Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie"

Transcriptie

1 Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie Fysica (IHEF)

2

3 Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie Fysica (IHEF) gebaseerd op de syllabus van Prof. J.J. Engelen met medewerking van drs. B. Mooij versie 4.0, September 2007

4 4

5 Inhoudsopgave 1 Galileitransformatie Twee inertiaalsystemen Tennissen Een paraboolbaan Versnellende auto Michelson-Morley voor geluid Tijddilatatie en lengtecontractie Einstein puzzel Tijddilatatie Einsteins gedachte-experiment Afstanden Muon Neutron Astronaut Bewegend voorwerp Lorentztransformatie Inverse Lorentztransformatie Klokken Knal en Lichtflits Boeven vangen Michelson-Morley experiment Consequenties van de Lorentztransformatie Lat Vier klokken Raketten Lichtflitsen Trein Minkowski-diagrammen Drie gebeurtenissen Draaiing in het ct, x-diagram Lorentzcontractie en Tijddilatatie in Minkowski-diagram Wereldlijnen Opnieuw raketten i

6 6 Klassieke Mechanica Botsende deeltjes Massa-middelpunt Krachtveld Lorentztransformatie van impuls en energie Impuls-energie viervector Energie van een relativistisch deeltje Energie en impuls van een relativistisch deeltje Massaloze deeltjes Twee relativistische deeltjes Inelastische boting Nog een inelastische botsing Doppler effect Bewegende lichtbronnen Roodverschuiving Stoplicht Transversaal Doppler effect Tweelingparadox Deeltjes productie Vierimpuls p p botsing Vervallende deeltjes pp botsing Eenheden e e + botsing ii

7 1 1 Galileitransformatie 1.1 Twee inertiaalsystemen Twee inertiaalstelsels S en S zijn verbonden door de Galileitransformatie : x = x + 3t y = y z = z t = t a. In welke richting beweegt S t.o.v. S? b. Schrijf de transformatie-formules op voor de snelheidscomponenten v x, v y, v z. In S duwt een kracht F een voorwerp met massa m met een versnelling a = 2m/s 2 voort, van snelheid v = 4m/s op t = 0 en x = 0 tot snelheid v = 10m/s op t = 3s en x = 21m. c. Welke waarden hebben a, F, x en v in S? d. Blijft de formule v = v(0) + at in S van kracht? Zowel in S als S kun je de arbeid W = F x en de groei van de kinetische energie E k = ( 1 2 mv2 ) uitrekenen. e. Is de arbeid die verricht wordt hetzelfde, gezien vanuit S en S? f. Dezelfde vraag voor E k. g. Geldt zowel in S als in S dat F x gelijk is aan ( 1 2 mv2 )? h. Omschrijf nu wat het relativiteitsprincipe wil zeggen voor Galileitransformaties. 1.2 Tennissen Een satelliet die zich om een bewegende planeet slingert, krijt daarvan een extra snelheid mee, zoals een tennisbal dat van een bewegende tennisracket krijgt. v b, v e en v 0 zijn de begin-, eind-, planeet/racket-snelheid in het coördinatenstelsel S van de toeschouwer. S is het coördinatenstelsel dat met de planeet/racket meebeweegt.

8 2 1 GALILEITRANSFORMATIE Figuur 1: Tennissen a. Wat zijn de begin- en eindsnelheid van de bal in het coördinatenstelsel S? Bij de elastische botsing van de bal met het racket is in S is de snelheid van de bal na de botsing even groot als de snelheid voor de botsing. b. Hoe groot is de eindsnelheid van de bal in S in termen van v b en v 0? c. Hoe verandert de kinetische energie E k = 1 2 mv2 van de bal in S? d. En in S? Terwijl de waarden van grootheden in S en S kunnen verschillen, moeten de formules tussen de grootheden wel invariant zijn. e. Laat zien dat de formule E k = F x zowel in S als in S geldt (het racket werkt met F = m bal v t over een afstand x = v 0 t). 1.3 Een paraboolbaan Gegeven een paraboolbaan (zie figuur 2) t.o.v. coördinatenstelsel S: y = x Dit is de baan die beschreven wordt door een puntmassa die met een horizontale beginsnelheid van een 20 meter hoge toren gegooid wordt. De versnelling van de zwaartekracht is g = 10 m/s 2. Geef de Galileitransformatie naar stelsel S zodat de puntmassa t.o.v. dit stelsel langs een rechte, verticale lijn beweegt.

9 1.4 Versnellende auto 3 y x Figuur 2: Paraboolbaan 1.4 Versnellende auto Als je vanuit een inertiaalsysteem een Galileitransformatie uitvoert, kom je in een ander inertiaalsysteem. a. Hoe weet je zeker dat je in een inertiaalsysteem bent? Het interieur van een auto (stelsel S ) die versneld door een straat (stelsel S) rijdt is géén inertiaalsysteem en de transformatie van S naar S is géén Galileitransformatie: x = x ± 1 2 at2 (1) y = y (2) z = z (3) b. Moet je in formule 1 het plus- of het min-teken nemen? c. Een bal die je binnen in de auto op t = 0 loslaat, heeft dan v = 0 en v = 0. In welk stelsel, S of S geldt tijdens de val van de bal v x = 0?

10 4 1 GALILEITRANSFORMATIE d. Leidt nu uit de transformatieformules af hoe de snelheid in S zich ontwikkelt. e. In S is er een versnelling a x, en voel je dus een kracht F x = ma x. Hoe groot is de kracht en in welke richting werkt de kracht? 1.5 Michelson-Morley voor geluid Vóór de komst van de speciale relativiteitstheorie veronderstelde men dat de lichtsnelheid een vaste waarde had in één bepaald inertiaalsysteem (de ether ) en dat de lichtsnelheid in andere systemen via een Galileitransformatie kon worden afgeleid. Deze veronderstelling bleek niet houdbaar (zie o.a. het Michelson-Morley experiment), maar hij geldt wel voor geluid. Vandaar deze opgave, als contrast met de gang van zaken voor licht. Geluid heeft een vaste snelheid t.o.v. zijn medium (de lucht, stelsel S), nl. c g = 1/ ρκ waar ρ de dichtheid en κ de compressibiliteit van de lucht zijn. y muur y c+v g muur wind v wind v cg y l c v g c g c c-v g y g v O x O x l Figuur 3: Michelson en Morley voor geluid Als in je eigen stelsel (S ) de wind je tegemoet blaast met snelheid v (of als je met snelheid v naar voren beweegt), is de geluidssnelheid in S volgens de Galileitransformatie gelijk aan c g v. We kunnen deze beweging t.o.v. het medium aantonen door de reistijden van het geluid te meten langs gelijke trajecten in onderling loodrechte richtingen (de x - en y -as van S ).

11 1.5 Michelson-Morley voor geluid 5 a. Bereken na hoeveel tijd je de echo uit de x-richting en uit de y-richting hoort als het windstil is. Is er verschil? Nu waait er wel wind, van rechts, zoals aangegeven in figuur 3, Het geluid moet dan in S schuin naar rechts lopen, om in S langs de y -as heen er weer te gaan (zie figuur 3 rechts). b. Hoeveel tijd kost het nu voor je de echo uit de x-richting hoort? c. En uit de y-richting? d. Hoe zou je dus, als je de wind niet zou kunnen voelen of zien, toch kunnen constateren dat hij waait? (Neem bijv. l = 340m; v = 20 m/s en c g = 340 m)

12 6 2 TIJDDILATATIE EN LENGTECONTRACTIE 2 Tijddilatatie en lengtecontractie 2.1 Einstein puzzel Einstein, als jongen van 16, vroeg zich het volgende af: Een hardloopster ziet zichzelf in een spiegel die zij in haar hand houdt, een armlengte voor haar gezicht. Als zij nu met bijna de snelheid van het licht rent, zal ze zichzelf dan nog steeds in de spiegel zien? Analyzeer deze vraag aan de hand van het relativiteitsprinciepe. 2.2 Tijddilatatie Een waarnemer D heeft een lichtklok en een polshorloge, beide in rust te opzichte van hemzelf. Een andere waarnemer E beweegt ten opzichte van waarnemer D, en kan de lichtklok en polshorloge van D bekijken. We vragen ons af of het mogelijk is dat waarnemer D zijn twee klokken gelijk ziet lopen, terwijl waarnemer E observeert dat de klokken niet gelijk lopen. Laat met behulp van een gedachteexperiment zien dat dit onmogelijk is (hint: stel voor dat de beide klokken van D bij elke tik een gaatje prikken in een tape). 2.3 Einsteins gedachte-experiment Als werknemer bij een patentburo in Bazel zag Einstein vanaf zijn werkkamer de klok van de kerktoren. Op een bepaald moment stond de klok op precies 3 uur. Hij stelde zich voor dat het licht, dat weerkaatst wordt vanaf de klok en het beeld van de klok met zich draagt, met een snelheid van km/s de ruimte in suist. Hij vroeg zich af hoe je de klok ziet lopen als je met dit licht zou kunnen meereizen. a. Hoe verloopt de tijd voor een (hypothetische) waarnemer die met de snelheid van het licht reist? 2.4 Afstanden In het ruststelsel van de aarde is de afstand tussen Amsterdam en New York ongeveer 6000 km (5877 km om precies te zijn). Met hoeveel wordt de afstand tussen de steden verkort zoals geobserveert door een vliegtuig (1000 km/uur)? Of door de International Space Station (8 km/s)? Of door een kosmisch deeltje dat met een snelheid van 0.9c reist?

13 2.5 Muon Muon Een muon (µ-deeltje) is een instabiel elementair deeltje, dat in rust een gemiddelde levensduur τ 0 = 2, s heeft. Veronderstel dat een bepaald muon in een laboratorium (stelsel S) een buis met een lengte l = 600 m kan doorlopen voor het vervalt. a. Druk de levensduur τ van een muon in het laboratorium uit in zijn snelheid v. b. Gebruik het gegeven dat het muon binnen τ s de buis van 600 m kan doorlopen om v te bereken. c. Hoe lang was volgens het muon zelf de buis die aan hem voorbij schoot? d. Leeft het muon volgens zichzelf lang genoeg om de Lorentz-gecontraheerde buis te passeren? 2.6 Neutron De gemiddelde levensduur van een neutron is 15 minuten (daarna vervalt hij in een proton, electron en antineutrino). Toch zijn er neutronen die vanuit de zon de aarde bereiken (afstand 1, m). Met welke snelheid moeten die minstens door de zon zijn uitgestoten? 2.7 Astronaut Een astronaut wil binnen één jaar (volgens zijn eigen tijdrekening) een ster die op een afstand van 5 lichtjaren staat bereiken. Neem als lengte-eenheid lichtjaar en als tijdseenheid jaar. a. Welke waarde heeft de lichtsnelheid c in deze eenheden? b. Welke snelheid moet zijn ruimteschip dan hebben? c. Hoelang duurt de reis volgens de aardse tijdrekening? 2.8 Bewegend voorwerp a. Hoe verandert door de Lorentz-contractie de vorm en de inhoud van een bewegend volume? b. Hoe verandert de dichtheid van een bewegend voorwerp?

14 8 3 LORENTZTRANSFORMATIE 3 Lorentztransformatie 3.1 Inverse Lorentztransformatie y y v S S O O x x Figuur 4: Twee inertiaalstelsels Twee inertiaalstelsels S en S zijn verbonden door de Lorentz-transformatie (figuur 4): en x = γ(x βct) y = y z = z ct = γ(ct βx) x = γ(x + βct ) y = y z = z ct = γ(ct + βx ) a. Laat zien dat de tweede set vergelijkingen (met +β) uit de eerste set kan worden afgeleid. b. De oorsprong van S heeft x = 0. Laat met de Lorentztransformatie zien dat de oorsprong van S met snelheid v door S beweegt. c. Vanuit de oorsprong van S schijnt een lichtstraal (met snelheid c) in de positieve x -richting, volgens x = ct. Gebruik de Lorentztransformatie om aan te tonen dat hij ook een snelheid c in S heeft (dus beweegt volgens x = ct).

15 3.2 Klokken 9 d. Nu schijnt een lichtstraal langs de y-as van S (loopt volgens y = ct ). Bepaal met de Lorentztransformatie de totale snelheid vx 2 + v2 y in S. 3.2 Klokken S en S als in figuur 5. Twee gebeurtenissen A en B die in S op dezelfde tijd (t A = t B ) maar op verschillende plaats (x A x B ) plaatsvinden, zijn in S niet gelijktijdig (t A t B ). S v A B x S A B x Figuur 5: Klokken a. Laat zien dat t B t A = γβ c (x B x A ). b. Ga na dat figuur 5, waarin overal in S de klokken op t = 0 staan, de klokken in S de situatie goed weer geven. M.a.w. is het juist dat in S de klok bij A vóór loopt in vergelijking met de klok in S en in B achter. c. Geef de formule voor het tijdsverschil t B t A voor gebeurtenissen die zich in S gelijktijdig (t A = t B ) afspelen op x A en x B. d. Teken nu op de manier van vraag b) de situatie voor de klokken op het ogenblik t = 0 (de klokken in S staan nu overal op nul). Welke S-klokken lopen voor, welke achter?

16 10 3 LORENTZTRANSFORMATIE e. Is er een tegenspraak tussen de figuren van vraag b) en c), dus zijn er b.v. passanten die van elkaar zeggen dat de klok van de ander voor (of achter) loopt? f. Hoe kan het dat de klokken van het andere stelsel die bij hun nadering nog voorliepen, achterlopen als ze gepasseerd zijn? 3.3 Knal en Lichtflits Op t = 0 klinkt een knal in S(figuur 6). A (S) B Figuur 6: Knal of lichtflits a. Bereikt het geluid volgens een stilstaande waarnemer (S) A eerder of later dan B? b. Teken nu de situatie gezien door een waarnemer die met snelheid v naar rechts beweegt (S ). Waar komt het geluid volgens S eerder, in A of in B? In plaats van een knal is er een lichtflits in S op t = 0. c. Waar is volgens S het licht eerder, in A of in B?

17 3.4 Boeven vangen 11 d. Teken de situatie volgens S. Waar komt het licht eerder aan, in A of in B? 3.4 Boeven vangen In de situatie van de opgave Twee inertiaalsystemen beweegt een voorwerp met snelheid V langs de x-as van S, volgens x = V t. S beweegt zelf met snelheid v langs de x-as van S, zodat je niet-relativistisch zou verwachten dat het voorwerp met een snelheid V + v door S beweegt. 1/3 c 1/2 c 3/4 c Figuur 7: Boeven vangen a. Vul de bewegingsvergelijking x = V t in in de formules van de Lorentztransformatie en leidt hieruit een verband tussen x en t af. b. Leidt uit het resultaat van vraag a) de relativistische optelformule voor snelheden af : V = V + v 1 + v v/c 2. c. Wat geeft de optelformule als je V = c neemt? Dus: als de lamp een snelheid v heeft, komt het licht er dan met snelheid c + v uit? Tenslotte de volgende flauwe grap: Boeven proberen met een snelheid 3 c te ontkomen aan een achtervolgende 4 politieauto met snelheid 1 c (figuur 7). De achtervolgers schieten kogels af 3 met snelheid 1c. 2 d. Volgens de gewone optelling is > 3 4. Zullen de kogels de boeven dus inhalen?

18 12 3 LORENTZTRANSFORMATIE l heen y O terug Spiegel B terug heen (aarde) Spiegel A x y Spiegel B v O heen heen terug (ether) Spiegel A v terug O x Figuur 8: Michelson-Morley experiment 3.5 Michelson-Morley experiment (Analyse van het Michelson-Morley-experiment met licht) De aarde (S ) beweegt met snelheid v door de ether (S). In S worden lichtstralen vanuit de oorsprong O door spiegels A en B op afstand l op de x - en y -assen teruggekaatst. Omdat we voorlopig alleen weten dat de lichtsnelheid in de ether (S) gelijk is aan c, berekenen we de gebeurtenis in S. Daarna transformeren we met de Lorentztransformatie terug naar S en vragen ons af of er verschil in reistijd zit (zoals voor geluid in de opgave Michelson-Morley voor geluid ). De beweging O AO langs de x -as ziet er in S uit als links in figuur 8: de heenreis duurt t h, met een snelheid c over een afstand γ 1 l+vt h (want door de Lorentzcontractie is de lengte γ 1 l en is de spiegel A naar rechts verschoven met snelheid v). De terugreis duurt t t, met een snelheid c, over een afstand γ 1 l vt t (want de oorsprong O is dichterbij gekomen met snelheid v). a. Laat zien dat de beweging O AO volgens S een tijd geduurd heeft en dat O dan zit op t x t h + t t = 2γl c x = 2γβl De beweging O BO langs de y -as ziet er in S uit als rechts in figuur 8. Heen- en terugreis duren even lang en overbruggen met een snelheid c een

19 3.5 Michelson-Morley experiment 13 afstand l 2 + (vt) 2 (want spiegel B is naar rechts verschoven met snelheid v). b. Waarom heeft de lat nu geen Lorentz-contractie? c. Laat zien dat de beweging O BO volgens S een tijd geduurd heeft. t y t h + t t = 2γl c De lichtstralen keren dus in S tegelijkertijd terug. De vraag was echter of je op aarde, in S, verschil in terugkeertijd ziet. d. Zijn de twee reistijden na Lorentztransformatie van S naar S ook hetzelfde? e. Wat is de conclusie?

20 14 4 CONSEQUENTIES VAN DE LORENTZTRANSFORMATIE 4 Consequenties van de Lorentztransformatie 4.1 Lat S beweegt met snelheid v langs de x-as van S, dus: x = γ(x + βct ) ct = γ(ct + βx ). In S ligt een lat, tussen x = 0 (begin) en x = l (eind). De lat beweegt dus ook met snelheid v door S. a. Je bepaalt met de Lorentztransformatie de x-waarden van begin en eind van de lat als de (met de lat meebewegende) S -klokken op nul staan, dus op t = 0. Welke lengte vind je dan? b. Wat zijn de x-waarden van begin en eind als de passerende S-klokken op nul staan, dus op t = 0? c. Hoe groot is de lengte van de lat in S ën hoe groot is de lengte van de lat in S? 4.2 Vier klokken Stelsel S beweegt t.o.v. stelsel S met snelheid v in de richting van de positieve x-as. Klok A staat in de oorsprong van S en klok B in de oorsprong van S. Als klok B klok A passeert staan ze beiden op 0: ct = o en ct = 0 (zie figuur 9a). Even later, als klok B op ct = 1 staat, passeert hij klok C in S, die dan op ct = γ staat (zie fig. 9b). Volgens een waarnemer in S staat klok A dan op ct = γ 1 en passeert hij klok D in S, die dan op ct = 1 staat (fig. 9b). Volgens een waarnemer in S staat klok A dan op ct = γ en passeert klok A klok E in S die dan ct = γ 2 aanwijst (zie fig. 9c). a. Schrijf de Lorentztransformatie tussen S en S op. b. Controleer met de Lorentztransformatie de opgegeven stand van de klokken. c. Waar zie je tijddilatatie optreden?

21 4.3 Raketten 15 S v S v S v γ 2 1 B x D B x E B x S S S 0 γ 1 γ γ γ A x A C x A C x a) b) Waarnemer in S. c)waarnemer in S. Figuur 9: Klokken 4.3 Raketten S is het inertiaalsysteem van de aarde. Raket P passeert de aarde op t = 0 met snelheid 1 2 c en beweegt zich naar raket Q die de aarde met 1 2 c nadert (zie figuur 10. P Q Aarde S Figuur 10: Raketten Volgens een waarnemer op aarde bevindt Q zich op t = 0 op een afstand x = 4 (lichtjaar), zodat P en Q elkaar in x = 2 (lichtjaar) zullen ontmoeten, na t = 4 jaar (dus ct = 4 lichtjaar). a. Noteer de x- en ct-coördinaten van de start van P, de start van Q en hun ontmoeting. We bekijken de gebeurtenis nu vanuit raketje P (stelsel S ).

22 16 4 CONSEQUENTIES VAN DE LORENTZTRANSFORMATIE b. Schrijf de Lorentztransformatie van S naar S op (let op + en - tekens!) c. Vertaal de start van P en Q en hun ontmoeting naar S -coördinaten en noteer hiervan de x - en ct -coördinaten. d. Welke snelheid v = x / t had raket Q, gezien vanuit P? Controleer dat met de snelheids-optelformule. 4.4 Lichtflitsen In een inertiaalsysteem S worden in A en B 5µ s na elkaar lichtflitsen uitgezonden. De afstand AB is 5 km. Als je in S met een bepaalde snelheid v parallel aan de lijn AB beweegt, zie je de flitsen gelijktijdig. Hoe groot moet v zijn? 4.5 Trein Een trein met een lengte L 0 (als hij stilstaat) davert langs een station waarvan het perron een lengte L < L 0 heeft. a. Hoe groot moet zijn snelheid zijn, zodat volgens iemand op het perron de staart van de trein aan de achterkant van het perron is op hetzelfde moment als de kop van de trein aan de voorkant is? Twee mensen aan de uiteinden van het perron slaan gelijktijdig (volgens hun eigen waarneming) een deuk in de trein. b. Op welke afstand liggen die deuken uit elkaar volgens de mensen op het perron? c. En volgens de mensen in de rijdende trein? d. Waar zitten de deuken als de trein gestopt is?

23 17 5 Minkowski-diagrammen 5.1 Drie gebeurtenissen Gebeurtenissen worden vanuit drie standpunten bekeken die een onderlinge beweging hebben: S 1, S 2 en S 3. ct 1 ct 3 ct 1 ct 2 B c/2 c/2 O A x 1 S 3 S 1 x 3 S 2 x x 2 1 Figuur 11: Drie gebeurtenissen In het Minkowski-diagram van S 1 zijn drie gebeurtenissen O, A en B aangegeven. a. Geef in het rechter diagram aan wat de x 2 -, ct 2 -, x 3 - en ct 3 -assen zijn. b. Volgens S 1 is gebeurtenis A gelijktijdig met gebeurtenis O. Hoe zit dat in S 2 en S 3? c. In S 1 stelt de overgang van O naar B een toestand van rust voor. Hoe zit dat in S 2 en in S 3? 5.2 Draaiing in het ct, x-diagram We kijken naar twee stelsels S en S die verbonden zijn door de Lorentztransformatie (zie figuur 12): x = γ(x + βct ) ct = γ(ct + βx ) De Lorentztransformatie veroorzaakt een soort draaiing in het ct,x-diagram, die lijkt op een gewone ruimtelijke rotatie in het x, y-vlak, met het verschil dat de ct- en x-assen beide naar binnen draaien, over een hoek α met tgα = β = v/c :

24 18 5 MINKOWSKI-DIAGRAMMEN y y ct ct x x x x ruimtelijke rotatie Lorentz-transformatie Figuur 12: Draaiing van assen a. Laat zien dat de x -as (de lijn met ct = 0) in het ct,x-diagram een lijn met richtingscoëfficiënt β is (dus van de vorm ct = βx is). b. Laat ook zien dat de ct -as (dus de lijn met x = 0) een richtingscoëfficiënt β heeft met de ct-as (dus van de vorm x = βct is). Terwijl bij een rotatie in het x, y-vlak de eenheden op de gedraaide assen liggen op de eenheidscirkel x 2 + y 2 = 1, zo liggen de eenheden van de gekantelde ct,x -assen op de eenheids hyperbolen x 2 (ct) 2 = ±1 (figuur 13): 1 1 y y x x 1 1 ct ct 1 1 x x eenheidscirkel eenheidshyperbolen Figuur 13: Eenheden c. Reken voor de eenheden op de x -as (dus ct = 0 en x = ±1) na dat de bijbehorende x- en ct-getallen voldoen aan x 2 (ct) 2 = +1. d. Hetzelfde voor de eenheden op de ct -as: x 2 (ct) 2 = 1.

25 5.3 Lorentzcontractie en Tijddilatatie in Minkowski-diagram Lorentzcontractie en Tijddilatatie in Minkowskidiagram ct ct ct ct 1 A x 1 B x O 1 A x O 1 B x Figuur 14: Lorentzcontractie Lorentzcontractie met een Minkowski-diagram: a. Toon met de twee diagrammen van figuur 14 aan dat een lat OA (met lengte 2) in S in S verkort is, en andersom, dat een lat OB in S in S verkort is. ct ct C C ct D ct D x B x O x O B x Figuur 15: Tijddilatatie Tijddilatatie in een Minkowski-diagram: b. Laat in de diagrammen van figuur 15 zien dat een klok, die in S van O naar C loopt, in S langzamer is, en andersom, dat een klok die in S van O naar D loopt, in S langzamer is.

26 20 5 MINKOWSKI-DIAGRAMMEN 5.4 Wereldlijnen In het coördinatenstelsel S staan A en B stil op de plaatsen x A x B = 3. Op t = 0 zendt A een lichtgolf uit die B bereikt op t = 3. c = 0 en ct ct x x Figuur 16: Teken wereldlijnen a. Teken in het Minkowski-diagram in figuur 16 de wereldlijnen van A en B (dus de lijnen x = 0 en x = 3). Teken ook het punt C waarin het licht vanuit A B bereikt. Een ander stelsel S beweegt met 1 c t.o.v. S in de positieve x-richting. De 2 x,ct -assen zijn al in het diagram aangegeven. b. Controleer dat de snelheid van S t.o.v. S gelijk is aan 1 2 c en geef het punt B aan waar B zich volgens S bevindt op het ogenblik dat het licht uit A vertrekt.

27 5.5 Opnieuw raketten 21 c. Bereken de ct,x coördinaten voor de punten B en C (gebruik daarbij de Lorentztransformatie) d. Bereken uit de x - en t -verschillen tussen B en C hoe snel B beweegt in S ; bereken uit de x - en ct -verschillen tussen de oorsprong O en C hoe groot de lichtsnelheid in S is. Waren deze antwoorden te verwachten? 5.5 Opnieuw raketten Nog een keer de situatie van de opgave Raketten. ct ct x x Figuur 17: Teken raketbewegingen a. Teken de beweging van P en Q in het Minkowski-diagram in figuur 17. Teken de beweging van P en Q in het Minkowski-diagram in figuur 17. b. Teken de x,ct assen die gelden voor een waarnemer (S ) die met raket P mee beweegt.

28 22 5 MINKOWSKI-DIAGRAMMEN c. Hoe groot is volgens S op t = 0 de afstand x tot raket Q? (uit het diagram aflezen) d. Na hoeveel tijd ontmoeten P en Q elkaar in S? (uit het diagram aflezen). e. Bereken de snelheid van Q in S uit de x -verplaatsing van Q tussen ct = 0 en zijn ontmoeting met P. Vergelijk het antwoord met vraag d) van de opgave Raketten.

29 5.5 Opnieuw raketten 23 Gebruik voor het huiswerk onderstaande figuur. ct ct x x Figuur 18: Teken raketbewegingen

30 24 6 KLASSIEKE MECHANICA 6 Klassieke Mechanica Voor de Klassieke Mechanica zullen een aantal opgaven uit het boek Analytical Mechanics van Cassiday & Fowles worden behandeld. Dit zijn onder meer: Hoofstuk 1: 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7 Hoofdstuk 2: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.6 Hoofdstuk 4: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 Hoofdstuk 7: 7.1, 7.2, 7.4, 7.5 Hieronder volgen een aantal extra opgaven. 6.1 Botsende deeltjes Voor twee botsende deeltjes A en B bestaat de wet van behoud van impuls : m A v 1A + m B v 1B = m A v 2A + m B v 2B waar v 1A en v 1B de snelheden van A en B voor de botsing en v 2A en v 2B de snelheden na de botsing zijn. S en S zijn twee inertiaalsystemen met een onderlinge snelheid v. Bewijs dat wanneer de behoudswet geldt in S, deze ook geldt in S. 6.2 Massa-middelpunt Het massa-middelpunt van twee deeltjes is een denkbeeldig punt tussen de deeltjes in, waarvan de plaats, snelheid en versnelling het gemiddelde is van die van de twee deeltjes, als je tenminste de grootste massa het sterkst meetelt (gewogen gemiddelde). Als de massa s van de deeltjes m 1 en m 2 zijn is hun totale massa M = m 1 + m 2 en geldt voor hun massa-middelpunt: x M = m 1 M x 1 + m 2 M x 2 v M = m 1 M v 1 + m 2 M v 2 a M = m 1 m a 1 + m 2 M a 2 Bij twee botsende deeltjes, waarop verder geen krachten werken, beweegt het massa-middelpunt altijd eenparig. Je kunt dan altijd een Galileitransformatie maken van het L-systeem (het laboratorium-systeem ) waarin de botsing plaats heeft, naar het M-systeem (het massamiddelpunt-system ).

31 6.3 Krachtveld 25 Deeltje A heeft een massa m A = 4 kg en botst met een snelheid v A = 10 m/s op een stilstaand deeltje B met massa m B = 1 kg. a. Laat zien dat de totale impuls in het M-systeem vóór de botsing nul is: p A,M + p B,M = 0. In het M-systeem zijn (en blijven) de twee impulsen dus even groot en tegengesteld aan elkaar! Bij een volkomen elastische botsing gaat er geen kinetische energie verloren. Het is dan gemakkelijk te bewijzen dat in het M-systeem de impulsen van A en B na de botsing niet alleen even groot en tegengesteld zijn, maar ook dezelfde grootte hebben als vóór de botsing. b. Als deeltje A bij een volkomen elastische botsing in het M-systeem 90 o zou afbuigen, wat zijn dan de snelheden na de botsing in het M- systeem? c. En in het L-systeem? 6.3 Krachtveld Figuur 19: Krachtveld

32 26 6 KLASSIEKE MECHANICA In het (x, y)-vlak is de potentiaalfunctie V (x, y) = x 4 y 2 gedefinieerd. In de figuur zie je een paar lijnen van constante V : op de kromme lijnen is V = 1 en op de x- en y-as is V = 0. a. Bepaal de krachtcomponenten F x en F y voor een willekeurig punt (x, y). b. Teken de F -pijl in punt B. c. Bepaal van dit krachtveld de rotatie: rot F.

33 7 Lorentztransformatie van impuls en energie 7.1 Impuls-energie viervector De componenten van de impulsvector en de energie vormen een vier-vector (p x, p y, p z, E ) op dezelfde manier als de tijd-ruimte-coördinaten (x, y, z, ct). c Bij overgang van stelsel S naar S transformeren ze volgens dezelfde Lorentztransformatie als voor (x, y, z, ct) geldt. a. Vertaal de transformatie x = γ(x + βct ), ct = γ(ct + βx ) naar p x en E/c. Als een deeltje stilligt in S beweegt het met snelheid v in S. b. Laat zien dat je met de Lorentztransformatie voor de impuls en energie van het bewegende deeltje in S de volgende formules krijgt: p x = γmv E = γmc 2 Bij de Lorentztransformatie blijft de combinatie (ct) 2 x 2 hetzelfde ( Lorentzinvariant ). c. Controleer dat voor (ct) 2 x 2 en (ct ) 2 x 2. d. Welke Lorentzinvariante combinatie van E en p x neemt de plaats in van (ct) 2 x 2? e. Welke waarde neemt deze combinatie aan in het rustframe S? 7.2 Energie van een relativistisch deeltje Voor een relativistisch deeltje is het verband tussen energie en impuls: E 2 c 2 p 2 = m 2 c 4 27 dus E = m 2 c 4 + c 2 p 2 a. Teken de grafiek van de energie van het bewegende deeltje als functie van zijn snelheid v. Geef hierin de bijdrage van de kinetische energie E k = E E 0 aan (E 0 is de rustenergie van het deeltje). b. Hoe snel moet een deeltje bewegen om zijn kinetische energie even groot te laten zijn als zijn rustenergie?

34 28 7 LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE c. Tot welke uitdrukking reduceert de kinetische energie voor niet-relativistische deeltjes (pc E 0 )? d. Dezelfde vraag voor relativistische deeltjes (pc E 0 ). 7.3 Energie en impuls van een relativistisch deeltje Als je aan een deeltje energie toevoegt, nemen de snelheid en impuls van het deeltje toe. a. Tot welke waarde nadert de snelheid van het deeltje uiteindelijk? b. En de impuls? c. Teken de grafiek van de energie (verticaal) tegen de impuls (neem cp, horizontaal). Geef daarin ook de grafiek van de niet-relativistische energie E = E 0 + p2 2m. d. Tot welke rechte lijn nadert de relativistische grafiek uiteindelijk?

35 7.4 Massaloze deeltjes Massaloze deeltjes Fotonen zijn massaloze deeltjes. a. Waarom is hun snelheid gelijk aan c? b. Wat is de formule voor de energie van een foton? De energie van een foton hangt af van de frequentie: E foton = hν (ν is de frequentie en h is de constante van Planck). c. Hoe hangt de impuls van een foton af van zijn golflengte? Gebruik c = λν, waarbij λ de golflengte is. d. Als je op het strand in de zon ligt, wordt je bestraald met een sterkte van ongeveer 100 W. Met welke impuls botst deze straling elke seconde tegen je aan (de stralingsdruk )? 7.5 Twee relativistische deeltjes In stelsel S bewegen twee identieke deeltjes A en B langs de x-as naar elkaar toe, elk met een snelheid van 0, 8c. Dus v A = +0, 8c naar rechts en v B = 0, 8c naar links. De massa van de deeltjes is m. a. Druk in S de impuls en de energie van de deeltjes uit in m en c. b. Hoe groot is de totale kinetische energie uitgedrukt in m en c? We bekijken de situatie nu vanuit stelsel S, dat met A meebeweegt. In S staat A dus stil en komt B met een extra grote (negatieve) snelheid op A af. c. Schrijf de Lorentztransformaties voor energie en impuls voor de overgang van S naar S op. d. Vul de getalswaarden voor γ en β in in de Lorentztransformaties en bepaal de impuls en energie in S voor deeltje A. Was de uitkomst te verwachten? e. Bepaal met de Lorentztransformaties ook de impuls en energie van deeltje B in S. f. Hoe groot is volgens de öptelformule voor snelheden de snelheid van B in S? g. Geven de formules p = γmv en E = γmc 2 voor het bewegende deeltje B in S dezelfde antwoorden als in vraag e).

36 30 7 LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE 7.6 Inelastische boting Twee identieke deeltjes met massa m worden op elkaar afgeschoten. De één heeft een snelheid 3c naar rechts, de ander een snelheid 3 c naar links. Na de 5 5 botsing zijn ze versmolten tot één deeltje met massa M. a. Waarom staat het deeltje met massa M na de botsing stil? b. Wat verwacht je voor de massa M: 1. M = 2m 2. M > 2m 3. M < 2m Licht je keuze toe. c. Hoe groot was de totale energie van de twee deeltjes voor de botsing? d. Deze energie gaat over in de rustenergie van het gecombineerde deeltje, hoe groot is M? 7.7 Nog een inelastische botsing Een deeltje met massa m botst met een energie E = 2mc 2 op eenzelfde deeltje in rust. a. Wat is de snelheid van ieder van de deeltjes? b. Wat is de impuls van ieder van de deeltjes? Na de botsing vormen de twee deeltjes een deeltje met massa M en snelheid V. De energie en impuls van deeltje M zijn respectievelijk E = γmc 2 en p = MγV. c. Wat is de energie van deeltje M uitgedrukt in de massa van de twee botsende deeltjes? d. En de impuls? e. Bereken de snelheid V van deeltje M. f. Bereken massa M. g. Niet-relativistisch zou je verwachten dat M = 2m en V = 1 2 v. Was dat relativistisch ook zo?

37 31 8 Doppler effect 8.1 Bewegende lichtbronnen y y y y v B W x, x W B v x, x a) bron B nadert waarnemer W b) bron B verwijdert zich van waarnemer W Figuur 20: Bewegende bronnen We plaatsen een lichtbron in stelsel S en een waarnemer in stelsel S met een onderlinge snelheid v tussen S en S. De Lorentztransformatie geeft dan aan hoe de energie/frequentie, die de waarnemer aan de bewegende lichtbron toekent, afwijkt van de energie/frequentie voor een stilstaande bron. Eerst: de bron B nadert de waarnemer W (links in fig 20a) a. Wat is de Lorentztransformatie voor impuls en energie voor een overgang van S naar S? b. Leidt hieruit de frequentie voor een naderende lichtbron af. c. Ga na of het Doppler-effect hier tot een hogere of lagere frequentie heeft geleid. Nu voor een zich verwijderende bron (rechts in figuur 20b) d. Bepaal E en leidt de frequentie voor de zich verwijderende bron af. e. Is ν groter of kleiner dan ν? f. In welke van de twee gevallen is er sprake van een roodverschuiving? 8.2 Roodverschuiving In het uitdijend heelal verwijderen veraf gelegen sterrenstelsels zich van ons af met een snelheid v die toeneemt met hun afstand d : v Hd (H is de Hubble constante). Deze verwijdering valt af te lezen uit de roodverschuiving van

38 32 8 DOPPLER EFFECT bekende spectraallijnen, die nu een grotere golflengte λ dan de gebruikelijke λ hebben. De roodverschuiving wordt beschreven door de parameter z = λ λ. λ 1+β a. Laat zien dat z = 1. 1 β b. Schets een grafiek van z tegen β. Voor melkwegstelsels op een afstand d = 10 8 lichtjaar is z Voor quasars op een afstand d = lichtjaar is z 1. c. Maak met deze gegevens een schatting van de Hubble-constante. d. Laat zien dat 1 H bereken deze. van de orde van de ouderdom van het heelal is en 8.3 Stoplicht Hoe hard moet je rijden om een stoplicht, dat op rood staat, als een groen stoplicht te zien? De golflengte van rood licht is 700 nm, die van groen licht 500 nm. 8.4 Transversaal Doppler effect In stelsel S staat een waarnemer W ergens op de positieve y-as en beweegt een lichtbron B zich met snelheid v naar rechts langs de x-as. We kijken naar de lichtstraal die B in de richting van W uitzendt als B op t = 0 de oorsprong van S passeert (dus een foton dat zich langs de positieve y-as beweegt, met impuls p y = E c = hν c ). a. Geef de Lorentztransformatie voor de energie-impuls viervector tussen stelsel S en het ruststelsel S van de lichtbron (de stelsels vallen samen op t = t = 0). b. Teken de lichtstraal van B naar W in S. Loopt die schuin naar linksboven of naar rechtsboven? c. In S geldt voor het foton: p x = 0. Maak hiervan gebruik om een relatie tussen E en E voor het foton af te leiden en laat zien dat hieruit voor de frequentie van het licht volgt: ν = 1 β 2 ν d. In S wijst de impulsvector van het foton schuin naar linksboven, met componenten p x en p y. Laat met de stelling van Pythagoras en de Lorentztransformatie zien dat ook in S geldt: p = E. c

39 8.5 Tweelingparadox 33 e. Is er in dit geval sprake van een Dopplereffect (hoewel de lichtbron geen snelheidscomponent naar de waarnemer heeft)? f. Is dit transversale Doppler effect groter of kleiner dan het Doppler effect van een naderende of zich verwijderende lichtbron? g. De niet-relativistische Doppler-formule voor een naderende lichtbron is: ν = c ν = 1 ν (en c ν 1 β ν = ν voor een transversaal bewegende lichtbron). Laat zien dat: relativistisch Doppler effect = niet-relativistisch Dopper effect + tijddilatatie. 8.5 Tweelingparadox Op Nieuwjaarsdag 2010 vertrekt een astronaut A van de aarde met snelheid β = 0.8, om naar de dichtsbijzijnde ster te gaan, de α-centauri. Deze ster staat 4 lichtjaren weg, gemeten in het coordinatenstelsel verbonden met de aarde. Nadat A de ster heeft bereikt, keert hij onmiddelijk om en keert terug naar aarde met dezelfe snelheid, om aan te komen op Nieuwjaars dag 2020 (aardse tijd). De astronaut heeft een broer B die achterblijft op aarde, en ze spreken af elkaar elk jaar op Nieuwjaarsdag een radiobericht te sturen totdat de reiziger terug is. 1. Laat zien dat A 6 boodschappen stuurt (inclusief die op de dag van aankomst) terwijl B 10 boodschappen verstuurd. 2. Teken een ruimte-tijd diagram van de reis van A in aardse coordinaten. Teken ook de wereldlijnen van de boodschappen die B verstuurd. Laat met dit diagram zien dat A slechts 1 bericht heeft ontvangen op het moment dat hij omkeert, en dat hij er vervolgens 9 ontvangt tijdens de tweede helft van zijn reis. 3. Teken een nieuw ruimte-tijd diagram, weer in aardse coordinaten, en teken daarin de wereldlijnen van de astronaut en al de berichten die hij verstuurd. Laat zien dat zijn broer op aarde elke 3 jaar een bericht ontvangt gedurende de eerste 9 jaar en dan 3 tijdens het laatste jaar, een totaal van Interpreteer deze resultaten in termen van het Doppler effect.

40 34 9 DEELTJES PRODUCTIE 9 Deeltjes productie 9.1 Vierimpuls E, p E*, p* E*, -p* m m m m a) laboratoriumsysteem b) zwaartepuntsysteem Figuur 21: Een deeltje met massa m botst op eenzelfde deeltje in rust (fig. 21a). a. Wat is de vierimpuls van een ieder van de deeltjes? b. Wat is de norm van ieder van deze vierimpulsen? c. Wat is de totale vierimpuls in het laboratoriumsysteem? Beschouw nu de botsing in het zwaartepuntsysteem (fig. 21b). d. Wat is de totale vierimpuls in het zwaartepunt systeem? e. Wat is de norm van deze vierimpuls? f. Vindt de uitdrukking voor E in termen van E en m. 9.2 p p botsing In het zwaartepuntsysteem botsten een proton (symbool p) en een antiproton (symbool p) ieder met een snelheid v = 0, 8c op elkaar. De massa van het antiproton is gelijk aan de massa van het proton. a. Wat is de totale impuls p in het zwaartepuntsysteen? b. Wat is de totale energie E in het zwaartepuntsysteem? c. Wat is de totale vierimpuls P in het zwaartepuntsysteem? d. Bij de botsing vernietigen de twee deeltjes elkaar. Hoeveel energie is er beschikbaar voor de creatie van nieuwe deeltjes?

41 9.3 Vervallende deeltjes Vervallende deeltjes Een deeltje in rust met massa M vervalt in twee identieke deeltjes, elk met massa m. a. Waarom zullen de twee deeltjes die ontstaan een even grote snelheid hebben? b. Geef een uitdrukking voor deze snelheid v in termen van M en m. Een pion (massa m π ) in rust vervalt in een muon (massa m µ ) en een neutrino (massa m ν = 0). c. Wat is de snelheid van het neutrino? d. Wat is de impuls van het muon? 9.4 pp botsing E,p E*,p* E*,-p* laboratoriumsysteem zwaartepuntsysteem voor na voor na Figuur 22: pp botsing Wanneer een proton met voldoende energie op een andere proton wordt geschoten is het mogelijk dat een extra p p paar wordt gecreëerd: pp ppp p Bekijk de gebeurtenis eerst vanuit het laboratoriumsysteem (figuur 22 links). De energie en impuls van het bewegende proton in het laboratoriumsysteem zijn resp. E en p. a. Welk verband bestaat er tussen E en p? b. Wat is de totale energie in het laboratoriumsysteem vóór de botsing? En de totale impuls? c. Bekijk nu de gebeurtenis in het zwaartepuntsysteem (figuur 22 rechts). Wat is de minimale energie (E min) nodig om de reactie pp ppp p te laten verlopen? d Leidt uit de invariantie van de vierimpuls de waarde voor de minimale energie E min af.

42 36 9 DEELTJES PRODUCTIE e. Wat zou energetisch voordeliger zijn: de hierboven beschreven botsing met één bewegend en één stilstaand proton of de situatie waarbij twee bewegende protonen op elkaar botsen (bij gelijke onderlinge snelheid)? 9.5 Eenheden De energie-eenheden ev (elektronvolt), MeV, GeV, enz., kunnen ook gebruikt worden om massa en impuls in uit te drukken: de massa van een electron is ongeveer m e = 0, 5 MeV/c 2. a. Hoe groot zijn dan γ en ν voor een elektron met energie E = 1 MeV? b. Hoe groot is zijn impuls? Welke eenheid gebruik je dan? c De massa van een proton is m p = 1, 0 GeV. Hoeveel energie en impuls heeft een proton met snelheid v = 0, 8c? 9.6 e e + botsing Een elektron botst in het laboratoriumsysteem met snelheid v = 0, 8c op een positron in rust. a. Bereken hun totale energie in het laboratoriumsysteen (E tot = E e + E e +) uitgedrukt in de elektron massa m e. b. Dezelfde vraag in het zwaartepuntssysteem (E tot = E e + E e + ). Bij de botsing vernietigen zij elkaar en ontstaan er, gezien vanuit het zwaartepuntsysteem, twee gelijke fotonen die tegengesteld aan elkaar wegschieten, elk met een energie E foton = hν. c. Waarom moeten het twee fotonen zijn en waarom hebben ze dezelfde frequentie? Als de beweging van de fotonen in het zwaartepuntsysteem loodrecht op de richting van het elektron is, kun je met een Lorentztransformatie de energie van de fotonen in het laboratoriumsysteem bepalen. d. Wat is de frequentie van de fotonen in het laboratoriumsysteem?

43 Appendix: Divergentie en Rotatie 1. Variatie van een functie f(x) Bij een stapje x van x 1 naar x 2 groeit de functie f(x) met f = f( x2) f( x1). Voor kleine x is f / x= r.c. = f '( x), dus f = f '( x) x. [Hier worden hogere termen van de Taylorreeks: f ''( x) + f '''( x) +..., verwaarloosd voor x 0 ] Variatie van een functie f(x,y) Voor een functie f(x,y) die op het x,y-vlak is gedefiniëerd, verandert f bij stapje 1 in de x-richting met: f( x, y) f = f( x2, y1) f( x1, y1) = x x Bij stapje 2 in de y-richting: f( x, y) f = f( x1, y2) f( x1, y1) = y y Bij stapje 3, dus na x en y : f( x, y) f( x, y) f = f( x2, y2) f( x1, y1) = x+ y x y 3. Variatie van een vectorveld v(x,y) We nemen gemakshalve twee dimensies (in drie dimensies gaat het net zo). Een vectorveld v(x,y) heeft in elk punt x,y twee componenten, vx ( x, y ) en vy ( x, y ). Er zijn dan bij stapjes in het x,yvlak de volgende variaties mogelijk: Variatie van de vx -component bij een stapje x : vx ( x, y) vx = x. x Variatie van de vx -component bij een stapje y : vx ( x, y) vx = y. y Variatie van de vx -component bij een stapje xi+ yj: vx( x, y) vx( x, y) vx = x+ y. x y Variatie van de vy -component bij een stapje vy ( x, y) vy = y. y Enzovoort. y : 4. Divergentie van een vectorveld De totale uitstroom (flux) van een vectorveld v(x,y,z) uit een gesloten oppervlak (bol, doosje,...) bestaat uit de bijdragen van kleine oppervlakte elementjes ds (elk met grootte ds en loodrecht naar buiten gericht). De flux van een vector v door een oppervlakte-element ds is v ds = v ds = (veldcomponent loodrecht naar buiten) (grootte van oppervlak).

44 De totale uitstroom uit de bol, het doosje,..., is dan de oppervlakte-integraal v d S. [Deze integraal is geen opdracht tot primitiveren, maar symboliseert de totale bijdrage over het hele gesloten oppervlak]. Vaak zal voor een vectorveld dat door het doosje heenwaait de in-stroom even groot zijn als de uitstroom. De netto flux naar buiten is dan nul: v d S = 0. De netto flux naar buiten is pas ongelijk nul als er binnen het gesloten oppervlak punten zijn waar er v bijgemaakt is. Voor een klein kubusje om zo n punt (met volume dv = x y z kunnen we de balans van de flux-winst opmaken: Netto flux links-rechts = = ( v x ' rechter oppervlak) ( v x linker oppervlak) = vx vx = ( v' x vx)( y z) = x( y z) = V x x Netto flux voor-achter = = ( v x oppervlak achterkant) ( v x oppervlak voorkant) = vy vy = ( v' y vy)( x z) = y( x z) = V y y Netto flux links-rechts = = ( v x oppervlak boven) ( v x oppervlak onder) = vz vz = ( v' z vz)( x y) = z( x y) = V z z De totale uitstroom van flux in de directe omgeving dv van punt (x,y,z) is dus gelijk aan (div v )dv, waarin de divergentie van het vectorveld gedefiniëerd is als: div v= v = vx + vy + vz x y z De divergentie ( uitstraling ) van v(x,y,z) is een scalair getal dat aangeeft hoeveel v er in het punt (x,y,z) is bijgekomen. [De nabla-vector = ( / x, / y, / z) ben je misschien vroeger al tegengekomen in F = grad V( x, y, z) = V( x, y, z) = ( V / x, V / y, V / z) ; toen maakte hij van een scalaire potentiële energie V de vector F] De totale uitstroom uit een gesloten oppervlak is dan niets anders dan de totale divergentie in het volume binnen dit oppervlak (stelling van Gauss): oppervlak v d S= (div v )dv. volume 5. Rotatie van een vectorveld Wie als het waait een reis maakt die naar zijn beginpunt terugkeert, heeft evenveel wind mee gehad als wind tegen. Het vectorveld v (de stroomsterkte van de wind) duwt ons bij elke stap ds in de rug met v ds (het inproduct selecteert de goede component van het v-veld), zodat na een gesloten route het totale effect gelijk is aan de kringintegraal v ds. (deze lijn-integraal niet verwarren met de oppervlakte-integraal v d S). Vaak zal men vinden dat v d s = 0. Het netto effect van wind mee, wind tegen is pas groter dan nul, als er binnen de gevolgde kring luchtwervelingen waren in de draairichting waarin we onze kring doorlopen hebben. Om te kijken of de luchtcirculatie in een bepaald punt bijdraagt tot dergelijke wervelingen, bekijken we een klein vierkantje

45 om dat punt (met oppervlak S = x y ). Op de heen- en terug-weg langs de x-as zijn de componenten v x en v y van belang, met netto effect (wind mee is +, tegen ): vx vx vx x v' x x= ( v' x vx) x= y x= S y y Net zo voor het netto effect voor heen- en terugweg langs de y-as: vy vy v' y y vy y= ( v' y vy) y= x y= S x x vy vx Het totale effect van de reis om het vierkantje is dan gelijk aan x y. We lezen dit als de z-component van het uitproduct rot v= v. rot v (in het engels vaak curl v) geeft dus voor het vectorveld v(x,y,z) aan hoeveel werveling er in het punt (x,y,z) bestaat. Het totale wind mee, wind tegen als we een gesloten kring rondgaan, is dan het totaal van alle wervelingen binnen die kring: v d s= (rot v) ds kring oppervlak (de eerste integraal gaat over een gesloten kring, de tweede over het oppervlak daarbinnen). Voorbeelden 1. Gegeven het volgende vreemde vectorveld: v= xi (dus steeds langs de x-as, sterker bij grotere x ) a) Bereken de flux ds door een kubus met ribbe 1 en linker- v 1 en rechtervlak op x =± ; 2 b) Idem voor kubus met linker- en rechtervlak op x = 0 en x = 1; c) Bereken div v (dus: v ) d) Controleer dat inderdaad v d S= (div v )dv. oppervlak volume Uitwerking: 1 a) Door het rechter zijvlak (met S = 1) is v= i, dus flux 1 1 = 1 naar rechts; door het linker zijvlak (ook met S = 1) is v= 2 i, dus flux = naar links; de totale uitgaande flux is dus 2 2 v ds = + = b) Door het linker zijvlak is v = 0; door het rechter zijvlak is v= 1i, dus weer v d S = 1 vx vy vz c) div v = + + = = 1. x y z d) Inderdaad is de flux d = 1 V = = = v S gelijk aan v )d 1 Volume volume(div 2. We doorlopen nu een vierkant in dit veld: a) Zie je wervelingen in dit veld? Bereken voor dit vierkant v d s. b) Bereken ook v / x v / y. Controleer v d s= (rot v) ds y x kring oppervlak Uitwerking: a) Er zijn geen wervelingen; je hebt even veel wind mee als wind tegen, dus v d s = 0. b) Met vx vy vx = x en v y = 0 krijg je = 0 0= 0 dus rot v = 0. x y

46 3. Kijk naar het snelheidsveld van een draaiende schijf (elk punt draait mee in cirkels met v= ωr). a) Hoe groot is v dsvoor een cirkel met straal R? Uit de figuur blijkt dat in elk punt geldt: vx = vsin φ en vy = vcosφ; x= rcos φ en y = rsinφ. b) Druk nu v x en v y uit in x en y en bereken rot v. c) Ga na of voor een cirkel inderdaad geldt: v d s= (rot v) ds. kring oppervlak Uitwerking: 2 a) Over het hele rondje 2π R is v= ωr, dus v d s = ( ω R) (2 π R) = 2 πω R. y x vy vx b) Blijkbaar is vx = v = ω y en vy = v = ωx, zodat = ω ( ω) = 2ω. r r x y Overal heeft rot v dus dezelfde waarde: als je je met de stroom laat meevoeren verandert je oriëntatie overal in het zelfde tempo. 2 2 c) Inderdaad is nu (rot v) d S = (2 ω) (oppervlak) = (2 ω)( πr ) = 2πωR oppervlak 4. In de draaikolk van een leeglopende wasbak draait het water steeds sneller rond naarmate de cirkels kleiner worden: v= C/ r(dat komt omdat de draai-impuls L = mvr gelijk blijft). a) Bereken in dit cirkelvormige stromingsveld v hoe groot v ds is voor rondje met straal R. b) Bereken v ds ook voor de hiernaast aangegeven route. c) Waar in dit stromingsveld is rot v ongelijk nul? Uitwerking: a) Over het hele rondje 2π R is v= C/ R, dus v d s = C (2 R) 2 C R π = π. C 1 1 b) De grote kwart-cirkel met wind mee levert ( π r 2 2) = Cπ en de kleine kwartcirkel met wind tegen 2 r2 C 1 1 levert ( π r 2 2) = Cπ. Dus voor de hele route is d = 0 2 r v s. Dan is blijkbaar in het ingeloten oppervlak 2 de rotatie nul (want kring v d s= (rot v) ds). Dat betekent dat, als je met de stroom meedrijft, je oppervlak oriëntatie niet verandert (je draaiing op je cirkelbaan wordt tegengewerkt door de extra snelheid aan de binnenkant). c) Ook voor de kleinste cirkels is v d s = C (2 R) 2 C R π = π ; blijkbaar is er alleen een rot v 0 in de oorsprong.

Oefeningen. Speciale Relativiteitstheorie

Oefeningen. Speciale Relativiteitstheorie Oefeningen bij het college Speciale Relativiteitstheorie Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr. E. de Wolf NIKHEF /Onderzoeksinstituut HEF /UvA versie 1.3, januari 2003 2 Inhoudsopgave 1 Galileitransformatie

Nadere informatie

Speciale Relativiteitstheorie. Oefeningen. Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer

Speciale Relativiteitstheorie. Oefeningen. Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer Speciale Relativiteitstheorie Oefeningen Prof. Dr J.J. Engelen, Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer Inhoudsopgave 1 Galileitransformatie 2 1.1 Een paraboolbaan...................................

Nadere informatie

Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie

Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Prof S. Bentvelsen UvA / NIKHEF Onderzoeksinstituut Hoge Energie Fysica (IHEF) Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie

Nadere informatie

Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie. Galileitransformaties. versie 1.3, januari 2003

Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie. Galileitransformaties. versie 1.3, januari 2003 Uitwerking Oefeningen Speciale Relativiteitstheorie Galileitransformaties versie 1.3, januari 003 Inhoudsopgave 0.1Galileitransformatie 0.1.1 Twee inertiaalsystemen...................... 0.1. Een paraboolbaan.........................

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie versie 13 februari 013 Speciale relativiteitstheorie J.W. van Holten NIKHEF Amsterdam en LION Universiteit Leiden c 1 Lorentztransformaties In een inertiaalstelsel bewegen alle vrije deeltjes met een

Nadere informatie

Relativiteitstheorie met de computer

Relativiteitstheorie met de computer Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 29 September 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 7 oktober 2013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme

Nadere informatie

Elementaire Deeltjesfysica

Elementaire Deeltjesfysica Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie

Nadere informatie

HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 1

HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK Opgave : Causaliteit In het jaar 300 wordt door de Aardse Federatie een ruimteschip naar een Aardse observatiepost op de planeet P47 gestuurd. Op de maan van

Nadere informatie

Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen de aarde.................

Nadere informatie

Bewijzen en toegiften

Bewijzen en toegiften Bewijzen en toegiften 1 Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W schiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie Speciale relativiteitstheorie De drie vragen van Einstein Wat is licht? Wat is massa? Wat is tijd? In 1905, Einstein was toen 26 jaar! Klassiek: wat is licht? Licht is een golf, die naar alle kanten door

Nadere informatie

Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl

Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl Speciale rela*viteit Hoogtepunten uit de Speciale Rela2viteit theorie van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl Albert Einstein (1879 1955) Einstein s grensverleggende papers (1905): De speciale

Nadere informatie

Tentamen Mechanica ( )

Tentamen Mechanica ( ) Tentamen Mechanica (20-12-2006) Achter iedere opgave is een indicatie van de tijdsbesteding in minuten gegeven. correspondeert ook met de te behalen punten, in totaal 150. Gebruik van rekenapparaat en

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 3 en 4: Lorentz Transformatie en Mechanica Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.

Nadere informatie

Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam

Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde André van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s speciale relativiteitstheorie, maarr dan begrijpelijk

Nadere informatie

Deeltjes en velden donderdag 3 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 2

Deeltjes en velden donderdag 3 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 2 Deeltjes en velden donderdag 3 oktober 203 OPGAVEN WEEK 2 Opgave : Causaliteit In het jaar 300 wordt door de Aardse Federatie een ruimteschip naar een Aardse observatiepost op de planeet P47 gestuurd.

Nadere informatie

Eindexamen vwo natuurkunde pilot 2014-II

Eindexamen vwo natuurkunde pilot 2014-II Opgave Skydiver maximumscore 3 Voor de zwaartekracht geldt: Fz = mg = 00 9,8=,96 0 N. Als je dit aangeeft met een pijl met een lengte van 4,0 cm, levert opmeten: 3 3 F I =, 0 N, met een marge van 0,3 0

Nadere informatie

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005

Uit: Niks relatief. Vincent Icke Contact, 2005 Uit: Niks relatief Vincent Icke Contact, 2005 Dé formule Snappiknie kanniknie Waarschijnlijk is E = mc 2 de beroemdste formule aller tijden, tenminste als je afgaat op de meerderheid van stemmen. De formule

Nadere informatie

Tentamen - uitwerkingen

Tentamen - uitwerkingen Tentamen - uitwerkingen Mechanica en Relativiteitstheorie voor TW 5 april 06 Kennisvragen - 0 punten a) Geef de drie behoudswetten van de klassieke mechanica, en geef voor elk van de drie aan onder welke

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie

Speciale relativiteitstheorie Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme

Nadere informatie

Relativistische interacties. N.G. Schultheiss

Relativistische interacties. N.G. Schultheiss 1 Relativistische interacties N.G. Schultheiss 1 Inleiding Botsingen van deeltjes zijn met behul van energie en imuls te beschrijven. Bij elastische botsingen blijft de som van de kinetische energie gelijk.

Nadere informatie

1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002

1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Leerlingproject: Relativiteit 28 februari 2002 1 Relativiteit Als je aan relativiteit denkt, dan denk je waarschijnlijk als eerste aan Albert Einstein. En dat is dan ook de bedenker van de relativiteitstheorie.

Nadere informatie

Theory DutchBE (Belgium) De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten)

Theory DutchBE (Belgium) De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten) Q3-1 De grote hadronen botsingsmachine (LHC) (10 punten) Lees eerst de algemene instructies in de aparte envelop alvorens te starten met deze vraag. In deze opdracht wordt de fysica van de deeltjesversneller

Nadere informatie

Natk4All Leraren opleiding Speciale Relativiteitstheorie (leerjaar )

Natk4All Leraren opleiding Speciale Relativiteitstheorie (leerjaar ) Natk4All Leraren opleiding Speciale Relativiteitstheorie (leerjaar 2016-2017) February 5, 2017 Tijd: 2 uur 30 min Afsluitend Maximum Marks: 78+5(bonusopgave) 1. In wereld van serie Star-Trek kunnen mensen

Nadere informatie

Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop

Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop Speciale relativiteitstheorie:... 1 de basisconcepten in een notedop... 1 1. Klassieke Relativiteit... 1 1.1 Twee waarnemers zien een verschillende

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: september 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica

Nadere informatie

Eindexamen natuurkunde 1-2 vwo 2007-I

Eindexamen natuurkunde 1-2 vwo 2007-I Beoordelingsmodel Opgave Didgeridoo maximumscore 4 uitkomst: f = 78 Hz (met een marge van Hz) voorbeeld van een bepaling: In de figuur komt 9,0 cm overeen met een tijd van 0,08 s. Voor periodes wordt een

Nadere informatie

Einstein (2) op aardoppervlak. versnelling van 10m/s 2. waar het foton zich bevindt a) t = 0 b) t = 1 s c) t = 2 s op t=0,t=1s en t=2s A B C A B

Einstein (2) op aardoppervlak. versnelling van 10m/s 2. waar het foton zich bevindt a) t = 0 b) t = 1 s c) t = 2 s op t=0,t=1s en t=2s A B C A B Einstein (2) In het vorig artikeltje zijn helaas de tekeningen, behorende bij bijlage 4,"weggevallen".Omdat het de illustratie betrof van de "eenvoudige" bewijsvoering van de kromming der lichtstralen

Nadere informatie

toelatingsexamen-geneeskunde.be

toelatingsexamen-geneeskunde.be Fysica juli 2009 Laatste update: 31/07/2009. Vragen gebaseerd op het ingangsexamen juli 2009. Vraag 1 Een landingsbaan is 500 lang. Een vliegtuig heeft de volledige lengte van de startbaan nodig om op

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 6

Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 2013 OPGAVEN WEEK 6 1 Gravitatie en kosmologie maandag 7 oktober 013 OPGAVEN WEEK 6 Opgave 1: We bespreken kort Rindler space en de connectie met de Tweelingparadox. We kijken naar een uniform versnelde waarnemer (we beschouwen

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen van de opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Najaar 2017 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Nav Sessie 1 en 2: Elektromagnetisme en licht 2 1.1 Zwaartekracht binnen

Nadere informatie

Docentencursus relativiteitstheorie

Docentencursus relativiteitstheorie Docentencursus relativiteitstheorie Uitwerkingen opgaven bijeenkomst 1, "Waarom relativiteit?" 18 september 2013 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau dit zijn dus opgaven

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 30 september 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme

Nadere informatie

RELATIVITEIT VWO. Lengtecontractie Rust- bewegende massa Relativistisch optellen

RELATIVITEIT VWO. Lengtecontractie Rust- bewegende massa Relativistisch optellen RELATIVITEIT VWO Foton is een opgavenverzameling voor het nieuwe eindexamenprogramma natuurkunde. Foton is gratis te downloaden via natuurkundeuitgelegd.nl/foton Uitwerkingen van alle opgaven staan op

Nadere informatie

1 Uitgewerkte opgaven: relativistische kinematica

1 Uitgewerkte opgaven: relativistische kinematica 1 Uitgewerkte opgaven: relativistische kinematica 1. Impuls van een π + meson Opgave: Een π + heeft een kinetische energie van 200 MeV. Bereken de impuls in MeV/c. Antwoord: Een π + meson heeft een massa

Nadere informatie

Speciale Relativiteitstheorie

Speciale Relativiteitstheorie Speciale Relativiteitstheorie Prof. dr. J.J. Engelen NIKHEF /Onderzoeksinstituut HEF met medewerking van drs. A. Heijboer, drs. B. Mooij, dr. E. de Wolf versie 1.4, September 2003 2 Inhoudsopgave 1 Inleiding

Nadere informatie

MODULE GLIESE 667 RELATIVITEIT GLIESE 667. Naam: Klas: Datum:

MODULE GLIESE 667 RELATIVITEIT GLIESE 667. Naam: Klas: Datum: GLIESE 667 RELATIVITEIT GLIESE 667 Naam: Klas: Datum: GLIESE 667 GLIESE 667 WE GAAN OP REIS De invloed van de mensheid reikt steeds verder. In de oertijd kon een mens zich maar enkele kilometers van zijn

Nadere informatie

Speciale Relativiteitstheorie

Speciale Relativiteitstheorie Speciale Relativiteitstheorie Prof. Dr J.J. Engelen NIKHEF/Onderzoekinstituut HEF met medewerking van Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 De Galileitransformatie

Nadere informatie

Bewijzen en toegiften

Bewijzen en toegiften Bewijzen en toegiften Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W shiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com

Nadere informatie

Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com

Nadere informatie

K4 Relativiteitstheorie

K4 Relativiteitstheorie K4 Relativiteitstheorie Ruimtetijd vwo Uitwerkingen basisboek K4. INTRODUCTIE 2 3 a De golflengte van radiostraling is groter dan die van licht. b Uit c λ f volgt dat de frequentie van de fotonen van radiostraling

Nadere informatie

MechRela voor TW. Hertentamen - uitwerkingen. 22 mei 2015, 14:00-17:00h. (b) Formuleer de postulaten van de speciale relativiteitstheorie.

MechRela voor TW. Hertentamen - uitwerkingen. 22 mei 2015, 14:00-17:00h. (b) Formuleer de postulaten van de speciale relativiteitstheorie. MechRela voor TW Hertentamen - uitwerkingen mei 015, 14:00-17:00h 1 Kennisvragen (10 pt) (a) Formuleer de drie wetten van Newton die de basis vormen van de klassieke mechanica. (b) Formuleer de postulaten

Nadere informatie

(a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met elkaar gemeen hebben.

(a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met elkaar gemeen hebben. Uitwerkingen HiSPARC Elementaire deeltjes C.G.N. van Veen 1 Hadronen Opdracht 1: Elementaire deeltjes worden onderverdeeld in quarks en leptonen. (a) Noem twee eigenschappen die quarks en leptonen met

Nadere informatie

Mooie samenvatting: http://members.ziggo.nl/mmm.bessems/kinematica%20 Stencil%20V4%20samenvatting.doc.

Mooie samenvatting: http://members.ziggo.nl/mmm.bessems/kinematica%20 Stencil%20V4%20samenvatting.doc. studiewijzer : natuurkunde leerjaar : 010-011 klas :6 periode : stof : (Sub)domeinen C1 en A 6 s() t vt s v t gem v a t s() t at 1 Boek klas 5 H5 Domein C: Mechanica; Subdomein: Rechtlijnige beweging De

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme

Nadere informatie

Het Quantum Universum. Cygnus Gymnasium

Het Quantum Universum. Cygnus Gymnasium Het Quantum Universum Cygnus Gymnasium 2014-2015 Wat gaan we doen? Fundamentele natuurkunde op de allerkleinste en de allergrootste schaal. Groepsproject als eindopdracht: 1) Bedenk een fundamentele wetenschappelijk

Nadere informatie

4. Maak een tekening:

4. Maak een tekening: . De versnelling van elk deel van de trein is hetzelfde, dus wordt de kracht op de koppeling tussen de 3e en 4e wagon bepaald door de fractie van de massa die er achter hangt, en wordt dus gegeven door

Nadere informatie

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2018 theorietoets deel 1

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2018 theorietoets deel 1 Eindronde Natuurkunde Olympiade 2018 theorietoets deel 1 1. Spelen met water (3 punten) Water wordt aan de bovenkant met een verwaarloosbare snelheid in een dakgoot met lengte L = 100 cm gegoten en dat

Nadere informatie

Dit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard.

Dit tentamen bestaat uit vier opgaven. Iedere opgave bestaat uit meerdere onderdelen. Ieder onderdeel is zes punten waard. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Tentamen Mechanica 1 voor N en Wsk (3NA40 en 3AA40) Donderdag 21 januari 2010 van 09.00u tot 12.00u Dit tentamen bestaat uit vier opgaven.

Nadere informatie

Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP

Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP www.astro.ru.nl/~achterb/ Waarnemingen die de basis vormen van het Oerknalmodel - Vluchtsnelheid verre sterrenstelsels - Kosmische Achtergrondstraling - Voorwereldlijke Nucleosynthese

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores

Vraag Antwoord Scores Eindexamen vwo natuurkunde pilot 03-II Beoordelingsmodel Opgave Splijtstof in een kerncentrale maximumscore 3 35 7 87 U + n Ba + Kr + n of 9 0 56 36 0 35 7 87 U + n Ba + Kr + n één neutron links van de

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

Tolpoortje RELATIVITEIT KEPLER 22B. 200 m. aket. Naam: Klas: Datum:

Tolpoortje RELATIVITEIT KEPLER 22B. 200 m. aket. Naam: Klas: Datum: KEPLER 22B RELATIVITEIT KEPLER 22B Tolpoortje chterste krachtveld de raket binnen is. aket 200 m Krachtveld. het tolsystee zet zodra he krachtveld a Naam: Klas: Datum: KEPLER 22B KEPLER 22B VERDER EN VERDER

Nadere informatie

Deeltjes in Airshowers. N.G. Schultheiss

Deeltjes in Airshowers. N.G. Schultheiss 1 Deeltjes in Airshowers N.G. Shultheiss 1 Inleiding Deze module volgt op de module Krahten in het standaardmodel. Deze module probeert een beeld te geven van het ontstaan van airshowers (in de atmosfeer)

Nadere informatie

Schoolexamen Moderne Natuurkunde

Schoolexamen Moderne Natuurkunde Schoolexamen Moderne Natuurkunde Natuurkunde 1,2 VWO 6 24 maart 2003 Tijdsduur: 90 minuten Deze toets bestaat uit 3 opgaven met 16 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Uitwerkingen 1. ω = Opgave 1 a.

Uitwerkingen 1. ω = Opgave 1 a. Uitwerkingen Opgave π omtrek diameter Eén radiaal is de hoek, gemeten vanuit het middelpunt van een cirkel, waarbij de lengte van de boog gelijk is aan de straal. c. s ϕ r d. ϕ ω t Opgave π (dus ongeveer

Nadere informatie

Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur

Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C Januari uur Uitwerkingen van het Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 25 Januari 2007-4.00-7.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina s. Op pagina 3 staat voor

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig

Trillingen en geluid wiskundig Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Radialen 3 Uitwijking van een harmonische trilling 4 Macht en logaritme 5 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Sinus van een hoek

Nadere informatie

Begripsvragen: Elektrisch veld

Begripsvragen: Elektrisch veld Handboek natuurkundedidactiek Hoofdstuk 4: Leerstofdomeinen 4.2 Domeinspecifieke leerstofopbouw 4.2.4 Elektriciteit en magnetisme Begripsvragen: Elektrisch veld 1 Meerkeuzevragen Elektrisch veld 1 [V]

Nadere informatie

natuurkunde havo 2018-I

natuurkunde havo 2018-I Aan het juiste antwoord op een meerkeuzevraag wordt scorepunt toegekend. Scheepsradar maximumscore uitkomst: s =,9 0 4 m Elektromagnetische golven bewegen met de lichtsnelheid. De afstand die 8 4 het signaal

Nadere informatie

Botsingen. N.G. Schultheiss

Botsingen. N.G. Schultheiss 1 Botsingen N.G. Schultheiss 1 Inleiding In de natuur oefenen voorwerpen krachten op elkaar uit. Dit kan bijvoorbeeld doordat twee voorwerpen met elkaar botsen. We kunnen hier denken aan grote samengestelde

Nadere informatie

5.1 De numerieke rekenmethode

5.1 De numerieke rekenmethode Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 5 Opgave 1 a Zie tabel 5.1. 5.1 De numerieke rekenmethode tijd aan begin van de tijdstap (jaar) tijd aan eind van de tijdstap (jaar) bedrag bij begin van de tijdstap ( )

Nadere informatie

Relativiteit. Bijlagen

Relativiteit. Bijlagen Relativiteit 1 Referentiestelsels; Galileï-transformatie Postulaten van de speciale relativiteitstheorie 3 Tijdsduurrek 4 Lengtekrimp 5 Minkowskidiagram 6 Lorentztransformatie 7 Ruimtetijdinterval 8 Relativistisch

Nadere informatie

Fysica: mechanica, golven en thermodynamica PROEFEXAMEN VAN 12 NOVEMBER 2008

Fysica: mechanica, golven en thermodynamica PROEFEXAMEN VAN 12 NOVEMBER 2008 Fysica: mechanica, golven en thermodynamica Prof. J. Danckaert PROEFEXAMEN VAN 12 NOVEMBER 2008 OPGEPAST Veel succes! Dit proefexamen bestaat grotendeels uit meerkeuzevragen waarbij je de letter overeenstemmend

Nadere informatie

Verbanden en functies

Verbanden en functies Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.

Nadere informatie

Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Formule afleiding opgaven bij de cursus Speciale relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat aanwijzingen/aanmoedigingen voor het zelf doen van de afleidingen uit het cursusmateriaal.

Nadere informatie

natuurkunde vwo 2018-II

natuurkunde vwo 2018-II Mechanische doping maximumscore 5 uitkomst: V =,7 0 m 4 3 voorbeeld van een berekening: Er geldt: Enuttig = Pt = 50 0,5 = 5 Wh. Enuttig 5 Dus geldt: Ein = = = 56 Wh. η 0,80 De batterij heeft een energiedichtheid

Nadere informatie

De speciale relativiteitstheorie. 1. Inleiding

De speciale relativiteitstheorie. 1. Inleiding De speciale relativiteitstheorie 1. Inleiding In de fysica zijn er waarschijnlijk weinig theorieën die de vorige eeuw zoveel tot de verbeelding van de mensen gesproken hebben als de relativiteitstheorie

Nadere informatie

TENTAMEN DYNAMICA ( )

TENTAMEN DYNAMICA ( ) TENTAMEN DYNAMICA (1914001) 8 januari 011, 08:45 1:15 Verzoek: Begin de beantwoording van een nieuwe opgave op een nieuwe pagina. Alleen leesbaar en verzorgd werk kan worden beoordeeld. Opgave 1 (norm:

Nadere informatie

Gravitatie en kosmologie

Gravitatie en kosmologie Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Einsteinvergelijkingen: 7 oktober 009 Traagheid van gasdruk SRT: hoe hoger de gasdruk, des te moeilijker is het om het gas te versnellen

Nadere informatie

TENTAMEN DYNAMICA (140302) 29 januari 2010, 9:00-12:30

TENTAMEN DYNAMICA (140302) 29 januari 2010, 9:00-12:30 TENTAMEN DYNAMICA (14030) 9 januari 010, 9:00-1:30 Verzoek: begin de beantwoording van een nieuwe vraag op een nieuwe pagina. En schrijf duidelijk: alleen leesbaar en verzorgd werk kan worden nagekeken.

Nadere informatie

Examen mechanica: oefeningen

Examen mechanica: oefeningen Examen mechanica: oefeningen 22 februari 2013 1 Behoudswetten 1. Een wielrenner met een massa van 80 kg (inclusief de fiets) kan een helling van 4.0 afbollen aan een constante snelheid van 6.0 km/u. Door

Nadere informatie

Stevin vwo Uitwerkingen Speciale relativiteitstheorie ( ) Pagina 1 van 8

Stevin vwo Uitwerkingen Speciale relativiteitstheorie ( ) Pagina 1 van 8 Stevin vwo Uitwerkingen Speiale relativiteitstheorie (14-09-015) Pagina 1 van 8 Opgaven 1 Het is maar hoe je het ekijkt 1 a Een inertiaalsysteem is een omgeving waarin de eerste wet van Newton geldt. a

Nadere informatie

Tentamen Natuurkunde 1A 09.00 uur - 12.00 uur vrijdag 14 januari 2011 docent drs.j.b. Vrijdaghs

Tentamen Natuurkunde 1A 09.00 uur - 12.00 uur vrijdag 14 januari 2011 docent drs.j.b. Vrijdaghs Tentamen Natuurkunde 1A 09.00 uur - 12.00 uur vrijdag 14 januari 2011 docent drs.j.b. Vrijdaghs Aanwijzingen: Dit tentamen omvat 6 opgaven met totaal 20 deelvragen Begin elke opgave op een nieuwe kant

Nadere informatie

Eindexamen vwo natuurkunde 2013-I

Eindexamen vwo natuurkunde 2013-I Eindexamen vwo natuurkunde 03-I Beoordelingsmodel Opgave Sprint maximumscore De snelheid is constant omdat het (s,t)-diagram (vanaf 4 seconde) een rechte lijn is. De snelheid is gelijk aan de helling van

Nadere informatie

Eindexamen natuurkunde 1-2 havo 2000-II

Eindexamen natuurkunde 1-2 havo 2000-II Eindexamen natuurkunde -2 havo 2000-II 4 Antwoordmodel Opgave Slijtage bovenleiding uitkomst: m =,87 0 6 kg Het afgesleten volume is: V = (98,8 78,7) 0-6 5200 0 3 2 = 2,090 0 2 m 3. Hieruit volgt dat m

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.

Nadere informatie

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal.

Maar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal. -09-5 Bijlage voor Stabiel Heelal. --------------------------------------- In deze bijlage wordt onderzocht hoe in mijn visie materie, ruimte en energie zich tot elkaar verhouden. Op zichzelf was de fascinatie

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation

Nadere informatie

Cursus deeltjesfysica

Cursus deeltjesfysica Cursus deeltjesfysica Bijeenkomst 1 (5 maart 2014) de speciale relativiteitstheorie prof Stan Bentvelsen en prof Jo van den Brand Nikhef - Science Park 105-1098 XG Amsterdam s.bentvelsen@uva.nl - jo@nikhef.nl

Nadere informatie

Relativiteit. Bijlagen

Relativiteit. Bijlagen Relativiteit 1 Referentiestelsels; Galileï-transformatie Postulaten van de speciale relativiteitstheorie 3 Tijdsduurrek 4 Lengtekrimp 5 Minkowskidiagram 6 Lorentztransformatie 7 Ruimtetijdinterval 8 Relativistisch

Nadere informatie

Tentamen Natuurkunde A. 9.00 uur 12.00 uur woensdag 10 januari 2007 Docent Drs.J.B. Vrijdaghs. Vul Uw gegevens op het deelnameformulier in

Tentamen Natuurkunde A. 9.00 uur 12.00 uur woensdag 10 januari 2007 Docent Drs.J.B. Vrijdaghs. Vul Uw gegevens op het deelnameformulier in Tentamen Natuurkunde A 9. uur. uur woensdag januari 7 Docent Drs.J.B. Vrijdaghs Aanwijzingen: Vul Uw gegevens op het deelnameformulier in Dit tentamen omvat 8 opgaven met totaal deelvragen Maak elke opgave

Nadere informatie

Docentencursus relativiteitstheorie

Docentencursus relativiteitstheorie Docentencursus relativiteitstheorie Opgaven bijeenkomst 2, "Rekenen en tekenen" 8 september 203 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau dit zijn dus opgaven die in de les of

Nadere informatie

Juli blauw Vraag 1. Fysica

Juli blauw Vraag 1. Fysica Vraag 1 Beschouw volgende situatie in een kamer aan het aardoppervlak. Een homogene balk met massa 6, kg is symmetrisch opgehangen aan de touwen A en B. De touwen maken elk een hoek van 3 met de horizontale.

Nadere informatie

vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode

vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode 1 1 vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode 1 1 2 2 Copyright 2018 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Erik van Haren, Dolf van den Hombergh,

Nadere informatie

Speciale Relativiteitstheorie

Speciale Relativiteitstheorie NS106b/2014-2015 Versie 31/07/2014 Speciale Relativiteitstheorie Stefan Vandoren Instituut voor Theoretische Fysica Universiteit Utrecht Dictaat Dit is een collegedictaat in voorbereiding. De tekst is

Nadere informatie

Inleiding Astrofysica Uittreksel Aantekeningen 2009 Vincent Icke

Inleiding Astrofysica Uittreksel Aantekeningen 2009 Vincent Icke Inleiding Astrofysica Uittreksel Aantekeningen 009 Vincent Icke icke@strw.leidenuniv.nl. Speciale relativiteitstheorie Bij nader inzien blijkt de Galilei-Huygens symmetrie niet exact te zijn. Daarvoor

Nadere informatie

Afstanden en roodverschuiving in een Stabiel Heelal Inleiding.

Afstanden en roodverschuiving in een Stabiel Heelal Inleiding. Afstanden en roodverschuiving in een Stabiel Heelal ---------------------------------------------------------------------- Inleiding. Wanneer men nu aanneemt dat het heelal stabiel is, dus dat alles in

Nadere informatie

Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 8, Bewegen in functies

Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 8, Bewegen in functies Samenvatting Natuurkunde Hoofdstuk 8, Bewegen in functies Samenvatting door een scholier 1016 woorden 19 januari 2003 5,6 80 keer beoordeeld Vak Methode Natuurkunde Natuurkunde overal Samenvatting hoofdstuk

Nadere informatie

Examen Algemene Natuurkunde 1-7 september 2017

Examen Algemene Natuurkunde 1-7 september 2017 NAAM + r-nummer: Examen Algemene Natuurkunde 1-7 september 2017 Beste student, gelieve volgende regels in acht te nemen: Je moet op elk blad (en dus ook op je vragenblad) je naam en r-nummer noteren. Leg

Nadere informatie

Algemeen. Cosmic air showers J.M.C. Montanus. HiSPARC. 1 Kosmische deeltjes. 2 De energie van een deeltje

Algemeen. Cosmic air showers J.M.C. Montanus. HiSPARC. 1 Kosmische deeltjes. 2 De energie van een deeltje Algemeen HiSPARC Cosmic air showers J.M.C. Montanus 1 Kosmische deeltjes De aarde wordt continu gebombardeerd door deeltjes vanuit de ruimte. Als zo n deeltje de dampkring binnendringt zal het op een gegeven

Nadere informatie

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1

Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1 Eindronde Natuurkunde Olympiade 2015 theorietoets deel 1 Opgave 1 Botsend blokje (5p) Een blok met een massa van 10 kg glijdt over een glad oppervlak. Hoek D botst tegen een klein vastzittend blokje S

Nadere informatie

Opgave 1 Waterstofkernen

Opgave 1 Waterstofkernen Natuurkunde Havo 1984-1 Opgave 1 Waterstofkernen A. We beschouwen kernen van de waterstofisotoop 2 H. Deze kernen worden deuteronen genoemd. We versnellen deuteronen met behulp van een elektrisch veld.

Nadere informatie

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0.

12.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. 12.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los de vergelijking sin(a) = 0 op. We zoeken nu de punten op de eenheidscirkel met y-coördinaat 0. Dit is in de punten (1,0) en (-1,0) (1,0) heeft draaiingshoek 0 (-1,0) heeft

Nadere informatie

Opgave 3 - Uitwerking

Opgave 3 - Uitwerking Mathrace 2014 Opgave 3 - Uitwerking Teken de rode hulplijntjes, en noem de lengte van dit lijntje y. Noem verder de lengte van een zijde van de gelijkzijdige driehoek x. Door de hoek van 45 graden in de

Nadere informatie