Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 23 januari 2013, 1400-1700 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die bij volledige en juiste beantwoording elk één punt opleveren Er zijn tenminste 825 punten nodig om een voldoende te behalen Lees tekst en vragen goed door vóór aan de beantwoording te beginnen Vermeld op elk antwoordblad deelopgavenummer, naam en collegekaartnummer Formuleer bondig, motiveer altijd uw antwoord en vergeet niet alle gebruikte symbolen expliciet te definiëren! 1
Opgave 1 a) [05pt] Hoe luidt de ergodenstelling? [05pt] Hoe maakt de statistische fysica gebruik van deze stelling? Een systeem gedraagt zich ergodisch als de fractie van de tijd dat dit systeem verblijft in een zekere microscopische toestand gelijk is aan de à priori kans om het systeem aan te treffen in deze toestand Als dit het geval dan zijn de ensemble- en tijdsgemiddelde waarden van een grootheid gelijk In de statistische fysica kunnen ensemble-gemiddelde waarden gevonden worden Als een systeem zich ergodisch gedraagt dan kunnen deze ensemble-gemiddelde waarden direct vergeleken worden met experimenteel gevonden waarden In experimenten meet je een tijdsgemiddelde waarde van een grootheid b) [05pt] Formuleer het statistisch postulaat [05pt] Hoe wordt dit postulaat gebruikt om de ensembletheorie op te zetten? Het statistisch postulaat stelt dat de microscopische toestanden met gelijke energie even waarschijnlijk zijn In een geïsoleerd systeem (kleinkanoniek ensemble) hebben alle microscopische toestanden per definitie dezelfde energie Daarom zijn in dit systeem alle toestanden even waarschijnlijk Dit wordt in de statistische fysica gebruikt om de grootheid entropie S te verbinden aan het aantal microscopische toestanden Ω via de wet van Boltzmann: S = k B ln Ω Een verzameling van N deeltjes bevindt zich in een afgesloten volume V in thermisch evenwicht met een omgeving die temperatuur T heeft In dit volume heerst een magnetisch veld met sterkte H Elk deeltje heeft een magnetisch moment µ B en kan zich in 2 toestanden bevinden: s = ±1 De magnetische energie van een deeltje is gelijk aan E = µ B Hs De kanonieke toestandssom Q voldoet aan Q = [2 cosh (βhµ B )] N, waarin β (k B T ) 1 en k B de constante van Boltzmann c) [1pt] Leid de bovenstaande uitdrukking voor de toestandssom af 2
Q = exp ( βe ν ) = ( exp βµ B H ν s 1 =±1 s N =±1 = N exp (βµ B Hs i ) = [2 cosh (βhµ B )] N i=1 s i =±1 ) N s i i d) [05pt] Leid een wiskundige uitdrukking af voor de entropie S van het systeem [05pt] Bereken S voor het geval T 0 en beredeneer de uitkomst Een manier om de entropie af te leiden is via de relatie: S = ( F/ T ) N,V Gebruik makend van deze thermodynamische relatie en het gegeven dat βf = ln Q kan aangetoond worden dat S = k B N ln 2 + k B N ln cosh (βµ B H) µ BH T N tanh (βµ BH) Als T 0 dan β en k B N ln cosh (βµ B H) k B N ln 2+Nµ B H/T en tanh (βµ B H) 1 Als gevolg hiervan wordt S gelijk aan 0 Dit verwacht je ook omdat bij T 0 de thermische energie (k B T ) gelijk is aan 0 Als gevolg hiervan is de kans om het systeem aan te treffen in de toestand met de laagste energie oneindig veel groter dan de kansen gerelateerd aan de andere toestanden: P ν = Q 1 exp ( βe ν ) e) [05pt] Leid een wiskundige uitdrukking af voor de warmtecapaciteit C V van het systeem [05pt] Als βµ B H 1 dan geldt dat C V = Nk B (βµ B H) 2 Verklaar waarom in dit specifieke geval C V toeneemt met de veldsterkte H ( ) C V k B T 2 2 ln Q = = N (µ β 2 B H) 2 ( 1 [tanh (βµ B H)] 2) N,V Dat C V toeneemt met de veldsterkte H als βµ B H 1 kan als volgt verklaard worden Zonder veld is er geen magnetische energie De warmtecapaciteit is een maat voor de energiefluctutaties in het systeem Als de veldsterkte toeneemt dan zullen ook de energiefluctuaties in amplitude toenemen 3
Opgave 2 Deeltjes kunnen in twee klassen onderverdeeld worden: Bosonen en Fermionen a) [1pt] Geef de uitdrukkingen voor het gemiddelde aantal deeltjes n in een toestand met energie ϵ, zowel voor het geval van Bose-Einstein statistiek als Fermi-Dirac statistiek De bij de deeltjes behorende chemische potentiaal is µ Bose-Einstein: n = [exp (β(ϵ µ)) 1] 1 Fermi-Dirac: n = [exp (β(ϵ µ)) + 1] 1 Kristalroostertrillingen in een vaste stof kunnen in goede benadering beschreven worden door een verzameling onafhankelijke harmonische oscillatoren met een frequentie ω k, waarbij k een golfvector is De energie van oscillator k is gegeven door E k = (n k + 1/2) ω k, waarbij n k = 0, 1, 2,, het aantal fononen is in de oscillator k De kanonieke toestandssom Q(V, T ) van dit systeem kan gefactoriseerd worden als Q = k Q k, met Q k de kanonieke toestandssom van een enkele oscillator: Q k = [ 2 sinh(β ω k /2 ] 1 b) [1pt] Leg uit waarom bovengenoemde factorisatie mogelijk is De oscillatoren zijn onafhankelijk van elkaar en daarom factoriseert de toestandssom c) [1pt] Leid bovenstaande uitdrukking voor Q k af Hint: (1 x) 1 als x < 1 n=0 xn = Q k = exp ( ) β(n k + 1/2) ω k n k =0 = exp ( / [ β ω k 2) 1 exp( β ω k ) ] 1 = [ 2 sinh(β ω k /2) ] 1 d) [1pt] Laat zien dat het gemiddelde aantal fononen in oscillator k gelijk is aan [ n k = 1 ( cosh β ω k /2 ) ] 2 sinh ( β ω k /2 ) 1 4
n k = 1 n k exp ( ) β(n k + 1/2) ω k Q k n k =0 ( ) ln = ( ω) 1 Q k β [ ( cosh β ω k /2 ) = 1 2 N,V sinh ( β ω k /2 ) 1 ] 1 2 e) [05pt] Vergelijk de bij d) gegeven uitdrukking met de bij a) gevonden uitdrukkingen Zijn fononen bosonen of fermionen? [05pt] Geef de waarde van de chemische potentiaal en beargumenteer waarom de chemische potentiaal deze waarde heeft De uitdrukking bij d) kan omgeschreven worden tot n k = [ exp ( β ω k ) 1 ] 1 Hierin herkennen we de Bose-Einstein verdelingsfunctie met ϵ = ω k en µ = 0 Fononen zijn dus bosonen Voor fononen is de chemische potentiaal 0 omdat het aantal fononen niet beperkt is Opgave 3 In het Ising model met spins s i = ±1 (i = 1,, N) is de energie van een toestand ν gegeven door de volgende uitdrukking: E ν = 1 N 2 J z s i s j Hµ B i=1 j(i)=1 N i=1 s i, met J een koppelingsconstante, H een aangelegd magnetisch veld, µ B het Bohr-magneton, en j(i) één van de z naburen van i In dimensies groter dan één vertoont het Ising model voor H = 0 een fase-overgang als functie van de temperatuur T a) [1pt] Leg uit wat in de context van het Ising model bedoeld wordt met het begrip fase-overgang Geef daarbij aan wat het gedrag is van de magnetisatie van het spin-systeem als functie van T 5
Bij een fase-overgang gaat een systeem als functie van de temperatuur over van één fase naar een andere Bij hoge temperatuur, boven een kritieke temperatuur T c, heeft het spin-systeem geen magnetisatie Bij lage temperatuur, beneden een kritieke temperatuur, heeft het systeem een spontane netto magnetisatie In de gemiddelde-veld benadering kan de volgende uitdrukking worden afgeleid voor E ν : E ν 1 N 2 JNz s 2 (Jz s + Hµ B ) s i b) [05pt] Leg uit wat de gemiddelde-veld benadering inhoudt (afleiding van de uitdrukking wordt niet gevraagd) [05pt] Leg ook uit wat de reden is voor het maken van deze benadering In de gemiddelde-veld benadering wordt de interactie van een spin met nabuur-spins benaderd door de interactie van een spin met gemiddelde nabuur-spins Of: fluctuaties van de nabuur-spins tov het gemiddelde worden verwaarloosd De reden voor het maken van deze benadering is dat de gemiddelde spin nu gemakkelijk kan worden uitgerekend, omdat de spins nu onafhankelijk zijn geworden c) [1pt] Laat zien dat in de gemiddelde-veld benadering de volgende uitdrukking gevonden wordt voor de gemiddelde spin s : i=1 s = tanh (βjz s + βhµ B ), met β = 1/k B T We introduceren H mol s = s sp (s) met = H + Jz s µ 1 B De gemiddelde spin is nu P (s) = exp (βh mol µ B s) exp (βh mol µ B ) + exp ( βh mol µ B ) Dit levert s = exp (βh molµ B ) exp ( βh mol µ B ) exp (βh mol µ B ) + exp ( βh mol µ B ) = sinh (βh molµ B ) cosh (βh mol µ B ) = tanh (βjz s + βhµ B) 6
d) [1pt] Bepaal aan de hand van deze uitdrukking de kritieke temperatuur T c voor het geval H = 0 Maak een schets van de oplossingen voor s als functie van T voor het geval H = 0 Besteed daarbij aandacht aan het gedrag rond T = T c en in de limiet T 0 Bij de kritieke temperatuur is er een overgang van één oplossing voor T > T c naar drie oplossingen (twee stabiel, één instabiel) voor T < T c Dit gebeurt als βjz = 1 Dit levert T c = Jz/k B Zie de plot beneden voor de oplossingen voor de gemiddelde spin als functie van T 1 <s> -1 stabiele oplossing instabiele oplossing stabiele oplossing H =0 T c stabiele oplossing T Figuur 1: Oplossingen voor de gemiddelde spin als functie van T voor het Ising model e) [05pt] Laat zien dat in de gemiddelde-veld benadering de volgende uitdrukking wordt gevonden voor de vrije energie F : βf = 1 2 βnjz s 2 N ln [2 cosh(βh mol µ B )], (1) met H mol = H + Jz s µ 1 B [05pt] Laat zien dat uit deze uitdrukking voor F dezelfde vergelijking voor s volgt als hierboven We gebruiken de formule βf = ln Q met Q = ν exp( βe ν) De energie is de som van energieën van enkele spins Voor één spin is de toestandssom q = exp ( 12 ) βjz s 2 + βh mol µ B s=±1 = exp ( 12 βjz s 2 ) 2 cosh (βh mol µ B ) Met Q = q N en de relatie βf = ln Q vinden we de gevraagde uitdrukking Uit minimalisatie van de vrije energie vinden we de oplossingen voor s De relatie F/ s = 0 levert de gevraagde vergelijking 7