te skryf met eksponent : (x)² en dieselfde vir y² : (y)² Al wt ons nou doen om te fktoriseer, is om: ) Twee hkies te skryf: ( ) ( ) ) Sit n + in die een en n in die nder: ( + )( ) 3) Onthou: die eerste term in die vrg ws x² en sy vierkntswortel (dit wt binne die hkie stn) is x, dn skryf ons dit eerste in elke hkie: (x + ) (x - ) ) Doen dieselfde vir die tweede term vn die vrg: (x + y) (x - y) Dr het ons x² - y² gefktoriseer s (x + y) (x - y)

4 Kom ons kyk n nog n voorbeeld: 8 6 b Die eerste term se vierknt is: Die tweede term se vierknt is: 9 b Nou volg ons net die vier stppe soos uiteengesit: ) ( ) ( ) ) ( + ) ( - ) 3) + ) + b b 9 9 en dr is dit dn gefktoriseer!

5 Doen nou die volgende oefening deur l die oop spsies in te vul: ) ² - b² c) Vier stppe: ) ) 3) ) ) 5x² - p² c) Vier stppe: ) ) ) 3) 9m² - 8n² c) Vier stppe: ) ) ) ) x 6 36 c) Vier stppe: ) ) )

6 5) 5² b² - 6x y 6 c) Vier stppe: ) ) ) 6) 6x - 8y c) Vier stppe: ) ) ) Oefening Ontbind volledig in fktore: ) w² - 9z² b) b 8 8 c) 6x y 5 8 b d) b² - 75c² e) 80w² - 5z² f) ² - ½ b² g) 7 3 3b² h) 9bc² - bd²

7 Gestel nou dr stn (x )² (3 + z)² Kn jy sien wtter ptroon is dr? Dis reg! Dit is n hkie gekwdreer minus n hkie gekwdreer, m..w. n vierknt minus n vierknt: ( )² - ( )² Ons kn dus mos die eerste hkie: (x ) gelyk stel n A, dn is (x )² = A² en dieselfde met B = (3 + z) d.w.s. B² = (3 + z)² Dus, in pls drvn om bie moeite te doen (en die gevr te loop om deurmekr te rk), herken ons die verskil vn vierknte en vervng bloot die hkies met eenvoudiger terme: Dit word dus: (A + B) (A - B) Nou gn skryf ons die leë hkies by elke A en B: ( ) + ( ) ( ) - ( ) en vervng die hkie wt ons met A vervng het in die oop hkies wr A gestn het en dieselfde met B. Dus: (x ) + (3 + z) (x ) - (3 + z)

8 Ons kn nou nog een stp verder gn en die hkies binne die groter hkies ook uitvermenigvuldig, dit wil sê: ( x z) (x 3 z) = ( x + z ) (x z 7) en dr is ons twee fktore! In elk vn die volgende is twee vierknte. Vervng elkeen met n A of B: ) ( + b)² - x² : A = B = ) ( + b)² - 9(x y)² : A = B = 3) (3 + b)² - 9( 3b)²:A = B = ) 36-5( b)² : A = B = Nou vt jy elke vrg en skryf in die plek vn die A en B, in die volgende, die wrdes neer soos jy dit hierbo gedoen het. ) (A + B) (A B) = [( ) + ( )] [( ) - ( )]

9 ) (A + B) (A B) = [( ) + ( )] [( ) - ( )] 3) (A + B) (A B) = [( ) + ( )] [( ) - ( )] ) (A + B) (A B) = [( ) + ( )] [( ) - ( )] Dn vermenigvuldig jy net elke keer die ronde hkies uit binne-in die vierknt hkies en tel soortgelyke terme bymekr. ) (A + B) (A B) = [ ] [ ] ) (A + B) (A B) = [ ] [ ] 3) (A + B) (A B) = [ ] [ ] ) (A + B) (A B) = [ ] [ ] Oefening Fktoriseer volledig: ) 6 b) 7 7b c) ² - (x + y)² d) (3x y)² - 9 (3x + y)² e) 7 8 7b 8 f) 8 5 (x 7y)²