Nationaal verkeerskundecongres 2016

Transcriptie

1 Nationaal verkeerskundecongres 2016 Capaciteitsschatting van turborotondes op voertuig- en stroomniveau Capacity Estimation on Turboroundabouts with Gap Acceptance en Flow Level Methods Published in Transportation Research Record, Journal of TRB, No 2517, Transportation Research Board, Washington, D.C., , pp DOF / L.G.H.(Bertus) Fortuijn Technische Universiteit Delft, Transport en Planning / Turbo Traffic Solutions, Zoetermeer L.G.H.Fortuijn@tudelft.nl or LGH@Fortuijn.com telefoon: en Serge Hoogendoorn Technische Universiteit Delft, Transport en Planning S.P.Hoogendoorn@tudelft.nl telefoon: Samenvatting In de literatuur worden lineaire capaciteitsmodellen en exponentiële modellen op basis van de hiaatacceptatietheorie onderscheiden naast simulatiemodellen. Parameters voor de lineaire modellen kunnen alleen worden geschat op stroomniveau, terwijl de hiaatacceptatietheorie ervan uitgaat dat de gedragsparameters (kritisch hiaat, oprijvolgtijd en minimum volgtijd) op voertuigniveau bepaald kunnen worden. Maar ook dan zijn vanwege het schijnconflict metingen op stroomniveau in een verzadigde situatie noodzakelijk. Validaties van schattingen op basis van de hiaatacceptatietheorie laten zien, dat deze voor enkelstrooksrotondes bevredigende resultaten oplevert, maar dat dit niet geldt voor meer complexe situaties. Aanvullend onderzoek zal nodig zijn om te achterhalen welke assumpties in de hiaatacceptatiemodellen hiervoor verantwoordelijk zijn. Niettemin zijn de resultaten van een exponentieel model met parameters die op stroomniveau zijn aangepast beter, dan die van een lineair model. In vergelijking met onderzoek in Duitsland is de capaciteit van turborotondes hoger dan van de compacte tweestrooksrotonde die daar tot voor kort standaard was. Trefwoorden Turborotonde, capaciteit, kalibratie, hiaat, hiaatacceptatiemodel.

2 Inhoud Samenvatting i INLEIDING 1 HIAATACCEPTATIEMODELLEN 2 Keuze hiaat acceptatiemodel 2 Aangepast hiaatacceptatiemodel voor turborotondes 3 NAAR EEN VERBETERD MODEL VOOR TURBOROTONDES 4 Basisveronderstellingen hiaatacceptatie-modellen 4 Onderzoek van de assumptie-afwijkingen door toevoeging van parameters 5 Invoegverstoring 5 Schijnconflict 5 Rotondestrook gebruik 6 KALIBRATIE EN VALIDATIE 7 Parameterschattingen 7 Minimum volgtijd t M en clustering constante ρ 7 KRITISCH HIAAT EN OPRIJVOLGTIJD 8 Schatting op voertuigniveau 8 Schatting op stroomniveau voor de linker toeritstrook hoofdtak 9 Schatting op stroomniveau voor de linker toeritstrook zijtak 9 VERGELIJKING MET (CONCENTRISCHE) COMPACTE TWEESTROOKS ROTONDES 9 CONCLUSIES EN DISCUSSIE 10 Literatuur L.G.H. (Bertus) Fortuijn en Serge P. Hoogendoorn ii

3 INLEIDING De turborotonde een tweestrooksrotonde met spiraalbelijning en verhoogde rijstrookscheiding is in 1996 ontwikkeld [1]. Hoewel veiligheidsoverwegingen in het ontwerp de hoofdrol speelden, is ook het capaciteitsaspect van belang. De volgende kenmerken van de turborotonde zijn daarvoor het meest relevant: - de takken sluiten radiaal (rechthoekig) aan op de rotonde, zodat verkeer dat via dezelfde tak in tegenovergestelde richting de rotonde verlaat (het schijnconflict) niet buiten beschouwing kan blijven; - verhoogde rijstrookscheidingen maken het rotondestrookgebruik voorspelbaar. Fortuijn en Harte gebruikten een lineair model, (later MEERSTROOKSROTONDEVERKENNER genoemd, en meer geprofessionaliseerd door ir. P.J. Carton) om in eerste instantie de capaciteit van de turborotonde te bepalen [2]. Dit model is afgeleid van het model van Ph.H. Bovy (Zwitserland) [3], maar later zijn de parameters in dit model bepaald uit metingen op (turbo)rotondes die door de provincie Zuid- Holland zijn gebouwd (in de cd gevoegd bij [4] is de versie uit 2008 opgenomen). Dit model maakt het mogelijk om de toeritcapaciteit van elk van de vier aansluitende takken te berekenen alsook de gemiddelde wachttijd op die takken, zolang de rotonde niet oververzadigd is. Het nadeel van dit model is, dat uitgegaan wordt van een lineaire relatie tussen rotonde-intensiteit en toeritcapaciteit. De hiaatacceptatietheorie relateert deze twee variabelen op een meer realistische wijze met elkaar. In het artikel Turbo Roundabouts: Estimation of Capacity [5] is een benadering op basis van de hiaatacceptatietheorie gepresenteerd, waarin is opgemerkt, dat deze tekort schiet om ook rekening te houden met het schijnconflict van voertuigen die in tegengestelde richting via de dezelfde aansluitende tak de rotonde verlaten. Daarom is het basismodel aangepast. Maar de waarden voor de invloed van het schijnconflict zijn in die publicatie te hoog, omdat daarin andere afwijkingen van het werkelijke gedrag onterecht zijn terechtgekomen in de parameter voor het schijnconflict. Aanvullend onderzoek heeft zich gericht op (verschillen in) parameterwaarden van schattingen op zowel voertuigniveau als op stroomniveau. Deze publicatie beschrijft de resultaten van dat proces. Het doel is om aan te tonen, dat: de vooronderstelling dat het uitsluitend op basis van hiaatmetingen mogelijk is met de bestaande hiaatacceptatietheorie de capaciteit te bepalen, in meer complexe situaties niet blijkt te kloppen; een model gebaseerd op de hiaatacceptatietheorie geschat op basis van gegevens op verkeersstroomniveau in een verzadigde situatie een beter resultaat geeft dan een lineair model. Het laatst genoemde neemt niet weg, dat het wenselijk is, dat verder onderzoek wordt uitgevoerd om tot een theoretisch meer bevredigende oplossing te komen. Daartoe passeren in deze publicatie de assumpties die ten grondslag liggen aan de hiaatacceptatiemodellen de revue. Afgesloten wordt met een suggestie voor een alternatieve aanpak. Figuur 1 Onderzochte turborotondes (Rotterdam en Nieuwerkerk a/d IJssel) L.G.H. (Bertus) Fortuijn en Serge P. Hoogendoorn 1

4 HIAATACCEPTATIEMODELLEN Keuze hiaat acceptatiemodel Een algemeen wiskundige formulering voor de toeritcapaciteit gebaseerd op de hiaatacceptatietheorie luidt [6,7]: C 3600 q f () t g() t dt E R 0 Hierin is: C E : de capaciteit van de toerit in voertuigen c.q. in personenauto-equivalenten (pae) per uur [vtg/h of pae/h] q R : de intensiteit van het rotondeverkeer in voertuigen (of pae) per seconde [vtg/s of pae/s] f(t) : de kansdichtheidfunctie van de hiaten van de grootte t in de verkeersstroom waaraan voorrang moet worden verleend (met als belangrijkste parameter de intensiteit q R ) g(t): de functie voor het aantal voertuigen vanaf de toerit dat kan invoegen in een hiaat in de hoofdstroom van de grootte t (met als parameters het kritisch hiaat t C, de oprijvolgtijd t F en de minimum volgtijd t M ). Afhankelijk van de functies die voor de hiaatverdelingsfunctie f(t) en de hiaatbenuttingsfunctie g(t) uit vergelijking (1) worden gebruikt, kunnen alle hiaatacceptatiemodellen worden ingedeeld [1]. Zie Tabel 1. Tabel 1 Hiaatverdeling Hiaat- Benutting Indeling hiaatacceptatie-modellen M1-verdeling; rotondestroken niet onderscheiden. Minimale clustering cf. Tannerverdeling Eén rotondestrook discreet Harders 1968 [8] Tanner 1962 [9] continu Siegloch 1973 [6]; Brilon & Stuwe 1991 [16]; Brilon & Bäumer 2004 [17] door FGSV 2006 aanbevolen voor tweestrooksrotondes [18] Niet toepasbaar of niet beschikbaar Twee of meer rotondestroken Tanner 1967 [10] (2 stroken) Fisk 1989 [11] (2 + stroken) Wu 1997 [19], door FGSV 2006 aanbevolen voor enkelstrooksrotondes [18] M3-verdeling Noot: FGSV = Forschungsgesellschaft für Straßen- und Verkehrswesen Grotere clustering mogelijk Eén rotondestrook Troutbeck 1984 [12] Akçelik 1999 [20], 2007 [21] Ook toegepast voor meerstrooksrotondes via aangepaste parameterwaarden en toeritstrookgebruiksfuncties (1) Twee of meer rotondestroken Troutbeck 1986; [13] Hagring 1996 [14], 1998 [15] Niet toepasbaar of niet beschikbaar Figuur 2 laat zien, dat het verschil in hiaatbenuttingsfunctie g(t) (continu of discreet) qua functionaliteit van de capaciteitsmodellen van geen belang is. Bij de functie voor de hiaatverdeling op de rotonde f(t) ligt dat anders. Al dan niet rekening houden met de minimum volgtijd t M heeft grote invloed op het functieverloop (model van Siegloch [6] versus de andere modellen). Dat beïnvloedt de waarden van de andere parameters t C en t F wanneer die worden geschat op stroomniveau in sterke mate. Ook mag duidelijk zijn, dat de waarde van de minimum volgtijd t M een belangrijke invloed heeft op de ligging van de staart van de capaciteitsfunctie (de waarden van de capaciteitsfunctie bij hoge rotonde-intensiteiten). Het model van Tanner [9] representeert de situatie met het kleinst mogelijke aandeel geclusterd verkeer op de rotonde (als gevolg van de minimum volgtijd t M ), onder de aanname dat het nietgeclusterde (vrije) verkeer (met volgtijd t >t M ) exponentieel verdeeld is. Dit is de Tannerverdeling [1] van de hiaatverdeling: f(t) = q e λ(1-t M ). Dan is in vergelijking (4) van de volgende paragraaf ρ = 1, wat betekent dat α=1- t M q R. In Akçelik s model [21] met α=(1-t M ٠q R )/{1-(1-k d )٠t M ٠q R } in vergelijking (4) komt de waarde k d =1 overeen met de Tanner distributie. Ook is de invloed van de waarde van het aandeel vrije voertuigen α in vergelijking (4) minder groot, dan de wel zeer grote verschillen in aannamen voor α zouden doen vermoeden [9,12, 20, 21] (met uitzondering in de grafiek van Vasconcelos c.s. [22]; maar de formule van Tanner geeft met t C =4,7 s in plaats van 4,1 s hetzelfde resultaat als Vasconcelos c.s. bereiken met een gecompliceerder model). Voor de enkelstrooksrotonde en de hoofdtak van de turborotonde komen alleen modellen uit de kolommen voor één rotondestrook van Tabel 1 in aanmerking. Voor een tak van de L.G.H. (Bertus) Fortuijn en Serge P. Hoogendoorn 2

5 turborotonde naar een tweestrookssegment betreft dat één van de modellen uit de kolommen voor twee rotondestroken. Figuur 2 Vergelijking van het effect van verschillende hiaatacceptatiemodellen Voor de enkelstrooksrotonde is het model van Troutbeck (1984) de meest algemene vorm voor een hiaatacceptatiemodel (waarin het model van Tanner [9] is begrepen), omdat dat de mogelijkheid open laat rekening te houden met extra clustering. Hagring [14] presenteert een generalisatie van eerdere hiaatacceptatiemodellen (inclusief de modellen van Tanner en Fisk [11], bij uitbreiding van Troutbeck s model [12,13]. Dit model is bruikbaar voor rotondes waarop het strookgebruik voorspelbaar is, zoals voor turborotondes [23]. Aangepast hiaatacceptatiemodel voor turborotondes Hagring s model is behalve voor het schijnconflict aangepast door toevoeging van de extra correctieparameters z i, δ, of ξ en ψ om de verschillen tussen de schatting gebaseerd op hiaatwaarnemingen en 5-minuten capaciteitswaarnemingen te overbruggen. In de schattingen op stroomniveau werd steeds gestart met de waarde 1 voor deze correctieparameters, terwijl ook niet alle gelijktijdig in dezelfde rekenslagen werden toegepast. (Verderop wordt op de toegepaste kalibratie strategie nader ingegaan). Herformuleerd voor een turborotonde met twee stroken (waarop vanuit een bepaalde toevoerstrook bij het oprijden niet gekozen kan worden uit verschillende rotondestroken), luidt het stelsel vergelijkingen (2) tot en met (5): R ( t t ) ( ) US, i RU, i M R t t I RI, i e C C M CEi zi RS, i LUi ( RUS, RI ) t 1 e als q RUS,i + q RI>0 anders (2) i Fi C 3600/ t Ei F Waarin: LU i (1 q, ) (1, ) (1 ) j RSj i tmj t M q RUS i t M q RI [voor twee rotondestroken] (3) j qrsj, i RSj, i ( j qrsj, i uitgaandevan een lineaire fuctievoor α ) (4) 1 qrsj, i tm ( ) = ( q q ) (5) RS, i j RSj, i RUS, i RI RUS, i RI Hierin is: C Ei : de capaciteit van toeritstrook i [vtg/h of pae/h R = 3600 Rj : clustering-gecorrigeerde rotonde-intensiteit [vtg/h of pae/h] R,j : clustering-gecorrigeerde intensiteit van rotondestrook j [vtg/s of pae/s] α j : proportie vrije voertuigen op rotondestrook j ρ j : clusteringconstante van de hiaatverdeling ten opzichte van de Tannerverdeling C E i : capaciteit van de toeritstrook i in personenauto-equivalenten per uur [pae/h] q RI : rotonde-intensiteit op de binnenste rotondestrook [pae/s] q RUS,i : virtuele rotonde-intensiteit inclusief schijnconflict op de buitenste rotondestrook, in personenauto-equivalenten per seconde (zie vergelijking (7) [s/pae] LU i : rotondestrookgebruikfactor (lane-use factor) op rotondesegment tegenover toevoerstrook i [#] L.G.H. (Bertus) Fortuijn en Serge P. Hoogendoorn 3

6 t C i, j : het kritisch hiaat in rotondestrook j (RU of RI) voor toeritstrook i [s/pae] t F i : oprijvolgtijd van verkeer vanaf toeritstrook i dat van hetzelfde hiaat op de rotonde gebruik maakt [s/pae] t M : minimum volgtijd [s/pae] j, k en l : indices voor de ligging van (dezelfde) rotondestroken δ : algemene correctiefactor voor het verschil tussen de parameters, verkregen uit hiaatmetingen en verzadigde stroommetingen ξ : vermenigvuldigingsfactor voor de oprijvolgtijd verkregen uit hiaatwaarnemingen voor toepassing in een capaciteitsmodel (opmerking: ξ wordt alleen gebruikt als de waarde δ = 1 is vastgezet en omgekeerd) ψ : vermenigvuldigingsfactor voor de kritische hiaten verkregen uit hiaatwaarnemingen voor toepassing in een capaciteitsmodel z i : correctiefactor voor de invoegverstoring; z 1 voor de linker toeritstrook en z 2 voor de rechter (of enige) toeritstrook. NAAR EEN VERBETERD MODEL VOOR TURBOROTONDES Verschillende modelaanpassingen voorgesteld in de voorgaande paragraaf worden in deze paragraaf besproken. Allereerst worden de belangrijkste aannamen (assumpties) met betrekking tot het verkeersgedrag beschouwd met daarna een bespreking van de consequenties daarvan. Basisveronderstellingen hiaatacceptatie-modellen In de hiaatacceptatie-modellen worden vijf assumpties gedaan zowel met betrekking tot het hiaataanbod f(t) als de hiaatacceptatie g(t). Deze basisveronderstellingen bieden inzicht in de mogelijke oorzaken van systematische afwijkingen tussen de gemeten capaciteiten en berekende capaciteiten op basis van hiaatwaarnemingen. De eerste twee assumpties bieden de basis voor de hiaatacceptatietheorie op geaggregeerd niveau (waarin de acceptatie en verwerping van hiaten door bestuurders is gecomprimeerd in het concept of het kritisch hiaat) met betrekking tot g(t) in vergelijking (1): Assumptie 1. De bestuurders zijn in hun gedrag consistent, dat wil zeggen dat een bestuurder nooit een kleiner hiaat zal accepteren dan een verworpen hiaat. De mate waarin bestuurders consistent reageren laat zich in de kalibratiefase op voertuigniveau onderzoeken. Assumptie 2. De populatie bestuurders is homogeen, dat wil zeggen alle bestuurders gedragen zich gelijk, althans in die zin dat ze allen een kritisch hiaat kiezen volgens dezelfde kansverdelingfunctie (paragraaf KALIBRATIE EN VALIDATIE). De validatieresultaten kunnen aanwijzingen opleveren in hoeverre de assumptie dat de populatie bestuurders homogeen is, een overschatting van de capaciteit oplevert (de waarden van de parameters δ of ξ en ψ in vergelijking (2)). De drie andere assumpties spelen een rol bij het aanbod van hiaten f(t) in vergelijking (1): Assumptie 3. De hiaten zijn (verschoven) exponentieel verdeeld meer specifiek de hiaten groter dan het kritisch hiaat (t > t C ); deze assumptie biedt de basis van de M3 verdeling [24] van het rotondeverkeer. Omdat de waarden van het kritisch hiaat bij het oprijden van de Nederlandse rotonde klein zijn, terwijl sommige bestuurders op de rotonde ook al bij een volgtijd t > t M door hun voorligger zijn beïnvloed, is de geldigheid van deze assumptie kwestieus, terwijl er ook nog toevallige invloeden kunnen optreden waardoor de grotere hiaten niet exponentieel zijn verdeeld (zie paragraaf Minimum volgtijd t M en clusteringconstante ρ). Assumptie 4. In de elementaire formule van de hiaatacceptatiemodellen vergelijking (2) wordt de aanname gedaan, dat de verdeling van het rotondeverkeer niet wordt beïnvloed door het invoegend verkeer. Als bestuurders echter bij het oprijden zeer kleine hiaten benutten, zodat het kritisch hiaat kleiner is dan de som van de minimum volgtijd op de rotonde en de volgtijd die bestuurders bij het oprijden aanhouden (t C < t M + t F ), geldt deze assumptie niet meer (en parameter z is toegevoegd) [25]. Assumptie 5. Hiaten op elk van de rotondestroken zijn onafhankelijk ten opzichte van elkaar verdeeld. Deze assumptie is de basis van de formules Tanner, Fisk, Troutbeck, en L.G.H. (Bertus) Fortuijn en Serge P. Hoogendoorn 4

7 Hagring [10, 11, 13, 14, 15]. Met behulp van vergelijking (8) wordt onderzocht in hoeverre deze assumptie op turborotondes moet worden bijgesteld. Onderzoek van de assumptie-afwijkingen door toevoeging van parameters In deze paragraaf worden de afwijkingen van de assumpties onderzocht. De mate waarin het werkelijke hiaatacceptatieproces afwijkt van de assumpties die ten grondslag liggen aan uitdrukking (2) wordt in principe gerepresenteerd door het kwadraat van de residuen bij de schatting op stroomniveau gebruikmakend van de gevonden parameters die in de schatting op voertuigniveau waren gevonden. Echter, daarbij vormen het schijnconflict en de personenauto-equivalentwaarden (pae) van lichte en zware vrachtauto s een complicerende factor. Het aantal waargenomen hiaten was te gering om de pae-waarden op voertuigniveau te schatten, terwijl het schatten van een kritisch hiaat voor het schijnconflict theoretisch op voertuigniveau niet rechtstreeks mogelijk is. Een afleiding van de invloed van het schijnconflict op het kritisch hiaat door onderscheid te maken tussen de waarde van geaccepteerde hiaten waarin zich geen (t C netto.) en waarin zich mogelijk wel een afslaand voertuig had bevonden (t C bruto.) leverde ook geen goede resultaten op, aangezien later bleek dat de herkomst van het afslaande voertuig ook van invloed is, zie vergelijking (7). Deze onderlinge samenhang tussen factoren die niet goed expliciet zijn te schatten, leidt tot een iteratief proces van kalibratie en validatie, waarbij in stappen extra parameters zijn toegevoegd, zodat afwijkingen niet wordt verdoezeld door onrealistische waarden voor het schijnconflict en pae-waarden. Uiteraard is dit steeds weer gevolgd door een nauwkeurige bepaling van de effecten van het vervolgens weer weglaten van elk van de correctieparameters δ, ξ, en ω. In dat proces is gebleken, dat de parameters δ en ξ sterk interfereren, waarbij het gebruik van ξ de voorkeur verdient (gebaseerd op de waarden van de kwadratensom van de residuen (vergelijking (12)). Invoegverstoring Ter correctie van afwijkingen ten opzichte van assumptie 4 hebben Troutbeck en Kako [25] een vergelijking aan de berekende capaciteitformule toegevoegd. Zij introduceerden factor z ter compensatie van de vertraging in de rotondestroom door de invoegende stroom: z p RptF 1 e Rp( tctm ) Rp( tctm ) 1 e ( t t t ) e Rp C M F indien t C t M t F < 0, anders z = 1 (6), waar z p een correctiefactor is voor de invoegverstoring in periode p (5 minuten) en λ p de rotondeintensiteit is in periode p voor de correctie van boven-proportioneel clustering van voertuigen. Uit een gevoeligheidsanalyse van deze formule blijkt, dat het reducerend effect op de capaciteit van het invoegen toeneemt bij toename van de rotonde-intensiteit. Bij waarden van bijvoorbeeld t C = 3,1 /pae; t F = 2,2 s/pae en t M = 1,7 s/pae, varieert z van 0,996 (bij Q R = 100 pae/h) tot 0,975 (bij Q R = 1000 pae/h). Schijnconflict De resultaten van het schattingsproces voor de turborotonde dicht bij Nieuwerkerk aan de IJssel, met een specifieke configuratie, deden vermoeden dat de invloed van het schijnconflict afhankelijk is van de herkomst van de afslaande stroom Q S. Indien deze afkomstig is vanaf de voorgaande tak (Q SK ), heeft deze een beperkende invloed op de toeritcapaciteit, maar een afslaand voertuig afkomstig van het segment daarvoor (Q SH ) verhoogt eerder de toeritcapaciteit. Wel lijkt die positieve invloed samen te hangen met de mate waarin de conflicterende stroom afkomstig is van de voorgaande tak (Q RK ). Deze constateringen leidden tot het opsplitsen van de invloedfactor d in drie componenten: d K, d H, en d HR voor het schijnconflict: qruk qs1 H q = q RUS i RU +d K i q d S1K H i q d S1H HRi (7) qruk qs1 H Waarin q RSUSi : intensiteit rotondeverkeer, inclusief de invloed van het schijnconflict [pae/s] q RU : intensiteit rotondeverkeer op de buitenste rotondestrook (q RU = q RUK + q RUH ) [pae/s] q S1 : intensiteit afslaand verkeer op de (linker) afvoerstrook (q S1 = q S1K + q S1H ) [pae/s] d K,i : invloedsfactor van het afslaande verkeer afkomstig van de tak die een kwart rotondesegment voor de toerit ligt, voor toeritstrook i d H,i : invloedsfactor van het afslaande verkeer q S1H, voor toeritstrook i d HR : invloedsfactor van het afslaande verkeer q S1H, afhankelijk van de relatieve omvang van het conflicterende rotondeverkeer q RUK, voor toeritstrook i. L.G.H. (Bertus) Fortuijn en Serge P. Hoogendoorn 5

8 Evenwel is onderzoek op meer rotondes nodig om de waarden van deze schijnconflictfactors in hun onderlinge samenhang vast te stellen. Maar de volgende waarden geven een indruk van de invloed van de verschillende componenten van de afslaande stroom, die met de thans beschikbare data is gevonden: Q d K = 0,22, d H = 0,12 en d HR = - 0,13. S2 Q S1HQS1K Figuur 3 Definities van verkeersstromen in de basisturborotonde Aansluiting hoofdtak C E1 Q RUH C E2 Q RUK Rotondestrook gebruik Als onderdeel van de hoofdvergelijking (2) van het capaciteitsmodel is vergelijking (3) afzonderlijk onderzocht, omdat die van belang is voor de invloed van de verdeling van het rotondeverkeer over de twee rotondestroken. Om te onderzoeken in hoeverre een correctie nodig is i.v.m. het uitgangspunt dat de hiaten op beide rotondestroken onafhankelijk van elkaar verdeeld zijn (assumptie 5), wordt in vergelijking (3) voor de linker toeritstrook naar een tweestrooks rotondesegment de uitdrukking LUi (1 tm qrus, i) (1 tmqri) (3) vervangen door: max (1, ) (1 ) 1 qr t LUi q M RUSi q RI mits qrmax tm 1 en qrmax 1 (8) 1q Rmax Hierin is: LU i : strookgebruikfactor op de rotonde tegenover toeritstrook i η : vervanger van de minimum volgtijd in de strookgebruikfactor [s/pae] q Rmax : de grootste van q RUS of q RI. [pae/s] De keuze voor gebruik van uitdrukking (8) is gebaseerd op een analyse van de rol van de productfactor Π j (1-t M q Rj ). Enerzijds neemt bij hogere rotonde-intensiteiten het effect van een meer evenwichtige verdeling van het verkeer over beide rotondestroken af bij een kleinere waarde van t M, maar anderzijds neemt in totaliteit de capaciteit dan toe. Dit maskeert een mogelijk minder positief effect van een meer evenwichtige verdeling van het rotondeverkeer, wat in het onderzoek leidde tot de introductie van uitdrukking (8). Duidelijk is, dat voor LU moet gelden: LU 1 t (, ) i M qrus i qri indien al het verkeer zich op één rotondestrook zou bevinden (ongeacht de waarde van η); LUi (1 tm qrus, i ) (1 tm qri ) indien de hiaten op beide stroken onafhankelijk van elkaar zijn verdeeld (dan geldt η = t M ); LU i = 0 op het moment dat qrmax tm 1, zodat de capaciteitsfunctie de waarde 0 bereikt, afhankelijk van de verdeling van het verkeer over de rotondestroken, gegeven de waarde van de minimum volgtijd t M, maar onafhankelijk van de waarde van η. De verhouding ν = η/t M kan worden beschouwd als een strooksynchronisatieconstante. Is deze groter dan 1, dan is het effect van de verdeling van het verkeer over twee stroken minder positief dan assumptie 5 veronderstelt: de hiaten in beide stromen zijn niet onafhankelijk van elkaar en worden zo gesynchroniseerd dat er minder bruikbare hiaten ontstaan (hiaten treden verschoven ten opzichte van elkaar op). Als geldt ν = η/t M = <1, zijn de hiaten in beide stromen ook niet onafhankelijk van elkaar verdeeld, maar dan vallen de hiaten op beide stroken meer samen. Als de verhouding ν = η/t M weinig afwijkt van 1 is deze uitbreiding van de capaciteitformule niet nodig. Bij toepassing van dit capaciteitsmodel in een prognosesituatie moet wel overwogen worden dat de schattingen op basis van stroom waarnemingen voor vijf-minutenperioden zijn uitgevoerd, terwijl prognoses voor een uurperiode worden gemaakt. De verdeling van de verkeersstromen over beide rotondestroken is gemiddeld over 12 vijf-minutenperioden altijd minder evenwichtig dan een verdeling op uurbasis doet vermoeden. In Figuur 5 is ook daarmee rekening gehouden. Daarom is de aanname dat de verkeersstromen gelijk verdeeld zijn over de twee rotondestroken zoals in het model van Wu [19] dan ook te optimistisch, wat in een schattingsprocedure op stroomniveau tot te hoge waarden van t C leidt. L.G.H. (Bertus) Fortuijn en Serge P. Hoogendoorn 6 Q S1K Q S1H Q RUK C E1 C E2 Q RI Q RUH Aansluiting zijtak

9 KALIBRATIE EN VALIDATIE Nu het algemene model is gepresenteerd, worden de kalibratie en de validatie beschreven. De verschillende benaderingen voor de schatting van de sleutelparameters volgt nu eerst. Parameterschattingen Vanwege de onwaarschijnlijk hoge waarden die gevonden werden voor de invloed van het schijnconflict, is na de publicatie in 2009 van [23] het schattingsproces op stroomniveau voortgezet. Op stroomniveau vindt de schatting plaats door toepassing van vergelijking (9) tot en met (12), door het minimaliseren van de kwadratensom van de residuen. Voor de helderheid is vergelijking (2) vereenvoudigd tot het model van Troutbeck (gemodificeerd): ˆ qrs p ( t ) RS p 3600 (1 ) C tm q t C z /(1 F ) Ep p qrs p t q M RS p e e (9) * C 3600 Ep gvqev, p in verzadigde toestand (10) v * qrs p gv qrs, v, p (11) v ˆ p C C Ep E p (12) Hierin is (in aanvulling op de reeds gedefinieerde symbolen): Ĉ Ep : geschatte capaciteit van de (linker) toerit(strook) in (vijfminuten-)periode p [pae/h] C E p : omgerekende toerit-intensiteit van de (linker) toerit(strook) in verzadigde toestand in periode p uitgedrukt in personenauto-eenheden per uur [pae/h] * q Ev, p : gemeten toerit-intensiteit van voertuigtype v in periode p, uitgedrukt in [vtg v /s] * q :gemeten rotonde-intensiteit inclusief het schijnconflict v in periode p, uitgedrukt in [vtg RS, v, p v /s] g v : pae-waarde voor voertuigsoort v; voor v=1 is per definitie g E,1 =1 ε : residu in periode p. Minimalisering van de kwadratensom van de residuen (Σ p ε 2 p ), leidt tot de optimale waarden van de parameters. In deze voortgezette kalibratieprocedure kwamen de volgende waarden voor de personenauto-equivalenten meest in aanmerking: lichte vrachtauto (g 2 )=1,9 en zware vrachtauto (g 3 )= 2,7. Minimum volgtijd t M en clustering constante ρ De minimum volgtijd is in het concept van de hiaatverdeling in eerste instantie een eigenschap van het geclusterde verkeer. Maar in de M3-verdeling [24] is t M een parameter die de mate van verschuiving van de exponentiële functie f(t) aangeeft voor het ongeclusterde deel (α) van het rotondeverkeer verkeer. Dit betekent dat er een samenhang bestaat tussen t M en α. Sullivan en Troutbeck wijzen er op, dat gegeven een bepaalde intensiteit q de distributie M van de grotere hiaten niet wijzigt zolang de waarde van e t constant is [26]. In de literatuur wordt de schatting van t M, α en de λ-distributie dan ook in onderlinge samenhang behandeld. Daarbij worden verschillende wiskundige technieken gebruikt. Cowan combineert de momentenmethode en Komogorov-Smirnov statistiek [24]. Sullivan en Troutbeck vergelijken de variantie van de residuen voor de berekende en waargenomen frequentieverdeling van volgtijden groter dan 4 seconden van drie methoden (momentenmethode, maximum likelihood en kleinste kwadratenmethode) [26]. Hagring heeft deze methoden ook gehanteerd, gebruikmakend van steeds drie waarden voor t M =1,5 s/vtg, 1,8 s/vtg en 2,0 s/vtg. De resultaten leverden echter geen eenduidig beeld op. Zijn conclusie is, dat alle uitkomsten voldeden. Op arbitraire gronden heeft hij gekozen voor de resultaten van de momentenmethode, met t M =1,5 s/vtg of 1,8 s/vtg [15]. Hoogendoorn heeft een methode ontwikkeld om geclusterd en ongeclusterd verkeer te onderscheiden [27]. Van Beinum heeft cf. deze methode de volgtijden gesplitst in geclusterd en ongeclusterd verkeer en vervolgens de gemiddelde waarde t B van de volgtijd van het geclusterde verkeer bepaald. Voor de enkelstrooksrotonde in Schipluiden is zo een waarde t B = 2,2 s/pae gevonden [28]. Dit is een waarde die groter is dan die van de oprijvolgtijd t F = 2,1 s/pae. Mogelijk wordt met deze methode de gemiddelde volgtijd gevonden van auto s die vooral vanaf de vorige tak gebruik hebben gemaakt van eenzelfde hiaat. Het volgen van de voorganger vraagt op een rotonde echter een kleinere taakbelasting dan het oprijden. Het is dan ook zeer onwaarschijnlijk, dat deze waarde t B de tijdsafstand t M weergeeft waarop een L.G.H. (Bertus) Fortuijn en Serge P. Hoogendoorn 7

10 volger op de rotonde nog wordt beïnvloed door zijn voorganger. Dit betekent dat t M niet identiek is met t B. Met de thans ter beschikking staande methoden is de waardebepaling van t M arbitrair. Daarom is gekozen voor een benadering op stroomniveau. Vanwege de eenvoud zijn daarvoor de waarnemingen op een enkelstrooksrotonde gebruikt (Schipluiden). Duidelijk is, dat een simultane schatting op stroomniveau (9) in het hiaatacceptatiemodel een onwaarschijnlijk lage waarde voor de minimum volgtijd (t M = 1,2 à 1,4 s/pae) oplevert, terwijl de waarden voor het kritisch hiaat t C hoger zijn dan die uit de hiaatmetingen. De conclusie is, dat een simultane schatting van de parameters op stroomniveau op basis van de beschikbare dataset geen reële parameterwaarden oplevert voor het hiaat-acceptatiemodel. Daarom zijn de effecten onderzocht van het invullen van de waarde voor het kritische hiaat t C. Dan blijkt een waarde t M = 1,7 s/pae en ρ =1 een zeer acceptabel resultaat op te leveren. Dit is een verrassend resultaat, omdat het eenvoudiger model van Tanner geen slechtere resultaten blijkt op te leveren dan het complexere model van Troutbeck [12,13]. De meest voor de hand liggende verklaring hiervoor is, dat de dichotome verdeling van de voertuigen op de rotonde in werkelijkheid niet begrensd wordt door een enkele waarde van de minimum volgtijd t M. Daardoor wordt de kwaliteitswinst die bereikt zou kunnen worden met het aanbrengen van verfijningen in de mate van clustering teniet gedaan door de spreiding van de minimum volgtijd in werkelijkheid tot zelfs groter dan geaccepteerde hiaten. Vanwege de verschillen in wenssnelheid neigt ρ naar een waarde < 1, maar de minimum volgtijd van voertuigen varieert. Opmerkelijk is, dat in het relevante deel van de volgtijden (t >t C ) de Tanner distributie (ρ=1) beter aansluit bij de meer realistische, aangepaste M3-verdeling (ρ=0,8+gespreide volgers, d.w.z. met variabele minimum volgtijden), dan de Cowan M3-distributie [24] zelf, hoewel van de beide laatstgenoemde verdelingen het aandeel geclusterde verkeer gelijk is. Overigens blijkt ook, dat indien de verdeling van kleinere volgtijden van belang is, een M3 verdeling met ρ=1,55 nog beter zou aansluiten. Duidelijk mag zijn, dat een dergelijk theoretisch onmogelijke aanname voor ρ>1 noodzakelijk kan zijn (zoals Akçelik met een waarde kd =0,2 doet voor verkeer op de aanvoertak [21], omdat de werkelijke volgtijdverdeling afwijkt van assumptie 3 die aan de M3 verdeling ten grondslag ligt. Een en ander is geïllustreerd in Figuur 4. Figuur 4 Effect van verschillende aannames voor de verdeling van geclusterde voertuigen KRITISCH HIAAT EN OPRIJVOLGTIJD Schatting op voertuigniveau Zoals gepubliceerd in [5] variëren de waarden voor het kritisch hiaat en de oprijvolgtijd die in het schattingsproces op voertuigniveau voor de verschillende toeritstroken naar de onderzochte rotondes zijn gevonden. Wanneer deze worden gerangschikt naar oplopende waarden, blijkt zich een relatie met oplopende complexiteit voor te doen. Tabel 2 Kritieke hiaten en oprijvolgtijden voor toeritten van turbo rotondes t C t F Hoofd Schijnconflict conflict Schijn- [s/pae] [s/pae] conflict Nabij Veraf Schijnbeweging Toeritstrook Enkelstrooksrotonde 3,15 2, n a n a Linker strook zijtak 3,15 2, n a n a Linker strook hoofdtak 3,55 2, n a 1 Rechter strook zijtak 3,7 2,8 1 n a n a 1 (+1 bypass) Rechter strook hoofdtak 3,8 2,3 1 n a 1 1 n a = niet aanwezig L.G.H. (Bertus) Fortuijn en Serge P. Hoogendoorn 8

11 Niet alleen de stromen die een echt conflict (kunnen) veroorzaken (schijnconflict), lijken van belang te zijn, maar ook verkeersbewegingen die in het geheel geen conflict kunnen opleveren, maar kennelijk toch de aandacht vragen. In Tabel 2 zijn deze geordend naar oplopende waarden. Een relatie met oplopende complexiteit lijkt voor de hand liggend. Schatting op stroomniveau voor de linker toeritstrook hoofdtak In deze paragraaf worden de resultaten besproken van het schattingsproces op stroomniveau voor de capaciteit van de linker toeritstrook van de hoofdtak van de basis turborotonde (linker afbeelding Figuur 3). Hoewel het kritisch hiaat in de schatting op voertuigniveau al vrij hoog was, bleek deze in de schatting op stroomniveau toch nog hoger te zijn: ψ =1,10, met t Ceff = 3,91 s/pae. Ook de oprijvolgtijd is in de schatting op voertuigniveau hoger: ξ = 1,16, met t Feff = 2,67 s/pae. De meer complexe situatie heeft kennelijk een grotere invloed op het oprijden dan uit de schatting op voertuigniveau is gebleken. Grafisch zijn de verschillen weergegeven in de linker grafiek van Figuur 5. Schatting op stroomniveau voor de linker toeritstrook zijtak Het schattingsproces op stroomniveau voor de capaciteit van de linker toeritstrook van de zijtak van de basis turborotonde (rechter afbeelding Figuur 3) is gecompliceerder. Allereerst is de vraag van belang of onderzoek van de strookgebruikfactor via uitdrukking (8) een resultaat oplevert, dat van belang is. De gebruikte waarnemingen leverden bij t M = 1,7 s/pae een waarde η= 2,08 op, terwijl de kwadratensom van de residuen verminderde met 2,6 %. Maar daarbij moet worden aangetekend, dat dit niet gold voor alle onderzochte toeritten (de rotonde Rotterdam liet een tegengesteld effect zien). In feite gaat het dan ook om niet meer dan een indicatie, dat het effect van een meer evenwichtige verdeling van het verkeer over twee rotondestroken minder sterk is, dan vergelijking (2) en (3) zou doen vermoeden. Gelet op het kleine verschil in de kwadratensom van de residuen en het tegengestelde effect op de rotonde Rotterdam, ligt het hanteren van een hogere waarde voor het kritisch hiaat bij een eenvoudiger modelstructuur meer voor de hand. In de kalibratie op stroomniveau is de waarde van het kritisch hiaat veel hoger dan die in de schatting op voertuigniveau (ψ =1,26). Het grote verschil tussen het kritisch hiaat verkregen uit hiaatmetingen en capaciteitsmetingen kan erop wijzen, dat in situaties waarin het beoordelen van bruikbare hiaten complexer is, het gedrag van bestuurders minder homogeen is dan assumptie 2 veronderstelt. De grotere spreiding in de waarde van het kritisch hiaat in de schatting vanuit de hiaatwaarnemingen voor turborotondes ondersteunt dit vermoeden. De oprijvolgtijd t F =2,13 s/pae behoefde geen correctie. Grafisch zijn de verschillen weergegeven in de rechter grafiek van Figuur 5. Figuur 5 Vergelijking capaciteit op voertuig- en stroomniveau VERGELIJKING MET (CONCENTRISCHE) COMPACTE TWEESTROOKS ROTONDES In Nederland zijn geen capaciteitsmetingen op concentrische tweestrooksrotondes met enkelstrooks afvoertakken (compacte tweestrooks rotondes) beschikbaar. In Duitsland hebben Brilon en Bäumer hebben hiernaar onderzoek gedaan en geconstateerd dat de linker toeritstrook veel slechter wordt benut dan de rechter. De bereidheid om de linker rijstrook te gebruiken neemt toe, naarmate de afstand die op de rotonde afgelegd wordt, groter is [17]. Duidelijk is, dat de turborotonde in vergelijking met de Duitse concentrische tweestrooksrotondes een hoger capaciteit heeft. Vooral zijn de waarden van de twee hoofdtakken in Figuur 6 relevant. L.G.H. (Bertus) Fortuijn en Serge P. Hoogendoorn 9

12 Figuur 6 Vergelijking turborotonde met concentrische compacte tweestrooksrotonde CONCLUSIES EN DISCUSSIE Een één-op-één vertaling van de parameterwaarden uit hiaatwaarnemingen leidt tot te hoge capaciteitswaarden. Dit betekent, dat het werkelijke verkeersgedrag sterker afwijkt van de assumpties die ten grondslag liggen aan de hiaatacceptatie-modellen, dan voorheen in [5] werd vermoed. Afwijkingen zijn geconstateerd ten aanzien van: Assumptie 1. Consistentie in gedrag neemt af in meer complexe situaties, afgeleid uit een hoger percentage verworpen hiaten die groter zijn dan het geaccepteerde [1, Tabel F.3.4]. Assumptie 2. Bestuurders reageren mogelijk minder gelijk in meer complexe situaties. Assumptie 3. Hiaten groter dan het kritisch hiaat (t > t C ) zijn niet alle (verschoven) exponentieel verdeeld). Assumptie 4. Het rotondeverkeer wordt door invoegend verkeer beïnvloed; het effect van de hiervoor ontwikkelde correctiefactor is gering. Assumptie 5. Hiaten op twee rotondestroken zijn ten opzichte van elkaar niet geheel onafhankelijk verdeeld. Een model, gebaseerd op de hiaatacceptatietheorie, maar dat geschat wordt op een combinatie van hiaat- en stroomwaarnemingen kan tot een voor de praktijk bruikbaar model leiden, dat beter past bij de waarnemingen dan een lineair model [1]. Maar in theoretisch opzicht is het betrekkelijk grote verschil tussen de resultaten uit hiaatmetingen en verkeersstroommetingen onbevredigend. Het ontwikkelen van een theoretisch beter alternatief voor modelschattingen op basis van hiaatgegevens verdient aanbeveling. Zo n model kan minder strenge aannames met zich meebrengen. Het loslaten van de onrealistische aanname dat het gedrag consistent is, zou een belangrijke verbetering betekenen. Eerdere onderzoeksresultaten wijzen in de richting van de noodzaak van een expliciete modellering van niet-consistent bestuurdersgedag in het accepteren van hiaten. In plaats van het postuleren van een expliciete verdeling van het kritisch hiaat ligt in dit geval een benadering via simulatie meer voor de hand een simulatie direct gebaseerd op in de praktijk geaccepteerde en verworpen hiaten door de individuele bestuurders. Naast een expliciete modellering van een inconsistente hiaatacceptatie, kan de realisatie van hiaten zelf meer valide worden gemodelleerd, bijvoorbeeld door te kijken naar de verdeling van de minimum volgtijd, er van uitgaande dat die niet constant is. En ook naar de realisatie van bruikbare hiaten die het gevolg zijn van al dan niet gecorreleerde volgtijden van het verkeer op meerdere rijstroken van de turborotonde. Ook in dit geval is een benadering gebaseerd op simulaties geschikt, die zal leiden tot een gedetailleerde modellering van de verdelingen, die voortkomen uit het verkeersproces. Aanvankelijke pogingen met simpele simulatienetwerken laten de potentie zien om uit simulatiewaarnemingen modelparameters te identificeren die van belang zijn bij het accepteren of het verwerpen van een hiaat. L.G.H. (Bertus) Fortuijn en Serge P. Hoogendoorn 10

13 Literatuur [1] Fortuijn, L.G.H. (Bertus), (2013) Turborotonde en turboplein: ontwerp, capaciteit en veiligheid, januari 2013, TRAIL Thesis Series T2013/1, Nederland, ISBN: (proefschrift). [2] Fortuijn, L.G.H. en V.F. Harte, (1997). Meerstrooksrotondes: verkenning van nieuwe vormen, Verkeerskundige werkdagen 1997, CROW, Ede. [3] Bovy, Ph.H. (1991) Zusammenfassung der schweizerischen Kreiselhandbuchs, Straße und Verkehr, Vol.77, No. 3, pp Lausanne, Schweiz. [4] CROW (2008). Turborotondes, Publicatie 257. CROW, nationaal kennisplatform voor infrastructuur, verkeer, vervoer en openbare ruimte, Ede. [5] Fortuijn, Lambertus G.H. (2009). Turbo Roundabouts: Estimation of Capacity, Transportation Research Record, Journal of the Transportation Research Board, No 2130, pp 83-92, 2009,Washington, D.C. [6] Siegloch, W. (1973). Die Leistungsermittlung an Knotenpunkten ohne Lichtsignalsteuerung. Straßenbau und Straßenverkehrstechnik, Heft 154, Germany [7] Troutbeck, Rod. J. en Werner Brilon (z.j.) Unsignalized Intersection Theory. Revised Monograph on Traffic Flow Theory, Chapter 8. Office of Research, Development, en Technology Department of Transportation, Federal Highway Administration (FHWA), Washington, DC. USA. [8] Harders, J. Die Leistungfähigkeit nicht signalgeregelter städtischer Verkehrsknoten. Straßenbau und Straßenverkehrstechnik, Heft 76, 1968, Germany. [9] Tanner, J.C. A theoretical analysis of delays at an uncontrolled intersection, Biometrika, 49, pp , Great Britain. [10] Tanner, J.C. (1967), The capacity of an uncontrolled intersection. Biometrika 54, (3, 4) pp Great Britain. [11] Fisk, Caroline S. Priority Intersection Capacity: A Generalization of Tanner s Formula. Transportation Research 23B, pp , [12] Troutbeck, R.J The theory of traffic flow on roundabouts. Traffic Flow Theory. Esso Monash Short Courses in Traffic Sciences, pp , 1984, (cited by Hagring). [13] Troutbeck, R.J. (1986). Average Delay at an Unsignalized Intersection with Two Major Streams Each Having a Dichotomized Headway Distribution. Transportation Science, 20 (4), pp [14] Hagring, O., The use of the Cowan M3 distribution for modelling roundabout flow. Traffic Engineering & Control 37, 1996, pp [15] Hagring, Ola, Vehicle-vehicle Interactions at Roundabouts en their Implications for the Entry Capacity; A Methodological Study with applications to Two-lane Roundabouts. Bulletin 159, University of Lund & Lund Institute of Technology, Department of Traffic Planning en Engineering, Box 118, S , 1998, Lund, Sweden. ISSN [16] Brilon, Werner und Birgit Stuwe (1991) Kreisvekehrsplätse leistungsfähigkeit, Sicherheit und verkehrstechnische Gestaltung. Straßenverkehrstechnik, 6,1991, pp , Germany. [17] Brilon, Werner und Hanno Bäumer, Überprüfung von Kreisverkehren mit zweistreifig markierter oder einstreifig markierter, aber zweistreifig befahrbarer Kreisfahrbahn. Forschung Straßenbau und Straßenverkehrstechnik, Heft 876, 2004, Herausgegeben vom Bundesministerium für Verkehr, Bau- und Wohnungswesen, Abteilung Straßenbau, Straßenverkehr, Bonn. [18] FGSV (2006) Merkblatt für die Anlage von Kreisverkehren. Forschungsgesellschaft für Straßen- und Verkehrswesen, Arbeitsgruppe Srassenentwurf, Köln, ISBN [19] Wu, N. An Universal Formula for Calculating Capacity at Roundabouts. Arbeitsblaetter No.13, Institute for Traffic Engineering, Ruhr-University Bochum, 1997, Germany [20] Akçelik, R., (with contributions by Edward Chung en Mark Besley. Roundabouts: capacity en performance analysis. ARRB Transportation Research Ltd, Research Report ARR 321, ISBN / ISSN L.G.H. (Bertus) Fortuijn en Serge P. Hoogendoorn 11

14 [21] Akçelik, Rahmi, A review of gap-acceptance capacity models. 29th Conference of Australian Institutes of Transportation Research (CAITR 2007) University of South Australia, Adelaide, Australia, 5-7 December 2007 (Revised 28 January 2008). [22] Vasconcelos, A.L.P., Silva, A.B., Seco, Á.J.M., Silva, J.P (2012), Estimating The Parameters of Cowan s M3 Headway Distribution for Roundabout Capacity Analyses, The Baltic Journal of Road en Bridge Engineering 7 (4), [23] Fortuijn, Lambertus G.H., Turbo Roundabouts: Design Principles en Safety Performance, Transportation Research Record, Journal of the Transportation Research Board, No. 2096, pp.16-24, 2009,Washington, D.C. [24] Cowan, R.J. Useful headway models. Transportation Research, Vol. 7, no.6 Dec 1975 pp [25] Troutbeck, R.J. en S. Kako (1999). Limited priority unsignalized intersections, Transportation Research A 33, [26] Sullivan, D.P. en Troutbeck R.J. The use of Cowan s M3 headway distribution for modelling urban traffic flow. Traffic Engineering +Control, July/August 1994, pp [27] Hoogendoorn, S. P. Unified approach to estimating free speed distributions. Transportation Research Part B 39: , [28] Beinum, A.S. van Prestatieanalyse van de Turborotonde. Afstudeerverslag , 2007, Technische Universiteit Delft (Dutch). L.G.H. (Bertus) Fortuijn en Serge P. Hoogendoorn 12