Kwadratische verbanden - Parabolen klas 01011ms Een paar basisbegrippen om te leren: - De grafiek van een kwadratisch verband heet een parabool. - Een parabool is dalparabool met een laagste punt (minimum). - Of de parabool is bergparabool met een hoogste punt (maimum). - Een parabool is symmetrisch, de symmetrie-as loopt door de top. - Voor het tekenen bereken je minstens 7 punten, waaronder in ieder geval de top. - Een parabool teken je als een vloeiende gebogen lijn. De eenvoudigste parabool noemen we ook wel de standaardparabool met formule: y= Merk op dat als je de symmetrie-as weet, dat je dan maar de helft van de punten echt hoeft te berekenen. De tabel vind je hieronder en de grafiek vind je hiernaast: - - -1 0 1 y 9 1 0 1 9 Om zo n grafiek netjes te tekenen, moet je simpelweg genoeg oefenen. Vanuit de standaardparabool y= werken we naar elke andere parabool. A. Het getal a, verandert de vorm van de parabool Als we de parabool: y= a vergelijken met y= dan is de top nog steeds punt (0,0). Maar nu wordt er na het kwadrateren vermenigvuldigd met een getal a. (het vorm getal) Is a positief, dan spreken we van een dalparabool ( na de top stijgt de lijn ) Is a negatief, dan spreken we over een bergparabool ( na de top daalt de lijn ) En als a > 1 dan wordt de parabool steiler en smaller, en als a < 1 dan wordt de parabool breder en minder steil. De grafieken van: y = 1 =, y=, y De grafieken van: y= 1, y=, y=
B. De parabool verticaal verschuiven: De plaats van de top verandert Als je de parabool y= a verticaal verschuift krijgt je een parabool van de vorm: y = a + q Bijvoorbeeld: y = + is een verschuiving van y= met + (dus omhoog). y = + 5 is een verschuiving van y= met + 5 (omhoog). 1 y = is een verschuiving van y= met (omlaag). 1 De symm.as blijft gelijk, maar de top verschuift dus ook omhoog of omlaag.. Opdrachten: B1. a. Hoe kun je aan de formules in de voorbeelden zien of de grafieken dal of bergparabool zijn? b. Hoe kun je aan de formules zien of de grafieken breed of smal zijn? B. Maak tabellen en teken in één figuur de volgende grafieken: a. y= 1 b. y = 1 + B. Schrijf de coördinaten van de top op: a. y = 1 + 6 c. y = 1 1 + b. y = d. y = 1 B. Een parabool heeft top (0,-) en gaat door punt (,). a. Welke lijn is symm.as van de parabool? Welk punt ligt ook op de parabool? b. Geef de formule. d. Bereken nog een aantal punten en teken de parabool. C. De parabool horizontaal verschuiven: Let op de plaats van de top Als je de parabool Bijvoorbeeld: y= a horizontaal verschuift, krijg je een parabool: y = ( + ) is een verschuiving van y = ( + ) is een verschuiving van 1 ( 5) y a = ( p). y= met naar links. (tegen je gevoel in!) y= met naar links. y = is een verschuiving van y= met + 5 naar rechts. 1 De symm.as en de top verschuiven dus ook naar links of naar rechts. Opdrachten: C1. Maak tabellen, teken in één figuur de volgende grafieken: a. y 1 = b. y = 1 ( ) C. Schrijf de coördinaten van de top op: a. y = b. 1 ( 6) y = ( +,5)
D. De parabool verschuiven: horizontaal en verticaal Als je de parabool y= a zowel horizontaal als verticaal verschuift, krijg je een parabool van de vorm: y = a( p) + q. In deze formule kun je de vorm en de top aflezen. Ook kun je nu als je de vorm en de top van een parabool weet, de formule opschrijven. D1. Schrijf de coördinaten van de top op: a. y = ( + ) + b. y = ( ) + 5 D. Hieronder zie je grafieken van 18 kwadratische verbanden, schrijf van elke parabool de formule op:
E. Vergelijkingen oplossen met worteltrekken Bij het snijpunt van een parabool en een rechte lijn hoort een vergelijking. Je noemt dit een kwadratische vergelijking - De snijpunten van - De snijpunten van y= met y = 9, bereken je dus door = 9 op te lossen. y= met y = 6, bereken je dus door = 6 op te lossen. Vb1: = 9 = of = Let goed op het aantal oplossingen! Vb: = 6 = = of = ( 1, 7 of 1, 7 ) Je mag de wortels benaderen. Maak nu: 1 E1. Los de volgende vergelijkingen op: a. = 1 c. = 1 b. 5 1 = 0 d. = 5 E. Los de volgende vergelijkingen op: a. = 9 c. = 15 b. = 9 d. = 15 Bij de opgaven hierboven moet je soms al een eerste (deel)stap zetten met de balansmethode. Bij de volgende opgaven moet je meerdere stappen zetten met de balansmethode. Vb: 1 + 5 = 7 1 = = = of = Vb: + 8= = 6 = = of = ( 1, 7 of 1, 7 ) Als je moeite hebt met de juiste volorde van de stappen, moet je de letten op de juiste rekenvolgorde in de formule. TIP: Maak ook eens een rekenschema/terugrekenschema, dan wordt die volgorde zichtbaar: Maak nu:... + 5 + 5 7 : Heen...... 7 Terug... 1... 7 5 1 =... 1 E. Los de volgende vergelijkingen op: a. 6= 10 c. + 0= 1 1 : b. + 1= 0 d. 1 10= 0 E. Los de volgende vergelijkingen op: a. + 5= 70 c. 7 = b. 10 = d. + 5= 1
Met haakjes: Ook bij kwadratische vergelijkingen kunnen in de opgave haakjes voorkomen. Ook deze vergelijkingen los je op met de balansmethode, alleen de volgorde van de stappen verandert, omdat haakjes ook de normale rekenvolgorde veranderen. Vb5: Los op: ( ) =... Eerst weer even een rekenschema: Heen... Terug Nu in stappen: ( ) = + = of = = + of = (, 7 of 0, 7 )...... Ook nu is het mogelijk om de opgave steeds een stapje moeilijker te laten lijken door stappen toe te voegen, maar je kent alle stappen die nodig zijn, alleen moet je ze wel in de juiste volgorde toepassen. (denk weer aan het rekenschema) Vb6: ( + ) = 75 ( + ) = 5 + =5 of + = 5 = 1 of = 9 Vb7: 5( ) + 50= 10 5( ) ( ) = 0 = = 8 of = 8 = + 8 of = 8 8 Maak nu: 1 E5. Los de volgende vergelijkingen op: a. ( + 1) = c. ( ) + 16= 1 b. ( ) = 8 d. 1 ( + 5) 10= 0 E6. Los de volgende vergelijkingen op: a. ( ) = 8 c. ( ) + = 16 E7. Ga naar www.marcelsilvius.nl Kies voor programma s en scripts en voor het programma: b. (10 ) = d. 1 ( 8) + 5= 0 Oefen met dit programma elke dag een kwartiertje totdat je moeiteloos de opgaven kunt maken.
Antwoorden Kwad.verbanden Parabolen klas 01011ms B1 a. dal: getal a positief, berg: getal a negatief b. breed: getal a<1, small: getal a>1 B a. ( 0,6) c. ( 0, ) b. ( 0, ) d. ( 0, ) B a. y-as, (,) 1 b. y = C a. ( 6,0) b. (,5;0) D1 a. (,) b. (,5) D a. b. y = ( ) y = + y = ( + ) y = 1 + 1 = ( + 5) y = ( ) + c. y 5 1 d. y = ( + ) 1 y = ( ) e. ( ) 1 y = + + 7 y = ( ) + 5 1 1 y y = ( 1 ) 1 1 1 y = ( + ) + y = 8 ( + ) 5( ) 1 y = y = 5 ( ) 1 y = y = 1 + f. = ( + ) + 8 g. h. 5 i. E1 a. = 6 of = 6 c. = 1 of = 1 b. = 6 of = 6 d. = 10 of = 10 E a. geen oplossing c. geen oplossing b. = of = d. = 5 of = 5 E a. = 8 of = 8 c. = 8 of = 8 b. = of = d. = 0 of = 0 65 65 E a. = of = c. = 15 of = 15 b. = 6 of = 6 d. geen oplossing E5 a. = of = c. = 6 of = b. = of = + d. = 5 0 of = 5+ 0 E6 a. = 1 of = 7 c. = 1 of = + 1 b. = 8 of = 1 d. = of = 18