Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie

Transcriptie

1 Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie Fysica (IHEF)

2

3 Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie Fysica (IHEF) gebaseerd op de syllabus van Prof. J.J. Engelen met medewerking van drs. B. Mooij en B. Elsinga BSc versie 5.0, februari 2009

4 4

5 Inhoudsopgave 1 Galileitransformatie Twee inertiaalsystemen Tennissen Een paraboolbaan Versnellende auto Michelson-Morley voor geluid Tijddilatatie en lengtecontractie Einstein puzzel Tijddilatatie Einsteins Gedankenexperiment Afstanden Muon Neutron Astronaut Bewegend voorwerp Lorentztransformatie Inverse Lorentztransformatie Klokken Knal en lichtflits Boeven vangen Raketten Michelson-Morley experiment Consequenties van de Lorentztransformatie Lat Vier klokken Raketten Lichtflitsen Trein Minkowski-diagrammen Drie gebeurtenissen Draaing in het ct, x-diagram Lorentzcontractie en Tijddilatatie in Minkowski-diagram Wereldlijnen Opnieuw raketten Nogmaals raketten i

6 6 Klassieke Mechanica Botsende deeltjes Massa-middelpunt Lorentztransformatie van impuls en energie Impuls-energie viervector Energie van een relativistisch deeltje Energie en impuls van een relativistisch deeltje Massaloze deeltjes Twee relativistische deeltjes Inelastische boting Nog een inelastische botsing Nog twee deeltjes Doppler-effect Bewegende lichtbronnen Roodverschuiving Stoplicht Transversaal Doppler-effect Tweelingparadox Deeltjesproductie Vierimpuls p p botsing Vervallende deeltjes pp botsing Eenheden e e + botsing ii

7 1 1 Galileitransformatie 1.1 Twee inertiaalsystemen Twee inertiaalstelsels S en S zijn verbonden door de Galileitransformatie : x y z t = x + 3t = y = z = t a. In welke richting beweegt S t.o.v. S? b. Schrijf de transformatie-formules op voor de snelheidscomponenten v x, v y, v z. In S duwt een kracht F een voorwerp met massa m met een versnelling a = 2m/s 2 voort: van snelheid v = 4m/s op t = 0 en x = 0, tot snelheid v = 10m/s op t = 3s en x = 21m. c. Welke waarden hebben a, F, x en v in S? d. Blijft de formule v = v(0) + at in S van kracht? Zowel in S als S kun je de arbeid W = F x en de groei van de kinetische energie E k = ( 1 2 mv2 ) uitrekenen. e. Is de arbeid die verricht wordt hetzelfde, gezien vanuit S en S? f. Dezelfde vraag voor E k. g. Geldt zowel in S als in S dat F x gelijk is aan ( 1 2 mv2 )? h. Omschrijf nu wat het relativiteitsprincipe inhoudt voor Galileitransformaties. 1.2 Tennissen Een satelliet die zich om een bewegende planeet slingert, krijgt daarvan een extra snelheid mee, ongeveer zoals een tennisbal dat van een bewegende tennisracket krijgt. v b, v e en v 0 zijn de begin-, eind-, planeet/tennisracketsnelheid in het coördinatenstelsel S van de toeschouwer. S is het coördinatenstelsel dat met de planeet/tennisracket meebeweegt.

8 2 1 GALILEITRANSFORMATIE Figuur 1: Tennissen a. Wat zijn de begin- en eindsnelheid van de bal in het coördinatenstelsel S? Bij de elastische botsing van de bal met het racket is in S is de snelheid van de bal na de botsing even groot als de snelheid voor de botsing. b. Hoe groot is de eindsnelheid van de bal in S in termen van v b en v 0? c. Hoe verandert de kinetische energie E k = 1 2 mv2 van de bal in S? d. En in S? Terwijl de waarden van grootheden in S en S kunnen verschillen, moeten de formules tussen de grootheden wel invariant zijn. e. Laat zien dat de formule E k = F x zowel in S als in S geldt (het racket werkt met F = m bal v t over een afstand x = v 0 t). 1.3 Een paraboolbaan Gegeven een paraboolbaan (zie figuur 2) t.o.v. coördinatenstelsel S: y = x Dit is de baan die beschreven wordt door een puntmassa die met een horizontale beginsnelheid van een 20 meter hoge toren gegooid wordt. De versnelling van de zwaartekracht is g = 10 m/s 2. Geef de Galileitransformatie naar stelsel S zodat de puntmassa t.o.v. dit stelsel langs een rechte, verticale lijn beweegt.

9 1.4 Versnellende auto 3 y x Figuur 2: Paraboolbaan 1.4 Versnellende auto Als je vanuit een inertiaalsysteem een Galileitransformatie uitvoert, kom je in een ander inertiaalsysteem. a. Hoe weet je zeker dat je in een inertiaalsysteem bent? Het interieur van een auto (stelsel S ), die versneld door een straat (stelsel S) rijdt, is géén inertiaalsysteem en de transformatie van S naar S is géén Galileitransformatie: x = x ± 1 2 at2 (1) y = y (2) z = z (3) b. Moet je in formule 1 het plus- of het minteken nemen? c. Een bal die je binnen in de auto op t = 0 loslaat, heeft dan v = 0 en v = 0. In welk stelsel, S of S geldt tijdens de val van de bal v x = 0?

10 4 1 GALILEITRANSFORMATIE d. Leidt nu uit de transformatieformules af hoe de snelheid in S zich ontwikkelt. e. In S is er een versnelling a x, en voel je dus een kracht F x = ma x. Hoe groot is de kracht en in welke richting werkt de kracht? 1.5 Michelson-Morley voor geluid Vóór de komst van de speciale relativiteitstheorie veronderstelde men dat de lichtsnelheid een vaste waarde had in één bepaald inertiaalsysteem (de ether ) en dat de lichtsnelheid in andere systemen via een Galileitransformatie kon worden afgeleid. Deze veronderstelling bleek niet houdbaar (zie o.a. het Michelson-Morley experiment), maar hij geldt wel voor geluid. Vandaar deze opgave, als contrast met de gang van zaken voor licht. Geluid heeft een vaste snelheid t.o.v. zijn medium (de lucht, stelsel S), nl. c g = 1/ ρκ waar ρ de dichtheid en κ de compressibiliteit van de lucht zijn. y muur y c+v c-v g g v c 01 v g y l c v 01 g c g c g y v wind O x O x l Figuur 3: Michelson en Morley voor geluid muur wind Als in je eigen stelsel (S ) de wind je tegemoet blaast met snelheid v (of als je met snelheid v naar voren beweegt), is de geluidssnelheid in S volgens de Galileitransformatie gelijk aan c g v. We kunnen deze beweging t.o.v. het medium aantonen door de reistijden van het geluid te meten langs gelijke trajecten in onderling loodrechte richtingen (de x - en y -as van S ).

11 1.5 Michelson-Morley voor geluid 5 a. Bereken na hoeveel tijd je de echo uit de x-richting en uit de y-richting hoort als het windstil is. Is er verschil? Nu waait er wel wind, van rechts, zoals aangegeven in figuur 3, Het geluid moet dan in S schuin naar rechts lopen, om in S langs de y -as heen er weer te gaan (zie figuur 3 rechts). b. Hoeveel tijd kost het nu voor je de echo uit de x-richting hoort? c. En uit de y-richting? d. Hoe zou je dus, als je de wind niet zou kunnen voelen of zien, toch kunnen constateren dat hij waait? (Neem bijv. l = 340m; v = 20 m/s en c g = 340 m/s)

12 6 2 TIJDDILATATIE EN LENGTECONTRACTIE 2 Tijddilatatie en lengtecontractie 2.1 Einstein puzzel Einstein, als jongen van 16, vroeg zich het volgende af: een hardloopster ziet zichzelf in een spiegel die zij in haar hand houdt, een armlengte voor haar gezicht. Als zij nu met bijna de snelheid van het licht rent, zal ze zichzelf dan nog steeds in de spiegel zien? Analyseer deze vraag aan de hand van het relativiteitsprinciepe. 2.2 Tijddilatatie Een waarnemer D heeft een lichtklok en een polshorloge, beide in rust ten opzichte van hemzelf. Een andere waarnemer E beweegt ten opzichte van waarnemer D, en kan de lichtklok en polshorloge van D bekijken. We vragen ons af of het mogelijk is dat waarnemer D zijn twee klokken gelijk ziet lopen, terwijl waarnemer E observeert dat de klokken niet gelijk lopen. Laat met behulp van een gedachtenexperiment zien dat dit onmogelijk is (hint: stel voor dat de beide klokken van D bij elke tik een gaatje prikken in een tape). 2.3 Einsteins Gedankenexperiment Als werknemer bij een patentburo in Bazel zag Einstein vanaf zijn werkkamer de klok van de kerktoren. Op een bepaald moment stond de klok op precies 3 uur. Hij stelde zich voor dat het licht, dat weerkaatst wordt vanaf de klok en het beeld van de klok met zich draagt, met een snelheid van km/s de ruimte in suist. Hij vroeg zich af hoe je de klok ziet lopen als je met dit licht zou kunnen meereizen. a. Hoe verloopt de tijd voor een (hypothetische) waarnemer die met de snelheid van het licht reist? 2.4 Afstanden In het ruststelsel van de aarde is de afstand tussen Amsterdam en New York ongeveer 6000 km (5.877 km om precies te zijn). Met hoeveel wordt de afstand tussen de steden verkort, geobserveerd vanuit een vliegtuig (1000 km/uur)? Of door de International Space Station (8 km/s)? Of door een kosmisch deeltje dat met een snelheid van 0,9c reist?

13 2.5 Muon Muon Een muon (µ-deeltje) is een instabiel elementair deeltje, dat in rust een gemiddelde levensduur τ 0 = 2, s heeft. Veronderstel dat een gegeven muon in een laboratorium (stelsel S) een buis met een lengte l = 600 m kan doorlopen voordat het vervalt. a. Druk de levensduur τ van een muon in het laboratorium uit in zijn snelheid v. b. Gebruik het gegeven dat het muon binnen τ s de buis van 600 m kan doorlopen om v te berekenen. c. Hoe lang was volgens het muon zelf de buis die aan hem voorbij schoot? d. Leeft het muon volgens zichzelf lang genoeg om de Lorentz-gecontraheerde buis te passeren? 2.6 Neutron De gemiddelde levensduur van een neutron is 15 minuten (daarna vervalt hij in een proton, elektron en antineutrino). Toch zijn er neutronen die vanuit de zon de aarde bereiken (afstand 1, m). Met welke snelheid moeten die minstens door de zon zijn uitgestoten? 2.7 Astronaut Een astronaut wil binnen één jaar (volgens zijn eigen tijdrekening) een ster die op een afstand van 5 lichtjaren staat bereiken. Neem als lengte-eenheid lichtjaar en als tijdseenheid jaar. a. Welke waarde heeft de lichtsnelheid c in deze eenheden? b. Welke snelheid moet zijn ruimteschip dan hebben? c. Hoelang duurt de reis volgens de aardse tijdrekening? 2.8 Bewegend voorwerp a. Hoe verandert door de Lorentz-contractie de vorm en de inhoud van een bewegend volume? b. Hoe verandert de dichtheid van een bewegend voorwerp?

14 8 3 LORENTZTRANSFORMATIE 3 Lorentztransformatie 3.1 Inverse Lorentztransformatie y y v S S O O x x Figuur 4: Twee inertiaalstelsels Twee inertiaalstelsels S en S zijn verbonden door de Lorentztransformatie (figuur 4): x y z ct = γ(x βct) = y = z = γ(ct βx) en x = γ(x + βct ) y = y z = z ct = γ(ct + βx ) a. Laat zien dat de tweede set vergelijkingen (met +β) uit de eerste set kan worden afgeleid. b. De oorsprong van S heeft x = 0. Laat met de Lorentztransformatie zien dat de oorsprong van S met snelheid v door S beweegt. c. Vanuit de oorsprong van S schijnt een lichtstraal (met snelheid c) in de positieve x -richting, volgens x = ct. Gebruik de Lorentztransformatie om aan te tonen dat hij ook een snelheid c in S heeft (dus beweegt volgens x = ct).

15 3.2 Klokken 9 d. Nu schijnt een lichtstraal langs de y-as van S (loopt volgens y = ct ). Bepaal met de Lorentztransformatie de totale snelheid vx 2 + v2 y in S. 3.2 Klokken S en S als in figuur 5. Twee gebeurtenissen A en B die in S op dezelfde tijd (t A = t B ) maar op verschillende plaats (x A x B ) plaatsvinden, zijn in S niet gelijktijdig (t A t B ). S v A B x S A B x Figuur 5: Klokken a. Laat zien dat t B t A = γβ c (x B x A ). b. Ga na dat figuur 5, waarin overal in S de klokken op t = 0 staan, de klokken in S de situatie goed weer geven. M.a.w. is het juist dat in S de klok bij A vóór loopt in vergelijking met de klok in S en in B achter. c. Geef de formule voor het tijdsverschil t B t A voor gebeurtenissen die zich in S gelijktijdig (t A = t B ) afspelen op x A en x B. d. Teken nu op de manier van vraag b) de situatie voor de klokken op het ogenblik t = 0 (de klokken in S staan nu overal op nul). Welke S-klokken lopen voor, welke achter?

16 10 3 LORENTZTRANSFORMATIE e. Is er een tegenspraak tussen de figuren van vraag b) en c), dus zijn er b.v. passanten die van elkaar zeggen dat de klok van de ander voor (of achter) loopt? f. Hoe kan het dat de klokken van het andere stelsel die bij hun nadering nog voorliepen, achterlopen als ze gepasseerd zijn? 3.3 Knal en lichtflits Op t = 0 klinkt een knal in S(figuur 6). A (S) B Figuur 6: Knal of lichtflits a. Bereikt het geluid volgens een stilstaande waarnemer (S) A eerder of later dan B? b. Teken nu de situatie gezien door een waarnemer die met snelheid v naar rechts beweegt (S ). Waar komt het geluid volgens S eerder, in A of in B? In plaats van een knal is er een lichtflits in S op t = 0. c. Waar is volgens S het licht eerder, in A of in B?

17 3.4 Boeven vangen 11 d. Teken de situatie volgens S. Waar komt het licht eerder aan, in A of in B? 3.4 Boeven vangen We bekijken een situatie, vergelijkbaar met de opgave Twee intertiaalsystemen uit Hoofdstuk 1, waarin we de snelheid van een voorwerp in een (voor de waarnemer in stelsel S) bewegend inertiaalsysteem S bekijken. In dit geval gaat het om een achtervolgingsscène waarin vanuit een politie auto (stelsel S ) een kogel met een snelheid v k wordt afgeschoten richting ontsnappende boeven, die een snelheid w hebben in stelsel S. Figuur 7: Boeven vangen a. Vul de bewegingsvergelijking x k = v k t in in de formules van de Lorentztransformatie en leidt hieruit een verband tussen x k en t af. b. Leidt uit het resultaat van vraag a) de relativistische optelformule voor snelheden af: v k = v k + v 1 + v k v/c2. De Boeven proberen met een snelheid w = 3 c te ontkomen aan een achtervolgende politieauto met snelheid v = 1 c (figuur 7). De achtervolgers 4 3 schieten kogels af met snelheid v k = 1c. 2 c. Volgens de gewone optelling is > 3 4. Bereken de snelheid van de kogel nu met de relativistische optelformule voor snelheden; zullen de kogels de boeven dus uiteindelijk raken?

18 12 3 LORENTZTRANSFORMATIE d. Wat geeft de optelformule als je v k = c neemt? Dus: als er in plaats van een kogel met snelheid v k < c, een laserstraal (met v l = c) wordt afgevuurd richting de boeven; komt het licht er dan met snelheid c + v uit? 3.5 Raketten 1 Figuur 8: Raketten P en Q in stelsel S We bekijken een situatie waarin twee raketten P en Q van elkaar vandaan vliegen. Op het tijdstip t = 0 passeren de raketten elkaar boven de Aarde, dus x P (t = 0) = x Q (t = 0) = 0 Ten opzichte van het stelsel op aarde, S, hebben de raketten een snelheid van respectievelijk v P = 4 5 c en v Q = 4 5 c. Het stelsel van raket P noemen we S. a. Schrijf de Lorentz-transformatie op tussen stelsel S en S. b. Ga uit van de Lorentztransformaties en geef een uitdrukking voor de snelheid van Q gezien vanuit raket P: v Q. Controleer dat je hiermee de relativistische optelformule voor snelheden terugvindt: c. Geef de waarde van v Q. v Q = v P + v Q 1 v P v Q c 2 (4)

19 3.6 Michelson-Morley experiment 13 d. We bepalen nu de lengte van raket Q in de richting van de beweging. In stelsel S meten we een lengte van 12 meter (L Q = 12 m). Geef de lengte van Q in zijn eigen ruststelsel. e. Bereken de (γ) -factor voor de beweging van raket Q in stelsel S. Wat is de lengte van raket Q voor een waarnemer in raket P, dus (L Q )? (Je mag evt. wortels en breuken laten staan in je antwoord) f. Voor een waarnemer in S verwijderen P en Q zich met een snelheid van 8/5 c van elkaar. Laat aan de hand van het antwoord op vraag c. zien dat een lichtsignaal verzonden vanaf raket P alsnog de waarnemer in Q kan bereiken. g. Verklaar waarom de waarnemer in S tevens concludeert dat dit signaal vanuit P de waarnemer in Q bereikt. 3.6 Michelson-Morley experiment (Analyse van het Michelson-Morley-experiment met licht) l heen y O 01 terug Spiegel B terug heen (aarde) Spiegel A x y Spiegel B v heen terug O heen (ether) Spiegel A v terug O x Figuur 9: Michelson-Morley experiment De aarde (S ) beweegt met snelheid v door de ether (S). In S worden lichtstralen vanuit de oorsprong O door spiegels A en B op afstand l op de x - en y -assen teruggekaatst. Omdat we voorlopig alleen weten dat de lichtsnelheid in de ether (S) gelijk is aan c, berekenen we de gebeurtenis in S. Daarna transformeren we met de Lorentztransformatie terug naar S en vragen ons af of er verschil in reistijd zit (zoals voor geluid in de opgave Michelson-Morley voor geluid ).

20 14 3 LORENTZTRANSFORMATIE De beweging O AO langs de x -as ziet er in S uit als links in figuur 9: de heenreis duurt t h, met een snelheid c over een afstand γ 1 l+vt h (want door de Lorentzcontractie is de lengte γ 1 l en is de spiegel A naar rechts verschoven met snelheid v). De terugreis duurt t t, met een snelheid c, over een afstand γ 1 l vt t (want de oorsprong O is dichterbij gekomen met snelheid v). a. Laat zien dat de beweging O AO volgens S een tijd geduurd heeft en dat O dan zit op t x t h + t t = 2γl c x = 2γβl De beweging O BO langs de y -as ziet er in S uit als rechts in Figuur 9. Heen- en terugreis duren even lang en overbruggen met een snelheid c een afstand l 2 + (vt) 2 (want spiegel B is naar rechts verschoven met snelheid v). b. Waarom heeft de lat nu geen Lorentz-contractie? c. Laat zien dat de beweging O BO volgens S een tijd geduurd heeft. t y t h + t t = 2γl c De lichtstralen keren dus in S tegelijkertijd terug. De vraag was echter of je op aarde, in S, verschil in terugkeertijd ziet. d. Zijn de twee reistijden na Lorentztransformatie van S naar S ook hetzelfde? e. Wat is de conclusie met betrekking tot het bestaan van de ether?

21 4 Consequenties van de Lorentztransformatie 4.1 Lat S beweegt met snelheid v langs de x-as van S, dus gelden de Lorentztransformaties tussen x, t, x en t : x = γ(x + βct ) ct = γ(ct + βx ). In S ligt een lat, tussen x = 0 (begin) en x = l (eind). De lat beweegt dus ook met snelheid v door S. a. Je bepaalt met de Lorentztransformatie de x-waarden van begin en eind van de lat als de (met de lat meebewegende) S -klokken op nul staan, dus op t = 0. Welke lengte vind je dan? b. Wat zijn de x-waarden van begin en eind als de passerende S-klokken op nul staan, dus op t = 0? c. Hoe groot is de lengte van de lat, als gezien in stelsel S, en hoe groot is de lengte van de lat, als gezien in stelsel S? 4.2 Vier klokken Stelsel S beweegt t.o.v. stelsel S met snelheid v in de richting van de positieve x-as. Klok A staat in de oorsprong van S en klok B in de oorsprong van S. Als klok B klok A passeert staan ze beide op 0: ct = 0 en ct = 0 (zie figuur 10a). Even later, als klok B op ct = 1 staat, passeert hij klok C in S, die dan op ct = γ staat (zie fig. 10b).Volgens een waarnemer in S staat klok A dan op ct = γ 1 en passeert hij klok D in S, die dan op ct = 1 staat (fig. 10b). Volgens een waarnemer in S staat klok A dan op ct = γ en passeert klok A klok E, die dan ct = γ 2 aanwijst in S (zie fig. 10c). a. Schrijf de Lorentztransformatie tussen S en S op. b. Controleer met de Lorentztransformatie de opgegeven stand van de klokken. c. Waar zie je tijddilatatie optreden? 15

22 16 4 CONSEQUENTIES VAN DE LORENTZTRANSFORMATIE S v S v S v γ 2 1 B x D B x E B x S S S 0 γ 1 γ γ γ A x A C x A C x a) b) Waarnemer in S. c)waarnemer in S. Figuur 10: Klokken 4.3 Raketten 2 S is het inertiaalsysteem van de aarde. Raket P passeert de aarde op t = 0 met snelheid 1 2 c en beweegt zich naar raket Q die de aarde met 1 2 c nadert (zie figuur 11. P Q Aarde S Figuur 11: Raketten Volgens een waarnemer op aarde bevindt Q zich op t = 0 op een afstand x = 4 (lichtjaar), zodat P en Q elkaar in x = 2 (lichtjaar) zullen ontmoeten, na t = 4 jaar (dus ct = 4 lichtjaar). a. Noteer de x- en ct-coördinaten van de start van P, de start van Q en hun ontmoeting. We bekijken de gebeurtenis nu vanuit raketje P (stelsel S ).

23 4.4 Lichtflitsen 17 b. Schrijf de Lorentztransformatie van S naar S op (let op + en - tekens!) c. Vertaal de start van P en Q en hun ontmoeting naar S -coördinaten en noteer hiervan de x - en ct -coördinaten. d. Welke snelheid v = x / t had raket Q, gezien vanuit P? Controleer dat met de snelheids-optelformule. 4.4 Lichtflitsen In een inertiaalsysteem S worden in A en B, 5 µs na elkaar lichtflitsen uitgezonden. De afstand AB is 5 km. Als je in S met een bepaalde snelheid v parallel aan de lijn AB beweegt, zie je de flitsen gelijktijdig. Hoe groot moet v zijn? 4.5 Trein Een trein met een lengte L 0 (als hij stilstaat) davert langs een station waarvan het perron een lengte L < L 0 heeft. a. Hoe groot moet zijn snelheid zijn, zodat volgens iemand op het perron de staart van de trein aan de achterkant van het perron is op hetzelfde moment als de kop van de trein aan de voorkant is? Twee mensen aan de uiteinden van het perron slaan gelijktijdig (volgens hun eigen waarneming) een deuk in de trein. b. Op welke afstand liggen die deuken uit elkaar volgens de mensen op het perron? c. En volgens de mensen in de rijdende trein? d. Waar zitten de deuken als de trein gestopt is?

24 18 5 MINKOWSKI-DIAGRAMMEN 5 Minkowski-diagrammen 5.1 Drie gebeurtenissen Gebeurtenissen worden vanuit drie standpunten bekeken die een onderlinge beweging hebben: S 1, S 2 en S 3. ct 1 ct 3 ct 1 ct 2 B c/2 c/2 O A x 1 S 3 S 1 x 3 S 2 x1 x 2 Figuur 12: Drie gebeurtenissen In het Minkowski-diagram van S 1 zijn drie gebeurtenissen O, A en B aangegeven. a. Geef in het rechter diagram aan wat de x 2 -, ct 2 -, x 3 - en ct 3 -assen zijn. b. Volgens S 1 is gebeurtenis A gelijktijdig met gebeurtenis O. Hoe zit dat in S 2 en S 3? c. In S 1 stelt de overgang van O naar B een toestand van rust voor. Hoe zit dat in S 2 en in S 3? 5.2 Draaing in het ct, x-diagram We kijken naar twee stelsels S en S die verbonden zijn door de Lorentztransformatie (zie figuur 13): x = γ(x + βct ) ct = γ(ct + βx ) De Lorentztransformatie veroorzaakt een soort draaiing in het ct,x-diagram, die lijkt op een gewone ruimtelijke rotatie in het x, y-vlak, met het verschil dat de ct- en x-assen beide naar binnen draaien, over een hoek α met tanα = β = v/c :

25 5.2 Draaing in het ct, x-diagram 19 y y ct ct x x x x ruimtelijke rotatie Lorentz-transformatie Figuur 13: Draaiing van assen a. Laat zien dat de x -as (de lijn met ct = 0) in het ct,x-diagram een lijn met richtingscoëfficiënt β is (dus van de vorm ct = βx is). b. Laat ook zien dat de ct -as (dus de lijn met x = 0) een richtingscoëfficiënt β heeft met de ct-as (dus van de vorm x = βct is). Terwijl bij een rotatie in het x, y-vlak de eenheden op de gedraaide assen liggen op de eenheidscirkel x 2 + y 2 = 1, zo liggen de eenheden van de gekantelde ct,x -assen op de eenheids hyperbolen x 2 (ct) 2 = ±1 (figuur 14): 1 1 y y x x 1 1 ct ct 1 1 x x eenheidscirkel eenheidshyperbolen Figuur 14: Eenheden c. Reken voor de eenheden op de x -as (dus ct = 0 en x = ±1) na dat de bijbehorende x- en ct-getallen voldoen aan x 2 (ct) 2 = +1. d. Hetzelfde voor de eenheden op de ct -as: x 2 (ct) 2 = 1.

26 20 5 MINKOWSKI-DIAGRAMMEN 5.3 Lorentzcontractie en Tijddilatatie in Minkowskidiagram Figuur 15: Tijddilatatie Lorentzcontractie met een Minkowski-diagram: a. Toon met de twee diagrammen van figuur 15 aan dat een lat OA (met lengte 2) in S, gezien vanuit S verkort is, en andersom, dat een lat OB in S, verkort is in S. Figuur 16: Tijddilatatie Tijddilatatie in een Minkowski-diagram: b. Laat in de diagrammen van figuur 16 zien dat een klok, die in S van O naar C loopt, vanuit S gezien langzamer is, en andersom, dat een klok die in S van O naar D loopt, vanuit S gezien langzamer is.

27 5.4 Wereldlijnen Wereldlijnen In het coördinatenstelsel S staan A en B stil op de plaatsen x A = 0 en x B = 3. Op t = 0 zendt A een lichtgolf uit die B bereikt op t = 3 c. ct ct x x Figuur 17: Teken wereldlijnen a. Teken in het Minkowski-diagram in figuur 17 de zgn. wereldlijnen van A en B (dus de lijnen x = 0 en x = 3). Teken ook het punt C: de gebeurtenis waar het licht vanuit A, B bereikt. Een ander stelsel S beweegt met 1 c t.o.v. S in de positieve x-richting. De 2 x,ct -assen zijn al in het diagram aangegeven. b. Controleer dat de snelheid van S t.o.v. S gelijk is aan 1 2 c en geef het punt B aan waar B zich volgens S bevindt op het ogenblik dat het licht uit A vertrekt.

28 22 5 MINKOWSKI-DIAGRAMMEN c. Bereken de ct,x coördinaten voor de punten B en C (gebruik daarbij de Lorentztransformatie) d. Bereken uit de x - en t -verschillen tussen B en C hoe snel B beweegt in S ; bereken uit de x - en ct -verschillen tussen de oorsprong O en C hoe groot de lichtsnelheid in S is. Waren deze antwoorden te verwachten? 5.5 Opnieuw raketten Nog een keer de situatie van de opgave Raketten 2 (opgave 4.3). ct ct x x Figuur 18: Teken raketbewegingen a. Teken de beweging van P en Q in het Minkowski-diagram in figuur 18. b. Teken de x,ct assen die gelden voor een waarnemer (S ) die met raket P mee beweegt.

29 5.6 Nogmaals raketten 23 c. Hoe groot is volgens S op t = 0 de afstand x tot raket Q? (uit het diagram aflezen) d. Na hoeveel tijd ontmoeten P en Q elkaar in S? (uit het diagram aflezen). e. Bereken de snelheid van Q in S uit de x -verplaatsing van Q tussen ct = 0 en zijn ontmoeting met P. Vergelijk het antwoord met vraag d) van de opgave Raketten uit hoofdstuk Nogmaals raketten Hieronder zie je twee onvolledige Minkowski-diagrammen, die horen bij de eerder gemaakte opdracht 3.5. Het ene diagram toont de situatie zoals waargenomen vanuit S, de andere zoals waargenomen vanuit S. Geef in beide diagrammen aan of de assen ct of x, danwel ct of x zijn. Geef verder in ieder van de diagrammen aan wat de wereldlijnen zijn van P en Q. Teken ten slotte in ieder van de diagrammen een lichtstraal die uitgezonden wordt door P in de richting van Q (de aankomst van de lichtstraal bij Q zou buiten de tekening kunnen vallen).

30 24 5 MINKOWSKI-DIAGRAMMEN Figuur 19: Onvoltooid Minkowski diagram in stelsel S

31 5.6 Nogmaals raketten 25 Figuur 20: Onvoltooid Minkowski diagram in stelsel S

32 26 6 KLASSIEKE MECHANICA 6 Klassieke Mechanica Voor de Klassieke Mechanica zullen een aantal opgaven uit het boek Analytical Mechanics van Fowles & Cassiday worden behandeld. Dit zijn onder meer: Hoofstuk 1: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7 Hoofdstuk 2: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.6 Hoofdstuk 4: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 Hoofdstuk 7: 7.1, 7.2, 7.4, 7.5 Hieronder volgen een aantal extra opgaven. 6.1 Botsende deeltjes Voor twee botsende deeltjes A en B bestaat de wet van behoud van impuls : m A v 1A + m B v 1B = m A v 2A + m B v 2B waar v 1A en v 1B de snelheden van A en B voor de botsing en v 2A en v 2B de snelheden na de botsing zijn. S en S zijn twee niet relativistische inertiaalsystemen met een onderlinge snelheid v. Bewijs dat wanneer de behoudswet geldt in S, deze ook geldt in S. 6.2 Massa-middelpunt Het massa-middelpunt van twee deeltjes is een denkbeeldig punt tussen de deeltjes in, waarvan de plaats, snelheid en versnelling het gemiddelde is van die van de twee deeltjes, als je tenminste de grootste massa het sterkst meetelt (gewogen gemiddelde). Als de massa s van de deeltjes m 1 en m 2 zijn, is hun totale massa M = m 1 + m 2 en geldt voor hun massa-middelpunt: x M = m 1 M x 1 + m 2 M x 2 v M = m 1 M v 1 + m 2 M v 2 a M = m 1 M a 1 + m 2 M a 2

33 6.2 Massa-middelpunt 27 Bij twee botsende deeltjes, waarop verder geen krachten werken, beweegt het massa-middelpunt altijd eenparig. Je kunt dan altijd een Galileitransformatie maken van het L-systeem (het laboratorium-systeem ) waarin de botsing plaats heeft, naar het M-systeem (het massamiddelpunt-system ) 1. Deeltje A heeft een massa m A = 4 kg en botst met een snelheid v A = 10 m/s op een stilstaand deeltje B met massa m B = 1 kg. a. Laat zien dat de totale impuls in het M-systeem vóór de botsing nul is: p A,M + p B,M = 0. In het M-systeem zijn (en blijven) de twee impulsen dus even groot en tegengesteld aan elkaar! Bij een volkomen elastische botsing gaat er geen kinetische energie verloren. Het is dan gemakkelijk te bewijzen dat in het M-systeem de impulsen van A en B na de botsing niet alleen even groot en tegengesteld zijn, maar ook dezelfde grootte hebben als vóór de botsing. b. Als deeltje A bij een volkomen elastische botsing in het M-systeem 90 o zou afbuigen, wat zijn dan de snelheden na de botsing in het M- systeem? c. En in het L-systeem? 1 In het Engels heet dit het Centre of mass system, ofwel CM-system.

34 28 7 LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE 7 Lorentztransformatie van impuls en energie 7.1 Impuls-energie viervector De componenten van de impulsvector en de energie vormen een vier-vector ( E c, p x, p y, p z ) op dezelfde manier als de tijd-ruimte-coördinaten (ct, x, y, z). Bij overgang van stelsel S naar S transformeren ze volgens dezelfde Lorentztransformatie als voor (x, y, z, ct) geldt. a. Vertaal de transformatie x = γ(x βct), ct = γ(ct βx) naar p x en E c. We bekijken een deeltje dat door stelsel S beweegt met snelheid v; dit deeltje ligt dus stil in zijn eigen rustframe S. b. Laat zien dat je met de Lorentztransformatie voor de impuls en energie van het bewegende deeltje in S de volgende formules krijgt: p x = γmv E = γmc 2 Bij de Lorentztransformatie blijft de combinatie (ct) 2 x 2 hetzelfde, Lorentzinvariant. c. Controleer dat voor (ct) 2 x 2 en (ct ) 2 x 2. d. Welke Lorentzinvariante combinatie van E en p x neemt de plaats in van (ct) 2 x 2? e. Welke waarde neemt deze combinatie aan in het rustframe S? 7.2 Energie van een relativistisch deeltje Voor een relativistisch deeltje is het verband tussen energie en impuls: E 2 c 2 p 2 = m 2 c 4 dus: E = m 2 c 4 + c 2 p 2 a. Teken de grafiek van de energie van het bewegende deeltje als functie van zijn snelheid v. Geef hierin de bijdrage van de kinetische energie E k = E E 0 aan (E 0 is de rustenergie van het deeltje).

35 7.3 Energie en impuls van een relativistisch deeltje 29 b. Hoe snel moet een deeltje bewegen om zijn kinetische energie even groot te laten zijn als zijn rustenergie? c. Tot welke uitdrukking reduceert de kinetische energie voor niet-relativistische deeltjes (pc E 0 )? d. Dezelfde vraag voor relativistische deeltjes (pc E 0 ). 7.3 Energie en impuls van een relativistisch deeltje Als je aan een deeltje energie toevoegt, nemen de snelheid en impuls van het deeltje toe. a. Tot welke waarde nadert de snelheid van het deeltje uiteindelijk? b. En de impuls? c. Teken de grafiek van de energie (verticaal) tegen de impuls (neem cp, horizontaal). Geef daarin ook de grafiek van de niet-relativistische energie E = E 0 + p2 2m. d. Tot welke rechte lijn nadert de relativistische grafiek uiteindelijk? 7.4 Massaloze deeltjes Fotonen zijn massaloze deeltjes. a. Laat met de formules uit opdracht 7.1b. zien dat voor een deeltje met massa geldt: v = pc2 E b. Laat zien dat voor massaloze deeltjes, zoals fotonen geldt: (5) E = pc (6) Waarom volgt dan dat v = c? De energie van een foton hangt af van de frequentie: E foton = hν (ν is de frequentie en h is de constante van Planck). c. Hoe hangt de impuls van een foton af van zijn golflengte? Gebruik c = λν, waarbij λ de golflengte is.

36 30 7 LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE d. Als je op het strand in de zon ligt, wordt je bestraald met een sterkte van ongeveer 100 W. Met welke impuls botst deze straling elke seconde tegen je aan (de stralingsdruk )? 7.5 Twee relativistische deeltjes In stelsel S bewegen twee identieke deeltjes A en B langs de x-as naar elkaar toe, elk met een snelheid van 0, 8c. Dus v A = +0, 8c naar rechts en v B = 0, 8c naar links. De massa van de deeltjes is m. a. Druk in S de impuls en de energie van de deeltjes uit in m en c. b. Hoe groot is de totale kinetische energie uitgedrukt in m en c? We bekijken de situatie nu vanuit stelsel S, dat met A meebeweegt. In S staat A dus stil en komt B met een extra grote (negatieve) snelheid op A af. c. Schrijf de Lorentztransformaties voor energie en impuls voor de overgang van S naar S op. d. Vul de getalswaarden voor γ en β in in de Lorentztransformaties en bepaal de impuls en energie in S voor deeltje A. Was de uitkomst te verwachten? e. Bepaal met de Lorentztransformaties ook de impuls en energie van deeltje B in S. f. Hoe groot is volgens de optelformule voor snelheden de snelheid van B in S? g. Geven de formules p = γmv en E = γmc 2 voor het bewegende deeltje B in S dezelfde antwoorden als in vraag e).

37 7.6 Inelastische boting Inelastische boting Twee identieke deeltjes met massa m worden op elkaar afgeschoten. De één heeft een snelheid 3 c naar rechts, de ander een snelheid 3 c naar links. Na de 5 5 botsing zijn ze versmolten tot één deeltje met massa M. a. Waarom staat het deeltje met massa M na de botsing stil? b. Wat verwacht je voor de massa M: 1. M = 2m 2. M > 2m 3. M < 2m Licht je keuze toe. c. Hoe groot was de totale energie van de twee deeltjes voor de botsing? d. Deze energie gaat over in de rustenergie van het gecombineerde deeltje, hoe groot is M? 7.7 Nog een inelastische botsing Een deeltje met massa m botst met een energie E = 2mc 2 op een zelfde deeltje in rust. a. Wat is de snelheid van ieder van de deeltjes? b. Wat is de impuls van ieder van de deeltjes? Na de botsing vormen de twee deeltjes een deeltje met massa M en snelheid V. De energie en impuls van deeltje M zijn respectievelijk E = γmc 2 en p = MγV. c. Wat is de energie van deeltje M uitgedrukt in de massa van de twee botsende deeltjes? d. En de impuls? e. Bereken de snelheid V van deeltje M. f. Bereken massa M. g. Niet-relativistisch zou je verwachten dat M = 2m en V = 1 2 v. Was dat relativistisch ook zo?

38 32 7 LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE 7.8 Nog twee deeltjes Gezien vanuit stelsel S bewegen twee identieke deeltjes A en B (elk met massa m) langs de x-as naar elkaar toe, de een naar rechts met snelheid 3 c, de 5 ander naar links met snelheid 3c. 5 Figuur 21: Botsende deeltjes A en B a. Hoe groot is in S de factor γ voor A en voor B? Bereken de impuls en energie die A en B in stelsel S hebben. b. Ga voor deeltje A na of zijn energie-impuls de goede invariante norm heeft. c. We bekijken de situatie nu vanuit stelsel S dat met B meebeweegt. Schrijf de Lorentz-transformatie voor de impuls vier-vector van S naar S op; ga uit van je antwoord bij vraag a. (Vul β en γ in als breuk en niet als decimaal getal!) d. Bereken met deze Lorentz-transformatie de waarde van de componenten van de energie/impuls viervector van deeltje A in stelsel S : p A = (E A c, p x(a), 0, 0). (7) e. Met welke kinetische energie botst A op B in S? f. Laat zien dat A volgens de snelheids-optelformule in S een snelheid β = heeft. g. Bereken de energie van A in S opnieuw, maar nu met de formules p x(a) = γ m A v A, (8) E A = γ m A c 2.

39 33 8 Doppler-effect 8.1 Bewegende lichtbronnen y y y y v B W x, x W B v x, x a) bron B nadert waarnemer W b) bron B verwijdert zich van waarnemer W Figuur 22: Bewegende bronnen We plaatsen een lichtbron in stelsel S en een waarnemer in stelsel S met een onderlinge snelheid v tussen S en S. De Lorentztransformatie geeft dan aan hoe de energie/frequentie, die de waarnemer aan de bewegende lichtbron toekent, afwijkt van de energie/frequentie voor een stilstaande bron. Eerst: de bron B nadert de waarnemer W (links in fig 22a) a. Wat is de Lorentztransformatie voor impuls en energie voor een overgang van S naar S? b. Leid hieruit de frequentie voor een naderende lichtbron af. c. Ga na of het Doppler-effect hier tot een hogere of lagere frequentie heeft geleid. Nu voor een zich verwijderende bron (rechts in figuur 22b). d. Bepaal E en leid de frequentie voor de zich verwijderende bron af. e. Is ν groter of kleiner dan ν? f. In welke van de twee gevallen is er sprake van een roodverschuiving? 8.2 Roodverschuiving In het uitdijend heelal verwijderen veraf gelegen sterrenstelsels zich van ons af met een snelheid v die toeneemt met hun afstand d : v Hd (H is de Hubble constante). Deze verwijdering valt af te lezen uit de roodverschuiving van

40 34 8 DOPPLER-EFFECT bekende spectraallijnen, die nu een grotere golflengte λ dan de gebruikelijke λ hebben. De roodverschuiving wordt beschreven door de parameter z = λ λ. λ 1+β a. Laat zien dat z = 1. 1 β b. Schets een grafiek van z tegen β. Voor melkwegstelsels op een afstand d = 10 8 lichtjaar is z Voor quasars op een afstand d = lichtjaar is z 1. c. Maak met deze gegevens een schatting van de Hubble-constante. d. Bereken 1 H heelal is. en laat zien dat deze van de orde van de ouderdom van het 8.3 Stoplicht Hoe hard moet je rijden om een stoplicht, dat op rood staat, als een groen stoplicht te zien? De golflengte van rood licht is 700 nm, die van groen licht 500 nm. 8.4 Transversaal Doppler-effect In stelsel S staat een waarnemer W ergens op de positieve y-as en beweegt een lichtbron B zich met snelheid v naar rechts langs de x-as. We kijken naar de lichtstraal die B in de richting van W uitzendt als B op t = 0 de oorsprong van S passeert (dus een foton dat zich langs de positieve y-as beweegt, met impuls p y = E c = hν c ). a. Geef de Lorentztransformatie voor de energie-impuls viervector tussen stelsel S en het ruststelsel S van de lichtbron (de stelsels vallen samen op t = t = 0). b. Teken de lichtstraal van B naar W in S. Loopt die schuin naar linksboven of naar rechtsboven? c. In S geldt voor het foton: p x = 0. Maak hiervan gebruik om een relatie tussen E en E voor het foton af te leiden en laat zien dat hieruit voor de frequentie van het licht volgt: ν = ν 1 β 2 d. In S wijst de impulsvector van het foton schuin naar linksboven, met componenten p x en p y. Laat met de stelling van Pythagoras en de Lorentztransformatie zien dat ook in S geldt: p = E. c

41 8.5 Tweelingparadox 35 e. Is er in dit geval sprake van een Doppler-effect (hoewel de lichtbron geen snelheidscomponent naar de waarnemer heeft)? f. Is dit transversale Doppler-effect groter of kleiner dan het Dopplereffect van een naderende of zich verwijderende lichtbron? g. De niet-relativistische Doppler-formule voor een naderende lichtbron is: c ν DL+ = c ν ν = 1 ν; (9) 1 β en ν DT = ν (voor een transversaal bewegende lichtbron). Laat zien dat het relativistische Doppler-effect gelijk is aan het nietrelativistische Dopper effect gecombineerd met tijddilatatie. 8.5 Tweelingparadox Op Nieuwjaarsdag 2010 vertrekt een astronaut A van de aarde met snelheid β = 0.8, om naar de dichtsbijzijnde ster, α-centauri te gaan. Deze ster staat 4 lichtjaren weg, gemeten in het coordinatenstelsel verbonden met de aarde. Nadat A de ster heeft bereikt, keert hij onmiddelijk om en keert terug naar aarde met dezelfe snelheid, om aan te komen op Nieuwjaarsdag 2020 (aardse tijd). De astronaut heeft een broer B die achterblijft op aarde, en ze spreken af elkaar elk jaar op Nieuwjaarsdag een radiobericht te sturen totdat de reiziger terug is. 1. Laat zien dat A 6 boodschappen stuurt (inclusief die op de dag van aankomst) terwijl B 10 boodschappen verstuurt. 2. Teken een ruimte-tijd diagram van de reis van A in aardse coördinaten. Teken ook de wereldlijnen van de boodschappen die B verstuurd. Laat met dit diagram zien dat A slechts 1 bericht heeft ontvangen op het moment dat hij omkeert, en dat hij er vervolgens 9 ontvangt tijdens de tweede helft van zijn reis. 3. Teken een nieuw ruimte-tijd diagram, weer in aardse coördinaten, en teken daarin de wereldlijnen van de astronaut en al de berichten die hij verstuurt. Laat zien dat zijn broer op aarde elke 3 jaar een bericht ontvangt gedurende de eerste 9 jaar en dan 3 tijdens het laatste jaar: een totaal van Interpreteer deze resultaten in termen van het Doppler-effect.

42 36 9 DEELTJESPRODUCTIE 9 Deeltjesproductie 9.1 Vierimpuls E, p E*, p* E*, -p* m m m m a) laboratoriumsysteem b) zwaartepuntsysteem Figuur 23: Een deeltje met massa m botst op een zelfde deeltje in rust (fig. 23a). a. Wat is de vierimpuls van een ieder van de deeltjes? b. Wat is de norm van ieder van deze vierimpulsen? c. Wat is de totale vierimpuls in het laboratoriumsysteem? Beschouw nu de botsing in het zwaartepuntsysteem (fig. 23b). d. Wat is de totale vierimpuls in het zwaartepunt systeem? e. Wat is de norm van deze vierimpuls? f. Vind de uitdrukking voor E in termen van E en m. 9.2 p p botsing In het zwaartepuntsysteem botsten een proton (symbool p) en een antiproton (symbool p) ieder met een snelheid v = 0, 8c op elkaar. De massa van het antiproton is gelijk aan de massa van het proton. a. Wat is de totale impuls p in het zwaartepuntsysteen? b. Wat is de totale energie E in het zwaartepuntsysteem? c. Wat is de totale vierimpuls P in het zwaartepuntsysteem? d. Bij de botsing vernietigen de twee deeltjes elkaar. Hoeveel energie is er beschikbaar voor de creatie van nieuwe deeltjes?

43 9.3 Vervallende deeltjes Vervallende deeltjes Een deeltje in rust met massa M vervalt in twee identieke deeltjes, elk met massa m. a. Waarom zullen de twee deeltjes die ontstaan een even grote snelheid hebben? b. Geef een uitdrukking voor deze snelheid v in termen van M en m. Een pion (massa m π ) in rust vervalt in een muon (massa m µ ) en een neutrino (massa m ν = 0). c. Wat is de snelheid van het neutrino? d. Wat is de impuls van het muon? 9.4 pp botsing E,p E*,p* E*,-p* laboratoriumsysteem zwaartepuntsysteem voor na voor na Figuur 24: pp botsing Wanneer een proton met voldoende energie op een andere proton wordt geschoten is het mogelijk dat een extra p p paar wordt gecreëerd: pp ppp p Bekijk de gebeurtenis eerst vanuit het laboratoriumsysteem (figuur 24 links). De energie en impuls van het bewegende proton in het laboratoriumsysteem zijn resp. E en p. a. Welk verband bestaat er tussen E en p? b. Wat is de totale energie in het laboratoriumsysteem vóór de botsing? En de totale impuls? c. Bekijk nu de gebeurtenis in het zwaartepuntsysteem (figuur 24 rechts). Wat is de minimale energie (E min) nodig om de reactie pp ppp p te laten verlopen? d Leid uit de invariantie van de vierimpuls de waarde voor de minimale energie E min af.

44 38 9 DEELTJESPRODUCTIE e. Wat zou energetisch voordeliger zijn: de hierboven beschreven botsing met één bewegend en één stilstaand proton of de situatie waarbij twee bewegende protonen op elkaar botsen (bij gelijke onderlinge snelheid)? 9.5 Eenheden De energie-eenheden ev (elektronvolt), MeV, GeV, enz., kunnen ook gebruikt worden om massa en impuls in uit te drukken: de massa van een electron is ongeveer m e = 0, 5 MeV/c 2. a. Hoe groot zijn dan γ en v voor een elektron met energie E = 1 MeV? b. Hoe groot is zijn impuls? Welke eenheid gebruik je dan? c De massa van een proton is m p = 1, 0 GeV/c 2. Hoeveel energie en impuls heeft een proton met snelheid v = 0, 8 c? 9.6 e e + botsing Een elektron botst in het laboratoriumsysteem met snelheid v = 0, 8c op een positron in rust. a. Bereken hun totale energie in het laboratoriumsysteen (E tot = E e + E e +) uitgedrukt in de elektron massa m e. b. Dezelfde vraag in het zwaartepuntssysteem (E tot = E e + E e + ). Bij de botsing vernietigen zij elkaar en ontstaan er, gezien vanuit het zwaartepuntsysteem, twee gelijke fotonen die tegengesteld aan elkaar wegschieten, elk met een energie E foton = hν. c. Waarom moeten het twee fotonen zijn en waarom hebben ze dezelfde frequentie? Als de beweging van de fotonen in het zwaartepuntsysteem loodrecht op de richting van het elektron is, kun je met een Lorentztransformatie de energie van de fotonen in het laboratoriumsysteem bepalen. d. Wat is de frequentie van de fotonen in het laboratoriumsysteem?