DE AFWIKKELIG VA EE AFGEKOTTE KEGEL F. BRACKX VAKGROEP WISKUDIGE AALYSE UIVERSITEIT GET. PROBLEEMSTELLIG Beschouw de afgeknotte kegel die ontstaat door een rechte circulaire kegel te snijden met een vlak dat niet evenwijdig is met een beschrijvende van het kegeloppervlak; het bovenvlak is dan ellipsvormig. In [] werd gevraagd aan te tonen dat, voor zover ze bestaan, de buigpunten op de bovenrand van de afwikkeling van de afgeknotte kegelmantel, corresponderen met de raakpunten van het raaklijnenpaar aan de ellipsvormige bovenrand uit de orthogonale projectie van de kegeltop op het snijvlak.. ITUÏTIEVE BEADERIG We beschouwen het rechte circulaire kegeloppervlak Σ met top S en richtcirkel Γ, gesneden door het vlak σ, dat ondersteld is niet evenwijdig te zijn met een beschrijvende van Σ (zie fig. ). Een kenmerkende eigenschap van het kegeloppervlak Σ is dat langs de beschrijvende p het raakvlak ω p vast is, d.w.z. dat in elk punt van p het raakvlak aan Σ hetzelfde is, nl. het vlak bepaald door de beschrijvende p en de raaklijn t aan Γ in het steunpunt P van p op Γ. Afwikkeling van Σ, dit is het isometrisch afbeelden van Σ op een vlakstuk, wordt vaak aanschouwelijk voorgesteld als volgt: openknippen van de kegelmantel langs een beschrijvende gevolgd door ontvouwing van de mantel tot hij in een vlak gelegen is. Een andere voorstelling van dit afwikkelingsproces bestaat erin de afwikkeling te zien als een opeenvolging van infinitesimale contactafdrukken van Σ op een raakvlak, waarbij dit raakvlak rolt over Σ en stee een beschrijvende ermee gemeen heeft. Krommen op Σ zoals Γ en Γ, worden bij afwikkeling afgebeeld op krommen Γ en Γ waarbij de raaklijnen t in P aan Γ en t in P aan Γ afgebeeld worden op de respectieve raaklijnen t in P aan Γ en t in P aan Γ (zie fig. ). Stel dat een waarnemer in het raakvlak ω p, in de buurt van de top S, met dit raakvlak meebeweegt als de beschrijvende p het kegeloppervlak beschrijft. Deze waarnemer leeft dus in het vlak van afwikkeling en neemt de afgewikkelde kromme Γ en de raaklijn eraan t waar. De waarnemer krijgt als opdracht de onderlinge ligging van Γ en t te observeren. Langs een beschrijvende zoals SA vormt het raakvlak aan Σ een scherpe hoek met het snijvlak σ en zal, vanuit de top S gezien, Γ zich aan de kant van de waarnemer van t
bevinden. Langs een schrijvende zoals SB daarentegen, vormt het raakvlak aan Σ een stompe hoek met het snijvlak σ en bevindt Γ zich aan de overzijde van t. Op het ogenblik dat de positie van Γ t.o.v. t wisselt, treedt op Γ een buipunt op. Dit doet zich dus voor op het ogenblik dat het raakvlak aan Σ loodrecht staat op het snijvlak σ, waarbij Γ en t lokaal samenvallen. Als ω p loodrecht staat op σ, dan bevat ω p de loodlijn SL uit S op σ, en dus ook de raaklijn uit L aan Γ. Valt de orthogonale projectie L van de top S op σ buiten Γ, dan zijn er twee buigpunten op Γ ; valt L binnen Γ, dan zijn er geen buigpunten op Γ ; valt L op Γ, wat zich voordoet als σ loodrecht staat op een beschrijvende van Σ, dan vallen de beide buigpunten samen, waarbij het karakter van buigpunt verloren gaat aangezien Γ de raaklijn in L niet gaat doorsnijden. 3. EKELE ELEMETE UIT DE STUDIE VA VLAKKE KROMME Beschouw de gladde boog C gegeven door de parametervoorstelling r( s), < s < l, waarbij als parameter de booglengte s langs C is gekozen. In elk punt van C heeft de raaklijn aan C de richting van de vector dr T( s) =. De vector T ( s) heeft de oriëntatie van de zg. positieve raaklijn t waarbij de positieve zin op de raaklijn overeenstemt met deze zin op de boog C waarbij de booglengte toeneemt. De vector T ( s) is bovendien een eenheivector: T s T s " T ( ) = ( ) ( s) =, waaruit volgt, door afleiding naar s, dat dt T( s) " =. Dit betekent dat de vector dt, niet langer een eenheivector, loodrecht staat op T ( s) en dus gelegen is langs de normaal aan C in het beschouwde punt. oemen we ( s)de eenheivector die ontstaat door T ( s) te wentelen over een rechte hoek in tegenwijzerszin, waardoor de richting van de normaal bezit, dan geldt d r dt s s = = ( ). ( ) Hierbij is de functie, de zg. kromming, een maat voor de verandering van richting ( s ) van de raaklijn per eenheid van booglengte. Aangezien dt stee georiënteerd is naar de convexe kant van de boog toe, is de kromming positief als ( s) gelegen is aan de ( s) concave kant van de boog. In een punt van de boog C waar de kromming nul wordt en daarbij van teken verandert, verandert de draaiingszin van de raaklijn, gaat omklappen van de convexe
naar de concave kant van de boog (of omgekeerd), zal de boog de raaklijn doorsnijden, m.a.w. is er een buigpunt. De omgekeerde functie van de kromming, ( s ), heet de kromtestraal van C in het beschouwde punt. In elk punt van de boog C kan men de cirkel met middelpunt r ( s) + ( s) ( s) gelegen op de normaal aan de convexe kant van de boog, en straal ( s ) beschouwen. Dit is de zg. osculatiecirkel. In elk punt van C zijn r ( s), dr en d r gelijk voor de boog C en de osculatiecirkel. Als men doorsnijding van bogen een zg. contact van de eerste orde noemt, aanraking van bogen een zg. contact van de tweede orde, etc., dan hebben boog en osculatiecirkel een contact van orde ten minste drie. In een buigpunt is de kromming nul en de kromtestraal oneindig groot; de osculatiecirkel is er verworden tot een rechte, nl. de raaklijn die er een contact van orde ten minste drie met de boog heeft. Eerste voorbeeld Beschouw de cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal R: s r s R R R s ( ) = cos, sin, s R R < π. In elk punt heeft de raaklijn de richting van dr s s T( s) = = sin, cos R R die loodrecht staat op de voerstraal. Aldus is s s ( s) = cos, sin R R stee naar de convexe kant van de cirkel gericht, en is de kromming = ( s) R stee een positieve constante. In elk punt is de kromtestraal precies de straal R van de cirkel, zodat in elk punt de osculatiecirkel samenvalt met de cirkel zelf. Tweede voorbeeld (zie figuur 3) Beschouw de verkorte cycloïde r ( t) = [ t sin t, cos t], π < t < π. Het is duidelijk dat de parameter t niet de booglengte voorstelt, aangezien dr = [ cos t, sin t] dt geen eenheivector is. De eenheivector volgens de positieve raaklijn verkrijgen we dan door normering: 3
en, na rotatie over een rechte hoek, is dan: terwijl dt dt = = dt (5 4cos t) T( t) = [ cos t, sin t] 5 4 cos t ( t) = [ sin t, cos t], 5 4 cos t [sin t( cos t), 5cost cos t ]. De kromming wordt dus nul, met tekenverandering, voor t = ± π ; er zijn dus twee 3 buigpunten. Op de figuur is, naast de verkorte cycloïde, ook de kromme r ( t) + ( t) ( t) getekend (let op: dit is niet de evolute ); zo ontstaat in elk punt een beeld van de kromming in dit punt en daar waar beide bogen elkaar snijden is de kromming nul, een buigpunt dus. 4. BEWIJS VA DE LOKALISATIE VA DE BUIGPUTE OP DE AFWIKKE- LIG VA DE AFGEKOTTE KEGEL We beschikken over vier vlakke krommen (zie fig. en ): () de cirkel Γ gelegen in het grondvlak van de kegel, met parametervoorstelling r ( s ), s booglengte langs Γ ; () de ellips Γ gelegen in het snijvlak σ met parametervoorstelling r ( s), s booglengte langs Γ ; (3) de afgewikkelde kromme Γ van Γ met parametervoorstelling r ( s ); (4) de afgewikkelde kromme Γ van Γ met parametervoorstelling r ( s). Hierbij is het terecht dat langs Γ en Γ dezelfde parameter s, respectievelijk s, wordt genomen als langs Γ en Γ respectievelijk, vermits bij afwikkeling de (boog-)lengte behouden blijft. Door met elk punt P van Γ het steunpunt P van de beschrijvende SP op Γ te laten overeenstemmen, wordt tussen s en s een bijectie vastgelegd. Langs Γ geldt stee : r ( s) = ( λ( s)) OS+ λ ( s) r ( s) waarbij de functie λ( s ) een maat is voor de afstand tussen de kegeltop S en het beschouwde punt op Γ ; hierbij staat r ( s ) voor de samengestelde functie r ( s ( s)). Deze 4
functie λ( s ) kan bepaald wordt (als functie van de afmetingen van de afgeknotte kegel) door uit te drukken dat Γ inderdaad in het snijvlak σ is gelegen. De expliciete uitdrukking van λ( s ) speelt echter geen rol in het verder verloop van het bewijs. Door tweemaal naar de parameter s af te leiden komt er : ( ) λ" λ" λ' λ λ ( s) s r T d s = OS + + + T + waarbij en de kromming langs Γ en Γ respectievelijk voorstellen. u is Γ een cirkel met straal zodat r = en dus = u + α( s) T waarbij gesteld is : en u = λ " OS+ λ " r r λ α( s) λ' ( s) d s = + λ. Het is duidelijk dat T orthogonaal is met r en met OS, dus met u, zodat bovenstaande betrekking de ontbinding is van volgens twee orthogonale componenten. Langs de afgewikkelde kromme Γ geldt stee : r ( s) = λ ( s) r ( s), en dit gelet op het behoud van lengte en dus van de afstand SP = S P ; hier ook staat r ( s) voor de samengestelde functie r ( s ( s)). Stellen en de krommingen langs de respectieve bogen Γ en Γ voor, dan levert tweemaal afleiden naar de parameter s : u is λ r λ λ λ T d s = + + T + " '. r = r r 5
constant, nl. het kwadraat van het apothema van de kegel, zodat stee T r =. De raaklijn aan Γ staat dus stee loodrecht op de voerstraal, de normaal ligt dan langs de voerstraal, en aldus is gekend fenomeen uiteraard Γ een cirkelboog met straal gelijk aan het apothema van de kegel. Alzo is en ook waarbij gesteld is v r = = v + α( s) T = λ" λ Deze betrekking stelt dus de ontbinding voor van componenten langs de voerstraal en langs de raaklijn. Stel nu dat het punt Q, bepaald door r de kromming nul en dus ook ( s*) ( s*) r. volgens de orthogonale ( s*), een buigpunt van Γ is. Dan is in dit punt ( s*) =. Dit brengt mee dat α( s *) =, zodat ook ( s*) ( s*) = u ( s*) gelegen is in het vlak bepaald door OS en r ( s *), vlak dat loodrecht staat op T ( s *); hierbij is s * = s ( s*) gesteld. Maar ( s ) staat stee loodrecht op T( s), zodat ( s*) ( loodrecht staat op het vlak bepaald door T s *) en T( s*), dit is het raakvlak aan Σ in Q. u ligt ( s *) in het snijvlak σ, zodat aldus σ loodrecht staat op het raakvlak aan Σ in Q. Omgekeerd, onderstel dat in Q, bepaald door r ( s*), het raakvlak aan het kegeloppervlak Σ loodrecht staat op het snijvlak σ. De eenheivector T ( s *) heeft de richting van de snijlijn van deze twee vlakken en staat loodrecht op ( s *). Zo zal ( s*) loodrecht staan op het bewuste raakvlak wat meebrengt dat zowel als = ( s *) SQ 6
Hieruit volgt dat en ook dat of of nog want Dit alles leidt tot : ( s*) T ( s *) =. α( s *) = u( s*) " SQ = λ"( *) λ s SQ ( s*) r ( s*) SQ = s* λ"( s*) λ( s*) = = r ( s *) SQ. ( s*) ( s*) = zodat het punt Q bepaald door r ( s*)mogelijks een buigpunt is, afhankelijk van de tekenomslag van in s = s *. s* 5. OPMERKIG De bovenstaande bewijsvoering, die geen gebruik maakt van de expliciete gedaante van de functie λ( s ), is ook toepasbaar op het geval waarbij Γ niet langer een vlakke kromme is, maar een ruimtekromme op het kegeloppervlak Σ gelegen. De rol gespeeld door het snijvlak σ wordt dan overgenomen door het vlak dat in elk punt van Γ, met parametervoorstelling r ( s), bepaald wordt door de richting dr van de raaklijn en de richting d r van de normaal aan Γ, d.i. het zg. osculatievlak aan Γ. Algemener nog geldt: de buigpunten op de afgewikkelde kromme Γ van de ruimtekromme Γ gelegen op het afwikkelbaar oppervlak Σ, corresponderen met de punten van Γ waar het osculatievlak aan Γ loodrecht staat op het raakvlak aan Σ. REFERETIE [] Van den Broeck L., De aap uit de mouw (deel ), Wiskunde en Onderwijs, 3 st jg, 977, pp 65-75. 7
8