Cursus deeltjesfysica

Transcriptie

1 Cursus deeltjesfysica Bijeenkomst 1 (5 maart 2014) de speciale relativiteitstheorie prof Stan Bentvelsen en prof Jo van den Brand Nikhef - Science Park XG Amsterdam s.bentvelsen@uva.nl - jo@nikhef.nl 1

2 even voorstellen prof Jo van den Brand VU Amsterdam directeur subatomic physics group VU programmaleider VIRGO zwaartekrachtgolven bij Pisa achtergrond bij LHCb en HERA CP violatie prof Stan Bentvelsen UvA Amsterdam directeur instituut hoge energie fysica UvA werkzaam bij ATLAS programmaleider tijdens ontdekking van het Higgs deeltje achtergrond bij LEP en HERA 2

3 Programma cursus Bijeenkomsten op Nikhef Speciale relativiteitstheorie (woensdag 5 maart 2014) De quantum wereld (woensdag 12 maart 2014) Elementaire deeltjes en krachten (maandag 24 maart 2014) Symmetrie en wisselwerkingen (maandag 7 april 2014) Elementaire deeltjes en kosmologie (donderdag 17 april 2014) Projecten en NiNa module (donderdag 8 mei 2014) Onderwerpen per avond in drie delen: 16:30 inloop koffie en thee 16:45 start eerste sessie 17:30 pauze 17:45 start tweede sessie 18:30 soep en broodjes 19:15 start derde sessie 20:15-20:30 einde programma Materiaal beschikbaar bij in pdf, powerpoint en keynote 3

4 Speciale relativiteitstheorie Eerste uur basis van de Speciale Relativiteitstheorie lichtsnelheid - gelijktijdigheid - tijdsdilatatie Lorentz transformaties invariante interval - optellen van snelheden Tweede uur ruimte- tijd (ct,x) diagrammen - causaliteit - tweelingparadox - energie en impuls doos van Einstein - branden van de zon Derde uur relativistische impuls invariante massa - deeltjesproductie deeltjesversnellers & kosmische straling principes - stand van zaken - de LHC 4

5 1 - Speciale Relativiteitstheorie Eerste uur basis van de Speciale Relativiteitstheorie lichtsnelheid - gelijktijdigheid - tijdsdilatatie Lorentz transformaties invariante interval - optellen van snelheden 5

6 Relativiteitstheorie 1905: Speciale relativiteitstheorie (SRT) Nieuwe opvattingen over begrip ruimte en tijd, en E=mc : Algemene relativiteitstheorie (ART) Verdere uitbreiding van het relativiteit principe Ook van toepassing op versnelde beweging en gravitatie Fundamentele verandering zienswijze heelal Ook geheel te danken aan A. Einstein Toepassing relativiteitstheorie in dagelijks leven minder merkbaar dan Quantum- Mechanica Denk aan GPS navigatiesysteem. In elementaire deeltjes fysica onmisbaar. Zonder relativiteitstheorie bijvoorbeeld geen deeltjesversnellers Kernfusie, kernsplijting: het branden van de zon. Algemene theorie: gravitatie bepaalt de kosmologie; zwarte gaten; uitdijend heelal, oerknal. 6

7 Einstein s publicatie in 1905 Motivatie Einstein: theorie van elektro- dynamica zoals geformuleerd door Maxwell beschrijving van licht dat door deze vergelijkingen wordt beschreven 7

8 Geldigheid domeinen?? lichtsnelheid Quantum- veldentheorie Speciale Relativiteits- theorie Quantum- mechanica Elementaire deeltjes Klassieke- mechanica Menselijke maat Snelheid Grootte Klassieke (Newton) mechanica als oude theorie. Let wel De Klassieke mechanica is niet fout. Het beschrijft mechanische verschijnselen om ons heen zeer nauwkeurig. Alleen bij zeer hoge snelheden of zeer kleine afstanden vervangen door relativiteitstheorie resp quantummechanica 8

9 De Klassieke Mechanica Wetenschappelijke revolutie van de gouden 17e eeuw Klassieke mechanica geeft kwantitatief recept voor de beschrijving van bewegende objecten. Ik gooi een steen omhoog met snelheid van 10 m/s. Hoe hoog komt de steen? Beschrijving van de beweging van planeten en manen in het zonnestelsel. Helden van de klassieke mechanica: Galileo Galilei, Isaac Newton 9

10 Ruimte en Tijd voor Newton Volgens Newton zijn tijd en ruimte absoluut, dwz: beschikbaar vòòr alle andere dingen. Newton over de ruimte: Ruimte als gegeven toneel waarop de natuur zijn toneelstuk brengt Absolute space, of its own true nature without reference to anything external, always remains homogeneous and immovable Er is een referentiesysteem dat de voorkeur verdient; waarvoor de wetten van de mechanica gelden. referentiesysteem waarin de sterren niet bewegen Een inertiaalsysteem is een stelsel dat verbonden is met dit voorkeurs - systeem via een eenparig constante snelheid Newton over tijd: Tijd als klok van het heelal. Doortikkend met ijzeren regelmaat. Deze begrippen vormen voor Newton het kader van het universum Absolute, true and mathematical time, of itself, and from its own nature, flows equably without relation to anything external 10

11 Galilei transformaties Bekijk een kogel die wordt afgeschoten vanuit een rijdende trein. Wat is de snelheid van de kogel t.o.v de rijdende trein? Uw vriend op het perron die de trein voorbij ziet komen? Stel de kogel vliegt met snelheid V kogel weg tov trein Relatie tussen de snelheden is vanzelfsprekend: V kogel =V kogel +v trein 11

12 Galilei- transformaties Indien we verschijnselen in een plat vlak beschrijven hebben we aan twee coördinaten genoeg: 2d ruimte. Beschouw nu twee coördinaten- stelsels, die tov elkaar eenparig en rechtlijnig bewegen: Stelsel S (bv perron) en S (bv trein) Stel dat stelsel S een snelheid v heeft, in de x- richting, tov stelsel S. Wat is de relatie tussen de coördinaten S en S? Wel, dit is eenvoudig: x = x- vt y = y z = z t = t Dit is de Galilei-transformatie tussen twee coördinatensystemen We hebben S zo gekozen dat op t=0: S en S vallen samen 12

13 Principe van relativiteit De wetten van de mechanica zijn identiek in coördinatenstelsels S en S, waarbij S zich eenparig rechtlijnig tov van S beweegt Zie de drie hoofdwetten van Newton: Indien een lichaam stil staat of met constante snelheid voortbeweegt, dan blijft het in rust of beweegt met constante snelheid zolang er geen uitwendige kracht op werkt. Een uitwendige kracht op een lichaam brengt een versnelling teweeg gelijk aan: F=ma De acties op twee lichamen op elkaar zijn gelijk maar tegengesteld (actie=- reactie) De waarde van de grootheden in de natuurwetten kunnen wel degelijk verschillen in stelsel S en S Bijvoorbeeld verrichte arbeid FΔx en kinetische energie Ekin=½mv 2 13

14 Principe van relativiteit De grootte van je snelheid kun je niet voelen Een rijdende trein, of sta je stil en de rest van de wereld beweegt? Astronauten in het ISS voelen niet dat zij met km/uur rond de aarde razen Alle natuurwetten (ook die van de mechanica) zijn hetzelfde in coördinatenstelsels met een constante snelheid tov elkaar. In de Klassieke Mechanica wordt dit beschreven door de 3 hoofdwetten van Newton Voor versnelde coördinatenstelsels heeft Einstein de Algemene Relativiteitstheorie ontwikkeld (Einstein 1915). Gevolg: Zwarte gaten, Big Bang, etc 14

15 Snelheid van het licht Eind 19e eeuw stelt Maxwell de theorie van elektriciteit en magnetisme op. Licht (fotonen) is een continue buiteling van elektrische en magnetische velden Maxwell vergelijkingen: de lichtsnelheid is een Maxwell ( ) natuurconstante, ona{ankelijk van het coördinatenstelsel Snelheid van het licht, c, in vacuüm is c= m/s Ongeveer km/s = m/s We hadden gezien dat de snelheid van dingen a{ankelijk is van hoe je observeert? 15

16 Snelheid van het licht Vragen: Wat golft er nu eigenlijk? Dit is de ether De ether werd als reëel beschouwd einde 19e eeuw Welk coördinatenstelsel heeft de voorkeur om de natuur te beschrijven? Die waarbij het medium, de ether, in rust is Vergelijk de voortplanting van het geluid door de lucht. De lichtsnelheid is c ten opzichte van dit medium Kunnen we de ether observeren? Einstein: dit zijn de verkeerde vragen, de ether bestaat gewoonweg niet 16

17 Elektromagnetisme Kan een experiment de ether zichtbaar maken? Omdat de aarde om de zon draait kan de ether nooit altijd met de aarde meevoeren, en moet er een moment zijn waarop er een etherwind is. Experiment van Michelson & Morley: Zichtbaar maken van de etherwind In feite een culminatie van de meting van lichtsnelheid: Astronomisch: Rømer in 1676 in samenwerking met Huygens Via eclips van Io, een maan van Jupiter Met schatting van de grootte van het planetenstelsel: c= km/s Mechanisch: Fizeau lichtstraal door tandwiel en spiegel 8 km verderop Snelheid tandwiel variëren zdd licht net niet meer door zelfde gat terugkwam Bepaling c = km/s Foucault (1862) met een ronddraaiende spiegel: c= km/s 17

18 Metingen van de ether Als de ruimte is gevuld met de ether, vliegt de aarde er met snelheid v doorheen Snelheid waarmee aarde om zon draait: v=30 km/s ether Meting van de lichtsnelheid op aarde Meet snelheid c+v in bewegingsrichting aarde tov ether? Praktisch vrijwel onmogelijk in praktijk door enorm hoge waarde van c Gebruik het gol arakter van licht Huygens kende al de interferentie van licht Kleine verschillen in snelheid mogelijk zichtbaar door interferentie Gebruikt worden om v te meten? aarde 30 km/s 18

19 Michelson & Morley interferometer Lichtstraal mbv halfdoorlatende spiegel gesplitst: Deel 1 neemt route NZ Deel 2 neemt route OW In detector komen bundels weer samen en vormen een interferentie patroon Gehele opstelling kan worden geroteerd NZ bundel wordt OW OW bundel wordt NZ 19

20 Michelson & Morley: resultaat Wat blijkt: het interferentie patroon verschuift niet na rotatie van de opstelling Meest beroemde nulmeting in de natuurkunde (ca 1887) Men stond perplex Wat is er aan de hand? Deze experimenten werden steeds nauwkeuriger overgedaan Steeds weer het nulresultaat. Het lijkt alsof de ether daarmee niet bestaat. Hoe kan de lichtsnelheid nu hetzelfde zijn in beide richtingen? Ad hoc theorieën: e.g. wordt arm interferometer wellicht korter in een richting? (zoals gesuggereerd door H. Lorentz) 20

21 De inbreng van Einstein Einstein bracht helderheid in de situatie Met een eenvoud zoals alleen een genie doen kan Overtuiging dat er een relativiteit principe moest bestaan zowel voor mechanica als voor elektromagnetisme Hiermee wordt Galilei transformatie overboord gezet Einstein baseerde zich op twee postulaten: Het relativiteit principe Natuurwetten in referentiesysteem zijn ona{ankelijk van de translatie beweging van het systeem Constantheid van de lichtsnelheid De snelheid van het licht is eindig en ona{ankelijk van de bewegingstoestand van de lichtbron; het heeft dezelfde waarde in ieder inertiaalsysteem 21

22 Perplex met licht Sta even stil bij de consequentie hiervan Stel u ontsteekt een zaklantaarn in een rijdende trein. De snelheid waarmee het licht zich beweegt tov de zaklamp is c, dwz, ~ km/s. Uw vriend bevind zich op het perron en ziet de voorbijsnellende trein. Hij kan de snelheid van het licht uit de zaklamp bepalen, tov het perron: Uw vriend op het perron zal dezelfde snelheid c meten Duidelijke tegenspraak met de Galilei- transformatie 22

23 Meting van de tijd Voor beschrijving van beweging moeten tijden op verschillende locaties worden gesynchroniseerd: Hoe synchroniseer je alle klokken (van het universum)? Als de lichtsnelheid oneindig is, dan is dat geen probleem: Met oneindige precisie zeggen we NU om t=0 te bepalen Maar het lichtsignaal doet er even over, zijn snelheid is eindig : Synchronisatie van klokken A en B: Snelheid licht van A naar B is even groot als die van B naar A Recept: Op t=0 zendt je licht uit van A. Het kaatst bij B op spiegel terug Op t=t 1 komt het licht weer aan in A Moment waarop licht in B aankomt: moment t=t 1 /2 23

24 Synchronisatie bewegende systemen Volgende gedachten experiment: Neem lange trein sta in het midden en ontsteek een lampje A Het duurt een tijdje en dan komt het licht aan bij de voor- en achterkant van de trein (A en B) Licht bereikt voor- en achterkant van de trein tegelijkertijd A Het licht bereikt A en B gelijktijdig B B 24

25 Gelijktijdig, of niet? Nu gaat de trein rijden en bekijkt uw vriend op het perron dit alles: A In de tijd dat het licht nodig heeft om de uiteinden te bereiken, is de trein een stukje opgeschoven. De lichtsnelheid naar links en naar rechts is hetzelfde (constant) A Het licht bereikt nu uiteinde A eerder dan B Het licht bereikt A en B niet gelijktijdig voor de vriend op perron. Synchronisatie niet mogelijk voor bewegende systemen 25 B B

26 De lichtklok Stel u maakt een klok op de volgende manier: Lampje en spiegel en elke keer dat licht heen en weer gaat een volgende tik van de klok De tijdsduur Δτ tussen twee tikken : Deze klok geeft uiterst regelmatig tikken. Hoewel praktisch gezien het maken van de klok best lastig is. Hiermee wordt de voortgang van de tijd bekeken Het is gemakkelijk te analyseren L 0 26

27 De lichtklok op de trein Zet nu de lichtklok op een trein. De waarnemer op het perron ziet de klok tikken met snelheid Δt L 0 A De afstand AB wordt gegeven door Pythagoras De snelheid van het licht is constant, en de totale afstand ABC wordt afgelegd in een tijd cδt B C Snelheid van de trein v 27

28 Tijds- uitrekking (dilatatie) We hebben nu een vergelijking met Δt, die kunnen we oplossen: Voor de stilstaande klok (in de trein dus) hadden we Δτ: Hiermee zijn de tikken niet meer gelijk voor de man in de trein en de vriend op het perron: De man op het perron ziet de tijd in de trein anders verlopen Gevolg van constante lichtsnelheid 28

29 Tijdsdilatatie We hebben nu laten zien dat: Δτ : stilstaande klok: tijd in de trein zelf Δt : Tijd in de voorbijsnellende trein, gezien vanaf het perron Stel een ruimteschip beweegt met een snelheid v = 0.8c = (4/5)c Een seconde voor een reiziger het ruimteschip ziet de vriend vanaf de aarde als Man op aarde ziet alle bewegingen trager verlopen in het ruimteschip, met een factor

30 Dilatatie Bij lage snelheden is het effect van tijdsvertraging klein Voor een trein met v=100 km/uur zijn de tijden Δt en Δt hetzelfde tot op % nauwkeurig Toch blijft u iets jonger in de rijdende trein tov de thuisblijver Bij snelheden in de buurt van de lichtsnelheid wordt tijdsdilatatie groot Lichtsnelheid v=c is de maximum snelheid Tijd kan wel langzamer lopen, maar niet terug- lopen Effect in elementaire deeltjes onmiskenbaar Voor positie bepaling met GPS systeem is relativiteit onmisbaar 30

31 Tijds- dilatatie Nog een paar opmerkingen nav de tijdsdilatatie: Het effect van tijdsdilatatie is wederzijds Waarnemers zijn inwisselbaar De klokken lopen voor elkaar langzamer Loop nu alleen deze merkwaardige lichtklok langzamer? Neen Alle klokken lopen langzamer: ook je hartslag, bioritme, etc Stel nl dat ze wel ongelijk zouden gaan lopen: Neem twee ruimteschepen D en E die tov bewegen Stel dat je twee klokken hebt in D: een is de lichtklok en de andere een gewone klok, of hartslag, of wat ook om de tijd te meten. Als D stil staat tov E lopen de twee klokken gelijk Als D beweegt tov E lopen de klokken uit de pas Dit is duidelijke tegenspraak met het postulaat: je zou je absolute snelheid kunnen bepalen door de twee klokken te vergelijken 31

32 Afstand tussen twee planeten Stel twee planeten voor, A en B en waarnemers E en D Waarnemer E staat stil tov beide planeten (Stelsel S) Waarnemer D beweegt met snelheid v van planeet A naar B (Stelsel S ) Stel je bent E met klok en ziet D langs vliegen: Je ziet de klok van D langzamer lopen volgens 32

33 Lorentz contractie E ziet D langskomen met snelheid v: E drukt stopwatch in als D langs planeet A komt en opnieuw als D langs planeet B raast Voor E heeft de klok N t tikken getikt van Δt seconden elk. E concludeert dat de afstand l tussen A en B gelijk is aan l = vn t t E ziet de klok in D langzamer lopen observatie dat de klok in D een kleiner aantal tikken N t heeft gemaakt van tijdsduur Δt Waarnemer D concludeert dus dat de afstand l tussen A en B gelijk is aan l = vn t Lorentz contractie: Voor bewegende waarnemer is lengte korter t = v N t N t = T t t = l 33

34 Lorentz- contractie Bewegende objecten worden korter Lengte contractie vind alleen plaats in de richting van de beweging Een meetlat wordt korter als hij beweegt Maar dit geldt niet voor lengten loodrecht op de bewegingsrichting: l x = l x / l y = l y l z = l z Ook dit kunnen we aantonen met een gedachte experiment Twee stukken pijp met precies dezelfde diameter Schiet ze op elkaar af. Welke pijp past in de andere? Als ook contractie loodrecht op bewegingsrichting plaatsvindt, krijg je een tegenspraak In ene stelsel gaat stippels in groene, vanuit ander stelsel schuift groene in stippel 34

35 Invariant interval Een ruimteschip met lichtklok van 3m hoog beweegt met snelheid 0.8c tov de aarde Tov aarde: Klok tikt anders, maar heeft ook een afstand afgelegd Is er een grootheid invariant? Interval tussen twee gebeurtenissen Ona{ankelijk van de beweging- snelheid van de klok 35

36 Invariante ruimte- tijd interval Ruimte- tijd interval krijgt de naam s : Dit interval is invariant in elk inertiaalsysteem (eenparig en rechtlijnige beweging tov elkaar) Je kunt dit vergelijken in de 2d ruimte met de lengte: ( s) 2 =(c t) 2 ( x) 2 ( r) 2 =( x) 2 +( y) 2 Dit interval Δr is invariant onder rotaties en translaties van de Euclidische ruimte We komen deze invariant s voortdurend tegen eenheden [c t] =[m] Vergeet nooit het min-teken in de uitdrukking van Δs Dit zal grote gevolgen hebben; het definieert de vlakke ruimte-tijd. 36

37 Lorentz- transformaties Galilei transformaties in Klassieke Mechanica: Transformatie van coördinaten voor verschillende inertiaalsystemen Coordinaten (x,y,z) transformeren naar (x,y,z ) Niet in overeenstemming met de postlaten van de speciale relativiteitstheorie De Lorentz- transformaties vervangen de Galilei transformaties. We hebben coördinaten (ct,x) in stelsel S die we transformeren naar coördinaten (ct x ) in stelsel S Voor coördinaten y en z zie volgende transparant. Het interval s is hetzelfde voor coördinaten (ct,x) en (ct,x ) s 2 =(ct) 2 x 2 =(ct ) 2 x 2 De transformaties zijn lineair in de tijd en ruimte 37

38 Lorentz- transformaties: resultaat De coördinaten y en z staan loodrecht op de y = y bewegingsrichting en die bleven hetzelfde in elk stelsel z = z We gaan er altijd van uit dat de bewegingsrichting in de x- as is De Lorentztransformaties zijn dus triviaal voor deze coördinaten. De tijd coördinaat ct en ruimte coördinaat x worden gemixt: x = ct = x vt 1 v 2 c 2 ct vx/c 1 v 2 c 2 x = x vt y = y z = z t = t Lorentz- transforma;es Galilei transforma;es 38

39 Nogmaals Lorentztransformaties Beschrijven tov twee bewegende stelsels Galilei transformaties Klassieke mechanica Vergelijk beschrijving vanuit trein en vanuit het perron Gebruik schrijfwijze Lorentz transformaties Enige mogelijkheid die interval s invariant laat Modificatie van Galilei bij hoge snelheden Mixen van ruimte en tijd Naar links bewegend coördinatenstelsel 39

40 Opdracht Laat zien dat de Lorentztransformaties de grootheid Maw, laat zien dat geldt: gebruik de definities: invariant laat. 40

41 Optellen van snelheden Optellen van snelheden Stel trein beweegt met snelheid v1 Kogel in de trein beweegt met snelheid v2 tov de trein Wat is de snelheid van de kogel tov het perron? Klassiek: Met Lorentz transformaties Hierdoor kan snelheid niet groter worden dan c Voorbeeld: snelheid licht op trein, bezien vanaf perron: 41

42 Eigentijd en eigenlengte De eigentijd τ (Griekse letter tau): Een waarnemer heeft een eigentijd. Tikken van de klok in rust tov zichzelf. Tov alle inertiaalsystemen is dit de snelst- lopende klok De eigentijd Δτ tussen twee gebeurtenissen is het tijdsinterval zoals waargenomen op dezelfde positie (Δs) 2 is een invariant, en heeft dezelfde waarde voor elk stelsel. Omgekeerd, als (Δs) 2 >0 dan De eigenlengte λ (Griekse letter lambda) Twee gebeurtenissen die gelijktijdig plaatsvinden: heet de eigenlengte Δλ x = y = z =0 ( s) 2 = c 2 2 c = ( s) 2 In dit geval is (Δs) 2 < 0 Mogelijke intervallen (Δs) 2 > 0 : tijdachtig we kunnen eigentijd definiëren (Δs) 2 = 0 : lichtachtig dit is het pad van het licht (Δs) 2 < 0 : ruimteachtig we kunnen eigenlengte definiëren ( s) 2 = ( x) 2 ( y) 2 ( z) 2 = ( s) 2 42

43 Voorbeelden voor 0 Stel trein gaat met 100 km/uur Dit is plm 30 m/s = 1 = v 1 2 c Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie niet merkbaar Verval van een muon deeltje Muonen of μ- deeltjes zijn ontdekt in kg, dit is plm 208 keer zo zwaar als de elektron massa Muon deeltjes kunnen worden gemaakt bij botsingen tussen elementaire deeltjes En vallen vrijwel ogenblikkelijk weer uit elkaar 2 = v/c µ e + energie 43

44 Muon verval Uiteenvallen van muonen volgens Hoeveelheid vervallen evenredig met aantal muonen Oplossing is dn dt = N(t) N(t) =N 0 e t Levensduur τ wanneer 1/e van muonen over zijn De levensduur van een muon is 2.2 microseconde Dit is de levensduur voor muonen in rust Het tellen van een muonen is een klok N = s=2.2 µs t(µs) N(t) =N 0 e t/ 44

45 Muonen tellen Muonen in buitenste lagen van de atmosfeer Door botsingen van kosmische stralen vanuit het heelal Regenen van muonen naar beneden naar het aardoppervlakte Meten van muonen met detectie- apparatuur Eerst boven op berg en daarna op zeeniveau: Boven op de berg van 3 km hoogte: 1000 muonen per uur Op zee niveau met zelfde detector: 904 muonen per uur Dit is niet wat je (Klassiek) verwacht Als de muonen met de lichtsnelheid vliegen, duurt de reis van 3 km in totaal 10 μs, dwz 4.5 levensduren Je verwacht dan plm 11 muonen per uur te meten op zeeniveau. Het is alsof er pas 0.1 levensduren voorbij zijn: Verklaring via SRT Levensduur is met factor ~45 groter geworden Klok van muonen tikt 45x langzamer e Vanuit muonen is afstand bergtop- zeeniveau 3000/45=66 meter Dat is 10% van cτ=660 meter 45

46 Melkwegstelsel Deeltjes in ons melkwegstelsel: Melkwegstelsel met diameter van plm 10 5 lichtjaren Ongeveer factor keer zo dun 1 lichtjaar is afstand dat licht in 1 jaar aflegt: 365 x 24 x 3600 x km = m Er zijn deeltjes in ons melkwegstelsel waargenomen met een snelheid van β= = Zodat γ= Waarnemer in rust tov melkwegstelsel: Het duurt 10 5 jaar voordat deeltje het melkwegstelsel is doorkruist Voor deeltje zelf schiet door het melkwegstelsel heen in 10 5 /( )= 7.5 minuten Oftewel, door Lorentz contractie is lengte van melkwegstelsel voor het bewegend deeltje nog maar 7.5 lichtminuten doorsnede 46

47 Speciale relativiteitstheorie Tweede uur ruimte- tijd Minkowski diagrammen - causaliteit - tweelingparadox - energie en impuls doos van Einstein - branden van de zon 47

48 Vier dimensionale ruimte Gebeurtenis ( event ): Een waarneming op een bepaalde plaats x (x,y,z) en bepaald JjdsJp t Er zijn vier coordinaten nodig om de gebeurtenis vast te leggen We spreken dan van een vier- vector: (ct,x,y,z) Flits van een lamp: Botsing tussen twee auto s: ct,x,y,z ct,x,y,z Vierdimensionaal coördinatensysteem We kunnen net als in een 3- dimensionaal systeem, ook een coördinatenstelsel maken voor vier- vectoren Het is lasjg een vier- dimensionaal systeem te tekenen We laten in de prakjjk de ruimte- coordinaten y en z vaak weg We beschouwen gebeurtenissen in de (ct,x) ruimte. Dit is een simplificaje en abstracje Botsing bij kruising om 12:30 hrs

49 (ct,x) coordinatenstelsels Een serie gebeurtenissen in het (ct,x) coördinatenstelsel Neem bijvoorbeeld een sjlstaande auto Auto op dezelfde posije voor een lange Jjd Veel gebeurtenissen (een conjnue stroom) met zelfde waarde van x Dit wordt een wereldlijn genoemd Het laat de hele geschiedenis van de auto zien. Neem nu een rijdende auto Deze zal van posije veranderen Als de auto een constante snelheid hee\ is de verandering constant

50 (ct,x) coördinatenstelsel Wereldlijnen in het (ct,x) diagram Een lichtstraal maakt een hoek van 45 o Een bewegend voorwerp maakt een curve in het (ct,x) diagram

51 (ct,x) coördinatenstelsel Nog een paar opmerkingen over het stelsel S: Twee gebeurtenissen zijn gelijkjjdig als de verbindingslijn precies horizontaal is. Alle gebeurtenissen op horizontale as zijn gelijkjjdig De x- as is de as waarvoor alle gebeurtenissen Jjd ct=0 hebben Twee gebeurtenissen hebben zelfde locaje als de verbindingslijn precies verjcaal is Alle gebeurtenissen op verjcale as hebben zelfde posije De ct- as is de as waarvoor all gebeurtenissen de locaje x=0 hebben Nog eens eenheden: 1 meter afstand is ongeveer die van een grote stap 1 meter Jjd [ct], is de Jjdsduur waarin het licht 1 meter aflegt Dit is verschrikkelijk korte Jjd Tijdens knipperen van je oog zijn er Jentallen miljoenen &jdmeters voorbij

52 (ct,x) coordinatenstelsels We kunnen diagrammen voor zowel S als S maken Stel een raket vliegt weg met snelheid β=2/3. Na 3 jaar hee\ hij dus een afstand van 2 lichtjaar afgelegd tov de achterblijvers In dit stelsel S is A de achterblijver, en gaat B op reis. Hoe zit dit vanuit het ruststelsel van de reiziger B eruit? Gebruik de LorentztransformaJes 3 3 A :, B : 0 2 A : B : ct x ct x x ct x ct = = =2/3, /

53 Brief uit de toekomst De moraal van het verhaal: In dit verhaal willen we duidelijk maken dat de snelheid van het licht de grootste snelheid is waarmee informaje kan worden overgedragen Als er informaje sneller wordt overgedragen, leidt dit tot verwarring van oorzaak en gevolg. Het feit dat de oorzaak eerder plaatsvindt dan het gevolg is een zeer fundamenteel principe in de natuurkunde. ViolaJe van de volgorde van oorzaak en gevolg wordt nooit geaccepteerd. Het zou betekenen dat je je eigen ouders kunt ombrengen voordat je geboren bent. Anne en Frank zijn vrienden Anne en Frank zijn vrienden en wonen in op aarde. Stel Frank gaat op ruimtereis met een ruimteschip dat een snelheid hee\ van β=0.6 Na 4 jaar wachten besluit Anne een brief aan Frank te sturen, met een nieuw type raket dat met snelheid β=3 kan reizen Dit moment noemen we t=0

54 Brief uit de toekomst We tekenen het verhaal in een (ct,x) coördinatenstelsel Waarbij de reis van Frank in de x- richjng gaat. Na 5 jaar reizen hee\ Frank een afstand van 3 lichtjaar afgelegd Na vier jaar wachten stuurt Anne de brief weg in de superraket Dit is de oorsprong van het coördinaten- stelsel Na 1 jaar nadat de brief is verstuurd ontvangt Frank de brief in zijn raket Hoe zit dit er vanuit het ruststelsel van Frank eruit? Gebruik de LorentztransformaJes

55 Brief uit de toekomst TransformaJe naar stelsel S ct 4 ct A : = A : x 0 x ct B : = 0 ct B : x 0 x ct C : = 1 ct C : x 3 x Wat zien we hier? =0.6, =1.25 Frank bereikt punt C eerder dan de brief is verstuurd In zijn referenjesysteem komt de brief eerder aan dan hij is verstuurd Voor Frank komt er een brief uit de toekomst naar hem toe Dit is onmogelijk, en in dit verhaal het gevolg van het gegeven dat de brief met snelheid β=3 werd verstuurd. = = 5 3 =

56 Lichtsnelheid is maximale snelheid Stel dat Anne helemaal geen vriend van Frank is, en de brief is een bombrief. Dat is de brief eerder ontplo\ dan de ontsteking is afgesteld. Verwarring oorzaak en gevolg Geen informaje kan sneller worden overgebracht dan de snelheid van het licht Dwz β=1 is de maximale snelheid. Er zijn wel dingen die sneller gaan dan het licht, maar er wordt dan geen informaje overgebracht Bv de lichtvlek van een vuurtoren (of zaklamp) beweegt met een snelheid β>1 op een muur die heel ver weg staat Er wordt geen informaje overgedragen

57 Ruimte- Jjd diagrammen* We laten nu de relajviteit van gelijkjjdigheid zien in een (ct,x) diagram Neem twee gebeurtenissen P en Q in het (ct,x) diagram die gelijkjjdig plaatsvinden Denk hierbij aan de kop- en staart van een trein, en er wordt in het midden licht afstraalt en komt gelijkjjdig aan in P en Q Beschouw nu dezelfde punten vanuit een systeem S dat beweegt met snelheid β De trein hee\ snelheid maar lichtsnelheid is een constante Licht bereikt voor- en achterkant in gebeurte- nissen P en Q P en Q zijn gelijkjjdig in S

58 Minkowski- diagrammen* Voor stelsel S Gebeurtenissen op dezelfde plaats definiëren de ct - assen GelijkJjdige gebeurtenissen definiëren de x - as Net als de definijes van x- as en ct- as in stelsel S Voor een stelsel S met snelheid β: Definieer in het (ct,x) stelsel nieuwe assen (ct,x ) voor stelsel S De vergelijking van deze assen kun je verkrijgen met de LT s: x = (x ct) ct = (ct x)

59 Minkowski- diagrammen* Wat is de x - as? Daar waar ct =0: Dit is een as door de oorsprong met hoek α: Wat is de ct - as? 0= (ct x) ct = x Daar waar x =0: Dit is een as door de oorsprong met hoek ρ Dit is hoek met ct- as: 0= (x tan tan = 1 = x x = ct) ct = 1 x tan = x 1/ x = α 1 x = ct

60 Minkowski- diagrammen* Overgang van S naar S rotaje over hoek α, waarbij tanα=β Dit is geen gewone rotaje, dit is een rotaje in Minkowski ruimte o\ewel ruimte- Jjd Vergelijk dit met een normale rotaje in 3 dimensies x = +x cos + y sin y = x cos + y sin

61 Minkowski- ruimten* Minkowski ruimte- Jjd Door objecten te roteren in 3d ruimte kunnen we ze van alle kanten bekijken Breedte en hoogte verliezen hun absolute betekenis in de 3d ruimte met rotajes, want ze gaan in elkaar over. Maw: we kunnen om objecten heen lopen en zien dan steeds een andere projecje op ons netvlies In ruimte- Jjd hee\ het object een grotere werkelijkheid Niet- intuïjef: ons brein berekent niet steeds opnieuw in ruimte- Jjd x = x ct ct = x + ct LorentztransformaJes zijn ook een soort rotaje En laat ruimte en Jjd in elkaar overgaan Maar let op De ruimte- Jjd rotajes zijn echt anders en gedragen zich niet als Euclidische ruimte. We zullen steeds analogieën maken

62 Eenheidscircel* RotaJe in een Euclidische ruimte: x y = = x cos x sin + y sin + y cos De geroteerde eenheidsvectoren liggen op de eenheids cirkel: r 2 = x 2 + y 2 Als funcje van y is de eenheid: y = ± 1 x 2 Maw, de grootheid r 2 is invariant onder de rotajes

63 Eenheids- hyperbool* ct In twee stelsels S en S is de grootheid s 2 invariant s 2 = c 2 t 2 x 2 Hiermee komen onder rotaje onder hoek α de assen op de hyperbool te liggen Hyperbool: ct = ± 1+x 2 Een hyperbool is in de meetkunde een tweedimensionale figuur, een kegelsnede, die wordt gevormd door de snijlijnen van een kegel en een vlak dat beide hel\en van de kegel snijdt. Een hyperbool bestaat daarom uit twee takken, de snijlijnen met de beide delen van de kegel. x

64 LorentzcontracJe* ct ct LorentzcontracJe in Minkowski- ruimten In stelsel S wordt afstand OB gemeten B B x x GelijkJjdig in stelsel S dus OB ligt op de x - as Deze afstand is gelijkjjdig gemeten in S op de lijn OB Lijn OB ligt langs de x- as Natuurlijk wel op dezelfde posije in S Conclusie: vanuit S is de bewegende lat in S korter Dit is de LorentzcontracJe

65 LorentzcontracJe* ct ct LorentzcontracJe in Minkowski- ruimten Nu gaan we vanuit S redeneren: GelijkJjdig in stelsel S dus OB ligt op de x- as Deze afstand is gelijkjjdig gemeten in S op de lijn OB Lijn OB ligt langs de x - as Natuurlijk wel op dezelfde posije in S Maar je ziet dat de eenheidshyperbool rechts ligt van B De afstand OB representeert dus een lengte die korter is dan de eenheid Terwijl de afstand OB wel degelijk de eenheidsafstand representeert. Conclusie: vanuit S is de lengte van de bewegende lat in S korter B B x x

66 Reis naar de ster C We gaan een denkbeeldige reis maken (tweelingparadox) Vanaf de aarde staat een ster op een afstand van 99 lichtjaren. Dit is ster C. Met een science ficjon raket krijgt een astronaut de volgende opdracht: Reis naar ster C, maak daar een foto van de ster, en kom terug op aarde om de foto te laten zien Merk op dat zonder SRT: Onmogelijke opdracht; dit gaat jaren duren, minimaal 2*99 jaar (heen- en terug). Zo lang leven we niet. Maar de science ficjon raket kan zeer hoge snelheden bereiken, en we hebben toch JjdsdilataJe? Gegeven: De raket R kan snelheid van β=99/101 ten opzichte van de aarde halen. Met deze snelheid duurt de trip naar de ster, bezien vanaf de aarde, 99/β=101 jaar Tweelingbroer en zus Anne en Robert Anne blij\ op de aarde achter, en Robert maakt de reis in de raket

67 Reis naar ster C Hoe lang duurt de reis voor Robert om op ster C aan te komen? Gegeven Dus Robert als hij bij ster C aankomt: In ruststelsel A (bewegend stelsel R) geldt Jjds- dilataje Dus Robert is 20 jaar ouder als hij op ster C aankomt. Een andere manier om hieraan te komen is door ruimte- Jjd interval tussen vertrek en aankomst van Robert te bepalen vanuit de Aarde: t A = t R t R = tr = Deze grootheid is invariant, dus hee\ zelfde waarde vanuit Raket En in raket is Δx R =0, en = 20 jaar c 2 2 = c 2 t 2 x 2 = (101) 2 (99) 2 = 400 = (20) 2 lichtjaar 2 c 2 t 2 A x 2 A = c 2 t 2 R, t R = 20 jaar

68 Reis naar ster C Reisplan van Robert: Robert vertrek in raket naar ster C en komt in 20 jaar aan. Hij neemt een foto van de ster en keert om, en gaat in 20 jaar weer terug Robert hee\ dus in 40 jaar de foto genomen en is weer terug op aarde Opmerkingen Bij terugkomst is de aardse Jjd toegenomen met 202 jaar Robert ontmoet dus zijn achter- achter kleinkinderen Reizen in de Jjd Met een zeer snelle raket door het heelal kun je naar de toekomst reizen. Dit is niet omkeerbaar. Je kunt nooit terug in de Jjd reizen

69 Tweelingparadox Hieruit zien we duidelijk de tweeparadox We kunnen ook stelsel R (raket van Robert) als sjlstaand beschouwen en stelsel A (de aarde) als bewegend In dit geval lopen de klokken in A dus langzamer dan die van R Immers de waarnemers zien van elkaar dat de ander zijn klok achter gaat lopen Bezien vanuit R, die de reis naar C in 20 jaar maakt, is de Jjd in A verstreken met t R = t A, t A = 20 =3.96 jaar 5.05 Dus vanuit R bezien wordt Robert in de raket ouder dan tweelingzus Anne Als Robert na 20 jaar op de ster C aankomt is zijn zus slechts 3.96 jaar ouder. Fameuze tweelingparadox: Als Robert weer terug op aarde is, wie is er dan ouder: Robert of Anne? Is dit een onmogelijke situaje?

70 Oplossing tweelingparadox Oplossing van deze paradox: Robert keert om bij ster C, en Anne keert nergens om Robert hee\ daarmee een langere weg afgelegd, grotere waarde Δx Vergelijk weer Deze eigenjjd is hetzelfde in elk stelsel S c 2 2 = c 2 t 2 x 2 Voor sjlstaande waarnemer geldt: Voor bewegende waarnemer geldt: c 2 2 = c 2 t 2 c 2 2 = c 2 t 2 x 2 Door het min - teken in het invariante interval: EigenJjd wordt het kleinst als zo groot mogelijke afstand wordt afgelegd Andere manier om hier naar te kijken: Robert zit niet in 1 inerjaalsysteem Jjdens zijn reis, maar in twee Heenweg en terugweg zijn twee verschillende inerjaalsystemen

71 Tweelingparadox* Stel de volgende situaje voor Om analyse binnen de SRT te kunnen houden Neem nu 3 inerjaalsystemen, en een extra planeet B achter de ster C waarvandaan ook raket richjng ster C beweegt A: RH: RT: inerjaalsysteem van de aarde inerjaalsysteem van de heenreis raket. Robert op weg naar ster C inerjaalsysteem van de terugreis raket. Robert van ster C naar aarde Als Robert van aarde vertrekt in stelsel RH, vertrekt tegelijkerjjd een lege raket van B richjng ster C De rakexen komen elkaar tegen bij ster C. Op dat moment spring Robert over van de RH raket in de RT raket om terug naar de aarde te reizen Vergelijk twee treinen in tegengestelde richjng

72 Tweelingparadox* We kunnen de Jjden van de verschillende inerjaalsystemen met elkaar vergelijken Verschillende systemen A, RH en RT hebben volledig verschillende synchronisaje met Jjden op aarde Simultaanlijnen: gebeurtenissen met dezelfde Jjd GelijkJjdigheid RH op aankomst ster C: (ct = 20 lj) GelijkJjdigheid TR op aankomst ster C: ct = (ct x) 20 = 5.05 ct x ct =0.98x ct = x Tijd op aarde, Tijd voor Robert Tijd op aarde, Tijd op aarde, vanuit A vanuit RH vanuit RT Vertrek Robert ,08 Aankomst op C ,96 198,04 Vertrek van C ,96 198,04 Aankomst op A ,92 202

73 Tweelingparadox* Aard klok staat op = jaar ct 101 lichtjaar ct = x ct =0.98x Reis Robert Wereldlijn licht GelijkJjdigheid RH op aankomst C GelijkJjdigheid RT op aankomst C 3.96 jaar Vertrek RH 99 lichtjaar x Vertrek RT

74 Tweelingparadox - naschri\ Eerste experimentele verificaje Hafele & Keane hebben in 1972 verschillende atoomklokken als passagiers in vliegtuig gezet, en andere thuisgelaten Vliegtuig om aarde, oost- en west- waards PrachJge bevesjging van de relajviteitstheorie Zwaartekracht correcje In deze experimenten is ook een correcje van klokken uit de Algemene RelaJviteitstheorie: Klokken lopen langzamer in de buurt van zware massa s (bv de aarde) T = T 0 1 2GM Rc 2 Klokken in vliegtuig Jkken dus sneller, omdat vliegtuig verder van aarde is Klokken staan zelfs sjl in de buurt van een zwart gat, daar waarvoor geldt (Schwartzschild- radius van een zwart gat) theorie experiment westwaards +275±21 ns +273±7 ns oostwaards - 40±23 ns - 59±10 ns G : Gravitatieconstante, m 2 kg 1 s 1 F z = G Mm r 2 R = 2GM c 2

75 Invariante intervallen Ruimte- Jjd wordt ingedeeld in gebieden met verschillend teken van invariante interval S 2 >0: JjdachJg S 2 =0: lichtachjg S 2 <0: ruimteachjg Met (x,y) als ruimtecoördinaten Drie dimensionaal diagram LichtachJg interval snijdt een kegel Toekomst- kegel: Gebied van gebeurtenissen die in de toekomst liggen Verleden- kegel Gebied van gebeurtenissen die van invloed hebben kunnen zijn S 2 <0 S 2 =0 S 2 >0 S 2 >0 S 2 =0 S 2 <0

76 Drie- vectoren Gebruik van drie- vectoren In de Klassieke Mechanica worden de drie vectoren overal gebruikt: PosiJe, snelheid, kracht, We gebruiken de notaje zodat we een compacte notaje kunnen invoeren voor de lengte en inproduct van twee drie- vectoren: a = 3 i=1 (a 1,a 2,a 3 ) a 2 i, a b = De i heet index en loopt voor drie- vectoren van 1 tot 3. 3 i=1 a i b i

77 Vier- vectoren Gebeurtenissen worden weergegeven door vier- vectoren Vier coördinaten nodig voor de beschrijving: x =(c t, x, y, z) (c t, x) Hier geen pijltje op de vier- vector x, die is voor drie- vectoren Ook hier de notaje met index, Jjdcomponent hee\ index 0: x =(x 0,x 1,x 2,x 3 ) De componenten van de vier vector beschrijven de gebeurtenis in een coordinatenstelsel TransformaJe naar ander coordinatenstelsel door de Lorentz- transformaje. We gebruiken hiervoor de matrix- notaje: y 0 y 1 y 2 y 3 = a 00 a 01 a 02 a 03 a 10 a 11 a 12 a 13 a 20 a 21 a 22 a 23 a 30 a 31 a 32 a 33 x 0 x 1 x 2 x 3 = a 00 x 0 + a 01 x 1 + a 02 x 2 + a 03 x 3 a 10 x 0 + a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 a 20 x 0 + a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 a 30 x 0 + a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3.

78 Lorentz transformajes in matrix notaje* We kunnen de LorentztransformaJes in matrix vorm schrijven: x 0 x 1 x 2 = 0 0 x x x 2 x x 3 En de inversie LT worden dan: x 0 x 1 x 2 = 0 0 x x x 2 x x 3 De LorentztransformaJes houden het interval s 2 invariant Daarmee zijn ook rotajes in 3- dim ruimte deel van de LT s cos sin 0 1 sin cos BV: rotaje om z- as en rotaje om y- as cos 0 sin sin 0 cos

79 LorentztransformaJes* De boost LorentztransformaJes TranslaJe tussen twee coördinatenstelsels S en S die een snelheid hebben tov elkaar Voor een snelheid in een willekeurige richjng is de LT boost: x y z x 1+ ( 1) 2 x 2 1+ ( 1) x y 2 1+ ( 1) x z 2 y 1+ ( 1) x y 2 1+ ( 1) 2 y 2 1+ ( 1) y z 2 z 1+ ( 1) x z 2 1+ ( 1) y z 2 1+ ( 1) 2 z 2 Waarbij de snelheid β nu eigenlijk een drie- vector is: x = v x /c y = v y /c z = v z /c 2 = 2 x + y 2 + z 2 = (1 2 x 2 y 2 z) 1/2.

80 Vier- vectoren De lengte van een vier- vector wordt gegeven door: De lengte is dus invariant onder de LT En we kennen het in- product van vier- vectoren x x x 2 3 a b = a 0 b 0 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 = a 0 b 0 a i b i = a 0 b 0 Het pijltje weer alleen voor de ruimtelijke componenten Ook het inproduct is invariant onder de LT: Bewijs: neem twee vier- vectoren en schrijf als som en verschil van a en b: Neem het verschil van deze vergelijkingen en je vindt: (a + b) (a + b) = a a + b b +2a b (a b) (a b) = a a + b b 2a b a b = 1 ((a + b) (a + b) (a b) (a b)) 4 Rechts is invariant, dus linkerkant ook i=1 a b

81 Vier- vectoren Gebruik indices voor notaje: x y = 3 µ=0 x µ y µ = De indices met Griekse lexers gaan van 0 t/m 3 Er is een subjel verschil tussen indices boven en indices onder : DefiniJe van bovenindex in termen van onderindex: Bij inwendig product sommeer je dus over ene vier- vector met bovenindices, en de ander met benedenindices. convenje van Einstein 3 µ=0 x µ y µ Vector met indices boven heet contravariant Vector met indices beneden heet covariant

82 Metriek Hoe breng je boven- en onder indices in elkaar over: x µ = µ x ; µ = De matrix η μν heet de metriek en definieert de structuur van onze ruimte- Jjd. Dit is de metriek van een vlakke, vier dimensionale ruimte In de algemene relajviteitstheorie speelt de metriek een centrale rol De matrix is in het algemeen ingewikkelder en beschrij\ ook gekromde ruimten

83 Doos van Einstein (publicaje 1905) Beschouw een zwevende, afgesloten door massa M en lengte L In doos schiet foton van links naar rechts energie impuls Doos beweegt naar links door behoud van impuls terwijl foton onderweg is Totale zwaartepunt kan niet zijn veranderd effecjef is massa m verschoven dat gelijk is aan

84 De vier- impuls vector Voor de Klassieke Mechanica Impuls wordt gegeven door Impuls is behouden gebruik analyse van bv botsingen Vier dimensionale equivalent: Kunt niet differentiëren naar de tijd t In plaats daarvan gebruik eigentijd τ tijd van eigen horloge Voor stilstaande waarnemer is tikken van klok gelijk aan eigentijd Verder is eigentijd invariant, dwz hetzelfde tov iedere waarnemer Enige mogelijke vier- vector: 84

85 Relativistische impuls De eigentijd t kan worden geschreven als Vergelijk de situatie met stilstaande en bewegende klok, eigentijd werd daar t genoemd. Bekijk het ruimtelijk gedeelte van vier- impuls De relativistische impuls wordt nu De wiskundige expansie van γ rond kleine snelheden Hiermee vinden we terug voor lage snelheden 85

86 Relativistische energie Impuls vier- vector componenten De ruimtelijke componenten zijn de relativistische impuls De nul- component kunnen we met de energie identificeren. Dimensies zijn correct als vier- vector gelijk is aan Hiermee is de relativistische energie gelijk aan Met de ontwikkeling van γ wordt dit Relativistische energie geeft klassieke uitdrukking voor kinetische energie, plus rust energie, plus kleine correcties 86

87 Energie- impuls vergelijking We hebben nu een vier- impuls De componenten voldoen aan de Lorentz transformaties Uit de eerdere discussie volgt: De lengte van de vier- impuls is invariant: Waarmee we uiteindelijk vinden Een vergelijking voor op je t- shirt Aanzet tot bestaan anti- materie als negatieve energie oplossing 87

88 Energie van een deeltje Totale energie E=γmc 2 Bestaat uit een rust energie gelijk aan mc 2 En daarbij een kinejsche energie KineJsche energie E kin = E mc 2 =( 1)mc 2 Voor heel lage snelheden gelijk aan Newton: ½mv 2. Voor hoge snelheden geldt dit absoluut niet meer Rust energie mc 2 De massa van een object vertegenwoordigt een enorm grote energie Kun je deze energie om zexen in bewegingsenergie? In sommige gevallen wel, zoals bijvoorbeeld in kernreacjes zoals plaatsvinden in de zon E mc 2 β=v/c E kin 88

89 Samenva ng kinemajca Deze vier- impuls voldoet aan de Lorentz transformajes Voor een boost langs de x- as te schrijven als: p y p z = = p y p z En de lengte van de vier- vector is invariant: E /c = (E/c p x ) Elk (bewegend) voorwerp voldoet aan deze vergelijking p x = (p x E/c) E 2 c 2 p 2 = m 2 c 4 Wellicht de meest beroemde uitdrukking van de relativiteitstheorie De energie en impuls kunnen heel groot worden, maar de massa m is een constante: een invariant. Dit wordt ook wel de rustmassa genoemd. Elk systeem van deeltjes voldoet ook aan deze vergelijking Je kunt ook spreken over de systeemmassa van een aantal deeltjes 89

90 Samenva ng van kinemajca De definije van de snelheid β: Krijgt een nieuwe betekenis in termen van energie en impuls: Merk op dat de impuls van een systeem aljjd kleiner is dan de energie Anders zou het voorwerp sneller dan c voort bewegen Massaloze deeltjes hebben m=0 E 2 c 2 p 2 = m 2 c 4 E 2 c 2 p 2 =0 Hieruit volgt dat voor massaloze deeltjes geldt: E = ±c p En dat deze deeltjes zich per defini&e met de lichtsnelheid voortbewegen: Licht deeltjes of fotonen gedragen zich zo. v = c = c p E = v c = ±c p E = ±1 Ook gravitonen moeten zich zo gedragen, maar die zijn nog nooit waargenomen 90

91 Toepassing: Kernfusie Bij kernfusie komen proton (p) en neutron (n) bij elkaar om deuterium zwaar waterstof te vormen (d) m p = MeV/c 2 m n = MeV/c 2 m d = MeV/c 2 Merk op: we kunnen mbv E=mc 2 massa uitdrukken als Energie/c 2 In deeltjesfysica wordt andere eenheid gebruikt: de elektronvolt (ev) Energie dat elektron oppikt na doorlopen van potenjaalverschil van 1 Volt Lading elektron: Coulomb 1 ev = Joule; 1 MeV = 10 6 ev Verschil in massa tussen proton+neutron en deuterium E = m p c 2 + m n c 2 m d c 2 = MeV massa s tellen niet op Dit levert extra energie 91

92 Kernfusie en het branden van de zon Waar blij\ het massaverschil? Extra energie wordt uitgezonden in de vorm van een foton met energie E = MeV zodat de reacje is: p + n d + Strikt genomen komt niet alle energie toe aan een enkel foton. Er moet ook aan impuls behoud worden voldaan, en het deuterium zal een terugslag krijgen van het foton. Onder andere dit mechanisme verklaart het lange bestaan van het branden van de zon Als de zon een benzine bom zou zijn, zou het opgebrand zijn na ongeveer jaar. Dit komt niet overeen met bijvoorbeeld de vondst van fossielen op aarde. 92

93 Branden van de zon Hoeveel energie zendt de zon uit? Bepaal eerst de hoeveelheid energie die op aarde valt Op aarde bereikt 1372 Wax/m 2 energie loodrecht van de zon (zonnekonstante) Radius aarde ~ m Hoeveelheid massa ongezet in energie op aarde: 1 W = 1 J/s = 1 kg m 2 /s J correspondeert met kg Elke seconde valt er kg zonlicht op aarde per m 2 Totaal bereikt op aarde per seconde (A=πr 2 = m) ongeveer 2 kg zonlicht. Zonlicht wordt uniform verspreid door de zon Afstand aarde- zon ~ km oppervlakte 4πR 2 = m 2 Totaal converteert de zon per seconde kg/s (4.2 miljoen ton) 93

94 Branden van de zon De reacje die op de zon plaatsvindt kernfusie met waterstof tot helium: 4H He + energie ongeveer 0.7% van rust energie wordt omgezet in straling Om kg c 2 aan energie te produceren moet er ~ kg waterstof worden omgezet De zon verbruikt 630 miljoen ton waterstof per seconde De totale massa van de zon is ~ kg Met de huidige snelheid zou de zon het dus ~10 18 s = 100 miljard jaar uithouden Hierbij is geen rekening gehouden met de evoluje van de zon zelf Gee\ wel de goede orde grooxe aan Einstein gaf met E=mc 2 een verklaring voor het lange branden van de zon 94

95 Speciale relativiteitstheorie Derde uur relativistische impuls invariante massa - deeltjesproductie deeltjesversnellers & kosmische straling principes - stand van zaken - de LHC 95

96 Natuurlijke eenheden Twee fundamentele constanten: De constante van Planck h De lichtsnelheid c Natuurlijk eenheden: Kies eenheden zodanig dat c ~ c = ~ =1 = h = Js 2 c = ms 1 Niet meer nodig om en te schrijven Dimensionale argumentatie om c en ~ weer terug te zetten in eind- antwoord Conversie Eenheden (~ = c = 1) Werkelijke eenheid 1 kg = GeV GeV GeV c 2 1m= GeV 1 GeV 1 GeV ~c 1 sec = GeV 1 GeV 1 GeV ~ ITS Standaard academy Model - 5 maart van elementaire Speciale deeltjes relativiteitstheorie 96

97 Vier dimensionale vectoren Gebeurtenis wordt beschreven door vier- vector Vergelijk drie- en vier vectoren Klassieke drie- vector: Vier- vector Tijd coördinaat, uitgedrukt in [m]: ct Lengte van de vectoren Lengte van drie- vector: De lengte is invariant onder rotaties van het coördinatenstelsel Lengte van vier vector: Deze lengte is invariant onder 3d rotaties van het ruimtelijk coördinatenstelsel Maar bovendien is deze lengte invariant voor bewegende coördinatenstelsels ITS Standaard academy Model - 5 maart van elementaire Speciale deeltjes relativiteitstheorie 97

98 Vier- vectoren Contra- variante viervector indices Co- variante viervector invariante interval: Einstein sommatie conventie van contra- en covariante vector Lorentz transformaties Boost langs x- as in matrix: Compacte notatie met sommatie conventie Tensor Λ μ ν: 4x4 matrix ITS Standaard academy Model - 5 maart van elementaire Speciale deeltjes relativiteitstheorie Transformatie van een contra-variante vector 98

99 Lorentz transformaties en metriek Lorentz transformatie voor co- variante vector is gelijk aan inverse Lorentztransformaties Inverse matrix Λ μ ν (eerste index beneden) Relatie co- en contravariante vector tensor notatie met de metriek g μν : eigenschappen g µ = g µ, g µ g = µ x µ = g µ x, x µ = g µ x Transformatie van een co-variante vector ITS Standaard academy Model - 5 maart van elementaire Speciale deeltjes relativiteitstheorie 99

100 Co- variantie - energie impuls 4 vectoren alleen voor grootheden die aan Lorentz transformatie voldoen uitdrukking vanzelf Lorentz invariant Energie en impuls vier vector lengte (Lorentz invariant) ITS Standaard academy Model - 5 maart van elementaire Speciale deeltjes relativiteitstheorie 100

101 Veel deeltjes systemen De rustmassa van een veel- deeltjes systeem kan eenvoudig geïntroduceerd worden... Twee botsende deeltjes a en b Impuls- energie van deeltjes a en b: p a en p b Rustmassa van deeltjes a en b: m a en m b Invariante massa m ab : 101

102 Behouden tijdens botsingen Botsingen tussen (willekeurig aantal) deeltjes: Toestand in? Alle componenten van de vier- impuls zijn behouden bij de botsing Invariante massa van de botsing ook behouden en bovendien hetzelfde in elk coördinatenstelsel Toestand uit 102

103 Twee deeltjes botsing Beschouw de reactie a+b c+d zwaartepuntsenergie Mandelstam variabelen (Lorentzinvariant) ga na dat geldt: 103

104 Zwaartepuntenergie in CM systeem Energie en impulsbehoud in het CM systeem Totale impuls nul voor botsing en na de botsing pi energie E c na de botsing pf bewijs? stug doorrekenen pf pi 104

105 Kinematische voorwaarden Om reactie a+b c+d te laten plaatsvinden zwaartepuntenergie s moet groter zijn dan massa van deeltjes c en d: De zwaartepunt energie is de cruciale parameter van een deeltjesversneller het bepaalt de maximale massa van nieuwe deeltjes die in reacties kunnen worden gecreëerd het bepaalt hoe diep we in de materie kunnen doordringen 105