ELEKTRONISCHE SIGNAALBEWERKING ET 245 D: digitale signaalbewerking 24 augustus 2, 4: 7: Open boek tentamen, alle studiematerialen en aantekeningen toegelaten Dit tentamen bestaat uit zes opgaven (5 punten) Opgave (8 punten) Gegeven het volgende systeem: z a a Bepaal de overdrachtsfunctie H(z) van het systeem. b Bepaal de impulsresponsie h[n] van het systeem. c Voor welke waarden van a is het systeem stabiel? (Waarom?) d Is dit een minimale realisatie? (Waarom?) e Is dit een allpass functie? (Waarom?) f Is dit een minimum-fase functie? (Waarom?) g Teken de directe vorm no. II realisatie, en specificeer ook de coefficienten. h Welke realisatie (de gegeven, of die uit item g) verdient de voorkeur, en waarom? Uitwerking a H(z) = a + z + az b y = a[ a a 2 ] + [ a a 2 ] = a( a) n u[n] + ( a) n u[n ] c Pool is z = a. Polen binnen de eenheidscirkel: a <. d Ja: een delay-element gebruikt voor een e orde filter e Ja; teller is het omgekeerde polynoom van de noemer: z = /a is een nulpunt (en a reeel) f Nee (nulpunt buiten de eenheidscirkel) g
a z a h De gegeven realisatie: heeft maar vermenigvuldiger (vermenigvuldiging met telt niet), en is voor iedere waarde van a een allpass, zelfs bij discretisatie van a. Opgave 2 (9 punten) Gegeven = cos( n) cos( 2 n). a Bewijs dat = 2 (cos(( + 2 )n) + cos(( 2 )n)). b Teken het spectrum van, voor (A) =.2π, 2 ; (B) =.2π, 2 ; c Schets voor geval (A) en (B) het signaal in het tijddomein (gebruik een voldoende grote tijdas, en geef de verschillende periodiciteiten aan die in de figuur zichtbaar zijn). d Beschrijf hoe voor geval (A) dit effect voor een rol speelt in () telecommunicatie, en (2) audiosystemen (bijv. het stemmen van muziekinstrumenten)) Uitwerking a Gebruik cos(n) = 2 (ejn + e jn ). b cos( n) cos( 2 n) = 4 (ejn + e jn )(e j2n + e j2n ) = 4 (ej( n+ 2 n) + e j( n+ 2 n) + e j( n 2 n) + e (j n 2 n) ) π.2π π (A).4π π π (B) Het spectrum is periodiek met periode 2π, enkel het fundamentele interval is getekend. 2
c (A): 2 =.5π genomen. Het signaal is een cos( 2 n) gemoduleerd op een draaggolf met frequentie. De snelle cosinus heeft frequentie en periode 2π/ = samples. De omhullende heeft frequentie 2 en periode 2π/ 2 = 66.7. A.5.5 5 5 n (B): =.22π, 2 =.8π genomen. De snelle cosinus heeft frequentie + 2 =.4π en periode 2π/.4π = 5 samples. De omhullende heeft frequentie 2 =.4π en periode 5 samples. B.5.5 5 5 n d (A): Modulatie van een basisbandsignaal op een draaggolf. Met behulp van item a: de som van twee signalen met bijna dezelfde frequentie geeft een zweving van tonen van muziekinstrumenten als ze niet precies gelijk gestemd zijn. (B): speelt een rol bij demodulatie. Ook bij correlatie van een ontvangen signaal met een bijna gelijk signaal, bijv. een matched filter in telecom. Hierbij is het de bedoeling een sterk DC signaal te vinden (na onderdrukking van de hoge frequenties) maar er kan een mismatch zijn waardoor er in plaats van DC een lage frequentie ontstaat (leidend tot decorrelatie). 3
Opgave 3 (7 punten) Gegeven de volgende vier systemen (A),, (D): z /2 (A) z /2 (B) z z z /8 (C) z 3 /2 (D) Geef voor ieder van deze systemen: a de polen en nulpunten (ook die op z = en z = ), b een fasor-diagram c een nauwkeurige schets van het amplitude-spectrum (geef hierbij de belangrijkste frequenties en amplitudes goed aan). Uitwerking a (A) Nulpunt: z = ; pool: z =. (B) Nulpunt: z = ; pool: z =. (C) Nulpunt: z = (drie keer); pool: z = (drie keer). (D) Nulpunt: z =, e ±j2/3π ; pool: z = (drie keer). z-vlak b z-vlak (3) (3) (3) (A) (B) (C) (D) c Geval (A) kun je uitwerken als H() 2 = 4 ( + e j )( + e j ) = ( + cos()) 2 4
A B H() 2.5 H() 2.5 pi/2 pi C pi/2 pi D H() 2.5 H() 2.5 pi/2 pi pi/2 pi Geval (B) is een complement van (A): H() 2 = 2 ( cos()). Geval (C) is gelijk aan geval (A), tot de derde macht, en valt dus sneller af. Op π/2 is de amplitude-kwadraat gelijk aan /8. Geval (D) komt overeen met geval (B) na 3 keer upsamplen. De piek ligt op π/3 en het nulpunt op 2π/3. Opgave 4 ( punten) Gegeven een eerste-orde filter van de vorm met α, β reele coefficienten. H(z) = βz αz a Voor welke waarden van α, β is het filter stabiel? b Kies β =.5. Teken het pool-nuldiagram: (A) voor α =.9, (B) voor α = 2/3, (C) voor α = 2/3. c Teken voor ieder van deze gevallen (A),, (C) de amplitude-responsie. d Toon aan dat de formule voor H(e j ) 2 is H(e j ) 2 = + β2 2β cos() + α 2 2α cos() e We willen een hoogdoorlaatfilter ontwerpen. Wat is de beste keuze voor β? f Bepaal voor deze keuze H( = ) 2 en H( = π) 2. (Dit is mogelijk een functie van α.) Bepaal ook max, de frequentie waarvoor de overdracht maximaal is. Geef vervolgens een formule voor de 3-dB cut-off frequentie c waarvoor H(e jc ) 2 = 2 H(ejmax ) 2. g Ontwerp een eerste-orde hoogdoorlaatfilter H(z) met 3-dB cut-off frequentie c =.9π. 5
Uitwerking a α <. b z-vlak α β α β α β (A) (B) (C) c 6 5 H() (A) (B) (C) 4 3 2 pi/2 pi d (A) min of laagdoorlaat; (B) allpass; (C) min of meer hoogdoorlaat; de responsie wordt niet nul voor = want het nulpunt ligt niet op z =. H(e j ) 2 = βe j αe j βe j αe j = + β2 2β cos + α 2 2α cos e Kies dan β =, zodat er een nulpunt ligt op z = ofwel voor =. f Voor β = : H( = ) = H( = π) 2 = + β2 + 2β + α 2 + 2α = 4 =: A2 ( + α) 2 Hoogdoorlaat: max = π (gebruik het inzicht in fasordiagram/overdrachtsfuncties in items b en c). 6
De cut-off frequentie c wordt bepaald door: Kies β = en schrijf c = cos. + β 2 2β cos + α 2 2α cos = 2 A2 2 2c + α 2 2αc = 4 2 ( + α) 2 ( c)( + α) 2 = + α 2 2αc g cα 2 2α + c = c = 2α + α 2 2α c = arccos( + α 2 ) cα 2 2α + c = α = 2 ± 4 4c 2 2c Invullen: c = cos(.9π) =.95 geeft = c ± c 2 c α =.3764 of α =.7265 De eerste oplossing is niet stabiel, we nemen dus α =.7265. Hiervoor is de maximale amplitude A = 4 = 7.338. Dit specificeert het filter (met overdracht in de (+α) 2 doorlaatband): H(z) = βz A αz =.367 z +.7265z Opgave 5 (6 punten) Een reeel analoog ingangssignaal x(t) heeft frequentiecomponenten rond 4 Hz en 7 Hz, zoals aangegeven (de banden zijn Hz breed): X a(f ) 4 7 F [Hz] a Met welke frequentie moet je minimaal samplen om geen informatieverlies of vervorming te hebben? b Het signaal wordt op F s = Hz gesampled, resulterend in, er is geen verdere filtering. Teken het amplitudespectrum van (geef de frequenties goed aan). c Kun je uit het originele signaal x(t) terugwinnen? Geef in dat geval een blokschema en specificeer de parameters van alle blokken. d Wat gebeurt er als F s = Hz? 7
Uitwerking a 5 Hz (Nyquist). b Vanwege aliasing komt de component van 7 Hz terug op 7 ± k, en de component van 7 Hz op 7 ± k, onder meer op 3 Hz. De component van 4 Hz komt terug op 6 Hz, en die van 4 Hz op 6 Hz. Let op de spiegelingen. X() 7 4 3 4 5 6 7 F [Hz].6π.8π π c Er is aliasing: het is niet zonder meer mogelijk de signalen terug te winnen. Maar als je vooraf weet welke frequentieblokken er waren kun je ze met filtering isoleren (omdat ze na sampling niet overlappen) en ieder apart reconstrueren. Het gemakkelijkst gaat dat in theorie door eerst een D/A omzetting, en dan een analoog bandpassfilter H a (F ) dat precies de gewenste subbanden eruit haalt (35-45 Hz en 65-75 Hz). Dit moet een zeer scherp filter zijn, niet eenvoudig analoog te maken. Digitaal kun je bijvoorbeeld eerst 2 keer upsamplen, dan digitale filtering met dit bandpassfilter (scherpe filters zijn digitaal beter te maken), dan D/A omzetting, dan nogmaals filtering om de frequenties boven π = Hz weg te halen. 2 v(t) BPF w(t) 35 45 Hz 65 75 Hz D/A LPF y(t) Hz V () 7 4 3 4 5 6 7 F [Hz] π.3π.4π.5π π H(F ) 7 4 3 4 5 6 7 F [Hz] W (F ) 7 4 3 4 5 6 7 F [Hz] 8
d In dat geval is er opnieuw aliasing maar nu overlappen de blokken elkaar na aliasing ( 7 + = 4), en is reconstructie niet meer mogelijk. Opgave 6 (9 punten) Een audiosignaal heeft frequenties tot 2 khz. Gegeven is een tijddiscreet audiosignaal in studio kwaliteit: de sample rate is 48 khz. Om dit over te zetten op een CD is het nodig de samplerate te verlagen naar 44 khz. Hiervoor wordt het volgende schema gebruikt: rate 48 khz y [n] y 2 [n] L H(z) M rate 44 khz a Bepaal geschikte waarden voor de upsamplingfactor L en de downsampling factor M. b Wat is de rol van het filter H(z)? Wat is zijn specificatie? c Teken schematisch de spectra van, y [n], y 2 [n] en. d Mag je de upsampler en de downsampler omwisselen? e Stel het benodigde filter H(z) is een FIR filter met 264 coefficienten. Hoeveel vermenigvuldigingen per seconde (flops) heb je nodig om het filter te implementeren voor het gegeven schema? f Kan dit ook efficienter (zo ja: hoe, en hoeveel efficienter)? g Moet H(z) een lineaire-fase filter zijn? Uitwerking a L =, M = 2 zodat 48 L M = 44 b Het filter heeft twee functies: () het verwijderen van de extra kopieen in het spectrum die ontstaan zijn door de upsampling (afkappen van frequenties boven 24 khz), (2) antialiasing voorafgaand aan de decimatie (afkappen van frequenties boven 22 khz zodat er bij resampling op 44 khz geen aliasing ontstaat). De sterkste specificatie telt: H(z) moet afkappen boven 22 khz (overeenkomend met = π 2 ). Als je gebruik maakt dat het originele signaal maar tot 2 khz liep, kun je een filter gebruiken dat doorlaat tot 2 khz, dan een transitieband heeft van 2 tot 28 khz, en daarna alles stopt (dit is een digitaal filter en eigenlijk moet je deze frequenties omrekenen naar ). c Het fundamentele interval is gearceerd getekend. 9
X() Y () 24 48 π 2π F [khz] 24 48 264 F [khz] π/ π Y 2 () 24 48 264 F [khz] π/ π Y () 22 44 π 2π F [khz] d Nee, als je eerst gaat downsamplen gooi je informatie weg die je later niet meer terug kan winnen: na eerst downsampling met een factor 2 is de nieuwe sample frequentie 4 khz en treedt er fatale aliasing op. e Het filter loopt op de hoge sample rate 48 = 528 khz. Het aantal flops is dan 528 264 = 39 Mflops. f Ja, je hoeft de samples die de downsampler weggooit niet uit te rekenen. (Dat komt overeen met de downsampler voor de filtercoefficienten te plaatsen.) Het filter loopt dan op 44 khz, je hebt 44 264 =.6 Mflops nodig, een factor 2 minder. Je kunt ook het filter combineren met de upsampler, dat levert je een factor efficientie op, ietsje minder dus. g Ja, je wilt geen (fase-)vervorming in de doorlaatband. (Je kunt hiervan gebruik maken en het filter efficienter implementeren, het loopt dan op.6/2 = 5.8 Mflops.)