Algemene relativiteitstheorie
|
|
- Jacobus de Croon
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 2: 12 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Ruimte: verzameling met structuur 3D varieteit kan lokaal Euclidisch zijn 4D ruimtetijd in ART met lokaal een Minkowski structuur Topologische objecten in een ruimte Scalarveld Vectorveld In het algemeen: tensorveld Tensoren: geometrische grootheden, los staand van eventuele referentiesystemen Differentiaaltopologie Temperatuur als scalarveld Relativiteitsprincipe: de natuurwetten zijn onafhankelijk van de keuze van het referentiesysteem Oppervlaktewind als vectorveld Door gebruik te maken van tensoren kan een beschrijving verkregen worden die onafhankelijk is van het referentiesysteem Ruimtetijd heeft additionele structuur: metrische tensor, waardoor we inproduct kunnen definiëren 1
2 Differentieerbare variëteit Puntgebeurtenis (event) is een primitief object Vergelijk met punt in Euclidische meetkunde Limietgeval van een gebeurtenis die op een oneindig klein gebied plaats heeft en oneindig kort duurt Ruimtetijd: de verzameling van alle mogelijke puntgebeurtenissen Kaart: beschrijving van het `aardoppervlak met een stukje R 2 Atlas: verzameling kaarten van S Kaarten kunnen verschillende afbeeldingen geven in het overlapgebied De relatie tussen deze coördinaten karakteriseert de differentieerbaarheidsklasse van de variëteit Variëteit lijkt lokaal op de Euclidische ruimte: hij is `glad en heeft een bepaald aantal dimensies Differentieerbare variëteit: S kan overdekt worden met (overlappende) deelgebiedjes. De overgangen tussen de verschillende coördinatenstelsels zijn voldoende vaak differentieerbaar Metriek Differentieerbare variëteit geeft ordening van de verzameling Berekenen van afstanden is echter niet mogelijk zonder additionele informatie: de afstand tussen Montreal en Parijs lijkt even groot als die tussen Bogota en Lagos Metriek: extra structuur die nodig is om afstanden te bepalen In de ART gebruiken we hiervoor de metrische tensor 2
3 Curve Pad: reeks verbonden punten in ruimtetijd Curve: geparametriseerd pad De afbeelding van een interval in R 1 naar een pad in ruimtetijd Als we de parameter vervangen door Krijgen we een nieuwe curve Deze curve beschrijft hetzelfde pad in ruimtetijd Er zijn dus oneindig veel curven die hetzelfde pad beschrijven Als parameter wordt typisch de tijd op de klok van een meereizende waarnemer gebruikt (de eigentijd t) Scalairveld We definiëren een scalairveld op elk punt van de variëteit Neem aan dat deze functie overal gedifferentieerd kan worden Denk aan de temperatuurverdeling van het aardoppervlak We brengen een deel in kaart, en op die kaart geldt Voor een andere kaart geldt bijvoorbeeld Het veld in elk punt in het overlapgebied verandert niet In het algemeen geldt En de inverse overgangsfuncties Bestudeer het voorbeeld op bladzijde 69 van het dictaat (zie ) 3
4 Vectoren: bekend van begrippen als snelheid en versnelling Kunnen worden opgeteld en met een getal worden vermenigvuldigd Topologisch object: onafhankelijk van referentiesysteem Vectorveld dient in de variëteit te liggen, dus niet erbuiten Vectorveld: horizontale windsnelheid op aardoppervlak Hairy ball theorema Vectorveld Vectorveld De vectoren zijn gebonden aan hun plaats We kunnen vectoren expanderen in een basis We schrijven De vector heeft componenten a en b in het referentiesysteem van waarnemer, bijvoorbeeld het (x, y) systeem We kunnen ook schrijven Voor een andere waarnemer,, geldt dan 4
5 Vectorveld Basis: elke complete set kan gebruikt worden De vector verandert niet als we een andere basis kiezen Natuurlijke basis: gebruik richtingsafgeleiden langs de coördinaten Tangentenruimte: raakruimte in punt P Voorbeeld: Euclidische ruimte Cartesische coördinaten Niet-cartesische coördinaten met basis En ook Natuurlijke basis Vectorveld Notatie uitdrukken als Beschouw verplaatsingsvector Notatie Transformatie vectorcomponenten In systeem geldt Transformatiegedrag Notatie: index boven voor vectorcomponent Definitie: een vector is een verzameling getallen (de componenten in basis ) die transformeren volgens Componenten in basis zijn dus De componenten van een vector t.o.v. de natuurlijke basis worden de contravariante componenten genoemd Een dergelijk object noemen we ook een tensor 5
6 Transformatie van de basis Ook geldt Hiermee vinden we de transformatiewet voor basisvectoren Dat is de relatie tussen en We schrijven We vinden Notatie: index beneden voor basisvectoren Basisvectoren transformeren tegengesteld aan vectorcomponten Hier komt het woord `contravariant vandaan Voor de inverse transformaties geldt Deze notatie is van Jan Arnoldus Schouten (een van de oprichters CWI in Amsterdam) Verder nog Voorbeeld: poolcoördinaten O O x, r y, We hadden ook 6
7 Voorbeeld: poolcoördinaten We hadden ook e e i, e 1 x 2 e y j Vector V is onafhankelijk van coördinatenstelsel V V e V e ' ' Gradiënt als 1- vorm Beschouw wereldlijn van een waarnemer Beschouw een scalairveld Parametriseer wereldlijn met de eigentijd dan De viersnelheid is Duidelijk een viervector (verplaatsingvector gedeeld door een getal) ook De verandering van het veld op de wereldlijn (dat is de afgeleide) is Dit is de definitie van de gradient, de 1 vorm met componenten Notatie: 7
8 Algemene tensorvelden De tensor heeft 2 vectorargumenten Voorbeeld: inproduct van 2 vectoren (metrische tensor) Voorbeeld: product van twee 1 vormen Als en de 1 vormen zijn, dan is de gezochte tensor Met argumenten en levert dit het getal Dit noemen we het tensorproduct Tensorproduct is niet commutatief: De meest algemene tensor is geen eenvoudig tensorproduct We kunnen het altijd schrijven als de som van dergelijke producten De waarden zijn dan In totaal heeft dus 16 componenten Tensorbasis Kunnen we een basis vormen voor deze tensor? Kunnen we 16 verschillende tensoren definieren, zodat Dan dient te gelden Dan moet dus gelden We concluderen De tensoren vormen de basis voor alle tensoren dus Een algemene tensor is een som over eenvoudige tensorproduct tensoren Een tensor is een lineaire afbeelding van M 1 vormen en N vectoren naar de reële getallen (zie het weer als een apparaat met M+N sleuven) De tensor is een topologisch object, met componenten op de basis en 8
9 Metrische tensor Tot nu toe is onze variëteit een amorfe verzameling van topologische objecten Er is geen connectie tussen vectorruimte en zijn duale. Ook is er geen inproduct gedefinieerd: er is geen meetkunde De tensor g (van gravitatie) gaat dienst doen als metriek van de variëteit Dan verkrijgen we een Riemannse variëteit Definitie Metrische tensor is symmetrisch en lineair in zijn argumenten De definitie maakt geen gebruik van componenten van vectoren De metriek is weer een topologisch object In basis zijn de componenten van de metriek Metriek als afbeelding Metriek is een afbeelding tussen 1 vormen en vectoren Beschouw metrische tensor g en vector Dan is een functie van vectoren: een afbeelding naar reële getallen We noemen het de 1 vorm Voor vector vinden we dan De componenten van zijn De relatie tussen vector en 1 vorm is dus in basis We onderscheiden de componenten van de vector van die van de 1 vorm enkel door de positie van de index De inverse van de metriek bestaat ook Hiermee vinden we 9
10 SRT Lichtsnelheid is hetzelfde in elk inertiaalsysteem Coordinaten van ruimtetijd Cartesische coordinaten aangeven met superscript ruimtetijd indices: grieks ruimte indices: latijn SRT leeft in een speciale vier-dimensionale varieteit: Minkowski ruimtetijd (Minkowski ruimte) Coordinaten zijn Elementen zijn gebeurtenissen, of ook events Vectoren zijn altijd gebonden aan een event; viervector Metriek in Minkowski ruimte Inproduct van twee vectoren (sommatieconventie) als matrix Abstract Ruimtetijd interval Proper time Vaak `de metriek genoemd Signatuur: +2 Gemeten met mee-reizende klok SRT Ruimtetijd diagram Punten zijn ruimtelijk, tijdachtig, of lichtachtig gescheiden van de oorsprong Vector met negatieve norm is tijdachtig Pad door ruimtetijd Pad wordt geparametriseerd als Pad wordt gekarakteriseerd door zijn raakvector als ruimteachtig, tijdachtig, or lichtachtig Voor tijdachttige paden: gebruik proper time als parameter Bereken als Raakvector Impuls viervector Energie is tijdcomponent Deeltjes rustsysteem Bewegend system voor deeltje met drie-snelheid Viersnelheid Normalisatie Massa langs de x-as Kleine v 10
11 Kracht in SRT We eisen covariantie in SRT: dat de natuurkundige wetten (e.g. Maxwellvergelijkingen) dezelfde vorm hebben in alle inertiaalsystemen Vierimpuls Vierkracht Kracht drievector f Transformeert als Merk op: v en V Elektrodynamica 11
12 Behoud van lading in SRT Continuiteitsvergelijking Vierstroomdichtheid Coulombkracht Elektrisch veld Magnetische kracht Magnetisch veld Combineren levert de Lorentzkracht In componenten We willen dit nu in manifest covariante vorm schrijven Lorentzkracht in SRT We hadden Introduceer elektromagnetisch tensor, of veld tensor, of ookwel Faraday tensor genaamd Ook geldt Beschouw Eerste rij levert de arbeid die verricht wordt door de Lorentzkracht 12
13 Elektrodynamica Maxwellvergelijkingen Faraday tensor Stroom viervector Maxwellvergelijkingen Continuiteitsvergelijking Volgt uit Elektrodynamica Lorentztransformaties We vinden onveranderd, terwijl Vierkracht Nul-component: arbeid verricht door deze kracht per tijdseenheid Ruimtelijke-componenten: Lorentzkracht Schrijf Dan geldt met Energie-impulstensor van elektromagnetisch veld Energie-impulstensor is symmetrisch Energiedichtheid 13
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 2: 12 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Ruimte: verzameling met structuur 3D varieteit kan lokaal Euclidisch zijn 4D ruimtetijd
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Laura van der Schaaf Differentiaaltopologie: 15 september 2014 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand Les 2: 8 september 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Joris van Heijningen Email: jo@nikhef.nl,
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 8 oktober 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: september 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Einsteinvergelijkingen: 7 oktober 009 Traagheid van gasdruk SRT: hoe hoger de gasdruk, des te moeilijker is het om het gas te versnellen
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 29 September 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 7 oktober 2013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Metrische tensor: 6 oktober 009 Einsteins sommatieconventie Vector en 1-vorm geven een scalar Sommatie inde is een dummy inde, want uiteindelijk
Elementaire Deeltjesfysica
Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie
relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 3: 19 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Inhoud Speciale relativiteitstheorie Inertiaalsystemen Bewegende waarnemers Relativiteitsprincipe
Deeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 3 oktober
Deeltjes en velden HOVO Cursus Jo van den Brand 3 oktober 013 jo@nikhef.nl Docent informatie Overzicht Jo van den Brand & Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl en gkoekoek@gmail.com 060 539 484 / 00 59 000
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 6 oktober 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke echanica
4 Wiskunde I - Dierentiaaltopologie
4 WISKUNDE I - DIFFERENTIAALTOPOLOGIE 59 4 Wiskunde I - Dierentiaaltopologie In een ruimte zijn een punt, scalair en een vector voorbeelden van topologische objecten. Als de scalair of vector kan variëren
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 30 september 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Speciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 5 en 6: Tensor Formulering Elektromagnetisme Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
4 Wiskunde I - Differentiaaltopologie
4 WISKUNDE I - DIFFERENTIAALTOPOLOGIE 57 4 Wiskunde I - Differentiaaltopologie In een ruimte zijn een punt, scalair en een vector voorbeelden van topologische objecten. Als de scalair of vector kan variëren
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist g 00 Programma
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen ART: 3 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange
compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).
1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 3: Integraalrekening en lineaire vormen Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 3.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Speciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 3 en 4: Lorentz Transformatie en Mechanica Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Sferische oplossingen: 10 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Kromlijnige coördinaten: 13 oktober 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Kromlijnige coördinaten: 28 oktober 2013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme Quantumfenomenen
Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 6
1 Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 013 OPGAVEN WEEK 6 Opgave 1: We bespreken kort Rindler space en de connectie met de Tweelingparadox. We kijken naar een uniform versnelde waarnemer (we beschouwen
Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het cursusmateriaal.
Speciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme
Speciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme
Formule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Formule afleiding opgaven bij de cursus Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het curusmateriaal.
Opgaven voor Tensoren en Toepassingen. 1 Metrieken en transformatiegedrag
Opgaven voor Tensoren en Toepassingen collegejaar 2009-2010 1 Metrieken en transformatiegedrag 1.1 Poolcoördinaten We bekijken het plaate tweedimensional vlak. Laat x µ (µ = 1, 2) Cartesische coördinaten
Vectoren en Tensoren; Algemene relativiteitstheorie HOVO Utrecht Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek. 1 Inleiding 3
Vectoren en Tensoren; Algemene relativiteitstheorie HOVO Utrecht Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Differentieerbare ruimten 3 2.1 Inleiding..............................
Inleiding tensorrekening
Inleiding tensorrekening c 1991, 1995 Kees Dullemond en Kasper Peeters 28-10-91 versie 2.0, 26-09-95 versie 3.0 Contents 1 De kernindexnotatie 5 2 Bases, co- en contravariante vectoren 8 2.1 Intuïtief.....................................
Gravitatie en kosmologie
1 Gravitatie en kosmologie door Prof.dr Johannes F.J. van den Brand Drs. Jeroen Meidam Afdeling Natuurkunde en Sterrenkunde Faculteit der Exacte Wetenschappen Vrije Universiteit Amsterdam en Nationaal
Semi-Riemannse meetkunde en de Schwarzschild meetkunde
Semi-Riemannse meetkunde en de Schwarzschild meetkunde Thijs Vorselen met medewerking van Hilko Chang mei 2007 Bachelorverslag Wiskunde en Natuurkunde onder begeleiding van Dr M Lübke en Dr Y Levin Mathematisch
Solid Mechanics (4MB00): Tussentoets 1 4
Solid Mechanics (4MB00): Tussentoets 1 4 Datum: 17 februari 2016 Tijd: 15:45 17:00 uur Locatie: Matrix Atelier Naam student: Ident. nr.: Deze toets bestaat uit 20 vragen. Elke vraag dient beantwoord te
Solid Mechanics (4MB00): Tussentoets 1 2
Solid Mechanics (4MB00): Tussentoets 1 2 Datum: 17 februari 2016 Tijd: 1:4 17:00 uur Locatie: Matrix Atelier Naam student: Ident. nr.: Deze toets bestaat uit 20 vragen. Elke vraag dient beantwoord te worden
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 2: Matrixen en differentiaalrekening Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 2.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening
Solid Mechanics (4MB00): Tussentoets 1 1
Solid Mechanics (4MB00): Tussentoets 1 1 Datum: 17 februari 2016 Tijd: 1:4 17:00 uur Locatie: Matrix Atelier Naam student: Ident. nr.: Deze toets bestaat uit 20 vragen. Elke vraag dient beantwoord te worden
Solid Mechanics (4MB00): Tussentoets 1 3
Solid Mechanics (4MB00): Tussentoets 1 3 Datum: 17 februari 2016 Tijd: 15:45 17:00 uur Locatie: Matrix Atelier Naam student: Ident. nr.: Deze toets bestaat uit 20 vragen. Elke vraag dient beantwoord te
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les 2: en differentiaalrekening Dr Harm van der Lek vdlek@vdleknl Natuurkunde hobbyist Programma 211 1 Goniometrische functies 2 Som formules 3 Cosinus regel
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Opgaven bij het college Kwantummechanica 3 Week 14
Opgaven bij het college Kwantummechanica 3 Week 14 Opgave 29: De elektromagnetische golfvergelijking: relativiteitsprincipe en spin Beschouw de vrije elektromagnetische golfvergelijking A µ (x) µ( ν A
Het vermoeden van Poincaré
Het vermoeden van Poincaré Joseph Steenbrink IMAPP, Radboud University Nijmegen 6 februari 2010 Outline 1 Poincaré 2 Het vermoeden 3 Topologie versus meetkunde Henri Poincaré Nancy 1854 - Parijs 1912 Achtergrond
Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen
Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds
Vectoranalyse voor TG
college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld
7 De algemene relativiteitstheorie
7 DE ALGEMENE RELATIVITEITSTHEORIE 131 7 De algemene relativiteitstheorie Ruimtetijd is een variëteit die continu en dierentieerbaar is. Dat betekent dat we bijvoorbeeld een scalairveld kunnen deniëren,
Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte
Lengte van een pad in de twee dimensionale Euclidische ruimte Bekijk een willekeurig pad van naar. Verdeel het pad in kleine stukjes die elk voor zich als rechtlijnig beschouwd kunnen worden. De lengte
Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen de aarde.................
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.
WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de
te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 1
HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK Opgave : Causaliteit In het jaar 300 wordt door de Aardse Federatie een ruimteschip naar een Aardse observatiepost op de planeet P47 gestuurd. Op de maan van
Samenvatting Speciale Relativiteits Theorie
Samenvatting Speciale Relativiteits Theorie DOOR M HV Metius Wergroep Theoretische Sterrenunde April 8 Almaar 5 jun 8, 11:6 Speciale Relativiteits Theorie mhh - 1 Referenties: 1) L.D. Landau and E.M. Lifshitz:
Gravitatie en kosmologie
1 Gravitatie en kosmologie door Prof.dr Johannes F.J. van den Brand Afdeling Natuurkunde en Sterrenkunde Faculteit der Exacte Wetenschappen Vrije Universiteit Amsterdam en Nationaal instituut voor subatomaire
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Mathematical Modelling
1 / 104 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 27-09-09 2 / 104 Waarschuwing vooraf Weer plaatjes dus opgelet! En: x F F x want anders worden de formules te lang... En: ik hoop dat ik consistent
7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss
7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische
5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Didactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor
Didactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor Harm van der Lek Juli 06; Update: januari 08 Inhoudsopgave Inleiding Voorkennis 3 Waarom een rang tensor? 4 4 Waarom een contravariante tensor?
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling
Vectoranalyse voor TG
college en scalarelden in R Vandaag collegejaar college build slides : : : : 4-5 7 augustus 4 33 Coördinatenstelsels in R VA andaag Voorkennis Zelf bestuderen uit.,. en.3: ptellen en scalair ermeniguldigen
Tentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 20 juni :00-12:00. Leg je collegekaart aan de rechterkant van de tafel.
Tentamen Elektriciteit en Magnetisme 1 Woensdag 20 juni 2012 09:00-12:00 Leg je collegekaart aan de rechterkant van de tafel. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar. Maak elke opgave
De lichtsnelheid kromt de ruimte. Mogelijke verklaring voor de grens van het heelal
1 De lichtsnelheid kromt de ruimte Mogelijke verklaring voor de grens van het heelal Inleiding 2 De lichtsnelheid, zo snel als 300.000.000 meter per seconde, heeft wellicht grote gevolgen voor de omvang
Cursus deeltjesfysica
Cursus deeltjesfysica Bijeenkomst 1 (5 maart 2014) de speciale relativiteitstheorie prof Stan Bentvelsen en prof Jo van den Brand Nikhef - Science Park 105-1098 XG Amsterdam s.bentvelsen@uva.nl - jo@nikhef.nl
Speciale Relativiteitstheorie
Speciale Relativiteitstheorie Prof. Dr J.J. Engelen NIKHEF/Onderzoekinstituut HEF met medewerking van Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 De Galileitransformatie
Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand Relativistische inflatie: 3 december 2012 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme Quantumfenomenen Neutronensterren
M1 Wiskundig taalgebruik en notaties
M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =
Gravitatie en Kosmologie
Gravitatie en Kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Jeroen Meidam Les 1: 3 september 2012 Parallax Meten van afstand Meet positie van object ten opzichte van achtergrond De parallaxhoek q, de afstand
Technische Universiteit Eindhoven. Faculteit Wiskunde & Informatica
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Dictaat en vraagstukken bij Tensorrekening en Differentiaalmeetkunde 2F800 Wintertrimester 2004 Colleges J. de GRAAF 2 Deze syllabus is
Inleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden
Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak
Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Vectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Schriftelijk examen 2e Ba Biologie Fysica: elektromagnetisme 2011-2012
- Biologie Schriftelijk examen 2e Ba Biologie 2011-2012 Naam en studierichting: Aantal afgegeven bladen, deze opgaven niet meegerekend: Gebruik voor elke nieuwe vraag een nieuw blad. Zet op elk blad de
Stelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Fractale dimensie. Eline Sommereyns 6wwIi nr.9
Fractale dimensie Eline Sommereyns 6wwIi nr.9 Inhoudstabel Inleiding... 3 Gehele dimensie... 4 Begrip dimensie... 4 Lengte, breedte, hoogte... 4 Tijd-ruimte... 4 Fractale dimensie... 5 Fractalen... 5 Wat?...
8 Relativistische sterren
8 RELATIVISTISCHE STERREN 156 8 Relativistische sterren 8.1 Schwarzschild metriek Om de kracht van ART te waarderen, gaan we in dit hoofdstuk kijken naar de meest eenvoudige metriek naast de Minkowski
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Kwantummechanica HOVO cursus. Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016
Kwantummechanica HOVO cursus Jo van den Brand Lecture 4: 13 oktober 2016 Copyright (C) VU University Amsterdam 2016 Overzicht Algemene informatie Jo van den Brand Email: jo@nikhef.nl 0620 539 484 / 020
Tentamen: Gravitatie en kosmologie
1 Tentamen: Gravitatie en kosmologie Docent: Jo van den Brand Datum uitreiken: 1 december 2011 Datum inleveren: 15 december 2011 (bij Marja of voor 17:00 in mijn postvak) Datum mondeling: 19-23 december
1 OPGAVE. 1. Stel dat we kansdichtheid ρ van het Klein-Gordon veld φ zouden definieren op de Schödingermanier
OPGAVE. Opgave. Stel dat we kansdichtheid ρ van het Klein-Gordon veld φ zouden definieren op de Schödingermanier : ρ = φ φ, waarin φ de Klein-Gordonfunctie is. De stroom j van kansdichtheid wor in Schrödingers
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Relativistische quantummechanica
Chapter 6 Relativistische quantummechanica 6. De Klein-Gordon vergelijking 6.. Afleiding van de Klein-Gordon vergelijking In het voorgaande hebben we gezien dat we een klassieke bewegingsvergelijking kunnen
Faculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE
12 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 2 VECTORANALYSE 2WA15 2006/2007 Hoofdstuk 2 Vectorvelden en lijnintegralen 2.1 De Euclidische ruimte E 3 Zij E 3 de (Euclidische) ruimte. iezen we in E 3
6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Functies van vectoren
Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Kepler
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Kepler