Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Transcriptie

1 Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het cursusmateriaal. Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Divergentie wet Wet van Ampère Stelling van Poisson Elektromagnetische golven Afleiden Lorentz contractie Richtingsccoëfficient van gelijktijdigheidslijn Nav Sessie 3 en 4: Lorentz transformatie en mechanica Optellen snelheden Inverse Lorentztransformatie Alternatieve afleiding Lorentztransformatie Transformatie van Elektromagnetische velden Lorentztransformatie als rotatie Invariant onder Lorentztransformatie Verhouding eigentijd en coördinaattijd Optellen snelheden via 4-snelheid Hoofdwet van de relativistische mechanica Nav Sessie 5 en 6: Tensor formulering Elektromagnetisme Ontdekken Elektromagnetische tensor Elektromagnetische tensor transformeert als een tensor Wetten van Maxwell in tensor vorm Hints Elektromagnetische golven Optellen snelheden Inverse Lorentztransformatie Ontdekken Elektromagnetische tensor

2 4.5 Elektromagnetische tensor transformeert als een tensor Wetten van Maxwell in tensor vorm

3 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Uitwerkingen staan in de slides. 1.1 Divergentie wet De integraal over een gesloten oppervlak van (de flux van) het versnellingsveld g van de zwaartekracht is gelijk aan de totale massa binnen dat oppervlak maal 4πG. In formulevorm gegoten: g n do = 4πGM (1) S Het linkerlid verdient wat toelichting. n is een zogenaamde normaalvector. Het idee is dat die loodrecht staat op het kleine stukje oppervlak do. Het inproduct g. n vertelt dan dat we de component van g loodrecht op do willen hebben. g. n do is dan de flux (stroom) van het vectorveld door do heen. De vraag is natuurlijk wanneer die flux positief of negatief is. Bij één zo n stukje is dat lastig. Maar wanneer we over het de hele rand S van een stuk van de ruimte S (denk aan een bol of een kubus) integreren is de flux positief als de vectoren g overwegend naar buiten gericht zijn. Merk op dat we hier intuitief aannemen dat er bij zo n gebied sprake is van een buiten- en een binnengebied. NB. Als de flux postief is (dus overwegend naar buiten gericht), dan noemen we het ook wel divergentie van het vectorveld. Over het rechterlid van (1) kunnen we zeggen dat 4πG een constante is en M de totale massa binnen het gebied. Deze massa hoeft natuurlijk niet gelijkmatig verdeeld te zijn over het hele gebied S. De massa dichtheid noemen we ρ. ρ is een functie van de plaats: ρ = ρ(x, y, z). Dat wil zeggen dat in een heel klein gebiedje rondom het punt (x, y, z) de massa per inhoudseenheid (b.v. kubieke meter) ρ is. Dan geldt: M = ρdxdydz (2) S a. Leid een differentiaalvergelijking af voor dit vector veld, door naar een heel klein kubusje te kijken; 3

4 b. Gebruik hierbij de vervolgens differentiaal operator = y z om dit compact op te schrijven. Slide: 30 (bijlage 1) 1.2 Wet van Ampère De integraal langs een gesloten kromme S (een kring ) van het inproduct van ds (infinitesimaal stapje langs de kromme) en het magnetische veld B is gelijk aan een constante (µ 0 ) maal de elektrische stroom door een vlak S waarvan S de rand is. In formulevorm: B ds = µ 0 j n do (3) Hierbij is j de stroomdichtheid. De hoeveelheid (en richting) van de elektrische stroom per opervlakte eenheid loodrecht op die stroom. Daardoor is j n do de hoeveelheid stroom (lading per tijdseenheid) die door het infinitesimale opervlaktedeel do gaat. a. Leid een differentiaalvergelijking af voor dit vector veld B, door naar een heel klein vierkantje loodrecht op de z-richting ( x y) te kijken. Analoog kan men natuurlijk nog twee vergelijkingen krijgen door loodrecht op de x-richting ( y z) en de y-richting ( x z) te kijken. b. Vat deze 3 vergelijkingen samen tot één door de differentiaal operator weer te gebruiken. Slide: Stelling van Poisson Voor een zwaartekrachtveld g geldt dat er een potentiaal ψ is zodat g de gradient daarvan is (met een minteken): S g = ψ (4) a. Combineer dit met het resultaat van opgave 1.1 teneinde de vergelijking van Poisson de verkrijgen. Slide: 9 4 x

5 1.4 Elektromagnetische golven Los de vergelijkingen van Maxwell op in het geval van de volgende omstandigheden: 1. Lege ruimte (dus ρ = 0 en j = 0) als x > 0 2. In het y-z vlak loopt een (veranderlijke) stroom in de z-richting Het oplossen van dit soort partiële differentiaalvergelijkingen is geen sinecure. Bovendien zijn er in het algemeen zeer veel oplossingen. Het is dus zaak om via symmetrie overwegingen de mogelijkheden zeer ver in te perken, zodanig dat de oplossing makkelijk wordt! Maar natuurlijk ook weer niet te ver, want dan bestaat er mogelijk geen oplossing. Er is een heuristische redenering die de mogelijkheden beperkt op basis van punt 2 hierboven. a. Beredeneer dat door punt 2 in de y-richting, vlak bij het y-z vlak (dus x > 0, maar klein) een (veranderlijk) magnetisch veld ontstaat; b. Beredeneer dat (hierdoor!) in de z-richting, vlak bij het y-z vlak, maar wel weer ietsje verder, een (veranderlijk) elektrisch veld ontstaat; En dit gaat zo maar door. We hebben dus het vermoeden dat er een elektromagnetische golf ontstaat die zich in de x-richting voorbeweegt, maar dat willen we wel bevestigd zien door het oplossen van de vergelijkingen van Maxwell. Maar onderdelen a. en b. doen vermoeden dat we ons kunnen beperken tot een magnetisch veld alleen in de y richting: B = (0, By, 0) en een elektrisch veld alleen in de z richting: E = (0, 0, Ez ). Met andere woorden: B x = B z = E x = E y = 0! Dit vereenvoudigd de zaak aanzienlijk terwijl we toch een interessante berekening kunnen doen: c. Vind onder deze opstandigheden een oplossing van de Maxwellvergelijkingen; Deze oplossing blijkt inderdaad te kunnen worden gezien als een golf beweging. d. Bepaal de voorplantingssnelheid van deze golven (in de x- richting dus) in termen van de elektromagnetische natuur constanten ɛ 0 en µ 0. Indien u een hint (of hinten) nodig hebt, zie 4.1 Slide: 16 5

6 1.5 Afleiden Lorentz contractie In een trein wordt vanuit de achterkant een lichtstraal uitgezonden. Deze treft de voorkant en wordt daar teruggekaatst. In de linkerkant van figuur 1 is de situatie weergegeven, zoals die in het referentiekader van de trein wordt gezien. Figuur 1: Heen en weer gaande lichtstraal in een trein Rechts zien we dezelfde gebeurtenissen, maar nu vanaf het perron. a. Druk de lengte van de trein, zoals in de trein wordt gemeten (L ) uit in de waarde hiervan zoals op het perron wordt ervaren (L). Hint: bereken t 1 en t 2 en dus t = t 1 + t 2 en gebruik dan t = 1 γ t. Slide: Richtingsccoëfficient van gelijktijdigheidslijn In een trein wordt vanuit het midden zowel naar de voor- als de achterkant een lichtstraal uitgezonden. Beiden worden teruggekaatst. In figuur 2 is de situatie weergegeven, zoals die in het referentiekader van het perron wordt gezien. Het is duidelijk dat de twee momenten van weerkaatsing in de trein op het zelfde moment geschieden. Voor ons op het perron zijn het echter ongelijktijdige momenten. De lijn m representeert een verzameling gebeurtenissen die in de trein allemaal op het zelfde moment zijn. Kortom: de lijn m is één moment in de trein, een gelijktijdigheidslijn. 6

7 Figuur 2: Twee heen en weer gaande lichtstralen in een trein a. Bereken de richtingsccoëfficient van deze lijn in het x-t vlak van het perron. Hint: gebruik de resultaten omtrent t 1 en t 2 zoals in opgave 1.5 reeds verkregen. Slide: 27 2 Nav Sessie 3 en 4: Lorentz transformatie en mechanica Uitwerkingen staan in de slides 2.1 Optellen snelheden Stel een stelsel K (de trein) beweegt met een snelheid v ten opzichte van een stelsel K (het perron). We hebben hiervoor dus de standaard Lorentztransformatie formules. In de trein beweegt zich iemand met een snelheid w ten opzichte van de trein. Klassiek zou de snelheid van deze persoon ten opzichte van het perron v + w zijn. a. Leid de formule voor de snelheid w van deze persoon ten opzichte van het perron af zoals die uit de Lorentztransformatie 7

8 volgt. Indien u een hint nodig hebt, zie 4.2 Slide: Inverse Lorentztransformatie Het ligt voor de hand om te denken dat men de inverse van de Lorentztransformatie formules kan verkrijgen door daarin v te vervangen door +v. a. Verifieer dit. Indien u een hint nodig hebt, zie 4.3 Slide: Alternatieve afleiding Lorentztransformatie We gaan de Lorentztransformatie formules afleiden uit 3 eisen die we eraan willen stellen. Eis 1 zegt dat het een lineaire transformatie is. Dat wil zeggen dat er een matrix L bestaat zodat: ( ) ( ) ( ) x a b x t = (5) d e t Merk op dat we de letter c hebben vermeden. Dat is natuurlijk omdat c de lichtsnelheid representeert. a. Ga na dat een punt dat in K stilstaat in het stelsel K met een éénparige snelheid beweegt en bereken deze snelheid v in termen van a, b, d en/of e. Hint: Een punt dat in K stilstaat heeft een wereldlijn met vergelijking x = P met P een constante. Merk op dat zowel de Galilei- als de Lorentztransformatie aan deze eis 1 voldoen. Als tweede eis stellen we dat de lichtsnelheid in beide stelsels hetzelfde (c) is. We kunnen ons bij het volgende beperken tot lichtstralen in die in K door de oorsprong gaan (de puntgebeurtenis x = 0 en t = 0). In de positieve richting is de vergelijking dan dus x = ct en in negatieve richting x = ct. 8

9 b. Laat zien dat deze tweede eis de mogelijkheden aanzienlijk vermindert. Druk b, d en e uit in a, v en c. In feite kunt u aan dit resultaat zien dat de matrix L al bepaald is door v en c op de factor a na. Deze factor kan bepaald worden door de 3-de eis: als we v voor v vervangen, dan krijgen we de inverse matrix: L(v) maal L( v) is gelijk aan de identiteits matrix. c. Laat dit zien en bepaal de waarde van a in termen van v en c. Als het goed is zult u nu de formules van de Lorentztransformatie hebben afgeleid! Slide: Transformatie van Elektromagnetische velden In deze opgave gaan we afleiden hoe Elektromagnetische velden getransformeerd worden door de Lorentztransformatie. Bedenk dat in het algemeen deze velden afhangen van plaats en tijd. In het stelsel K (zonder ) hebben we velden E en B. Dit zijn in totaal 6 functies (E x, E y, E z, B x, B y en B z ) van 4 variabelen: plaats (x, y, z) en tijd (t). Als voorbereiding op de transformatie van de Maxwell vergelijkingen eerst het volgende: a. Leid transformaties af voor x en t in termen van x en t ; Er zijn in totaal 8 vergelijkingen van Maxwell. Dit zijn partiële differentiaal vergelijkingen. Daar staan dus partiële afgeleiden van de veld componenten in, zoals x B y. b. Transformeer de vergelijkingen van Maxwell naar de situatie binnen het stelsel K. Hint: om zo snel mogelijk ontdekkingen te doen (voor onderdeel c) is het aan te raden om te beginnen met een vergelijking waarin zowel x als t voorkomt. Zoals bijvoorbeeld z E x x E z = t B y (één van de 3 vergelijkingen van de wet van Faraday). c. Ontdek hoe formules voor functies (E x, E y, E z, B x, B y en B z) er uit moeten zien, zodat de vergelijkingen van Maxwell in het stelsel K precies dezelfde vorm krijgen. 9

10 De conclusie van deze exercitie is: onder de transformatie regels die bij c zijn gevonden kunnen we stellen dat: Maxwell geldt in K Maxwell geldt in K (6) Kortom: de wetten van Maxwell zijn invariant (men zegt ook wel eens covariant ) onder de Lorentztransformatie. Slide: Lorentztransformatie als rotatie Een rotatie in het platte vlak over een hoek ϕ kan worden gekarakteriseerd worden door de matrix van de vorm ( ) cos(ϕ) sin(ϕ) M = (7) sin(ϕ) cos(ϕ) a. Neem u := tan(ϕ) en schrijf matrix M uit (7) in termen van u in plaats van ϕ; Hint: deel alle componenten van M uit 7 door cos(ϕ) en breng dus cos(ϕ) buiten de matrix. b. Vergelijk het resultaat van a met de Lorentztransformatie. Overeenkomsten? Verschillen? ( ) Hint: breng beide in de vorm = en neem voor de lichtsnelheid... 1 c = 1 (of schrijf u = v). c Slide: Invariant onder Lorentztransformatie Stel we hebben twee gebeurtenissen. Met een uitdrukking als x bedoelen we het verschil tussen de twee x waarden behorende bij deze gebeurtenissen. a. Laat zien dat men in beide stelsels K en K dezelfde waarde vindt voor de uitdrukking I := c 2 t 2 x 2 y 2 z 2. Daarom heet I een invariant. Hint: pas de Lorentztransformatie formules toe. Slide: 17 10

11 2.7 Verhouding eigentijd en coördinaattijd Stel we hebben de wereldlijn van bijvoorbeeld een deeltje: t (t, x(t), y(t), z(t)). De klassieke snelheid is gewoon gedefineerd als: v x v := v y := d x y en v := v := vx dt 2 + vy 2 + vz 2 (8) v z z De eigentijd τ is gedefinieerd als de parameter die de Minkowski lengte langs de kromme constant maakt: c 2 dτ 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 (9) Een fysische interpretatie: τ is de tijd zoals die wordt ervaren door een waarnemer op de wereldlijn (die dus niet noodzakelijk éénparig beweegt ten opzichte van het coördinaten stelsel (t, x, y, z)). a. Berereken dt, de verhouding tussen coördinaattijd en eigentijd. dτ Hint: berereken eerst ( dτ dt )2. U mag hierbij de (wiskundig enigzins slordige) methode toepassen door gewoon met dt en dτ te rekenen als ware het hele kleine getalletjes (de zogenaamde infinitesimalen). In het volgende onderdeel gaan we na dat de Minkowski lengte langs deze kromme inderdaad constant is. b. Laat zien dat de Minkowski lengte van de raakvector aan deze kromme (in feite de 4-snelheidsvector) v = (v v) constant is. Wat is de waarde van deze constante? Slide: Optellen snelheden via 4-snelheid We gaan de relativistische optelwet voor snelheden opnieuw afleiden. We hebben dat in opgave 2.1 al een keer gedaan. De afleiding die we nu gaan doen is in feite ingewikkelder (rekentechnisch gezien), maar is wel leerzaam als het gaat om het begrip 4-snelheid. 11

12 In deze opgave spelen de y en de z-coördinaat helemaal geen rol. Daarom laten we die weg. We hebben weer de stelsels K (perron) en K (trein) en de gebruikelijk Lorentztransformatie tussen hen. Deze kunnen we schrijven als: x = L v x met L v = γ v ( 1 v c 2 v 1 ) ( ) t, x = en x = x ( t x ) (10) Om de gedachten te bepalen: de trein rijdt naar rechts (v > 0) en in de trein loopt iemand met een snelheid w ook naar rechts (w > 0). We schrijven w, omdat zich dit in het -stelsel (K, de trein) afspeelt. In het K stelsel (het perron) heeft deze persoon ook een snelheid en die noemen we w. Klassiek gold dan: w = v + w. We hebben nu ook de 4-snelheid van deze persoon. We hebben dan: ( ) ( ) 1 1 In K :w = γ w w en in K:w = γ w (11) w Dit zijn inderdaad (de componenten van) 4-snelheden, ondanks het feit dat we maar twee componenten laten zien (omdat we y en z onderdrukken). a. Leidt de formule voor w in termen van v, w en c opnieuw af. Maar nu door gebruik te maken van het feit dat de 4- snelheden zoals in 11 genoemd, in elkaar transformeren via de Lorentztransformatie. Slide: Hoofdwet van de relativistische mechanica Deze wet geeft het verband tussen de Rustmassa (m 0 ), Impuls (p) en de Energie (E) van een bewegend voorwerp in een bepaald referentie stelsel. Maar we beginnen eerst met een verband tussen Rustmassa (m 0 ), Impuls (p) en de relativistische massa (m). Deze zijn als volgt gedefineerd. We beginnen met de 4-snelheid. Dit is: v := d dτ x = dt d dτ dt x = γ d dt t 1 x y = γ v x = γ(1, v) (12) z De Minkowski lengte van deze 4-vector heeft een constante waarde die u in opgave 2.7 al heeft uitgerekend. 12 v y v z

13 De 4-impuls is nu eenvoudig gedefineerd als p := m 0 v (13) waarbij m 0 dus de rustmassa is. De Minkowski lengte van deze 4-vector is dus ook constant. a. Wat is deze (constante) waarde van p 2 het kwadraat van de Minkowski lengte? We definieren verder: en Relativistische massa: m := m 0 γ = m 0 1 v2 /c 2 (14) Relativistische impuls: p := m v (15) p is dus een 3-vector en de (gewone) lengte hiervan noemen de de impuls p: p = p = p 2 x + p 2 y + p 2 z (16) NB. Let goed op het verschil tussen p (de hierboven gedefineerde lengte van de 3-impuls) en p (de 4-impuls vector)! b. Bereken nogmaals p 2 maar nu in termen van de variabele grootheden m en p. De uitdrukking die we in b gekregen hebben is dus constant omdat hij gelijk is aan datgene wat we in a hebben verkregen. c. Differentieer de uitdrukking uit b naar t en verkrijg zo een (bekende) vergelijking waar de energie E en m gerelateerd zijn. Hint: bedenk dat d dt ( p) =: F en dat v F = d dt (E). d. Vervang tenslotte met behulp van de uitkomst van onderdeel c m in de uitdrukking van a door E en verkrijg zo een vergelijking die een verband geeft tussen m 0, p en E. e. Bestudeer de speciale gevallen (1) p = 0 en (2) m 0 = 0. Slide: 30 13

14 3 Nav Sessie 5 en 6: Tensor formulering Elektromagnetisme Uitwerkingen staan in de slides 3.1 Ontdekken Elektromagnetische tensor De speciale relativiteitstheorie (SRT) heeft een aantal unificaties mogelijk gemaakt. Doordat de lichtsnelheid inherent voor iedere waarnemer dezelfde waarde heeft, kunnen we ruimte en tijd als het ware samenvoegen tot ruimtetijd. In de mechanica gebeurt iets dergelijks. Impuls, massa en energie blijken alle uitingsvormen van hetzelfde te zijn. Het wordt dus tijd om na te gaan of en zo ja hoe, dit ook geldt voor de bakermat van de SRT: het elektromagnetisme. Het valt te verwachten dat het elektrische veld enerzijds, en het magnetische veld anderzijds geünificeerd kan worden tot één object. Dat wordt de zogenaamde elektromagnetische tensor. Ondanks het feit dat we het tensorbegrip (in dit stadium) nog niet hebben gedefiniëerd, gaan we toch zelf ontdekken hoe dit zit. Dat doen we door nog eens hernieuwd naar de Lorentzkracht formule te kijken: F = q( E + v B) (17) en naar de definitie van de 4-snelheid: 1 1 v = γ v x v y = γu waar dus u = v x v y (18) v z v z Als we nu goed kijken naar de componenten van de vergelijking (17) dan zien we dat we (17) kunnen schrijven als F = qmu, waar u als in (18) en M een matrix met 3 rijen en 4 kolommen. a. Bepaal hoe deze matrix eruit ziet. Hint nodig? Zie paragraaf

15 Eigenlijk willen we aan deze matrix M aan de bovenkant een rij toevoegen zodanig dat we kunnen schrijven: f = qmv waarbij f = γ d m dt F x F y F z (19) Hierbij hebben we beide zijden van de vergelijking (17) intussen ook vermenigvuldigd met γ. Als we de matrix die we bij a. hebben verkregen goed bekijken, dan valt op dat het net lijkt of het de onderkant is van een 4 bij 4 scheefsymmetrische matrix. We kunnen in ieder geval een rij toevoegen (aan de bovenkant) zodat we inderdaad een scheefsymmetrische matrix krijgen. b. Hoe ziet deze rij er dan uit? En wat betekent dat voor de waarde van d dt m? Dit is dan wat vreemd want: c. Laat zien dat dit zou betekenen dat E = m (+een constante). Laten we dit herstellen: d. Hoe moet de bovenste rij eruit zien om het correcte resultaat E = mc 2 (+een constante) te verkrijgen? Wat u nu hebt verkregen is de zogenaamde Elektromagnetische tensor in de vorm F µ ν. Er is van deze tensor ook een vorm F µν, die wel degelijk scheefsymmetrisch is (F µν = F νµ ). Pas na de introductie van tensoren met contravariante en covariante indices, zullen deze laatste opmerkingen op hun plaats vallen. Slide: Elektromagnetische tensor transformeert als een tensor In opgave 2.4 hadden we gevonden hoe we de elekrische en magnetsche veld componenten (E x, E y, E z, B x,b y en B z ) moeten transformeren onder een Lorentz transformatie. In de vorige opgave 3.1 hebben we een matrixveld F µν gevonden dat we ervan verdenken een tensorveld te zijn. 15

16 a. Laat zien dat het matrixveld F µν inderdaad transformeert als een tensor (dus een tensorveld is). Hint: zie paragraaf 4.5 Slides: 12, 13 en Wetten van Maxwell in tensor vorm We hebben nu gezien dat de elektrische en magnetische veld componenten (E x, E y, E z, B x,b y en B z ) gezien kunnen worden als de componenten van een scheefsymmetrische tensor van rang 2: F µν = F νµ. a. Laat zien dat de Maxwell vergelijkingen geschreven kunnen worden als twee tensorvergelijkingen. Hint: zie paragraaf 4.6 Slides: 16 en 17 4 Hints U bekijkt dit hoofdstuk natuurlijk alleen maar als het echt niet anders kan! 4.1 Elektromagnetische golven Ad a. Stel u een rechthoekige kring voor die als het ware om de genoemde elektrische stroom in het y-z-vlak loopt en ga na wat de wet van Ampère (Magnetisch veld opgewekt door stroom) u vertelt. Ad b. Stel u een rechthoekige kring voor die als het ware om de Magnetisch veld lijnen die bij a. zijn ontstaan en ga na wat de wet van Wet van Faraday (veranderend Magnetisch veld veroorzaakt een Elektrisch veld) u vertelt. 4.2 Optellen snelheden Er zijn twee methoden: 16

17 1. De bewegings vergelijking van de persoon kan in K worden geschreven als x = w t. Vul nu de Lorentztransformatie formules voor x en t in. Werk de vergelijking die ontstaat om naar de vorm x = wt en lees de formule voor w hieruit af. Dit is precies de methode die Einstein zelf heeft gebruikt. Bij deze methode lijken we ons te beperken tot één lineaire beweging die nog door de oorsprong gaat ook. Maar een echte beperking is dit niet. 2. Bereken w doormiddel van de definitie w = dx en gebruik nu de inverse Lorentztransformatie formules voor x en t. Goochel dan met dt dx en dt als ware het zelfstandige entiteiten (zoals x inderdaad is). Deze methode is rekentechnisch nog handiger, maar wiskundig enigzins discutabel (omdat dx en dt nu eenmaal, formeel gesproken, geen zelfstandige objecten zijn). 4.3 Inverse Lorentztransformatie U mag zelf kiezen of u dit wilt doen via matrix vermenigvuldiging of rechtstreeks in de formules invullen (of beide). Bij dit laatste kunt u dus x en t uitdrukken in x en t (mbv de inverse formules) en dan (door de gewone te gebruiken) x en t vervangen door uitdrukkeningen in x en t. De berekening laat dan zien dat x = x en t = t. 4.4 Ontdekken Elektromagnetische tensor 1 E x + v y B z v z B y E y + v z B x v x B z = v x v E z + v x B y v y B x y v z Wat moet er op de puntjes staan? 4.5 Elektromagnetische tensor transformeert als een tensor De 16 getallen F µν (eigenlijk 6 getallen, wegens F µν = F νµ ) zijn pas een tensor, als zij transformeren als volgt: F µν = (L 1 ) α µ(l 1 ) β νf αβ (20) 17

18 Hierbij is L 1 de inverse Lorentz transformatie matrix: γ γ v 0 0 c 2 L 1 = γv γ (21) Bekijken we één voorbeeldje: F 03 = E y. We weten dat E y = γ(e y vb z ). We moeten nu laten zien dat dit ook klopt met het rechterlid van vergelijking (20). We kunnen dit het beste doen door het rechterlid van vergelijking (20) te zien als de vermenigvuldiging van drie 4-bij-4 matrixen: (L 1 ) α µ(l 1 ) β νf αβ, rechterlid (20) = (L 1 ) α µf αβ (L 1 ) β ν, volgorde veranderen = ((L 1 ) ) α µ F αβ (L 1 ) β ν, indices eerste factor omdraaien α Nu is de structuur van de indices als volgt: µ αβ β ν, waardoor de vermenigvuldiging en sommatie inderdaad overeenkomt met matrix vermenigvuldiging. We kunnen dus alle F µν uitrekenen door de matrixvermenigvuldiging (L 1 ) F (L 1 ) uit te voeren. Hierbij is: 0 E x E y E z F = E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 en L 1 als in (21). Men kan dit natuurlijk gewoon doen door de 4-bij-4 matrixen uit te schrijven en de vermenigvuldiging uit te voeren. Maar ook een aardig idee is om dit de doen door de deelnemende matrixen te zien als 2-bij-2 matrixen van 2-bij-2 matrixen. Zo is bijvoorbeeld: ( ) ( ) 1 v γ c ( ) L 1 = ( v ) ( ) M = 0 I en ( ) ( ) 0 E x E y E z 0 Ex Ey E z ( F = E x 0 B z B y E y B z 0 B x = E x 0 B z B y ( ) ( ) Ey B z 0 Bx = Ex J H E z B y B x 0 E z B y B x 0 ) H B x J 18

19 4.6 Wetten van Maxwell in tensor vorm Dit is natuurlijk een kwestie van goed naar de 8 Maxwell vergelijkingen kijken (in uitgeschreven componentvorm, dus en E e.d. niet gebruiken) en vergelijken met 0 E x E y E z F µν = E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 Voor de zogenaamde bronvergelijkingen, dat zijn de vergelijkingen waarin ρ en j voorkomen, kunt u het beste naar F µν kijken. 0 E x /c 2 E y /c 2 E z /c 2 F µν = E x /c 2 0 B z B y E y /c 2 B z 0 B x E z /c 2 B y B x 0 19