Speciale Relativiteitstheorie. Oefeningen. Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Speciale Relativiteitstheorie. Oefeningen. Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer"

Transcriptie

1 Speciale Relativiteitstheorie Oefeningen Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer

2 Inhoudsopgave 1 Galileitransformatie Een paraboolbaan Tennissen Botsende deeltjes Massamiddelpunt Versnellende auto Michelson-Morley voor geluid Lorentztransformatie Inverse Lorentztransformatie Klokken Knal en Lichtflits Michelson-Morley-experiment Boeven vangen Consequenties van de Lorentztransformatie Lat Klok Bewegingsrchting Muon Neutron Astronaut Bewegend voorwerp Raketten Lichtflitsen Trein Bewegende lichtklok Muonen in de atmosfeer

3 4 Minkowski-diagrammen Draaiing in het ct,x-diagram Tijddilatatie in Minkowski-diagram Wereldlijnen Opnieuw raketten Lorentztransformatie van impuls en energie Energie van een relativistisch deeltje Massa van een relativistisch deeltje Energie en impuls van een relativistisch deeltje Twee relativistische deeltjes Toepassingen Massieve deeltjes Massaloze deeltjes Inelastische boting Nog een inelastische botsing e-e+ botsing Dopplereffect Bewegende lichtbronnen Roodverschuiving Stoplicht Deeltjesproductie pp-botsing Vervallende deeltjes pp-botsing

4 1 Galileitransformatie 1.1 Een paraboolbaan y x Figuur 1: Paraboolbaan Gegeven een paraboolbaan (zie figuur 1) t.o.v. coördinatenstelsel S: y = x Dit is de baan die beschreven wordt door een puntmassa die met een horizontale beginsnelheid van een 20 meter hoge toren gegooid wordt. De versnelling van de zwaartekracht is g = 10 m/s 2. Geef de Galileitransformatie naar stelsel S zodat de puntmassa t.o.v. dit stelsel langs een rechte, verticale lijn beweegt. 1.2 Tennissen Een tennisbal krijgt van een bewegend tennisracket een extra snelheid mee (zie figuur 2). v b, v e en v 0 zijn respectievelijk de begin- en eindsnelheid van de bal en de snelheid van het racket in het coördinatenstelsel S van een toeschouwer. S is het coördinatenstelsel dat met het racket mee beweegt. a. Wat zijn de begin- en eindsnelheid van de bal in het coördinatenstelsel S? Bij de elastische botsing van de bal met het racket is in S is de snelheid van de bal na de botsing even groot als de snelheid voor de botsing. b. Hoe groot is de eindsnelheid van de bal in S in termen van v b en v 0? 2

5 Figuur 2: Tennissen c. Hoe verandert de kinetische energie E k = 1 2 mv2 van de bal in S? d. En in S? Terwijl de waarden van grootheden in S en S kunnen verschillen, moeten de formules tussen de grootheden wel invariant zijn. e. Laat zien dat de formule E k = F x zowel in S als in S geldt (het racket werkt met F = m bal v t over een afstand x = v 0 t). 1.3 Botsende deeltjes Voor twee botsende deeltjes A en B bestaat de wet van behoud van impuls : m A v 1A + m B v 1B = m A v 2A + m B v 2B waar v 1A en v 1B de snelheden van A en B voor de botsing en v 2A en v 2B de snelheden na de botsing zijn. S en S zijn twee inertiaalsystemen met een onderlinge snelheid v. Bewijs dat wanneer de behoudswet geldt in S, deze ook geldt in S. 1.4 Massamiddelpunt Het massamiddelpunt van twee deeltjes is een denkbeeldig punt tussen de deeltjes in, waarvan de plaats, snelheid en versnelling het gemiddelde is van die van de twee deeltjes, als je tenminste de grootste massa het sterkst meetelt (gewogen gemiddelde). Als de massa s van de deeltjes m 1 en m 2 zijn is hun totale massa M = m 1 + m 2 en geldt voor hun massamiddelpunt: 3

6 x M = m 1 M x 1 + m 2 M x 2 v M = m 1 M v 1 + m 2 M v 2 a M = m 1 m a 1 + m 2 M a 2 Bij twee botsende deeltjes, waarop verder geen krachten werken, beweegt het massamiddelpunt altijd eenparig. Je kunt dan altijd een Galileitransformatie maken van het L-systeem (het laboratorium-systeem ) waarin de botsing plaats heeft, naar het M-systeem (het massamiddelpuntsystem ). Deeltje A heeft een massa m A = 4 kg en botst met een snelheid v A = 10 m/s op een stilstaand deeltje B met massa m B = 1 kg. a. Laat zien dat de totale impuls in het M-systeem vóór de botsing nul is: p A,M + p B,M = 0. In het M-systeem zijn (en blijven) de twee impulsen dus even groot en tegengesteld aan elkaar! Bij een volkomen elastische botsing gaat er geen kinetische energie verloren. Het is dan gemakkelijk te bewijzen dat in het M-systeem de impulsen van A en B na de botsing niet alleen even groot en tegengesteld zijn, maar ook dezelfde grootte hebben als vóór de botsing. b. Als deeltje A bij een volkomen elastische botsing in het M-systeem 90 o zou afbuigen, wat zijn dan de snelheden na de botsing in het M-systeem? c. En in het L-systeem? 1.5 Versnellende auto Als je vanuit een inertiaalsysteem een Galileitransformatie uitvoert, kom je in een ander inertiaalsysteem. a. Hoe weet je zeker dat je in een inertiaalsysteem bent? Het interieur van een auto (stelsel S ) die versneld door een straat (stelsel S) rijdt is géén inertiaalsysteem en de transformatie van S naar S is géén Galileitransformatie: x = x ± 1 2 at2 (1) y = y (2) z = z (3) b. Moet je in formule 1 het plus- of het min-teken nemen? 4

7 c. Een bal die je binnen in de auto op t = 0 loslaat, heeft dan v = 0 en v = 0. Laat zien dat in S geldt dat tijdens de val van de bal v x = 0? d. Leidt nu uit de transformatieformules af hoe de snelheid in S zich ontwikkelt. e. In S is er een versnelling a x, en voel je dus een kracht F x = ma x. Hoe groot is de kracht en in welke richting werkt de kracht? f. In welke stelsel(s) geldt de tweede wet van Newton? Waarom? 1.6 Michelson-Morley voor geluid Vóór de komst van de speciale relativiteitstheorie veronderstelde men dat de lichtsnelheid een vaste waarde had in één bepaald inertiaalsysteem (de ether ) en dat de lichtsnelheid in andere systemen via een Galileitransformatie kon worden afgeleid. Deze veronderstelling bleek niet houdbaar (zie o.a. het Michelson-Morley experiment), maar hij geldt wel voor geluid. Vandaar deze opgave, als contrast met de gang van zaken voor licht. Geluid heeft een vaste snelheid t.o.v. zijn medium (de lucht, stelsel S), nl. c g = 1/ ρκ waar ρ de dichtheid en κ de compressibiliteit van de lucht zijn. Figuur 3: Michelson en Morley voor geluid Als in je eigen stelsel (S ) de wind je tegemoet blaast met snelheid v (of als je met snelheid v naar voren beweegt), is de geluidssnelheid in S volgens de Galileitransformatie gelijk aan c g v. We kunnen deze beweging t.o.v. het medium aantonen door de reistijden van het geluid te meten langs gelijke trajecten in onderling loodrechte richtingen (de x - en y -as van S ). Op t = 0 is er een knal in de oorsprong, die na enige tijd weerklinkt van muurtjes die op een afstand l vanaf de oorsprong loodrecht op elkaar staan. a. Bereken na hoeveel tijd je de echo uit de x-richting en uit de y-richting hoort als het windstil is. Is er verschil? 5

8 Nu waait er wel wind, van rechts, zoals aangegeven in figuur 3, Het geluid moet dan in S schuin naar rechts lopen, om in S langs de y -as heen er weer te gaan (zie figuur 3 rechts). b. Hoeveel tijd kost het nu voor je de echo uit de x-richting hoort? c. En uit de y-richting? d. Hoe zou je dus, als je de wind niet zou kunnen voelen of zien, toch kunnen constateren dat hij waait? (Neem bijv. l = 300m; v = 20 m/s en c g = 300 m) 6

9 2 Lorentztransformatie 2.1 Inverse Lorentztransformatie y y v S S O O x x Figuur 4: Twee inertiaalstelsels Twee inertiaalstelsels S en S zijn verbonden door de Lorentz-transformatie (figuur 4): en x = γ(x βct) y = y z = z ct = γ(ct βx) x = γ(x + βct ) y = y z = z ct = γ(ct + βx ) a. Laat zien dat de tweede set vergelijkingen (met +β) uit de eerste set kan worden afgeleid. b. De oorsprong van S heeft x = 0. Laat met de Lorentztransformatie zien dat de oorsprong van S met snelheid v door S beweegt. c. Vanuit de oorsprong van S schijnt een lichtstraal (met snelheid c) in de positieve x - richting, volgens x = ct. Gebruik de Lorentztransformatie om aan te tonen dat hij ook een snelheid c in S heeft (dus beweegt volgens x = ct). d. Nu schijnt een lichtstraal langs de y-as van S (loopt volgens y = ct ). Bepaal met de Lorentztransformatie de totale snelheid vx 2 + vy 2 in S. 7

10 2.2 Klokken S en S als de opgave Inverse Lorentztransformatie. Twee gebeurtenissen A en B die in S op dezelfde tijd (t A = t B ) maar op verschillende plaats (x A x B ) plaatsvinden, zijn in S niet gelijktijdig (t A t B ). A y S v B x y A S B x Figuur 5: Klokken a. Laat zien dat t B t A = γβ c (x B x A ). b. Ga na dat figuur 5, waarin overal in S de klokken op t = 0 staan, de klokken in S de situatie goed weer geven. M.a.w. is het juist dat in S de klok bij A vóór loopt in vergelijking met de klok in S en in B achter. c. Geef de formule voor het tijdsverschil t B t A voor gebeurtenissen die zich in S gelijktijdig (t A = t B ) afspelen op x A en x B. d. Teken nu op de manier van vraag b) de situatie voor de klokken op het ogenblik t = 0 (de klokken in S staan nu overal op nul). Welke S-klokken lopen voor, welke achter? e. Is er een tegenspraak tussen de figuren van vraag b) en c), dus zijn er b.v. passanten die van elkaar zeggen dat de klok van de ander voor (of achter) loopt? f. Hoe kan het dat de klokken van het andere stelsel die bij hun nadering nog voorliepen, achterlopen als ze gepasseerd zijn? 2.3 Knal en Lichtflits Op t = 0 klinkt een knal in S(figuur 6). a. Bereikt het geluid volgens een stilstaande waarnemer (S) A eerder of later dan B? 8

11 A (S) B Figuur 6: Knal of lichtflits b. Teken nu de situatie gezien door een waarnemer die met snelheid v naar rechts beweegt (S ). Waar komt het geluid volgens S eerder, in A of in B? In plaats van een knal is er een lichtflits in S op t = 0. c. Waar is volgens S het licht eerder, in A of in B? d. Teken de situatie volgens S. Waar komt het licht eerder aan, in A of in B? 2.4 Michelson-Morley-experiment (Analyse van het Michelson-Morley-experiment met licht) l y Spiegel B terug heen terug O heen (aarde) Spiegel A x y Spiegel B v O heen terug heen (ether) Spiegel A v terug O x Figuur 7: Michelson-Morley experiment 9

12 De aarde (S ) beweegt met snelheid v door de ether (S). In S worden lichtstralen vanuit de oorsprong O door spiegels A en B op afstand l op de x - en y -assen teruggekaatst. Omdat we voorlopig alleen weten dat de lichtsnelheid in de ether (S) gelijk is aan c, berekenen we de gebeurtenis in S. Daarna transformeren we met de Lorentztransformatie terug naar S en vragen ons af of er verschil in reistijd zit (zoals voor geluid in de opgave Michelson-Morley voor geluid ). De beweging O AO langs de x -as ziet er in S uit als links in figuur 7: de heenreis duurt t h, met een snelheid c over een afstand γ 1 l + vt h (want door de Lorentzcontractie is de lengte γ 1 l en is de spiegel A naar rechts verschoven met snelheid v). De terugreis duurt t t, met een snelheid c, over een afstand γ 1 l vt t (want de oorsprong O is dichterbij gekomen met snelheid v). a. Laat zien dat de beweging OAO volgens S een tijd geduurd heeft en dat O dan zit op t x t h + t t = 2γl c x = 2γβl De beweging O BO langs de y -as ziet er in S uit als rechts in figuur 7. Heen- en terugreis duren even lang en overbruggen met een snelheid c een afstand l 2 + (vt) 2 (want spiegel B is naar rechts verschoven met snelheid v). b. Waarom heeft de lat nu geen Lorentz-contractie? c. Laat zien dat de beweging O BO volgens S een tijd geduurd heeft. t y t h + t t = 2γl c De lichtstralen keren dus in S tegelijkertijd terug. De vraag was echter of je op aarde, in S, verschil in terugkeertijd ziet. d. Zijn de twee reistijden na Lorentztransformatie van S naar S ook hetzelfde? e. Wat is de conclusie? 2.5 Boeven vangen In de situatie van de opgave Twee inertiaalsystemen beweegt een voorwerp met snelheid v langs de x-as van S, volgens x = v t. S beweegt zelf met snelheid v langs de x-as van S, zodat je niet-relativistisch zou verwachten dat het voorwerp met een snelheid v + v door S beweegt. 10

13 Figuur 8: Boeven vangen a. Vul de bewegingsvergelijking x = v t in in de formules van de Lorentztransformatie en leidt hieruit een verband tussen x en t af. b. Leidt uit het resultaat van vraag a) de relativistische optelformule voor snelheden af : v = v + v 1 + v v/c 2. c. Wat geeft de optelformule als je v = c neemt? Dus: als de lamp een snelheid v heeft, komt het licht er dan met snelheid c + v uit? Tenslotte de volgende flauwe grap: Boeven proberen met een snelheid 3 4c te ontkomen aan een achtervolgende politieauto met snelheid 1 3 c (figuur 8). De achtervolgers schieten kogels af met snelheid 1 2 c. d. Volgens de gewone optelling is > 3 4. Zullen de kogels de boeven dus inhalen? 11

14 3 Consequenties van de Lorentztransformatie 3.1 Lat S beweegt met snelheid v langs de x-as van S, dus: x = γ(x + βct ) ct = γ(c + βx ). In S ligt een lat, tussen x = 0 (begin) en x = l (eind). De lat beweegt dus ook met snelheid v door S. a. Je bepaalt met de Lorentztransformatie de x-waarden van begin en eind van de lat als de (met de lat meebewegende) S -klokken op nul staan, dus op t = 0. Welke lengte vind je dan? b. Wat zijn de x-waarden van begin en eind als de passerende S-klokken op nul staan, dus op t = 0? c. Hoe groot is de lengte van de lat in S ën hoe groot is de lengte van de lat in S? 3.2 Klok Nu een klok die op een vaste plaats in S (op x = 0) door S beweegt. a. Als de klok zelf een tijdsverloop van 0 tot t aangeeft, op welke plaats bevindt hij zich dan in S en welke tijd wijst een S-klok daar aan? b. Toen de klok op nul stond passeerde hij juist een S-klok (in x = 0) die ook op nul stond. Wat wijst die S-klok volgens waarnemers in S aan, als hun S -klokken op t staan? c. Uit welke van de twee uitkomsten, a) of b), volgt de tijddilatatie van de bewegende S -klok? d. Volgens de waarnemers in S was het de S-klok in x = 0 die bewoog. Vertoont die volgens hen ook tijddilatatie? 3.3 Bewegingsrchting a. Maakt het voor de Lorentzcontractie van een bewegende lat uit of hij naar de waarnemer toe beweegt, of er vanaf, of zijwaarts? b. Zelfde vraag voor de tijddilatatie van een bewegende klok. 12

15 3.4 Muon Een muon (µ-deeltje) is een instabiel elementair deeltje, dat in rust een gemiddelde levensduur τ 0 = 2, s heeft. Veronderstel dat een bepaald muon in een laboratorium (stelsel S) een buis met een lengte l = 600 m kan doorlopen voor het vervalt. a. Druk de levensduur τ van een muon in het laboratorium uit in zijn snelheid v. b. Gebruik het gegeven dat het muon binnen τ de buis van 600 m kan doorlopen om v te bereken. c. Hoe lang was volgens het muon zelf de buis die aan hem voorbij schoot? d. Leeft het muon volgens zichzelf lang genoeg om de Lorentz-gecontraheerde buis te passeren? 3.5 Neutron De gemiddelde levensduur van een neutron is 15 minuten (daarna vervalt hij in een proton, electron en antineutrino). Toch zijn er neutronen die vanuit de zon de aarde bereiken (afstand 1, m). Met welke snelheid moeten die minstens door de zon zijn uitgestoten? 3.6 Astronaut Een astronaut wil binnen één jaar (volgens zijn eigen tijdrekening) een ster die op een afstand van 5 lichtjaren staat bereiken. Neem als lengte-eenheid lichtjaar en als tijdseenheid jaar. a. Welke waarde heeft de lichtsnelheid c in deze eenheden? b. Welke snelheid moet zijn ruimteschip dan hebben? c. Hoelang duurt de reis volgens de aardse tijdrekening? 3.7 Bewegend voorwerp a. Hoe verandert door de Lorentz-contractie de vorm en de inhoud van een bewegend volume? b. Hoe verandert de dichtheid van een bewegend voorwerp? 3.8 Raketten S is het inertiaalsysteem van de aarde. Raket P passeert de aarde op t = 0 met snelheid 1 2 c en beweegt zich naar raket Q die de aarde met 1 2c nadert (zie figuur 9. 13

16 P Q Aarde S Figuur 9: Raketten Volgens een waarnemer op aarde bevindt Q zich op t = 0 op een afstand x = 4 (lichtjaar), zodat P en Q elkaar in x = 2 (lichtjaar) zullen ontmoeten, na t = 4 jaar (dus ct = 4 lichtjaar). a. Noteer de x- en ct-coördinaten van de start van P, de start van Q en hun ontmoeting. We bekijken de gebeurtenis nu vanuit raketje P (stelsel S ). b. Schrijf de Lorentztransformatie van S naar S op (let op + en - tekens!) c. Vertaal de start van P en Q en hun ontmoeting naar S -coördinaten en noteer hiervan de x - en ct -coördinaten. d. Welke snelheid v = x / t had raket Q, gezien vanuit P? Controleer dat met de snelheids-optelformule. 3.9 Lichtflitsen In een inertiaalsysteem S worden in A en B 5µ s na elkaar lichtflitsen uitgezonden. De afstand AB is 5 km. Als je in S met een bepaalde snelheid v parallel aan de lijn AB beweegt, zie je de flitsen gelijktijdig. Hoe groot moet v zijn? 3.10 Trein Een trein met een lengte L 0 (als hij stilstaat) davert langs een station waarvan het perron een lengte L < L 0 heeft. a. Hoe groot moet zijn snelheid zijn, zodat volgens iemand op het perron de staart van de trein aan de achterkant van het perron is op hetzelfde moment als de kop van de trein aan de voorkant is? 14

17 Twee mensen aan de uiteinden van het perron slaan gelijktijdig (volgens hun eigen waarneming) een deuk in de trein. b. Op welke afstand liggen die deuken uit elkaar volgens de mensen op het perron? c. En volgens de mensen in de rijdende trein? d. Waar zitten de deuken ald de trein gestopt is? 3.11 Bewegende lichtklok Ga na dat de lichtklok in figuur 4.2 in sectie 4.2 van de syllabus tikt als in formule 4.1 in sectie 4.2 van de syllabus Muonen in de atmosfeer In sectie 4.4 van de syllabus wordt beschreven hoe muonen die in de atmosfeer van de aarde worden geproduceerd het aardoppervlak kunnen bereiken. Beschouw dit probleem nu vanuit het rustsysteem van het muon. 15

18 4 Minkowski-diagrammen 4.1 Draaiing in het ct,x-diagram We kijken naar twee stelsels S en S die verbonden zijn door de Lorentztransformatie (zie figuur 10): x = γ(x + βct ) ct = γ(ct + βx ) y y ct ct x x x x ruimtelijke rotatie Lorentz-transformatie Figuur 10: Draaiing van assen De Lorentztransformatie veroorzaakt een soort draaiing in het ct,x-diagram, die lijkt op een gewone ruimtelijke rotatie in het x, y-vlak, met het verschil dat de ct- en x-assen beide naar binnen draaien, over een hoek α met tgα = β = v/c : a. Laat zien dat de x -as (de lijn met ct = 0) in het ct,x-diagram een lijn met richtingscoëfficiënt β is (dus van de vorm ct = βx is). b. Laat ook zien dat de ct -as (dus de lijn met x = 0) een richtingscoëfficiënt β heeft met de ct-as (dus van de vorm x = βct is). Terwijl bij een rotatie in het x, y-vlak de eenheden op de gedraaide assen liggen op de eenheidscirkel x 2 +y 2 = 1, zo liggen de eenheden van de gekantelde ct,x -assen op de eenheids hyperbolen x 2 (ct) 2 = ±1 (figuur 11): c. Reken voor de eenheden op de x -as (dus ct = 0 en x = ±1) na dat de bijbehorende x- en ct-getallen voldoen aan x 2 (ct) 2 = +1. d. Hetzelfde voor de eenheden op de ct -as: x 2 (ct) 2 = 1. 16

19 eenheidscirkel eenheidshyperbolen Figuur 11: Eenheden ct ct ct ct 1 A x 1 B x O 1 A x O 1 B x Figuur 12: Lorentzcontractie 4.2 Tijddilatatie in Minkowski-diagram Lorentzcontractie met een Minkowski-diagram: a. Toon met de twee diagrammen van figuur 12 aan dat een lat OA (met lengte 2) in S in S verkort is, en andersom, dat een lat OB in S in S verkort is. Tijddilatatie in een Minkowski-diagram: b. Laat in de diagrammen van figuur 13 zien dat een klok, die in S van O naar C loopt, in S langzamer is, en andersom, dat een klok die in S van O naar D loopt, in S langzamer is. 4.3 Wereldlijnen In het coördinatenstelsel S staan A en B stil op de plaatsen x A = 0 en x B = 3. Op t = 0 zendt A een lichtgolf uit die B bereikt op t = 3 c. 17

20 ct ct ct ct D C C D 1 1 x 1 1 B x O x O B x Figuur 13: Tijddilatatie a. Teken in het Minkowski-diagram in figuur 14 de wereldlijnen van A en B (dus de lijnen x = 0 en x = 3). Teken ook het punt C waarin het licht vanuit A B bereikt. Een ander stelsel S beweegt met 1 2 c t.o.v. S in de positieve x-richting. De x,ct -assen zijn al in het diagram aangegeven. b. Controleer dat de snelheid van S t.o.v. S gelijk is aan 1 2 c en geef het punt B aan waar B zich volgens S bevindt op het ogenblik dat het licht uit A vertrekt. c. Bereken de ct,x coördinaten voor de punten B en C (gebruik daarbij de Lorentztransformatie) d. Bereken uit de x - en t -verschillen tussen B en C hoe snel B beweegt in S ; bereken uit de x - en ct -verschillen tussen de oorsprong O en C hoe groot de lichtsnelheid in S is. Waren deze antwoorden te verwachten? 4.4 Opnieuw raketten Nog een keer de situatie van de opgave Raketten. a. Teken de beweging van P en Q in het Minkowski-diagram in figuur 15. b. Teken de x,ct assen die gelden voor een waarnemer (S ) die met raket P mee beweegt. c. Hoe groot is volgens S op t = 0 de afstand x tot raket Q? (uit het diagram aflezen) d. Na hoeveel tijd ontmoeten P en Q elkaar in S? (uit het diagram aflezen). e. Bereken de snelheid van Q in S uit de x -verplaatsing van Q tussen ct = 0 en zijn ontmoeting met P. Vergelijk het antwoord met vraag d) van de opgave Raketten. 18

21 ct ct x x Figuur 14: Teken wereldlijnen 19

22 ct ct x x Figuur 15: Teken raketbewegingen 20

23 5 Lorentztransformatie van impuls en energie 5.1 Energie van een relativistisch deeltje Voor een relativistisch deeltje is het verband tussen energie en impuls: E 2 c 2 p 2 = m 2 c 4 dus E = m 2 c 4 + c 2 p 2 a. Teken de grafiek van de energie van het bewegende deeltje als functie van zijn snelheid v. Geef hierin de bijdrage van de kinetische energie E k = E E 0 aan (E 0 is de rustenergie van het deeltje). b. Hoe snel moet een deeltje bewegen om zijn kinetische energie even groot te laten zijn als zijn rustenergie? c. Tot welke uitdrukking reduceert de kinetische energie voor niet-relativistische deeltjes (pc E 0 )? d. Dezelfde vraag voor relativistische deeltjes (pc E 0 ). 5.2 Massa van een relativistisch deeltje Een deeltje met massa m beweegt met snelheid v = 0.40 c. a. Als je de snelheid van het deeltje verdubbelt, verdubbelt dan ook de impuls van het deeltje zoals je niet-relativistisch zou verwachten? Controleer met een berekening. b. Als je de impuls van het deeltje verdubbelt, wordt dan de kinetische energie van het deeltje vier keer zo groot als in de niet-relativistische mechanica? 5.3 Energie en impuls van een relativistisch deeltje Als je aan een deeltje energie toevoegt, nemen de snelheid en impuls van het deeltje toe. a. Tot welke waarde nadert de snelheid van het deeltje uiteindelijk? b. En de impuls? c. Teken de grafiek van de energie (verticaal) tegen de impuls (neem cp, horizontaal). Geef daarin ook de grafiek van de niet-relativistische energie E = E 0 + p2 2m. d. Tot welke rechte lijn nadert de relativistische grafiek uiteindelijk? 21

24 5.4 Twee relativistische deeltjes In stelsel S bewegen twee identieke deeltjes A en B langs de x-as naar elkaar toe, elk met een snelheid van 0, 8c. Dus v A = +0.8 c naar rechts en v B = -0.8 c naar links. De massa van de deeltjes is m. a. Druk in S de impuls en de energie van de deeltjes uit in m en c. b. Hoe groot is de totale kinetische energie uitgedrukt in m en c? We bekijken de situatie nu vanuit stelsel S, dat met A meebeweegt. In S staat A dus stil en komt B met een extra grote (negatieve) snelheid op A af. c. Schrijf de Lorentztransformaties voor energie en impuls voor de overgang van S naar S op. d. Vul de getalswaarden voor γ en β in in de Lorentztransformaties en bepaal de impuls en energie in S voor deeltje A. Was de uitkomst te verwachten? e. Bepaal met de Lorentztransformaties ook de impuls en energie van deeltje B in S. f. Hoe groot is volgens de optelformule voor snelheden de snelheid van B in S? g. Geven de formules p = γmv en E = γmc 2 voor het bewegende deeltje B in S dezelfde antwoorden als in vraag e). 22

25 6 Toepassingen 6.1 Massieve deeltjes Niet-relativistisch heeft een vrij deeltje met massa m en snelheid v een energie E = 1 2 mv2 = p2 2m. a. Wat is de dp? Een relativistisch deeltje met massa m en snelheid v heeft een energie E = m 2 c 4 + c 2 p 2. b. Wat is nu de dp? c. Laat zien waarom het deeltje niet sneller kan bewegen dan de lichtsnelheid. 6.2 Massaloze deeltjes Fotonen zijn massaloze deeltjes. a. Waarom is hun snelheid gelijk aan c? b. Wat is de formule voor de energie van een foton? De energie van een foton hangt af van de frequentie: E foton = hν (ν is de frequentie en h is de constante van Planck). c. Hoe hangt de impuls van een foton af van zijn golflengte? Gebruik c = λν, waarbij λ de golflengte is. d. Als je op het strand in de zon ligt, wordt je bestraald met een sterkte van ongeveer 100 W. Met welke impuls botst deze straling elke seconde tegen je aan (de stralingsdruk )? 6.3 Inelastische boting Twee identieke deeltjes met massa m worden op elkaar afgeschoten. De één heeft een snelheid 3 5 c naar rechts, de ander een snelheid 3 5c naar links. Na de botsing zijn ze versmolten tot één deeltje met massa M. a. Waarom staat het deeltje met massa M na de botsing stil? b. Wat verwacht je voor de massa M: 1. M = 2m 2. M > 2m 23

26 3. M < 2m Licht je keuze toe. c. Hoe groot was de totale energie van de twee deeltjes voor de botsing? d. Deze energie gaat over in de rustenergie van het gecombineerde deeltje, hoe groot is M? 6.4 Nog een inelastische botsing Een deeltje met massa m botst met een energie E = 2mc 2 op eenzelfde deeltje in rust. a. Wat is de snelheid van ieder van de deeltjes? b. Wat is de impuls van ieder van de deeltjes? Na de botsing vormen de twee deeltjes een deeltje met massa M en snelheid V. De energie en impuls van deeltje M zijn respectievelijk E = γmc 2 en p = mγv. c. Wat is de energie van deeltje M uitgedrukt in de massa van de twee botsende deeltjes? d. En de impuls? e. Bereken de snelheid V van deeltje M. f. Bereken massa M. g. Niet-relativistisch zou je verwachten dat M = 2m en V = 1 2v. Was dat relativistisch ook zo? 6.5 e-e+ botsing Een elektron botst in het laboratoriumsysteem met snelheid v = 0, 8c op een positron in rust. a. Bereken hun totale energie uitgedrukt in de elektron massa m e in het laboratoriumsysteem. b. Dezelfde vraag in het zwaartepuntssysteem. Bij de botsing vernietigen zij elkaar en ontstaan er, gezien vanuit het zwaartepuntsysteem, twee gelijke fotonen die tegengesteld aan elkaar wegschieten, elk met een energie E foton = hν. c. Waarom moeten het twee fotonen zijn en waarom hebben ze dezelfde frequentie? Als de beweging van de fotonen in het zwaartepuntsysteem loodrecht op de richting van het elektron is, kun je met een Lorentztransformatie de energie van de fotonen in het laboratoriumsysteem bepalen. d. Wat is de frequentie van de fotonen in het laboratoriumsysteem? 24

27 7 Dopplereffect 7.1 Bewegende lichtbronnen y y y y v B W x, x W B v x, x a) bron B nadert waarnemer W b) bron B verwijdert zich van waarnemer W Figuur 16: Bewegende bronnen We plaatsen een lichtbron in stelsel S en een waarnemer in stelsel S met een onderlinge snelheid v tussen S en S. De Lorentztransformatie geeft dan aan hoe de energie/frequentie, die de waarnemer aan de bewegende lichtbron toekent, afwijkt van de energie/frequentie voor een stilstaande bron. Eerst: de bron B nadert de waarnemer W (links in fig 16a) a. Wat is de Lorentztransformatie voor impuls en energie voor een overgang van S naar S? b. Leidt hieruit de frequentie voor een naderende lichtbron af. c. Ga na of het Doppler-effect hier tot een hogere of lagere frequentie heeft geleid. Nu voor een zich verwijderende bron (rechts in figuur 16b) d. Bepaal E en leidt de frequentie voor de zich verwijderende bron af. e. Is ν groter of kleiner dan ν? f. In welke van de twee gevallen is er sprake van een roodverschuiving? 7.2 Roodverschuiving In het uitdijend heelal verwijderen veraf gelegen sterrenstelsels zich van ons af met een snelheid v die toeneemt met hun afstand d : v Hd (H is de Hubble constante). Deze verwijdering valt af te lezen uit de roodverschuiving van bekende spectraallijnen, die nu een grotere golflengte λ dan de gebruikelijke λ hebben. 25

28 De roodverschuiving wordt beschreven door de parameter z = λ λ λ. a. Laat zien dat z = 1+β 1 β 1. b. Schets een grafiek van z tegen β. Voor melkwegstelsels op een afstand d = 10 8 lichtjaar is z Voor quasars op een afstand d = lichtjaar is z 1. c. Maak met deze gegevens een schatting van de Hubble-constante. d. Laat zien dat 1 H van de orde van de ouderdom van het heelal is en bereken deze. 7.3 Stoplicht Hoe hard moet je rijden om een stoplicht, dat op rood staat, als een groen stoplicht te zien? De golflengte van rood licht is 700 nm, die van groen licht 500 nm. 26

29 8 Deeltjesproductie 8.1 pp-botsing In het zwaartepuntsysteem botsten een proton (symbool p) en een antiproton (symbool p) ieder met een snelheid v = 0, 8c op elkaar. De massa van het antiproton is gelijk aan de massa van het proton. a. Wat is de totale impuls p in het zwaartepuntsysteen? b. Wat is de totale energie E in het zwaartepuntsysteem? c. Wat is de totale vierimpuls P in het zwaartepuntsysteem? d. Bij de botsing vernietigen de twee deeltjes elkaar. Hoeveel energie is er beschikbaar voor de creatie van nieuwe deeltjes? 8.2 Vervallende deeltjes Een deeltje in rust met massa M vervalt in twee identieke deeltjes, elk met massa m. a. Waarom zullen de twee deeltjes die ontstaan een even grote snelheid hebben? b. Geef een uitdrukking voor deze snelheid v in termen van M en m. Een pion (massa m π ) in rust vervalt in een muon (massa m µ ) en een neutrino (massa m ν = 0). c. Wat is de snelheid van het neutrino? d. Wat is de impuls van het muon? 8.3 pp-botsing E,p E*,p* E*,-p* laboratoriumsysteem zwaartepuntsysteem voor na voor na Figuur 17: pp botsing Wanneer een proton met voldoende energie op een andere proton wordt geschoten is het mogelijk dat een extra p p paar wordt gecreëerd: pp ppp p 27

30 Bekijk de gebeurtenis eerst vanuit het laboratoriumsysteem (figuur 17 links). impuls van het bewegende proton in het laboratoriumsysteem zijn resp. E en p. De energie en a. Welk verband bestaat er tussen E en p? b. Wat is de totale energie in het laboratoriumsysteem vóór de botsing? En de totale impuls? c. Bekijk nu de gebeurtenis in het zwaartepuntsysteem (figuur 17 rechts). Wat is de minimale energie (Emin ) nodig om de reactie pp ppp p te laten verlopen? d Leidt uit de invariantie van de vierimpuls de waarde voor de minimale energie E min af. e. Wat zou energetisch voordeliger zijn: de hierboven beschreven botsing met één bewegend en één stilstaand proton of de situatie waarbij twee bewegende protonen op elkaar botsen (bij gelijke onderlinge snelheid)? 28

Oefeningen. Speciale Relativiteitstheorie

Oefeningen. Speciale Relativiteitstheorie Oefeningen bij het college Speciale Relativiteitstheorie Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr. E. de Wolf NIKHEF /Onderzoeksinstituut HEF /UvA versie 1.3, januari 2003 2 Inhoudsopgave 1 Galileitransformatie

Nadere informatie

Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie

Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie Fysica (IHEF) Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie

Nadere informatie

Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie. Galileitransformaties. versie 1.3, januari 2003

Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie. Galileitransformaties. versie 1.3, januari 2003 Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Galileitransformaties versie 1.3, januari 003 Inhoudsopgave 0.1Galileitransformatie 0.1.1 Twee inertiaalsystemen...................... 0.1. Een paraboolbaan.........................

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie versie 13 februari 013 Speciale relativiteitstheorie J.W. van Holten NIKHEF Amsterdam en LION Universiteit Leiden c 1 Lorentztransformaties In een inertiaalstelsel bewegen alle vrije deeltjes met een

Nadere informatie

Relativiteitstheorie met de computer

Relativiteitstheorie met de computer Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!

Nadere informatie

Elementaire Deeltjesfysica

Elementaire Deeltjesfysica Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie

Nadere informatie

Bewijzen en toegiften

Bewijzen en toegiften Bewijzen en toegiften 1 Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W schiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 7 oktober 2013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme

Nadere informatie

HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 1

HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK Opgave : Causaliteit In het jaar 300 wordt door de Aardse Federatie een ruimteschip naar een Aardse observatiepost op de planeet P47 gestuurd. Op de maan van

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie Speciale relativiteitstheorie De drie vragen van Einstein Wat is licht? Wat is massa? Wat is tijd? In 1905, Einstein was toen 26 jaar! Klassiek: wat is licht? Licht is een golf, die naar alle kanten door

Nadere informatie

Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam

Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde André van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s speciale relativiteitstheorie, maarr dan begrijpelijk

Nadere informatie

Deeltjes en velden donderdag 3 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 2

Deeltjes en velden donderdag 3 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 2 Deeltjes en velden donderdag 3 oktober 203 OPGAVEN WEEK 2 Opgave : Causaliteit In het jaar 300 wordt door de Aardse Federatie een ruimteschip naar een Aardse observatiepost op de planeet P47 gestuurd.

Nadere informatie

Speciale Relativiteitstheorie

Speciale Relativiteitstheorie Speciale Relativiteitstheorie Prof. Dr J.J. Engelen NIKHEF/Onderzoekinstituut HEF met medewerking van Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 De Galileitransformatie

Nadere informatie

Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl

Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl Speciale rela*viteit Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl Albert Einstein (1879 1955) Einstein s grensverleggende papers (1905): De speciale

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop

Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop Speciale relativiteitstheorie:... 1 de basisconcepten in een notedop... 1 1. Klassieke Relativiteit... 1 1.1 Twee waarnemers zien een verschillende

Nadere informatie

1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002

1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Relativiteit Als je aan relativiteit denkt, dan denk je waarschijnlijk als eerste aan Albert Einstein. En dat is dan ook de bedenker van de relativiteitstheorie.

Nadere informatie

Natk4All Leraren opleiding Speciale Relativiteitstheorie (leerjaar )

Natk4All Leraren opleiding Speciale Relativiteitstheorie (leerjaar ) Natk4All Leraren opleiding Speciale Relativiteitstheorie (leerjaar 2016-2017) February 5, 2017 Tijd: 2 uur 30 min Afsluitend Maximum Marks: 78+5(bonusopgave) 1. In wereld van serie Star-Trek kunnen mensen

Nadere informatie

Tentamen Mechanica ( )

Tentamen Mechanica ( ) Tentamen Mechanica (20-12-2006) Achter iedere opgave is een indicatie van de tijdsbesteding in minuten gegeven. correspondeert ook met de te behalen punten, in totaal 150. Gebruik van rekenapparaat en

Nadere informatie

Docentencursus relativiteitstheorie

Docentencursus relativiteitstheorie Docentencursus relativiteitstheorie Uitwerkingen opgaven bijeenkomst 1, "Waarom relativiteit?" 18 september 2013 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau dit zijn dus opgaven

Nadere informatie

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005 Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005 Dé formule Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc 2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule

Nadere informatie

RELATIVITEIT VWO. Lengtecontractie Rust- bewegende massa Relativistisch optellen

RELATIVITEIT VWO. Lengtecontractie Rust- bewegende massa Relativistisch optellen RELATIVITEIT VWO Foton is een opgavenverzameling voor het nieuwe eindexamenprogramma natuurkunde. Foton is gratis te downloaden via natuurkundeuitgelegd.nl/foton Uitwerkingen van alle opgaven staan op

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen

Nadere informatie

Mooie samenvatting: http://members.ziggo.nl/mmm.bessems/kinematica%20 Stencil%20V4%20samenvatting.doc.

Mooie samenvatting: http://members.ziggo.nl/mmm.bessems/kinematica%20 Stencil%20V4%20samenvatting.doc. studiewijzer : natuurkunde leerjaar : 010-011 klas :6 periode : stof : (Sub)domeinen C1 en A 6 s() t vt s v t gem v a t s() t at 1 Boek klas 5 H5 Domein C: Mechanica; Subdomein: Rechtlijnige beweging De

Nadere informatie

Schoolexamen Moderne Natuurkunde

Schoolexamen Moderne Natuurkunde Schoolexamen Moderne Natuurkunde Natuurkunde 1,2 VWO 6 24 maart 2003 Tijdsduur: 90 minuten Deze toets bestaat uit 3 opgaven met 16 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Tentamen - uitwerkingen

Tentamen - uitwerkingen Tentamen - uitwerkingen Mechanica en Relativiteitstheorie voor TW 5 april 06 Kennisvragen - 0 punten a) Geef de drie behoudswetten van de klassieke mechanica, en geef voor elk van de drie aan onder welke

Nadere informatie

K4 Relativiteitstheorie

K4 Relativiteitstheorie K4 Relativiteitstheorie Ruimtetijd vwo Uitwerkingen basisboek K4. INTRODUCTIE 2 3 a De golflengte van radiostraling is groter dan die van licht. b Uit c λ f volgt dat de frequentie van de fotonen van radiostraling

Nadere informatie

1 Uitgewerkte opgaven: relativistische kinematica

1 Uitgewerkte opgaven: relativistische kinematica 1 Uitgewerkte opgaven: relativistische kinematica 1. Impuls van een π + meson Opgave: Een π + heeft een kinetische energie van 200 MeV. Bereken de impuls in MeV/c. Antwoord: Een π + meson heeft een massa

Nadere informatie

Theory DutchBE (Belgium) De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten)

Theory DutchBE (Belgium) De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten) Q3-1 De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten) Lees eerst de algemene instructies in de aparte envelop alvorens te starten met deze vraag. In deze opdracht wordt de fysica van de deeltjesversneller

Nadere informatie

Relativiteit. Bijlagen

Relativiteit. Bijlagen Relativiteit 1 Referentiestelsels; Galileï-transformatie Postulaten van de speciale relativiteitstheorie 3 Tijdsduurrek 4 Lengtekrimp 5 Minkowskidiagram 6 Lorentztransformatie 7 Ruimtetijdinterval 8 Relativistisch

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 6

Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 6 1 Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 013 OPGAVEN WEEK 6 Opgave 1: We bespreken kort Rindler space en de connectie met de Tweelingparadox. We kijken naar een uniform versnelde waarnemer (we beschouwen

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 30 september 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme

Nadere informatie

TENTAMEN DYNAMICA ( )

TENTAMEN DYNAMICA ( ) TENTAMEN DYNAMICA (1914001) 8 januari 011, 08:45 1:15 Verzoek: Begin de beantwoording van een nieuwe opgave op een nieuwe pagina. Alleen leesbaar en verzorgd werk kan worden beoordeeld. Opgave 1 (norm:

Nadere informatie

Einstein (2) op aardoppervlak. versnelling van 10m/s 2. waar het foton zich bevindt a) t = 0 b) t = 1 s c) t = 2 s op t=0,t=1s en t=2s A B C A B

Einstein (2) op aardoppervlak. versnelling van 10m/s 2. waar het foton zich bevindt a) t = 0 b) t = 1 s c) t = 2 s op t=0,t=1s en t=2s A B C A B Einstein (2) In het vorig artikeltje zijn helaas de tekeningen, behorende bij bijlage 4,"weggevallen".Omdat het de illustratie betrof van de "eenvoudige" bewijsvoering van de kromming der lichtstralen

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme

Nadere informatie

(a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met elkaar gemeen hebben.

(a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met elkaar gemeen hebben. Uitwerkingen HiSPARC Elementaire deeltjes C.G.N. van Veen 1 Hadronen Opdracht 1: Elementaire deeltjes worden onderverdeeld in quarks en leptonen. (a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met

Nadere informatie

MODULE GLIESE 667 RELATIVITEIT GLIESE 667. Naam: Klas: Datum:

MODULE GLIESE 667 RELATIVITEIT GLIESE 667. Naam: Klas: Datum: GLIESE 667 RELATIVITEIT GLIESE 667 Naam: Klas: Datum: GLIESE 667 GLIESE 667 WE GAAN OP REIS De invloed van de mensheid reikt steeds verder. In de oertijd kon een mens zich maar enkele kilometers van zijn

Nadere informatie

Het Quantum Universum. Cygnus Gymnasium

Het Quantum Universum. Cygnus Gymnasium Het Quantum Universum Cygnus Gymnasium 2014-2015 Wat gaan we doen? Fundamentele natuurkunde op de allerkleinste en de allergrootste schaal. Groepsproject als eindopdracht: 1) Bedenk een fundamentele wetenschappelijk

Nadere informatie

toelatingsexamen-geneeskunde.be

toelatingsexamen-geneeskunde.be Fysica juli 2009 Laatste update: 31/07/2009. Vragen gebaseerd op het ingangsexamen juli 2009. Vraag 1 Een landingsbaan is 500 lang. Een vliegtuig heeft de volledige lengte van de startbaan nodig om op

Nadere informatie

Deeltjes in Airshowers. N.G. Schultheiss

Deeltjes in Airshowers. N.G. Schultheiss 1 Deeltjes in Airshowers N.G. Shultheiss 1 Inleiding Deze module volgt op de module Krahten in het standaardmodel. Deze module probeert een beeld te geven van het ontstaan van airshowers (in de atmosfeer)

Nadere informatie

Relativiteit. Relativistische Mechanica 1

Relativiteit. Relativistische Mechanica 1 Relativiteit University Physics Hoofdstuk 37 Relativistische Mechanica 1 Relativiteit beweging voorwerp in 2 verschillende inertiaal stelsels l relateren Galileo Galileïsche transformatie 2 Transformatie

Nadere informatie

Afstanden en roodverschuiving in een Stabiel Heelal Inleiding.

Afstanden en roodverschuiving in een Stabiel Heelal Inleiding. Afstanden en roodverschuiving in een Stabiel Heelal ---------------------------------------------------------------------- Inleiding. Wanneer men nu aanneemt dat het heelal stabiel is, dus dat alles in

Nadere informatie

MechRela voor TW. Hertentamen - uitwerkingen. 22 mei 2015, 14:00-17:00h. (b) Formuleer de postulaten van de speciale relativiteitstheorie.

MechRela voor TW. Hertentamen - uitwerkingen. 22 mei 2015, 14:00-17:00h. (b) Formuleer de postulaten van de speciale relativiteitstheorie. MechRela voor TW Hertentamen - uitwerkingen mei 015, 14:00-17:00h 1 Kennisvragen (10 pt) (a) Formuleer de drie wetten van Newton die de basis vormen van de klassieke mechanica. (b) Formuleer de postulaten

Nadere informatie

Tolpoortje RELATIVITEIT KEPLER 22B. 200 m. aket. Naam: Klas: Datum:

Tolpoortje RELATIVITEIT KEPLER 22B. 200 m. aket. Naam: Klas: Datum: KEPLER 22B RELATIVITEIT KEPLER 22B Tolpoortje chterste krachtveld de raket binnen is. aket 200 m Krachtveld. het tolsystee zet zodra he krachtveld a Naam: Klas: Datum: KEPLER 22B KEPLER 22B VERDER EN VERDER

Nadere informatie

Eindexamen natuurkunde 1-2 havo 2000-II

Eindexamen natuurkunde 1-2 havo 2000-II Eindexamen natuurkunde -2 havo 2000-II 4 Antwoordmodel Opgave Slijtage bovenleiding uitkomst: m =,87 0 6 kg Het afgesleten volume is: V = (98,8 78,7) 0-6 5200 0 3 2 = 2,090 0 2 m 3. Hieruit volgt dat m

Nadere informatie

Speciale Relativiteitstheorie

Speciale Relativiteitstheorie NS106b/2014-2015 Versie 31/07/2014 Speciale Relativiteitstheorie Stefan Vandoren Instituut voor Theoretische Fysica Universiteit Utrecht Dictaat Dit is een collegedictaat in voorbereiding. De tekst is

Nadere informatie

Eindexamen vwo natuurkunde pilot 2012 - I

Eindexamen vwo natuurkunde pilot 2012 - I Eindexamen vwo natuurkunde pilot 0 - I Opgave Lichtpracticum maximumscore De buis is aan beide kanten afgesloten om licht van buitenaf te voorkomen. maximumscore 4 De weerstanden verhouden zich als de

Nadere informatie

Relativiteit. Bijlagen

Relativiteit. Bijlagen Relativiteit 1 Referentiestelsels; Galileï-transformatie Postulaten van de speciale relativiteitstheorie 3 Tijdsduurrek 4 Lengtekrimp 5 Minkowskidiagram 6 Lorentztransformatie 7 Ruimtetijdinterval 8 Relativistisch

Nadere informatie

Relativiteit. Bijlagen

Relativiteit. Bijlagen Relativiteit 1 Referentiestelsels; Galileï-transformatie Postulaten van de speciale relativiteitstheorie 3 Tijdsduurrek 4 Lengtekrimp 5 Minkowskidiagram 6 Lorentztransformatie 7 Ruimtetijdinterval 8 Relativistisch

Nadere informatie

Fysica: mechanica, golven en thermodynamica PROEFEXAMEN VAN 12 NOVEMBER 2008

Fysica: mechanica, golven en thermodynamica PROEFEXAMEN VAN 12 NOVEMBER 2008 Fysica: mechanica, golven en thermodynamica Prof. J. Danckaert PROEFEXAMEN VAN 12 NOVEMBER 2008 OPGEPAST Veel succes! Dit proefexamen bestaat grotendeels uit meerkeuzevragen waarbij je de letter overeenstemmend

Nadere informatie

Juli blauw Vraag 1. Fysica

Juli blauw Vraag 1. Fysica Vraag 1 Beschouw volgende situatie in een kamer aan het aardoppervlak. Een homogene balk met massa 6, kg is symmetrisch opgehangen aan de touwen A en B. De touwen maken elk een hoek van 3 met de horizontale.

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Kinematica. 25 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Fysica: Kinematica. 25 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Fysica: Kinematica 25 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Stevin vwo Uitwerkingen Speciale relativiteitstheorie ( ) Pagina 1 van 8

Stevin vwo Uitwerkingen Speciale relativiteitstheorie ( ) Pagina 1 van 8 Stevin vwo Uitwerkingen Speiale relativiteitstheorie (14-09-015) Pagina 1 van 8 Opgaven 1 Het is maar hoe je het ekijkt 1 a Een inertiaalsysteem is een omgeving waarin de eerste wet van Newton geldt. a

Nadere informatie

Algemeen. Cosmic air showers J.M.C. Montanus. HiSPARC. 1 Kosmische deeltjes. 2 De energie van een deeltje

Algemeen. Cosmic air showers J.M.C. Montanus. HiSPARC. 1 Kosmische deeltjes. 2 De energie van een deeltje Algemeen HiSPARC Cosmic air showers J.M.C. Montanus 1 Kosmische deeltjes De aarde wordt continu gebombardeerd door deeltjes vanuit de ruimte. Als zo n deeltje de dampkring binnendringt zal het op een gegeven

Nadere informatie

Docentencursus relativiteitstheorie

Docentencursus relativiteitstheorie Docentencursus relativiteitstheorie Opgaven bijeenkomst 2, "Rekenen en tekenen" 8 september 203 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau dit zijn dus opgaven die in de les of

Nadere informatie

Examen mechanica: oefeningen

Examen mechanica: oefeningen Examen mechanica: oefeningen 22 februari 2013 1 Behoudswetten 1. Een wielrenner met een massa van 80 kg (inclusief de fiets) kan een helling van 4.0 afbollen aan een constante snelheid van 6.0 km/u. Door

Nadere informatie

Botsingen. N.G. Schultheiss

Botsingen. N.G. Schultheiss 1 Botsingen N.G. Schultheiss 1 Inleiding In de natuur oefenen voorwerpen krachten op elkaar uit. Dit kan bijvoorbeeld doordat twee voorwerpen met elkaar botsen. We kunnen hier denken aan grote samengestelde

Nadere informatie

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2013 theorietoets deel 1

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2013 theorietoets deel 1 Eindronde Natuurkunde Olympiade 2013 theorietoets deel 1 Opgave 1 Helikopter (3p) Een helikopter A kan in de lucht stilhangen als het geleverde vermogen door de motor P is. Een tweede helikopter B is een

Nadere informatie

ATWOOD Blok A en blok B zijn verbonden door een koord dat over een katrol hangt. Er is geen wrijving in de katrol. Het stelsel gaat bewegen.

ATWOOD Blok A en blok B zijn verbonden door een koord dat over een katrol hangt. Er is geen wrijving in de katrol. Het stelsel gaat bewegen. ATWOOD Blok A en blok B zijn verbonden door een koord dat over een katrol hangt. Er is geen wrijving in de katrol. Het stelsel gaat bewegen. Bereken de spankracht in het koord. ATWOOD Over een katrol hangt

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores

Vraag Antwoord Scores Eindexamen vwo natuurkunde pilot 03-II Beoordelingsmodel Opgave Splijtstof in een kerncentrale maximumscore 3 35 7 87 U + n Ba + Kr + n of 9 0 56 36 0 35 7 87 U + n Ba + Kr + n één neutron links van de

Nadere informatie

Eindexamen vwo natuurkunde 2013-I

Eindexamen vwo natuurkunde 2013-I Eindexamen vwo natuurkunde 03-I Beoordelingsmodel Opgave Sprint maximumscore De snelheid is constant omdat het (s,t)-diagram (vanaf 4 seconde) een rechte lijn is. De snelheid is gelijk aan de helling van

Nadere informatie

Dit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard.

Dit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Mechanica 1 voor N en Wsk (3NA40 en 3AA40) Donderdag 21 januari 2010 van 09.00u tot 12.00u Dit tentamen bestaat uit vier opgaven.

Nadere informatie

Toets Algemene natuurkunde 1

Toets Algemene natuurkunde 1 Beste Student, Toets Algemene natuurkunde 1 Deze toets telt mee voor 10% van je totaalscore, twee punten op twintig dus. Lees eerst aandachtig de vragen zodat je een duidelijk beeld hebt van wat de gegevens

Nadere informatie

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal.

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal. -09-5 Bijlage voor Stabiel Heelal. --------------------------------------- In deze bijlage wordt onderzocht hoe in mijn visie materie, ruimte en energie zich tot elkaar verhouden. Op zichzelf was de fascinatie

Nadere informatie

jaar: 1990 nummer: 03

jaar: 1990 nummer: 03 jaar: 1990 nummer: 03 Een pijl die horizontaal wordt afgeschoten in het punt P treft een vettikale wand in het punt A. Verdubbelt men de vertreksnelheid van de pijl in het punt P, dan zal de pijl dezelfde

Nadere informatie

(a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met elkaar gemeen hebben.

(a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met elkaar gemeen hebben. Werkbladen HiSPARC Elementaire deeltjes C.G.N. van Veen 1 Hadronen Opdracht 1: Elementaire deeltjes worden onderverdeeld in quarks en leptonen. (a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met elkaar

Nadere informatie

Cursus deeltjesfysica

Cursus deeltjesfysica Cursus deeltjesfysica Bijeenkomst 1 (5 maart 2014) de speciale relativiteitstheorie prof Stan Bentvelsen en prof Jo van den Brand Nikhef - Science Park 105-1098 XG Amsterdam s.bentvelsen@uva.nl - jo@nikhef.nl

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com

Nadere informatie

Op basis van de tweede wet van Newton kan onderstaand verband worden afgeleid. F = m a = m Δv Δt

Op basis van de tweede wet van Newton kan onderstaand verband worden afgeleid. F = m a = m Δv Δt Inhoud en stoot... 2 Voorbeeld: Kanonschot... 3 Opgaven... 4 Opgave: Tennisbal... 4 Opgave: Frontale botsing... 5 Opgave: Niet-frontale botsing... 5 1/5 en stoot Op basis van de tweede wet van Newton kan

Nadere informatie

m 2. De berekening terug uitvoeren met die P en r = 100 m i.p.v. 224 m levert L = 57 db.

m 2. De berekening terug uitvoeren met die P en r = 100 m i.p.v. 224 m levert L = 57 db. Doppler A B PASSERENDE FLUIT Het vriest licht; de maan schijnt door de bomen. Ik sta op 100 m van de kruising van twee wegen. Op de kruisende weg rijdt een open auto. Een inzittende blaast op een fluitje

Nadere informatie

BEWEGING HAVO. Raaklijnmethode Hokjesmethode

BEWEGING HAVO. Raaklijnmethode Hokjesmethode BEWEGING HAVO Foton is een opgavenverzameling voor het nieuwe eindexamenprogramma natuurkunde. Foton is te downloaden via natuurkundeuitgelegd.nl/foton Uitwerkingen van alle opgaven staan op natuurkundeuitgelegd.nl/uitwerkingen

Nadere informatie

Muonen. Auteur: Hans Uitenbroek Datum: 5 februari 2013. Opleiding: VWO 6

Muonen. Auteur: Hans Uitenbroek Datum: 5 februari 2013. Opleiding: VWO 6 Muonen Auteur: Hans Uitenbroek Datum: 5 februari 2013 Opleiding: VWO 6 1 Inhoudsopgave Voorwoord 1. Inleiding 1.1. Aanleiding van het onderzoek 1.2. Probleemstelling 2. Methode en werkwijze 3. Onderzoek

Nadere informatie

4. Maak een tekening:

4. Maak een tekening: . De versnelling van elk deel van de trein is hetzelfde, dus wordt de kracht op de koppeling tussen de 3e en 4e wagon bepaald door de fractie van de massa die er achter hangt, en wordt dus gegeven door

Nadere informatie

2.1 Onderzoek naar bewegingen

2.1 Onderzoek naar bewegingen 2.1 Onderzoek naar bewegingen Opgave 1 afstand a De (gemiddelde) snelheid leid je af met snelheid =. tijd Je moet afstand en snelheid bespreken om iets over snelheid te kunnen zeggen. afstand snelheid

Nadere informatie

Relativiteitstheorie VWO

Relativiteitstheorie VWO Inhoud... 2 Waarnemingen verrichten... 2 Relativiteitsprincipe van Galileo Galilei... 3 Het (tijd, plaats)-diagram... 4 Iedereen kijkt naar Bobs raket... 4 Het relativiteitsprincipe van Galilei en de snelheid

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com

Nadere informatie

Naam: Klas: Repetitie Relativiteit (versie A)

Naam: Klas: Repetitie Relativiteit (versie A) Naam: Klas: Repetitie Relativiteit (versie A) Opgave 1 Jack is verliefd op Jennifer (18) en wil graag een relatie met haar, liefst een seksuele! Het probleem is echter dat Jennifer hem te dik en te oud

Nadere informatie

Relativiteit. N.G. Schultheiss

Relativiteit. N.G. Schultheiss 1 Relativiteit N.G. Shultheiss 1 Inleiding In deze module wordt er uitgelegd hoe een natuurkundige gebeurtenis door vershillende waarnemers wordt waargenomen. Iedere waarnemer heeft een eigen assenstelsel

Nadere informatie

Dit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard.

Dit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Mechanica 1 voor N en Wsk (3NA40 en 3AA40) Donderdag 8 april 010 van 09.00u tot 1.00u Dit tentamen bestaat uit vier opgaven.

Nadere informatie

Technische Universiteit Eindhoven Bachelor College

Technische Universiteit Eindhoven Bachelor College Technische Universiteit Eindhoven Bachelor College Herkansing Eindtoets Toegepaste Natuurwetenschappen and Second Chance final assessment Applied Natural Sciences (3NBB) Maandag 15 April, 2013, 14.00 17.00

Nadere informatie

Eindexamen natuurkunde 1-2 vwo I

Eindexamen natuurkunde 1-2 vwo I Eindexamen natuurkunde - vwo 009 - I Beoordelingsmodel Opgave Mondharmonica maximumscore 3 In figuur 3 zijn minder trillingen te zien dan in figuur De frequentie in figuur 3 is dus lager Het lipje bij

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Quantummechanica en Relativiteitsleer bij kosmische straling

Quantummechanica en Relativiteitsleer bij kosmische straling Quantummechanica en sleer bij kosmische straling Niek Schultheiss 1/19 Krachten en krachtdragers Op kerndeeltjes werkt de zwaartekracht. Op kerndeeltjes werkt de elektromagnetische kracht. Kernen kunnen

Nadere informatie

Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. Een korte inleiding:

Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. Een korte inleiding: 1 Ruimte, Ether, Lichtsnelheid en de Speciale Relativiteitstheorie. 23-09-2015 -------------------------------------------- ( j.eitjes@upcmail.nl) Een korte inleiding: Is Ruimte zoiets als Leegte, een

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

Einstein (6) v(=3/4c) + u(=1/2c) = 5/4c en... dat kan niet!

Einstein (6) v(=3/4c) + u(=1/2c) = 5/4c en... dat kan niet! Einstein (6) n de voorafgaande artikelen hebben we het gehad over tijdsdilatatie en Lorenzcontractie (tijd en lengte zijn niet absoluut maar hangen af van de snelheid tussen waarnemer en waargenomene).

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie versie 1 september 2013 Speciale relativiteitstheorie J.W. van Holten NIKHEF Amsterdam en LION Universiteit Leiden c Hoofdstuk 1 Inleiding Natuurkunde is de wetenschap van de materie en haar wisselwerkingen.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel A1, blad 1/4 maandag 1 oktober 27, 9.-1.3 uur Het tentamen

Nadere informatie

OVERAL, variatie vanuit de kern LES- BRIEF. Tweede Fase. Het neutrinomysterie. Foto: CERN

OVERAL, variatie vanuit de kern LES- BRIEF. Tweede Fase. Het neutrinomysterie. Foto: CERN OVERAL, variatie vanuit de kern LES- BRIEF Tweede Fase Het neutrinomysterie Foto: CERN 1 Het was op het nieuws, het was in de krant, iedereen had het er over: neutrino s die sneller gaan dan het licht.

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Arbeid en energie

Hoofdstuk 4: Arbeid en energie Hoofdstuk 4: Arbeid en energie 4.1 Energiebronnen Arbeid: W =............. Energie:............................................................................... Potentiële energie: E p =.............

Nadere informatie

Een model voor een lift

Een model voor een lift Een model voor een lift 2 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Inleiding... 5 Model 1, oriëntatie... 7 Model 1... 9 Model 2, oriëntatie... 11 Model 2... 13

Nadere informatie

TENTAMEN DYNAMICA (140302) 29 januari 2010, 9:00-12:30

TENTAMEN DYNAMICA (140302) 29 januari 2010, 9:00-12:30 TENTAMEN DYNAMICA (14030) 9 januari 010, 9:00-1:30 Verzoek: begin de beantwoording van een nieuwe vraag op een nieuwe pagina. En schrijf duidelijk: alleen leesbaar en verzorgd werk kan worden nagekeken.

Nadere informatie

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1 Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1 Opgave 1 Botsend blokje (5p) Een blok met een massa van 10 kg glijdt over een glad oppervlak. Hoek D botst tegen een klein vastzittend blokje S

Nadere informatie

Naam: Klas: Repetitie versnellen en vertragen 1 t/m 6 HAVO

Naam: Klas: Repetitie versnellen en vertragen 1 t/m 6 HAVO Naam: Klas: Repetitie versnellen en vertragen 1 t/m 6 HAVO Opgave 1 Hiernaast is een (v-t)-diagram van een voorwerp weergegeven. a. Bereken de afgelegde afstand van het voorwerp tussen t 0 s en t 8 s.

Nadere informatie

In een U-vormige buis bevinden zich drie verschillende, niet mengbare vloeistoffen met dichtheden ρ1, ρ2 en ρ3. De hoogte h1 = 10 cm en h3 = 15 cm.

In een U-vormige buis bevinden zich drie verschillende, niet mengbare vloeistoffen met dichtheden ρ1, ρ2 en ρ3. De hoogte h1 = 10 cm en h3 = 15 cm. Fysica Vraag 1 In een U-vormige buis bevinden zich drie verschillende, niet mengbare vloeistoffen met dichtheden ρ1, ρ2 en ρ3. De hoogte h1 = 1 cm en h3 = 15 cm. De dichtheid ρ3 wordt gegeven door:

Nadere informatie

Speciale Relativiteitstheorie

Speciale Relativiteitstheorie Speciale Relativiteitstheorie Bij het eerstejaars college aan de Radboud Universiteit Nijmegen Sijbrand de Jong Radboud Universiteit Nijmegen/NIKHEF Toernooiveld 1 6525 ED Nijmegen email: sijbrand@hef.ru.nl

Nadere informatie

Grootheid: eigenschap die je kunt meten (met een meetinstrument) Eenheid: maat waarin de grootheid wordt uitgedrukt

Grootheid: eigenschap die je kunt meten (met een meetinstrument) Eenheid: maat waarin de grootheid wordt uitgedrukt 1.3 Grootheden en eenheden Grootheid: eigenschap die je kunt meten (met een meetinstrument) Eenheid: maat waarin de grootheid wordt uitgedrukt BINAS : BINAS 3A: BINAS 4: vermenigvuldigingsfactoren basisgrootheden

Nadere informatie

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex vwo I

Eindexamen natuurkunde 1-2 compex vwo I Eindexamen natuurkunde -2 compex vo 2009 - I Beoordelingsmodel Opgave Mondharmonica maximumscore 3 voorbeeld van een antoord: In figuur 3 zijn minder trillingen te zien dan in figuur 2. De frequentie in

Nadere informatie

Opgave 1 Koolstof-14-methode

Opgave 1 Koolstof-14-methode Eindexamen havo natuurkunde pilot 04-II Aan het juiste antwoord op een meerkeuzevraag wordt scorepunt toegekend. Opgave Koolstof-4-methode maximumscore 3 antwoord: aantal aantal aantal massa halveringstijd

Nadere informatie

NAAM:... OPLEIDING:... Fysica: mechanica, golven en thermodynamica PROEFEXAME VA 3 OVEMBER 2009

NAAM:... OPLEIDING:... Fysica: mechanica, golven en thermodynamica PROEFEXAME VA 3 OVEMBER 2009 NAAM:... OPLEIDING:... Fysica: mechanica, golven en thermodynamica Prof. J. Danckaert PROEFEXAME VA 3 OVEMBER 2009 Bij meerkeuzevragen wordt giscorrectie toegepast: voor elk fout verlies je 0.25 punten.

Nadere informatie