NAAM: KLAS: SaLVO! 13 Exponeniële funcies graf ieken van exponen iële verbanden 0 < g < 1 g > 1 25 20 h 15 10 5 0 0 5 10 x x WISKUNDE NATUURKUNDE BIOLOGIE SCHEIKUNDE KLAS 5 VWO
SaLVO! Di lesmaeriaal is een onderdeel van he samenwerkingsprojec SaLVO! da als doel heef om meer samenhangend onderwijs e onwikkelen in de bèavakken. Overzich projecmaeriaal De leerlijn SaLVO! rond verhoudingen, verbanden, formules en grafieken is opgebouwd ui een aanal delen bij verschillende vakken: biologie = B, economie = E, informaiekunde = I, nauurkunde = N, scheikunde = S en wiskunde = W. deel iel vak(ken) leerjaar 1 Verhoudingen en evenredigheden W 2 HV 2 Een verband ussen massa en volume N 2 HV 3 Vergroen en verkleinen N, W 2HV 4 Omgekeerd evenredig verband W 2/3 HV 5 Planeen en Leven B, N, S, W 2/3 HV 6 Economie en procenen E, W 3 HV 7 Verhoudingen bij scheikundige reacies S 3 HV 8 Formules en evenredigheden N 3HV 9 Vergelijkingen in de economie E, W 3 HV 10 Exponeniële verbanden I, N, W 3 HV 11 Evenredigheden en machen W 4 HV 12 Verbanden beschrijven N 4 HV 13 Exponeniële funcies B, N, S, W 5 V 14 Periodieke funcies N, W 5 V Colofon Projec SaLVO! (Samenhangend Leren Voorgeze Onderwijs) Aueurs Ad Mooldijk, Henk van der Kooij Versie sepember 2009 M.m.v. S. Bonifaiuscollege, Urech Geref. Scholengemeenschap Randsad, Roerdam Freudenhal Ins. for Science and Mahemaics Educaion, Univ. Urech Copyrigh Op de onderwijsmaerialen in deze reeks rus copyrigh. He maeriaal mag worden gebruik voor nie-commerciële oepassingen. He is nie oegesaan he maeriaal, of delen daarvan, zonder oesemming op een of andere wijze openbaar e maken. Voor zover wij gebruik maken van exern maeriaal proberen wij oesemming e verkrijgen van evenuele rechhebbenden. Moch u desondanks van mening zijn da u rechen kun laen gelden op maeriaal da in deze reeks is gebruik dan verzoeken wij u conac me ons op e nemen: science.salvo@uu.nl
Voorwoord He deel Exponeniële funcies is gemaak voor vijfde klas vwo leerlingen en hoor bij de vakken biologie, nauurkunde, scheikunde en wiskunde. Als je eenmaal meeresulaen heb, wil je ook ween of ussen de gemeen grooheden een bepaald verband besaa. Je wil immers graag voorspellingen doen over andere waarden van de grooheden of je wil me je resulaen een beer inzich krijgen in wa er aan de hand is, ies wa je heorievorming zou kunnen noemen. Dus is heel ineressan hoe je he verband ussen wee grooheden kun beschrijven. Hoe da voor verbanden me een exponenieel karaker in zijn werk gaa word duidelijk gemaak in di deel. In he eerse gedeele kom wiskundig aan de orde hoe veranderingen zorgen voor exponeniële verbanden. Daarna komen exponeniële verbanden in de nauur aan de orde en hoe je deze kun herkennen en vasleggen. Daarna komen nog een aanal verrassende zaken van di soor verbanden aan de orde. Inhoudsopgave 1 Discree groei en afname... 5 2 Coninue groei en afname... 10 3 Verandering evenredig me hoeveelheid... 13 4 He verband me de logarime... 16 5 Veranderingen meen en beschrijven... 19 6 Wiskundige modellen... 23 7 De afgeleide van een logarime... 25 8 Weenswaardigheden rond he magische geal e...28 9 Toevallig... 32 10 Logarime als nauurlijke maa... 35 SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 3
SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 4
Exponeniële verbanden 1 Discree groei en afname In deze paragraaf word kennis over begrippen als groeifacor en verdubbelingijd opgehaald en verdiep. Paragraafvraag Hoe beschrijf je he verschil ussen lineaire en exponeniële groei? Insap Escherichia coli (E.coli) De volgende informaie kom van Wikipedia. Escherichia coli is een van de mees voorkomende sooren baceriën in de dikke darmen en is nodig voor he vereren van voedsel. De bacerie is genoemd naar de Oosenrijkse microbioloog Theodor Escherich. Gemiddeld komen zo'n 100 miljard o ien biljoen van deze baceriën per dag via de onlasing van de mens naar buien en als E. coli (de gebruikelijke afkoring) in waer word aangeroffen is da dus een indicaie da he waer me uiwerpselen vervuild is. De bacerie kan snel gekweek worden, aangezien deling onder goede omsandigheden ongeveer iedere 20 minuen opreed (vanui een enkele bacerie zijn er dus ongeveer 70 miljard binnen een halve dag e maken). Neem voor he gemak aan da celdeling (dus verdubbeling van he aanal!) seeds precies na 20 minuen plaasvind en da je me één bacerie begin. a. Hoeveel zijn er dan na 1 uur? En hoeveel na drie uren? b. Wa verander aan de aanallen van a. als je sar me 128 baceriën? c. Wa is de groeifacor per 20 minuen? En per uur? d. Conroleer of de genoemde 'ongeveer 70 miljard' klop. e. Je raak er per dag nogal wa kwij! Word da wel voldoende aangevuld? De verschillen ussen de karakerisieke eigenschappen van lineaire en exponeniële groei zijn mooi schemaisch weer e geven: hoeveelheid + c + c + c + c Lineair ijd + 1 + 1 + 1 + 1 hoeveelheid g g g g Exponenieel ijd + 1 + 1 + 1 + 1 Bespreking Groei en afname SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 5
Bespreek me medeleerlingen de volgende vragen: a. Wa is de definiie van groeifacor bij exponeniële groeiprocessen? b. Naas groei (oename) is ook afname mogelijk. Welk gevolg heef da voor de waarden van c en g in bovensaande karakerisieken? c. Is een negaieve groeifacor mogelijk? d. Hoe kun je een groeifacor aanpassen aan een andere ijdsap dan = 1? De wee mees voorkomende sooren groeiprocessen zijn lineaire en exponeniële groei. De karakerisieken van deze groeimodellen zijn Lineaire groei: bij elke vase ijdsap word een consane hoeveelheid c opgeeld bij de aanwezige hoeveelheid. Dus: L(+1) = L() + c Me sarwaarde L(0) geld dus: L(1) = L(0) + c, L(2) = L(1) + c,... Exponeniële groei: bij elke vase ijdsap word de aanwezige hoeveelheid me een consan geal g vermenigvuldigd. Dus: E(+1)= g E() Me sarwaarde E(0) geld dus: E(1) = g E(0), E(2) = g E(1),... Lineaire groei me sarwaarde 5 en consane c = 2 geef dus: L(1) = 5 + 2 = 7, L(2) = L(1) + 2 = 7 + 2 = 9,... Exponeniële groei me sarwaarde 5 en groeifacor g = 2 geef dus: E(1) = 2 5 = 10, E(2) = 2 E(1) = 2 10 = 20,... 1 Spelen me de formules a. Bij de formules in he kader hierboven hoor een vase ijdsap 1, dus 1. Waarui blijk da? 2 b. Verklaar: L ( 2) L ( ) 2 cen E ( 2) ge ( ) Probeer de verklaring e geven me behulp van een redenering en laa ook me algebra zien da he klop. Ui de gegeven recursieve beschrijvingen voor lineaire groei L(+1)=L() + c en voor exponeniële groei E(+1)=g E() kun je de volgende direce formules afleiden: Lineaire groei: L()=L(0)+ c me L() de hoeveelheid op ijdsip L(0) de beginhoeveelheid op = 0 c de consane oename bij = 1 Exponeniële groei: E()=E(0) g me E() de hoeveelheid op ijdsip E(0) de beginhoeveelheid op = 0 g de groeifacor bij = 1 g > 1: groei 0< g < 1: afname 2 Onderzoek (ga er maar even voor zien!) SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 6
a. Beredeneer de correcheid van de wee funcies die hierboven zijn gegeven. Gebruik zonodig he resulaa van vraag 1b. b. Van een groeiproces is gegeven: N(0) = 64 en N(4) = 324 Welke funcie beschrijf de groei als deze lineair is? En welke funcie beschrijf de groei als deze exponenieel is? In de karakerisieken was sprake van een vase ijdsap 1. Je maak als he ware seeds een ijdsprong = 1. De eenheid was er nie bij gegeven. Dus, afhankelijk van de probleemsiuaie, kan = 1 beekenen: 1 seconde, 20 minuen, een half uur, een jaar, een eeuw, enz. Hoewel de ijd zelf ononderbroken doorloop (da word wel coninu genoemd), kijken wij in deze paragraaf naar ijdsprongen van een vase, eindige lenge. Deze manier van kijken naar he sprongsgewijs verloop van de ijd word vaak aangeduid me discree. Groeiprocessen waarbij me vase ijdsappen ies verander, worden daarom vaak discree processen genoemd, erwijl processen waarbij de veranderingen doorlopend plaasvinden coninue processen worden genoemd. Op de discree groeiprocessen ga je nu eers wa meer oefenen. In de volgende paragraaf word de sap geze naar coninue processen. 3 Verandering van ijdsap Op ijdsip = 0 zijn er 500 exemplaren van een bepaald soor bacerie. He groeiproces word hieronder weergegeven. hoeveelheid N 4 4 4 4 ijd (in uren) + 1 + 1 + 1 + 1 a. Hoe groo is de groeifacor per 2 uren? En per half uur? b. Geef de funcie N() voor de volgende drie ijdseenheden: in uren in eenheden van 2 uren in eenheden van een half uur 4 Procenuele groei Een bank geef 5% rene per jaar. Die rene word seeds aan he einde van he jaar berekend. Je sar op 1 januari 2007 me een bedrag van 400 en je laa de rene seeds bijschijven bij he spaaregoed. a. Hoe groo is je spaaregoed na 3 jaar? b. Hoe lang duur he voorda je spaaregoed is verdubbeld? c. Wa is de groeifacor per jaar? De bank zou de rene ook per half jaar kunnen berekenen, of per wee jaar. Maar wel zo da er per jaar nog seeds 5% word gespaard. d. Mark denk da de bank 2,5% per half jaar zou moeen berekenen en 10% per wee jaar. Welke denkfou maak hij? e. Wa zouden de percenages per half jaar en per wee jaar dan moeen zijn? SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 7
5 Nog meer procenen... Ze de volgende percenages om in groeifacoren: a. een oename me 20%, me 100%, me 900%, me 1%, me p% b. een afname me 5%, me 50%, me 100%, me p% 6 Vuisregel voor verdubbelingsijd Er is een vuisregel die procenuele groei koppel aan de ijd die nodig is om een verdubbeling e bereiken: p d 70 me p he percenage en d de verdubbelingsijd. Voor nie al e groe waarden van p is die regel redelijk goed bruikbaar. a. Conroleer da bij 5% rene per jaar he inderdaad ongeveer 14 jaar duur voorda he spaaregoed is verdubbeld. b. Onderzoek de vuisregel ook voor 1% groei en voor 10% groei. 7 De verandering is evenredig me de hoeveelheid a. Bekijk de wee volgende abellen van exponeniële groei resp. afname. Vul de lege cellen van de derde rij in ( N saa voor de verandering, oe- of afname, van N bij ijdsap = 1) 0 1 2 3 4 N 5 20 80 320 1280 ΔN (bij = 1) 15 0 1 2 3 4 H 1024 256 64 16 4 ΔH (bij = 1) - 768 b. Geef de funcies die deze wee exponeniële processen beschrijven. c. Beschouw he gedrag van N en H in de ijd; welk ype funcie pas in beide gevallen? Beschrijf N en H me behulp van funcies. Bij de vulling van de derde rij is gekozen voor N() = N( + 1) N() en voor H() = H( + 1) H() d. De funcie N() kan dus ook algebraïsch worden gevonden vanui de funcie N(). Leid deze funcie af en conroleer of he anwoord gelijk is aan da van vraag c. Doe hezelfde voor de funcie H(). We nemen nu even aan da beide processen ook me ijdsappen = kunnen worden beschreven. Daarom dezelfde groeiprocessen nog eens, maar nu me ijdsap = : T 0 0,5 1 1,5 2 N 5 10 20 40 80 ΔN (bij = ) 5 T 0 0,5 1 1,5 2 H 1024 512 256 128 64 ΔH (bij = ) - 512 Voor N geld nu: N() = N( + ) N() e. Leid de formule voor N() af ui di gegeven. Doe hezelfde voor H() SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 8
Kennelijk geld voor ieder exponenieel proces: Bij een exponenieel groeiproces N() = b g is de verandering rech evenredig me de aanwezige hoeveelheid ofwel: N() = c N() De evenredigheidsconsane c is afhankelijk zowel van de groeifacor g als van de grooe van de ijdsap 8 Even spelen me G en ΔG en de ijdsap Δ Bekijk he groeiproces G() = 16 me in jaren. We nemen aan da we de grooe van de ijdsap naar believen mogen veranderen. Dan geld dus: G() = c G() a. Voor = 1 geld: de groeifacor is g = 16 en de evenredigheidsconsane c = 15. Toon di aan. b. Bepaal nu zelf de groeifacor en de waarde van de consane c voor de volgende gevallen: = 2, = 3, =, =, = en = c. Bekijk de anwoorden van a. en b. goed. Kun je bij he algemene geval G() = g (bij vase ijdsap = 1) bedenken wa de groeifacor en de waarde van c zijn voor een ijdsap = p, me p een of ander posiief geal? SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 9
Exponeniële verbanden 2 Coninue groei en afname discree: domein {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 0 0 coninu: domein [0,6] 0 0 1 2 3 4 5 6 1 3 4 5 6 Bij de E.coli bacerie groeide he aanal cellen sprongsgewijs: elke 20 minuen is er verdubbeling. Hier is dus sprake van een discree proces. Maar als je le op he volume, dan blijk er wel degelijk ijdens die 20 minuen ook sprake e zijn van groei. En die groei van he volume verloop coninu. Coninue modellen vind je ook bij de afkoeling van een kop koffie, bij he onladen van een condensaor en bij he gasverlies door de poreuze huid van een luchschip. Paragraafvraag Hoe zi he bij coninue processen me de groeifacor? Insap E.coli revisied In he plaaje hiernaas zie je schemaisch weergegeven da de splising in wee exemplaren gebeur op he momen da he volume van die ene cel weemaal zo groo is geworden. Dus voor he volume van een baceriënkolonie geld: V() V( 0) 2 waarbij V(0) he beginvolume is en nu een coninue variabele voorsel, in eenheden van 20 minuen. a. Wa is he volume na 20 minuen? En na 10 minuen? En na 30 minuen? Waarom is he logisch da he volume ussen 10 en 30 minuen verdubbel? b. Op zeker momen is he volume ien keer zo groo als V(0). Na hoeveel minuen is da zo ongeveer? Hoe lang duur he voorda he volume 100 keer zo groo is als V(0)? Wa is he verband ussen deze wee uikomsen? c. "Een coninu proces me groeifacor 2 kan me een verandering van de ijdseenheid ook worden beschreven als een groeiproces me groeifacor 10". Wa vind je van deze uispraak? Hieronder is schemaisch een exponenieel proces weergegeven me groeifacor 2. N( 2 2 2 2 2 2 2 N() + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 Hezelfde proces kan ook worden weergegeven me groeifacor 8: 8 8 2 2 2 2 2 2 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 3 Daaroe moe je dus wel de ijd anders schalen: je heb 3 ijdsappen bij groeifacor 2 nodig om één ijdsap bij groeifacor 8 e krijgen. Die ijdschaling zie je ook erug in 9 Tijdschaling 1 SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 10
a. Leg ui, me behulp van de regels voor machen, waarom geld: b. Verklaar waarom di ook waar is: Omda 8 een gehele mach van 2 is, kan de ijdschaling makkelijk worden gezien. Maar bij een groeiproces me groeifacor 2 is er ook een ijdschaling mogelijk naar groeifacor 10. Duidelijk is da deze schaling groer is dan 3 en kleiner dan 4. Maar hoe groo is hij precies? De vraag is dus: hoeveel ijd neem he bij een groeiproces me groeifacor 2 om een ienvoud e krijgen? En he anwoord daarop is: de waarde van die oplossing is van de vergelijking 10 Tijdschaling 2 a. Conroleer me je GR da voor, b. Toon aan: geld: 3,322 Omgekeerd kan een proces me groeifacor 10 worden omgeschreven naar een proces me groeifacor 2.,, c. Toon aan: 11 Exponenieel verval (afname) 10 N() 2 2 2 2 + 1 + 1 + 1 + 1 +?? De Hindenburg was een giganisch Duis luchschip da vluchen uivoerde op onder andere New York, waar he in 1936 volledig uibrandde. Door de poreuze wanden leke veel waersof weg. Een volledige vulling me 180 000 m 3 waersof werd in 10 dagen gehalveerd. Ook in di geval is sprake van een exponenieel proces, maar nu me afname in plaas van oename. a. Welke formule beschrijf de hoeveelheid aanwezige waersof W als funcie van de ijd (eenheid 10 dagen)? b. W() = 180 000 (0,933) geef de hoeveelheid waersof in de ijd me als eenheid de dag. Toon da aan. Moderne luchschepen zijn veel kleiner en verliezen veel minder gas: ze saren me een vulling van 3000 m 3 en verliezen 2% gas per 10 dagen. c. Geef de formule voor he volume (in m 3 ) als funcie van de ijd (eenheid 10 dagen). d. Na hoeveel dagen is he volume gehalveerd? In de nauurweenschappen word bij exponenieel verval vaak gebruik gemaak van he begrip halfwaardeijd. Da is de ijd die nodig is om een hoeveelheid erug e brengen o de helf van de oorspronkelijke waarde. Een voorbeeld (ui Wikipedia): De halfwaardeijd voor riium is 12,33 jaar. Na 12,33 jaar is dus de helf van he riium omgeze in helium, na nog eens 12,33 is er nog maar een 1/4 deel van he oorspronkelijke riium over, na weer 12,33 jaar 1/8, enz. SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 11
Voor riium geld dus de volgende funcie: T()=T(0) waarbij de ijdseenheid dus 12,33 jaar is. 12 Halfwaardeijd (1) Nauurlijk is er nu ook een ijdschaling mogelijk waarmee een ijdseenheid van bijvoorbeeld één jaar word gebruik. Voor he riium hierboven zoek je 12,33 dus een groeifacor g zo da g 1 2 12,33 a. 1 Toon aan da nu geld: T () T(0), me in jaren. 2 b. Laa zien da, afgerond op 4 decimalen, geld: T ( ) T(0) 0,9453 Nog meer informaie van Wikipedia: Cafeïne heef in he lichaam een halfwaardeijd van circa 5 uur, dus als men de dag om 8.00 uur zou beginnen me ach koppen koffie, dan heef men om 13.00 uur nog seeds he equivalen van vier koppen koffie in he bloed, om 18 uur nog he equivalen van wee koppen en wanneer men gaa (proberen e) slapen is he alsof men ne een kop koffie gedronken heef. 13 Halfwaardeijd (2) Een kop koffie beva (afhankelijk van de manier van bereiden) ongeveer 100 mg cafeïne. a. Geef een formule voor de hoeveelheid cafeïne die in je lichaam aanwezig is op ijdsip (in uren) na he drinken van een kop. b. Je drink op een dag drie koppen koffie: om 8 uur, 13 uur en 18 uur. Hoeveel mg cafeïne zi er nog in je lichaam als je om 23 uur naar bed gaa? De halfwaardeijd word meesal aangeduid me 1/2 Een halfwaardeijd kan worden gegeven in een willekeurige ijdseenheid zoals seconde, uur, dag, jaar. Bij he bepalen van een funcie die he proces beschrijf me een 'gewone' ijdmaa is he nauurlijk wel zaak da je dezelfde ijdseenheid gebruik: in seconden als 1/2 in seconden is gegeven, maar in jaren als 1/2 ook in jaren is gegeven. Voor halveringen is een nauurlijke 12 ijdsap die he aanal halveringen aangeef op een coninue schaal. Bij exponenieel verval me groeifacor en halfwaardeijd 1/2 word he proces beschreven me de funcie H()=H(0) / waarbij 1/2 en dezelfde ijdseenheid hebben. 14 Naar 1/2 en erug We hebben een proces me een groeifacor van 0,3 per week. We saren me een hoeveelheid van 200. a. Geef de funcie die de hoeveelheid H koppel aan de ijd (in dagen). b. Wa is de halfwaardeijd voor di proces? Een proces heef halfwaardeijd 3 maanden. c. Geef de funcie die de hoeveelheid H koppel aan de ijd (me als eenheid de halfwaardeijd) d. Wa is de groeifacor per maand voor di proces? SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 12
Exponeniële verbanden 3 Verandering evenredig me hoeveelheid Bij exponeniële groeiprocessen is de verandering (de oename of afname) evenredig me de al aanwezige hoeveelheid. Maar de grooe van de ijdsap is van invloed op de evenredigheidsconsane. Bij coninue processen kunnen we de ijdsap naar nul laen naderen en daarmee proberen zich e krijgen op de momenane verandering; da is de groei op een bepaald ijdsip. Da is precies he doel van deze paragraaf. Paragraafvraag Hoe verloop de verandering in de ijd? insap Hoe verander de verandering over de ijd gezien? Neem een ijdsverschil =0.01 en neem een grondal me voorlopig g=4 Neem een funcie H() = g en reken deze ui voor een paar ijdsippen. Bereken dan de verandering me even laer: H()=H( + ) H(). Als je di in je GR invoer, word opgave b. gemakkelijker e maken H() H( + ) H(T) H()/H() 1 g 2 3 4 5 6 a. Doe hezelfde voor bijvoorbeeld de grondallen 6 en 8. b. Blijf de verandering evenredig me de hoeveelheid? c. Hang de verandering af van he grondal? d. Bereken de abel ook eens me g=4 maar me =0.2 e. Kun je dezelfde conclusies rekken? Ui de vorige opdrach heb je gemerk da de verandering evenredig me de hoeveelheid blijf, da he grondal uimaak maar da ook he ijdsip en he ijdsverschil van de verandering uimaak. Om ies over die ijdsap e kunnen zeggen en vooral ook veranderingen in he coninue proces e kunnen beschrijven, gaan we nu naar verschillende ijdsappen kijken. 15 De ijdsap verkleinen Gegeven is de funcie H() = 2. Voor de verandering bij een ijdsap geld: H() = H( + ) H() = 2 + 2 = (2 1) 2 a. Vul ondersaande abel in. Gebruik de GR en noeer de uikomsen me 4 significane cijfers: H() H()/ 1 1 2 1 2 0,1 0,07177 2 0,7177 2 0,01 0,001 0,0001 0,00001 SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 13
b. Waarom is he logisch da de geallen in de weede kolom seeds kleiner worden en o nul verschrompelen? En waarom gebeur da nie bij de geallen in de derde kolom?, c lim 2 2 1 0 y = 2 y = 0,6931 +1-1 1 Als seeds dicher bij nul word gekozen, dan nader H()/ o een consane maal 2. Omda die consane bij grondal 2 hoor, noemen we hem c 2. Er geld: c 2 0,6931. Bij andere grondallen horen ook zulke consanen. Zo hoor bij 3 de consane c 3. c. Bepaal c 3, c 4, c 5 en c 6 in 4 decimalen nauwkeurig op dezelfde manier als hiervoor is gedaan me c 2. Bepaal ook c 2,6, c 2,7 en c 2,8 in 4 decimalen nauwkeurig. d. Probeer me de GR een groeifacor g e vinden waarvoor geld: c g = 1. 2 1 0 De consane c 2 is de limiewaarde waaroe de uidrukking 0 nader. Da word ook wel genoeerd als: c lim. 2 nader als naar Omda geld 1 = 2 0, kan de uidrukking ook zo worden geschreven: Deze uidrukking heef een heel speciale beekenis voor de funcie H() = 2. He is namelijk he differeniequoiën bij sarpun = 0. De limiewaarde van di differeniequoiën is dus de helling van de grafiek voor = 0. Wa geld voor grondal 2 is ook waar voor andere grondallen g. De consane c g is de helling van de grafiek van H() = g bij = 0. Verder wee je da de afgeleide funcie (of hellingfuncie) krijg door van he H () H () dh differeniequoiën de limie e bepalen: lim H ( ) d Dus: De afgeleide funcie van H() = g is H () c g waarbij c g de helling van de grafiek van H is bij = 0 g De afgeleide van een exponeniële funcie is dus evenredig me de funcie zelf. En de evenredigheidsconsane is de helling van de grafiek bij = 0. Nauurlijk geld: bij een groere g hoor een seilere helling bij = 0. Omda c 2 kleiner is dan 1 en c 3 groer dan 1, moe er ussen 2 en 3 een geal g e vinden zijn waarvoor geld: c g = 1. In ondersaande schermafdrukken zie je hoe je da grondal redelijk kun benaderen: 16 He magische grondal e a. Leg ui waarom je op deze manier da grondal kun vinden. b. Gebruik de GR om e conroleren da inderdaad geld: c e = 1. f(x) = e x heef als afgeleide f '(x) = e x De funcie f(x) = e x heef dus een heel simpele afgeleide, namelijk de funcie zelf! Da is de reden waarom er in oepassingen van exponeniële funcies zo graag word gewerk me di speciale grondal. In paragraaf 2 is besproken SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 14
hoe je via ijdschaling he ene grondal kun omzeen naar een ander. Da geld dus ook voor he omschrijven naar grondal e. 17 omzeen naar grondal e a. Schrijf de funcie f(x) = 2 x als funcie me grondal e, dus als e cx. b. Dezelfde vraag voor f(x) = 3 x c. Wa val op aan de consanen die bij deze ijdschalingen horen? Kijk evenueel nog eens erug naar Insapvraag c. In veel oepassingen van exponeniële processen kom je één van de groeifacoren 10 en e egen. Ze zijn ook als apare knop op de GR e vinden. Een groeifacor 10 zie er gewoon ui; e zie er veel minder 'nauurlijk' ui: e 2.718281828. groeifacor 10 kom in veel siuaies voor. Groeifacor e kom mogleijk nog vaker voor, vanwege de specifieke eigenschappen die he heef bij ionegreren en differenieren. 18 Werken me groeifacor e a. He kalmeringsmiddel Bromazepam heef een halfwaardeijd van ongeveer 18 uur. Als we de beginhoeveelheid van he middel op 1 sellen, dan geld voor he verval de formule H() = e -0,0385 Laa zien da di bij benadering klop. b. He radioacieve vervalproces van he isooop Cu 59 word beschreven me de funcie N() = N(0) e -0,578. De ijd is in jaren. Bepaal de halfwaardeijd 1/2 Ieder 'gewoon' grondal en elke groeifacor van een coninu proces kan worden omgeze naar grondal e. 19 Grondallen schrijven als mach van e en omgekeerd a. Schrijf de grondallen 2, 5, 10, 1/2, 1/5 en 1/10 als mach van e b. Schrijf e als mach van de grondallen 2, 5, 10, 1/2, 1/5 en 1/10. 20 luchdruk en hooge Tussen de luchdruk p (in kilopascal) en de hooge boven zeeniveau h (in km) besaa he volgende verband: p = 105 e -0,15 h a. Bereken de druk op zeeniveau b. Op welke hooge is de druk gehalveerd? c. Wa is de 'groeifacor' bij di exponenieel verband? d. In je luchballon consaeer je een druk p = 87 kilopascal. Hoe hoog zi je? 21 Radioacief De sof Radon 220 verval in 56 s o de helf van de oorspronkelijke hoeveelheid. a. Noeer de vervalfuncie me groeifacor 0,5. b. Bepaal de vervalfuncie me als ijdsap de minuu. c. Idem me als ijdsap de seconde. d. Noeer de funcie me grondal e. SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 15
Exponeniële verbanden 4 He verband me de logarime De consanen c g die in voorgaande paragrafen een rol speelden (ijdschaling, evenredigheidsconsane bij de afgeleide funcie) zijn seeds via benaderingen gevonden. Ze kunnen ook exac worden gegeven. Daarbij speel de logarime een belangrijke rol. Paragraafvraag Wa hebben logarimen e maken me ijdschaling en evenredigheidsfacoren? Insap Voorbeelden van logarimen: 2 log 8 = 3 3 log 2 + 3 log 5 = 3 log 10 5 log 64 = 3 5 log 4 4 log 12-4 log 2 = 4 log 6 2 log 7 =x 2 x = 7 Opfrisser De logarime is al behandeld in de vierde klas. Een exponeniële funcie en een logarimische funcie me beide hezelfde grondal zijn elkaars inverse: p g g q p logq voor q > 0 en g > 0 en g 1 De belangrijkse eigenschap van logarimen is: g g g log( a) log( b) log( a b ) voor a, b > 0 a. Welke eigenschappen ken je nog meer? b. Kun je de volgende wonderlijke eigenschap verklaren: g log g a a c. Waarom is de oplossing van 2 = 10 gelijk aan = 2 log (10)? d. Kun je de benaderende waarde van 2 log 10 berekenen me je GR? Ne zoals de grondallen 10 en e voor de exponeniële funcies een uizonderingsrol hebben, geld dazelfde voor logarimen me grondal 10 en grondal e. Normaal noem je he grondal bij een logarime, zoals bij 2 log 10. Bij afspraak word he grondal 10 weggelaen bij de noaie van een logarime, erwijl de logarime me grondal e een afwijkende naam krijg. Afspraak: 10 log word geschreven als log e log word geschreven als ln De logarime me grondal e word ook wel de nauurlijke logarime genoemd. De consanen c g die in de vorige paragraaf opdoken gedragen zich als logarimen. Da beeken zoveel als: ze veronen dezelfde eigenschappen als logarimen. Bekijk maar he volgende rijje waarden (afgerond op 4 decimalen): g 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c g 0,6931 1,0986 1,3863 1,6094 1,7914 1,9459 2,0794 2,1972 2,3026 Je zie bijvoorbeeld da geld : c 9 = 2 c 3 en ook c 2 + c 4 = c 8 Bespreking Welke eigenschappen van logarimen herken je in de wee gegeven voorbeelden? Zoek nog meer voorbeelden in he rijje. Gebruik eigenschappen van logarimen om e conroleren da de consanen in he rijje zich inderdaad gedragen als logarimen. SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 16
22 Andere consanen berekenen. Uigaande van he fei da de consanen eigenlijk logarimen zijn, kun je nieuwe waarden van c g daarmee bepalen. a. Wa is de waarde van c 12 en van c 20? Conroleer je anwoorden door die waarden ook op de andere manier (zie de insap van paragraaf 3) e berekenen. De consanen c g hebben alles e maken me de nauurlijke logarime. Er blijk: c g = ln(g) De verklaring is nie ech moeilijk als je kijk naar de logarimische eigenschap g log g a a. Als je daarin grondal e neem voor g, dan saa er: e log a ln e a ofwel a e a Dus de funcie f(x) = 2 x laa zich herschrijven o f(x) = e ln2 x c To nu oe hadden we seeds gewerk me x e x en dus geld: c 2 = ln (2). Voor c = geld dus: c 1/2 = ln( ) 23 De afgeleide van exponeniële funcies De afgeleide funcie van H() = g is H ()=c g g (zie paragraaf 3) a. Laa zien da voor f(x) = 2 x geld: f '(x) = ln(2) 2 x en da di ook kan worden geschreven als f '(x) = ln(2) e ln(2) x b. Toon aan: ln ( ) = -ln(2) c. Laa zien da voor f(x) = ( )x geld: f (x) = ln( ) ( )x en da di ook kan worden geschreven als f (x) = -ln(2) e -ln(2) x V C = 50 mf R = 100 Ω 24 He onladen van een condensaor Een condensaor is opgeladen. De spanning over de condensaor bedraag 8 V. Als de schakelaar gesloen word, onlaad de condensaor zich over de weersand R. Tijdens he onladen word de spanning gemeen: Tijd (in s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Spanning U (in V) 8,00 6,55 5,36 4,40 3,60 2,94 2,41 1,97 1,61 1,32 a. Beschrijf he verband ussen U en als funcie me behulp van een e-mach. b. Wa is de halveringsijd? c. Bereken de snelheid van onladen op ijdsip = 0 en op = 4 d. De consane bij groeifacor e heef een nauurkundige beekenis: consane = 1 R C me R de weersand (in Ω) en C de capaciei van de condensaor (in F). Conroleer of di klop me jouw gevonden funcie. 25 Meer afgeleide funcies a. Schrijf de afgeleide funcie van f(x) = 5 3 x zowel me grondal 3 als me grondal e. b. Van een funcie y = f (x) is de afgeleide gegeven: dy/dx = 6.9315 e ln(4) x Wa is de funcie? SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 17
De halfwaardeijd is een gebruikelijke grooheid. Daarnaas word ook wel de vervalijd gebruik. De volgende informaie kom weer van Wikipedia: De halfwaardeijd of halveringsijd is de ijd waarna van de oorspronkelijke hoeveelheid nog precies de helf over is. Als symbool haneer men meesal ½. De vervalijd of 1/e ijd of gemiddelde levensduur is de gemiddelde duur van he besaan van een insabiel deelje, ofwel de ijd waarna van de oorspronkelijke hoeveelheid nog precies 1/e-de deel over is. Als symbool haneer men meesal (de Griekse leer au). Halfwaardeijden en vervalijden zijn overigens eenvoudig in elkaar om e rekenen, wan de vervalijd is alijd 44% langer dan de halfwaardeijd: = 1,4427 ½. 26 De koppeling van halfwaardeijd en vervalijd a. Laa zien da de gegeven omrekening = 1,4427 ½ klop. b. Bij de halfwaardeijd geld da er dan nog 50 % (de helf) over is van de oorspronkelijke hoeveelheid. Welk percenage van de beginhoeveelheid is nog over na de vervalijd? Een exponeniële funcie van de vorm f(x) = g x is dus e schrijven als f(x) = e ln(g) x en voor de afgeleide funcie geld dan f (x) = ln(g) e ln(g) x. Wa voor de consane ln(g) geld, is ook in meer algemene zin waar: De funcie f(x) = e c x me consane c heef afgeleide f (x) = c e c x Bij he onderwerp radioacief verval word in de nauurkunde he begrip aciviei (A) gebruik. De aciviei word gedefinieerd als he verval per seconde op een bepaald ijdsip. Dus bij een hoeveelheid N(0) op he beginijdsip = 0 en een vervalproces da zich laa beschrijven als N () N(0) 1/2 afgeleide van de funcie N, dus A() = N () 1 2 is de aciviei de 27 Aciviei A en hoeveelheid N a. Schrijf de funcie A() me behulp van een e-mach. b. Toon aan, door de afgeleide van N e bepalen, da geld ln 2 A() N() 1/2 SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 18
Exponeniële verbanden 5 Veranderingen meen en beschrijven Om e oefenen me he opsporen van exponeniële verbanden, doen we hier een paar experimenen (of je krijg de meegegevens om ui e werken). In deze paragraaf kijken we vooral naar coninue veranderingen. We gaan eers kijken naar hoe de lichabsorpie in glas afhang van de dike en zullen zien da di proces veel lijk op andere processen in de nauur. Paragraafvraag Wa hebben processen als lichabsorpie in glas, he afrollen van een verzwaard koord over een karol en he afkoelen van een glas hee me elkaar gemeen? Experimen 1. Absorpie van lich door glas Neem een evenwijdige bundel lich en mee de inensiei op een afsand van ongeveer 20 cm. Verander de afsand nie meer! Plaas een suk gein glas loodrech ussen de lichbron en de lichsensor en mee opnieuw de inensiei. Doe di me seeds meer sukken van hezelfde glas. (Er zijn ook meingen beschikbaar in he coach6-projec). Vul je meingen in in de eerse rij van de abel. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I(n) ΔI(n)=I(n) -I(n-1) ΔI(n)/I(n) a. Onderzoek he verband ussen de inensiei van he doorgelaen lich en he aanal glasplaen; vul daarvoor eers de weede rij in bovensaande abel in. Is er een bekend verband e zien, zoals lineair of (omgekeerd) evenredig? (zie blok 10) b. Bereken de relaieve afname van de inensiei voor elk suk glas da er bij kom. Gebruik daarvoor de derde rij van de abel. Wa val je op? Kun je nu voorspellen wa de inensiei word na nog een sukje glas? Als he goed is, merk je da de inensiei me elk suk glas in verhouding, dus relaief, seeds evenveel word verkleind. Elk suk glas van dezelfde dike absorbeer (en refleceer) een even groo deel van he opvallende lich. Ies wa eigenlijk wel logisch is. He beeken da de afname van de inensiei mede afhang van de inensiei zelf. Een bepaald deel (of percenage) word doorgelaen. Da percenage is afhankelijk van de dike van he glas, he soor glas en de in van he glas. He is vergelijkbaar me he afnemen van de hoeveelheid gas in een luchschip in de ijd. Alleen is er nu geen sprake van ijd, maar van dike van he glas. Maar een procenuele afname kan ook nu weer worden beschreven me he begrip groeifacor. SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 19
I Groeifacor I nieuw oud me ussen I nieuw en I oud seeds een even groe sap van de grooheid die I beïnvloed (hier: seeds een even dik sukje glas) Bij afname is de groeifacor een geal ussen 0 en 1. 28 Glas en lichinensiei Een suk glas me een dike van 4,0 mm laa van een lichinensiei van 2,0 W/m 2 nog 1,6 W/m 2 over. a. Hoeveel procen word in 4,0 mm glas geabsorbeerd? b. Hoe groo is de lichinensiei na 8,0 mm dik glas als je begin me 2,0 W/m 2? c. Wa is de lichinensiei na he suk glas van 4,0 mm als je begin me een inensiei van 1,0 W/m 2? d. Hoe groo is de lichinensiei na 16 mm glas als je begin me 3,0 W/m 2? e. Bepaal de groeifacor van de inensiei van lich door he glas voor sappen van 4,0 mm glas. f. Noeer he verband van de lichinensiei als funcie van de glasdike. Experimen 2. He afkoelen van een kopje hee. Neem een bekerglas me 100 ml waer van ongeveer 80 C. Plaas hierin een hermomeer en bepaal me flink roeren per minuu de emperauur T() o deze o ongeveer 30 C is gedaald. Mee ook de kameremperauur T k en noeer deze. Vul de eerse vier rijen van ondersaande abel in. s T ( C) Td T Tk ( C) T T n T n 1 TT d d d a. Maak een diagram van de emperauur T() als funcie van de ijd. b. Welk verband besaa er ussen he emperauurverschil me de omgeving en de ijd? Leg ui waarom je de conclusie kun rekken da er geen omgekeerd evenredig of lineair verband e vinden is. c. Bereken op eenzelfde manier als bij he eerse experimen seeds de relaieve afname van he emperauurverschil per ijdsap van 60 s. Gebruik daarvoor de laase rij van de abel. d. Kun je nu aangeven me welke formule je op elk ijdsip he emperauurverschil me de omgeving kun uirekenen? 29 Kopje hee revisied Een kopje hee heef, ne ingeschonken, een emperauur van 80 C. Na 100 s is de emperauur gedaald o 64 C, erwijl de kameremperauur 20 C bedraag. a. Maak een voorspelling van de emperauur van de hee na 200 s, na 300 s en na 600 s. b. Vergelijk je voorspelling me je klasgenoen. Bij de processen in de wee experimenen merk je da ze ies gemeen hebben: Bij da soor processen kun je ook over een groeifacor praen, je vermenigvuldig de de verandering van de grooheid is evenredig me de grooheid zelf! SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 20
grooheid elke keer me een consan geal. Bij een groeifacor kleiner dan 1 word de verandering seeds kleiner naarmae de grooheid zelf kleiner word, erwijl een groeifacor groer dan 1 ervoor zorg da de aangroei seeds groer word! Di exponenieel gedrag van nauurweenschappelijke processen onsaa door de verbanden ussen de grooheden van die processen. Er zijn dus dieper liggende oorzaken. Gelijksoorige oorzaken geven dan ook gelijksoorige verbanden. Kun je proefondervindelijk een verband ussen wee grooheden bepalen, dan kun je dus ook al een vermoeden hebben van wa er acher da verband zi. Door een suk gekleurd glas e gebruiken, blokkeer je blijkbaar voor een percenage van he lich de doorgang. Nog zo n suk glas haal gewoon hezelfde percenage weg van he overgebleven lich. Eenzelfde oorzaak vind je bij he egenhouden van ioniserende sraling door bijvoorbeeld lood. Da houd per cm ook een bepaald percenage sraling egen. Wa doorgaa per dikesap hang dus af van wa aangeboden word aan he begin. Voor de hee geld blijkbaar da de afgegeven warmesroom aan de omgeving en daarmee de verandering van emperauur per ijdseenheid afhang van he emperauurverschil van de hee me de omgeving. Experimen Experimen 3. He vallende koord van een karol Onder aan virage hang wel eens een zwaar koord, gemaak van loodkorrels in een soffen buis, flexibel maar och zwaar. De virage hang me koord mooi in plooien. Zo n koord kan goed gebruik worden om een versnelde beweging me een karol e maken. Die gaan we bekijken. De karol heef een lichsensor die de beweging van de karol bepaal en zo zorg da Coach een s,-diagram van he vallende koord maak. Een loodkoord van 2,0 m is om een karol geslagen. Beide einden hangen bijna even ver naar beneden: links 1,01 m en rechs 0,99 m. Hierdoor zi links wa meer massa dan rechs en word he koord links wa meer naar beneden gerokken. He koord gaa hierdoor seeds sneller van de karol afglijden. Mee me coach de beweging van he koord op om e analyseren. Hiernaas is als voorbeeld een grafiek van de lenge links egen de ijd da he koord van de karol rol uigeze. (Deze meing is ook beschikbaar in he coach6- projec, voor als je zelf geen meing heb kunnen doen) Bewaar de meing. Bekijk de abel van de meing. a. Wanneer is links 30% groer geworden? b. Bepaal de groeifacor per 1,0 s. c. Leg ui da de procenuele verandering gelijk blijf. d. Waarom neem de snelheid nu exponenieel oe? Leg ui wa de oorzaak van de snelheidsverandering is en hoe da van de sand van he koord afhang. 4. He vervagen van geluid Op de volgende bladzijde zie je de resulaen van een experimen weergegeven in een diagram. He gaa om een meing van he geluid van een klap bij een lange buis van 2,6 m. Een microfoon aan één kan van de buis mee de geluidserke erwijl aan de andere kan een klap is gegeven (zie de schemaische opselling hiernaas). In he diagram zie je de ik van de klap seeds opnieuw erug als een sevige ik omlaag. De klap kaas heen en weer bij de uieinden en de microfoon regisreer seeds als de klap langs kom.bij he erugkaasen gaa een deel van de geluidsenergie de buis ui en een deel kaas erug. SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 21
pieknr ijd Piek hooge groeifacor s V 0 0,003-1,007 1 0,017-0,756 0,75 2 0,033-0,615 0,81 3 0,048-0,545 0,89 4 0,062-0,560 1,03 5 0,077-0,435 0,78 6 0,092-0,364 0,84 7 0,107-0,372 1,02 8 0,122-0,348 0,94 9 0,137-0,286 0,82 10 0,151-0,231 0,81 We willen ween hoe he zi me he percenage geluid da over is en opziche van he aanal keren weerkaasen. Daarmee kun je aangeven wa er bij he erugkaasen gebeur. a. Bepaal de hooge van elke piek die de microfoon regisreer. Neem hierbij de onderse pieken. Hiernaas zie je de eerse 10 pieken in een abel. b. Maak hiervan een diagram. c. Kijkend naar de berekende groeifacoren per (nie vase!) ijdsap lijk ook hier sprake van een exponenieel verband. Geef daarvoor argumenen. Voor he geval van een exponenieel verband zal de formule ies zijn van n h h0 g me h0 de piekhooge van piek nul en g de groeifacor. d. Vind een goede benadering voor deze formule (dus vind de waarden van h 0 en g). De vier experimenen van deze paragraaf hebben allemaal ies gemeen. Kennelijk geld bij elk van deze vier gevallen da de verandering van een grooheid (emperauurverschil, lichinensiei, lengeverschil links-rechs en geluidsserke) evenredig is me de nog aanwezige waarde van de grooheid. In de volgende paragraaf gaan we di verschijnsel bekijken vanui een wiskundig sandpun. En dan zal blijken da er gebruik kan worden gemaak van resulaen ui vorige paragrafen. SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 22
Exponeniële verbanden 6 Wiskundige modellen Me funcies en verbanden kun je proberen va e krijgen op wiskunde maar ook op processen in de nauurweenschappen. In deze paragraaf komen resulaen van vorige paragrafen bij elkaar in he kader van nauurweenschappelijke modellen. Paragraafvraag Wa zijn de wiskundige basisprincipes acher sommige nauurweenschappelijke modellen? Insap Allemaal anders en och in zekere zin gelijk Er zijn veel verschillende nauurweenschappelijke fenomenen die zich laen beschrijven als verandering in de ijd. Hier komen vier voorbeelden: Onlading. Bij he onladen van een condensaor geld da de snelheid waarmee de onlading plaasvind evenredig is me de hoeveelheid nog aanwezige lading Q. Afkoeling. Thee in een kopje koel af als je he laa saan. Er geld: de hoeveelheid warme die per seconde word afgesaan aan de omgeving is evenredig me he emperauurverschil ussen de koffie emperauur T en de omgevingsemperauur T o of T k (me de k van kameremperauur). Populaiedynamica. De populaiegroei van een baceriënkolonie is evenredig me de grooe van de populaie P. Osmose. Als wee oplossingen me verschillende concenraies gescheiden zijn door een semi-permeabele wand, dan zal er vloeisof van he deel me de hoge concenraies sromen naar he andere deel. Hoe hoger he concenraieverschil C ussen de wee delen, hoe sneller he sromen. a. Probeer de vier verschijnselen in formulevorm weer e geven. b. In welke zin lijken de vier fenomenen op elkaar? Soms is er geen sprake van verandering in de ijd, maar verandering van plaas. Zoals bij: Lichserke. Afhankelijk van de mae van roebelheid van waer, neem de lichserke serk of ies minder serk af. Globaal gesproken neem de lichserke per meer diepe af me 75 %. Absorpie. Elke cenimeer dike van een bepaalde sof absorbeer een vas deel van de inensiei I van he invallende lich, of van geluid of van röngensraling. c. Beschrijf deze verschijnselen ook me een formule. Als de ijd een rol speel, zijn veel veranderingsprocessen e schrijven in de vorm dn dn c( N () A) of c(a N ()) d d waarin de ijd, c een consane die samenhang me de specifieke siuaie, A een grenshoeveelheid en N de hoeveelheid of de concenraie voorsellen. Gaa he om processen waarbij de afsand een rol speel, dan kun je overal de vervangen door een x. SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 23
30 Op de koffie komen. Een kop koffie heef een emperauur van 90 C op ijdsip = 0. De consane heef een waarde 0,0024. De omgevingsemperauur is 20 C. Dus he afkoelingsproces kan worden beschreven me dt 0,0024 ( ( ) 20) d T a. Verklaar he eerse min-eken in de gegeven vergelijking. De verandering van de emperauur word weergegeven door d T. Maar die d verandering is gelijk aan de verandering van he emperauurverschil ussen T() en dt d( T 20) de omgevingsemperauur van 20 C. Dus geld:. d d b. Waarom is da correc? Noem he emperauurverschil TV, dus TV() = T() 20. Daarmee kun je de eerse vergelijking herschrijven o d TV 0,0024 TV ( ) d c. De funcie TV() = e -0,0024 voldoe hier aan. Verklaar da. d. Uigaande van de funcie TV kun je nu ook de funcie T() vinden. Geef die funcie. 31 Een onderzoek van Galileï Galileï is bekend vanwege zijn uispraak da de aarde beweeg en nie de zon (zoals oen de mening was), waarvoor hij in de pauselijke ban werd gedaan. Hij heef zich ook beziggehouden me valbewegingen. Hij was de eerse die aanoonde da de valsnelheid nie word beïnvloed door de massa van een voorwerp. Voor de valsnelheid had hij wee mogelijke hypohesen: 1. De valsnelheid is evenredig me de valweg 2. de valsnelheid is evenredig me de valijd Galileo Galileï 1564-1642 begrensde groei: dn c (A N) d a. Schrijf beide hypohesen me behulp van een wiskundige vergelijking. b. Welke funcie voor de valweg en de ijd volg ui hypohese 1? c. En welke funcie krijg je als hypohese 2 volg? d. Welke van de wee hypohesen is de juise? Er zijn ook processen waarbij nie de aanwezige hoeveelheid de snelheid van he proces bepaal, maar de capaciei ofwel de maximaal mogelijke hoeveelheid de snelheid van verandering regel. In zo'n geval werk de hoeveelheid die er al is in zekere zin remmend, immers hoe meer er is, hoe kleiner de nog beschikbare 'ruime' is. Di verschijnsel word wel begrensde groei genoemd. 32 Een culuur van E.coli baceriën De bovengrens voor een bacerie culuur is 6 10 10 cellen. He aanal cellen op een bepaald ijdsip geven we aan me N (). De groeisnelheid van de culuur is evenredig me de nog beschikbare ruime; de evenredigheidsconsane is 4 10-3 (cellen per seconde). De ijd word gemeen in seconden. Neem aan da de beginhoeveelheid N(0) gelijk is aan 3 10 7. a. Beschrijf di proces me een wiskundige vergelijking. b. Beschrijf N als funcie van de ijd en sches de grafiek. c. Op welk ijdsip is de groeisnelheid van deze culuur gelijk aan 10 cellen per uur? SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 24
Exponeniële verbanden 7 De afgeleide van een logarime In deze paragraaf word de afgeleide van een logarimische funcie afgeleid ui de al bekende afgeleide van een exponeniële funcie. Paragraafvraag Hoe zie de afgeleide van een logarimische funcie er ui? Insap Vergelijk f(x) = 2 x en g(x) = 2 log x 4 3 2 1-4 -3-2 -1 1 2 3 4-1 -2-3 -4 Hiernaas zijn de grafieken van beide funcies geekend. Omda de schaal langs de x- as gelijk is gekozen aan de schaal langs de y-as, kun je me di plaaje goed conroleren da deze wee funcies elkaars inverse zijn. a. Hoe kun je da conroleren? b. Noem van beide funcies he domein en he bereik. Bekijk de seilheid (helling) van de grafiek van f in he pun (1, 2). c. Scha de helling in di pun. d. Je kun deze helling ook exac berekenen. Doen! e. De grafiek van g gaa door he pun (2, 1). Scha voor da pun de helling van de grafiek. Kun je die ook exac berekenen? Waarom wel/nie? We gaan nu gerich op zoek naar de afgeleide van de logarimische funcie g(x) = g log x. Daarvoor gebruiken we zijn inverse funcie f(x) = g x, wan daarvan kennen we de afgeleide: f '(x) = ln(g) g x He lig voor de hand om me de makkelijkse exponeniële funcie e beginnen: f(x) = e x. Daarvan is immers de afgeleide weer gewoon de funcie zelf. In één figuur zijn de grafieken van f(x) = e x en g(x) = ln x geekend en de raaklijn in (1, e) aan de grafiek van f en in (e, 1) aan de grafiek van g. 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 He lijk er op da de raaklijnen beide door de oorsprong gaan. Voor de funcie f(x) = e x kun je zelf conroleren of di waar is door de vergelijking van de raaklijn e bepalen. SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 25
33 Conroleer me de vergelijking van de raaklijn da deze inderdaad door de oorsprong gaa. 34 Hoewel je nog nie de afgeleide van een logarimische funcie ken, kun je och de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van g vinden, omda deze raaklijn he spiegelbeeld is van de raaklijn aan de grafiek van f bij spiegeling in de lijn y = x. Wa is kennelijk de waarde van de afgeleide van g(x) voor x = e? Nie alle raaklijnen aan de grafiek van f(x) = e x gaan door de oorsprong. He principe van de spiegeling in de lijn y = x is wel alijd geldig. Daarmee kun je de helling van de grafiek van g(x) = ln x dus voor ieder pun afleiden ui de helling in he daarmee corresponderende pun van de grafiek van f. 35 Bereken de helling van de grafiek van g in de punen (1, 0), (e 2, 2) en (2, ln 2) door eers bij de grafiek van f de helling ui e rekenen in de punen (0, 1), (2, e 2 ) en (ln2, 2). Enig idee wa de afgeleide funcie is van g(x) = ln x? He vermoeden da je waarschijnlijk heb, namelijk g'(x) = x 1, kan me behulp van algebra worden bewezen. Bekijk daaroe he pun (a, b) op de grafiek van f en he daarmee corresponderende pun (b, a) op de grafiek van g 5 4 (a, b) 3 2 1 (b, a) 1 2 3 4 5 Voor he pun (a, b) op de grafiek van f geld: b = e a en de helling van de grafiek in da pun is e a Voor he pun (b, a) op de grafiek van g geld: 1 a = ln b en de helling van de grafiek in da pun is e a 1 Dus kan worden geseld: g'(b) = e a Probleem daarbij is echer da je graag de afgeleide wil uidrukken in de x- coördinaa van he bereffende pun en da is in di geval dus b en nie a! Me behulp van een ander gegeven, namelijk a = ln b, is da wel e verhelpen: g'(b) = 1 1 1 a lnb e e b Hiermee is dus aangeoond da voor iedere oegesane x (dus voor alle x > 0) geld: SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 26
de afgeleide funcie van g(x) = ln x is g'(x) = x 1 g log x = ln x ln g Di resulaa voor de nauurlijke logarime kan worden gebruik voor logarimen me een ander grondal. Zoals je wee kan de logarime van ieder oegesaan grondal g (g > o en g 1) worden omgeze naar een ander grondal, bijvoorbeeld naar grondal e: g log x = ln x ln g 36 Bepaal de afgeleide van de funcies f(x) = 2 log x en g(x) = 3 log x 37 Bepaal de afgeleide van de funcie g(x) = g log x 38 Transformaies op logarimische funcies De grafieken van de funcies f 1 (x) = ln(x + 3), f 2 (x) = 2 ln(x), f 3 (x) = -3 + ln(x) en f 4 (x) = ln(3x) kunnen worden gevonden vanui de grafiek van f(x) = ln x me behulp van seeds een andere meekundige ransformaie. a. Noem voor elk van de vier funcies welke ransformaie nodig is. b. Beredeneer wa de invloed van die ransformaie is op de afgeleide van de funcie die he resulaa is van die ransformaie. c. Bepaal van f 1, f 2 en f 3 de afgeleide funcie. d. f 4 (x) = ln (3x) is een beeje een geval apar. Gebruik de GR om (me nderiv) de afgeleide e laen ekenen van f(x) = ln x en ook van f 4 (x) = ln (3x). Hoe kun je wa je zie verklaren? SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 27
Exponeniële verbanden 8 Weenswaardigheden rond he magische geal e In deze paragraaf vind je opdrachen rond he magische geal e. Paragraafvraag Wa maak e zo bijzonder? Een van de mees belangrijke eigenschappen van he geal e hebben we al leren kennen. He is he enige grondal voor exponeniële funcies waarvoor geld da de afgeleide funcie gelijk is aan de funcie zelf. Serker nog f(x) = e x is ech de enige funcie die zichzelf als afgeleide heef. Daarom is he differeniëren en inegreren me een e-mach zo handig. Een benadering van di geal (le wel: er is geen exace waarde van he geal bekend, ne zo min als voor he geal π en voor 2) in 35 decimalen: e 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 Maar (misschien wil je di wel ween) hoe kom men o zo n benadering in een willekeurig aanal decimalen? Daarvoor zijn verschillende mehoden bruikbaar. We bespreken er hier wee: 1. een coninue reneberekening 2. een benadering van e x me behulp van een oneindig doorlopende veelerm; de zogenaamde Taylor-reeks 1. Rene op rene bij een ficieve bank Sel je voor: een bank die jouw bankrekening elk jaar 100% rene geef op he gespaarde bedrag. Da is nauurlijk een buienkans die je nie laa lopen! Maar de bank is nog vriendelijker dan je dach: op jouw voorsel om per half jaar 50% rene e geven zeggen ze direc ja 39 Neem even aan da je 100,- op deze bank ze op 1 januari. a. Hoeveel heb je dan aan he eind van he jaar als de rene maar één keer per jaar word oegekend? b. En hoeveel heb je aan he eind van he eerse jaar als je (geaccepeerd door de bank) de rene in wee halve jaren laa berekenen? Neem aan da de bank accepeer da de 100% rene mooi gelijkmaig word verdeeld over de 365 dagen van he jaar, zoda je per dag 100 % rene krijg. 365 c. Hoeveel heb je dan op de bank saan na 1 jaar? d. Laa zien da de rene over een heel jaar, als er 100% rene per jaar word gegeven, bij gelijkmaige verdeling over 365 dagen neerkom op: (1 1 365 ) 2,714567 keer he inlegbedrag. 365 SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 28
40 He word nog erger voor de bank (of leuker voor jou!) De bank gaa zelfs akkoord me he idee da jouw banksaldo per seconde groei. Dus de 100% per jaar word, wa de bank beref, coninu verhoogd door de 100% rene per jaar e berekenen alsof je da elk momen kun laen berekenen. a. Waarom geef de volgende formule, me n he aanal perioden waarin je he jaar kun verdelen, de manier waarmee je he bedrag op de bank aan he eind van he jaar kun berekenen? 1 n n n bedrag 1 inleg He deel 1 1 bepaal hoeveel meer je aan he eind van he jaar heb dan n aan he begin van he jaar. b. Onderzoek me de GR wa di oplever als je n naar oneindig laa gaan. Tip: gebruik de funcie-opie Y1 = (1 + 1/X)^X me (in WINDOW) X van 0 o 100 000 en Y van 0 o 3. c. Is er een grenswaarde voor Y? Welke is die dan He limiebedrag da je op deze manier per jaar kun krijgen bij een bank me deze vriendelijke voorwaarden is 1 n n n lim 1 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249, of me nog meer decimalen als je da wil, keer he bedrag da je heb ingelegd. d. Onderzoek of je me de GR di grensbedrag kun vinden. 2. Een benadering van e x me behulp van veelermen Wikipedia geef de volgende informaie over funcies die e benaderen zijn me een oneindig doorlopende somrij van geallen: Een aylorreeks of ayloronwikkeling is in de wiskunde, speciaal in de analyse, de voorselling of benadering van een funcie als een machreeks me coëfficiënen die op een facor na de verschillende orden afgeleiden van de funcie in een bepaald pun zijn. De reeks is genoemd naar de Brise wiskundige Brook Taylor. In he bijzonder is de aylorreeks van een funcie f die in een inerval x - x 0 < r oneindig vaak differenieerbaar is, de machreeks: Da klink nogal indrukwekkend! Maar laen we eens sapsgewijs bekijken hoe di werk voor de funcie f(x) = e x 1. De opmerking oneindig vaak differenieerbaar is voor f(x) = e x makkelijk: seeds geld: f '(x) = e x, dus f (n) (x) = e x. De noaie f (n) saa voor de n-de afgeleide van de funcie f, dus f (1) (x) = f '(x), f (2) (x) = f ''(x), enzovoors. SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 29
2. Gebruik x 0 = 0, dus f (n) (x 0 ) = e 0 = 1 Dan is de moeilijk-ogende formule de wa meer vriendelijke formule: ( n f ) x0 n 0 n! x 1 n 0 n! e ( x) ( ) ( x x ) n 0 n al gereduceerd o De Taylorreeks voor de funcie f(x) = e x is dus volgens bovensaande formule: x x x x x x e 1 x... n! 2! 3! 4! 5! n 0 n 2 3 4 5 De noaie n! beeken he produc van de geallen 1 /m n, dus 2! = 1 2 = 2, 3! = 1 2 3 = 6, 4! = 1 2 3 4 = 24, enzovoors. 41 Tekenen en rekenen me Taylor Me behulp van de GR kun je mooi onderzoeken hoe de grafiek van f(x) = e x rond he pun (0, 1) seeds beer word benaderd door he oevoegen van seeds meer ermen van de reeks. a. Teken me de GR de grafieken van f(x) = e x en y = 1 + x. b. Toon aan da de reche lijn de raaklijn is aan de grafiek van f in he pun (0, 1). c. Teken nu me de GR de grafieken van f(x) = e x 2 x en y 1 x 2! d. Onderzoek me de GR voor welke waarden van x he vericale verschil ussen de wee grafieken minder dan 0,1 is. De oevoeging van exra ermen van hogere graad ui de Taylor-reeks word vaak aangeduid me n-de graads benadering. Zo is in a. sprake van de eersegraads benadering en bij c. van de weedegraads benadering. Herhaal vraag d. voor de derdegraads-, vierdegraads- en vijfdegraads benadering van e x. De eersegraads benadering van een kromme in een gegeven pun noemen we de raaklijn. Voor de eersegraads benadering g(x) = ax + b van f(x) = e x in he pun (0, 1) hebben we wee eisen: (i) f(0) = g(0) beide grafieken gaan door hezelfde pun (ii) f '(0) = g '(0) beide grafieken hebben daar dezelfde helling 42 Toon aan da deze wee eisen leiden o b = 1 en a = 1 Zo zou je de weedegraads benadering van een kromme in een pun de 'raakparabool' kunnen noemen. Voor de weedegraads benadering g(x) = ax 2 + bx + c van f(x) = e x in he pun (0, 1) word een exra eis oegevoegd: (i) f(0) = g(0) beide grafieken gaan door hezelfde pun (ii) f '(0) = g '(0) beide grafieken hebben daar dezelfde helling (iii) f ''(0) = g ''(0) de verandering van de helling in da pun is gelijk 43 Toon aan (me algebra) da deze drie eisen leiden o c = 1, b = 1 en a = 1 2 44 Formuleer nu zelf de eisen die aan een derdegraads benadering kunnen worden geseld. Bepaal deze derdegraads benadering van f (x) = e x. SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 30
Op een dergelijk manier kwam Taylor aan zijn (oneindig doorlopende) n-de graads benadering van een willekeurige funcie: Als een funcie f n maal differenieerbaar is, dan geld voor de n-de graadsfuncie g (die ook wel n-de orde benadering van f genoemd word) in x = a: g (n) (a) = f (n) (a) voor n = 0, 1, 2,..., n Hierboven heb je even geproefd aan de manier waarop de Taylor-reeks voor e x kan worden geconsrueerd. Er is ook nog een eenvoudige manier om e conroleren da de machreeks n 2 3 4 5 x x x x x x e 1 x... n 0 n! 2! 3! 4! 5! Wel moe kloppen. Je wee immers da de funcie f(x) = e x zichzelf als afgeleide heef. 45 Gebruik deze eigenschap om aan e onen da de machreeks klop. Pas op! He volgende is alleen voor eche liefhebbers! Er zijn nog wee funcies waarvan de achereenvolgende afgeleiden makkelijk zijn e bepalen: sin x en cos x. De Taylor-reeksen die bij deze funcies horen zijn rond (0, 0) x 3 x 5 x 7 x 9 x 11 sin x x... 3! 5! 7! 9! 11! en rond (0, 1): x 2 x 4 x 6 x 8 x 10 cos x 1... 2! 4! 6! 8! 10! Gebruik je kennis van sin en cos om bijzonderheden van deze wee machreeksen e onderzoeken. (Denk bijvoorbeeld aan d sin x cos x) dx SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 31
Exponeniële verbanden 9 Toevallig? He uieenvallen van een aoomkern is een oevalsproces. Is he nie merkwaardig da een oevalsproces leid o een voor een sof vase grooheid als halveringsijd? Paragraafvraag Hoe kun je me oeval een groeifacor krijgen? Experimen Dobbelen Iedereen in de klas heef een dobbelseen. Er word afgesproken da iemand die 2 gooi af is en nie meer meedoe. He aanal mensen da nog meedoe word aan he begin en na elke keer gooien genoeerd. Ga hiermee door o er nog maar een paar mensen over zijn. Doe hezelfde experimen nog vijf keer en middel dan de gevonden waarden. Ze deze in een diagram ui. Bepaal de groeifacor per keer gooien. Is deze consan? Iedereen wee da de kans om een wee e gooien éénzesde is. Da beeken nog nie da je bij elke zes keer gooien een wee gooi. Bij elke worp bepaal he oeval of je een wee gooi of nie, je kan dus bes drie keer acher elkaar een wee gooien of helemaal nie. Bij heel veel keer gooien blijk echer da je ongeveer in éénzesde van he aanal worpen wel een wee gooi. Door heel veel mensen een dobbelseen e laen gooien blijk ook da elke kan van de dobbelseen dezelfde kans heef om boven e komen en word elk geal (ongeveer) even vaak gegooid. 46 Dobbelen en formules Uigaande van 100 leerlingen kun je proberen de waarschijnlijke uikoms van di experimen in een formule e gieen, zoda je voorspellingen kun doen. a. Hoe zie die formule erui? b. Wa is de groeifacor in die formule? c. Hoeveel leerlingen verwach je nog da er over zijn na vier keer gooien? 47 Kop of mun 1000 mensen gooien een mun op en kijken of ze kop of mun gooien. Wie mun gooi val af. a. Hoeveel mensen verwach je da er de eerse keer kop gooien? b. Hoeveel mensen zijn er (waarschijnlijk) nog over na drie keer gooien? c. Na hoeveel keer gooien mag je verwachen da er nog ongeveer 10 mensen over zijn? d. Ze in een formule hoe je kun berekenen hoeveel mensen er (gemiddeld) nog over blijven na een gegeven aanal keer gooien e. Hoe groo is nu de groeifacor per keer? 48 Twinigvlak Behalve een dobbelseen heb je ook andere vormen, zoals een winigvlak. Laa 2000 mensen nu eens seeds me zo n veelvlak gooien. Wie 14 gooi is af en doe nie meer mee. a. Ze in een formule neer hoeveel mensen er na een aanal keer nog overblijven (gemiddeld genomen). b. Hoeveel mensen verwach je over e houden na ien keer gooien? SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 32
c. Hoe groo is de groeifacor? 49 De schuimkraag Bierschuim besaa ui een groe hoeveelheid bellejes die ongeveer oevallig kapo klappen me een bepaalde kans da een bel in een seconde knap. Hierdoor val de schuimkraag langzaam in elkaar en word deze seeds kleiner. a. Leg ui wa voor soor formule je verwach voor de hooge van de schuimkraag. b. Als een schuimkraag van 6,0 cm na 90 s nog maar 4,0 cm hoog is, hoe groo is dan de groeifacor per 60 s? Toevallig? bij een proces da me een vase kans verloop, is de grooe van de verandering evenredig me de grooe van de veranderende grooheid. Bij he bierschuim kun je van een enkel belleje nie zeggen wanneer he knap, omda elk belleje per seconde dezelfde kans heef, kun je wel ies zeggen over wanneer je verwach da de helf geknap is en van de schuimkraag dus nog de helf over. Bij radioacief verval kun je van een enkel aoom nie zeggen wanneer he verval. Een sof is wel meer of minder sabiel, je kun dus wel ies zeggen over de kans da een aoom verval. Kijken we naar bijvoorbeeld koolsof-14 ( 14 C ), dan ween we da na 5730 jr de helf van de 14 C aomen vervallen is. Bij een mun is de kans da je kop of mun gooi 0,5. Da beeken da je, als je me veel munen gooi, de helf me kop zul hebben en de helf me mun. Doorda bij een weede keer gooien of na opnieuw 5730 jr opnieuw de helf van wa aanwezig is verval of afval, is de groei of afname evenredig me de hoeveelheid. Di is dus hezelfde als bij he afkoelen van een kopje koffie, waarbij de emperauurdaling evenredig was me he emperauurverschil! Die eigenschap zorg dus voor he exponeniele verloop. Voor een 14 C aoom beeken da, da de kans da een aoom in 5730 jr verval ook 0,5 is. Over een enkel aoom kun je nies zeggen, voor veel aomen beeken he, da he verval zich ne zo gedraag als de voorbeelden hierboven. Fysici zeggen da de halveringsijd van 14 C 5730 jr is. Wiskundigen zeggen da de groeifacor per 5730 jr van 14 C 0,5 is. 50 14 C heef dus een halveringsijd van 5730 jr. a. Geef di in een formule weer, uigaande van een beginhoeveelheid N 0. b. Hoeveel is er nog over van de beginhoeveelheid na 1,0 jr? c. Hoe groo is de groeifacor per jaar? d. Noeer nogmaals he verband ussen beginhoeveelheid en verlopen ijd, maar nu me de groeifacor per jaar. 51 Van een radioacieve sof is na 20 minuen nog 80% over. a. Geef he gedrag van de sof in een formule weer. b. Bepaal de groeifacor per minuu. c. Hoe groo is de halveringsijd? d. Als je na enige ijd nog de helf over heb, hoe groo is dan op da momen de halveringsijd? Wa kun je zeggen over de aciviei van de sof, vergeleken me de aciviei aan he begin? e. Je heb op een gegeven momen nog de helf van de sof over. Hoeveel ijd laer heb je dan nog 40%? f. Hoe groo is de kans da een aoom van deze sof in 40 minuen verval? SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 33
Aciviei: he aanal ioniserende deeljes da een hoeveelheid sof elke seconde uizend en daarmee ook he aanal radioacieve aomen da per seconde verval naar een ander soor aoom 52 Hieronder zie je een diagram van de aciviei van Radon 220. He diagram is gemaak me een x,-schrijver die me een snelheid van 6 cm/minuu draaide. (Me behulp van experimen 2 van he ISP in Urech) a. Bepaal ui de grafiek de halveringsijd van de aciviei. b. Hoe zie je aan de grafiek da radioacief verval een saisisch proces is? c. Wa beeken da voor de nauwkeurigheid waarmee je de halveringsijd bepaald heb? d. Bepaal de groeifacor per minuu. e. Teken de grafiek die bij die groeifacor hoor. Klop die me de werkelijke grafiek? 53 Een bol me een massa van 1,0 kg van een radioacieve sof heef een aciviei van 800 Bq. a. Hoe groo is de aciviei van 0,5 kg sof als je de 1,0 kg in weeën deel? b. Als een aoom verval, word he een aoom van een andere sof. De aciviei geef dus ook aan hoeveel aomen elke seconde veranderen in een ander soor aoom en daarna (meesal) nie meer radioacief zijn. Als je lang genoeg wach, is er van de radioacieve sof nog 0,5 kg over. Hoe groo is dan de aciviei van de bol nog? c. Wa kun je dus zeggen over aciviei en hoeveelheid maeriaal? 54 Gooien me dobbelsenen en afvallen als je wee gooi. a. 120 mensen gooien me een dobbelseen. Hoeveel mensen gooien een 2 verwach je? En bij een volgende worp als je als je wee gegooid heb afval? b. 60 mensen gooien een dobbelseen. Hoeveel mensen gooien dan een wee verwach je? En bij de weede beur? c. En als er veerig mensen een dobbelseen gooien? d. Wa kun je bij he gooien zeggen over de groeifacor? Waar word de groeifacor door bepaald? e. Op wa voor manier zi de hoeveelheid mensen die een dobbelseen gooi in deze vragen verwerk? SaLVO! deel 13 Exponeniële funcies (vwo) 34