6 Ligging Verkennen Ligging Inleiding Verkennen Door in de applet het assenstelsel te draaien kun je nagaan of twee lijnen een snijpunt hebben. Je kunt ook andere lijnen proberen door de punten A, B, C en D te verplaatsen. Beantwoord nu de vragen bij Verkennen. Uitleg Ligging Uitleg Opgave In de Uitleg, pagina wordt besproken hoe je de kortste onderlinge afstand van twee lijnen berekent. a) Bereken zo de kortste onderlinge afstand van lijn AD en lijn BC als gegeven A(3,0,0), B(0,3,0), C(0,0,2) en D(0;0;3,5). b) Als beide lijnen elkaar snijden, dus bijvoorbeeld als D = C = (0,0,2), hoe groot is dan hun onderlinge afstand? c) Bereken ook de hoek die beide lijnen AD en BC met elkaar maken, zowel in de situatie beschreven bij a) als die bij b). Opgave 2 In de Uitleg, pagina 2 zie je dat de hoek tussen een lijn en een vlak wordt berekend door de hoek tussen de normaalvector van het vlak en de richtingsvector van de lijn te berekenen. a) De hoek tussen een lijn en een vlak wordt wel gedefinieerd als de hoek tussen de lijn en zijn loodrechte projectie op het vlak. Komt deze definitie overeen met de hoek die in de Uitleg wordt berekend? b) Bereken de normaalvector van het vlak ABC met A(3,0,0), B(0,3,0) en C(0,0,3). Bepaal ook een richtingsvector van lijn AD met D(0;0;3,5). c) Bereken nu zelf de hoek tussen vlak ABC en lijn AD in graden nauwkeurig. Opgave 3 Gegeven zijn de punten P(5,0,0), Q(0,5,0), R(0,0,5) en S(0,4, 5) en het vlak V: 2x + 3 + 4z = 2. a) Welke van deze punten ligt in V? b) Bereken de kortste onderlinge afstand van de lijnen PQ en RS. c) Bereken de hoek die de lijnen PQ en RS met elkaar maken. d) Bereken het snijpunt van lijn PQ met vlak V. e) Bereken de hoek waaronder lijn PQ het vlak V snijdt. STICHTING MATH4ALL 0 MRT 2009
Theorie en Voorbeelden Ligging Theorie In de Theorie worden alle situaties van onderlinge ligging van punten, lijnen en vlakken op een rijtje gezet. De benodigde rekentechnieken heb je op dit moment tot je beschikking. In de Voorbeelden, worden een aantal situaties nader bekeken. Opgave 4 In Voorbeeld zie je hoe je de (kortste) afstand van een punt tot een lijn kunt berekenen. a) Loop de berekening na en bereken de gevraagde afstand in twee decimalen nauwkeurig. b) Bereken zelf de afstand van A tot de lijn BP. c) Waarom kun je de afstand van een punt tot een lijn niet op dezelfde wijze berekenen als van een punt tot een vlak? Opgave 5 In Voorbeeld 2 wordt de (kortste) afstand tussen twee kruisende lijnen berekend. a) Maak de beschreven werkwijze duidelijk in een eigen tekening. b) Laat met een berekening zien dat de lijnen AB en CT elkaar niet snijden. c) Bereken vervolgens zelf de afstand tussen beide lijnen. Opgave 6 Omdat de hoek tussen een lijn en een vlak, of die tussen twee vlakken, vaak lastig te zien is in een figuur wordt in Voorbeeld 3 getoond hoe je ze met behulp van de normaalvectoren van het vlak kunt berekenen. a) Loop de berekening van de hoek tussen CT en vlak ABT na. Kun je die hoek ook in de figuur aangeven? Hoe dan? b) Laat met een berekening zien, dat de hoek tussen de vlakken ABT en BCT inderdaad 30 is. Waar zit die hoek in de figuur? Het is nuttig als je in eenvoudige gevallen zelf de gevraagde hoek kunt zien. c) Welke hoek is de hoek tussen CT en vlak ABCD? Hoe groot is die hoek? d) Welke hoek is de hoek tussen de vlakken ABT en ABCD? Hoe groot is die hoek? Practicum Ligging Cabri3D III Leer jezelf verder werken in Cabri3D. Maak een balk, een piramide en enkele andere ruimtelijke figuren. Probeer de figuren in de voorbeelden na te maken. En gebruik af en toe Cabri3D in de volgende opgaven. STICHTING MATH4ALL 0 MRT 2009 2
Verwerken Opgave 7 Gegeven zijn punt A(,2,3) en de lijnen l en m en vlak V door: x 4 2 x 3 2 l: = + p 3, m: = + q 2 z 3 z 2 en V: x 2 + 2z = 4 a) Bereken de coördinaten van het snijpunt van l en V. b) Bereken de hoek tussen l en V. c) Bereken de afstand van A tot V. d) Bereken de afstand tussen l en m. e) Bereken de snijlijn van V en het vlak W door l en evenwijdig aan m. uuur f) Op m ligt een punt P zo, dat AP // V. Bereken de coördinaten van P. Opgave 8 Gegeven is het viervlak C.OAB met A(6,0,0), B(0,6,0) en C(0,0,6). Punt N is het midden van AB en M dat van OA. Punt Z is het zwaartepunt van ABC. a) Geef vectorvoorstellingen van de lijnen CN en OZ. b) Vlak BCM snijdt OZ in punt S. Bereken de coördinaten van S. c) Toon aan dat het punt S de lijn OZ zo verdeelt dat OS : SZ = 3 :. d) Bereken de afstand van punt A tot vlak BCM. Opgave 9 Een kubus ABCD.DEFG heeft ribben van 6 cm. Punt M is het midden van ribbe BF. Voor de volgende berekeningen kun je de kubus in een cartesisch assenstelsel Oxz plaatsen. a) Bereken de afstand van punt E tot vlak AMH. b) Teken de snijlijn van een vlak V door AE en loodrecht op vlak AMH met het vlak AMH. c) Bereken de afstand tussen de lijnen BE en AG. d) Bereken de afstand van het midden van ribbe CG tot lijn AG. Opgave 0 Van een regelmatige vierzijdige piramide T.ABCD is het snijpunt van AC en BD de oorsprong van een cartesisch Oxz-assenstelsel. Verder is A(4, 4,0), B(4,4,0) en T(0,0,2). P ligt op AB zo, dat AP : PB = : 3. V is het vlak door P en evenwijdig aan vlak BCT. a) Stel een vectorvoorstelling van V op. b) Bepaal de coördinaten van het snijpunt van lijn AT en vlak V. c) Geef een vectorvoorstelling van de snijlijn van V en vlak DCT. d) Bereken de hoek die de vlakken ADT en V met elkaar maken in graden nauwkeurig. e) Bereken de afstand tussen de vlakken V en BCT. STICHTING MATH4ALL 0 MRT 2009 3
Opgave Gegeven is de balk OABC.DEGH met A(4,0,0), C(0,8,0) en D(0,0,4). Punt P is het midden van ribbe EF. a) Bereken de afstand van punt P tot vlak AGC. b) Bereken de afstand van punt P tot lijn GB. c) Op ribbe EF ligt een punt M zo, dat de afstand van M tot vlak AGC 2 is. Bereken de coördinaten van M. d) Bestaat er een punt N op ribbe EF zo, dat de afstand van dit punt tot lijn GB 2 is? Verklaar je antwoord. Opgave 2 Gegeven zijn de punten A( 6,24,7), B( 0,23,4), C( 6,20, 5) en D(,23,4). Het vlak V heeft vergelijking 4x + + 6z = 2. Vierkant ABCD is grondvlak van een piramide T.ABCD waarvan de top T in vlak V en op de middelloodlijn van AC loodrecht op vlak ABCD ligt. Bereken de hoogte van deze regelmatige vierzijdige piramide en bereken de lengte van ribbe AT. Opgave 3 Een regelmatige vierzijdige piramide T.OABC heeft een grondvlak van 4 cm bij 4 cm en een hoogte van 5 cm en staat in een cartesisch Oxz-assenstelsel. Punt A is het punt (4,0,0). Op de z-as is een lichtbron opgehangen in het punt L(0,0,8). De piramide is ondoorzichtig. a) Bereken de oppervlakte van de schaduw die deze lichtbron op het Ox-vlak maakt van de piramide. b) Bereken de afstand van L tot ribbe OT in twee decimalen nauwkeurig. Opgave 4 De hoek tussen twee kruisende lijnen l en m is 60. De loodrechte snijlijn van l en m snijdt l in A en m in B. Op l ligt punt P zo, dat AP = 2. Op m ligt punt Q zo, dat BQ = 4 en PQ = 6. Bereken de lengte van lijnstuk AB (twee mogelijkheden!) en de afstand van AB tot PQ. Testen Opgave 5 Een regelmatige vierzijdige piramide T.OABC heeft een grondvlak van 4 cm bij 4 cm en een hoogte van 5 cm en staat in een cartesisch Oxz-assenstelsel. Punt A is het punt (4,0,0). Punt E is het snijpunt van de lijnen AC en OB. Punt D is het midden van TC. a) Bereken de hoek die de lijnen ED en AB met elkaar maken. b) Bereken de hoek die lijn BD maakt met vlak OBT. c) Bereken de coördinaten van het snijpunt van lijn BD met vlak OAT en bereken de hoek tussen BD en OAT. d) Bereken de afstand tussen de lijnen OD en TE. STICHTING MATH4ALL 0 MRT 2009 4
Antwoorden a) Vlak V door AD en evenwijdig BC is: 7x + 4 + 6z = 2. De afstand van een punt van BC tot dit vlak is 9 0 0 b) 0 c) De hoek bij a) is ongeveer 56 ; de hoek bij b) is ongeveer 72. 2a) Ja, bekijk eventueel bij de Theorie wat de hoek tussen een lijn en een vlak is. b) 3 uuuur uur n = ABC en r AD = 0 3,5 c) 86 3a) S b) Vlak W door PQ en evenwijdig RS is: 5x + 5 + 7z = 25. De gevraagde afstand is 0 99 99. c) Ongeveer 73. d) (3,2,0) e) Ongeveer 82. 4a) 0,36 b) Ongeveer 0,56. c) Bij een lijn zijn normaalvectoren in verschillende richtingen mogelijk. 5a) - b) - c) 8 6a) Het is de hoek tussen CT en de lijn door T en evenwijdig aan AB. (Draai de figuur zo, dat je langs de -as kijkt.) b) Het is de hoek tussen AM en MC, waarin M het punt van BT is waarbij zowel AM als MC loodrecht op BT staan. c) ACT 35,3. d) OPT = 45 waarbij P het snijpunt van AB en de x-as is. 7a) (8, 5, 7) b) Ongeveer 8. c) 3 d) Vlak door l en evenwijdig m: 9x + 8 2z = 42. Afstand: 27 49 49. e) x 4,6 6 B.v. = 0 + t 0 z 0,3 3 f) P(,5;0,5;,25) 8a) x 0 x CN: = 0 + p en OZ: = q z 6 2 z b) S(,5;,5;,5) c) - d) 6 9a) 4 b) x 2 = t 4 z 5 STICHTING MATH4ALL 0 MRT 2009 5
c) 6 d) 8 0a) x 4 = 2 + p 0 + q z 0 0 3 b) (3, 3,3) c) x 4 = 2 + t z 0 3 d) Ongeveer 37. e),8 0 a) AGC: 2x + = 8; de gevraagde afstand is 4 5 5 b) 2 6 c) M(4,2 5,4) d) Nee, de kortste afstand is 8 > 2. 2. ABCD: 3 z = 65 en T( 6,22,). 3a) 26 2 3 b) 3,94 De hoogte van de piramide is 2 3 0 en AT = 6 2 3. 4. AB = 2 6 of AB = 2 2 en d(ab,pq) = 2 of d(ab,pq) = 2 7 2 5a) Ongeveer 66. b) Ongeveer 22. c) Ongeveer 29. d) 2 5 0 STICHTING MATH4ALL 0 MRT 2009 6