! Wiskunde Leerjaar - periode Ruimtemeetkunde oofdstuk - Kubus en balk - uitwerkingen. Kubus e kubus hiernaast hee0 een zijde van cm. ereken de oppervlakte van de gearceerde doorsnede. Via de stelling van ythagoras vind je de lengte van de gearceerde rechthoek: lengte = + = 88 7,0cm e breedte van de gearceerde rechthoek is gelijk aan de zijde van de kubus, dus cm. Oppervlakte = l b = 88 0,6cm N.. Let op dat je doorrekent met het onafgeronde tussenantwoord. 7 =0 cm is dus NIT goed.. Kubus e kubus. hiernaast hee0 een zijde van cm. unt ligt in het midden van en punt ligt in het midden van. ereken de oppervlakte van doorsnede. Via de stelling van ythagoras vind je de lengte van de doorsnede: = helft van = cm! lengte = + = 70 6,8cm e breedte van de doorsnede is gelijk aan de zijde van de kubus, dus cm. Oppervlakte = l b = 70 6,0cm N.. Let op dat je doorrekent met het onafgeronde tussenantwoord. 6,8 =6, cm is dus NIT goed.. Kubus Van de kubus. hiernaast wordt een stuk afgesneden. e kubus hee0 een zijde van 0 cm. e afstand is van de zijde. ereken oppervlakte én inhoud van het stuk dat wordt afgesneden. 07.J. Riksen!
Oppervlakte Teken of schets eerst de vlakken van het afgesneden deel : 0 IV, 0, 0 0 0 0 0 0 I II III 0, 0 V, = van de zijde; 0 = 8 cm = 0 8 = cm (en dus ook). = + 0 =,cm (en dus ook). Opp.I = 0 0 = 00,0 Opp.II = 0 = 0,0 Opp.III = 0 66, Opp.IV = 0 = 0,0 Opp.V = 0 = 0,0 Opp.totaal :.6, cm Mogelijkheid : = helft van balk met afm. 0 0; dus 0 0 =.00cm Mogelijkheid : prisma = opp.grondvl. hoogte; dus0 0 =.00cm 07.J. Riksen!
. Kubus e kubus. hiernaast hee0 een zijde van 8 cm. Verder zijn de volgende maten gegeven: R = 8 cm, = cm, S = 0 cm, S = 6 cm, = cm. ereken de oppervlakte van doorsnede S S R. ereken één voor één de vier zijden van dit vlak, steeds met de stelling van ythagoras. K We beginnen bij RS. it is de schuine zijde van driehoek RKS. R = K = 8 en S = 0. KS = RK = = 8 RS = + 8 =.8 7,7cm an nu R. it is de schuine zijde van driehoek LR. R = L = 8 en =. L = 6 R = 6 + 8 =.60 0,6cm RL = = 8 Vervolg ens. it is de schuine zijde van driehoek. =. = = + =.0 8,cm = Tenslotte S S. it is de schuine zijde van driehoek S S. S = 0 S = 8 S = 6 S = S S = 8 + =.88,8cm 07.J. Riksen!
Teken of schets nu het vlak RS S : R 7, S 0,6,8 S 8, T Met deze maten kun je nu T en TS berekenen. Let op! unt T is NIT hetzelfde als punt! unt T steekt als het ware uit 'onder ' de kubus. T = 7, 8, = 9, cm TS = 0,6,8 = 7,8 cm Oppervlakte RS S = Opp.!RS T Opp. S T = 7, 0,6 9, 7,8.87,0 cm N.. ls je het héél mooi wilt doen, moet je met de wortels rekenen; dan rond je niets af tussendoor en wordt je antwoord nog nauwkeuriger: Oppervlakte RS S = Opp.!RS T Opp. S T =.8.60 (.8.0) (.60.88).88, cm it lijkt misschien wat overdreven, maar je ziet dat het verschil toch ca. 8 cm is. Stel dat je dit aan het uitrekenen was voor een productiebedrijf waar 0.000 van deze plaatjes per jaar worden gemaakt. an hebben we het over 80.000 cm = 8 m aan materiaal. 07.J. Riksen!
. alk iernaast staat een balk afgebeeld, met de afmewngen cm. r wordt van twee kanten een stuk afgesneden, het stuk en het stuk. ereken oppervlakte en inhoud van het overgebleven deel. Oppervlakte Teken of schets eerst de vlakken van het overgebleven deel : I II III IV V T VI VII e schuine zijden van driehoeken II, III, IV en V zijn allemaal cm : +. at zijn dezelfde schuine zijden als in de driehoeken VI en VII, dus die zijn ook cm. kun je berekenen met de stelling van ythagoras : + = 8, cm Met hulplijn T vinden we tenslotte ook de hoogte van : h = 8 Want T is dehelft van, dus 8 en is de schuine zijde van T. ( ) = 0,, Opp.I = = 9,0 Opp.II t / m V = =,0 Opp.VI en VII = 8 0, = 8 0, 9, Opp.totaal :,cm Van de balk worden twee ' piramides' afgesneden. ereken de inhoud van zo' n piramide : inhoud = opp.grondvlak hoogte = ( ) = 6 cm. e oorspronkelijke balk had een inhoud van = 6 cm. e inhoud van het overgebleven deel is dus : 6 6 = cm. 07.J. Riksen!
6. alk iernaast staat een balk afgebeeld, met de afmewngen cm. r wordt één schuin stuk afgesneden, het stuk LMN. e afstand L = 0,6 cm. N is het midden van en M is het midden van. ereken oppervlakte en inhoud van het overgebleven deel. Oppervlakte Teken of schets eerst de vlakken van het overgebleven deel : I,, III II N N IV M,,, 0,6 L V VI 0,6 L, N VII M M L Opp.I = =,0 Opp.II = opp. = 0, = 7, Opp.III = opp. =,, =,0 Opp.IV = = 0,0 Opp.V = =,0 Opp.VI = opp. =, = 9,6 VII Opp.VII = ( opp. ) + ( opp. ) + ( opp. ) = (,) + ( ) + (,) =,0,6 Opp.totaal : 90,7 cm Van de balk wordt een ' piramide' afgesneden. ereken de inhoud van de piramide :! inhoud = opp.grondvlak hoogte = opp. hoogte =,, = cm. e oorspronkelijke balk had een inhoud van = 60 cm. e inhoud van het overgebleven deel is dus : 60 = 8 cm. 07.J. Riksen!6
! 7. alk iernaast staat een balk afgebeeld, met de afmewngen 6 cm. r wordt één schuin stuk afgesneden, zie a]eelding. ereken oppervlakte en inhoud van het overgebleven deel. Oppervlakte Teken of schets eerst de vlakken van het overgebleven deel : 0 6 6 I 0 IV II III V a= h b= c= 0 0 α VI We kunnen de oppervlaktes op de gewone manier uitrekenen (zie opdr., en 6), maar soms kun je met wat creativiteit andere oplossingen vinden Vorm I t / m V kun je samen zien als één rechthoek van 8 = 7 cm. I III II IV V Nu alleen nog parallellogram. Misschien weet je nog dat de oppervlakte van een parallellogram basis hoogte is. lleen, we weten hoogte h nog niet. We berekenen h op de volgende manier: erst berekenen we diagonaal met ythagoras, daar komt uit. Met de cosinusregel berekenen we hoek α en daarna berekenen we h via de sinus van hoek α : a = b + c b c cosα = ( ) + ( 0) 0 cosα = + 0 0 cosα 8 = 660 cosα 8 cosα = 0,9 α = 7,0 660 h = sinα,8 cm 07.J. Riksen!7
!! Oppervlakte parallellogram = basis hoogte! = 0,8, cm it tellen we op bij de rechthoek van 7 cm. Oppervlakte =,+ 7 = 9, cm Ook voor de inhoud passen we een slimme truc toe. Stel je voor dat we de overgebleven figuur kopiëren en ondersteboven op het origineel plaatsen. an krijgen we een balk van 7 = cm. et origineel is nu de helft van deze balk, dus =6 cm. 07.J. Riksen!8
!!! 8. alk iernaast staat een balk afgebeeld, met de afmewngen 6 6 cm. r worden twee schuine stukken afgesneden, zie a]eelding. ereken oppervlakte en inhoud van het overgebleven deel. Oppervlakte Teken of schets eerst de vlakken van het overgebleven deel. eze drie vlakken zitten allemaal twee keer in het trapezium : a=, 6 b=6 7 α= 7 β 7,, 6 e rechte vlakken zijn eenvoudig:! Opp. = 6 +, = 8 cm e vlieger is lastiger. e oppervlakte van een vlieger is:! iagonaal vinden we via ythagoras:! diagonaal = 6 + 6 = 7 We weten dat hoek α =, want diagonaal deelt het oorspronkelijke vierkant exact middendoor. Met de sinusregel kunnen we dan hoek β uitrekenen: a sinα = b sinβ, sin = 6 6 sin sinβ = 0,98 β = 70, sinβ, n nu kunnen we via de cosinus van hoek β het ontbrekende stukje van diagonaal uitrekenen: cosβ = cos70, = ontbr.stukje, iagonaal wordt daarmee:! 7 +,,7 n de oppervlakte van de vlieger dus:! ontbr.stukje =, cos70, =, e totale oppervlakte van het overgebleven deel:! 8 +, =,7 cm e inhoud berekenen we uitgaande van een trapezium, waarvan het grondvlak de vlieger is. Opp. = opp.grondvl hoogte =, = 97, cm diagonaal diagonaal diagonaal diagonaal = 7,7, cm 07.J. Riksen!9