CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Module : Stabiliteit van het evenwicht

CTB10 CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Module : Stabiliteit van het evenwicht Deel : Vraagstukken December 016 C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 CTB10 MODULE : STABILITEIT VAN HET EVENWICHT COENRAAD HARTSUIJKER HANS WELLEMAN Civiele Techniek TU-Delft December 016

Voorwoord Dit dictaat maakt onderdeel uit van de leerstof van CTB10 ConstructieMechanica 3. De theorie en voorbeelden in dit dictaat zijn zo uitgewerkt dat dit onderdeel in zelfstudie bestudeerd kan worden. Op het college worden de hoofdzaken aan de hand van voorbeelden toegelicht. De student wordt geacht zelf deze onderwerpen nader te bestuderen. De zelfstudie wordt met behulp van de COZ ondersteund. Daarnaast zijn de sheets die op het college worden gebruikt te downloaden van het internet. Ook extra oefenmateriaal kan hier worden verkregen. Deze site is te vinden op: http://icozct.tudelft.nl/tud_ct/index.shtml Voor vragen bij het bestuderen van de stof en/of assistentie bij opdrachten kan gebruik gemaakt worden van de service van de studentassistenten van ConstructieMechanica. Voor meer informatie wordt verwezen naar de onderstaande web-site: http://icozct.tudelft.nl/tud_ct/sas/overons/ Ondanks de grootste zorgvuldigheid bij het samenstellen van dit dictaat zijn onvolkomenheden niet uit te sluiten. Wij stellen het zeer op prijs dat fouten en onduidelijkheden worden gemeld. De auteurs, Coen Hartsuijker en Hans Welleman, December 016

Inhoudsopgave LEESWIJZER/SAMENVATTING DICTAAT STABILITEIT... iii 1. Stabiliteit van het evenwicht... 1. Knik van starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad... 3 3. Knik van gekoppelde starre staven... 19 4. Knik van starre-staaf-systemen met twee vrijheidsgraden... 33 5. Knik van buigzame staven basisknik-gevallen... 39 6. Knik van verend ingeklemde buigzame staven... 51 7. Knik van door translatieveren ondersteunde buigzame staven... 67 8. Buigzame knikstaaf met aanpendelende kolommen... 69 9. Formule van Rayleigh *... 77 10. Vergrotingsfactor (starre-staaf-systemen)... 85 11. Vergrotingsfactor (buigzame staven)... 101 1. Instabiliteit door niet-lineair materiaalgedrag... 117

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 LEESWIJZER LEESWIJZER/SAMENVATTING DICTAAT STABILITEIT Deze leeswijzer geeft een overzicht van de te bestuderen onderdelen van het dictaat ConstructieMechanica 3 : Stabiliteit van het Evenwicht. Het nieuwe dictaat is opgezet als een compleet overzicht van de basismechanica die over het onderwerp stabiliteit handelt. Dit gaat verder dan de leerdoelen die getoetst worden op het tentamen ConstructieMechanica 3. Het dictaat is in vergelijking tot het oude dictaat hierdoor in omvang toegenomen maar dit komt met name door de vele zeer uitgebreide voorbeelden. Hierdoor is dit dictaat veel beter geschikt als modern leermiddel. In deze leeswijzer zal per hoofdstuk worden aangegeven welke onderdelen getoetst worden en welke delen verrijkingsstof zijn. Een ruime hoeveelheid opgaven is opgenomen in dit tweede deel. Het is beslist niet de bedoeling alle opgaven te bestuderen. Maak een selectie aan de hand van de in deze leeswijzer genoemde opgaven. De antwoorden/uitwerkingen van genoemde opgaven in deze leeswijzer zijn te vinden op BlackBoard / internet. Hoofdstuk 1 In dit hoofdstuk wordt het kader en de begrippen uiteengezet. Deze stof is essentieel voor het herkennen van stabiliteitsproblemen. De theorie kan op het tentamen worden getoetst met theorievragen. Belangrijke constatering van de kennismaking met stabiliteit van het evenwicht is dat een stabiel evenwicht een evenwicht is waarbij de belaste constructie bij een kleine verplaatsing t.o.v. de evenwichtsstand terugkeert naar deze evenwichtsstand. Zie hiervoor ook de introductie-video op BlackBoard. Hoofdstuk Dit hoofdstuk start met de stabiliteit van het evenwicht van starre staafsystemen met 1 vrijheidsgraad. Aan de hand van deze eenvoudige systemen is de kern van een stabiliteitsprobleem uit een te zetten. Paragraaf.1 en de voorbeelden behandelen de standaard aanpak: zet de constructie in de verplaatste stand maak de constructie vrij en geef alle verbindingskrachten aan stel de evenwichtsvoorwaarde(n) op in de verplaatste stand onderzoek de aard van dit evenwicht en bepaal bij welke belasting er nog juist evenwicht is Bij het oplossen van de gelineariseerde evenwichtsvergelijking blijkt dat de verplaatsing van de vrijheidsgraad er niet toe doet (onder de aanname dat deze klein is) Paragraaf. over het naknikgedrag is geen tentamenstof. Het begrip naknikgedrag moet je wel kennen, het bepalen ervan valt buiten het bestek van deze BSc-cursus. Paragraaf.3 behandelt een aantal essentiële voorbeelden. Van voorbeeld 1 en 9 is het naknikgedrag op blz 43 en 63 leesstof. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman iii

LEESWIJZER CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Hoofdstuk 3 In dit hoofdstuk worden gekoppelde staafsystemen behandeld met 1 vrijheidsgraad. In paragraaf 3.1 wordt de essentie hiervan weergegeven. De standaard aanpak van hoofdstuk is ook hier van toepassing. Bij het opstellen van de evenwichtsvergelijkingen moet er echter op gelet worden dat het evenwicht wordt beschouwd van ieder vrijgemaakt deel en dat tussen deze vrijgemaakte delen verbindingkrachten kunnen zitten. Belangrijk bij de oplossingsfase is om de evenwichtsvergelijkingen zodanig te combineren dat deze verbindingkrachten worden geëlimineerd. In het voorbeeld op blz 65-68 wordt dit verder verduidelijkt. De generalisatie naar systemen met meer dan twee gekoppelde staven is louter ter toelichting. De afgeleide formules zijn niet bedoeld om te onthouden. De essentie is dat de belasting op een gekoppeld systeem kan worden vervangen door een aanpendelende belasting die extra op het geschoorde element wordt geplaatst. Zie hiervoor ook de sheets over dit onderwerp. Dit onderdeel wordt veelal getoetst op het tentamen en keert terug in hoofdstuk 8. De theorie wordt in paragaaf 3.3 verder verduidelijkt aan de hand van voorbeelden waarbij voorbeeld 1,, 5, 8 en 9 de belangrijkste zijn. Hoofdstuk 4 Na constructies met 1 vrijheidsgraad wordt in dit hoofdstuk de complexiteit verhoogd door te kijken naar constructies met vrijheidsgraden. Dit is in feite een tussenstap naar het onderzoeken van continue systemen van hoofdstuk 5. Paragraaf 4.1 introduceert de aanpak voor systemen met vrijheidsgraden. Essentieel is dat er t.o.v. de systemen met 1 vrijheidsgraad nu een stelsel van evenwichtsvergelijkingen ontstaat. Dit stelsel is een homogeen stelsel (rechterlid is nul) waarvoor alleen een niet-triviale oplossing kan worden gevonden indien de determinant van de coëfficiëntenmatrix gelijk is aan nul. Dit levert twee kniklasten. De laagste kniklast is maatgevend. Ook nu blijkt dat de grootte van de verplaatsingen van de vrijheidsgraden niet kunnen worden bepaald. De verhouding tussen de verplaatsingen kunnen wel worden bepaald. Net als bij systemen met 1 vrijheidsgraad is de uitbuigingsvorm wel bekend, de grootte ervan echter niet. Op blz 113 wordt in een variantuitwerking de relatie gelegd met het eigenwaarde probleem in de wiskunde. Deze aanpak behoort tot de tentamenstof. Bestudeer voorbeeld bekijk voorbeeld 3 en 4. Hoofdstuk 5 Na de starre systemen wordt in dit hoofdstuk gekeken naar buigzame staven. Dit leidt tot een continue beschrijving m.b.v. de differentiaalvergelijking voor buigingsknik. Belangrijke paragrafen zijn 5.1 en 5.. In paragraaf 5.1 wordt voor een eenvoudige staaf de Eulerse knikkracht bepaald m.b.v. een e orde D.V. Belangrijk bij deze afleiding is om in te zien dat dit mogelijk is aangezien de verticale oplegreacties nul zijn waardoor in iedere snede de verticale component van de snedekrachten S z ook nul moet zijn. In paragraaf 5. is voor de algemene op druk belaste buigzame staaf niet voldaan aan deze eis en leidt de complete aanpak van het evenwicht in de verplaatste stand tot een 4 e orde D.V. waarvan de algemene oplossing in paragraaf 5.3 wordt bepaald. Als de continue belastingen in x- en z-richting afwezig zijn geldt: iv 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 LEESWIJZER EIw'' '' + Fw'' = 0 S z = M ' Fw' w( x) = C cosαx + C sinαx + C x + C 1 3 4 met : α = F EI Van dit theoriegedeelte is het belangrijk de modelstappen te (her)kennen en met de differentiaalvergelijking de basisknikgevallen te kunnen onderzoeken. Met name het omgaan met de randvoorwaarden is hierbij essentieel. De resultaten van deze aanpak leidt tot de vijf basisknikgevallen die op blz 146 en 148 grafisch zijn weergegeven. Het oordeelkundig kunnen toepassen van deze basisgevallen is essentieel. De voorbeelden illustreren deze aanpak. Let vooral op voorbeeld 10. Bij het gelijktijdig uitknikken van de twee op druk belaste staven kunnen de staven geen stijfheid (weerstand) aan elkaar ontlenen en heeft de starre verbinding tussen de beide staven feitelijk geen betekenis. Nog een belangrijk aspect dat in dit hoofdstuk aan de orde komt is het onderscheid tussen globale instabiliteit en locale instabiliteit. Ook is het onderkennen van verschillende knikvormen een belangrijk element. Voorbeelden hiervan zijn ook in het college behandeld met name of de starre knikvorm (globale knik) dan wel de locale (Eulerse knik) maatgevend is. Hoofdstuk 6 Dit hoofdstuk handelt over verend ingeklemde op druk belaste buigzame staven. De veren zijn rotatieveren. In dit hoofdstuk worden drie basissystemen behandeld: paragraaf 6.1 : Enkelzijdig verend ingeklemde staaf paragraaf 6. : Tweezijdig verend ingeklemde staaf, ongeschoorde constructie paragraaf 6.3 : Tweezijdig verend ingeklemde staaf, geschoorde constructie In paragraaf 6.1 wordt gestart met de enkelzijdig verend ingeklemde staaf. Met de 4 e orde D.V. en vier randvoorwaarden wordt een homogeen stelsel vergelijkingen opgelost waarmee de kniklast uit een transcendente vergelijking kan worden opgelost. Deze oplossingmethode is weliswaar exact maar niet erg praktisch. Aangetoond wordt dat een zeer nauwkeurige benaderingsformule kan worden gevonden voor deze enkelzijdig verend ingeklemde staaf. 1 1 1 = + LET OP : Deze formule is alleen geldig voor de F k r / l π EI enkelzijdig verend ingeklemde staaf! (l) De alternatieve benaderingen van dit probleem in paragraaf 6.1. en 6.1.3 zijn geen tentamenstof. De tweezijdig verend ingeklemde staaf uit paragraaf 6. is zodanig opgelegd dat de steunpunten loodrecht t.o.v. de oorspronkelijke staafas kunnen verplaatsen. Deze situatie komt voor in ongeschoorde raamwerken. Door handig gebruik te maken van de plek van het buigpunt in de uitbuigingsvorm kan een formule worden opgesteld voor de kniklast. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman v

LEESWIJZER CONSTRUCTIEMECHANICA 3 F k = η η 1 ( η1 + η ) ( η + η 4) 1 π EI l 10 r1 l η1 = 4 + ; ρ1 = ρ1 EI met : 10 rl η = 4 + ; ρ = ρ EI In deze paragraaf wordt tevens aangetoond dat de kniklast voor de enkelzijdig verend ingeklemde staaf uit paragraaf 6.1 ook met deze formule kan worden gevonden. In paragraaf 6.3 komt het laatste basisgeval voor verend ingeklemde buigzame staven aan bod. De staaf is nu geschoord hetgeen inhoudt dat de beide steunpunten loodrecht op de staafas niet t.o.v. elkaar verplaatsen. Aangetoond wordt dat voor deze situatie een kniklast kan worden gevonden met de onderstaande formule: F k = met : ( 5 + ρ1 )( 5 + ρ ) ( 5 + ρ )( 5 + ρ ) 1 r1 l ρ1 = EI rl ρ = EI π EI. l LET OP : Deze formule is alleen geldig voor de verend ingeklemde ongeschoorde staaf! LET OP : Deze formule is alleen geldig voor de verend ingeklemde geschoorde staaf! In paragraaf 6.4 is het geheel nog een keer samengevat met een overzicht van de gebruikte formules voor diverse configuraties van rotatieveren. De formules worden op het tentamen allemaal gegeven op een bijgevoegd formuleblad. In paragraaf 6.5 worden diverse voorbeelden behandeld. Bestudeer met name voorbeeld 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en de uitbreiding van blz en a. Hoofdstuk 7 : Bijzondere verende ondersteuningen In hoofdstuk 7 zijn diverse voorbeelden gegeven van mogelijke verende ondersteuningen. Dit kunnen zowel rotatie als translatieveren zijn. Van dit hoofdstuk is alleen van belang om de stappen in de modelvorming te herkennen. Met name het formuleren van de randvoorwaarden en het uitwerken van de randvoorwaarden m.b.v. de D.V. zijn hierbij belangrijke stappen. Hoofdstuk 8 : Aanpendelende belasting voor buigzame knikstaaf Hoofdstuk 8 gaat nogmaals in op de aanpendelende belasting zoals geïntroduceerd in hoofdstuk 3. Voor diverse buigzame knikstaven wordt gekeken naar de kniklast. In de sheets wordt een iets andere benadering gekozen, Voor een aantal voorbeelden wordt onderzocht in hoeverre de exacte maximale belasting zich verhoudt tot het eenvoudige model dat in hoofdstuk 3 is gevonden. F F k 1 = ml 1+ l 1 Uit het onderzoek blijkt dat deze aanpak conservatief is en een goede afschatting geeft van de maximale belasting op een gekoppeld systeem waarbij het schorende element een op druk belaste buigzame staaf is (les7.pdf). vi 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 LEESWIJZER Hoofdstuk 9 Dit hoofdstuk behoort niet tot de tentamenstof. Hoofdstuk 10 In dit hoofdstuk wordt het begrip vergrotingsfactor geïntroduceerd. Dit onderwerp komt terug bij de construerende vakken en is buitengewoon belangrijk voor de ingenieurspraktijk. Het blijkt dat initieel scheef staande constructies die op druk worden belast, door de excentrisch aangrijpende drukkracht, schever gaan staan. De uiteindelijke scheefstand kan worden uitgedrukt in de initiële scheefstand d.m.v. een zgn. vergrotingsfactor. Voor starre staafsystemen geldt: w = n w n 1 0 met : n = Fk F vergrotingsfactor Naarmate de belasting F dichter in de buurt ligt van de kniklast neemt de vergrotingsfactor steeds meer toe. Om constructies dus min of meer ongevoelig te maken voor het e orde effect (d.w.z. gevoelig voor het schever gaan staan door invloed van de excentrische kracht in combinatie met de initiële scheefstand) is het dus noodzakelijk de vergrotingsfactor niet te groot te laten worden. Een factor 1,1 betekent dat de verplaatsingen en ook de krachtsverdeling in de constructie met 10% toeneemt. Vaak is dit al onacceptabel. Om een vergrotingsfactor kleiner dan 1,1 te verkrijgen moet de factor n groter zijn dan 11. Hetgeen inhoudt dat de werkelijke belasting één-elfde-deel van de kniklast mag zijn.! Het onderdeel op blz 31 betreffende de exacte oplossing die ook geldig is bij grote verplaatsingen is geen tentamenstof. Aardig detail van dit onderdeel is overigens wel dat de starre staaf met translatieveer een naknikgedrag heeft dat niet stabiel terwijl het systeem met een rotatieveer wel een stabiel naknikgedrag heeft. Een initiële scheefstand kan ook worden veroorzaakt door horizontaal aangrijpende belastingen (netjes dwarsbelasting genoemd). Paragraaf 10. behandelt dit onderwerp. De initiële scheefstand ten gevolge van alleen de dwarsbelasting is in feite een eerstejaars mechanica-uitdaging en kan worden bepaald met een zgn. eerste orde berekening. LET OP : Bestudeer grondig de begrippen die in dit hoofdstuk aan de orde komen, met name de begrippen 1 e en e orde zijn van belang! Hoofdstuk 11 In hoofdstuk 11 wordt onderzocht of de vergrotingsfactor uit hoofdstuk 10 ook geldig is voor buigzame staven. Het blijkt in het algemeen niet zo te zijn maar de praktische formule geeft over het algemeen prima resultaten. In de college sheets wordt met behulp van voorbeelden de procedure uiteengezet hoe de exacte vergrotingsfactor kan worden bepaald. Ook hier geldt dat alleen de modelstappen van belang zijn. Op het tentamen wordt zeker niet gevraagd om voor een bijzonder geval de exacte vergrotingsfactor te bepalen. Paragraaf 11.3 is extra verrijkingstof en geen tentamenstof. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman vii

LEESWIJZER CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Hoofdstuk 1 Het laatste onderwerp behandelt de invloed van plasticiteit op het bezwijkgedrag van constructies. Hiervoor is het noodzakelijk om uit deel 3 Toegepaste Mechanica van Hartsuijker en Welleman hoofdstuk 3 (blz 383) en met name paragraaf 3.1.3 (blz 390) te bestuderen. Een samenvatting van het meest relevante onderdeel van dit hoofdstuk is hieronder weergegeven. ACTIE : Loop zelf deze samenvatting na aan de hand van de genoemde passages! Hier wordt voor een op buiging belaste doorsnede gekeken naar het maximale moment dat de doorsnede kan opnemen als we toestaand dat overal in de doorsnede vezels de trek en druk spanningen mogen toenemen tot de (maximale) vloeispanning van het materiaal. Voor een rechthoekige doorsnede kan eenvoudig worden gevonden dat geldt: bh M p = 4 f y Waarbij M p staat voor het volplastisch moment van de doorsneden. Als alleen in de uiterste vezels de vloeispanning wordt toegestaan geldt de bekende elastische grenswaarde voor het moment in de doorsnede: bh M e = 6 f y Voor de rechthoekige doorsnede geldt dat deze volplastisch 1,5 keer het elastisch moment kan dragen. Er zit dus boven de elastische grens voor deze doorsnedevorm nog flink wat reserve draagvermogen in de doorsnede. De factor 1,5 wordt de vormfactor genoemd en veelal aangeduid met de letter α. Door plastisch gedrag van de doorsnede in combinatie met een initiële scheefstand kan veel eerder instabiliteit ontstaan. De kniklast is dan helemaal niet maatgevend. Op blz 385 is in figuur 1.3 dit grafisch weergegeven. De kritieke belasting waarbij bezwijken door instabiliteit ontstaat wordt aangegeven met F c. Als w p de verplaatsing is waarbij plasticiteit optreedt kan eenvoudig een verband worden gevonden tussen de kritieke belasting F c, de kniklast F k, de initiële scheefstand w o en de verplaatsing w p : F F C k + w w o p = 1 formule van Merchant Als de initiële scheefstand wordt veroorzaakt door b.v. een horizontale belasting H c dan kan deze formule worden herschreven tot : F F C k + H H C p = 1 Hierin is H p de kracht waarbij volgens een eerste orde berekening voor het eerst de doorsnede volplastisch wordt. LET OP : 1 e orde betekent dus zonder de invloed van de excentrisch aangrijpende drukkracht want dat is juist de e orde component in het geheel! ACTIE : Bestudeer de uitgewerkte tentamenopgaven, maak deze ook zelf en maak de opgaven achter in het boek waarvan de antwoorden en veelal de uitwerkingen van zijn gegeven. viii 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 LEESWIJZER 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman ix

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT 1. Stabiliteit van het evenwicht 1.1 Wat verstaat men onder stabiel evenwicht? 1. Waarom dient men te spreken over de stabiliteit van het evenwicht en is het onjuist te spreken over de stabiliteit van een constructie? 1.3-1/ Gegeven twee buigzame staven. Schets voor elke staaf twee kinematisch mogelijke configuraties in de omgeving van de evenwichtsstand. 1.4 Wat is het essentiële verschil tussen een geometrisch lineaire berekening en een geometrisch niet-lineaire berekening? 1.5 Iemand vraagt u naar het verschil tussen neutraal en instabiel evenwicht. Hoe zou u deze vraag kunnen beantwoorden? 1.6 Gevraagd de aard van het evenwicht van een kogeltje met gewicht G dat zich in 3 x = 0 op het vlak z = ax bevindt. De z-richting is evenwijdig aan de richting van de zwaarteveldsterkte. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 1

1 STABILITEIT VAN HET EVENWICHT CONSTRUCTIEMECHANICA 3 007 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD. Knik van starre-staaf-systemen met één vrijheidsgraad Opmerking vooraf: Staven waarbij geen stijfheid wordt vermeld moeten als oneindig stijf worden opgevat..1 Een homogene prismatische staaf met een massa van m 1 = 00 kg is scharnierend opgelegd in A. Onder aan de staaf hangt aan een koord een homogeen blok met een massa van m = 1100 kg. De staaf wordt bovenin belast door een verticale kracht F. De zwaarteveldsterkte bedraagt 10 N/kg. De knikbelasting F k..-1/ Starre staaf AB is in A scharnierend opgelegd en in B opgehangen aan een draad. Het systeem wordt belast door het gewicht van de massa s m 1 en m en is in evenwicht. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 3

KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De verhouding m1/ m waarbij het evenwicht stabiel is voor: 1. θ = 0.. θ = 180..3-1/ Een massieve homogene kubus met gewicht G wordt in de getekende stand in evenwicht gehouden door twee veren met stijfheid k. De veren zijn op twee verschillende manieren gepositioneerd. Het blokgewicht waarbij de stabiliteitsgrens wordt bereikt..4-1/ Een massieve homogene kubus met gewicht G = 300 kn wordt in de getekende stand in evenwicht gehouden door twee veren met stijfheid k = 50 kn/m. De veren zijn op twee verschillende manieren gepositioneerd. Op de top grijpt een verticale kracht F aan. Bij welke kracht F wordt het evenwicht instabiel? 4 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.5-1/ Gegeven twee verend ingeklemde oneindig stijve staven. a. De kniklast F k. b. Als de staaflengte groter wordt, neemt de kniklast dan toe of af?.6-1 t/m 3 Gegeven drie door translatieveren gesteunde oneindig stijve kolommen. a. De knikkracht F k. b. Als de kolomlengte groter wordt, en de veren blijven op dezelfde hoogte, neemt de knikkracht dan toe of af? c. Als de veren lager worden geplaatst, neemt de knikkracht dan toe of af? 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 5

KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3.7-1/ Houd in de berekening aan EI = 4500 knm. De kniklast F k..8-1/ Houd in de berekening aan EI = 30 MNm. De knikkracht F k. 6 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.9-1 t/m 4 De op druk belaste kolom is oneindig stijf. Houd voor de buigstijfheid van de regels in de berekening aan EI 1 = 8 MNm en EI = 16 MNm. a. De kniklast F k. b. De richting waarin de oneindig stijve kolom in werkelijkheid uitknikt..10-1 t/m 4 Een oneindig stijve kolom is ingeklemd in een ligger met buigstijfheid EI = 000 knm die op vier verschillende manieren in de uiteinden is opgelegd. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 7

KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De knikkracht F k..11-1 t/m 3 Het evenwicht van de drie oneindig stijve constructies is bij de gegeven belasting stabiel. De vereiste stijfheid k van de translatieveren..1 Spant ABCD heeft een gewicht G dat men geconcentreerd mag denken in B. De twee even zware blokken die aan de staven AE en CF en deels in het water hangen zijn even zwaar en hebben een horizontale doorsnede van 1 m. Het spantgewicht G k waarbij het evenwicht instabiel wordt. 8 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.13 In de getekende constructie is BCDG onvervormbaar. Van AB en DE is de buigstijfheid EI; de wringstijfheid is verwaarloosbaar klein. De hoekverbindingen in B en D zijn volkomen stijf. Bij de aangegeven belasting kan knik optreden door rotatie van BCDG om BCD, maar ook door rotatie van BCDG om een as door C loodrecht op BCDG. a. De verhouding a/ b waarbij de knikkracht voor beide gevallen gelijk is. b. De grootte van deze kniklast..14 In een hanggebouw dragen alle vier verdiepingen dezelfde gelijkmatig verdeelde volbelasting q. De benodigde gegevens kunnen aan de figuur worden ontleend. De belasting q k waarbij de stabiliteitsgrens wordt bereikt. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 9

KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3.15-1/ Gegeven twee oneindig stijve verend ingeklemde constructies. De knikbelasting F k..16-1 t/m 4 De knikbelasting F k. 10 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.17-1/ Gegeven twee oneindig stijve constructies in evenwicht gehouden door translatieveren. De stijfheid van de veren is uitgedrukt in k = 50 kn/m. De knikkracht F k..18-1 t/m 4 Vier oneindig stijve op druk belaste staven worden in evenwicht in evenwicht gehouden door translatie en rotatieveren waarvan de stijfheden in de figuur zijn gegeven. De knikkracht F k. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 11

KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3.19-1 t/m 3 De resultante van de gelijkmatig verdeelde belasting q op de oneindig stijve kolom AB is Q. De knikbelasting Q k..0-1/ Gegeven hetzelfde spant op twee verschillende manieren belast door een kracht F. De stijlen zijn oneindig stijf; de regel heeft een buigstijfheid EI. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt..1-1/ De op druk belaste kolommen zijn oneindig stijf. Houd verder in de berekening aan EI = 9 MNm. De knikkracht F k. 1 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.-1 t/m 3 Dezelfde gegevens als in opgave.1. De knikkracht F k..3-1/ Gegeven twee symmetrische spanten met oneindig stijve kolommen. Houd voor de buigstijfheid van de regels aan EI 1 = 10 MNm en EI = MNm. De belasting waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt..4 De knikbelasting van het getekende raamwerk met oneindig stijve kolommen is F = 000 kn. k De lengte l van de regels. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 13

KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3.5-1 t/m 3 In de getekende constructies en hebben alle buigzame delen een buigstijfheid EI, zoals in de figuur is aangegeven. Alle andere delen zijn oneindig stijf. De linker kolom wordt belast door een drukkracht F en de rechter door een drukkracht λ F. a. De kracht F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt, uit te drukken in EI, l en λ. b. In welke mate beïnvloedt de verdeling van de belasting over beide kolommen de grootte van de totale belasting ( F + λf) waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt?.6-1/ Houd in de berekening aan EI = 7000 knm en k t = 1000 kn/m. De knikkracht F k..7 In welk geval kan men in opgave.6 spreken van een systeem met a. parallel geschakelde veren? b. in serie geschakelde veren? 14 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.8-1 t/m 4 Houd in de berekening aan EI = 5000 knm, k t = 600 kn/m en k r = 700 knm/rad. De delen waar geen stijfheid staat bijgeschreven zijn oneindig stijf. De knikkracht F k..9 In welke gevallen kan men in opgave.8 spreken van een systeem met a. in serie geschakelde veren? b. parallel geschakelde veren?.30 Een starre staaf wordt aan de top in evenwicht gehouden door twee horizontale draden die alleen trekkrachten kunnen overbrengen. In onbelaste toestand is de constructie spanningsloos. De draden hebben een rekstijfheid EA. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 15

KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a. De knikkracht F k. b. Naar welke kant zal de staaf uitknikken?.31 Als opgave.30, maar nu heerst in beide draden een voorspankracht S 0..3-1 t/m 3 Een starre mast is onder scharnierend opgelegd en boven afgetuid met draden. In de draden heerst een voorspankracht S 0. a. Wat is de aard van het evenwicht: stabiel, labiel of neutraal? b. Motiveer uw antwoord..33 Een homogeen driehoekig blok ABC met gewicht G is in A scharnierend opgelegd en in B en C door middel van draden spanningsloos verbonden met twee ingeklemde kolommen met buigstijfheid EI = 36 MNm. De draden kunnen alleen trekkrachten overbrengen en mogen voor dat geval worden geschematiseerd tot translatieveren met een stijfheid k t = 500 kn/m. Het kritische gewicht G k van het blok. 16 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD.34-1/ Een starre mast is afgetuid met draden. In onbelaste toestand is de constructie spanningsloos. De rekstijfheden van de draden zijn uitgedrukt in EA. a. De knikkracht F k. b. Naar welke kant zal de mast uitknikken?.35-1/ In de getekende constructie zijn AB, CD en AD oneindig stijf. BC is een buigzame staaf met buigstijfheid EI = 50 knm. Houd verder in de berekening aan l = 3 m. De constructie wordt op twee verschillende manieren belast. De knikkracht F k bij de aangegeven belasting. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 17

KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET ÉÉN VRIJHEIDSGRAAD CONSTRUCTIEMECHANICA 3.36-1 t/m 3 Een starre staaf met lengte l is op drie verschillende manieren verend opgelegd. a. De knikkracht F k. b. Leid uit het onder a gevonden resultaat de knikkracht af voor het extreme geval een van beide veerstijfheden oneindig groot, respectievelijk nul is (vier mogelijkheden). 18 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3. Knik van gekoppelde starre staven Opmerkingen vooraf: Gebruik de afgeleide formules bij de vraagstukken uitsluitend als controle op de door u uitgevoerde berekeningen. Gebruik de afgeleide formules verder alleen als u ze begrijpt en ook zelf kunt afleiden. 3.1-1/ De stabiliteit van de getekende constructies wordt verzekerd door een translatieveer met stijfheid k t. De waarde van k t waarvoor het evenwicht bij de gegeven belasting instabiel wordt. 3.-1/ De stabiliteit van de constructie wordt ontleend aan een verend ingeklemde kolom. De stijfheid van de verende inklemming is k r = 4 MNm/rad. Alle staven zijn verder oneindig stijf. De knikbelasting F k. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 19

3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3.3-1/ De stabiliteit van de getekend constructies wordt ontleend aan een ingeklemde kolom met eindige buigstijfheid. Alle andere staven zijn oneindig stijf. Houd in de berekening aan EI 1 = 700 knm en EI = 4 MNm. De knikbelasting F k. 3.4 Alle staven in de getekende constructie zijn oneindig stijf. a. De knikbelasting F k, uitgedrukt is a, b, k t en l. b. De verhouding a/ b waarvoor het evenwicht altijd stabiel is. 0 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3.5-1 t/m 3 De stabiliteit van de constructies wordt ontleend aan ligger AB met buigstijfheid EI = 36 MNm. De knikbelasting F k. 3.6 Op de getekende constructie werken de aangegeven krachten F 1, F en F 3. λ is een belastingfactor waarmee men de krachten F 1 t/m F 3 geleidelijk kan laten aangroeien van 0 ( λ = 0) tot de waarde waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt ( λ = λ ). k a. Bereken λ k als functie van F 1, F, F 3, EI en l. b. De kniklast Fk = Fk1 als F = F3 = 0. c. De met betrekking tot instabiliteit gevaarlijkste plaats van een enkele kracht F (in A, B of C) en de grootte van de bijbehorende kniklast F k. d. De kniklast F k in het geval F1 = F = F3 = F. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 1

3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3.7-1 t/m 3 De oneindig stijve staven AS en BS zijn in S scharnierend met elkaar verbonden. De knikkracht F k. 3.8-1/ Beide constructies zijn opgebouwd uit oneindig stijve staven. De knikbelasting q k. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3.9-1/ Houd in de berekening aan: k = 400 knm/rad. r EI 1 = 300 knm, EI = 400 knm en De knikkracht F k. 3.10-1/ Houd in de berekening aan k r1 = 000 knm/rad, k r = 300 knm/rad en k = 1800 knm/rad. r3 De waarde van F waarbij het evenwicht instabiel wordt. 3.11-1/ Houd in de berekening aan k r1 = 6000 knm/rad, k r = 5400 knm/rad en k = 3600 knm/rad. r3 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 3

3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De knikkracht F k. 3.1 Houd in de berekening aan k r1 = 36 MNm/rad en k r = 8 MNm/rad. De knikkracht F k. 3.13 Als F in A staat geldt F k = 000 kn. Staat F in B dan geldt F k = 600 kn. De knikkracht F k bij de in de figuur aangegeven positie. 4 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3.14 Gegeven het getekende een spant opgebouwd uit starre staven met verende verbindingen en verder scharnierend opgelegd. Houd voor de stijfheid van de rotatieveren aan k r = 700 knm/rad. Voor welke combinaties van F 1 en F is het evenwicht stabiel? 3.15 Houd voor de stijfheid van de drie rotatieveren aan k r = 18 MNm/rad. Voor welke van de in onderstaande tabel genoemde combinaties van F 1 en F is het evenwicht stabiel? F 1 (kn) F (kn) a. 14500 1800 b. 13000 400 c. 1500 3000 d. 11500 3600 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 5

3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3.16 Houd voor de stijfheid van de vier rotatieveren aan k r = 4000 knm/rad. Voor welke van de in onderstaande tabel genoemde combinaties van F 1 en F is het evenwicht instabiel? F 1 (kn) F (kn) a. 400 00 b. 300 700 c. 00 1500 d. 900 000 3.17-1/ In de getekende constructies zijn de oneindig stijve staven AB, BC en CD onderling scharnierend verbonden en wordt de vormvastheid van de constructie ontleend aan de twee draden AC en BD die een rekstijfheid EA hebben. In onbelaste toestand zijn de constructies spanningsloos. Houd in de numerieke uitwerking aan l = 5 m en EA = 7 MN. a. De waarde van F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt. b. De richting waarin constructie uitknikt, naar links of naar rechts? 6 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3.18 Het getekende portaal is opgebouwd uit starre staven met scharnierende en verende verbindingen. Houdt in de berekening aan: a = 3 m en k = 8 MN/rad. B a. De vereiste veerstijfheid k C, opdat er lokale instabiliteit optreedt. b. De vereiste veerstijfheid k C, opdat er globale instabiliteit optreedt. c. De knikkracht F k waarbij lokale en globale instabiliteit gelijktijdig optreden. 3.19 In de getekende constructie heeft de centrale ingeklemde kolom een wringstijfheid GI = 10 MNm. De pendelkolommen zijn oneindig stijf. w De waarde van F waarbij rotatie-instabiliteit optreedt. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 7

3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3.0 Twee in de fundering ingeklemde ronde kolommen verzorgen de stabiliteit van de twee op druk belaste pendelkolommen. De buigstijfheid van de kolommen is EI; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd. De verhouding a/ b waarbij rotatie- en translatie-instabiliteit onder dezelfde belasting optreden. 3.1 In de getekende constructie zijn de pendelkolommen 3 m lang en de in de fundering ingeklemde kolommen 4 m. Voor de ingeklemde kolommen zijn ronde buizen toegepast met buigstijfheid EI = 3 MNm ; de wringstijfheid mag worden verwaarloosd. a. De waarde van F waarbij translatie-instabiliteit optreedt. b. De waarde van F waarbij rotatie-instabiliteit optreedt. c. Welke vorm van instabiliteit is maatgevend? 8 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3.-1/ Van een gebouwtje met een regelmatige zeshoek als plattegrond wordt het dak in het midden gedragen door een wringstijve kolom en aan de omtrek door zes pendelstijlen in de hoekpunten. De kolom is ingeklemd in zowel het dak als de fundering en heeft een wringstijfheid GI w. Kolom en pendelstijlen hebben verschillende lengten. De dakbelasting, inbegrepen het eigen gewicht, is gelijkmatig verdeeld. De totale dakbelasting is Q. De dakbelasting Q k waarbij rotatie-instabiliteit optreedt. 3.3 Een vierkant dak wordt in de hoeken gedragen door vier pendelkolommen en in het midden door een wringstijve kolom. a. Uit onderstaande tabel de combinatie van a en h te kiezen die het gunstigst is met betrekking tot de rotatiestabiliteit van de constructie. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 9

3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 a (m) h (m) 1. 8 4. 7 5 3. 6 6 4. 5 7 b. Bij de gekozen combinatie van a en h de verdeelde belasting q k te berekenen waarbij de stabiliteitsgrens met betrekking tot torsie wordt bereikt. 3.4 Een cirkelvormig dak met straal r wordt langs de omtrek gedragen door een aantal pendelkolommen en in het midden door een wringstijve buis. a. De combinatie van r en h die het gevaarlijkst is met betrekking tot de rotatiestabiliteit van de constructie. r (m) h (m) 1. 5 3. 10 4 3. 15 5 4. 15 6 b. Bij de gekozen combinatie van r en h de verdeelde belasting k q te berekenen waarbij torsie-instabiliteit optreedt. 30 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN 3.5 De translatie- en rotatiestabiliteit van een gebouw moet worden verzorgd door vier in hun vlak oneindig stijve wanden die dak en fundering met elkaar verbinden. Bij welk van de getekende oplossingen lukt dat? 3.6 In een hoogbouwskelet wordt de translatie- en rotatiestabiliteit ontleend aan drie in hun vlak oneindig stijve wanden, die over de volle hoogte doorlopen en op verschillende manieren in de plattegrond kunnen worden gesitueerd. Welke situering werkt het meest doelmatig. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 31

3 KNIK VAN GEKOPPELDE STARRE STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 3 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN 4. Knik van starre-staaf-systemen met twee vrijheidsgraden 4.1 Gegeven twee door translatieveren gekoppelde oneindig stijve kolommen. De kolommen worden verschillend belast. Houd in de berekening aan: l = 4 m en k = 65 kn/m. a. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. b. De bijbehorende uitbuigingsvormen. c. De knikbelasting F k. 4.-1/ Gegeven twee door translatieveren gekoppelde starre drukstaven. De rekstijfheden verschillen en worden uitgedrukt in k. a. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. b. De bijbehorende uitbuigingsvormen. c. De knikbelasting F k. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 33

4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4.3-1/ In de getekende constructies hebben de liggers een buigstijfheid EI en zijn de kolommen oneindig stijf. a. Een voorspelling omtrent de knikvorm (zonder te rekenen). b. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. c. De bijbehorende uitbuigingsvormen. d. De knikbelasting F k. 4.4-1 t/m 4 Gegeven vier portalen met oneindig stijve kolommen. De regels hebben een buigstijfheid EI. a. De knikbelasting F k b. De bijbehorende knikvorm. 34 007 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN 4.5-1/ Gegeven twee gelede knikstaven, samengesteld uit de oneindig stijve delen AB en BC. a. De waarden van F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. b. De bijbehorende uitbuigingsvormen. c. De knikkracht F k. 4.6-1 t/m 3 Gegeven dezelfde constructie op drie verschillende manieren belast. In de constructie gedraagt de buigzame staaf met buigstijfheid EI zich als een veer. Maak voor het veergedrag gebruik van wat werd afgeleid in hoofdstuk 4, voorbeeld 3. a. De belastingen waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. b. De bijbehorende uitbuigingsvormen. c. De knikbelasting. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 35

4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4.7-1/ In de getekende constructies zijn de kolommen oneindig stijf en hebben de liggers een eindige buigstijfheid EI. Bij de gegeven belasting zijn er twee uitbuigingsvormen waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is: een symmetrische en een keersymmetrische uitbuigingsvorm. a. De kracht F = F1 die hoort bij de symmetrische uitbuigingsvorm. b. De kracht F = F die behoort bij de keersymmetrische uitbuigingsvorm. c. De knikkracht F k. 4.8-1/ In de getekende constructies zijn de kolommen oneindig stijf en hebben de liggers een eindige buigstijfheid EI. In de linker constructie worden beide kolommen verhinderd naar links te verplaatsen; in de rechter constructie wordt een verplaatsing naar rechts verhinderd. a. Bij welke uitbuigingsvormen is er evenwicht in uitgebogen stand mogelijk? b. Bereken bij elke uitbuigingsvorm de bijbehorende waarde van F. c. De knikkracht F k. 36 007 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN 4.9-1/ De gelede knikstaven zijn opgebouwd uit onderling verend verbonden starre staven. Houd in de berekening voor de veerstijfheden aan: k r1 = 3000 knm/rad, k r = 100 knm/rad en k r3 = 400 knm/rad. Er zijn bij de gegeven belasting twee uitbuigingsvormen waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is: een symmetrische en een keersymmetrische. a. De kracht F = F1 die hoort bij de symmetrische uitbuigingsvorm. b. De kracht F = F die behoort bij de keersymmetrische uitbuigingsvorm. c. De knikkracht F k. 4.10-1/ Houd in de berekening aan EI = 3000 knm en k r = 1500 kn/rad. a. De kracht(en) F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. b. De bijbehorende uitbuigingsvorm(en). c. De knikkracht F k. d. Is de grootte van de veerstijfheid k r van invloed op de grootte van de knikkracht? 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 37

4 KNIK VAN STARRE-STAAF-SYSTEMEN MET TWEE VRIJHEIDSGRADEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 4.11 Het getekende portaal is opgebouwd uit starre staven met scharnierende en verende verbindingen. Houdt in de berekening aan: a = m, k B = 1 MN/rad en k C = 4 MN/rad. a. De kracht(en) F waarbij evenwicht in uitgebogen stand mogelijk is. b. De bijbehorende uitbuigingsvormen. c. De knikkracht F k. 4.1 Als opgave 4.11, maar houd nu voor de veerstijfheden aan k B = 9 MN/rad en k = MN/rad. C 4.13 Als opgave 4.11, maar houd nu voor de veerstijfheden aan k B = 15 MN/rad en k = 3 MN/rad. C 38 007 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5. Knik van buigzame staven basisknik-gevallen Opmerkingen vooraf: Het eigen gewicht van de constructie wordt verwaarloosd, tenzij anders is aangegeven. Constructiedelen waarvan de buigstijfheid niet is gegeven moeten als oneindig buigstijf worden opgevat. Tenzij anders is aangegeven zijn alle constructiedelen oneindig rekstijf en is er geen normaalkrachtvervorming. Alle staven zijn prismatisch tenzij anders is aangegeven. Houd ter vereenvoudiging van de berekeningen aan π = 10. 5.1 Staaf AB heeft een buigstijfheid EI = 5 MNm. De kracht F waarbij knik optreedt. 5. In het getekende vakwerk hebben alle staven dezelfde buigstijfheid EI. Er treedt bezwijken door instabiliteit op als H = 640 kn. De buigstijfheid EI. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 39

5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5.3-1 t/m 5 a. Wat verstaat men onder kniklengte? b. Schets de knikvorm. c. De kniklengte van de op druk belaste buigzame kolom. 5.4 Gegeven de vijf constructies uit opgave 5.3. a. De constructie met de grootste knikkracht en de grootte daarvan. b. De constructie met de kleinste knikkracht en de grootte daarvan. 5.5-1 t/m 4 De regel is oneindig stijf. De kolom heeft een buigstijfheid EI = 180 MNm. a. Een schets van de knikvorm. b. De kracht F k waarbij het evenwicht instabiel wordt. c. De kniklengte l k. 40 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5.6 Houd in de berekening aan EI = MNm. a. De waarde van F 1k, respectievelijk F k, waarbij een van de staven uitknikt. b. Verklaar het relatief grote verschil tussen deze waarden. 5.7-1 t/m 3 In de getekende constructies zijn de regels oneindig stijf en heeft de kolom een buigstijfheid EI = 800 knm. a. Een schets van de knikvorm. b. De kniklengte l k. c. De knikkracht F k. 5.8 In de figuur hebben alle vier kolommen dezelfde buigstijfheid. De regels zijn oneindig stijf. Let op: de kolomlengten zijn verschillend. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 41

5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 Rangschik de constructies naar toenemende kniklengte. Vermeld daarbij de kniklengte. 5.9 Zie de gegevens in opgave 5.8. Als extra is de buigstijfheid van de kolommen gegeven: EI = 390 kn. Rangschik de constructies naar toenemende knikkracht. Vermeld daarbij de grootte van de knikkracht. 5.10 Een prismatische kolom krijgt aan de top een uitwijking w 0 = 0 mm tengevolge van de kracht H = 30 kn. De knikkracht F k. 4 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5.11-1 t/m 3 Houd voor de buigstijfheid van de kolommen aan zijn oneindig stijf. EI = 5000 knm. De regels De verticale oplegreactie in A op het ogenblik van bezwijken door instabiliteit. 5.1-1 t/m 4 Alle vakwerkstaven hebben dezelfde buigstijfheid EI = 3 MNm. De kracht F waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt. 5.13 Gegeven een scharnierend opgelegde en op druk belaste houten balk met elasticiteitsmodulus E = 15 GPa. De balkdoorsnede is rechthoekig. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 43

5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 De knikkracht F k. 5.14 Een stalen strip moet een belasting van F = 50 kn dragen. De waarde van n = F k / F mag niet kleiner zijn dan vier. Houd in de berekening aan E = 00 MPa en π = 10. De maximum lengte l die de strip mag hebben. 5.15 Een stalen staaf wordt in de slappe richting op halve hoogte gesteund. De 3 elasticiteitsmodulus is E = 10 10 N/mm. De knikkracht F k. 44 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5.16-1/ In de getekende constructie zijn de liggers oneindig stijf en heeft de kolom een eindige buigstijfheid EI = 4 MNm. De knikkracht F k. 5.17 Een gebouw wordt in het verticale vlak geschematiseerd tot een oneindig stijve wand die draagt op twee kolommen. De kolommen zijn volledig ingeklemd in de wand en in de oneindig stijf veronderstelde fundering. De kniklengte van beide kolommen. 5.18 De maximum kracht F die de constructie kan dragen alvorens bezwijken door instabiliteit optreedt en de richting β (0 β π /) waarin deze kracht werkt. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 45

5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5.19-1 t/m 4 Houd in de berekening aan: EI 1 = 4000 knm, EI 3 = 700 knm en EI 4 = 500 knm. EI = 3000 knm, De belasting q k waarbij het evenwicht instabiel wordt. 5.0-1/ In de linker constructie is DE oneindig stijf. In de rechter constructie is CDE oneindig stijf. Alle andere staven zijn buigzaam en hebben een buigstijfheid EI. De kracht waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. 46 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5.1 In de getekende constructie is de ligger oneindig stijf. De kolommen hebben bij dezelfde buigstijfheid verschillende rekstijfheden. a. De pendelstijl die bij de gegeven rekstijfheden het eerst uitknikt. b. De waarde van F waarbij de constructie bezwijkt door instabiliteit. 5. Van de op druk belaste ligger is het middendeel oneindig stijf. a. De knikkracht. b. Een schets van de knikvorm. 5.3 Alle kolommen hebben over de gehele lengte l dezelfde buigstijfheid EI. Alle regels zijn oneindig stijf. a. De constructie met de kleinste knikkracht en de grootte hiervan. b. De constructie met de grootste knikkracht en de grootte hiervan. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 47

5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5.4-1/ Van de kolommen zijn de buigstijfheden in de figuur bijgeschreven. a. Op welke manieren kan de constructie bezwijken door instabiliteit? b. De knikkracht F k. 5.5 Houd in de berekening aan, k = 800 knm/rad. r EI 1 = 000 knm, EI = 40 knm en a. De knikkracht bij partiele instabiliteit. b. De knikkracht bij globale instabiliteit. c. Welke van de twee is maatgevend. 5.6-1/ Welke relatie bestaat er tussen de buigstijfheid EI 1 van de pendelkolom en de buigstijfheid EI van de ingeklemde kolom als knik van de pendelkolom (lokale of partiele instabiliteit) samenvalt met knik van de constructie in zijn geheel (globale instabiliteit)? 48 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN 5.7 Aan welke eis moet de buigstijfheid EI van de pendelkolom voldoen opdat de constructie niet zal bezwijken door partiele instabiliteit. 5.8 Gegeven en met tuien afgespannen mast. De tuien zijn spanningsloos in onbelaste toestand. De rekstijfheid van de tuien is EA = 500 kn. De buigstijfheid van de mast is EI = 500 knm. a. Welke knikvormen zijn mogelijk? b. De kracht F k waarbij het evenwicht de stabiliteitsgrens bereikt. 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 49

5 KNIK VAN BUIGZAME STAVEN BASISKNIK-GEVALLEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 50 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman

CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN 6. Knik van verend ingeklemde buigzame staven Opmerkingen vooraf: Tenzij anders is aangegeven zijn alle staven prismatisch. Het eigen gewicht van de constructie wordt buiten beschouwing gelaten, tenzij anders is aangegeven. Constructiedelen waarvan de buigstijfheid niet is gegeven moeten als oneindig buigstijf worden opgevat. Alle constructiedelen zijn oneindig rekstijf tenzij anders is aangegeven. Voor het berekenen van de knikbelasting en kniklengte zijn soms verschillende methoden mogelijk met resultaten die onderling enigszins kunnen afwijken. Ter vereenvoudiging mag in de berekening worden aangehouden π = 10. 6.1-1 t/m 6 Gegeven zes verend ingeklemde prismatische knikstaven met lengte l en buigstijfheid EI. a. De randvoorwaarden te formuleren in de grootheden w, w, M, S z en de veerstijfheden. b. De randvoorwaarden uit te werken tot vergelijkingen in de constanten C 1 t/m C 4 (dit zijn de constanten in de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking voor buigingsknik, zie paragraaf 5.3, uitdrukking 5.1). 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman 51

6 KNIK VAN VEREND INGEKLEMDE BUIGZAME STAVEN CONSTRUCTIEMECHANICA 3 6. Een gedeeltelijk in de grond geslagen paal mag als verend ingeklemd worden beschouwd. Voor de kniklengte van de paal geldt: A. l k = 4 m B. 4 m < l k < 8 m C. l k = 8 m D. k > 8 m 6.3 In geval (1) is de knikkracht F k1 = 000 kn. In geval () is de knikkracht F = 500 kn. k De knikkracht F k3 in geval (3). 5 016 - C. Hartsuijker en J.W. Welleman