Werkwijze. Tips. Opgaven
|
|
- Quinten van der Meer
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Geschiedenis van de Wiskunde Najaar 2009 Euclides-opdracht Het doel van deze opgave is om Griekse wiskunde en moderne wiskunde te vergelijken, om overeenkomsten en verschillen te ontdekken. Lees eerst goed de werkwijze. Werkwijze 1. Maak koppels van 2 personen. Tel de eindcijfers van jullie studentnummers bij elkaar op modulo het aantal opgaven, tel bij het resultaat 1 op. Dit bepaalt het nummer van de opgave die jullie als koppel gaan doen. 2. Voer de opdracht uit en schrijf daarna een duidelijk en bondig verslag. 3. Je verslag moet correct en begrijpelijk zijn geformuleerd, er mogen dus niet alleen maar formules staan. Je hoeft niet de onderdelen a t/m z in volgorde af te werken, je mag daar creatief mee omgaan. Het verslag heeft een korte inleiding, een middendeel, en een korte conclusie waarin je in een paar zinnen samenvat wat je opgevalt aan overeenkomsten en verschillen tussen Euclides en moderne wiskunde. Tips 1. Schrijftip 1: let eens op hoe de schrijver van een leerboek schrijft, en lees de schrijfwijzer en de essay-aanwijzingen die aan de webstek van het vak gekoppeld staan. 2. Schrijftip 2: Vermijd passieve werkwoordsvormen, die maken de tekst taai Laat indien mogelijk je tekst aan (iemand van) een ander koppel lezen (of aan iemand anders die er commentaar op kan geven) en vraag expliciet om commentaar. (Misschien lukt dit niet binnen de beschikbare tijd, dan mis je deze nuttige vorm van feedback. Zelf lees je bijna nooit goed wat je werkelijk hebt opgeschreven, je vult automatisch in wat je bedoelde. Een ander kan je wijzen op dubbelzinnigheden en/of onduidelijkheden.) 4. Verwerk eventueel commentaar en lever het verslag op tijd in, uiterlijk op de dag die daarvoor op de webstek vermeld staat (bij het college of in mijn postvakje naast de lift in het wiskundegebouw). Opgaven F = P. Fletcher, C. Wayne Patty, Foundations of Higher Mathematics, third edition, Pacific Grove: Brooks/Cole Publishing Company, third edition, El IX:20 = Elementen van Euclides, boek 9 propositie 20. Citaten staan in de reader of zijn bijgevoegd. Opgave 1: Priemgetallen Bestudeer El IX:20 (reader p. 20); vergelijk F p. 33 opg. 82 en 85, en p. 99 Th a. Schrijf de redenering van Euclides in moderne notatie. b. Ga na of Euclides bewijs volledig is. c. Vul eventueel ontbrekende stappen aan. d. Vergelijk met de opgaven in F. e. Wat zijn overeenkomsten? wat verschillen? Opgave 2: Volledige inductie Neem propositie El IX:35-36; vergelijk F hst 3, paragraaf 3.1 a. Schrijf het resultaat en de redenering van El IX:35 in moderne notatie. b. Geef een bewijs met volledige inductie voor de somformule van een meetkundige reeks (1 + a + a 2 + a voor a tussen 0 en 1). c. Geef het verband (overeenkomsten en verschillen) tussen a. en b. d. Beschrijf de redenering van El IX:36 in moderne notatie. e. Is het bewijs van El IX:36 algemeen? Bespreek deze vraag. 1 Vgl: Passieve werkwoordsvormen dienen te worden vermeden, daar de tekst anders moeilijk leesbaar wordt. Door de passieve vormen wordt bovendien verhuld door wie iets al dan niet wordt gedaan. Wanneer de woorden worden, werden, en (in mindere mate) zijn worden aangetroffen, moet dan ook worden gezocht naar een alternatieve formulering waarin deze woorden vermeden zijn. 1
2 Opgave 3: Grootste gemene deler Bekijk proposities El VII: 1-2, vergelijk met F hst. 3.2, pp en 3.4, pp a. Beschrijf in moderne notatie hoe Euclides de grootste gemene deler van twee getallen vindt. b. Vergelijk met de manier van F. c. Benoem overeenkomsten en verschillen. d. Is het bewijs van Euclides compleet? Zo nee, vul ontbrekende stappen aan. Opgave 4: Hoofdstelling van de rekenkunde Vergelijk El VII: met F pp Cor. 3.11, Thn 3.12, Cor en Th a. Formuleer de bewijzen van Euclides in moderne notatie. b. Zijn Euclides bewijzen compleet? Zo nee, vul ontbrekende stappen aan. c. Vergelijk de resultaten van Euclides met de aangegeven stellingen in F. Bewijst Euclides hetzelfde? Minder? Meer? Opgave 5: Theorie van verhoudingen Vergelijk El V met F hoofdstukken 4.1, 4.3 en 4.4. We bestuderen Euclides leer van verhoudingen m.b.v. het moderne begrip van relatie. a. Probeer eerst de definitie van gelijkheid van verhoudingen (def. 5 van boek V) te begrijpen. Schrijf deze definitie om in moderne notatie. Bekijk ook El V:11. b. Definieer dan op de verzameling (dit is eigenlijk een modern begrip) van paren grootheden van een bepaalde soort, denk aan lijnsegmenten, de relatie door (a, b) (c, d) als a : b = c : d volgens Euclides. Ga nu na dat een equivalentierelatie definieert. Welke stap bewijst Euclides in V:11? c. Definieer een vermenigvuldiging op een deel van de verzameling van paren grootheden door (a, b) (b, c) = (a, c). Stel we kunnen bij elke drie grootheden a, b, c een grootheid x vinden zodat (a, b) = (c, x). (Euclides bewijst dit voor lijnsegmenten in VI:12, dat hoef je niet na te gaan). Hoe zou je nu een vermenigvuldiging definiëren op de hele verzameling van paren grootheden? Leg uit. d. (extra) Bekijk nu El V:22. Analyseer het bewijs van Euclides (dit is best een klus). Laat zien dat de vermenigvuldiging goed gedefinieerd is op de equivalentieklassen voor de relatie. Vertaalde stukken uit Euclides Elementen Hier volgen enkele stukken Euclides in Nederlandse vertaling. Er staan ook enkele stukken in de reader. Boek V, Propositie 22. Als er een of ander aantal grootheden is, en andere (grootheden) gelijk eraan in aantal, welke twee aan twee samengenomen in dezelfde verhouding zijn, dan zijn ze ook in dezelfde verhouding ex aequali. Laat er een of ander aantal grootheden A, B, C zijn, en andere D, E, F gelijk eraan in aantal, welke twee aan twee samengenomen in dezelfde verhouding zijn, zo dat zoals A is tot B, zo is D tot E, en zoals B is tot C, zo is E tot F ; ik zeg dat ze ook in dezelfde verhouding zullen zijn ex aequali, dat is, zoals A is tot C, zo is D tot F. Want laat van A, D gelijke veelvouden G, H genomen zijn, en van B, E andere willekeurige gelijke veelvouden K, L; en verder van C, F andere willekeurige gelijke veelvouden M, N. A B C D E F G K M H L N 2
3 Dan, aangezien A is tot B als D is tot E, en van A, D de gelijke veelvouden G, H zijn genomen, en van B, E andere willekeurige gelijke veelvouden K, L, daarom zoals G is tot K, zo is H tot L. Om dezelfde reden ook: zoals K is tot M, zo is L tot N. Omdat er dus drie grootheden G, K, M zijn, en andere H, L, N eraan gelijk in aantal, welke twee aan twee samengenomen in dezelfde verhouding zijn, daarom, ex aequali, als G overschiet van M, dan schiet H ook over van N; indien gelijk, gelijk; en indien minder, minder. En G, H zijn gelijke veelvouden van A, D, en M, N zijn andere willekeurige gelijke veelvouden van C, F. Daarom zoals A is tot C, zo is D tot F. Daarom etc. Q.E.D. Boek VII, Propositie 1. Twee ongelijke getallen gegeven zijnde, en bij voortduring steeds de kleinere afgetrokken van de grotere, indien het getal dat overblijft nooit de voorgaande meet totdat er een eenheid overblijft, dan zijn de oorspronkelijke getallen priem ten opzichte van elkaar. Want de kleinere van de twee ongelijke getallen AB, CD voortdurend afgetrokken zijnde van de grotere, laat het getal dat overblijft nooit de voorgaande meten totdat een eenheid overblijft; ik zeg dat AB, CD priem ten opzichte van elkaar zijn, oftewel dat slechts een eenheid AB, CD meet. A H F B C G D E Want indien AB, CD niet priem ten opzichte van elkaar zijn, dan meet een of ander getal hen. Laat een getal hen meten, laat het E zijn. Laat CD, BF meten, en laat het F A overlaten, minder dan het zichzelf. Laat AF, DG meten, en laat het GC overlaten, minder dan het zichzelf; en laat GC, F H meten, en laat het een eenheid HA overlaten. Omdat dan E meet CD, en CD meet BF, daarom meet E ook BF. Maar het meet ook de gehele BA, en daarom meet het ook het restant AF. Maar AF meet DG; daarom meet E ook DG. Maar het meet ook de gehele DC, daarom meet het ook het restant CG. Maar CG meet F H; daarom meet E ook F H. Maar het meet ook de gehele F A; daarom meet het ook het restant, de eenheid AH, hoewel het een getal is: hetgeen onmogelijk is. Daarom meet geen enkel getal de getallen AB, CD; dus zijn AB, CD priem ten opzichte van elkaar [VII defn. 12]. QED. Boek VII, Propositie 2. Gegeven twee getallen die niet priem zijn ten opzichte van elkaar, te vinden hun grootste gemene maat (=deler). Laat AB, CD de twee gegeven getallen zijn die niet priem zijn ten opzichte van elkaar. Er wordt dus gevraagd de grootste gemene maat te vinden van AB, CD. A E B C F D G Stel nu dat CD meet AB: en het meet ook zichzelf, dus CD is een gemene maat van CD, AB. En het is duidelijk dat het ook de grootste is, want geen groter getal dan CD kan CD meten. Maar als CD niet AB meet, laat dan de kleinere van de getallen AB, CD voortdurend van de grotere zijn afgetrokken, totdat een of ander getal is overgebleven dat het voorgaande (getal) meet. Want een eenheid kan er niet overgebleven zijn: anders zouden AB, CD priem ten opzichte van elkaar zijn [VII, 1], wat niet overeenstemt met de vooronderstelling. Daarom blijft er een getal over dat de voorgaande meet. Laat dan CD, die BE meet, EA overlaten wat minder is dan zichzelf; en laat EA, die DF meet, F C overlaten die minder is dan zichzelf, en CF meet AE. Omdat CF meet AE, en AE meet DF, daarom meet CF ook DF. En het meet ook zichzelf, daarom meet het de hele CD. 3
4 Maar CD meet BE, daarom meet CF ook BE. Maar het meet ook EA, daarom zal het de hele BA meten. Maar het meet bovendien CD; dus CF meet AB, CD. Daarom is CF een gemene maat van AB, CD. Ik zeg dat het ook de grootste is. Want als CF niet de grootste gemene maat is van AB, CD, dan is er een of ander getal dat groter is dan CF dat AB, CD meet. Laat er zo n getal G zijn dat hen meet. Aangezien G meet CD, terwijl CD meet BE, meet G ook BE. Maar het meet ook de hele BA, dus het zal ook het restant AE meten. Maar AE meet DF ; dus G meet ook DF. Maar het meet ook de hele DC; darom meet het ook het restant CF, dat wil zeggen dat de grotere de kleinere meet: wat onmogelijk is. Daarom is er geen getal groter dan CF dat de getallen AB, CD meet. Dus CF is de grootste gemene maat van AB, CD. Porisme. ( bij -stelling) Hiermee is het duidelijk dat, als een getal twee getallen meet, dan meet het ook hun grootste gemene maat. QED. Boek VII, Propositie 29. Elk priemgetal is priem ten opzichte van elk getal dat het niet meet. Laat A een priemgetal zijn, en laat het B niet meten; ik zeg dat B, A priem ten opzichte van elkaar zijn. Want als B, A niet priem ten opzichte van elkaar zijn, dan meet een of ander getal hen. Laat C hen meten. A B C Omdat C meet B, en A meet B niet, daarom is C niet hetzelfde als A. Maar omdat C meet B én A, meet het dus ook A die priem is, hoewel het er niet aan gelijk is: hetgeen onmogelijk is. Daarom meet geen enkel getal B en A, zodat A, B priem zijn ten opzichte van elkaar. QED. Boek VII, Propositie 30. Wanneer twee getallen met elkaar vermenigvuldigd een getal maken, en een priemgetal meet het product, dan meet het ook een van de oorspronkelijke getallen. Want laat de twee getallen A, B met elkaar vermenigvuldigd C maken, en laat een of ander priemgetal D C meten; ik zeg dat D een van de getallen A, B meet. A B C D E Want laat het A niet meten. Daar D priem is, zijn A, D priem ten opzichte van elkaar [VII, 29].. En zo vaak als D meet C, laat er zo veel eenheden in E zijn. Omdat dan D meet C in overeenstemming met de eenheden in E, daarom maakt D vermenigvuldigd met E, C. [VII, defn 15] Verder, A vermenigvuldigd met B heeft ook C gemaakt; daarom is het product van D, E gelijk aan het product van A, B. Daarom zoals D is tot A, zo is B tot E [VII, 19]. Maar D en A zijn priem ten opzichte van elkaar, priemen zijn ook de kleinsten [VII, 21], 2 en de kleinsten meten de getallen die dezelfde verhouding hebben [elk] evenveel keren, de grotere de grotere en de kleinere de kleinere, dat wil zeggen: de voorganger de voorganger en de opvolger de opvolger. Daarom D meet B. Op dezelfde manier kunnen we laten zien dat indien D meet B niet, dan meet het A. Daarom meet D een van de getallen A, B. QED. Boek VII, Propositie 31. Elk samengesteld getal wordt gemeten door een of ander priemgetal. Laat A een samengesteld getal zijn; ik zeg dat A wordt gemeten door een of ander priemgetal. Want omdat A samengesteld is, zal een of ander getal het meten. Laat een getal B het meten. A B C 2 VII,21: Getallen die priem zijn ten opzichte van elkaar zijn de kleinste van die welke dezelfde verhouding hebben [als die twee relatief priem getallen]. 4
5 Nu, als B priem is, dan is verkregen wat verlangd werd. Als het samengesteld is, dan meet een of ander getal het. Laat een getal C het meten. Omdat C meet B, en B meet A, daarom meet C ook A. En als C priem is, dan is verkregen wat verlangd werd. Maar als het samengesteld is, dan meet een of ander getal het. Als het spoor zo wordt voortgezet, dan wordt er een of ander priemgetal gevonden dat het getal eraan voorafgaand meet, en dat ook A meet. Want als het niet is gevonden, dan meet een oneindige rij getallen het getal A, elke (volgende) kleiner dan de andere (voorgaande): hetgeen niet mogelijk is bij getallen. Daarom wordt er een of ander priemgetal gevonden dat het getal eraan voorafgaand meet, en dat ook A meet. Daarom wordt elk samengesteld getal gemeten door een priemgetal. Boek VII, Propositie 32. Elk getal is ofwel priem, ofwel het wordt gemeten door een priemgetal. Laat A een getal zijn; ik zeg dat A ofwel priem is ofwel wordt gemeten door een of ander priemgetal. Als A priem is, dan is verkregen wat verlangd werd. Maar als het samengesteld is, dan meet een of ander priemgetal het [VII.3]. Daarom is elk getal ofwel priem ofwel het wordt gemeten door een priemgetal. QED. Boek IX, Propositie 35. Indien willekeurig veel getallen in voortdurende verhouding zijn, en er is van het tweede en het laatste (een getal) gelijk aan het eerste afgenomen, dan staat de rest van het tweede (getal) tot het eerste (getal), als de rest van het laatste tot (de som van) alle die ervoor zijn. Laat er zo veel getallen als wij willen in voortdurende verhouding zijn, namelijk A, BΓ,, EZ, beginnende van A als het kleinste. En laat van BΓ en EZ zijn afgenomen de getallen BH, ZΘ, elk gelijk aan A. Ik zeg dat zoals HΓ is tot A, zo is EΘ tot A, BΓ,. A B H Γ E Λ K Θ Z Want laat ZK gelijk gesteld zijn aan BΓ, en ZΛ gelijk aan. Omdat ZK gelijk is aan BΓ, en van deze het deel ZΘ gelijk aan het deel BH, daarom is het restant ΘK gelijk aan het restant HΓ. En omdat EZ staat tot als tot BΓ, en (ook) als BΓ tot A, terwijl gelijk is aan ZΛ, BΓ gelijk is aan ZK, en A gelijk is aan ZΘ, daarom staat EZ tot ZΛ, als ΛZ tot ZK, en (ook) als ZK tot ZΘ. Separando, zoals EΛ staat tot ΛZ, zo staat ΛK tot ZK, en KΘ tot ZΘ Daarom ook, zoals één van de voorgangers staat tot één van de opvolgers, zo staan alle voorgangers tot alle opvolgers. Daarom zoals KΘ staat tot ZΘ, zo staan EΛ, ΛK, KΘ to ΛZ, ZK, ΘZ. Maar KΘ is gelijk aan ΓH, ZΘ is gelijk aan A, en ΛZ, ZK, ΘZ (zijn gelijk) aan, BΓ, A. Dus zoals ΓH staat tot A, zo staat EΘ tot, BΓ, A. Daarom staat de rest van het tweede tot het eerste, als de rest van het laatste tot (de som van) alle die ervoor zijn. QED Boek IX, Propositie 36. Indien, beginnend met de eenheid willekeurig veel getallen uitgezet zijn in de voortdurende verhouding van tweevoudigheid (2:1), totdat hun som priem is, en indien de som vermenigvuldigd met de laatste een of ander (getal) maakt, dan is dat product perfect. Want laat vanaf de eenheid zo veel getallen als we willen, uitgezet zijn in de verhouding van tweevoudigheid (2:1), totdat hun som priem is; namelijk de getallen A, B, Γ,, en laat E gelijk aan de som zijn en laat E met vermenigvuldigd ZH maken; ik zeg dat ZH perfect is. Want hoeveel getallen A, B, Γ, er ook zijn, laat er net zo veel (getallen) vanaf E genomen zijn in de verhouding van tweevoudigheid, namelijk E, ΘK, Λ, M Dan is ex aequali zoals A staat tot, zo staat E tot M. Daarom is het product van E, gelijk aan het product van A, M. Maar het product van E, is ZH; daarom is het product van A, M ook ZH. 5
6 A B Γ Λ M E Z Ξ... H Θ N K Π O Daarom heeft A, door vermenigvuldigen met M, ZH gemaakt; daarom meet M (het getal) ZH volgens de eenheden in A. En A is twee. Daarom is ZH het dubbele van M. Maar M, Λ, ΘK, E zijn ook voortdurend het dubbele van elkaar. Dus zijn E, ΘK, Λ, M, ZH (ook) in de voortdurende verhouding van tweevoudigheid. Laat nu van het tweede (getal) ΘK en het laatste (getal) ZH de getallen ΘN, ZΞ, elk gelijk aan het eerste, E, zijn afgetrokken; dan staat de rest van het tweede (getal) tot het eerste als de rest van het laatste tot (de som van) alle die ervoor zijn. Dus staat NK tot E als ΞH tot de (som van de) getallen M, Λ, KΘ, E. Maar ZΞ is gelijk aan E, en E is gelijk aan A, B, Γ, en de eenheid. De hele ZH is dus gelijk aan E, ΘK, Λ, M en A, B, Γ, en de eenheid, en hij wordt door hen gemeten. Ik zeg, dat ZH door geen enkel ander getal gemeten wordt dan door A, B, Γ,, E, ΘK, Λ, M en de eenheid. Want als dat wel mogelijk zou zijn, laat een of ander getal O het (getal) ZH meten, en laat O niet hetzelfde zijn als een van de getallen A, B, Γ,, E, ΘK, Λ, M. En laat zoveel maal als O het (getal) ZH zijn, laten er zoveel eenheden in het getal Π zitten. Dan maakt Π vermenigvuldigd met O het (getal) ZH. Echter, E vermenigvuldigd met maakt ook ZH. Dus staat E tot Π als O tot. Omdat de (getallen) A, B, Γ, in voortdurende verhouding zijn vanaf de eenheid, wordt door geen enkel ander getal gemeten dan door A, B en Γ. Echter, er is verondersteld dat O niet hetzelfde is als een van de getallen A, B en Γ. Dus meet O het (getal) niet. Maar O staat tot als E staat tot Π. Dus meet E het (getal ) Π ook niet. Maar E is priem. En elk priemgetal is onderling priem met betrekking tot alle getallen die hij niet meet. Dus zijn E en Π onderling priem. Onderling prieme (getallen) zijn de kleinste (getallen) die in een verhouding staan, en de kleinste (getallen) in een bepaalde verhouding meten alle andere getallen die in dezelfde verhouding staan een zelfde aantal malen, de voorganger (meet) de voorganger (dat aantal malen) en de opvolger de opvolger. Nu staat E tot P i als O tot. Dus meet E het (getal) O even veel malen als Π het (getal) meet. Maar wordt door geen enkel ander getal gemeten dan A, B en Γ. Dus Π moet hetzelfde zijn als een van de getallen A, B of Γ. Laat het hetzelfde zijn als B. Laat in de hoeveel B, Γ, in aantal zijn, een even groot aantal genomen worden vanaf E, namelijk E, ΘK, Λ. Nu staan E, ΘK, Λ in dezelfde verhouding alsb, Γ,. Dan geldt ex aequali dat B tot staat als E tot Λ. Dus is het (product) van B, Λ gelijk aan het (product) van, E. Maar het (product) van, E is gelijk aan het (product) van Π, O. Dus is het (product) van Π, O ook gelijk aan het (product) van B, Λ. Dus Π staat tot B als Λ staat tot O. Maar Π is hetzelfde als B. Dus Λ is hetzelfde als O. Hetgeen onmogelijk is, want O was verondersteld aan geen enkele van de uiteengezette getallen gelijk te zijn. Dus wordt ZH door geen enkel ander getal gemeten dan A, B, Γ,, E, ΘK, Λ, M en de eenheid. En er was al bewezen dat ZH gelijk is aan A, B, Γ,, E, ΘK, Λ, M en de eenheid. Een perfect getal is een getal dat gelijk is aan (de som van) de delers ervan. Dus ZH is perfect. Hetgeen bewezen moest worden. 6
Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieZ H A Γ K B. 1 Hiermee wordt bedoeld dat het parallellogram met hoekpunten Γ en Z even groot
uclides, lementen, Boek VI, proposities 27-29. De vertaling is gebaseerd op de Griekse tekst in Heiberg, vol. 2, p. 158-170 en de ngelse vertaling in Heath, vol. 2, pp. 257-266. 27 [1] Van alle langs eenzelfde
Nadere informatieOpmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieVertaling van propositie 11 van boek 13 van de Elementen van Euclides
Vertaling van propositie 11 van boek 13 van de Elementen van Euclides 11. Als in een cirkel met rationale diameter een gelijkzijdige vijfhoek wordt ingeschreven, dan is de zijde van de vijfhoek het irrationale
Nadere informatieSelecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1
Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.)
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieBewijs door inductie
Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke
Nadere informatieGetaltheorie groep 3: Primitieve wortels
Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatieOpgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Nadere informatieMededelingen. TI1300: Redeneren en Logica. Waarheidstafels. Waarheidsfunctionele Connectieven
Mededelingen TI1300: Redeneren en Logica College 4: Waarheidstafels, Redeneringen, Syntaxis van PROP Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor de Fibonacci getallen geldt f 0 = f 1 = 1 (niet 0) Practicum 1 Practicum
Nadere informatieTegenvoorbeeld. TI1300: Redeneren en Logica. De truc van Gauss. Carl Friedrich Gauss, 7 jaar oud (omstreeks 1785)
Tegenvoorbeeld TI1300: Redeneren en Logica College 3: Bewijstechnieken & Propositielogica Tomas Klos Definitie (Tegenvoorbeeld) Een situatie waarin alle premissen waar zijn, maar de conclusie niet Algoritmiek
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieOPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
Nadere informatie7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
Nadere informatiepriemgetallen en verzamelingen Jaap Top
priemgetallen en verzamelingen Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 21 april 2009 (Collegecaroussel, Groningen) 1 In de biografie Gauss zum Gedächtnis (1862, door de Duitse geoloog Wolfgang Sartorius
Nadere informatiePijlenklokken Wiskunde B-dag
Pijlenklokken Wiskunde B-dag 2017 1 Wiskunde B opdracht 2017 Inleiding Over de opdracht Mensen (dus ook jullie) zijn gemaakt om patronen en structuren te herkennen. De wiskunde maakt hier een sport van.
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 10 maart 2017
Selectietoets vrijdag 10 maart 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een even positief geheel getal. Een rijtje van n reële getallen noemen we volledig als voor elke gehele
Nadere informatieb) Niet geldig. Zij π(n)(p) = 1 als n is even, anders π(n)(p) = 0. Schrijf
opgave 2.1 a) Geldig. Zij n N en π een willekeurige valuatie. Schrijf T = (N, π). Stel, T, n p. Dan bestaat m > n zodat T, m p. Dus voor k > m geldt altijd T, k p. Nu geldt T, n p, want voor alle x > n
Nadere informatieWanneer zijn veelvouden van proniks proniks?
1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatie(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Nadere informatieRSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatie3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Nadere informatie1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen
46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatieUitwerkingen toets 12 juni 2010
Uitwerkingen toets 12 juni 2010 Opgave 1. Bekijk rijen a 1, a 2, a 3,... van positieve gehele getallen. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van a 2010 als gegeven is: (i) a n < a n+1 voor alle n 1, (ii)
Nadere informatieVolledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.
Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieVWO finales. versie 1. 28 oktober 2012
VWO finales versie 1 28 oktober 2012 1 1 inleiding De finale van de VWO en de meeste internationale olympiades bestaan uit het bewijzen van vragen. Dit is iets wat men niet meer leert op school en waarbij
Nadere informatieBewijzen onder leiding van Ludolph van Ceulen
Bewijzen onder leiding van Ludolph van Ceulen 1540 1610 Margot Rijnierse Inleiding In de tijd van Ludolph van Ceulen hadden de meetkundige geleerden belangstelling voor de geschriften van de oude Grieken,
Nadere informatieUit: Ibn al-haytham ( ), Verhandeling over de inhoud van de bol.
Uit: Ibn al-haytham (965-1041), Verhandeling over de inhoud van de bol. Toelichting: Vertaling door Jan P. Hogendijk gebaseerd op de Arabische editie van R. Rashed, zie de bibliografie aan het eind van
Nadere informatieIn Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel
Nadere informatieUitwerking Puzzel 93-1, Doelloos
Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieGetaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Nadere informatieEigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Nadere informatieboek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011)
boek Getallen 009, errata (8 oktober 0) De toren van Hanoi 6 0 van a naar b } van a naar b }. 8 6 en x / B } en x / B }. - zonodig zo nodig De natuurlijke getallen 3 - vermenigvuldigeing vermenigvuldiging
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatie1. REGELS VAN DEELBAARHEID.
REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatieUitwerkingen toets 8 juni 2011
Uitwerkingen toets 8 juni 0 Opgave. Vind alle paren (x, y) van gehele getallen die voldoen aan x + y + 3 3 456 x y. Oplossing. Omdat links een geheel getal staat, moet rechts ook een geheel getal staan.
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 21 maart 2014
Selectietoets vrijdag 21 maart 2014 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Vind alle niet-negatieve gehele getallen n waarvoor er gehele getallen a en b bestaan met n 2 = a + b en
Nadere informatieIMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017
IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt
Nadere informatiepriemrecords? Jaap Top
priemrecords? Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 18-23 april 2013 (Collegecaroussel, Groningen) 1 priemrecords?! over priemgetallen 2, 3, 5, 7,..., 101,..., 2017,...... p priem: niet deelbaar door
Nadere informatieSelectietoets vrijdag 18 maart 2016
Selectietoets vrijdag 18 maart 016 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Voor een positief geheel getal n dat geen tweemacht is, definiëren we t(n) als de grootste oneven deler van
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
Nadere informatieBespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007)
Bespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007) Vooraf: Zoals het stilletjes aan een traditie is geworden, geef ik hier bedenkingen bij het examen van deze septemberzittijd. Ik zorg ervoor dat deze tekst op
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieFinaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade
NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal
Nadere informatieSupplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Nadere informatieIMO-selectietoets I donderdag 2 juni 2016
IMO-selectietoets I donderdag juni 016 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij ABC een scherphoekige driehoek. Zij H het voetpunt van de hoogtelijn vanuit C op AB. Veronderstel
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatiePG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5
2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene
Nadere informatieMemoriseren: Een getal is deelbaar door 10 als het laatste cijfer een 0 is. Of: Een getal is deelbaar door 10 als het eindigt op 0.
REKENEN VIJFDE KLAS en/of ZESDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Luc Cielen: Regels van deelbaarheid, grootste gemene deler en kleinste gemeen veelvoud 1 Deelbaarheid door 10, 100, 1000. Door
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatieHoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties
Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel
Nadere informatieIMO-selectietoets I woensdag 5 juni 2013
IMO-selectietoets I woensdag 5 juni 201 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Vind alle viertallen (a, b, c, d) van reële getallen waarvoor geldt ab + c + d =, bc + d + a = 5, cd
Nadere informatieOefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn.
Getallenkennis : Priemgetallen. Wat is een priemgetal? Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. (m.a.w. een priemgetal is een natuurlijk getal
Nadere informatieSelecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1
Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.) 1.
Nadere informatie(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!
Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;
Nadere informatieKaternen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade
Katernen voor de regionale training ten behoeve van de tweede ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE WISKUNDE OLYMPIADE Birgit van Dalen Julian Lyczak Quintijn Puite Inhoudsopgave Katern
Nadere informatieWiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Nadere informatieDeze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen.
Meetkunde Inleiding We beginnen met het doorlezen van alle theorie uit hoofdstuk 3 van het boek. Daar staan een aantal algemene regels goed uitgelegd. Waar je nog wat extra uitleg over nodig hebt, is de
Nadere informatieFormeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieHoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Nadere informatieUitwerkingen toets 9 juni 2012
Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is
Nadere informatieWorteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:
Nadere informatieDefinitie 4.1. Als H en K normaaldelers zijn van een groep G en H K = {e} en HK = G dan noemt men G het direct product van
Hoofdstuk 4 Groepsconstructies 4.1 Direct product We gaan nu bestuderen hoe we van 2 groepen een nieuwe groep kunnen maken of hoe we een groep kunnen schrijven als een product van 2 groepen met kleinere
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieNotatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren
Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges
Nadere informatieInhoud. Introductie tot de cursus
Inhoud Introductie tot de cursus 1 Inleiding 7 2 Voorkennis 7 3 Het cursusmateriaal 7 4 Structuur, symbolen en taalgebruik 8 5 De cursus bestuderen 9 6 Studiebegeleiding 10 7 Huiswerkopgaven 10 8 Het tentamen
Nadere informatieFinaletraining Wiskunde Olympiade
Finaletraining Wiskunde Olympiade Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite, Merlijn Staps Voor het schrijven van dit trainingsmateriaal hebben we inspiratie opgedaan uit materiaal van de Rijksuniversiteit
Nadere informatieFinaletraining Wiskunde Olympiade
Finaletraining Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite, Merlijn Staps Voor het schrijven van dit trainingsmateriaal hebben we inspiratie opgedaan uit materiaal
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieComplexe functies 2019
Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave
Nadere informatieOpgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =
Nadere informatieBeste deelnemer, Wanneer we vanmiddag op het kampterrein aankomen, zullen we beginnen met een verkenningsrondje over het terrein. Dat is op zichzelf
Beste deelnemer, Wanneer we vanmiddag op het kampterrein aankomen, zullen we beginnen met een verkenningsrondje over het terrein. Dat is op zichzelf al best leuk, maar het wordt nog veel leuker als we
Nadere informatieAutomaten. Informatica, UvA. Yde Venema
Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................
Nadere informatieAlle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave.
WAT IS WISKUNDE (English version on the other side) Maandag 5 november 2012, 13.30 1.30 uur Gebruik voor iedere opgave een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer op elk vel. Alle opgaven tellen even
Nadere informatieBijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien
Nadere informatieUitwerkingen toets 18 maart 2011
Uitwerkingen toets 8 maart 20 Opgave. Alle positieve gehele getallen worden rood of groen gekleurd, zodat aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: Er zijn zowel rode als groene getallen. De som van drie
Nadere informatie