Hoe groot is? Ik was laatst op een feestje in Nijmegen (nou ja het is alweer twee jaar geleden, maar als wiskundige kun je niet genoeg gelegenheden aangrijpen om te suggereren dat je regelmatige op feesten in Nijmegen komt) en daar sprak ik een jongen (ok ik geef toe: een natuurkundige, het moet niet meteen té hip worden natuurlijk) die mij vroeg of het waar was dat een van de heilige gralen van de wiskunde het vinden van een verzameling is die groter is dan, maar kleiner dan. Omdat iedereen op feestjes natuurlijk regelmatig vragen van het type Dat oneindig, hoeveel is dat nou eigenlijk moet beantwoorden, nu een speciale aflevering van Scoop vult de gaten in onze kennis over dit intrigerende onderwerp. Vincent van der Noort Getallen, wat zijn dat nou eigenlijk? Bijna iedereen die tijdens zijn leven met verschillende soorten getallen (positief, negatief, reeel, complex, geheel, gebroken, einding, oneindig) in aanraking is gekomen, heeft daarbij een mening ontwikkeld over welke getallen nou wel en welke niet echt bestaan. Ik zal mijn eigen mening hierover verder voor me houden, maar over een ding is iedereen het eens: de natuurlijke getallen (0, 1, 2, 3, ) bestaan echt en zullen dat altijd blijven doen (nou ja, behalve nul dan misschien). Er zijn grofweg drie manieren om tegen deze sympathieke wezentjes aan te kijken, als het gaat om de vraag wat deze getallen nou eigenlijk zijn: als aantallen (van iets), als dingen met een volgorde (zoals de nummers op een cd) of als dingen die gehoorzamen aan bepaalde rekenregels. Alle drie klinken ze zo opgesomd een beetje dom, en alledrie hebben ze zo hun eigen (onbewuste) aanhangers. Zolang we ons niet buiten de veilige wereld van de natuurlijke getallen wagen, maakt het niet veel uit hoe je tegen getallen aankijkt, de verschillen duiken pas op bij verschillende uitbreidingen van ons getallensysteem. Het zijn de mensen die geloven dat getallen een aantal zijn, die luidkeels beginnen te sputteren als je over negatieve getallen begint: minder dan niets, dat is natuurlijk onzin! De getallen-alsbetekenisloze-dingen-met-een-volgorde-mensen hebben echter nergens bezwaar tegen. Het stemt eigenlijk wel overeen met hun rechtvaardigheidsgevoel: waarom zou je naar een kant wel oneindig ver door mogen lopen, en houd het de andere kant op, op een volkomen willekeurig moment plotseling op? De rekenregel-fetisjisten tenslotte weten er wel een mouw aan te passen, wat leidt tot quasionbegrijpelijkheden als min keer min is plus. Hoewel het tegen getallen als dingen met rekenregels aankijken verreweg de meeste generalisaties mogelijk maakt (denk aan reële en complexe getallen, of aan matrices waarvan een minuscuul deel (diagonaalmatrices met steeds hetzelfde getal op de diagonaal) de natuurlijke (of reële of complexe) getallen op niet-van-echt-te-onderscheiden wijze nabootst), wilde ik deze manier van kijken hier verder buiten beschouwing laten. Een woord als oneindig heef in de rekenregelwereld namelijk nauwelijks betekenis. Interessanter is de vraag wat oneindig is, en wat voor verschillende soorten oneindig er zijn, wanneer je getallen als hoeveelheden respectievelijk dingen met een volgorde ziet. Mag het ietsje meer zijn? Als je een getal als aantal ziet, is het altijd een aantal van iets. En aangezien iets al gauw klinkt als iets uit de echte wereld, en wij wiskundigen daar nog altijd een beetje bang voor zijn, houden we dat iets het liefst zo vaag mogelijk en houden het op het aantal elementen van een verzameling. Algemener kan het haast niet. Het aantal elementen van verzameling A wordt wel genoteerd als A en een getal dat op deze manier gedefinieerd is, heet een kardinaalgetal. 5 is een kardinaalgetal, want er zijn genoeg A s te vinden zodat A = 5. N is ook een kardinaalgetal, wat meestal aftelbaar oneindig genoemd en R is er ook een, en ga zo maar door. Het is nogal duidelijk dat we zodra we de natuurlijke getallen verlaten en het schemergebied van oneindigheid betreden, de notatie ons nogal in de steek laat. In plaats van overzichtelijke symbolen als 3 en 4 zitten we met lelijke voorbeelden van verzamelingen met de juiste grootte, met strepen eromheen. Daar willen we graag iets aan doen, en 20
het eerste wat we daarvoor nodig hebben is een antwoord op de vraag: wanneer is iets meer dan iets anders, en wanneer zijn twee verzamelingen even groot? We kennen allemaal het verhaal van het Hilberthotel, een hotel met oneindig veel kamers die, dankzij de gunstige ligging en het uitstekende personeel, allemaal bezet zijn (inderdaad, door oneindig veel mensen). Dan klopt in een donkere stormachtige nacht een eenzame en volkomen doorweekte reiziger op de deur van het hotel met de vraag of er nog een kamer voor hem is, en jawel: iedereen schuift een kamer op en de nieuwe gast kan dankbaar in de eerste kamer onderuitzakken. Kennelijk is oneindig plus een even veel als oneindig, luidt de conclusie. De volgende dag brandt het naastgelegen oneindige hotel af maar nog steeds weet ons hotel alle gedupeerde gasten onderdak te geven, en zelfs een megahotel met niet alleen oneindig veel kamers, maar ook oneindig veel verdiepingen met oneindig veel kamers per verdieping, blijkt na enig puzzelen niet echt groter. Het lijkt dus wel mee te vallen, met hoeveel verschillende soorten oneindig er zijn. Alhoewel, het aantal punten in een lijn is niet echt makkelijk met een hotel na te bootsen. Cantor heeft geprobeerd op de volgende wijze duidelijkheid te scheppen: verzamelingen A en B heten even groot (notatie: A = 1 B) als er een bijectie, dwz een-op-een-afbeelding tussen de verzamelingen A en B bestaat. Twee oneindige hotels zijn dus even groot als een. Een verzameling A heet kleiner of misschien wel even groot als B (notatie A < 1 B) als er een bijectie bestaat tussen A en een deelverzameling van B. Je ziet eenvoudig in dat voor eindige verzamelingen geldt dat A = 1 B dan en slechts dan als A = B en A < 1 B dan en slechts dan als A \leq B. Voor algemene kardinaalgetallen is dit domweg de definitie van = en <. Wat nog niet helemaal duidelijk is, is dat als A < 1 B en B < 1 A dan ook geldt A = 1 B, zoals we uit de eindige wereld gewend zijn. Toen het me alsmaar niet lukte het te bewijzen heb ik met het schaamrood op de kaken maar in de syllabus gekeken, en daar gebruikte men een volkomen niet-constructief fixed-point-argument, waar ik het nu niet over wil hebben. Maar het is dus wel waar. Nu we weten wat meer en minder en even veel is kunnen we verzamelingen gaan vergelijken en het blijkt dat voor iedere verzameling A de verzameling van alle deelverzamelingen van A (genoteerd P(A)) strikt groter (dat wil zeggen: wel groter-gelijk maar niet even groot) dan A zelf is. Om dit in te zien, is het handig om eerst te zien dat de verzameling van alle deelverzamelingen van A even groot is als de verzameling van alle functies van A naar de twee-elementsverzameling {0, 1}. Bij iedere deelverzameling X van A ontwerp je een functie f: A {0, 1} met de eigenschap dat f(x) = 1 als x wel in de deelverzameling X zit, en f(x) = 0 als x daar niet in zit. En dat dan voor alle elementen x van A. Je ziet eenvoudig in dat iedere deelverzameling precies één functie definieert en andersom. Voor een verzameling A met 7 elementen, kun je iedere functie van A naar {0, 1} schrijven als een rijtje van 7 nullen en enen. Het aantal deelverzamelingen van A is dan ook gelijk aan het aantal van dit soort rijtjes: 2^7. Voor eindige verzamelingen in het algemeen geldt dus P(A) = 2^ A wat inderdaad strikt groter dan A is. Het aantal deelverzamelingen van N is even groot als de verzameling van alle aftelbaaroneindige rijtjes nullen en enen. Wanneer we nou voor elk van die rijtjes nul komma schrijven, vinden we alle getallen in het interval [0,1] in binaire notatie. Het aantal deelverzamelingen van N is dus even groot als het aantal reële getallen in [0,1] en met behulp van logaritmes, aftrekken en vermenigvuldigen kunnen we wel laten zien dat dit op zijn beurt weer even groot is als het aantal getallen in R. We weten nu dus ongeveer hoe groot R is: R = P(N). Dat dit inderdaad groter is dan N zelf, zien we met Cantors beroemde Diagonaalargument: als er inderdaad even veel deelverzamelingen van N (dwz aftelbare rijtjes nullen en enen) als getallen in N zouden zijn, dan zou je dus een (oneindig lange, maar complete) lijst van al deze rijtjes kunnen maken. Om nou te laten zien, dat dit niet kan, is het genoeg te laten zien dat de lijst niet compleet is; kortom, om te laten zien dat er altijd een rijtje nullen en enen is dat er nog niet instaat. Dit maken we als volgt. Om te zien wat we op de eerste plaats in ons rijtje willen kijken we naar het eerste rijtje uit onze lijst, en daarvan naar de eerste plaats. Staat daar een 1 dan kiezen wij voor de eerste plaats van ons nieuwe rijtje een 0 en staat er een 0 dan kiezen we voor ons eigen rijtje een 1. Om vervolgens te bepalen wat op de tweede plaats van ons rijtje komt, kijken we naar de tweede plaats van het tweede rijtje in de lijst en nemen weer precies het tegenovergestelde. Zo gaan we verder. Op de n-de plaats van ons rijtje komt het tegengestelde van het 21
n-de getal van het n-de rijtje uit de lijst. Uiteindelijk zal ons rijtje dus van elk rijtje in de lijst op minstens 1 plek verschillen, en dus hebben we een rijtje gemaakt dat nog niet in de lijst stond. Nu zijn er altijd mensen die zeggen: maar dan voeg ik dat rijtje toch gewoon aan mijn lijst toe. Dat kunnen ze doen, maar het lost niets op. Waar het om gaat is dat als ze beweren dat N even groot is als P(N) ze kennelijk een een-op-eenafbeelding tussen N en alle rijtjes nullen en enen kunnen geven, kortom een lijst van alle rijtjes. En of ze die nou vinden door met een incomplete lijst te beginnen en die oneindig vaak te verbeteren of hem in een keer op schrijven, doet er niet toe uiteindelijk wil ik een lijst zien, waar ik vervolgens een ontbrekend element bij construeer. (Dit bewijs werkt ook voor algemene verzamelingen. Stel A = 1 P(A), dan ook A = 1 {f f: A {0, 1}}. Dus is er een bijectie F van A naar {f f: A {0, 1}}, de verzameling van alle functies van A naar {0, 1}, waarvan we gezien hebben dat hij even groot is als P(A). Voor iedere a in A is F(a) dus een functie waar je een element uit A in kunt invullen om er vervolgens 0 of 1 uit te krijgen. Om te laten zien dat F niet kan bestaan construeren we een functie g van A naar {0, 1} waarvoor er geen enkele a in A is zodat F(a) = g. Dit is echter in tegenspraak met de aanname dat F een nette bijectie was, dus daarmee zijn we klaar. Om g makkelijk te kunnen definiëren introduceren we het tijdelijke symbool, met werking 0 := 1 en 1 := 0. Nu maken we g in de geest van Cantor als volgt: g(a) = ([F(a)](a)), waar [F(a)](b) het getal is wat je krijgt als je element b in de functie F(a) invult.) We hebben hiermee een groot aantal kardinalen weten te ontmaskeren: alle natuurlijke getallen, N (ook wel genaamd aftelbaar), P(N) = R, P(R), P(P(R)), P(P(P(R))), etc. Groter dan alles wat je je voor kunt stellen, maar de vraag of er ook verzamelingen zijn groter dan N en kleiner dan R, is er niet mee beantwoord. Voor we hier op terugkomen, eerst even terug naar de andere manier om tegen getallen aan te kijken: als dingen met een volgorde. Oneindig maar niet ontelbaar. Tellen is een leuke bezigheid, alleen al omdat het nooit ophoudt. (Met dezelfde argumentatie kun je natuurlijk overtuigend aantonen dat tellen een nogal vervelende bezigheid is, maar laten we in hemelsnaam alles leuk blijven vinden, anders blijven we nergens meer.) Als je het getal 17 echter alleen maar kent, omdat je het onderweg tegenkomt als je van 1 tot 20 telt (of verder) dan is het een interessante vraag wat die 17 nou eigenlijk is. Grofweg zijn er twee antwoorden mogelijk: 17 is de opvolger van 16 of 17 is het kleinste getal dat groter is dan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 en 16, kortom de getallen die je al geteld hebt. Als je vanuit het domme tellen interessante bewerkingen als optellen en vermenigvuldigen te definiëren (zonder te beseffen dat een getal ook een aantal kan zijn) is de opvolgerdefinitie het handigst. Omdat optellen en vermenigvuldigen ons echter geen snars interesseren en oneindig des te meer, kiezen we voor de tweede definitie. Oneindig is immers niet de opvolger van het een of andere getal, maar wel een kleinste getal dat groter is dan, namelijk het kleinste getal dat groter is dan alle natuurlijke getallen. Getallen die gedefinieerd worden als het kleinste getal dat groter is dan en dan een verzameling kleinere getallen, heten ordinaalgetallen, en de ordinale versie van oneindig (het kleinste getal dat groter is dan alle natuurlijke getallen) noemen we meestal omega. Vervolgens hebben we ook omega + 1, het kleinste getal dat groter is dan alle natuurlijke getallen en omega, omega + 2 het kleinste getal groter dan alle natuurlijke getallen, ω en ω + 1, ω + 3, ω + 4, ω + 5 en zo door tot en met ω + ω, wat we meestal afkorten tot 2ω. Maar dan hebben we ook 2ω + 1, 2ω + 2, 3ω, 4ω, 5ω en uiteindelijk ω 2, het kleinste getal dat groter is dan ω, 2ω, 3ω, etc. Wie zei dat we netjes met stapjes van 1 moesten lopen? ω is óók het kleinste getal dat groter is dan alle even getallen. Vervolgens hebben we ook ω 2 + 1, ω 2 + ω, ω 2 + 34ω + 724, ω 3, ω 4, ω ω, ω^ω^ ω, ω^ω^ ω^, etc. Allemaal gratis en voor niets. Je ziet: ordinalen zijn een stuk openhartiger, leuker, gezelliger, spontaner en kindvriendelijker dan die vervelende kardinalen. Het zijn er oneindig veel, het zijn er zelfs oneindig veel op een manier waar je je niet zo een twee drie meer een hotel bij kunt voorstellen, maar ze vergeten nooit waar ze vandaan zijn gekomen en blijven domweg dingen met een volgorde. Omdat ieder ordinaalgetal volledig bepaald wordt door de verzameling van ordinaalgetallen die kleiner zijn, kunnen we ieder ordinaalgetal met deze verzameling identificeren zonder dat er informatie 22
bijkomt of verloren gaat. Dit is hoe verzamelingtheoretici tegen de wereld aankijken. Je begint met de lege verzameling, en deze noem je 0. Niet zo gek, want de verzameling van ordinaalgetallen kleiner dan 0 is inderdaad leeg. Vervolgens geeft dit aanleiding tot een nieuwe verzameling, namelijk de verzameling {0}. Deze verzameling, met maar één element, noem je 1. Vervolgens krijg je twee nieuwe verzamelingen: {1} en {0, 1}, waarvan je de grootste, {0, 1}, de passende naam 2 geeft. 3 = {0, 1, 2}, 4 = {0, 1, 2, 3}, ω = {0, 1, 2, 3, } = N, ω + 1 = {0, 1, 2, 3,, ω}. Je ziet dat voor eindige getallen het aantal elementen van het (ordinaal)getal gelijk is aan het (kardinaal)getal zelf. Verder zie je dat voor ieder ordinaalgetal α geldt dat α + 1 = α verenigd met de een punts verzameling {α}. Dit is meteen een nette definitie voor gewone ordinalen. Limietordinalen zoals ω, 2ω, ω 2 en ω ω, worden gedefinieerd als de vereniging van een (oneindig) rijtje kleinere ordinalen. Persoonlijk vind ik het wel een mooie versie van het scheppingsverhaal. Je begint met niets (de lege verzameling) en uit dat niets maak je vervolgens iets door het niets een naam te geven. Ja dames en heren, in den beginne was het woord. Verzamelingstheorie-mensen zijn bijzonder blij met deze ordinalen, omdat ze geloven dat alle verzamelingen en daarmee alle wiskundige objecten op deze manier in een not-so-big-bang uit de lege verzameling zijn ontstaan. Willekeurige verzamelingen zoals {0, 3, ω 2 + 2, {3, 4, 7}, 11, { ω 2 + 1, 0}, {2, 4, 6, 8, 10, }, {{{{{{{{{{3}}}}}}}}}}, 17} (en dan is dit nog een beschaafd eindig exemplaar) vormen natuurlijk een vreselijk onoverzichtelijk zootje en het is prettig dat de overzichtelijke, nette ordinalen ten midden van die janboel voor wegwijzer kunnen spelen. In de geschiedenis van de schepping is een verzameling als {2}op de derde dag ontstaan gelijk met het ordinaalgetal 3: eerst was er niets (0), op dag 1 hadden we alle deelverzamelingen van dat niets, dat wil zeggen: de lege verzameling (0) en de verzamling {0} = 1, op dag twee kregen we alle deelverzamelingen van de verzameling {0, 1} van dingen die op dag 1 al bestonden, dwz de lege verzameling, en de verzamelingen {0}, {1} en {0,1} = 2, op dag 3 vervolgens alle deelververzamelingen van {0, 1, {1}, 2} dwz 0, {0} = 1, {1}, {{1}}, {2}, {0,1} = 2, {0, {1}}, {0, 2}, {1, {1}}, {1, 2}, {{1}, 2}, {0, 1, {1}}, {0, 1, 2} = 3, {1, {1}, 2} en {0, 1, {1}, 2}. Omdat op deze manier op iedere dag maar één ordinaalgetal ontstaat, en anderszins iedere verzameling op één dag ontstaan is, kunnen we zeggen dat er voor iedere verzameling een ordinaal is die zijn leeftijd aangeeft. Dat is toch nog een beetje houvast. Als gewone wiskundige stuit het idee dat je echt iedere verzameling zo kan maken me een beetje tegen de borst: je hebt toch ook punten en getallen en andere ondeelbare objecten? Aan de andere kant moet ik toegeven dat de eindige ordinaalgetallen ondanks het feit dat ze verzamelingen van de idiote vorm {0, {0}, {0, {0}}, {0, {0}, {0, {0}}}} zijn (in het geval van 4 = {0, 1, 2, 3}), niet van echte natuurlijke getallen zijn te onderscheiden. En dan zijn breuken (paren gehele getallen), reële getallen (limieten van rijtjes breuken, dus heel goed te identificeren met die rijtjes zelf) en punten in een ruimte (vectoren reële getallen) nog maar een kleine stap. Een heel andere vraag is of je er gelukkiger van wordt om 4 als {0, {0}, {0, {0}}, {0, {0}, {0, {0}}}} te schrijven. In elk geval kun je afvragen, wanneer je ordinaalgetallen als verzameling beschouwt, hoe groot ze dan zijn. Welk kardinaal getal geeft me de grootte van een ordinaal getal alpha? Voor de kleinste kardinaalgetallen (1, 2, 3, 4,...) is het makkelijk: n = n. Voor omega is het ook niet zo moeilijk: omega = N dus, omega is gewoon aftelbaar oneindig, of zoals wiskundigen dan schrijven Aleph_0. Maar de grootte van omega + 1 is dan ook Aleph_0 (denk aan de verlaten gast in het hotel) en die van omega^2, omega^3, omega^omega en omega^omega^omega^omega... met een beetje gegoochel ook. Zijn alle ordinaalgetallen dan aftelbaar? Nee, bekijk namelijk de verzameling van alle ordinaalgetallen van kardinaliteit Aleph_0 of kleiner. Dit is zelf ook een ordinaal getal het kleinste ordinaalgetal dat groter is dan alle ordinalen met kardinaliteit kleiner/gelijk Aleph_0 en dat noemen we omega_1. Omega_1 heeft zelf een grotere kardinaliteit dan aftelbaar oneindig want anders zou hij zelf ook element van (en dus kleiner dan ) zichzelf zijn, en dat is geen enkele ordinaal. De grootte van omega_1 (de kleinste vorm van overaftelbaar ) noemen we Aleph_1. Op dezelfde manier kunnen we omega_2 definieren als de verzameling van alle ordinalen met kardinaliteit kleiner dan of gelijk aan die van omega_1 en zo verder: omega_3, omega_4, omega_omega, omega_(omega + 1), omega_omga_1, ome- 23
ga_omega_omega_omega... en al deze ordinalen hebben een verschillende kardinaliteit. Het is niet makkelijk je iets voor te stellen bij deze hoeveelheden, maar het is wel heel makkelijk er en naam aan te geven: omega_1 noemen we Aleph_1, omega_2 = Aleph_2, omega_omega = Aleph_omega etc...op deze manier zijn er dus ook overaftelbaar veel verschillende kardinaalgetallen. Aanzienlijk meer dan het aftelbare rijtje N, P(N), P(P(N)... dat we hierboven geconstrueerd hebben. De vraag dringt zich op hoe deze kardinaliteiten in het duizelingwekkende schema van Alephs passen. In het bijzonder: hoe groot is P(N) =_1 R? wat je zelf het leukst vindt om te geloven. Zelf ben ik in de loop der jaren alleen maar meer en meer de waarheid van een oude wijsheid in gaan zien: oneindig is altijd meer dan je denkt. Het antwoord is: dat weten we niet. Sterker nog: dat kunnen we niet weten. Het is bewezen dat de definitie van verzameling die we normaal gesproken gebruiken, niet tot een tegenspraak leidt wanneer we daarnaast aannemen dat P(N) =_1 Aleph_alpha, voor welk willekeurig ordinaal getal alpha dan ook. We kunnen dus zelf kiezen hoe groot R is. Een populaire keuze is de Gegeneraliseerde Continuum Hypothese, die stelt dat P(N) = P(omega) = Aleph_1 en dat bovendien P(A) = Aleph_(alpha + 1) voor iedere verzameling A met A = Aleph_alpha. Het voordeel hiervan is dat we alle kardinaliteiten netjes overzichtigtelijk gerangschikt hebben: voor iedere A is P(A) de kleinste kardinaliteit die groter is dan A. In het bijzonder is er geen verzameling die groter dan N, maar kleiner dan R is. Dit is natuurlijk leuk en aardig, maar niet te bewijzen of te weerleggen. Als jij wilt geloven dat R =_1 omega_17, dan kan dat ook, en dan zijn er opeens een hoop verzamelingen die groter dan N maar kleiner dan R zijn te verzinnen: omega_1, omega_2, omega_2 + 1 etc... Het is maar net 24