Clever Wen met Wiskunde

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Clever Wen met Wiskunde"

Transcriptie

1

2 Clever Wen met Wiskunde Graad Leerderboek J Aird L du Toit I Harrison C van Dun J van Dun

3 Clever Wen met Wiskunde Graad Leerderboek J Aird, L du Toit, I Harrison, C van Dun en J van Dun, 0 Illustrasies en ontwerp Macmillan South Africa (Edms) Bpk, 0 Alle regte voorbehou. Geen gedeelte van hierdie publikasie mag sonder skriftelike verlof van die kopiereghouer of in ooreenstemming met die Kopieregwet, 978 (soos aangepas) gereproduseer word of gestoor word in n ontsluitingstelsel, of in enige vorm of deur enige elektroniese middel weergegee word nie, hets fotokopiëring, plaat- of bandopname. Enige persoon wat enige ongemagtigde optrede uitoefen in verband met hierdie publikasie mag onderhewig wees aan kriminele vervolging en siviele eise om skadevergoeding. Eerste uitgawe Uitgegee deur Macmillan South Africa (Edms) Bpk Privaatsak X9 Northlands 6 Gauteng Suid-Afrika Geset deur: Ink Design Omslag deur Tamara Joubert Omslagontwerp deur Future PrePress Illustrasies deur: MPS en Geoff Walton Fotos deur: AAI Fotostock: blads 50 e-isbn: WIP: 04K000 Dit is onwettig om afskrifte te maak van enige blads van hierdie boek sonder toestemming van die uitgewers. Die uitgewer het elke poging aangewend om die kopiereghouers van die materiaal wat in hierdie boek gebruik is, op te spoor. Indien ons per abuis enige materiaal oorgesien het waarop daar kopiereg is, sal ons met graagte b die eerste moontlike geleentheid die nodige reëlings tref om die nodige erkenning te gee. Die uitgewer wil ook die geleentheid gebruik om die organisasies en individue wat ons reeds genader het, te bedank, in afwagting op hul finale toestemming.

4 Inhoud Hoofstuk Patrone, re en reekse... Bepaal of n r rekenkundig of meetkundig is... Die algemene term van n r... 4 n Vergelking van rekenkundige en meetkundige reekse... 7 Rekenkundige en meetkundige gemiddeldes... 0 Sigmanotasie... Reekse... 5 Die som van n rekenkundige reeks... 5 Die som van n meetkundige reeks... 6 Gemengde probleme... 0 Toepassings van rekenkundige en meetkundige re en reekse... Oneindige reekse... 6 Opsomming... 7 Hoofstuk Funksies en inverse funksies Hersiening van funksies wat in Graad 0 en behandel is Funksies Inverse funksies Hoofstuk Eksponensiaal- en logaritmiese funksies... 6 Eksponensiaalfunksies... 6 Logaritmiese funksies Definisie van n logaritme Logaritmiese wette Vergelkings wat logaritmes behels... 7 Eksponensiaal- en logaritmiese funksies... 7 Hoofstuk 4 Finansies, groei en verval... 8 Graad -opsomming... 8 Toekomstige waarde annuïteite Die formule vir toekomstige waarde annuïteite Lenings en leningsterugbetalings... 9 Die huidige waarde formule vir annuïteite... 9 Uitgestelde annuïteite Berekening van die tdperk, n... 0 Hoofstuk 5 Saamgestelde hoeke Bewse van die formules vir saamgestelde hoeke Bepaal die waarde van saamgestelde hoeke deur spesiale hoeke te gebruik... Gebruik formules vir saamgestelde hoeke om identiteite te bews... 5 Formules vir dubbelhoeke... 6 Meer ingewikkelde voorbeelde... 8 Identiteite wat dubbelhoeke behels... 0

5 Hoofstuk 6 Trigonometriese vergelkings... 4 Hersiening van Graad - trigonometriese vergelkings... 4 Graad - trigonometriese vergelkings... 8 Gemengde vergelkings... 0 Hoofstuk 7 van probleme deur trigonometrie te gebruik... 4 Die basiese vereistes vir oplossing van driehoeke... 4 Die sinus-, kosinus- en oppervlaktereëls... 5 Driehoeke in drie dimensies... 4 Identiteite deur die sinus-, kosinus- en oppervlaktereëls te gebruik... 5 Hoofstuk 8 Polinoomfunksies Hersiening Gebruik lang deling om n res te bepaal... 6 Die Resstelling... 6 Die Faktorstelling Bepaal die kwosiënt en res deur sintetiese deling Faktorisering Faktoriseer uitdrukkings in twee veranderlikes Gebruik die Resstelling om onbekende koëffisiënte te bepaal Los derdegraadsvergelkings op deur die Resstelling te gebruik... 7 Hoofstuk 9 Differensiaalrekening Die begrip van n limiet Inleiding tot kalkulus Gemiddelde gradiënt Berekening van die afgeleide vanaf eerste beginsels... 8 Die gradiënt en vergelking van n raakln aan n kromme Vergelkings van raaklne aan n kromme... 9 Die kubiese grafiek Probleme wat maksima en minima behels... 8 Die afgeleide as n manier om die veranderingstempo te meet... 8 Hoofstuk 0 Analitiese meetkunde... 6 Hersiening van formules uit Graad... 6 Die vergelking van n sirkel... 7 Werk met sirkels Die vergelking van n raakln aan n sirkel Opsomming Hoofstuk Euklidiese meetkunde Hersiening: Gelkvormigheid van veelhoeke Hersiening Eweredigheid in driehoeke... 7 Gelkvormige driehoeke... 8 Gelkhoekige driehoeke is gelkvormig... 8 Driehoeke met eweredige se is gelkvormig... 8 Die Stelling van Pthagoras en gelkvormige driehoeke Opsomming...

6 Hoofstuk Statistiek (regressie en korrelasie)... 4 Simmetriese en skeefgetrekte data (Hersiening)... 5 Tweeveranderlike data: spreidiagramme... 4 Tweeveranderlike data: spreidiagramme, regressie en korrelasie... 8 Gebruik n sakrekenaar om regressieberekenings te doen... 0 Interpolasie en ekstrapolasie... Opsomming Hoofstuk Telbeginsel en waarsknlikheid Hersiening van probleme Die fundamentele telbeginsel Faktoriaalnotasie Spesiale gevalle van die fundamentele telbeginsel Permutasies en kombinasies Gebruik die fundamentele telbeginsel om waarsknlikheidsprobleme op te los... 7 Opsomming Hoofstuk 4 Hersiening Hoofstuk Patrone, re en reekse... 8 Hoofstuk Funksies en inverse funksies... 8 Hoofstuk Eksponensiaal- en logaritmiese funksies Hoofstuk 4 Finansiële wiskunde Hoofstuk 5, 6 en 7 Trigonometrie... 9 Hoofstuk 8 Funksies: polinome Hoofstuk 9 Differensiaalrekening Hoofstuk 0 Analitiese meetkunde Hoofstuk Euklidiese meetkunde Hoofstuk Statistiek (regressie en korrelasie) Hoofstuk Telbeginsel en waarsknlikheid Proefvraestelle... 4 Halfjaareksamen Vraestel... 4 Halfjaareksamen Vraestel Jaareindeksamen Vraestel... 4 Jaareindeksamen Vraestel Memorandum vir Halfjaareksamen Vraestel... 4 Memorandum vir Halfjaareksamen Vraestel Memorandum vir Jaareindeksamen Vraestel Memorandum vir Jaareindeksamen Vraestel Antwoorde tot oefeninge Woordels van wiskundige terme... 50

7

8 Hoofstuk Patrone, re en reekse In hierdie hoofstuk gaan j: oor rekenkundige en meetkundige re leer verskillende reekse in sigma-notasie skrf die formules vir die som van rekenkundige en meetkundige reekse aflei en gebruik. n R is n geordende versameling getalle. In n r kan ons die waarde van enige element verkr gebaseer op die waardes van die voorafgaande elemente. Die volgende tabel toon die eerste vier terme van twee verskillende re. Ons verws na elke term in n r deur die notasie T n te gebruik, waar n die posisie van die term voorstel. Albei is re. Term Term Term Term 4 T T T T 4 R R n Reeks is die som van die elemente van n r. As ons bvoorbeeld die waardes in die tweede r in die tabel hierbo bmekaartel, het ons die reeks Rekenkundige re (RR) n Rekenkundige r (RR) is n r waarin elke term na die eerste term gevorm word deur n konstante waarde (d) b die voorafgaande term te tel. Meetkundige re (MR) n Meetkundige r (MR) is n r waarin elke term na die eerste term gevorm word deur die voorafgaande term met n konstante verhouding (r) te vermenigvuldig.

9 Voorbeeld Voorbeeld T T T T 4 T = + = 5 + = 8 + = + Dit is n rekenkundige r met d = Voorbeeld T T T T = = 6 = 8 Dit is n meetkundige r met r = Voorbeeld T T T T 4 T = 6 4 = 4 = 8 4 = 4 4 Dit is n rekenkundige r met d = 4 Voorbeeld Indien T n = 4 n, bepaal die r. T = 4 () = 4 = T = 4 () = 4 4 = 0 T = 4 () = 4 6 = Die r is ; 0; ; T T T T = 6 ( _ ) = 8 ( _ ) = 4 ( _ ) Dit is n meetkundige r met r = Voorbeeld Indien T n =. n, bepaal die r. T =. =. 0 =. = T =. =. =. = 6 T =. =. =. 4 = Die r is ; 6; ; Bepaal of n r rekenkundig of meetkundig is Gegee n r, kan ons n formule gebruik om te toets of n r rekenkundig, meetkundig of nie een van die twee is nie. Rekenkundige re (RR) Om te toets of n r rekenkundig is, gebruik die formule : T T = T T = d Meetkundige re (MR) Om te toets of n r meetkundig is, gebruik die formule : T T = T T = r

10 Voorbeeld Bepaal of die volgende r rekenkundig, meetkundig of nie een van die twee is nie. ; 4; 6; 8; 0; Voorbeeld Bepaal of die volgende r rekenkundig, meetkundig of nie een van die twee is nie. ; 6; 8; 54; T T T T 4 T T T = 6 4 = T T = 4 = Dit is n rekenkundige r met d =. T T T T T T = 8 6 = T T = 6 = Dit is n meetkundige r met r =. Oefening.. Bepaal of die volgende re rekenkundig, meetkundig of nie een van die twee is nie: a) 5; 8; ; 4; 7; b) 5; 0; 0; 40; 80; c) ; 4; 9; 6; 5; d) ; 6; 8; 4; ; e) 6; 0; 4; 8; ; f) ; 7; ; ; 8; g) ; 4 ; 5 6 ; 7 8 ; 9 ; 0 h) ; ; 9; 7; 8; i) 7; 4; ; ; 5; j) ; 8; 7; 64; 5; k) ; ; 9 ; 7 4 ; 8 8 ; l) ; 7 ; 5; ; 8; 9 ; m) ; 9; 7; 8; 4; n) ; ; ; 9 ; 7 ; o) ; ; ; ; 5; 8; ;. Gegee die algemene term van die r: i) Bepaal die eerste vf terme van die r. ii) Sê of die r rekenkundig, meetkundig of nie een van die twee is nie. a) T n = n + b) T k = k c) T n = n d) T n = n e) T k = k + 5 f) T n = 5n g) T n = 7 n h) T k =. k i) n T n = j) T n = 4. n n +

11 Die algemene term van n r In hierdie afdeling verduidelik ons hoe om die algemene term van n r te bepaal. Oefening. Vul die ontbrekende inligting in: Rekenkundige re (RR) Meetkundige re (MR) Gegee die r: Gegee die r: ; 5; 8; ; 4; 7; met d = ; ; 4; 8; 6; ; 64. met r = Term: algemene vorm Term: algemene vorm T = a T = : a T = 5 = + : a + d T = = : ar T = 8 = + + = + (): a + d T = 4 = = : ar T 4 = = = + (): T 5 = 4 = = + 4(): T 6 = 7 = = + 5(): T 0 = T = T n = T 4 = 8 = = : T 5 = 6 = = 4 : T 6 = = = 5 : T 0 = T = T n = Uit die vorige oefening het ons bepaal dat: die algemene term van n rekenkundige r T n = a + (n )d is die algemene term van n meetkundige r T n = a. r n is 4

12 Rekenkundige re (RR) Voorbeeld Bepaal die de term van die r ; 7; ; Ons moet eers bepaal of die r rekenkundig of meetkundig is: T T = 7 = 4 T T = 7 = 4 Die r is rekenkundig met d = 4. Aangesien T n = a + (n )d, is die de term: T = a + ( )d = a + d Ons weet dat a =, d = 4 en n = : T = a + d = + (4) = 47 Voorbeeld Bepaal die nde term van die r ; 6; ; 6; T T T... T n a a + d a + d a + (n )d 6 a =, d = 5 en T n = a + (n )d: T n = a + (n )d T n = + (n )5 T n = + 5n 5 T n = 5n 4 Meetkundige re (MR) Voorbeeld Bepaal die agste term van die r ; ; ; Bepaal of die r rekenkundig of meetkundig is: T T = = T T = Die r is meetkundig met r =. Aangesien T n = a. r n, is die agste term: T 8 = a. r 8 = ar 7 Ons weet dat a =, r = en n = 8: T 8 = ar 7 = ( ) 7 = 8 = 64 Voorbeeld Bepaal T n vir die r ; 9; 7; T T T T n a ar ar ar n 9 7 a =, r = en T n = ar n : T n = ar n = ()n = n = + n = n 5

13 Voorbeeld Bepaal watter term van die volgende rekenkundige r is gelk aan 06: 8; ; 4; T T T... T n a a + d a + d a + (n )d a = 8, d = 6, n =? en T n = 06: T n = a + (n )d 06 = 8 + (n )( 6) 06 = 8 6n + 6 6n = n = 0 6n 6 = 0 6 n = 0 Die 0ste term is gelk aan 06. Voorbeeld Bepaal watter term van die volgende meetkundige r is gelk aan 8 79 : ; ; 4 ; T T T... T n a ar ar ar n a =, r = 8 n 79 T n = ar n 8 79 = ( _ ) n _ 8 = _ 79 8 ( _ ) n = 87 ( _ ) n ( ) _ n 8 = Deel albei kante deur om die mag te isoleer Om dit op te los moet 87 ons 8 as n mag 87 van _ skrf ( ) n = ( ) 7 n = 7 Stel die eksponente gelk n = 8 Die agtste term is gelk aan 8 79 Oefening.. Bepaal die vereiste term in elke r: a) T van ; 7; ; b) T 7 van 6; ; 4; c) T 9 van ; ; 9; 7; d) T 5 van 0; ; 4; e) T van 7; 0; ; f) T van ; 8; 4; g) T van ; ; 48; h) T 4 van 4; 4; 4; i) T 8 van ; 6; 9; j) T 0 van 5; 75; 75;. Bepaal die aantal terme in elk van die volgende re: a) ; 7; ; 47 b) ; 6; ; 96 c) 5; 8; ; 4 d) 0; ; 4; 0 e) 5; 0; 0; 5 0 f) 4; ; 6; 08; g) 4; 7_ ; ; 5_ ; h) 4; ; ; ; 56 i) 7; 7 ; 7 ; 7 j) 0; ; 8 ; 6

14 n Vergelking van rekenkundige en meetkundige re Rekenkundige re (RR) Voorbeeld In n rekenkundige r, T = 4 en T 0 =. Bepaal:. die r.. die 5de term.. T = 4 en T 0 = a = 4 T n = a + (n )d = 4 + (0 )d T 0 = 4 + 9d Algemene vorm 9d = 4 9d = 7 7 d = 9 = die r is 4; 7; 0;. a = 4 en d = T 5 = a + 4d = = 46 Die 5de term is 46. Meetkundige re (MR) Voorbeeld In n meetkundige r, T = 4 en T 0 = 8. Bepaal:. die r.. die 5de term.. T = 4 en T 0 = 8 a = 4 ar 9 = Algemene vorm 8 Om vir r op te los, vervang a = 4 in die vergelking ar 9 = 8. 4r 9 = 8 r 9 = 5 Deel albei kante deur 4 r 9 = ( _ ) 9 r = Die r is 4; ; ;. a = 4 r = _ T 5 = ar 4 = 4( _ ) 4 =

15 Voorbeeld In n rekenkundige r, T = en T 8 =. Bepaal die eerste term en die gemene verskil. T = en T 8 = Ons moet hierdie twee vergelkings gelktdig oplos. Ons kan dit doen deur die vervangingsmetode te gebruik of deur eliminasie. Ons gebruik hier die eliminasiemetode. a + d = a + 7d = a + 7d = (a + d = ) 5d = 5 d = 5 a + (5) = Vervang d = 5 in om vir a op te los a + 0 = a = Die eerste term is. Die gemene verskil is 5. Voorbeeld In n meetkundige r, T 4 = en T 6 =. Bepaal die tweede term. T 4 = T = 6 ar = ar5 = Deel vergelking deur vergelking om a te elimineer. Los dan op vir r. ar5 ar = r = r = 9 4 r = ± Aangesien die waarde van r gekwadreer is, sal daar twee oplossings vir hierdie vergelking wees Aangesien daar twee waardes van r is, sal daar twee verskillende re wees. Om die waarde van a te bepaal, vervang die waarde van r in vergelking : As r = _ : As r = _ : a ( _ ) = _ a ( _ ) = _ a( 7 ) 8 = _ a( 7 ) 8 = _ a( 7 ) 8 8 = _ 8 a( 7 ) = _ 8 7 a = _ 8 a = _ a = a = T = ar T = ar 6 = _ 8 8 = 7 6 = _ 8 8 = 7 7 8

16 Voorbeeld Indien ( + ); ( + 4); ( + 4); n rekenkundige r is, bereken die waarde van. T T = T T ( + 4) ( + 4) = ( + 4) ( + ) = + 4 = Dus: T = + = 4 T = + 4 = 7 T = + 4 = 0 Die r is 4; 7; 0; Voorbeeld Indien ( + ); ( + ); ( + ) n meetkundige r is, bereken die waarde van. T = T T T + + = + + ( + )( + ) = ( + )( + ) = = 0 ( )( + ) = 0 = of = Indien =, is die r 4; 6; 9; Indien =, is die r ; ; ; Oefening.4. Bepaal T 0 van die volgende rekenkundige re: a) a = 4 en d = b) T = 0 en T 6 = 60 c) T 5 = 8 en d = d) T = 4 en T 5 = 0. Bepaal T 0 van die volgende meetkundige re: a) a = 4 en r = b) T = 0 en T 6 = 60 4 c) T 5 = 8 en r = d) T = 4 en T 5 = 4 8. Bereken die volgende terme: a) T van die rekenkundige r, indien T 5 = en T 0 = 4. b) T 5 van die meetkundige r, indien T = 4 en T = 8. 8 c) T 4 van die meetkundige r, indien T 6 = 64 en T 0 = 04. d) T 7 van die rekenkundige r, indien T 5 = en T 8 =. 4. Gee die eerste drie terme van n rekenkundige r waarin die sewende term is en die de term is. 5. Watter term van die r ; 7; ; is? 6. Indien ; ; 4 + drie opeenvolgende terme van n meetkundige r is: a) Bereken die waarde van. b) Bepaal die r. c) Bepaal die 9de term van die r. d) Watter term van die r sal gelk wees aan 4 74? 7. Die eerste twee terme van n meetkundige r is onderskeidelik m en n. Bereken die 0de term. 9

17 8. Indien ; + ; 5 + die eerste drie terme van n rekenkundige r is, bereken die waarde van. 9. Bepaal die meetkundige r waarin T 4 = 4 en die gemene verhouding is. 0. Bepaal watter term van die r 9; 5; ; is 45.. Die getalle 4; ; vorm n rekenkundige r. Die getalle ; ; 8 vorm n meetkundige r. Bereken die waardes van en.. Gegee die r ; 8; 4; 0; a) Bepaal die 50ste term b) Watter term sal gelk wees aan 50?. Die volgende is n rekenkundige r: 6 + ; 4 + 7; + 4; a) Bereken die waarde van. b) Skrf die waarde neer van: i) die eerste term van die r ii) die gemene verskil iii) die vfde term. 4. a) Bepaal T 5 van die r + ; + 4; + 7; b) Watter term van die r is gelk aan + 6? 5. n Seun betaal skuld aan n maat terug. H betaal R0 in die eerste week, R5 in die tweede week, R0 in die derde week, en so aan. Indien h na die agtste week klaar betaal het, hoeveel was s laaste betaling? Rekenkundige en meetkundige gemiddeldes Rekenkundige gemiddelde (RG) Meetkundige gemiddelde (MG) Indien a; ; b n rekenkundige r is dan is die rekenkundige gemiddelde van a en b. T T = T T b = a = a + b a + b = Die rekenkundige gemiddelde is a + b Voorbeeld Bereken die rekenkundige gemiddelde van en. + RG = = 4 = 7 Dus is ; 7; ; n rekenkundige r. Indien a; ; b n meetkundige r is dan is die meetkundige gemiddelde van a en b. T T = T T b = (a,, b 0) a = ab = + ab Die meetkundige gemiddelde is per definisie ab. Voorbeeld Bereken die meetkundige gemiddelde van en 8. MG = 8 = 6 = 4 Dus is ; 4; 8; n meetkundige r. 0

18 Voorbeeld Voeg drie rekenkundige gemiddeldes tussen en 0 in. Dit beteken ons moet drie getalle tussen en 0 invoeg sodat die getalle n rekenkundige r vorm. T T T T 4 T 5 a a + 4d 0 So T = a = Die r is: ; ; 4; 7; 0. T 5 = 0 a + 4d = 0 + 4d = 0 4d = d = Voorbeeld Voeg twee meetkundige gemiddeldes tussen en in. Dit beteken ons moet twee getalle tussen en invoeg sodat die getalle n meetkundige r vorm. T T T T 4 a ar So T = T 4 = a = ar = ( )r = r = r = _ Die r is ; ; ;. Oefening.5. Bepaal die rekenkundige gemiddelde tussen: a) 4 en 8 b) en c) 8 en d),7 en 4,5. Bepaal die meetkundige gemiddelde van: a) en b) 5 en 0 c) en 50 d) 4 en 6. Voeg vier rekenkundige gemiddeldes tussen 4 en 9 in. 4. Voeg drie meetkundige gemiddeldes tussen en 4 in. 4 Sigmanotasie Die simbool is die Griekse simbool sigma. Ons gebruik hierdie simbool om die som van n r te bepaal. Wanneer ons die terme in n r bmekaartel, noem ons dit n reeks. As ons bvoorbeeld n r 5; 8; ; 4; 7 het, is die reeks

19 Voorbeeld 5 Bepaal die waarde: (n + ) 5 n = n = ( n + )beteken ons moet die som van n r bepaal. Om die terme van die r te bepaal, vervang ons eers n = in die algemene term van n +. Dan vervang ons n =, n =, en so aan tot ons n = 5 bereik. Die getal onder die sigmasimbool sê dus vir ons waar om te begin (n = ), en die getal bokant die sigmasimbool sê vir ons waar om te stop (n = 5). 5 So (n + ) = (. + ) + (. + ) + (. + ) + (. 4 + ) + (. 5 + ) n = = = 55 Voorbeeld 6 Bepaal die waarde: (. r ) r = 0 In hierdie geval begin ons met r = 0 en stop wanneer r = 6. Met ander woorde, ons begin deur r = 0 in die algemene term. r te vervang en gaan voort tot b r = 6. 6 r = 0 (. r ) = Voorbeeld = = = 86 0 Bepaal die waarde: ( i + 5) i = In hierdie geval begin ons deur i = in die algemene term i + 5 te vervang en gaan voort tot b i = 0: 0 i = ( i + 5)= (. + 5) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = ( 6 + 5) + ( 8 + 5) + ( 0 + 5) + ( + 5) + ( 4 + 5) + ( 6 + 5) + ( 8 + 5) + ( 0 + 5) = = 64

20 Aantal terme = boonste getal onderste getal + 5 In Voorbeeld, (n + )is die aantal terme 5 + = 5. n = 6 In Voorbeeld, (. r ) is die aantal terme = 7. r = 0 0 In Voorbeeld, ( i + 5)is die aantal terme 0 + = 8. b i = So indien T n sal die aantal terme in die reeks b a + wees. n = a Let ook op dat elke voorbeeld verskillende veranderlikes gebruik het (n, r en i). Voorbeeld 4 6 Bepaal die waarde: 5 n = Ons weet dat daar 6 + = 6 terme in hierdie reeks is. Die algemene term is hier n konstante, so ons skrf die reeks soos volg: 6 n = 5 = = 6 5 = 0 Skrf n reeks in sigmanotasie Voorbeeld Skrf die volgende reekse in sigmanotasie: Ons moet eers die algemene term, T n, vir die reeks bepaal. Die reeks is n rekenkundige reeks met a = 5 en d =. Dus: T n = a + (n )d = 5 + (n ) = 5 + n = n +... Ons skrf nou die formule na die sigmasimbool in: (n + ) n =... Dan moet ons die getalle bo en onder die sigmasimbool bepaal. Om dit te doen moet ons die volgende vergelkings oplos: Die eerste term van die reeks is 5: n + = 5 n = n = 5 n = (n + ) Die laaste term van die reeks is 7: n + = 7 n = 5 n = 5

21 Voorbeeld Skrf die volgende reeks in sigmanotasie: Deur inspeksie sien ons dat die reeks uit die eerste agt volkome vierkante bestaan = k k = Voorbeeld Skrf die volgende reeks in sigmanotasie: is n meetkundige reeks met a = 6 en r =. Dus: T n = a. r k = 6. k 6 = = k = k =. + k =. k... k =.... k Die eerste term van die reeks is 6: so. k = 6 k = Deel albei kante van die vergelking deur k = 4 k =. k Die laaste term van die reeks is 48: so. k = 48 k = 6 k = 4 k = 4 Oefening.6. Bepaal die waarde van die volgende: 0 5 a) r b) (r + 5) c) ( r = 6 e) i = i r = 0 8 ( f) ) k = n = 6. k g) r r = 0 5 n ) d). Skrf die volgende in sigmanotasie: a) b) c) d) _ e) f) g) h) n = n 4

22 Reekse Wanneer ons die terme van n rekenkundige r bmekaartel verkr ons die rekenkundige reeks (S n ). Wanneer ons die terme van n meetkundige r bmekaartel verkr ons die meetkundige reeks (S n ). Voorbeeld Indien T n = n +, bepaal S 5. T T T T 4 T 5 S 5 = = 55 T T T T 4 T S 4 S 5 So: T 5 = S 5 S 4 = ( ) ( ) = 7 In die algemeen: T n = S n S n Voorbeeld Gegee dat S n = n +, bepaal. die vfde term. T 5. T 5 = S 5 S 4 T 5 = [(5) + ] [(4) + ] T 5 = 5 5 T 5 = 8. T 5 = S 5 S 4 T 5 = [(5) + ] [(4) + ] T 5 = 5 55 T 5 = 98 Die som van n rekenkundige reeks Kom ons bepaal die som van die rekenkundige reeks Ons kan dit skrf as: S 0 = S 0 = Skrf die reeks agterstevoor S 0 = Tel op S 0 = 0 Daar is 0 terme S 0 = 0 0 S 0 = = 55 5

23 Dit kan heel langdradig raak om n groot aantal terme bmekaar te tel. Hoe meer terme ons bmekaar moet tel, hoe groter kans is daar ook dat ons n fout maak. Ons kan gelukkig dieselfde tegniek gebruik wat ons sopas gebruik het om n formule te ontwikkel om al die terme in n algemene rekenkundige reeks bmekaar te tel. S n = T + T + T + + T n + T n = (a) + (a + d) + (a + d) + + (a + (n )d) + (a + (n )d) Bews van die formule vir die som van n rekenkundige reeks: S n = a + ( a + d ) + ( a + d ) + + ( a + (n )d ) + ( a + (n )d ) + ( a + (n )d ) S n = (a + (n )d) + (a + (n )d) + (a + (n )d) + (a + d) + (a + d) + a S n = (a + (n )d) + (a + (n )d) + (a + (n )d) + + (a + (n )d) + (a + (n )d) S n = n(a + (n )d) Aangesien daar n terme is n(a + (n )d) S n = = n (a + (n )d) Ons kan die laaste term ( l ) van n rekenkundige reeks as l = a + (n )d skrf. Dit beteken ons kan die formule skrf S n = n ( a + (n )d ) as S n = n ( a + a + (n )d ) Of S n = n ( a + l ) Die som van n meetkundige reeks Kom ons bepaal die som van die meetkundige reeks Hier is a = ; r = en die aantal terme is n = 8. Die tegniek wat ons hier gebruik is om elke term met die gemene verhouding r te vermenigvuldig. Ons het dus: S 8 = S 8 = Vermenigvuldig met = S 8 S 8 = ( )S 8 = 56 S 8 = S 8 = = 55 Deur weer die algemene vorm van n meetkundige reeks te gebruik, kan ons n formule vir die som van n terme van n meetkundige reeks bepaal. S n = T + T + T + + T n + T n = a + ar + ar + + ar n + ar n 6

24 Bews van die formule vir die som van n meetkundige reeks: S n = a + ar + ar + + ar n + ar n r S n = ar + ar + + ar n + ar n + ar n S n rs n = a ar n S n rs n = a ar n S n ( r) = a( r n ) S n( r) a( r = n ) ( r) S n = ( r) a( r n ) Faktoriseer ( r) r In ons bews het ons vergelking van vergelking afgetrek. Hierdie formule is makliker om te gebruik indien r <. Ons kon ook vergelking van vergelking afgetrek het. Dit sal vir ons n effens a(r ander formule gee: S n = n ). Hierdie formule is makliker om te gebruik indien (r ) r >. J moet die bewse vir beide n rekenkundige reeks formule en n meetkundige reeks formule vir eksamendoeleindes ken. Rekenkundige reekse Vir n rekenkundige reeks gebruik ons die volgende formules: S n = n (a + (n )d en S n = n (a + l) Voorbeeld Bepaal die som van die reeks tot 0 terme. a = ; d = ; n = 0; S 0 =? S n = n ( a + (n )d ) 0 S 0 = ( () + 9() ) = 0(6) = 60 Meetkundige reekse Vir n meetkundige reeks gebruik ons die volgende formules: a( r S n = n ) ( r) indien r < a(r S n = n ) (r ) indien r > Voorbeeld Gebruik n formule om die som van die reeks tot vier terme te bepaal. a = 7; r = _ ; n = 4; S =? 4 a( r S n = n ) r 7( ( _ S 4 = ) 4 ) _ 7( 8) S 4 = S 4 = 7( 8 8 ) 7 S 4 = 80 8 S 4 = 40 7

25 Voorbeeld Bepaal a = ; d = 4; n =?; T n = 59; S n =? Ons moet eers die aantal terme (n) in hierdie reeks bereken voor ons die som kan bereken. Ons gebruik die formule T n = a + (n )d om die aantal terme te bereken. Ons weet ook wat die laaste term (l) in die reeks is, so ons kan n in die formule S n = n (a + l) vervang om die som te bereken. T n = a + (n l)d S n = n_ ( a + l ) 5 59 = + (n )4 S 5 = ( + 59 ) 5 59 = + 4n 4 S 5 = ( 6 ) 60 = 4n S 5 = 465 n = 5 Voorbeeld Hoeveel terme van die reeks moet bmekaargetel word om n som van 45 te gee? Voorbeeld Bepaal a = 8; r = _ ; n =?; T = n. ; S =? n Ons moet eers die aantal terme (n) in hierdie reeks bereken voor ons die som kan bereken. Ons gebruik die formule T n = ar n om die aantal terme te bereken. Dan vervang ons n in die formule S n = a ( r n ) (r < ) om die som te r bereken. T n = ar n = 8 ( _ ) n _ = _ ( _ ) n = 56 ( _ ) n ( _ ) 8 = ( _ ) n 8 = n 9 = n 8( ( _ ) 9 ) S 9 = _ 8( 5) S 9 = S 9 = 8( 5 5 ) _ S 9 = 8_ S 9 = 5) _ ( 5 5 Voorbeeld Hoeveel terme van die reeks moet bmekaargetel word om n som van 75 te gee? 8

26 a = ; d = ; n =?; S n = 45 S n = n_ ( a + (n )d ) 45 = n_ ( () + (n ) ) Vermenigvuldig 90 = n( + n ) albei kante met 90 = n(n ) 0 = n n 90 0 = (n + 9)(n 0) Faktoriseer 9 n = of n = 0 Los op vir n Aangesien die aantal terme altd n 9 natuurlike getal is, is n = nie geldig nie. Met ander woorde, n kan nie n breuk of n negatiewe getal wees nie. Daarom is n = 0. Voorbeeld 4 5 Bepaal (n 5) n = 5 n = (n 5) = a = ; d = ; n = 5; S 5 =? S n = n_ ( a + (n )d ) 5 S 5 = ( ( ) + 4() ) 5 S 5 = ( 68 ) S 5 = 850 a = 5; r = ; n =?; S n = 75 a( r S n = n ) r 5( 75 = n ) 75 = 5( n ) 55 = ( n ) 56 = n 8 = n n = 8 Voorbeeld 4 0 Bepaal die waarde (. n ) 0 n = (. n ) = n = +. 9 = a = 6; r = ; n = 0 + = 9; S 9 =? a( r S n = n ) S 9 = S 9 = Aangesien r > r 6(9 ) 6(5 ) = 066 Oefening.7. Bereken die som van die volgende: a) tot 5 terme b) tot 7 terme c) tot 0 terme d) tot terme e) tot terme f) tot 0 terme. Bepaal die som van die volgende reekse: a) b) ( _ 7) 8 c) d)

27 e) g) f) Bereken die volgende: a) r b) (r + 5) c) r = r = r = e). k f) (k ) k = n = 0 ( ) r 0 d) ( ) n g) k = n = (9 n) 4. Hoeveel terme van die volgende reekse moet bmekaargetel word om die aangeduide som te gee? a) = 0 b) = c) _ + = 765 d) = 4 64 e) 7 5 = 5. Bepaal die som van die eerste 50 ewe getalle. Gemengde probleme Rekenkundige re en reekse Voorbeeld In n rekenkundige r is, T = 5 en T 6 =. Bepaal die som van die eerste 0 terme van die r. T = 5 en T 6 = a + d = 5 a + 5d = a + 5d = (a + d) = 5 4d = 6 d = 4 a + 4 = 5 Vervang d = 4 in a = a = ; d = 4; n = 0; S 0 =? S n = n ( a + (n )d ) 0 S 0 = ( () + (0 )(4) ) S 0 = 0( ) S 0 = 780 Meetkundige re en reekse Voorbeeld In n meetkundige r is, T = 4 en T 6 = _. Bepaal die som van die eerste 4 terme van die r indien r > 0. T = 4 en T 6 = 4 ar = 4 ar 5 = _ 4 ar 5 ar = _ 4 4 r 4 = _ _ 4 4 r 4 = 6 r = _ Aangesien r > 0 a( _ ) = 4 Vervang r = in vergelking a = 8 a = 8; r = _ ; n = ; S =? a( r S n = n ) ( r) indien r < 8 ( ( ) ) S = S = ( _ ) 8 ( 4 096) =

28 Voorbeeld Bepaal die grootste waarde van n sodat n r = (r + 5) < 50 n r = (r + 5) = (n + 5) Dit is n rekenkundige reeks met a = 7 en d =. S n = n ( (7) + (n ) ) = n ( n + ) = n + 6n n + 6n < 50 n + 6n 50 < 0 Aangesien hierdie trinoom nie faktoriseer nie, kan ons die kwadratiese formule gebruik om op te los vir n. As ons die vergelking n + 6n 50 = 0, oplos vir n: b ± b n = 4ac a 6 4() 50) n = 6 ± () 6 ± 66 n = n = 5,6 of n = 9,6 Indien n + 6n 50 < 0 kr ons die volgende deur n getalleln te gebruik: 5,6 9, ,6 < n < 9,6 Die grootste waarde van n is 9.

29 Oefening.8. In n rekenkundige r is T = en T 7 = 6. Bepaal die som van die eerste 0 terme van die r.. Bepaal die waarde van n indien: n n a) (i 5) = 40 b). i = 85 i = n i = n c) (k + 7) = 008 d) (4 r) = 5 k = n r = n e) _ ( k ) = 640 f) _ ( k ) = 4 k =. In n meetkundige r is T = _ en T =. Bepaal die som van die eerste terme 4 6 van die r. 4. In n rekenkundige r is T 4 = en T 7 = 0. Bepaal die aantal terme indien die som van die reeks 60 is. Waarom kr j twee waardes vir n? 5. In n rekenkundige r oorskr die sewende term die vierde term met 5. Bepaal: a) die waarde van d, die gemene verskil. b) die waarde van a, indien T 7 =. c) die tiende term. d) die som van die eerste 5 terme. 6. In n meetkundige r is die vfde term vier keer die derde term, en die tweede term is 4. Indien r < 0, bepaal: a) die waarde van r, die gemene verhouding. b) die waarde van a. c) die tiende term. d) die som van die eerste 5 terme. 7. a) Bepaal die grootste waarde van n sodat: n n i) (r + 4) < 0 ii) (i ) < 000 r = b) Wat is die kleinste waarde van n sodat k = i = n k = (5 k) < 550? 8. Die eerste term van n meetkundige reeks is 9. Die sewende term is 64. Bepaal 8 twee moontlike waardes vir die som tot sewe terme van die r. 9. Die som van die eerste drie terme van n rekenkundige reeks is. Die sesde term is meer as die vierde term. Bepaal: a) die gemene verskil en die ste term. b) die tiende term. 0. Die som van die eerste vier terme van n meetkundige reeks is 7. Die gemene verhouding is. Bereken: 5 a) die eerste term. b) die sewende term.

30 . Die getalle + ; 5 ; 7 + is die eerste drie terme van n rekenkundige r. Bereken: a) die waarde van. b) die som van die eerste 0 terme van die r.. Die getalle 4; + 8; + 0 is die eerste drie terme van n meetkundige r. Bereken: a) die waarde van. b) die som van die eerste ses terme van die r. Toepassings van rekenkundige en meetkundige re en reekse Rekenkundige re en reekse Voorbeeld n Leer het sporte. Die onderste sport is 800 mm lank. Elke opeenvolgende sport is 40 mm korter as die vorige sport. Bereken die totale lengte van sporte. Die onderste sport is 800 mm Die tweede sport is dan = 760 mm. Die derde sport is = 70 mm en so aan. So die r is: a = 800; d = 40; n = ; S =? S n = n (a + (n )d ) S = ((800) + ( 40)) S = 6( 60) S = Meetkundige re en reekse Voorbeeld Michelle stuur n e-pos aan drie van haar maats. S vra vir hulle om nie die ketting te verbreek nie. Hulle moet elkeen die e-pos vir drie ander maats aanstuur. As hierdie proses voortgaan, bepaal hoeveel mense sal die e-pos ontvang as dit vf keer aangestuur word. Sluit die eerste keer in wat Michelle die e-pos gestuur het. Die r van die aantal e-posse is: a = ; r = ; n = 5 a(r S n = n ) r (5 ) S 5 = (4 ) S 5 = S 5 = 6

31 Voorbeeld n Man se inkomste is R per jaar. S inkomste neem elke jaar met R7 00 toe. S uitgawes beloop R per jaar en neem elke jaar met R4 00 toe. Hoe lank sal dit hom neem om meer as R te spaar? Inkomste: ; 0 00; Uitgawes: ; 70 00; Spaargeld: 0 000; 000; a = 0 000; d = 000; n =? S n > S n = n_ ( a + (n )d ) n_ ( (n ) 000 ) > n( n 000 ) > n n > 0 Deur die kwadratiese formule te gebruik: ± ( 000 ( )) n = 000 n = 5,0 of n = 4,0 (N.v.t.) So dit sal ses jaar neem om meer as R te spaar. Voorbeeld n Bal word vanaf n hoogte van m laat val. Die bal wip _ van die hoogte van s vorige opspring terug. Bereken die afstand wat die bal beweeg het vandat dit laat val is tot dit vir die vfde keer aan die grond geraak het. Rond jou antwoord tot een desimale plek af. + ( ( _ ) + ( _ ) + ( _ ) + ( _ ) 4 ) a = ( _ ); r = _ ; n = 4 a( r S n = n ) r ( _ ) ( ( _ ) 4 ) S 4 = ( _ ) 8( ( 6 8) ) S 4 = 8 6 S 4 = 8( 8 ) _ S 4 = 8_ 65 _ 8 S 4 = 9,6 m Die totale afstand wat die bal beweeg het is: + (9,6) = 50,5 m Oefening.9. Meneer Langa begin met 450 skape boer. H vind dat s vee elke jaar met % vermeerder. Hoeveel skape sal meneer Langa aan die einde van vf jaar op s plaas hê?. Joe begin met n sekere aantal beeste boer. H vind dat h elke jaar 0 meer beeste het. Aan die einde van vf jaar het Joe 40 beeste. Met hoeveel beeste het h begin boer?. Dean se ouma gee vir hom R op s eerste verjaarsdag, R op s tweede verjaarsdag, R op s derde verjaarsdag, R4 op s vierde verjaarsdag, en so aan. a) Hoeveel geld sal Dean op s 0ste verjaarsdag ontvang? b) Bereken die totale bedrag geld wat Dean oor die 0 jaar b s ouma gekr het. 4

32 4. Sipho se ouma gee vir hom een sent op s eerste verjaarsdag, twee sent op s tweede verjaarsdag, vier sent op s derde verjaarsdag, agt sent op s vierde verjaarsdag, en so aan. a) Hoeveel geld sal Sipho op s 0ste verjaarsdag kr? b) Bereken die totale bedrag geld wat Sipho oor die 0 jaar b s ouma gekr het. 5. Verws na vraag en 4. Sou Dean of Sipho meer geld oor die 0 jaar gekr het? 6. n Atleet oefen om aan die Comradesmaraton deel te neem. H draf km op die eerste dag en vermeerder s afstand elke dag met km. a) Op watter dag sal h n afstand van km aflê? b) Na hoeveel dae sal h n totale afstand van 0 km aflê? 7. Die padwerkdepartement teer n pad. Hulle slaan kamp op aan die begin van die pad. Die werkers teer elke dag 0,6 km van die pad en keer aan die einde van die dag terug na hulle kampeerplek toe. a) Hoe ver sal die werkers op die 0ste dag beweeg? b) Hoe ver sou die werkers in totaal na 0 dae beweeg het? 8. Kashiv spaar R500 in die eerste maand van s werksloopbaan. H spaar dieselfde bedrag aan die einde van elke maand van die jaar. Elke daaropvolgende jaar kr h dit reg om 0% meer te spaar as wat h die vorige jaar gespaar het. Bereken: a) Kashiv se totale spaargeld aan die einde van die eerste jaar. b) die bedrag wat Kashiv in s sesde jaar sal spaar. c) die totale bedrag wat Kashiv aan die einde van ses jaar sou gespaar het. 9. n Horisontale ln sn n deel van die sinuskromme b vier punte. Dit verdeel dus die kromme in vf dele. a) Indien n tweede ln getrek word om die kromme te sn, in hoeveel dele sal die kromme verdeel word? b) Indien tien lne getrek word om die kromme te sn, in hoeveel dele sal die kromme verdeel word? 0. n Fabriek vervaardig n produk vir R00,00. Elke keer wat die produk gekoop en verkoop word, word n wins van 5% gemaak. a) Indien die produk sewe keer gekoop en verkoop word, wat sal die prs van die produk wees? b) Bereken die verskil tussen die oorspronklike prs en die prs nadat dit vir die sewende keer verkoop is.. Vaughan berei voor vir n fietswedren. In die eerste week r h km. H vermeerder dan elke week s afstand met km. a) Watter afstand het Vaughan in die sewende week ger? b) Wat was die totale afstand wat Vaughan na sewe weke afgelê het? 5

33 . n Watertenk bevat 6 l water. As gevolg van n lekkasie verloor die tenk n sesde van die vorige dag se inhoud. Hoeveel liter water sal daar in die tenk wees aan die einde van die: a) tweede dag b) derde dag c) sewende dag?. Zintle besluit om b n stokvel aan te sluit om geld te spaar vir haar seun se naskoolse opvoeding. S sluit in Januarie van haar seun se Graad -jaar b die stokvel aan en moet elke maand R00,00 betaal. Die stokvelbetalings word elke jaar met R50,00 verhoog. Indien daar mense in die stokvel is en Zintle in Desember betaal word, hoeveel geld sal s teen die einde van jaar gespaar het, met die veronderstelling dat s nie voorheen enige van haar stokvelgeld spandeer het nie? Oneindige reekse Oefening.0 Vir elke reeks: a) voltooi die tabel b) teken n grafiek waar die -as die aantal terme voorstel en die -as die som van die terme voorstel S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks :

34 S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks : _ + _ + _ S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks :,00,75,50,5,00 0,75 0,50 0,

35 S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 4: S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 5:

36 S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 6: S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 7:

37 S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 8: S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 9:

38 S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 0: S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks :

39 S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks : _ + + S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks :

40 S S S S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 0 Grafiek vir reeks 4: Tot nou toe het ons altd n eindige aantal terme bmekaargetel. n Oneindige reeks het n oneindige aantal terme. Ons kan in sommige gevalle die som van n oneindige reeks uitwerk. Ons skrf dit as S, wat die som tot oneindigheid beteken. Indien j n oneindige aantal terme bmekaar kon tel, wat dink j sal die som van die reeks wees? Gebruik die tabelle en grafieke van die vorige vrae en voltooi die volgende tabel: R RR of MR d = r = Gevolgtrekking oor die S

41 R RR of MR d = r = Gevolgtrekking oor die S 4 Merk die relevante blokkie: n Reeks: konvergeer indien die som n bepaalde waarde nader soos ons meer terme bmekaartel. divergeer indien die som van die reeks n baie groot positiewe of negatiewe getal word soos ons meer terme bmekaartel. ossilleer indien die som van die reeks tussen positief en negatief verander soos ons meer terme bmekaartel. Reeks Meetkundige reeks Rekenkundige reeks r < < r < r = r > d < 0 d > 0 Konvergeer Divergeer Ossilleer Gevolgtrekking: Som tot oneindigheid Ons vind uit die ondersoek dat slegs n meetkundige reeks sal konvergeer. n Meetkundige reeks sal in werklikheid slegs konvergeer indien < r <. Ons kan soos volg n formule vir die som tot oneindigheid aflei: a ar S n = n r a S n = r ar n r indien < r <, dan is r n 0 aangesien n (Onthou dat die pltjie is genieg om beteken.) ar n r 0 aangesien n a S n r aangesien n a S = r 4

42 Voorbeeld Bepaal: n =. ( ) n = n. ( ) a = r = a S = r = = = = 4 n =. ( ) 0 +. ( ) +. ( ) +. ( ) + = Voorbeeld Gebruik die formule vir S van n meetkundige reeks om 0, 6as n gewone breuk uit te druk. 0, 6 6 = a = r 0 = 0 a S = r 6 0 = 6 0 = = = Voorbeeld Vir watter waardes van sal die reeks ( + ) + ( + ) + ( + ) +... konvergeer? Vir die reeks ( + ) + ( + ) + ( + ) +..., r = + Vir die reeks om te konvergeer, < r < < + < < < 0 5

43 Oefening.. Bepaal die som tot oneindigheid vir die volgende reekse: a) b) 4; ; ; _ ; c) _ + d) _ e) f) Bepaal die waarde van die volgende, indien moontlik. Indien nie moontlik nie, gee n rede waarom die som tot oneindigheid nie bepaal kan word nie. a). ( n n b) ) ( 4 c) () n n = d) 8( ) n = 0 n n = 5) e) 8( ) n = n n = f) n n =. Herlei elkeen van die volgende na n gewone breuk: a) 0, 8 b), 4 c), 5 4. Gegee die r 5(4 5 ) + 5(4 4 ) + 5(4 ) + a) Bews dat die reeks konvergent is. b) Bereken die som tot oneindigheid van die reeks. 5. Gegee die meetkundige reeks a) Bews dat T n = 7( ) n b) Vir watter waardes van sal die reeks konvergeer? c) Bereken die som tot oneindigheid indien =. 6. In n r vierkante is die se van die eerste vierkant 4 cm lank. Die se van elke daaropvolgende vierkant is die helfte van die vorige vierkant. 4 cm cm cm cm 6 a) Bepaal die lengte van die s van die agste vierkant. b) Skrf die reeks vir die omtrek van die vierkante neer. c) Bepaal die som van die omtrekke van die vierkante as hulle oneindig voortgaan. d) Skrf die reeks vir die oppervlakte van die vierkante neer. e) Bepaal die som van die oppervlaktes van die vierkante as hulle oneindig voortgaan.

44 7. Die getalle 5m 7; m + ; m + is positiewe getalle en die eerste drie terme van n konvergente meetkundige reeks. Bereken: a) die waarde van m. b) die som tot oneindigheid van die reeks. 8. Die som tot oneindigheid van n meetkundige reeks is 8 en die gemene verhouding is _. Bereken die eerste term van die reeks In die reeks , is A die som tot oneindigheid en B is die som 4 tot n terme. Bereken: a) die waarde van A. b) die waarde van B in terme van n. c) die waarde van n waarvoor A B = n Plant is 00 cm hoog wanneer dit geplant word. Aan die einde van die eerste jaar is die plant 0 cm hoog. Die plant groei elke jaar met die helfte van die hoeveelheid van die vorige jaar. a) Wat sal die plant se hoogte na ses jaar wees? b) Bews dat die plant nooit n hoogte van 40 cm sal oorskr nie. Opsomming Rekenkundig Meetkundig Toets T T = T T T T T T Algemene vorm T n = a + (n )d T n = a. r n S n = n ( a + (n )d ) Of S n = n ( a + l ) a( r S n = n ) ; r < r Som Of a( r S n = n ) r ; r > Gemiddelde a + b ab Konvergeer vir: < r < a S S = r Hersieningsoefening. Gegee die volgende r: ; 6; ; 0 a) Bews dat T n =. n b) Bepaal:. Gegee die reeks: 6; ; 9; 7 4 ; a) Bereken die som van die eerste tien terme van die reeks. b) Bepaal die som tot oneindigheid. c) Skrf die som van die eerste tien terme van die reeks in sigmanotasie. n = T n 7

45 n n(n + ). a) Bews dat (r + 4) = r = b) Bepaal hieruit die som van die eerste 0 terme van die reeks. c) Hoeveel terme van die reeks sal n som van 996 gee? 4. Hoeveel terme van die reeks werk altesaam uit op 876? 5. In n rekenkundige reeks is S 6 = 0 en S 5 =. Bepaal die waarde van T Vir watter waardes van sal die meetkundige reeks + ( + ) + ( + ) + konvergeer? 7. Die som van die derde en die sewende terme van n rekenkundige reeks is 48. Die som van die eerste tien terme van die reeks is 65. Bepaal die eerste drie terme van die reeks. 8. T T T T 4 T Hierdie r kan óf rekenkundig óf meetkundig wees. a) Bepaal die nde term in elke geval. b) Bepaal hieruit die eerste en vierde terme indien die r die volgende is: i) rekenkundig ii) meetkundig. 9. Gegee die r: ; ; 4 ; 5; ; 9; 8 a) Skrf die volgende vier terme neer indien die r op dieselfde manier voortgaan. b) Bepaal die som van die eerste 40 terme van die r. 0. Bepaal die nde term van die r 4; ; indien die r die volgende is: a) rekenkundig b) meetkundig.. Die som van die eerste n terme van n r word gegee deur die formule S n = n + 9. a) Bepaal die som van die eerste 0 terme van die r. b) Bepaal die 0ste term van die r. c) Bews dat T n =. n.. Bepaal die 5de term van die rekenkundige reeks: + ; ; ;. n Bal val vanaf n hoogte van 6 meter en wip elke keer die helfte van die afstand terug. Bereken die totale afstand wat dit sal beweeg voor dit tot ruste kom. 4. Die som van n terme van die rekenkundige reeks is gelk aan die som van n terme van die rekenkundige reeks Bereken die waarde van n. 5. n Boom word geplant en die hoogte word aan die einde van elke jaar gemeet. Die hoogte van die boom is m aan die einde van die eerste jaar. In die tweede jaar neem die boom se hoogte met 5 cm toe. Die boom se hoogte neem elke jaar met 4 van die vorige jaar se groei toe. 5 8

46 a) Voltooi die tabel: Hoogte van boom in m,5 Jaar Jaar Jaar Jaar 4 Jaar 5 Groei in cm 5 b) Bepaal die toename in die hoogte van die boom aan die einde van die de jaar. c) Bepaal die hoogte van die boom na jaar. d) Bews dat die maksimum hoogte wat die boom sal bereik,75 m sal wees. 6. Sedert 00 het die sterftes per mense in gevaar as gevolg van malaria in Afrika rofweg die volgende patroon gevolg: T T T T 4 T ,, 9,6 07 a) Bepaal of dit die patroon volg van i) n meetkundige r ii) n rekenkundige r iii) n kwadratiese r. b) Bepaal die nde term van hierdie r. c) Watter persentasievermindering het tussen 00 en 00 plaasgevind? 9

47 Hoofstuk Funksies en inverse funksies In hierdie hoofstuk gaan j: funksies hersien wat in Graad 0 en behandel is n funksie definieer oor die inverse van n funksie leer leer hoe om die grafieke van inverse funksies te skets. In Graad 0 en het j geleer hoe om die grafieke van verskillende funksies te skets, naamlik: die reguitln: = a + q die parabool: = a( + p) + q a die hiperbool: = ( + p) + q die eksponensiaalfunksie: = a. b + p + q Hersiening van funksies wat in Graad 0 en behandel is Voor j n grafiek skets moet j: die kromme identifiseer, so j moet vertroud wees met die algemene vergelking van elke funksie n ruwe skets van die grafiek teken die moontlike - en -afsnitte van die grafiek bereken die vergelkings van enige asimptote neerskrf die vergelking van die simmetrie-as van n parabool en die koördinate van die draaipunt neerskrf. 40

48 Voorbeeld Skets die grafiek van = +. Dit is die grafiek van n reguitln met n negatiewe gradiënt: gradiënt = Ruwe skets: Om die -afsnit te bereken, maak ons = 0 en los op vir : = ( 0 ) + = Die -afsnit is (0; ). Om die -afsnit te bereken, maak ons = 0 en los op vir : 0 = + 0 = + 6 Vermenigvuldig albei kante met = 6 Die -afsnit is (6; 0)

49 Voorbeeld Skets die grafiek van = ( ) 8. Dit is die grafiek van n parabool. Die vergelking van die simmetrie-as is =. Die draaipunt van die grafiek is (; 8). Om die -afsnit te bereken, maak = 0 en los op vir : = (0 ) 8 = 0 Die -afsnit is (0; 0). Ruwe skets: Om die -afsnit te bereken, maak = 0 en los op vir : 0 = ( ) 8 8 = ( ) Tel 8 b albei kante 4 = ( ) Deel albei kante deur ± 4 = ( ) Bepaal die vierkantswortel van albei kante = of = = = 5 0 Die -afsnitte is (; 0) en (5; 0) ( ) 8 4

50 Voorbeeld Skets die grafiek van = 4 +. Dit is die grafiek van n hiperbool. Die vergelking van die asimptote is = en =. Om die -afsnit te bereken, maak ons = 0 en los op vir : 4 = 0 + = 6 Die -afsnit is (0; 6). Om die -afsnit te bereken, maak ons = 0 en los op vir : 4 0 = + 4 = Tel 4 b albei kante 4 = ( ) Bepaal die KGN 4 = 6 = Tel b albei kante = Deel albei kante deur Die -afsnit is (; 0). Bepaal die koordinate van nog punte om jou te help om die grafiek te teken Ruwe skets: = ( ) 4

51 Voorbeeld 4 Skets die grafiek van = ( ) Dit is die grafiek van n eksponensiaalfunksie. Die vergelking van die asimptoot is = 4. Om die -afsnit te bereken, maak ons = 0 en los op vir : = ( ) = Die -afsnit is (0; ). Ruwe skets: Om die -afsnit te bereken, maak ons = 0 en los op vir : 0 = ( ) ( ) + = 4 Tel ( ) + b albei kante ( ) + = Deel albei kante deur ( ) + = Skrf as = Verhef n mag tot n mag = = = Die -afsnit is ( ; 0). Stel die eksponente gelk Los op vir 4 =

52 Oefening.. Skets die grafieke van die volgende: a) = b) = ( ) c) = d) = e) = f) = g) = h) = i) = + + j) = ( + ) + k) = l) = m) = n) = o) = ( ) + p) = 4 + q) = ( ) + 4 r) = s) = ( ) 8 t) =. +. Bepaal die vergelkings van die volgende: a) f() = a( + p) + q b) g() = (; 9) a + p + (0; 5) f (; ) c) h() = ab + q d) p() = a + b + c (; 7) ( ; 6) 45

53 a e) g() = + p + q f) h() =. b+p + q 8 6 ( 4; ) ( ; ) g) = a + p ; > 0 h) = b + p (; ) i) = a ( ; ) 46

54 Funksies n Relasie is enige verwantskap tussen twee veranderlikes. n Funksie is n spesiale soort relasie waarin: Daar vir elke -waarde op die meeste een -waarde is. Elke element van die gebied (ook bekend as definisieversameling) word met slegs een element van die terrein (ook bekend as waardeversameling) geassosieer. Met ander woorde, die -waardes word nooit in die versameling geordende pare van n funksie herhaal nie. Let op dat ons in hierdie hoofstuk gebied en terrein gebruik. Bvoorbeeld: {(; ); (; 4); (; 6)} is n funksie, {(; ); (; ); (; 4); (; 4)} is NIE n funksie nie, want die -koördinate word herhaal. Enige vertikale ln sal die grafiek van n funksie een keer en slegs een keer sn. Bvoorbeeld: funksie Nie n funksie nie Nie n funksie nie n Funksie het n een-tot-een- of baie-tot-een-afbeelding. i) ii) iii) iv) Een-tot-een-afbeelding funksie Baie-tot-een-afbeelding funksie Een-tot-baie-afbeelding nie n funksie nie Baie-tot-baie-afbeelding nie n funksie nie Indien ons die geordende pare vir elke afbeelding ls, het ons: i) {( ; 5); (0; 7); (; 9)} Geen -koördinaat word herhaal nie, so die relasie is n funksie. Elke -waarde beeld slegs op een -waarde af. Met ander woorde, nie die - of die waardes word herhaal nie. Die gebied is { ; 0; } en die terrein is {5; 7; 9}. ii) {( ; 5); ( ; 5); (0; 7); (; 7)} Geen -koördinaat word herhaal nie, so die relasie is n funksie. Baie -waardes beeld op meer as een -waarde af. Met ander woorde, die -waardes word nie herhaal nie, maar die -waardes word herhaal. 47

55 Die gebied is { ; ; 0; } en die terrein is {5; 7}. (iii) {( ; 4); ( ; 4); ( ; 6); (; 7); (; 8)} Twee -koördinate word herhaal, so die relasie is nie n funksie nie. Dieselfde -waarde beeld op verskillende -waardes af. Met ander woorde, die -waardes word herhaal, maar die -waardes word nie herhaal nie. Die gebied is { ; } en die terrein is {4; 6; 7; 8}. (iv) {( ; 4); ( ; 4); ( ; 6); (; 6); (; 8)} Twee - koördinate word herhaal, so die relasie is nie n funksie nie. Baie -waardes beeld op baie -waardes af. Met ander woorde, beide die - en die waardes word herhaal. Die gebied is { ; ; } en die terrein is {4; 6; 8}. n Funksie is toenemend indien die veranderlikes in dieselfde rigting verander. Met ander woorde, soos die -waardes toeneem, neem die -waardes ook toe. Of, soos die -waardes afneem, neem die -waardes ook af. n Funksie is afnemend indien die veranderlikes in verskillende rigtings verander. Met ander woorde, soos die waardes van toeneem, neem die waardes van af. Of, soos die waardes van afneem, neem die waardes van toe. Oefening.. Bepaal watter van die volgende grafieke is funksies. a) b) c) d) e) f) g) h). f = {(; 5); (; 7); (4; 9); (5; )} a) Is f n funksie? Gee n rede vir jou antwoord. b) Skrf die gebied en terrein van f neer. c) Bepaal m indien f(m) = 9. d) Bepaal n indien f() = n.. Gegee dat P nie n funksie is nie, bepaal die waarde(s) van. 48

1.1 Los die onderstaande korrek op tot TWEE desimale plekke waar nodig: 1.1.1

1.1 Los die onderstaande korrek op tot TWEE desimale plekke waar nodig: 1.1.1 Wiskunde Vraestal 1 VRAAG 1 11 Los die onderstaande korrek op tot TWEE desimale plekke waar nodig: 111 50= 0 () 11 ( 1)( ) = 1 Bepaal die oplossing van die ongelkheid + 9> vir ε {heelgetalle] 1 Los gelktdig

Nadere informatie

Gr 9 Wiskunde: Inhoudsarea 2 Patrone, Algebra & Grafieke

Gr 9 Wiskunde: Inhoudsarea 2 Patrone, Algebra & Grafieke Gr 9 Wiskunde: Inhoudsarea Patrone, Algebra & Grafieke VRAE Patrone Meestal vorige ANA eksameninhoud Algebraïese Uitdrukkings Faktorisering Algebraïese Vergelkings Grafieke Vrae: Patrone PATRONE ( Antwoorde

Nadere informatie

WISKUNDE SKOOL GEBASEERDE ASSESSERING VOORBEELDE

WISKUNDE SKOOL GEBASEERDE ASSESSERING VOORBEELDE WISKUNDE SKOOLGEBASEERDE ASSESSERING VOORBEELDE KABV GRAAD 12 LEERDERGIDS i WISKUNDE SKOOLGEBASEERDE ASSESSERING VOORBEELDE KABV GRAAD 12 LEERDERGIDS 1 INHOUD Inleiding...3 1. Werkstuk...4 Rye en reekse

Nadere informatie

OEFENVRAESTEL VRAESTEL 1

OEFENVRAESTEL VRAESTEL 1 OEFENVRAESTEL VRAESTEL 1 WISKUNDE GRAAD 11 TOTAAL: 150 PUNTE INSTRUKSIES 1. Hierdie is SLEGS n oefenvraestel met voorbeelde van die tipe vrae wat in n graad 11-jaareindvraestel verwag kan word. Daar is

Nadere informatie

Die horisontale as verteenwoordig die invoerveranderlike en die vertikale as die uitvoerveranderlike, en die twee asse sny by n gesamentlike nulpunt.

Die horisontale as verteenwoordig die invoerveranderlike en die vertikale as die uitvoerveranderlike, en die twee asse sny by n gesamentlike nulpunt. As jy na die volgende getal- masjien kyk: y = x +, sal jy sien wanneer ons verskillende waardes vir x invoer, ons elke keer n ander waarde sal hê vir y. Met ander woorde, gestel ons voer die volgende waardes

Nadere informatie

FAKTORE EN VEELVOUDE

FAKTORE EN VEELVOUDE FAKTORE EN VEELVOUDE Ons gaan nou na n paar stukkies teorie kyk in verband met Natuurlike- en Telgetalle. Voltooi: 3 X 1 = 3 X 2 = 3 X 3 = 3 X 4 = 3 X 5 = Ons sê dus dat 3, 6, 9, 12 en 15 VEELVOUDE is

Nadere informatie

Die vrae uit ou vraestelle, toetsvraestelle, en modelvraestelle is individueel gekies en uitgehaal vir

Die vrae uit ou vraestelle, toetsvraestelle, en modelvraestelle is individueel gekies en uitgehaal vir Die vrae uit ou vraestelle, toetsvraestelle, en modelvraestelle is individueel gekies en uitgehaal vir Kategorisering Dieselfde vraag kan b meer as een afdeling van die sillabus voorkom, of meer as een

Nadere informatie

Maak dit n kwadratiese vergelyking deur =0 aan die regterkant by te sit: 2x

Maak dit n kwadratiese vergelyking deur =0 aan die regterkant by te sit: 2x VIERKANTSVOLTOOIING Jy het al verskeie maniere teëgekom waarmee jy kwadratiese vergelykings kan oplos, en een wat jy dalk nog nie gesien het nie, en wat ook goed werk, staan bekend as vierkantsvoltooiing.

Nadere informatie

Funksies en Grafieke: Eksponensiële funksies *

Funksies en Grafieke: Eksponensiële funksies * OpenStax-CNX module: m39665 1 Funksies en Grafieke: Eksponensiële funksies * Free High School Science Texts Project This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the Creative Commons Attribution

Nadere informatie

HOëRSKOOL STRAND WISKUNDE NOVEMBER 2016 GRAAD 11 VRAESTEL 1

HOëRSKOOL STRAND WISKUNDE NOVEMBER 2016 GRAAD 11 VRAESTEL 1 HOëRSKOOL STRAND WISKUNDE NOVEMBER 016 TOTAAL: 150 Eksaminator: P. Olivier INSTRUKSIES: GRAAD 11 VRAESTEL 1 TYD: 3UUR Moderator: E. Loedolff 1. Rond af tot desimale plekke, waar nodig.. n Goedgekeurde

Nadere informatie

VRAESTEL 1/2 GRAAD 12 JUNIE-EKSAMEN

VRAESTEL 1/2 GRAAD 12 JUNIE-EKSAMEN WISKUNDE VRAESTEL 1/2 GRAAD 12 JUNIE-EKSAMEN 2014 TOTAAL: 150 TYD: 3 UUR HIERDIE VRAESTEL BESTAAN UIT 8 BLADSYE Bladsy 1 van 8 WISKUNDE VRAESTEL 1/2 GRAAD 12 JUNIE-EKSAMEN 2014 INSTRUKSIES: Hierdie vraestel

Nadere informatie

Wiskunde Vraestel 1 Vrae Wiskunde Vraestel 1: Vrae. Kopiereg voorbehou

Wiskunde Vraestel 1 Vrae Wiskunde Vraestel 1: Vrae. Kopiereg voorbehou Wiskunde Vraestel 1: Vrae 1 Vraag 1 1.1 Los die volgende op vir x, korrek tot twee desimale plekke waar nodig. 1.1.1 x ( x + 5) = 1.1. 1.1. x < 0 x + 1. 1..1 Los gelyktydig op vir x en y as x y = 1 en

Nadere informatie

OEFENVRAESTEL VRAESTEL 1

OEFENVRAESTEL VRAESTEL 1 OEFENVRAESTEL VRAESTEL 1 WISKUNDE GRAAD 10 TOTAAL: 100 PUNTE INSTRUKSIES 1. Hierdie is SLEGS n oefenvraestel met voorbeelde van die tipe vrae wat in n Gr 10 jaareindvraestel verwag kan word. Dus is daar

Nadere informatie

Wiskunde. Graad 12 Vraestel 1. Tyd: 3 uur. Totaal: 150

Wiskunde. Graad 12 Vraestel 1. Tyd: 3 uur. Totaal: 150 Wiskunde Graad 12 Vraestel 1 2012 Tyd: 3 uur Totaal: 150 INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies noukeurig deur voordat die vrae beantwoord word: 1. Hierdie vraestel bestaan uit 9 vrae.

Nadere informatie

Breedte. Oppervlak = Lengte X Breedte. Ons kan nou enige reghoek se oppervlak bereken met hierdie formule, nie waar nie?

Breedte. Oppervlak = Lengte X Breedte. Ons kan nou enige reghoek se oppervlak bereken met hierdie formule, nie waar nie? Jy moet verstaan dat daar, net soos in Afrikaans of Engels of Spaans, ook n nut is vir n Wiskunde Taal om mee te kan gesels wanneer ons wiskunde doen. Ons gaan nou nog meer daarna kyk, en die reëls vir

Nadere informatie

GRAAD 12 SEPTEMBER 2012 WISKUNDE V1

GRAAD 12 SEPTEMBER 2012 WISKUNDE V1 Province of the EASTERN CAPE EDUCATION NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 12 SEPTEMBER 2012 WISKUNDE V1 PUNTE: 150 TYD: 3 uur *MATHA1* Hierdie vraestel bestaan uit 8 bladsye, 3 diagramvelle en ʼn inligtingsblad.

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 WISKUNDE V1 NOVEMBER 01 PUNTE: 150 TYD: uur Hierdie vraestel bestaan uit 8 bladsye. Wiskunde/V1 DBE/November 01 INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies

Nadere informatie

Wiskundige Geletterdheid. Data Hantering. Opsomming van Data. Kwartiele

Wiskundige Geletterdheid. Data Hantering. Opsomming van Data. Kwartiele Wiskundige Geletterdheid Data Hantering Opsomming van Data Kwartiele Let wel: KAPV vereis slegs die interpretasie van kwartiele (houer-en-punt stippings). Ek sluit egter die teken van die houer-en-punt

Nadere informatie

OEFENVRAESTEL VRAESTEL 1

OEFENVRAESTEL VRAESTEL 1 OEFENVRAESTEL VRAESTEL 1 WISKUNDE GRAAD 10 TOTAAL: 100 PUNTE INSTRUKSIES 1. Hierdie is SLEGS n oefenvraestel met voorbeelde van die tipe vrae wat in n Gr 10- jaareindvraestel verwag kan word. Dus is daar

Nadere informatie

HANDLEIDING WISKUNDE GRAAD 9

HANDLEIDING WISKUNDE GRAAD 9 HANDLEIDING WISKUNDE GRAAD 9 n Publikasie van Impak Onderwysdiens (Edms) Bpk Kopiereg voorbehou. Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder

Nadere informatie

Wiskunde. Graad 12 Vraestel 1. Tyd: 3 uur. Totaal: 150

Wiskunde. Graad 12 Vraestel 1. Tyd: 3 uur. Totaal: 150 - 1 - CAMI Education (PTY) Ltd Reg. No. 1996/01609/0 CAMI House Fir Drive, North Cliff Posbus 160 CRESTA, 118 TEL: + (11) 46-00 Faks: 086 601 4400 Web: www.camiweb.com e-pos: info@camiweb.com Wiskunde

Nadere informatie

Kom ons kyk nou gou net na die getalle van nul to by 999 en selfs groter, as n hersiening van plekwaardes. Bewerkings met telgetalle

Kom ons kyk nou gou net na die getalle van nul to by 999 en selfs groter, as n hersiening van plekwaardes. Bewerkings met telgetalle Van die vroegste tye wat mense kon praat en nodig gehad het om te kan tel, het hulle Natuurlike Getalle gebruik. Dit maak sin, want hulle kon 3 rotse of 5 koeie sien maar hulle het geen begrip gehad vir

Nadere informatie

EKSAMENVRAESTELLE PATRONE EN RYE [26]

EKSAMENVRAESTELLE PATRONE EN RYE [26] NINL KPLR J mag 'n goedgekeurde, wetenskaplike sakrekenaar (nie-programmeerbaar en nie-grafies) gebruik, tens anders vermeld. Indien nodig, rond jou antwoorde tot W desimale plekke af, tens anders vermeld.

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 WISKUNDE V1 NOVEMBER 015 PUNTE: 150 TYD: 3 uur Hierdie vraestel bestaan uit 8 bladsye. Wiskunde/V1 DBE/November 015 INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies

Nadere informatie

Watter koek se dele lyk vir jou die grootste? Dis Reg! Die koek wat in 3 dele gesny is se dele is groter as die koek wat in 4 dele gesny is.

Watter koek se dele lyk vir jou die grootste? Dis Reg! Die koek wat in 3 dele gesny is se dele is groter as die koek wat in 4 dele gesny is. Hoe om breuke met mekaar te vergelyk Jou ma het sjokoladekoeke gebak. Sy het een in gelyke dele verdeel en die ander in gelyke dele. Jy wil graag die grootste stuk koek hê, maar weet nou nie van watter

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 WISKUNDE V1 NOVEMBER 016 PUNTE: 150 TYD: 3 uur Hierdie vraestel bestaan uit 9 bladsye. Wiskunde/V1 DBE/November 016 INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies

Nadere informatie

WISKUNDE VRAESTEL 2/2 GRAAD 12 JUNIE-EKSAMEN 2014 MEMORANDUM

WISKUNDE VRAESTEL 2/2 GRAAD 12 JUNIE-EKSAMEN 2014 MEMORANDUM WISKUNDE VRAESTEL 2/2 GRAAD 12 JUNIE-EKSAMEN 2014 MEMORANDUM WISKUNDE VRAESTEL 2/2 GRAAD 12 JUNIE-EKSAMEN 2014 MEMORANDUM Vraag 1 1.1.1 1 vir die totaal 789 gedeel met 30 Gee vol punte vir die antwoord

Nadere informatie

GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I MODULE 1: CALCULUS EN ALGEBRA LEES ASSEBLIEF DIE VOLGENDE INSTRUKSIES NOUKEURIG DEUR

GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I MODULE 1: CALCULUS EN ALGEBRA LEES ASSEBLIEF DIE VOLGENDE INSTRUKSIES NOUKEURIG DEUR GRAAD 1-EKSAMEN NOVEMBER 017 GEVORDERDEPROGRAM-WISKUNDE: VRAESTEL I MODULE 1: CALCULUS EN ALGEBRA Tyd: uur 00 punte LEES ASSEBLIEF DIE VOLGENDE INSTRUKSIES NOUKEURIG DEUR 1. Hierdie vraestel bestaan uit

Nadere informatie

Vergelyking van 'n reguitlyn vanuit 'n grafiek *

Vergelyking van 'n reguitlyn vanuit 'n grafiek * OpenStax-CNX module: m31468 1 Vergelyking van 'n reguitlyn vanuit 'n grafiek * Siyavula Uploaders This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the Creative Commons Attribution License 3.0 1

Nadere informatie

SENIOR FASE GRAAD 7 NOVEMBER 2017 WISKUNDE

SENIOR FASE GRAAD 7 NOVEMBER 2017 WISKUNDE SENIOR FASE GRAAD 7 NOVEMBER 2017 WISKUNDE PUNTE: 100 TYD: 2 uur Naam van leerder: Naam van skool: *7WISK* Die vraestel bestaan uit 14 bladsye. 2 WISKUNDE (EC/NOVEMBER 2017) INSTRUKSIES 1. Lees al die

Nadere informatie

Probleemoplossing Skryf van Getallesinne:

Probleemoplossing Skryf van Getallesinne: n Getallesin bestaan altyd uit die volgende: 1. Syfers of getalle; bv. 23; 567; 3,245; ens. 2. Bewerkingsteken; bv. 3. Verwantskap teken; bv. Getallesinne Ons kry twee soorte getallesinne: 1. Oop getallesin

Nadere informatie

6 tellers en noemers bymekaarbring en van mekaar skei.

6 tellers en noemers bymekaarbring en van mekaar skei. Vereenvoudiging van veeltermige eksponensiële uitdrukkings As jy die volgende breuk kry: dan weet jy mos dat jy n KGV moet kry, sodat beide die getalle onder die lyn dieselfde sal wees Die twee breuke

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 WISKUNDE V1 NOVEMBER 2015 PUNTE: 100 TYD: 2 uur Hierdie vraestel bestaan uit 7 bladsye. Wiskunde/V1 2 DBE/November 2015 INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende

Nadere informatie

Alles in boek 1 Alle toetse Al die oefeninge aan die einde van elke hoofstuk in die handboek. Kwartaaltoetse in handboek Vraestelle in handboek

Alles in boek 1 Alle toetse Al die oefeninge aan die einde van elke hoofstuk in die handboek. Kwartaaltoetse in handboek Vraestelle in handboek HOËRSKOOL WONDERBOOM AFBAKENING : WISKUNDE GR.11 : VRAESTEL 1 (11 November 2016) Werk deur : Alles in boek 1 Alle toetse Al die oefeninge aan die einde van elke hoofstuk in die handboek. Kwartaaltoetse

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 TEGNIESE WISKUNDE V1 MODEL 2016 PUNTE: 100 TYD: 2 uur Hierdie vraestel bestaan uit 7 bladsye en 1 diagramvel. Tegniese Wiskunde/V1 2 DBE/2016 INSTRUKSIES EN INLIGTING

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 WISKUNDE V2 NOVEMBER 2015 PUNTE: 100 TYD: 2 uur Hierdie vraestel bestaan uit 11 bladsye en 'n 16 bladsy-antwoordeboek. Wiskunde/V2 2 DBE/November 2015 INSTRUKSIES

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT EKSAMEN WISKUNDE VRAESTEL 1 GRAAD 10 OKTOBER / NOVEMBER EKSAMEN

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT EKSAMEN WISKUNDE VRAESTEL 1 GRAAD 10 OKTOBER / NOVEMBER EKSAMEN NASIONALE SENIOR SERIFIKAA EKSAMEN WISKUNDE VRAESEL 1 GRAAD 10 OKOBER / NOVEMBER EKSAMEN 01 PUNE: 100 YD: URE Hierdie vraestel bestaan uit 6 bladsye INSRUKSIES EN INLIGING Lees die volgende instruksies

Nadere informatie

GRAAD 11 NOVEMBER 2016 WISKUNDE V1

GRAAD 11 NOVEMBER 2016 WISKUNDE V1 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 NOVEMBER 2016 WISKUNDE V1 PUNTE: 150 TYD: 3 uur *Iwis1* Hierdie vraestel bestaan uit 6 bladsye. 2 WISKUNDE V1 (EC/NOVEMBER 2016) INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 WISKUNDE V1 MODEL 01 PUNTE: 100 TYD: hours Hierdie vraestel bestaan uit 6 bladsye. Wiskunde/V1 DBE/01 INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies aandagtig

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 WISKUNDE V1 MODELVRAESTEL - 2006 PUNTE: 100 TYD: 2 uur Hierdie vraestel bestaan uit 7 bladsye. Kopiereg voorbehou Blaai om asseblief INSTRUKSIES EN INLIGTING 2 Lees

Nadere informatie

GRAAD 11 WISKUNDE DERDE VRAESTEL NOVEMBER 2009

GRAAD 11 WISKUNDE DERDE VRAESTEL NOVEMBER 2009 Province of the EASTERN CAPE EDUCATION NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 WISKUNDE DERDE VRAESTEL NOVEMBER 2009 PUNTE: 100 TYD: 2 uur Hierdie vraestel bestaan uit 9 bladsye, diagramvel en formuleblad.

Nadere informatie

Wiskunde (Gr 7-9) vs Wiskunde (Gr 10-12) vs Wiskundige Geletterdheid

Wiskunde (Gr 7-9) vs Wiskunde (Gr 10-12) vs Wiskundige Geletterdheid Wiskunde (Gr 7-9) vs Wiskunde (Gr 10-12) vs Wiskundige Geletterdheid 1. INHOUD Wiskunde Gr 7 9 Wiskunde Gr 10 12 Wisk Geletterdheid Gr 10 12 Getalle en berekenings met getalle, Finansies Getalpatrone,

Nadere informatie

MEMORANDUM VRAESTEL 1

MEMORANDUM VRAESTEL 1 MEMORANDUM VRAESTEL 1 WISKUNDE GRAAD 10 TOTAAL: 100 PUNTE INSTRUKSIES 1. Die memorandum dien om moontlike oplossings vir die probleme in die vraestel aan die leerders duidelik te maak. Leerders moet bewus

Nadere informatie

Hoërskool Strand. Wiskunde : Graad 10 Vraestel 1 November Eksaminator : Mev. P. Olivier. Moderator : Mnr. J.J. van Dyk Totaal: 100

Hoërskool Strand. Wiskunde : Graad 10 Vraestel 1 November Eksaminator : Mev. P. Olivier. Moderator : Mnr. J.J. van Dyk Totaal: 100 Hoërskool Strand Wiskunde : Graad 10 Vraestel 1 November 2013 Eksaminator : Mev. P. Olivier Tyd: 2 uur Moderator : Mnr. J.J. van Dyk Totaal: 100 Instruksies en inligting: 1. Hierdie vraestel bestaan uit

Nadere informatie

GRAAD 3 GESYFERDHEID VOORBEELDITEMS (AFRIKAANS) ONDERWYSERSGIDS

GRAAD 3 GESYFERDHEID VOORBEELDITEMS (AFRIKAANS) ONDERWYSERSGIDS 2011 GRAAD 3 GESYFERDHEID VOORBEELDITEMS (AFRIKAANS) ONDERWYSERSGIDS INSTRUKSIES AAN ONDERWYSERS 1. Daar is makliker en moeiliker items. 2. Die voorbeelditems is so saamgestel dat leerders hulself kan

Nadere informatie

FORMELE DEFINISIE van n PRISMA

FORMELE DEFINISIE van n PRISMA FORMULES vir TOTALE BUITE OPPERVLAKTE van driedimensionele figure Ons gaan nou leer hoe om formules vir die buite-oppervlaktes van voorwerpe te formuleer, maar voordat ons dit doen moet ons eers kyk na

Nadere informatie

JAARLIKSE NASIONALE ASSESSERING 2012, GRAAD 9, WISKUNDE MODELTOETS

JAARLIKSE NASIONALE ASSESSERING 2012, GRAAD 9, WISKUNDE MODELTOETS Die volgende vrae kom uit: JAARLIKSE NASIONALE ASSESSERING 0, GRAAD, WISKUNDE MODELTOETS 0 ) Watter een van die volgende getalle is irrasionaal? A) 0, 8 B) 0, 5 3 D) 4 ) Watter van die volgende getalle

Nadere informatie

Omgekeerde bewerkings Getalsinne

Omgekeerde bewerkings Getalsinne Omgekeerde bewerkings As jy twee getalle bymekaar tel, soos sê nou maar 12 en 13, dan gaan jy mos n antwoord kry van 25? Ons sê dan dat die som van 12 en 13 vyf-en-twintig is. Maar jy behoort nou te verstaan,

Nadere informatie

GRAAD 9 NOVEMBER 2017 WISKUNDE

GRAAD 9 NOVEMBER 2017 WISKUNDE SENIOR FASE GRAAD 9 NOVEMBER 2017 WISKUNDE PUNTE: 140 TYD: 2 1 2 UUR *9WISK* Hierdie vraestel bestaan uit 17 bladsye insluitend 2 bylae. 2 WISKUNDE (EC/NOVEMBER 2017) INSTRUKSIES EN INLIGTING 1. Lees die

Nadere informatie

Wiskunde. Graad 12 Vraestel 2. Tyd: 3 uur. Totaal: 150

Wiskunde. Graad 12 Vraestel 2. Tyd: 3 uur. Totaal: 150 Wiskunde Graad 1 Vraestel 013 Tyd: 3 uur Totaal: 150 INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies noukeurig deur voordat die vrae beantwoord word: 1. Hierdie vraestel bestaan uit 9 vrae. Beantwoord

Nadere informatie

WES-KAAP ONDERWYS DEPARTEMENT

WES-KAAP ONDERWYS DEPARTEMENT WES-KAAP ONDERWYS DEPARTEMENT TYD: 3 UUR PUNTE: 50 WISKUNDE V Oefen vraestel: Junie 04 Hierdie vraestel bestaan uit 8 bladsye en n formule blad. INSTRUKSIES Lees die volgende instruksies sorgvuldig deur

Nadere informatie

ALGEMENDE ONDERWYS EN OPLEIDING WISKUNDE JUNIE EKSAMEN 2015 GRAAD 9

ALGEMENDE ONDERWYS EN OPLEIDING WISKUNDE JUNIE EKSAMEN 2015 GRAAD 9 ALGEMENDE ONDERWYS EN OPLEIDING WISKUNDE JUNIE EKSAMEN 01 GRAAD 9 PUNTE : 100 TYD : UUR Totale bladsye insluitend voorblad: 8 Wiskunde Graad 9 Junie Eksamen 01 INSTRUKSIES EN INFORMASIE 1. Die vraestel

Nadere informatie

Hoërskool Pretoria-Noord. Wiskunde Geletterdheid GR 10. Junie Eksamen 2015 : Vraestel Beantwoord al die vrae op die foliopapier wat verskaf is.

Hoërskool Pretoria-Noord. Wiskunde Geletterdheid GR 10. Junie Eksamen 2015 : Vraestel Beantwoord al die vrae op die foliopapier wat verskaf is. 1 Hoërskool Pretoria-Noord Wiskunde Geletterdheid GR 10 Junie Eksamen 2015 : Vraestel 1 Datum : 11 Junie 2015 Eksaminator : Mnr FW Pienaar Tyd : 1 uur Totaal : 50 Punte Moderator : Mnr M Stoop Instruksies

Nadere informatie

Hoërskool Strand. Wiskunde : Graad 10 Vraestel 2 November Eksaminator : Mev. P. Olivier. Moderator : Mnr. J.J. van Dyk Totaal: 100

Hoërskool Strand. Wiskunde : Graad 10 Vraestel 2 November Eksaminator : Mev. P. Olivier. Moderator : Mnr. J.J. van Dyk Totaal: 100 Hoërskool Strand Wiskunde : Graad 10 Vraestel 2 November 2013 Eksaminator : Mev. P. Olivier Tyd: 2 uur Moderator : Mnr. J.J. van Dyk Totaal: 100 Instruksies en inligting: 1. Hierdie vraestel bestaan uit

Nadere informatie

GRAAD 11 NOVEMBER 2013 WISKUNDE V1

GRAAD 11 NOVEMBER 2013 WISKUNDE V1 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 NOVEMBER 2013 WISKUNDE V1 PUNTE: 150 TYD: 3 uur Hierdie vraestel bestaan uit 9 bladsye. 2 WISKUNDE V1 (NOVEMBER 2013) INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees sorgvuldig deur

Nadere informatie

FASILITEERDERSGIDS WISKUNDE GRAAD 4

FASILITEERDERSGIDS WISKUNDE GRAAD 4 FASILITEERDERSGIDS WISKUNDE GRAAD 4 Kopiereg 2016 Impak Onderwysdiens (Edms.) Bpk. Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder die Wet op Outeursreg,

Nadere informatie

GRAAD 11 NOVEMBER 2013 WISKUNDIGE GELETTERDHEID V2

GRAAD 11 NOVEMBER 2013 WISKUNDIGE GELETTERDHEID V2 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 NOVEMBER 2013 WISKUNDIGE GELETTERDHEID V2 PUNTE: 100 TYD: 2 uur Hierdie vraestel bestaan uit 8 bladsye. 2 WISKUNDIGE GELETTERDHEID V2 (NOVEMBER 2013) INSTRUKSIES EN

Nadere informatie

Vraag 1: 1.1 Tel aan in ; ; ; ; (1) 1.2 Tel terug met ; ; ; ; (1)

Vraag 1: 1.1 Tel aan in ; ; ; ; (1) 1.2 Tel terug met ; ; ; ; (1) Punte = 150 Instruksies en inligting: Hierdie vraestel is baie langer as n standaardvraestel en toets die hele jaar (kwartaal 1,2, 3 en 4) se werk volgens die CAPS voorskrifte. Beantwoord al die vrae.

Nadere informatie

ALGEMENE ONDERWYS EN OPLEIDING WISKUNDE JUNIE EKSAMEN 2015 GRAAD 8

ALGEMENE ONDERWYS EN OPLEIDING WISKUNDE JUNIE EKSAMEN 2015 GRAAD 8 ALGEMENE ONDERWYS EN OPLEIDING WISKUNDE JUNIE EKSAMEN 01 GRAAD 8 TOTAAL : 100 TYD : UUR Totale bladsye insluitende voorblad : 7 Wiskunde Graad 8 Junie 01 INSTRUKSIES EN INFORMASIE 1. Die vraestel bestaan

Nadere informatie

ISEBE LEMFUNDO LEMPUMA KOLONI EASTERN CAPE EDUCATION DEPARTMENT OOS-KAAP ONDERWYSDEPARTEMENT

ISEBE LEMFUNDO LEMPUMA KOLONI EASTERN CAPE EDUCATION DEPARTMENT OOS-KAAP ONDERWYSDEPARTEMENT MATH ISEBE LEMFUNDO LEMPUMA KOLONI EASTERN CAPE EDUCATION DEPARTMENT OOS-KAAP ONDERWYSDEPARTEMENT IIMVIWO ZEBANGA LESHUMI ELINANYE GRADE 11 EXAMINATIONS GRAAD 11-EKSAMEN NOVEMBER 2008 WISKUNDE EERSTE VRAESTEL

Nadere informatie

Wiskunde Gr.7 November Vraestel (0002) 120 minute MEMO 100 punte. Vraag 1: [10] Multikeuse vrae

Wiskunde Gr.7 November Vraestel (0002) 120 minute MEMO 100 punte. Vraag 1: [10] Multikeuse vrae 1 Wiskunde Gr.7 November Vraestel (0002) 120 minute MEMO 100 punte Vraag 1: [10] Multikeuse vrae OMKRING DIE KORREKTE ANTWOORD BV. B 1.1 Wat is die waarde van die onderstreepte syfer in die volgende getal:

Nadere informatie

Sê maar jy word voor die keuse gestel om een van die volgende getalle as geld in Rand te ontvang, watter een sal jy kies?

Sê maar jy word voor die keuse gestel om een van die volgende getalle as geld in Rand te ontvang, watter een sal jy kies? VERGELYK en RANGSKIK GETALLE Om vergelykings te tref tussen verskillende dinge is n vaardigheid waarmee ons almal gebore word. Dit begin vroeg-vroeg al wanneer ons verskillende tipes speelgoed met mekaar

Nadere informatie

Hoërskool Pretoria-Noord. Wiskunde Geletterdheid GR 11. Junie Eksamen 2016 Vraestel 2

Hoërskool Pretoria-Noord. Wiskunde Geletterdheid GR 11. Junie Eksamen 2016 Vraestel 2 1 Hoërskool Pretoria-Noord Wiskunde Geletterdheid GR 11 Junie Eksamen 2016 Vraestel 2 Datum : 13 Junie 2016 Eksaminator : Mnr FW Pienaar Tyd : 1½ uur Totaal : 75 Punte Moderator : Mnr M Stoop Instruksies

Nadere informatie

GRAAD 9 NOVEMBER 2016 WISKUNDE

GRAAD 9 NOVEMBER 2016 WISKUNDE SENIOR FSE GRD 9 NOVEMER 2016 WISKUNDE PUNTE: 100 TYD: 2 uur Hierdie vraestel bestaan uit 13 bladsye, insluitend ʼn inligtingsblad. 2 WISKUNDE (E/NOVEMER 2016) INSTRUKSIES EN INLIGTING 1. Lees die instruksies

Nadere informatie

2( b) GEVORDERDE WISKUNDE AFDELING: MEETKUNDE LES 9M6.1: OMTREK EN OPPERVLAKTE OMTREK FORMULES: 1. VIERKANT: Omtrek van vierkant 4 a of 4 sy 4a

2( b) GEVORDERDE WISKUNDE AFDELING: MEETKUNDE LES 9M6.1: OMTREK EN OPPERVLAKTE OMTREK FORMULES: 1. VIERKANT: Omtrek van vierkant 4 a of 4 sy 4a 1 / 17 GEVORDERDE WISKUNDE AFDELING: MEETKUNDE LES : OMTREK EN OPPERVLAKTE OMTREK FORMULES: 1. VIERKANT: a a Omtrek van vierkant 4 a of 4 sy 4a. REGHOEK: Omtrek van reghoek of lengte reedte ( ) / 17 3.

Nadere informatie

M. Malan. Via Afrika Wiskunde

M. Malan. Via Afrika Wiskunde M. Malan Study Guide Studiegids Via Afrika Wiskunde Graad 1 Exponents and Surds Inhoud Inleiding... 3 Hoofstuk 1 Getalpatrone, rye en reekse... 4 OORSIG... 4 Eenheid 1 Rekenkundige rye en reekse Eenheid

Nadere informatie

November Vraestel Graad = (5 x 1000) + (3 x ) + ( x 10) + ( x 1)

November Vraestel Graad = (5 x 1000) + (3 x ) + ( x 10) + ( x 1) November Vraestel Graad 5 Vraag 1 Voltooi die volgende hoofrekenvrae: 25759 - = 25500 3 x 5 x 0 = 80 x 300 = 19 x 14 = x 19 240 20 = 240 10 63000 900 = 100 meer as 3987 is is die eerste onewe getal na

Nadere informatie

GAUTENGSE DEPARTEMENT VAN ONDERWYS PROVINSIALE EKSAMEN JUNIE 2018 GRAAD

GAUTENGSE DEPARTEMENT VAN ONDERWYS PROVINSIALE EKSAMEN JUNIE 2018 GRAAD GUTENGSE DEPRTEMENT VN ONDERWYS PROVINSILE EKSMEN JUNIE 2018 GRD 9 WISKUNDE NM VN LEERDER: GRD 9: TYD: 2 uur PUNTE: 100 18 bladsye + 1 formuleblad WISKUNDE GRD 9 2 GUTENGSE DEPRTEMENT VN ONDERWYS PROVINSILE

Nadere informatie

JAARLIKSE NASIONALE ASSESSERING 2014 ASSESSERINGSRIGLYNE WISKUNDE GRAAD 9

JAARLIKSE NASIONALE ASSESSERING 2014 ASSESSERINGSRIGLYNE WISKUNDE GRAAD 9 INLEIDING Die 2014-siklus van die Jaarlikse Nasionale Assessering (JNA 2014) sal toegepas word in alle publieke en aanbevole onafhanklike 1 skole vanaf 16 tot 19 September 2014. Gedurende hierdie periode

Nadere informatie

GRAAD 6 NOVEMBER 2015

GRAAD 6 NOVEMBER 2015 1 GRAAD 6 NOVEMBER 2015 Vraag 1 1.1 Noem al die veelvoude van 4 tussen 25 en 40 1.2 Noem al die faktore van 36 1.3 Noem al die priemfaktore van die getal 30 1.4 Wat is die kleinste gemene veelvoud van

Nadere informatie

Hierdie toets bestaan uit 20 bladsye, die buiteblad uitgesluit.

Hierdie toets bestaan uit 20 bladsye, die buiteblad uitgesluit. JAARLIKSE NASIONALE ASSESSERING 2015 GRAAD 8 WISKUNDE TOETS PUNTE: 125 TYD: 2 uur PUNTE PROVINSIE DISTRIK KRING SKOOL EMIS-NOMMER (9 syfers) KLAS (bv. 8A) VAN NAAM GESLAG ( ) SEUN DOGTER GEBOORTEDATUM

Nadere informatie

JAARLIKSE NASIONALE ASSESSERING 2015 ASSESSERING RIGLYNE WISKUNDE GRAAD 8

JAARLIKSE NASIONALE ASSESSERING 2015 ASSESSERING RIGLYNE WISKUNDE GRAAD 8 JAARLIKSE NASIONALE ASSESSERING 2015 ASSESSERING RIGLYNE WISKUNDE GRAAD 8 INLEIDING Die 2015 siklus vir die Jaarlikse Nasionale Assessering (JNA) sal in September in alle staatskole en benoemde 1 onafhanklike

Nadere informatie

GRAAD 11 NOVEMBER 2013 WISKUNDE V2

GRAAD 11 NOVEMBER 2013 WISKUNDE V2 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 NOVEMBER 2013 WISKUNDE V2 PUNTE: 150 TYD: 3 uur Hierdie vraestel bestaan uit 10 bladsye wat 2 diagramvelle insluit. 2 WISKUNDE V2 (NOVEMBER 2013) INSTRUKSIES EN INLIGTING

Nadere informatie

= a m b m. Onthou: Pas Wet 4 vir hierdie voorbeelde toe. 1 n. ; a 0. Let Wel. (-3) 2 = 9 maar -3 2 = -9 & (-3) 0 = 1 maar -3 0 = -1

= a m b m. Onthou: Pas Wet 4 vir hierdie voorbeelde toe. 1 n. ; a 0. Let Wel. (-3) 2 = 9 maar -3 2 = -9 & (-3) 0 = 1 maar -3 0 = -1 C EKSPONENTE: VRAE Wet : () m m m Kwrtl : C Eksponente Vre wt Wette insluit Eksponensiële Uitdrukkings Onthou: Ps Wet vir hierdie vooreelde toe....c. % - ()(). %. - % ()() V Ps die gegewe wet in elk vn

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 WISKUNDE V2 MODELVRAESTEL - 2006 PUNTE: 100 TYD: 2 uur Hierdie vraestel bestaan uit 9 bladsye. Grafiekpapier moet aan die kandidate voorsien word. 2 INSTRUKSIES EN

Nadere informatie

GRAAD 12 LEERDER ONDERSTEUNINGSPROGRAM

GRAAD 12 LEERDER ONDERSTEUNINGSPROGRAM Provinsie van die OOS-KAAP ONDERWYS Steve Vukile Tshwete Onderwys Kompleks Sone 6 Zwelitsha 5608 Privaatsak X003 Bhisho 5605 REPUBLIEK VAN SUID-AFRIKA HOOFDIREKTORAAT KURRIKULUM BESTUUR GRAAD LEERDER ONDERSTEUNINGSPROGRAM

Nadere informatie

GRAAD BASISLYN TOETS 2013

GRAAD BASISLYN TOETS 2013 GRAAD 2013 8 BASISLYN TOETS 2013 WISKUNDE 1 Uur 30 minute SKOOL: LEERDER:. KLASGROEP: 1 Grondlynassesseringsinstrument Gr 8 (135 punte) Lees noukeurig deur die vrae en beantwoord dit in die spasies voorsien,

Nadere informatie

eboeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die

eboeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die Ons praat baie van dinge wat in verhouding tot mekaar is, sonder om dit regtig agter te kom! As jy byvoorbeeld sê dat jy twee van die ses stukke van n pizza geëet het, het jy n verhouding beskryf: Die

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD WISKUNDE V NOVEMBER 05 PUNTE: 50 TYD: 3 uur Hierdie vraestel bestaan uit 5 bladsye en 'n 4 bladsy-antwoordeboek. Wiskunde/V DBE/November 05 KABV Graad INSTRUKSIES EN

Nadere informatie

GRAAD 12 SEPTEMBER 2015 WISKUNDE V2 MEMORANDUM

GRAAD 12 SEPTEMBER 2015 WISKUNDE V2 MEMORANDUM NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 12 SEPTEMBER 2015 WISKUNDE V2 MEMORANDUM PUNTE: 150 Hierdie memorandum bestaan uit 14 bladsye. Afrikaans Eerste Addisionele Taal Punte 2 WISKUNDE V2 (EC/SEPTEMBER 2015)

Nadere informatie

WISKUNDE GRAAD 5. Junie 2016

WISKUNDE GRAAD 5. Junie 2016 1 WISKUNDE GRAAD 5 Junie 2016 Vraag 1 Voltooi die volgende: 1.1 3 500 50 = 70 1.2 360 20 = 360 10 2 1.3 60 x 100 = 6 x 1 000 1.4 124 + 345 = 345 + 124 1.5 0 x 40 = 3 600 1.6 15 x 8 = 30 x 4 1.7 2 1 2 +

Nadere informatie

Om getalle voor te stel, te herken en te vergelyk *

Om getalle voor te stel, te herken en te vergelyk * OpenStax-CNX module: m22939 1 Om getalle voor te stel, te herken en te vergelyk * Siyavula Uploaders This work is produced by OpenStax-CNX and licensed under the Creative Commons Attribution License 3.0

Nadere informatie

Hierdie vraestel is deel van InternetLearning se ExamKit pakket.

Hierdie vraestel is deel van InternetLearning se ExamKit pakket. Hierdie vraestel is deel van InternetLearning se ExamKit pakket. Die vraestelle word opgestel volgens die riglyne van die CAPS kurrikulum, sodat soveel moontlik van alle tegnieke wat in die eerste twee

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 10 TEGNIESE WISKUNDE V2 MODEL 2016 PUNTE: 100 TYD: 2 uur Hierdie vraestel bestaan uit 9 bladsye en 1 diagramvel. Tegniese Wiskunde/V2 2 DBE/2016 INSTRUKSIES EN INLIGTING

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD WISKUNDE V NOVEMBER 04 PUNTE: 50 TYD: 3 uur Hierdie vraestel bestaan uit 4 bladsye. Wiskunde/V DBE/November 04 INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees die volgende instruksies

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 12

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 12 NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 12 WISKUNDIGE GELETTERDHEID V1 NOVEMBER 2012 FINALE MEMORANDUM PUNTE: 150 Simbool M M/A CA A C S RT/RG SF O P R Verduideliking Metode Metode met akkuraatheid Deurlopende

Nadere informatie

Die vrae uit ou vraestelle, toetsvraestelle, en modelvraestelle is individueel gekies en uitgehaal vir

Die vrae uit ou vraestelle, toetsvraestelle, en modelvraestelle is individueel gekies en uitgehaal vir Die vrae uit ou vraestelle, toetsvraestelle, en modelvraestelle is individueel gekies en uitgehaal vir Kategorisering Dieselfde vraag kan by meer as een afdeling van die sillabus voorkom, of meer as een

Nadere informatie

Hierdie vraestel is deel van InternetLearning se ExamKit pakket.

Hierdie vraestel is deel van InternetLearning se ExamKit pakket. Hierdie vraestel is deel van InternetLearning se ExamKit pakket. Die vraestelle word opgestel volgens die riglyne van die CAPS kurrikulum, sodat soveel moontlik van alle tegnieke wat in die eerste twee

Nadere informatie

MENTAL MATHS IN DIE KLASKAMER

MENTAL MATHS IN DIE KLASKAMER MENTAL MATHS IN DIE KLASKAMER HOEKOM MENTAL MATHS? Ons wil hê dat ons leerders gemaklik met getalle kan speel. Hy moet weet waar n getal lê. Hy moet n klomp somme met die getal kan maak. Mental Maths bou

Nadere informatie

GAUTENGSE DEPARTEMENT VAN ONDERWYS PROVINSIALE EKSAMEN JUNIE 2018 GRAAD 6 WISKUNDE

GAUTENGSE DEPARTEMENT VAN ONDERWYS PROVINSIALE EKSAMEN JUNIE 2018 GRAAD 6 WISKUNDE GAUTENGSE DEPARTEMENT VAN ONDERWYS PROVINSIALE EKSAMEN JUNIE 2018 WISKUNDE DISTRIK NAAM VAN SKOOL KLAS (bv. 6A) NAAM EN VAN TYD: 1½ uur PUNTE: 75 14 bladsye 2 GAUTENGSE DEPARTEMENT VAN ONDERWYS PROVINSIALE

Nadere informatie

GRAAD 9 NOVEMBER 2012 WISKUNDE NASIENGIDS

GRAAD 9 NOVEMBER 2012 WISKUNDE NASIENGIDS Province of the EASTERN CAPE EDUCATION SENIOR FASE GRAAD 9 NOVEMBER 01 WISKUNDE NASIENGIDS PUNTE: 100 Hierdie nasiengids bestaan uit 1 bladsye. WISKUNDE (NOVEMBER 01) VRAAG 1 1.1 D (1) 1. D (1) 1.3 B (1)

Nadere informatie

GAUTENGSE DEPARTEMENT VAN ONDERWYS PROVINSIALE EKSAMEN JUNIE 2016 GRAAD

GAUTENGSE DEPARTEMENT VAN ONDERWYS PROVINSIALE EKSAMEN JUNIE 2016 GRAAD GAUTENGSE EPARTEMENT VAN ONERWYS PROVINSIALE EKSAMEN JUNIE 06 GRAA 9 WISKUNE TY: 0 minute PUNTE: 00 bladsye. WISKUNE Graad 9 GAUTENGSE EPARTEMENT VAN ONERWYS PROVINSIALE EKSAMEN WISKUNE Tyd: 0 minute Punte:

Nadere informatie

Hoërskool Pretoria-Noord. Wiskunde Geletterdheid GR 11. Junie Eksamen 2016 Vraestel 1

Hoërskool Pretoria-Noord. Wiskunde Geletterdheid GR 11. Junie Eksamen 2016 Vraestel 1 1 Hoërskool Pretoria-Noord Wiskunde Geletterdheid GR 11 Junie Eksamen 2016 Vraestel 1 Datum : 10 Junie 2016 Eksaminator : Mnr FW Pienaar Tyd : 1½ uur Totaal : 75 Punte Moderator : Mnr M Stoop Instruksies

Nadere informatie

HANDLEIDING SOSIALE WETENSKAPPE: GEOGRAFIE GRAAD 6

HANDLEIDING SOSIALE WETENSKAPPE: GEOGRAFIE GRAAD 6 HANDLEIDING SOSIALE WETENSKAPPE: GEOGRAFIE GRAAD 6 Kopiereg 2016 Impak Onderwysdiens (Edms.) Bpk. Afgesien van enige billike gebruik vir die doel van navorsing, kritiek of resensie soos toegelaat onder

Nadere informatie

BASIESE KONSEPTE-PROGRAM PROGRAM. n Toets ontwikkel deur dr. Louis Benjamin, Naam van leerder: Ouderdom van leerder: Geslag: Graad: Skool:

BASIESE KONSEPTE-PROGRAM PROGRAM. n Toets ontwikkel deur dr. Louis Benjamin, Naam van leerder: Ouderdom van leerder: Geslag: Graad: Skool: BASIESE KONSEPTE-PROGRAM PROGRAM TOETSING VAN BASIESE KONSEPTE-KENNIS n Toets ontwikkel deur dr. Louis Benjamin, 2007 Naam van leerder: Ouderdom van leerder: Geslag: Graad: Skool: Datum van toets: Naam

Nadere informatie

JAARLIKSE NASIONALE ASSESSERING 2013 GRAAD 9 WISKUNDE MEMORANDUM

JAARLIKSE NASIONALE ASSESSERING 2013 GRAAD 9 WISKUNDE MEMORANDUM Page 1 10 JAARLIKSE NASIONALE ASSESSERING 013 GRAAD 9 WISKUNDE MEMORANDUM PUNTE: 140 Hierdie memorandum bestaan uit 10 bladsye. Belangrike inligting Hierdie is ʼn merkriglyn. Waar leerders verskillende,

Nadere informatie

HOËRSKOOL OVERKRUIN VAK: WISKUNDIGE GELETTERDHEID DATUM: 26 MEI 2015 FORMELE TOETS 2

HOËRSKOOL OVERKRUIN VAK: WISKUNDIGE GELETTERDHEID DATUM: 26 MEI 2015 FORMELE TOETS 2 HOËRSKOOL OVERKRUIN VAK: WISKUNDIGE GELETTERDHEID DATUM: 26 MEI 2015 GRAAD: 11 TYD: 1 UUR EKSAMINATOR: MEJ A HERSELMAN MODERATOR: MEV R SODEN LEERDERPUNT VERWERKTE PUNT /50 /15 FORMELE TOETS 2 INSTRUKSIES

Nadere informatie

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11

NASIONALE SENIOR SERTIFIKAAT GRAAD 11 NASINALE SENIR SERTIFIKAAT GRAAD WISKUNDE V NVEMBER 03 PUNTE: 50 TYD: 3 uur Hierdie vraestel bestaan uit 3 bladsye en 3 diagramvelle. Wiskunde/V DBE/November 03 KABV Graad INSTRUKSIES EN INLIGTING Lees

Nadere informatie

Matriek Hersiening. Kry n ander perspektief oor Wiskunde eksamens. Opgestel en aangebied deur Sarel van Greunen. Sarel van Greunen

Matriek Hersiening. Kry n ander perspektief oor Wiskunde eksamens. Opgestel en aangebied deur Sarel van Greunen. Sarel van Greunen Matriek Hersiening Kry n ander perspektief oor Wiskunde eksamens Opgestel en aangebied deur Sarel van Greunen Sarel van Greunen - - Inhoudsopgawe Funksies, relasies en inverse... 3 Rye en Reekse... 6 Differensiasie...

Nadere informatie

Natuurwetenskap Vraestel 1 Graad 7 Junie 2013 TYD: 1½ UUR TOTAAL: 100 Eksaminator: S Roos Moderator: JG Roos

Natuurwetenskap Vraestel 1 Graad 7 Junie 2013 TYD: 1½ UUR TOTAAL: 100 Eksaminator: S Roos Moderator: JG Roos Natuurwetenskap Vraestel 1 Graad 7 Junie 2013 TYD: 1½ UUR TOTAAL: 100 Eksaminator: S Roos Moderator: JG Roos Instruksies: 1. Hierdie vraestel bestaan uit twee afdelings en 10 bladsye: 1.1 Afdeling A: Kortvrae

Nadere informatie