Langere vraag over de theorie
(a) Magnetisch dipooloent Zoals het elektrisch dipooloent is het agnetisch dipooloent een vectoriële grootheid. Het agnetisch dipooloent wordt gedefinieerd voor een gesloten stroovoerende lus. Als de lus een oppervlakte A heeft en er loopt een stroo I door de lus dan is het agnetisch dipooloent μ I A De vectoren staan loodrecht op het oppervlak en hun richting wordt et behulp van de regel van de rechterhand bepaald uit de richting waarin de stroo I door de lus doorloopt. Wanneer het gaat o N dicht op ekaar liggende windingen die allen het zelfde oppervlak osluiten, wordt het dipooloent verhoogd tot μ N I A
(b) Krachten op stroovoerend kader We bekijken nu de krachten die inwerken op een rechthoekig kader et oppervlakte a b dat kan roteren o zijn as zoals voorgesteld in figuur (a) waar de situatie wordt getoond voor het geval dat het kader evenwijdig is et het agetisch veld. De onder- en bovenkant van het kader ondervinden geen kracht odat die delen van het kader evenwijdig zijn et het veld. De linker- en rechterkant van het kader ondervinden ieder een kracht F = Ia voor de in figuur getoonde situatie. Als θ de hoek is tussen de veldrichting en de richting loodrecht op het kader (zie figuren (b) en (c)), dan worden de krachten oor een willekeurige oriëntatie van het kader gegeven door F = Ia sinθ (vectorieel product).
(b) Krachten op stroovoerend kader, vervolg 1 De tegengestelde krachten (krachtenkoppel) resulteren elk in een zelfde krachtoent dat het kader laat roteren o zijn as. Er is dus een krachtenkoppel werkzaa et totaal krachtoent (zie figuur (b) en (c)). b b I a sin I a sin I a b sin Gebruik akend van het antwoord op deel (a) van de vraag, kan dit resultaat vectorieel geschreven worden als I A
(b) Krachten op stroovoerend kader, vervolg Uitbreiden naar een kader et N windingen en verder gebruik akend van de definitie van het agnetisch dipooloent, kunnen we dit tenslotte herschrijven als N I A Het kader ondervindt een axiaal oent als het kader evenwijdig is et het agneetveld. Het oent wordt nul voor loodrechte orientatie.
(c) Potentiële energie van het kader Daar we zoals bij de elektrische dipool te aken hebben et de werking van een oent ten gevolge van een krachtenkoppel, kunnen we op een analoge anier een potentiële energie associëren et de rotatiebeweging: U τ dθ N I Asinθdθ μcosθ +C Als we opnieuw U = 0 neen voor θ = π/ vinden we dan dat U μ De potentiële energie wordt iniaal als het kader loodrecht staat op het agnetisch veld en het dipooloent in dezelfde richting wijst als het agnetisch veld.
Oefening
Oplossing van de oefening a) epaal de lineaire stroodichtheid die op deze anier ontstaat in de x-richting. eide dunne platen voren een pad voor een tweediensionale stroo. In dit geval wordt de (lineaire) stroodichtheid gegeven in A/ (de stroo per eenheid van breedte). Als we een stuk van de platen beschouwen et lengte l en et breedte w, dan wordt de stroo I gegeven door (v = l/t) I q t w t wv wv De lineaire stroodichtheid J lin wordt dan gevonden door I te delen door w: J lin I w wv w v De stroen in de bovenste en de onderste plaat lopen in tegengestelde zin. In de bovenste plaat loopt de stroo naar rechts (in de +x-richting) en in de onderste plaat loopt de stroo naar links (in de x-richting).
Oplossing van de oefening, vervolg 1 b) Gebruik de stroodichtheid o aan te tonen dat het netto agneetveld tussen de platen gericht is volgens de z-as et als grootte = µ 0 σv. Owille van de syetrie van het problee (evenwijdige heel grote platen) kiezen we rechthoekige Apèriaanse lussen zoals getoond in onderstaande figuur. Uit de syetrie van het problee volgt dat het door de stroo gegenereerde agneetveld enkel een coponent volgens de z-as kan hebben (denk aan het veld veroorzaakt door een lange stroovoerende draad). Uit de regel van de rechterhand volgt bovendien dat het veld van de bovenste plaat volgens de zrichting wijst onder de plaat en volgens de +z-richting boven de plaat. Voor de onderste plaat is de situatie ogekeerd.
Oplossing van de oefening, vervolg De wet van Apère levert voor de Apèriaanse lussen et breedte w evenwijdig aan de z-as dat d Dit kunnen verder herwerken tot I 0 0 En zoals hiervoor aangegeven heeft dit veld de zelfde absolute waarde voor de twee platen en is het telkens gericht volgens de z-as voor het gebied tussen de twee platen. Tussen de twee platen tellen de velden op zodat het veld zoals aangegeven in de opgave inderdaad een z-coponent heeft gelijk aan J lin w 0 J lin 0 w 0 Jlinw v v 0 0 v
Oplossing van de oefening, vervolg 3 c) epaal het agneetveld dicht bij de platen, aar aan de buitenkant van de condensator. De wet van Apère leert ons ook dat boven de bovenste plaat het gegenereerde veld gericht is volgens de +z-as, terwijl het veld dat gegenereerd wordt boven de onderste plaat, volgens de z-richting gericht is. Hieruit vinden we dan dat boven de bovenste plaat de velden van de twee platen ekaar copenseren en het netto-veld is gelijk aan nul. Analoog vinden we dat beneden de onderste plaat de velden van de twee platen ekaar eveneens copenseren. De velden voor ieder van de twee platen hebben nu wel hun richting ogekeerd. Het is belangrijk dat we steeds ver genoeg van de randen van de platen blijven teneinde de syetrie van het problee niet te verstoren. Dit betekent dat we ook niet te ver boven de platen ogen gaan (in vergelijking et hun laterale afetingen) teneinde randeffecten te kunnen uitsluiten.
Oplossing van de oefening, vervolg 4 d) Wat is de grootte en richting van de agnetische kracht per eenheid van oppervlakte op de bovenste plaat? We aken hier gebruik van het resultaat dat we in hoofdstuk 7 gevonden hebben voor de kracht op een stroovoerende draad: F I Hierbij is een vector et lengte l en een richting evenwijdig aan de stroo. Als we in deze uitdrukking voor de agnetische kracht het in b) gevonden agnetisch veld invullen voor de onderste plaat en gebruik aken van de in a) gevonden uitdrukking voor de stroodichtheid, vinden we voor de absolute waarde van de kracht op de bovenste plaat: F 0 v v 0 v w w De regel van de rechterhand leert ons dat de kracht naar boven gericht is (volgens de +y-as).
Oplossing van de oefening, vervolg 5 e) ij welke snelheid v is de agnetische kracht op één plaat even groot als de elektrische kracht op diezelfde plaat? Druk deze snelheid uit in functie van de eleentaire constanten die op pagina 1 van het forulariu gegeven worden. In hoofdstuk 1 hebben we geleerd dat de elektrische kracht gegeven wordt door F q E E Het elektrisch veld dat door de onderste plaat et negatieve lading wordt veroorzaakt ter hoogte van de bovenste plaat et positieve lading is naar beneden gericht (volgens de y-as). De absolute waarde van dit veld is (op voorwaarde dat we dicht genoeg bij de plaat blijven, zie hoofdstuk 1): F E 0
Oplossing van de oefening, vervolg 6 De elektrische kracht op de bovenste plaat is dan ook naar beneden gericht en heeft als absolute waarde F E qe 0 0 w w Het elektrisch en het agnetisch veld dat we hier gevonden hebben, zijn de velden voor het deel van de platen et oppervlakte lw. eide krachten zullen ekaar copenseren als ze de zelfde absolute waarde hebben. Dit geeft dan F Ter info: als we de waarden voor de constanten µ 0 en ε 0 invullen, dan vinden we een snelheid in de buurt van de 300.000 k/s, dit is de lichtsnelheid (zie hoofdstuk 31). 0 v 1 w F w v E 0 0 0
4 korte vragen
(1) Stroo tengevolge van de bewegende staaf We gebruiken de vergelijking voor de kracht die in het forulariu staat aangegeven: v F I R We gebruiken eerst het tweede deel van de vergelijking o het agnetisch veld te berekenen: 0,60 Oplossen naar levert dan,601 0,10 T 0 360 T 0,10 1 360 T
(1) Stroo tengevolge van de bewegende staaf, vervolg Vervolgens gebruiken we het eerste deel van de vergelijking uit het forulariu: 0,60 I F 360 0,10 Hierbij hebben we de wortel uit 360 benaderd door de wortel uit 400 die gelijk is aan 0. Antwoord (a) is dus het correcte antwoord. Er is ook een alternatieve, kortere oplossingsethode, waarbij en het geleverd verogen F v o de staaf te bewegen gelijk stelt aan de Joulse opwaring RI. Hieruit blijkt ook duidelijk dat de lengte van de bewegende staaf geen invloed heeft op het resultaat. A 6 0 A
() Versnelling van een elektron in een agnetisch veld Zoals aangegeven in voorbeeld 7-7 in het handboek, gaat het hier o de centripetale kracht / versnelling tengevolge van de welke de rechte baan van het elektron afgebogen wordt tot een cirkelbeweging (cyclotronbeweging). We aken dan gebruik van de tweede wet van Newton waarbij we assa aal versnelling gelijk stellen aan de agnetische kracht: We werken dit dan uit voor de verschillende coponenten en vinden v a F e 0. 10 6.0 / 6 e v e v v e a z x z x x z y 0 / y z z y x v v e a 5 1, 10 6.0 / 6 e v e v v e a y x x y y x z
() Versnelling van een elektron in een agnetisch veld, vervolg We vinden dat de cyclotronbeweging gebeurt in het (y,z)-vlak. De grootte van de totale versnelling in dit vlak vinden we et behulp van de regel van Pythagoras: a a y a z e 6 6 1 10 9 10 10 6 e 5 1510 6 1,60 10 9,1110 19 31 s 4 9,11 10 18 s We zien dan dat antwoord (c) het correcte antwoord is.
(3) erekenen van het agnetisch veld Voor de berekening aken we gebruik van de wet van iot en Savart. Voor een kwart van een cirkel werd de berekening al uitgevoerd in voorbeeld 8-13 in het handboek. Ook hier is er geen bijdrage van de horizontale en verticale rechte stukjes odat het vectorieel product in de wet van iot en Savart dan nul is. Voor de cirkel et de straal b vinden we (het veld wijst in het blad): I I 0 0 8R 8b Voor de cirkel et straal a vinden we (het veld wijst uit het blad): I I 0 0 8R 8a
(3) erekenen van het agnetisch veld, vervolg Het veld wijst netto uit het blad en heeft als absolute waarde 7 0 I 1 1 4 10 30 100 8 a b 8 67 3,14 1510 7 T 33 T We zien dan dat antwoord (d) het juiste antwoord is.
(4) Resonantiefrequentie van het LC-circuit Het antwoord kunnen we direct vinden door gebruik te aken van de uitdrukking voor de resonantiefrequentie (zie forulariu): 1 1 f f LC LC Gebruik aken van de voorhanden zijnde gegevens vinden we dan 10 1 khz LC 10 4 Hz -1 LC We lossen dan op voor L en vinden L 8-10 Hz 10 H 6 10 μf 10 H Als we de spoel opvullen et agnetisch ateriaal, dan wordt het geproduceerde veld 4 keer groter en de inductantie L wordt dus ook 4 keer groter. Uit de uitdrukking voor de resonantiefrequentie volgt dan dat deze frequentie et een factor wordt verlaagd.