Oefeningen. Speciale Relativiteitstheorie
|
|
- Vincent Lemmens
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Oefeningen bij het college Speciale Relativiteitstheorie Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr. E. de Wolf NIKHEF /Onderzoeksinstituut HEF /UvA versie 1.3, januari 2003
2 2
3 Inhoudsopgave 1 Galileitransformatie Twee inertiaalsystemen Een paraboolbaan Tennissen Botsende deeltjes Massa-middelpunt Versnellende auto Michelson-Morley voor geluid Lorentztransformatie Inverse Lorentztransformatie Klokken Knal en Lichtflits Michelson-Morley experiment Boeven vangen Consequenties van de Lorentztransformatie Lat Klok Vier klokken Bewegingsrchting Muon Neutron Astronaut Bewegend voorwerp Raketten Lichtflitsen Trein Bewegende lichtklok Muonen in de atmosfeer Minkowski-diagrammen Drie gebeurtenissen Draaiing in het ct, x-diagram Lorentzcontractie en Tijddilatatie in Minkowski-diagram Wereldlijnen Opnieuw raketten i
4 5 Lorentztransformatie van impuls en energie Impuls-energie viervector Energie van een relativistisch deeltje Massa van een relativistisch deeltje Energie en impuls van een relativistisch deeltje Twee relativistische deeltjes Toepassingen Massieve deeltjes Massaloze deeltjes Inelastische boting Nog een inelastische botsing e e + botsing Doppler effect Bewegende lichtbronnen Roodverschuiving Stoplicht Transversaal Doppler effect Deeltjes productie Vierimpuls p p botsing Vervallende deeltjes pp botsing Eenheden ii
5 1 1 Galileitransformatie 1.1 Twee inertiaalsystemen Twee inertiaalstelsels S en S zijn verbonden door de Galileitransformatie : x = x + 3t y = y z = z t = t a. In welke richting beweegt S t.o.v. S? b. Schrijf de transformatie-formules op voor de snelheidscomponenten v x, v y, v z. In S duwt een kracht F een voorwerp met massa m met een versnelling a = 2m/s 2 voort, van snelheid v = 4m/s op t = 0 en x = 0 tot snelheid v = 10m/s op t = 3s en x = 21m. c. Welke waarden hebben a, F, x en v in S? d. Blijft de formule v = v(0) + at in S van kracht? Zowel in S als S kun je de arbeid W = F x en de groei van de kinetische energie E k = ( 1 2 mv2 ) uitrekenen. e. Is de arbeid die verricht wordt hetzelfde, gezien vanuit S en S? f. Dezelfde vraag voor E k. g. Geldt zowel in S als in S dat F x gelijk is aan ( 1 2 mv2 )? h. Omschrijf nu wat het relativiteitsprincipe wil zeggen voor Galileitransformaties. 1.2 Een paraboolbaan Gegeven een paraboolbaan (zie figuur 1) t.o.v. coördinatenstelsel S: y = x Dit is de baan die beschreven wordt door een puntmassa die met een horizontale beginsnelheid van een 20 meter hoge toren gegooid wordt. De versnelling van de zwaartekracht is g = 10 m/s 2. Geef de Galileitransformatie naar stelsel S zodat de puntmassa t.o.v. dit stelsel langs een rechte, verticale lijn beweegt.
6 2 1 GALILEITRANSFORMATIE y x 1.3 Tennissen Figuur 1: Paraboolbaan Een tennisbal krijgt van een bewegend tennisracket een extra snelheid mee (zie figuur??). v b, v e en v 0 zijn respectievelijk de begin- en eindsnelheid van de bal en de snelheid van het racket in het coördinatenstelsel S van een toeschouwer. S is het coördinatenstelsel dat met het racket mee beweegt. a. Wat zijn de begin- en eindsnelheid van de bal in het coördinatenstelsel S? Bij de elastische botsing van de bal met het racket is in S is de snelheid van de bal na de botsing even groot als de snelheid voor de botsing. b. Hoe groot is de eindsnelheid van de bal in S in termen van v b en v 0? c. Hoe verandert de kinetische energie E k = 1 2 mv2 van de bal in S? d. En in S? Terwijl de waarden van grootheden in S en S kunnen verschillen, moeten de formules tussen de grootheden wel invariant zijn.
7 1.4 Botsende deeltjes 3 e. Laat zien dat de formule E k = F x zowel in S als in S geldt (het racket werkt met F = m bal v t over een afstand x = v 0 t). 1.4 Botsende deeltjes Voor twee botsende deeltjes A en B bestaat de wet van behoud van impuls : m A v 1A + m B v 1B = m A v 2A + m B v 2B waar v 1A en v 1B de snelheden van A en B voor de botsing en v 2A en v 2B de snelheden na de botsing zijn. S en S zijn twee inertiaalsystemen met een onderlinge snelheid v. Bewijs dat wanneer de behoudswet geldt in S, deze ook geldt in S. 1.5 Massa-middelpunt Het massa-middelpunt van twee deeltjes is een denkbeeldig punt tussen de deeltjes in, waarvan de plaats, snelheid en versnelling het gemiddelde is van die van de twee deeltjes, als je tenminste de grootste massa het sterkst meetelt (gewogen gemiddelde). Als de massa s van de deeltjes m 1 en m 2 zijn is hun totale massa M = m 1 + m 2 en geldt voor hun massa-middelpunt: x M = m 1 M x 1 + m 2 M x 2 v M = m 1 M v 1 + m 2 M v 2 a M = m 1 m a 1 + m 2 M a 2 Bij twee botsende deeltjes, waarop verder geen krachten werken, beweegt het massa-middelpunt altijd eenparig. Je kunt dan altijd een Galileitransformatie maken van het L-systeem (het laboratorium-systeem ) waarin de botsing plaats heeft, naar het M-systeem (het massamiddelpunt-system ). Deeltje A heeft een massa m A = 4 kg en botst met een snelheid v A = 10 m/s op een stilstaand deeltje B met massa m B = 1 kg. a. Laat zien dat de totale impuls in het M-systeem vóór de botsing nul is: p A,M + p B,M = 0. In het M-systeem zijn (en blijven) de twee impulsen dus even groot en tegengesteld aan elkaar! Bij een volkomen elastische botsing gaat er geen kinetische energie verloren. Het is dan gemakkelijk te bewijzen dat in het M-systeem de impulsen van A en B na de botsing niet alleen even groot en tegengesteld zijn, maar ook dezelfde grootte hebben als vóór de botsing.
8 4 1 GALILEITRANSFORMATIE b. Als deeltje A bij een volkomen elastische botsing in het M-systeem 90 o zou afbuigen, wat zijn dan de snelheden na de botsing in het M- systeem? c. En in het L-systeem? 1.6 Versnellende auto Als je vanuit een inertiaalsysteem een Galileitransformatie uitvoert, kom je in een ander inertiaalsysteem. a. Hoe weet je zeker dat je in een inertiaalsysteem bent? Het interieur van een auto (stelsel S ) die versneld door een straat (stelsel S) rijdt is géén inertiaalsysteem en de transformatie van S naar S is géén Galileitransformatie: x = x ± 1 2 at2 (1) y = y (2) z = z (3) b. Moet je in formule 1 het plus- of het min-teken nemen? c. Een bal die je binnen in de auto op t = 0 loslaat, heeft dan v = 0 en v = 0. In welk stelsel, S of S geldt tijdens de val van de bal v x = 0? d. Leidt nu uit de transformatieformules af hoe de snelheid in S zich ontwikkelt. e. In S is er een versnelling a x, en voel je dus een kracht F x = ma x. Hoe groot is de kracht en in welke richting werkt de kracht? 1.7 Michelson-Morley voor geluid Vóór de komst van de speciale relativiteitstheorie veronderstelde men dat de lichtsnelheid een vaste waarde had in één bepaald inertiaalsysteem (de ether ) en dat de lichtsnelheid in andere systemen via een Galileitransformatie kon worden afgeleid. Deze veronderstelling bleek niet houdbaar (zie o.a. het Michelson-Morley experiment), maar hij geldt wel voor geluid. Vandaar deze opgave, als contrast met de gang van zaken voor licht.
9 1.7 Michelson-Morley voor geluid 5 y muur y c+v g muur wind v wind v cg y l c v g c g c c-v g y g v O x O x l Figuur 2: Michelson en Morley voor geluid Geluid heeft een vaste snelheid t.o.v. zijn medium (de lucht, stelsel S), nl. c g = 1/ ρκ waar ρ de dichtheid en κ de compressibiliteit van de lucht zijn. Als in je eigen stelsel (S ) de wind je tegemoet blaast met snelheid v (of als je met snelheid v naar voren beweegt), is de geluidssnelheid in S volgens de Galileitransformatie gelijk aan c g v. We kunnen deze beweging t.o.v. het medium aantonen door de reistijden van het geluid te meten langs gelijke trajecten in onderling loodrechte richtingen (de x - en y -as van S ). a. Bereken na hoeveel tijd je de echo uit de x-richting en uit de y-richting hoort als het windstil is. Is er verschil? Nu waait er wel wind, van rechts, zoals aangegeven in figuur 2, Het geluid moet dan in S schuin naar rechts lopen, om in S langs de y -as heen er weer te gaan (zie figuur 2 rechts). b. Hoeveel tijd kost het nu voor je de echo uit de x-richting hoort? c. En uit de y-richting? d. Hoe zou je dus, als je de wind niet zou kunnen voelen of zien, toch kunnen constateren dat hij waait? (Neem bijv. l = 340m; v = 20 m/s en c g = 340 m)
10 6 2 LORENTZTRANSFORMATIE 2 Lorentztransformatie 2.1 Inverse Lorentztransformatie y y v S S O O x x Figuur 3: Twee inertiaalstelsels Twee inertiaalstelsels S en S zijn verbonden door de Lorentz-transformatie (figuur 3): en x = γ(x βct) y = y z = z ct = γ(ct βx) x = γ(x + βct ) y = y z = z ct = γ(ct + βx ) a. Laat zien dat de tweede set vergelijkingen (met +β) uit de eerste set kan worden afgeleid. b. De oorsprong van S heeft x = 0. Laat met de Lorentztransformatie zien dat de oorsprong van S met snelheid v door S beweegt. c. Vanuit de oorsprong van S schijnt een lichtstraal (met snelheid c) in de positieve x -richting, volgens x = ct. Gebruik de Lorentztransformatie om aan te tonen dat hij ook een snelheid c in S heeft (dus beweegt volgens x = ct).
11 2.2 Klokken 7 d. Nu schijnt een lichtstraal langs de y-as van S (loopt volgens y = ct ). Bepaal met de Lorentztransformatie de totale snelheid v 2 x + v 2 y in S. 2.2 Klokken S en S als in figuur 4. Twee gebeurtenissen A en B die in S op dezelfde tijd (t A = t B ) maar op verschillende plaats (x A x B ) plaatsvinden, zijn in S niet gelijktijdig (t A t B ). A S v B x S A B x Figuur 4: Klokken a. Laat zien dat t B t A = γβ c (x B x A ). b. Ga na dat figuur 4, waarin overal in S de klokken op t = 0 staan, de klokken in S de situatie goed weer geven. M.a.w. is het juist dat in S de klok bij A vóór loopt in vergelijking met de klok in S en in B achter. c. Geef de formule voor het tijdsverschil t B t A voor gebeurtenissen die zich in S gelijktijdig (t A = t B ) afspelen op x A en x B. d. Teken nu op de manier van vraag b) de situatie voor de klokken op het ogenblik t = 0 (de klokken in S staan nu overal op nul). Welke S-klokken lopen voor, welke achter? e. Is er een tegenspraak tussen de figuren van vraag b) en c), dus zijn er b.v. passanten die van elkaar zeggen dat de klok van de ander voor (of achter) loopt? f. Hoe kan het dat de klokken van het andere stelsel die bij hun nadering nog voorliepen, achterlopen als ze gepasseerd zijn?
12 8 2 LORENTZTRANSFORMATIE 2.3 Knal en Lichtflits Op t = 0 klinkt een knal in S(figuur 5). A (S) B Figuur 5: Knal of lichtflits a. Bereikt het geluid volgens een stilstaande waarnemer (S) A eerder of later dan B? b. Teken nu de situatie gezien door een waarnemer die met snelheid v naar rechts beweegt (S ). Waar komt het geluid volgens S eerder, in A of in B? In plaats van een knal is er een lichtflits in S op t = 0. c. Waar is volgens S het licht eerder, in A of in B? d. Teken de situatie volgens S. Waar komt het licht eerder aan, in A of in B? 2.4 Michelson-Morley experiment (Analyse van het Michelson-Morley-experiment met licht) De aarde (S ) beweegt met snelheid v door de ether (S). In S worden lichtstralen vanuit de oorsprong O door spiegels A en B op afstand l op de x - en y -assen teruggekaatst. Omdat we voorlopig alleen weten dat de lichtsnelheid in de ether (S) gelijk is aan c, berekenen we de gebeurtenis in S. Daarna transformeren we met de Lorentztransformatie terug naar S en vragen ons af of er verschil in reistijd zit (zoals voor geluid in de opgave Michelson-Morley voor geluid ).
13 2.4 Michelson-Morley experiment 9 y l heen O terug Spiegel B terug heen (aarde) Spiegel A x y Spiegel B v O heen heen terug (ether) Spiegel A v terug O x Figuur 6: Michelson-Morley experiment De beweging O AO langs de x -as ziet er in S uit als links in figuur 6: de heenreis duurt t h, met een snelheid c over een afstand γ 1 l+vt h (want door de Lorentzcontractie is de lengte γ 1 l en is de spiegel A naar rechts verschoven met snelheid v). De terugreis duurt t t, met een snelheid c, over een afstand γ 1 l vt t (want de oorsprong O is dichterbij gekomen met snelheid v). a. Laat zien dat de beweging O AO volgens S een tijd geduurd heeft en dat O dan zit op t x t h + t t = 2γl c x = 2γβl De beweging O BO langs de y -as ziet er in S uit als rechts in figuur 6. Heen- en terugreis duren even lang en overbruggen met een snelheid c een afstand l 2 + (vt) 2 (want spiegel B is naar rechts verschoven met snelheid v). b. Waarom heeft de lat nu geen Lorentz-contractie? c. Laat zien dat de beweging O BO volgens S een tijd geduurd heeft. t y t h + t t = 2γl c De lichtstralen keren dus in S tegelijkertijd terug. De vraag was echter of je op aarde, in S, verschil in terugkeertijd ziet. d. Zijn de twee reistijden na Lorentztransformatie van S naar S ook hetzelfde? e. Wat is de conclusie?
14 10 2 LORENTZTRANSFORMATIE 2.5 Boeven vangen In de situatie van de opgave Twee inertiaalsystemen beweegt een voorwerp met snelheid V langs de x-as van S, volgens x = V t. S beweegt zelf met snelheid v langs de x-as van S, zodat je niet-relativistisch zou verwachten dat het voorwerp met een snelheid V + v door S beweegt. 1/3 c 1/2 c 3/4 c Figuur 7: Boeven vangen a. Vul de bewegingsvergelijking x = V t in in de formules van de Lorentztransformatie en leidt hieruit een verband tussen x en t af. b. Leidt uit het resultaat van vraag a) de relativistische optelformule voor snelheden af : V = V + v 1 + v v/c 2. c. Wat geeft de optelformule als je V = c neemt? Dus: als de lamp een snelheid v heeft, komt het licht er dan met snelheid c + v uit? Tenslotte de volgende flauwe grap: Boeven proberen met een snelheid 3 c te ontkomen aan een achtervolgende 4 politieauto met snelheid 1 c (figuur 7). De achtervolgers schieten kogels af 3 met snelheid 1c. 2 d. Volgens de gewone optelling is > 3 4. Zullen de kogels de boeven dus inhalen?
15 3 Consequenties van de Lorentztransformatie 3.1 Lat S beweegt met snelheid v langs de x-as van S, dus: x = γ(x + βct ) 11 ct = γ(ct + βx ). In S ligt een lat, tussen x = 0 (begin) en x = l (eind). De lat beweegt dus ook met snelheid v door S. a. Je bepaalt met de Lorentztransformatie de x-waarden van begin en eind van de lat als de (met de lat meebewegende) S -klokken op nul staan, dus op t = 0. Welke lengte vind je dan? b. Wat zijn de x-waarden van begin en eind als de passerende S-klokken op nul staan, dus op t = 0? c. Hoe groot is de lengte van de lat in S ën hoe groot is de lengte van de lat in S? 3.2 Klok Nu een klok die op een vaste plaats in S (op x = 0) door S beweegt. a. Als de klok zelf een tijdsverloop van 0 tot T aangeeft, op welke plaats bevindt hij zich dan in S en welke tijd wijst een S-klok daar aan? b. Toen de klok op nul stond passeerde hij juist een S-klok (in x = 0) die ook op nul stond. Wat wijst die S-klok volgens waarnemers in S aan, als hun S -klokken op T staan? c. Uit welke van de twee uitkomsten, a) of b), volgt de tijddilatatie van de bewegende S -klok? d. Volgens de waarnemers in S was het de S-klok in x = 0 die bewoog. Vertoont die volgens hen ook tijddilatatie?
16 12 3 CONSEQUENTIES VAN DE LORENTZTRANSFORMATIE S 0 v 1 S 1 v γ 2 S v 1 B x D B x E B x S S S 0 γ 1 γ γ γ A x A C x A C x a) b) Waarnemer in S. c)waarnemer in S. 3.3 Vier klokken Figuur 8: Klokken Stelsel S beweegt t.o.v. stelsel S met snelheid v in de richting van de positieve x-as. Klok A staat in de oorsprong van S en klok B in de oorsprong van S. Als klok B klok A passeert staan ze beiden op 0: ct = o en ct = 0 (zie figuur 8a). Even later, als klok B op ct = 1 staat, passeert hij klok C in S, die dan op ct = γ staat (zie fig. 8b). Volgens een waarnemer in S staat klok A dan op ct = γ 1 en passeert hij klok D in S, die dan op ct = 1 staat (fig. 8b). Volgens een waarnemer in S staat klok A dan op ct = γ en passeert klok A klok E in S die dan ct = γ 2 aanwijst (zie fig. 8c). a. Schrijf de Lorentztransformatie tussen S en S op. b. Controleer met de Lorentztransformatie de opgegeven stand van de klokken. c. Waar zie je tijddilatatie optreden? 3.4 Bewegingsrchting a. Maakt het voor de Lorentzcontractie van een bewegende lat uit of hij naar de waarnemer toe beweegt, of er vanaf, of zijwaarts? b. Zelfde vraag voor de tijddilatatie van een bewegende klok. 3.5 Muon Een muon (µ-deeltje) is een instabiel elementair deeltje, dat in rust een gemiddelde levensduur τ 0 = 2, s heeft. Veronderstel dat een bepaald muon in
17 3.6 Neutron 13 een laboratorium (stelsel S) een buis met een lengte l = 600 m kan doorlopen voor het vervalt. a. Druk de levensduur τ van een muon in het laboratorium uit in zijn snelheid v. b. Gebruik het gegeven dat het muon binnen τ s de buis van 600 m kan doorlopen om v te bereken. c. Hoe lang was volgens het muon zelf de buis die aan hem voorbij schoot? d. Leeft het muon volgens zichzelf lang genoeg om de Lorentz-gecontraheerde buis te passeren? 3.6 Neutron De gemiddelde levensduur van een neutron is 15 minuten (daarna vervalt hij in een proton, electron en antineutrino). Toch zijn er neutronen die vanuit de zon de aarde bereiken (afstand 1, m). Met welke snelheid moeten die minstens door de zon zijn uitgestoten? 3.7 Astronaut Een astronaut wil binnen één jaar (volgens zijn eigen tijdrekening) een ster die op een afstand van 5 lichtjaren staat bereiken. Neem als lengte-eenheid lichtjaar en als tijdseenheid jaar. a. Welke waarde heeft de lichtsnelheid c in deze eenheden? b. Welke snelheid moet zijn ruimteschip dan hebben? c. Hoelang duurt de reis volgens de aardse tijdrekening? 3.8 Bewegend voorwerp a. Hoe verandert door de Lorentz-contractie de vorm en de inhoud van een bewegend volume? b. Hoe verandert de dichtheid van een bewegend voorwerp?
18 14 3 CONSEQUENTIES VAN DE LORENTZTRANSFORMATIE P Q Aarde 3.9 Raketten S Figuur 9: Raketten S is het inertiaalsysteem van de aarde. Raket P passeert de aarde op t = 0 met snelheid 1 2 c en beweegt zich naar raket Q die de aarde met 1 2 c nadert (zie figuur 9. Volgens een waarnemer op aarde bevindt Q zich op t = 0 op een afstand x = 4 (lichtjaar), zodat P en Q elkaar in x = 2 (lichtjaar) zullen ontmoeten, na t = 4 jaar (dus ct = 4 lichtjaar). a. Noteer de x- en ct-coördinaten van de start van P, de start van Q en hun ontmoeting. We bekijken de gebeurtenis nu vanuit raketje P (stelsel S ). b. Schrijf de Lorentztransformatie van S naar S op (let op + en - tekens!) c. Vertaal de start van P en Q en hun ontmoeting naar S -coördinaten en noteer hiervan de x - en ct -coördinaten. d. Welke snelheid v = x / t had raket Q, gezien vanuit P? Controleer dat met de snelheids-optelformule Lichtflitsen In een inertiaalsysteem S worden in A en B 5µ s na elkaar lichtflitsen uitgezonden. De afstand AB is 5 km. Als je in S met een bepaalde snelheid v parallel aan de lijn AB beweegt, zie je de flitsen gelijktijdig. Hoe groot moet v zijn? 3.11 Trein Een trein met een lengte L 0 (als hij stilstaat) davert langs een station waarvan het perron een lengte L < L 0 heeft.
19 3.12 Bewegende lichtklok 15 a. Hoe groot moet zijn snelheid zijn, zodat volgens iemand op het perron de staart van de trein aan de achterkant van het perron is op hetzelfde moment als de kop van de trein aan de voorkant is? Twee mensen aan de uiteinden van het perron slaan gelijktijdig (volgens hun eigen waarneming) een deuk in de trein. b. Op welke afstand liggen die deuken uit elkaar volgens de mensen op het perron? c. En volgens de mensen in de rijdende trein? d. Waar zitten de deuken ald de trein gestopt is? 3.12 Bewegende lichtklok Ga na dat de lichtklok in figuur 4.2 op blz. 18 van de syllabus tikt als in formule 4.1 op blz. 17 van de syllabus Muonen in de atmosfeer In sectie 4.4 van de syllabus wordt beschreven hoe muonen die in de atmosfeer van de aarde worden geproduceerd het aardoppervlak kunnen bereiken. Beschouw dit probleem nu vanuit het rustsysteem van het muon.
20 16 4 MINKOWSKI-DIAGRAMMEN 4 Minkowski-diagrammen 4.1 Drie gebeurtenissen Gebeurtenissen worden vanuit drie standpunten bekeken die een onderlinge beweging hebben: S 1, S 2 en S 3. ct 1 ct 3 ct 1 ct 2 B c/2 c/2 O A x 1 S 3 S 1 x 3 S 2 x1 x 2 Figuur 10: Drie gebeurtenissen In het Minkowski-diagram van S 1 zijn drie gebeurtenissen O, A en B aangegeven. a. Geef in het rechter diagram aan wat de x 2 -, ct 2 -, x 3 - en ct 3 -assen zijn. b. Volgens S 1 is gebeurtenis A gelijktijdig met gebeurtenis O. Hoe zit dat in S 2 en S 3? c. In S 1 stelt de overgang van O naar B een toestand van rust voor. Hoe zit dat in S 2 en in S 3? 4.2 Draaiing in het ct, x-diagram We kijken naar twee stelsels S en S die verbonden zijn door de Lorentztransformatie (zie figuur 11): x = γ(x + βct ) ct = γ(ct + βx ) De Lorentztransformatie veroorzaakt een soort draaiing in het ct,x-diagram, die lijkt op een gewone ruimtelijke rotatie in het x, y-vlak, met het verschil dat de ct- en x-assen beide naar binnen draaien, over een hoek α met tgα = β = v/c : a. Laat zien dat de x -as (de lijn met ct = 0) in het ct,x-diagram een lijn met richtingscoëfficiënt β is (dus van de vorm ct = βx is).
21 4.3 Lorentzcontractie en Tijddilatatie in Minkowski-diagram 17 y y ct ct x x x x ruimtelijke rotatie Lorentz-transformatie Figuur 11: Draaiing van assen b. Laat ook zien dat de ct -as (dus de lijn met x = 0) een richtingscoëfficiënt β heeft met de ct-as (dus van de vorm x = βct is). Terwijl bij een rotatie in het x, y-vlak de eenheden op de gedraaide assen liggen op de eenheidscirkel x 2 + y 2 = 1, zo liggen de eenheden van de gekantelde ct,x -assen op de eenheids hyperbolen x 2 (ct) 2 = ±1 (figuur 12): 1 1 y y x x ct ct x x eenheidscirkel eenheidshyperbolen Figuur 12: Eenheden c. Reken voor de eenheden op de x -as (dus ct = 0 en x = ±1) na dat de bijbehorende x- en ct-getallen voldoen aan x 2 (ct) 2 = +1. d. Hetzelfde voor de eenheden op de ct -as: x 2 (ct) 2 = Lorentzcontractie en Tijddilatatie in Minkowskidiagram Lorentzcontractie met een Minkowski-diagram: a. Toon met de twee diagrammen van figuur 13 aan dat een lat OA (met lengte 2) in S in S verkort is, en andersom, dat een lat OB in S in S verkort is. Tijddilatatie in een Minkowski-diagram:
22 18 4 MINKOWSKI-DIAGRAMMEN ct ct ct ct 1 A x 1 B x O 1 A x O 1 B x Figuur 13: Lorentzcontractie ct ct C C ct D ct D 1 1 x 1 1 B x O x O B x Figuur 14: Tijddilatatie b. Laat in de diagrammen van figuur 14 zien dat een klok, die in S van O naar C loopt, in S langzamer is, en andersom, dat een klok die in S van O naar D loopt, in S langzamer is. 4.4 Wereldlijnen In het coördinatenstelsel S staan A en B stil op de plaatsen x A x B = 3. Op t = 0 zendt A een lichtgolf uit die B bereikt op t = 3. c = 0 en a. Teken in het Minkowski-diagram in figuur 15 de wereldlijnen van A en B (dus de lijnen x = 0 en x = 3). Teken ook het punt C waarin het licht vanuit A B bereikt. Een ander stelsel S beweegt met 1 c t.o.v. S in de positieve x-richting. De 2 x,ct -assen zijn al in het diagram aangegeven. b. Controleer dat de snelheid van S t.o.v. S gelijk is aan 1 c en geef het 2 punt B aan waar B zich volgens S bevindt op het ogenblik dat het licht uit A vertrekt. c. Bereken de ct,x coördinaten voor de punten B en C (gebruik daarbij de Lorentztransformatie)
23 4.5 Opnieuw raketten 19 ct ct x x Figuur 15: Teken wereldlijnen d. Bereken uit de x - en t -verschillen tussen B en C hoe snel B beweegt in S ; bereken uit de x - en ct -verschillen tussen de oorsprong O en C hoe groot de lichtsnelheid in S is. Waren deze antwoorden te verwachten? 4.5 Opnieuw raketten Nog een keer de situatie van de opgave Raketten. ct ct x x Figuur 16: Teken raketbewegingen
24 20 4 MINKOWSKI-DIAGRAMMEN a. Teken de beweging van P en Q in het Minkowski-diagram in figuur 16. Teken de beweging van P en Q in het Minkowski-diagram in figuur 16. b. Teken de x,ct assen die gelden voor een waarnemer (S ) die met raket P mee beweegt. c. Hoe groot is volgens S op t = 0 de afstand x tot raket Q? (uit het diagram aflezen) d. Na hoeveel tijd ontmoeten P en Q elkaar in S? (uit het diagram aflezen). e. Bereken de snelheid van Q in S uit de x -verplaatsing van Q tussen ct = 0 en zijn ontmoeting met P. Vergelijk het antwoord met vraag d) van de opgave Raketten.
25 4.5 Opnieuw raketten 21 Gebruik voor het huiswerk onderstaande figuur. ct ct x x Figuur 17: Teken raketbewegingen
26 22 5 LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE 5 Lorentztransformatie van impuls en energie 5.1 Impuls-energie viervector De componenten van de impulsvector en de energie vormen een vier-vector (p x, p y, p z, E ) op dezelfde manier als de tijd-ruimte-coördinaten (x, y, z, ct). c Bij overgang van stelsel S naar S transformeren ze volgens dezelfde Lorentztransformatie als voor (x, y, z, ct) geldt. a. Vertaal de transformatie x = γ(x + βct ), ct = γ(ct + βx ) naar p x en E/c. Als een deeltje stilligt in S beweegt het met snelheid v in S. b. Laat zien dat je met de Lorentztransformatie voor de impuls en energie van het bewegende deeltje in S de volgende formules krijgt: p x = γmv E = γmc 2 Bij de Lorentztransformatie blijft de combinatie (ct) 2 x 2 hetzelfde ( Lorentzinvariant ). c. Controleer dat voor (ct) 2 x 2 en (ct ) 2 x 2. d. Welke Lorentzinvariante combinatie van E en p x neemt de plaats in van (ct) 2 x 2? e. Welke waarde neemt deze combinatie aan in het rustframe S? 5.2 Energie van een relativistisch deeltje Voor een relativistisch deeltje is het verband tussen energie en impuls: E 2 c 2 p 2 = m 2 c 4 dus E = m 2 c 4 + c 2 p 2 a. Teken de grafiek van de energie van het bewegende deeltje als functie van zijn snelheid v. Geef hierin de bijdrage van de kinetische energie E k = E E 0 aan (E 0 is de rustenergie van het deeltje). b. Hoe snel moet een deeltje bewegen om zijn kinetische energie even groot te laten zijn als zijn rustenergie?
27 5.3 Massa van een relativistisch deeltje 23 c. Tot welke uitdrukking reduceert de kinetische energie voor niet-relativistische deeltjes (pc E 0 )? d. Dezelfde vraag voor relativistische deeltjes (pc E 0 ). 5.3 Massa van een relativistisch deeltje Een deeltje met massa m beweegt met snelheid v = 0, 40c. a. Als je de snelheid van het deeltje verdubbelt, verdubbelt dan ook de impuls van het deeltje zoals je niet-relativistisch zou verwachten? Controleer met een berekening. b. Als je de impuls van het deeltje verdubbelt, wordt dan de kinetische energie van het deeltje vier keer zo groot (zoals in de niet-relativistische mechanica)? 5.4 Energie en impuls van een relativistisch deeltje Als je aan een deeltje energie toevoegt, nemen de snelheid en impuls van het deeltje toe. a. Tot welke waarde nadert de snelheid van het deeltje uiteindelijk? b. En de impuls? c. Teken de grafiek van de energie (verticaal) tegen de impuls (neem cp, horizontaal). Geef daarin ook de grafiek van de niet-relativistische energie E = E 0 + p2 2m. d. Tot welke rechte lijn nadert de relativistische grafiek uiteindelijk? 5.5 Twee relativistische deeltjes In stelsel S bewegen twee identieke deeltjes A en B langs de x-as naar elkaar toe, elk met een snelheid van 0, 8c. Dus v A = +0, 8c naar rechts en v B = 0, 8c naar links. De massa van de deeltjes is m. a. Druk in S de impuls en de energie van de deeltjes uit in m en c. b. Hoe groot is de totale kinetische energie uitgedrukt in m en c? We bekijken de situatie nu vanuit stelsel S, dat met A meebeweegt. In S staat A dus stil en komt B met een extra grote (negatieve) snelheid op A af.
28 24 5 LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE c. Schrijf de Lorentztransformaties voor energie en impuls voor de overgang van S naar S op. d. Vul de getalswaarden voor γ en β in in de Lorentztransformaties en bepaal de impuls en energie in S voor deeltje A. Was de uitkomst te verwachten? e. Bepaal met de Lorentztransformaties ook de impuls en energie van deeltje B in S. f. Hoe groot is volgens de öptelformule voor snelheden de snelheid van B in S? g. Geven de formules p = γmv en E = γmc 2 voor het bewegende deeltje B in S dezelfde antwoorden als in vraag e).
29 25 6 Toepassingen 6.1 Massieve deeltjes Niet-relativistisch heeft een vrij deeltje met massa m en snelheid v een energie E = 1 2 mv2 = p2 2m. a. Wat is de dp? Een relativistisch deeltje met massa m en snelheid v heeft een energie E = m2 c 4 + c 2 p 2. b. Wat is nu de dp? c. Laat zien waarom het deeltje niet sneller kan bewegen dan de lichtsnelheid. 6.2 Massaloze deeltjes Fotonen zijn massaloze deeltjes. a. Waarom is hun snelheid gelijk aan c? b. Wat is de formule voor de energie van een foton? De energie van een foton hangt af van de frequentie: E foton = hν (ν is de frequentie en h is de constante van Planck). c. Hoe hangt de impuls van een foton af van zijn golflengte? Gebruik c = λν, waarbij λ de golflengte is. d. Als je op het strand in de zon ligt, wordt je bestraald met een sterkte van ongeveer 100 W. Met welke impuls botst deze straling elke seconde tegen je aan (de stralingsdruk )? 6.3 Inelastische boting Twee identieke deeltjes met massa m worden op elkaar afgeschoten. De één heeft een snelheid 3c naar rechts, de ander een snelheid 3 c naar links. Na de 5 5 botsing zijn ze versmolten tot één deeltje met massa M. a. Waarom staat het deeltje met massa M na de botsing stil? b. Wat verwacht je voor de massa M: 1. M = 2m
30 26 6 TOEPASSINGEN 2. M > 2m 3. M < 2m Licht je keuze toe. c. Hoe groot was de totale energie van de twee deeltjes voor de botsing? d. Deze energie gaat over in de rustenergie van het gecombineerde deeltje, hoe groot is M? 6.4 Nog een inelastische botsing Een deeltje met massa m botst met een energie E = 2mc 2 op eenzelfde deeltje in rust. a. Wat is de snelheid van ieder van de deeltjes? b. Wat is de impuls van ieder van de deeltjes? Na de botsing vormen de twee deeltjes een deeltje met massa M en snelheid V. De energie en impuls van deeltje M zijn respectievelijk E = γmc 2 en p = MγV. c. Wat is de energie van deeltje M uitgedrukt in de massa van de twee botsende deeltjes? d. En de impuls? e. Bereken de snelheid V van deeltje M. f. Bereken massa M. g. Niet-relativistisch zou je verwachten dat M = 2m en V = 1 v. Was dat 2 relativistisch ook zo? 6.5 e e + botsing Een elektron botst in het laboratoriumsysteem met snelheid v = 0, 8c op een positron in rust. a. Bereken hun totale energie in het laboratoriumsysteen (E tot = E e + E e +) uitgedrukt in de elektron massa m e. b. Dezelfde vraag in het zwaartepuntssysteem (E tot = E e + E e + ).
31 6.5 e e + botsing 27 Bij de botsing vernietigen zij elkaar en ontstaan er, gezien vanuit het zwaartepuntsysteem, twee gelijke fotonen die tegengesteld aan elkaar wegschieten, elk met een energie E foton = hν. c. Waarom moeten het twee fotonen zijn en waarom hebben ze dezelfde frequentie? Als de beweging van de fotonen in het zwaartepuntsysteem loodrecht op de richting van het elektron is, kun je met een Lorentztransformatie de energie van de fotonen in het laboratoriumsysteem bepalen. d. Wat is de frequentie van de fotonen in het laboratoriumsysteem?
32 28 7 DOPPLER EFFECT 7 Doppler effect 7.1 Bewegende lichtbronnen y y y y v B W x, x W B v x, x a) bron B nadert waarnemer W b) bron B verwijdert zich van waarnemer W Figuur 18: Bewegende bronnen We plaatsen een lichtbron in stelsel S en een waarnemer in stelsel S met een onderlinge snelheid v tussen S en S. De Lorentztransformatie geeft dan aan hoe de energie/frequentie, die de waarnemer aan de bewegende lichtbron toekent, afwijkt van de energie/frequentie voor een stilstaande bron. Eerst: de bron B nadert de waarnemer W (links in fig 18a) a. Wat is de Lorentztransformatie voor impuls en energie voor een overgang van S naar S? b. Leidt hieruit de frequentie voor een naderende lichtbron af. c. Ga na of het Doppler-effect hier tot een hogere of lagere frequentie heeft geleid. Nu voor een zich verwijderende bron (rechts in figuur 18b) d. Bepaal E en leidt de frequentie voor de zich verwijderende bron af. e. Is ν groter of kleiner dan ν? f. In welke van de twee gevallen is er sprake van een roodverschuiving? 7.2 Roodverschuiving In het uitdijend heelal verwijderen veraf gelegen sterrenstelsels zich van ons af met een snelheid v die toeneemt met hun afstand d : v Hd (H is de Hubble constante). Deze verwijdering valt af te lezen uit de roodverschuiving van bekende spectraallijnen, die nu een grotere golflengte λ dan de gebruikelijke λ hebben. De roodverschuiving wordt beschreven door de parameter z = λ λ λ.
33 7.3 Stoplicht 29 a. Laat zien dat z = 1+β 1 β 1. b. Schets een grafiek van z tegen β. Voor melkwegstelsels op een afstand d = 10 8 lichtjaar is z Voor quasars op een afstand d = lichtjaar is z 1. c. Maak met deze gegevens een schatting van de Hubble-constante. d. Laat zien dat 1 H bereken deze. van de orde van de ouderdom van het heelal is en 7.3 Stoplicht Hoe hard moet je rijden om een stoplicht, dat op rood staat, als een groen stoplicht te zien? De golflengte van rood licht is 700 nm, die van groen licht 500 nm. 7.4 Transversaal Doppler effect In stelsel S staat een waarnemer W ergens op de positieve y-as en beweegt een lichtbron B zich met snelheid v naar rechts langs de x-as. We kijken naar de lichtstraal die B in de richting van W uitzendt als B op t = 0 de oorsprong van S passeert (dus een foton dat zich langs de positieve y-as beweegt, met impuls p y = E = hν ). c c a. Geef de Lorentztransformatie voor de energie-impuls viervector tussen stelsel S en het ruststelsel S van de lichtbron (de stelsels vallen samen op t = t = 0). b. Teken de lichtstraal van B naar W in S. Loopt die schuin naar linksboven of naar rechtsboven? c. In S geldt voor het foton: p x = 0. Maak hiervan gebruik om een relatie tussen E en E voor het foton af te leiden en laat zien dat hieruit voor de frequentie van het licht volgt: ν = 1 β 2 ν d. In S wijst de impulsvector van het foton schuin naar linksboven, met componenten p x en p y. Laat met de stelling van Pythagoras en de Lorentztransformatie zien dat ook in S geldt: p = E. c e. Is er in dit geval sprake van een Dopplereffect (hoewel de lichtbron geen snelheidscomponent naar de waarnemer heeft)?
34 30 7 DOPPLER EFFECT f. Is dit transversale Doppler effect groter of kleiner dan het Doppler effect van een naderende of zich verwijderende lichtbron? g. De niet-relativistische Doppler-formule voor een naderende lichtbron is: ν = c ν = 1 ν (en c ν 1 β ν = ν voor een transversaal bewegende lichtbron). Laat zien dat: relativistisch Doppler effect = niet-relativistisch Dopper effect + tijddilatatie.
35 31 8 Deeltjes productie 8.1 Vierimpuls E, p E*, p* E*, -p* m m m m a) laboratoriumsysteem b) zwaartepuntsysteem Figuur 19: Een deeltje met massa m botst op eenzelfde deeltje in rust (fig. 19a). a. Wat is de vierimpuls van een ieder van de deeltjes? b. Wat is de norm van ieder van deze vierimpulsen? c. Wat is de totale vierimpuls in het laboratoriumsysteem? Beschouw nu de botsing in het zwaartepuntsysteem (fig. 19b). d. Wat is de totale vierimpuls in het zwaartepunt systeem? e. Wat is de norm van deze vierimpuls? f. Vindt de uitdrukking voor E in termen van E en m. 8.2 p p botsing In het zwaartepuntsysteem botsten een proton (symbool p) en een antiproton (symbool p) ieder met een snelheid v = 0, 8c op elkaar. De massa van het antiproton is gelijk aan de massa van het proton. a. Wat is de totale impuls p in het zwaartepuntsysteen? b. Wat is de totale energie E in het zwaartepuntsysteem? c. Wat is de totale vierimpuls P in het zwaartepuntsysteem? d. Bij de botsing vernietigen de twee deeltjes elkaar. Hoeveel energie is er beschikbaar voor de creatie van nieuwe deeltjes?
36 32 8 DEELTJES PRODUCTIE 8.3 Vervallende deeltjes Een deeltje in rust met massa M vervalt in twee identieke deeltjes, elk met massa m. a. Waarom zullen de twee deeltjes die ontstaan een even grote snelheid hebben? b. Geef een uitdrukking voor deze snelheid v in termen van M en m. Een pion (massa m π ) in rust vervalt in een muon (massa m µ ) en een neutrino (massa m ν = 0). c. Wat is de snelheid van het neutrino? d. Wat is de impuls van het muon? 8.4 pp botsing E,p E*,p* E*,-p* laboratoriumsysteem zwaartepuntsysteem voor na voor na Figuur 20: pp botsing Wanneer een proton met voldoende energie op een andere proton wordt geschoten is het mogelijk dat een extra p p paar wordt gecreëerd: pp ppp p Bekijk de gebeurtenis eerst vanuit het laboratoriumsysteem (figuur 20 links). De energie en impuls van het bewegende proton in het laboratoriumsysteem zijn resp. E en p. a. Welk verband bestaat er tussen E en p? b. Wat is de totale energie in het laboratoriumsysteem vóór de botsing? En de totale impuls? c. Bekijk nu de gebeurtenis in het zwaartepuntsysteem (figuur 20 rechts). Wat is de minimale energie (E min) nodig om de reactie pp ppp p te laten verlopen? d Leidt uit de invariantie van de vierimpuls de waarde voor de minimale energie E min af. e. Wat zou energetisch voordeliger zijn: de hierboven beschreven botsing met één bewegend en één stilstaand proton of de situatie waarbij twee bewegende protonen op elkaar botsen (bij gelijke onderlinge snelheid)?
37 8.5 Eenheden Eenheden De energie-eenheden ev (elektronvolt), MeV, GeV, enz., kunnen ook gebruikt worden om massa en impuls in uit te drukken: de massa van een electron is ongeveer m e = 0, 5 MeV/c 2. a. Hoe groot zijn dan γ en ν voor een elektron met energie E = 1 MeV? b. Hoe groot is zijn impuls? Welke eenheid gebruik je dan? c De massa van een proton is m p = 1, 0 GeV. Hoeveel energie en impuls heeft een proton met snelheid v = 0, 8c?
Speciale Relativiteitstheorie. Oefeningen. Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer
Speciale Relativiteitstheorie Oefeningen Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer Inhoudsopgave 1 Galileitransformatie 2 1.1 Een paraboolbaan...................................
Nadere informatieOefeningen Speciale Relativiteitstheorie
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie Fysica (IHEF) Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie
Nadere informatieOefeningen Speciale Relativiteitstheorie
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie Fysica (IHEF) Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie
Nadere informatieUitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie. Galileitransformaties. versie 1.3, januari 2003
Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Galileitransformaties versie 1.3, januari 003 Inhoudsopgave 0.1Galileitransformatie 0.1.1 Twee inertiaalsystemen...................... 0.1. Een paraboolbaan.........................
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
versie 13 februari 013 Speciale relativiteitstheorie J.W. van Holten NIKHEF Amsterdam en LION Universiteit Leiden c 1 Lorentztransformaties In een inertiaalstelsel bewegen alle vrije deeltjes met een
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 29 September 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieRelativiteitstheorie met de computer
Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!
Nadere informatieElementaire Deeltjesfysica
Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 7 oktober 2013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieHOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 1
HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK Opgave : Causaliteit In het jaar 300 wordt door de Aardse Federatie een ruimteschip naar een Aardse observatiepost op de planeet P47 gestuurd. Op de maan van
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen de aarde.................
Nadere informatieBewijzen en toegiften
Bewijzen en toegiften 1 Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W schiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie De drie vragen van Einstein Wat is licht? Wat is massa? Wat is tijd? In 1905, Einstein was toen 26 jaar! Klassiek: wat is licht? Licht is een golf, die naar alle kanten door
Nadere informatieDeeltjes en velden donderdag 3 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 2
Deeltjes en velden donderdag 3 oktober 203 OPGAVEN WEEK 2 Opgave : Causaliteit In het jaar 300 wordt door de Aardse Federatie een ruimteschip naar een Aardse observatiepost op de planeet P47 gestuurd.
Nadere informatieHoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl
Speciale rela*viteit Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl Albert Einstein (1879 1955) Einstein s grensverleggende papers (1905): De speciale
Nadere informatieSpeciale Relativiteitstheorie
Speciale Relativiteitstheorie Prof. dr. J.J. Engelen NIKHEF /Onderzoeksinstituut HEF met medewerking van drs. A. Heijboer, drs. B. Mooij, dr. E. de Wolf versie 1.4, September 2003 2 Inhoudsopgave 1 Inleiding
Nadere informatieSpeciale Relativiteitstheorie
Speciale Relativiteitstheorie Prof. Dr J.J. Engelen NIKHEF/Onderzoekinstituut HEF met medewerking van Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 De Galileitransformatie
Nadere informatie1 Uitgewerkte opgaven: relativistische kinematica
1 Uitgewerkte opgaven: relativistische kinematica 1. Impuls van een π + meson Opgave: Een π + heeft een kinetische energie van 200 MeV. Bereken de impuls in MeV/c. Antwoord: Een π + meson heeft een massa
Nadere informatieTentamen Mechanica ( )
Tentamen Mechanica (20-12-2006) Achter iedere opgave is een indicatie van de tijdsbesteding in minuten gegeven. correspondeert ook met de te behalen punten, in totaal 150. Gebruik van rekenapparaat en
Nadere informatieEinstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam
Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde André van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s speciale relativiteitstheorie, maarr dan begrijpelijk
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 3 en 4: Lorentz Transformatie en Mechanica Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Nadere informatieRelativistische interacties. N.G. Schultheiss
1 Relativistische interacties N.G. Schultheiss 1 Inleiding Botsingen van deeltjes zijn met behul van energie en imuls te beschrijven. Bij elastische botsingen blijft de som van de kinetische energie gelijk.
Nadere informatieTheory DutchBE (Belgium) De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten)
Q3-1 De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten) Lees eerst de algemene instructies in de aparte envelop alvorens te starten met deze vraag. In deze opdracht wordt de fysica van de deeltjesversneller
Nadere informatieNatk4All Leraren opleiding Speciale Relativiteitstheorie (leerjaar )
Natk4All Leraren opleiding Speciale Relativiteitstheorie (leerjaar 2016-2017) February 5, 2017 Tijd: 2 uur 30 min Afsluitend Maximum Marks: 78+5(bonusopgave) 1. In wereld van serie Star-Trek kunnen mensen
Nadere informatieTentamen - uitwerkingen
Tentamen - uitwerkingen Mechanica en Relativiteitstheorie voor TW 5 april 06 Kennisvragen - 0 punten a) Geef de drie behoudswetten van de klassieke mechanica, en geef voor elk van de drie aan onder welke
Nadere informatieDocentencursus relativiteitstheorie
Docentencursus relativiteitstheorie Uitwerkingen opgaven bijeenkomst 1, "Waarom relativiteit?" 18 september 2013 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau dit zijn dus opgaven
Nadere informatieGravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 6
1 Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 013 OPGAVEN WEEK 6 Opgave 1: We bespreken kort Rindler space en de connectie met de Tweelingparadox. We kijken naar een uniform versnelde waarnemer (we beschouwen
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop
Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop Speciale relativiteitstheorie:... 1 de basisconcepten in een notedop... 1 1. Klassieke Relativiteit... 1 1.1 Twee waarnemers zien een verschillende
Nadere informatieRELATIVITEIT VWO. Lengtecontractie Rust- bewegende massa Relativistisch optellen
RELATIVITEIT VWO Foton is een opgavenverzameling voor het nieuwe eindexamenprogramma natuurkunde. Foton is gratis te downloaden via natuurkundeuitgelegd.nl/foton Uitwerkingen van alle opgaven staan op
Nadere informatieBewijzen en toegiften
Bewijzen en toegiften Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W shiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd
Nadere informatieUit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005
Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005 Dé formule Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc 2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule
Nadere informatie1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002
1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Relativiteit Als je aan relativiteit denkt, dan denk je waarschijnlijk als eerste aan Albert Einstein. En dat is dan ook de bedenker van de relativiteitstheorie.
Nadere informatieSchoolexamen Moderne Natuurkunde
Schoolexamen Moderne Natuurkunde Natuurkunde 1,2 VWO 6 24 maart 2003 Tijdsduur: 90 minuten Deze toets bestaat uit 3 opgaven met 16 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een goed
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieUitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen
Nadere informatie(a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met elkaar gemeen hebben.
Uitwerkingen HiSPARC Elementaire deeltjes C.G.N. van Veen 1 Hadronen Opdracht 1: Elementaire deeltjes worden onderverdeeld in quarks en leptonen. (a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met
Nadere informatieK4 Relativiteitstheorie
K4 Relativiteitstheorie Ruimtetijd vwo Uitwerkingen basisboek K4. INTRODUCTIE 2 3 a De golflengte van radiostraling is groter dan die van licht. b Uit c λ f volgt dat de frequentie van de fotonen van radiostraling
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 30 september 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Nadere informatieMooie samenvatting: http://members.ziggo.nl/mmm.bessems/kinematica%20 Stencil%20V4%20samenvatting.doc.
studiewijzer : natuurkunde leerjaar : 010-011 klas :6 periode : stof : (Sub)domeinen C1 en A 6 s() t vt s v t gem v a t s() t at 1 Boek klas 5 H5 Domein C: Mechanica; Subdomein: Rechtlijnige beweging De
Nadere informatietoelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica juli 2009 Laatste update: 31/07/2009. Vragen gebaseerd op het ingangsexamen juli 2009. Vraag 1 Een landingsbaan is 500 lang. Een vliegtuig heeft de volledige lengte van de startbaan nodig om op
Nadere informatienatuurkunde havo 2018-I
Aan het juiste antwoord op een meerkeuzevraag wordt scorepunt toegekend. Scheepsradar maximumscore uitkomst: s =,9 0 4 m Elektromagnetische golven bewegen met de lichtsnelheid. De afstand die 8 4 het signaal
Nadere informatieMODULE GLIESE 667 RELATIVITEIT GLIESE 667. Naam: Klas: Datum:
GLIESE 667 RELATIVITEIT GLIESE 667 Naam: Klas: Datum: GLIESE 667 GLIESE 667 WE GAAN OP REIS De invloed van de mensheid reikt steeds verder. In de oertijd kon een mens zich maar enkele kilometers van zijn
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme
Nadere informatieRelativiteit. Bijlagen
Relativiteit 1 Referentiestelsels; Galileï-transformatie Postulaten van de speciale relativiteitstheorie 3 Tijdsduurrek 4 Lengtekrimp 5 Minkowskidiagram 6 Lorentztransformatie 7 Ruimtetijdinterval 8 Relativistisch
Nadere informatieAlgemeen. Cosmic air showers J.M.C. Montanus. HiSPARC. 1 Kosmische deeltjes. 2 De energie van een deeltje
Algemeen HiSPARC Cosmic air showers J.M.C. Montanus 1 Kosmische deeltjes De aarde wordt continu gebombardeerd door deeltjes vanuit de ruimte. Als zo n deeltje de dampkring binnendringt zal het op een gegeven
Nadere informatieMechRela voor TW. Hertentamen - uitwerkingen. 22 mei 2015, 14:00-17:00h. (b) Formuleer de postulaten van de speciale relativiteitstheorie.
MechRela voor TW Hertentamen - uitwerkingen mei 015, 14:00-17:00h 1 Kennisvragen (10 pt) (a) Formuleer de drie wetten van Newton die de basis vormen van de klassieke mechanica. (b) Formuleer de postulaten
Nadere informatieDeeltjes in Airshowers. N.G. Schultheiss
1 Deeltjes in Airshowers N.G. Shultheiss 1 Inleiding Deze module volgt op de module Krahten in het standaardmodel. Deze module probeert een beeld te geven van het ontstaan van airshowers (in de atmosfeer)
Nadere informatieBotsingen. N.G. Schultheiss
1 Botsingen N.G. Schultheiss 1 Inleiding In de natuur oefenen voorwerpen krachten op elkaar uit. Dit kan bijvoorbeeld doordat twee voorwerpen met elkaar botsen. We kunnen hier denken aan grote samengestelde
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme
Nadere informatieBegripsvragen: Elektrisch veld
Handboek natuurkundedidactiek Hoofdstuk 4: Leerstofdomeinen 4.2 Domeinspecifieke leerstofopbouw 4.2.4 Elektriciteit en magnetisme Begripsvragen: Elektrisch veld 1 Meerkeuzevragen Elektrisch veld 1 [V]
Nadere informatieRelativiteit. Relativistische Mechanica 1
Relativiteit University Physics Hoofdstuk 37 Relativistische Mechanica 1 Relativiteit beweging voorwerp in 2 verschillende inertiaal stelsels l relateren Galileo Galileïsche transformatie 2 Transformatie
Nadere informatieSpeciale Relativiteitstheorie
NS106b/2014-2015 Versie 31/07/2014 Speciale Relativiteitstheorie Stefan Vandoren Instituut voor Theoretische Fysica Universiteit Utrecht Dictaat Dit is een collegedictaat in voorbereiding. De tekst is
Nadere informatieHet Quantum Universum. Cygnus Gymnasium
Het Quantum Universum Cygnus Gymnasium 2014-2015 Wat gaan we doen? Fundamentele natuurkunde op de allerkleinste en de allergrootste schaal. Groepsproject als eindopdracht: 1) Bedenk een fundamentele wetenschappelijk
Nadere informatieGravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: september 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Nadere informatieEindexamen natuurkunde 1-2 havo 2000-II
Eindexamen natuurkunde -2 havo 2000-II 4 Antwoordmodel Opgave Slijtage bovenleiding uitkomst: m =,87 0 6 kg Het afgesleten volume is: V = (98,8 78,7) 0-6 5200 0 3 2 = 2,090 0 2 m 3. Hieruit volgt dat m
Nadere informatieRelativiteit. Bijlagen
Relativiteit 1 Referentiestelsels; Galileï-transformatie Postulaten van de speciale relativiteitstheorie 3 Tijdsduurrek 4 Lengtekrimp 5 Minkowskidiagram 6 Lorentztransformatie 7 Ruimtetijdinterval 8 Relativistisch
Nadere informatie(a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met elkaar gemeen hebben.
Werkbladen HiSPARC Elementaire deeltjes C.G.N. van Veen 1 Hadronen Opdracht 1: Elementaire deeltjes worden onderverdeeld in quarks en leptonen. (a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met elkaar
Nadere informatieAfstanden en roodverschuiving in een Stabiel Heelal Inleiding.
Afstanden en roodverschuiving in een Stabiel Heelal ---------------------------------------------------------------------- Inleiding. Wanneer men nu aanneemt dat het heelal stabiel is, dus dat alles in
Nadere informatieTENTAMEN DYNAMICA ( )
TENTAMEN DYNAMICA (1914001) 8 januari 011, 08:45 1:15 Verzoek: Begin de beantwoording van een nieuwe opgave op een nieuwe pagina. Alleen leesbaar en verzorgd werk kan worden beoordeeld. Opgave 1 (norm:
Nadere informatieRelativiteit. Bijlagen
Relativiteit 1 Referentiestelsels; Galileï-transformatie Postulaten van de speciale relativiteitstheorie 3 Tijdsduurrek 4 Lengtekrimp 5 Minkowskidiagram 6 Lorentztransformatie 7 Ruimtetijdinterval 8 Relativistisch
Nadere informatieEinstein (2) op aardoppervlak. versnelling van 10m/s 2. waar het foton zich bevindt a) t = 0 b) t = 1 s c) t = 2 s op t=0,t=1s en t=2s A B C A B
Einstein (2) In het vorig artikeltje zijn helaas de tekeningen, behorende bij bijlage 4,"weggevallen".Omdat het de illustratie betrof van de "eenvoudige" bewijsvoering van de kromming der lichtstralen
Nadere informatiem 2. De berekening terug uitvoeren met die P en r = 100 m i.p.v. 224 m levert L = 57 db.
Doppler A B PASSERENDE FLUIT Het vriest licht; de maan schijnt door de bomen. Ik sta op 100 m van de kruising van twee wegen. Op de kruisende weg rijdt een open auto. Een inzittende blaast op een fluitje
Nadere informatieFormuleblad relativiteit (deel 1)
Formuleblad relativiteit (deel 1), www.roelhendriks.eu 1 Formuleblad relativiteit (deel 1) c v β en 1 1 β γ 1 c v t t o 1 c v L L o ) ( ct β x γ x ) ( x β ct γ ct ) ( ct β x γ x + ) ( x β ct γ ct + Δx
Nadere informatieRelativiteit (deel 1)
Relativiteit (deel 1) 1 Referentiestelsels, tijd-plaats-diagram Galileï-transformatie 3 Postulaten van de speciale relativiteitstheorie 4 Tijdsduurrek 5 Lengtekrimp 6 Minkowskidiagram 7 Lorentztransformatie
Nadere informatieFysica: mechanica, golven en thermodynamica PROEFEXAMEN VAN 12 NOVEMBER 2008
Fysica: mechanica, golven en thermodynamica Prof. J. Danckaert PROEFEXAMEN VAN 12 NOVEMBER 2008 OPGEPAST Veel succes! Dit proefexamen bestaat grotendeels uit meerkeuzevragen waarbij je de letter overeenstemmend
Nadere informatieTolpoortje RELATIVITEIT KEPLER 22B. 200 m. aket. Naam: Klas: Datum:
KEPLER 22B RELATIVITEIT KEPLER 22B Tolpoortje chterste krachtveld de raket binnen is. aket 200 m Krachtveld. het tolsystee zet zodra he krachtveld a Naam: Klas: Datum: KEPLER 22B KEPLER 22B VERDER EN VERDER
Nadere informatieEindexamen vwo natuurkunde pilot 2012 - I
Eindexamen vwo natuurkunde pilot 0 - I Opgave Lichtpracticum maximumscore De buis is aan beide kanten afgesloten om licht van buitenaf te voorkomen. maximumscore 4 De weerstanden verhouden zich als de
Nadere informatieATWOOD Blok A en blok B zijn verbonden door een koord dat over een katrol hangt. Er is geen wrijving in de katrol. Het stelsel gaat bewegen.
ATWOOD Blok A en blok B zijn verbonden door een koord dat over een katrol hangt. Er is geen wrijving in de katrol. Het stelsel gaat bewegen. Bereken de spankracht in het koord. ATWOOD Over een katrol hangt
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Nadere informatieVraag Antwoord Scores
Eindexamen vwo natuurkunde pilot 03-II Beoordelingsmodel Opgave Splijtstof in een kerncentrale maximumscore 3 35 7 87 U + n Ba + Kr + n of 9 0 56 36 0 35 7 87 U + n Ba + Kr + n één neutron links van de
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Kinematica. 25 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Kinematica 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Nadere informatieAlgemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Nadere informatieDocentencursus relativiteitstheorie
Docentencursus relativiteitstheorie Opgaven bijeenkomst 2, "Rekenen en tekenen" 8 september 203 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau dit zijn dus opgaven die in de les of
Nadere informatieDit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Mechanica 1 voor N en Wsk (3NA40 en 3AA40) Donderdag 21 januari 2010 van 09.00u tot 12.00u Dit tentamen bestaat uit vier opgaven.
Nadere informatieJuli blauw Vraag 1. Fysica
Vraag 1 Beschouw volgende situatie in een kamer aan het aardoppervlak. Een homogene balk met massa 6, kg is symmetrisch opgehangen aan de touwen A en B. De touwen maken elk een hoek van 3 met de horizontale.
Nadere informatieStevin vwo Uitwerkingen Speciale relativiteitstheorie ( ) Pagina 1 van 8
Stevin vwo Uitwerkingen Speiale relativiteitstheorie (14-09-015) Pagina 1 van 8 Opgaven 1 Het is maar hoe je het ekijkt 1 a Een inertiaalsysteem is een omgeving waarin de eerste wet van Newton geldt. a
Nadere informatie4. Maak een tekening:
. De versnelling van elk deel van de trein is hetzelfde, dus wordt de kracht op de koppeling tussen de 3e en 4e wagon bepaald door de fractie van de massa die er achter hangt, en wordt dus gegeven door
Nadere informatieCursus deeltjesfysica
Cursus deeltjesfysica Bijeenkomst 1 (5 maart 2014) de speciale relativiteitstheorie prof Stan Bentvelsen en prof Jo van den Brand Nikhef - Science Park 105-1098 XG Amsterdam s.bentvelsen@uva.nl - jo@nikhef.nl
Nadere informatieRelativiteit (deel 2)
Relativiteit (deel ) 1 Impuls (klassiek) Elastische en inelastische botsingen (klassiek) 3 Relativistische impuls en energie van materiedeeltjes 4 Verband tussen impuls en energie (relativistisch) 5 Wisselwerking
Nadere informatieProf.dr. A. Achterberg, IMAPP
Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP www.astro.ru.nl/~achterb/ Waarnemingen die de basis vormen van het Oerknalmodel - Vluchtsnelheid verre sterrenstelsels - Kosmische Achtergrondstraling - Voorwereldlijke Nucleosynthese
Nadere informatie7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss
7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische
Nadere informatieInleiding Astrofysica Uittreksel Aantekeningen 2009 Vincent Icke
Inleiding Astrofysica Uittreksel Aantekeningen 009 Vincent Icke icke@strw.leidenuniv.nl. Speciale relativiteitstheorie Bij nader inzien blijkt de Galilei-Huygens symmetrie niet exact te zijn. Daarvoor
Nadere informatieEindexamen vwo natuurkunde 2013-I
Eindexamen vwo natuurkunde 03-I Beoordelingsmodel Opgave Sprint maximumscore De snelheid is constant omdat het (s,t)-diagram (vanaf 4 seconde) een rechte lijn is. De snelheid is gelijk aan de helling van
Nadere informatiejaar: 1990 nummer: 03
jaar: 1990 nummer: 03 Een pijl die horizontaal wordt afgeschoten in het punt P treft een vettikale wand in het punt A. Verdubbelt men de vertreksnelheid van de pijl in het punt P, dan zal de pijl dezelfde
Nadere informatieImpuls en stoot. De grootheid stoot Op basis van de tweede wet van Newton kan onderstaand verband worden afgeleid. F = m a = m Δv Δt.
Inhoud en stoot... 2 De grootheid Stoot... 2 De grootheid impuls... 3 Voorbeeld: USS-Iowa... 4 Opgaven... 5 Opgave: Tennisbal... 5 Opgave: Frontale botsing... 6 Opgave: Niet-frontale botsing... 6 1/6 en
Nadere informatiejaar: 1989 nummer: 17
jaar: 1989 nummer: 17 De snelheidscomponent van een deeltje voldoet aan : v x = a x t, waarin a x constant is en negatief. De plaats van het deeltje wordt voorgesteld door x. Aangenomen wordt dat x= 0
Nadere informatieTentamen Natuurkunde 1A 09.00 uur - 12.00 uur vrijdag 14 januari 2011 docent drs.j.b. Vrijdaghs
Tentamen Natuurkunde 1A 09.00 uur - 12.00 uur vrijdag 14 januari 2011 docent drs.j.b. Vrijdaghs Aanwijzingen: Dit tentamen omvat 6 opgaven met totaal 20 deelvragen Begin elke opgave op een nieuwe kant
Nadere informatieExamen mechanica: oefeningen
Examen mechanica: oefeningen 22 februari 2013 1 Behoudswetten 1. Een wielrenner met een massa van 80 kg (inclusief de fiets) kan een helling van 4.0 afbollen aan een constante snelheid van 6.0 km/u. Door
Nadere informatieMaar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal.
-09-5 Bijlage voor Stabiel Heelal. --------------------------------------- In deze bijlage wordt onderzocht hoe in mijn visie materie, ruimte en energie zich tot elkaar verhouden. Op zichzelf was de fascinatie
Nadere informatienatuurkunde vwo 2018-II
Mechanische doping maximumscore 5 uitkomst: V =,7 0 m 4 3 voorbeeld van een berekening: Er geldt: Enuttig = Pt = 50 0,5 = 5 Wh. Enuttig 5 Dus geldt: Ein = = = 56 Wh. η 0,80 De batterij heeft een energiedichtheid
Nadere informatieRelativiteitstheorie VWO
Inhoud... 2 Waarnemingen verrichten... 2 Relativiteitsprincipe van Galileo Galilei... 3 Het (tijd, plaats)-diagram... 4 Iedereen kijkt naar Bobs raket... 4 Het relativiteitsprincipe van Galilei en de snelheid
Nadere informatieEindronde Natuurkunde Olympiade 2013 theorietoets deel 1
Eindronde Natuurkunde Olympiade 2013 theorietoets deel 1 Opgave 1 Helikopter (3p) Een helikopter A kan in de lucht stilhangen als het geleverde vermogen door de motor P is. Een tweede helikopter B is een
Nadere informatienatuurkunde vwo 2019-II
Pariser Kanone maximumscore 3 uitkomst: L = 34 m (met een marge van m) voorbeeld van een bepaling: De lengte van de loop is gelijk aan de door de granaat afgelegde weg. Deze volgt uit de oppervlakte onder
Nadere informatieEindexamen vwo natuurkunde I
Opgave Lichtpracticum maximumscore De buis is aan beide kanten afgesloten om licht van buitenaf te voorkomen. De buis is van binnen zwart gemaakt om reflecties van het licht in de buis te voorkomen. inzicht
Nadere informatieSpeciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie Uitwerking van mijn powerpoint tijdens de WND-conferentie 2017 Hubert Biezeveld stevin@planet.nl Links staan de dia s van de powerpoint. Rechts staan de toelichtingen. Subtiel
Nadere informatie1 Bellenvat. 1.1 Intorductie. 1.2 Impuls bepaling
1 Bellenvat 1.1 Intorductie In dit vraagstuk zullen we een analyse doen van een bellenvat foto die genomen is van een interactie van een π bundeldeeltje in een waterstof bellenvat. De bijgesloten foto
Nadere informatieVrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur
EXAMEN HOGER ALGEMEEN VOORTGEZET ONDERWIJS IN 1979 Vrijdag 8 juni, 9.00-12.00 uur NATUURKUNDE Dit examen bestaat uit 4 opgaven ft Deze opgaven zijn vastgesteld door de commissie bedoeld in artikel 24 van
Nadere informatieDit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Mechanica 1 voor N en Wsk (3NA40 en 3AA40) Donderdag 8 april 010 van 09.00u tot 1.00u Dit tentamen bestaat uit vier opgaven.
Nadere informatieExact Periode 5. Dictaat Licht
Exact Periode 5 Dictaat Licht 1 1 Wat is licht? In de figuur hieronder zie je een elektromagnetische golf: een golf die bestaat uit elektrische en magnetische trillingen.(zie figuur). Licht is een elektromagnetische
Nadere informatie