3 Eletronische structuur van materialen (Aanvulling op hoofdstuen 7 en 8 van Rosenberg.) 3.1 Vrije eletron model In het voorgaande hebben we steeds de geometrische structuur van materialen besproen. Toch worden vrijwel alle eigenschappen van materialen bepaald door de eletronische structuur, bijvoorbeeld de leur, de mechanische stijfheid en de geleiding. Onze aandacht voor de geometrische structuur was overigens wel terecht, want de positie van de atomen bepaald uiteindelij weer de eletronische structuur. We beginnen met de eigenschappen van metalen. Als we hiervan de hoofdelementen begrijpen, omen de verschillen met isolatoren en halfgeleiders vanzelf naar voren. In een metaalatoom zijn de buitenste eletronen heel zwa gebonden. Bij de vorming van een ristalrooster unnen deze eletronen gemaelij van het ene atoom naar het andere overspringen: dit verlaart waarom metalen zo goed een eletrische stroom unnen geleiden. Eén van de eerste modellen hiervoor stamt uit 1900 en werd door P. Drude voorgesteld (Het eletron was toen nog maar net ontdet, namelij in 1897 door Thomson!). Drude beschouwde een metaal als een lege doos, gevuld met eletronen die zich als een ideaal gas gedragen. Dit is natuurlij een ster vereenvoudigde voorstelling van zaen, maar via de inetische gas theorie onden wel een aantal arateristieen van eletrische en warmte geleiding verlaard worden. Toch voorspelde het Drude model een veel te grote waarde voor de soortelije warmte van een metaal, ongeveer honderd maal groter dan eperimenteel waargenomen. Dit probleem werd pas opgelost met de ontwieling van de wantummechanica. In deze theorie beschouwen we de eletronen niet als een lassie gas, maar als wantummechanische golven, die nog steeds vrijelij unnen bewegen in een lege doos; ongeveer zoals geschetst in figuur 3-1. Dit is het vrije eletron model. Om de eigenschappen van dit eletronengas te vinden, moeten we de Schrödingervergelijing oplossing voor dit systeem: Fig. 3-1. Het vrije eletron model: een metaalristal wordt voorgesteld als een lege doos waarin de wantummechanische eletronengolven vrijelij unnen bewegen. 1
h m + y + z Ψ( r) = EΨ( r), (3-1) met h de constante van Planc gedeeld door π, m de massa van het eletron, Ψ de golffunctie en E de energie. De vergelijing ziet er voor de drie richtingen, y en z hetzelfde uit. We nemen daarom eerst alleen de richting: h m Ψ = EΨ. (3-) De tweede afgeleide van de functie is gelij aan de functie: we unnen dus bijvoorbeeld een sinus voor de golffunctie iezen: Ψ π = Asin λ = Asin( ), (3-3) waar we, net als bij het onderdeel diffractie, de term met de golflengte λ meteen vervangen door de golfvector = π/λ. Als we deze golffunctie in de Schrödingervergelijing invullen, dan vinden we dat voor de energie geldt: h E =. (3-4) m Niet alle energieën (en golfvectoren) zijn echter toegestaan, dit blijt als we reening houden met de randvoorwaarden van ons model. Hiervoor unnen we van twee verschillende situaties uitgaan die geschetst zijn in figuur 3-. Staande golven We unnen het ristal beschouwen als een doos met lengte L met daarin staande golven. Aan de randen moet de golffunctie dan de waarde nul hebben, dus ψ(=0) = ψ(=l) = 0. Na invullen van dit in vergelijing (3-3) blijt dat dit alleen lopt als de golfvector aan de volgende voorwaarden voldoet: π π π = n, dus = 0, =, =,L. (3-5) L L L 0 L +L (a) Fig. 3-. Randvoorwaarden voor de golffuncties in een stu ristal met lengte L. (a) Staande golven met nopen aan de rand, (b) periodiee randvoorwaarden (b)
Alleen discrete waarden van zijn mogelij, zoals altijd wanneer we een wantummechanische golffunctie in een gesloten systeem oplossen. Voor staande golven neemt n alleen positieve waarden aan (de golf voor negatieve n is identie, want staande golven hebben geen richting). Periodiee randvoorwaarden Een alternatief is het gebrui van periodiee randvoorwaarden. In dat geval beschouwen we ons stu met lengte L als een (lein) onderdeel van een groot ristal. Als we goede oplossingen hebben binnen ons stu met periodiee randvoorwaarden, dan unnen we vervolgens ons systeem net zo groot maen als we willen door deze stuen naast elaar te leggen. De periodiee randvoorwaarde beteent dat de golffunctie aan beide anten van het stu hetzelfde moet zijn: ψ() = ψ(+l). Invullen in vergelijing (3-3) levert nu: π π π = n, dus = 0, = ±, = ±,L. (3-6) L L L Nu zijn er zowel positieve als negatieve waarden van mogelij (de golven hebben een richting), maar hun onderlinge afstand is een factor groter geworden. Het aantal toestanden is dus gelij gebleven. Het gebrui van verschillende randvoorwaarden is enigszins verwarrend, maar uiteindelij blijen beide randvoorwaarden dezelfde resultaten op te leveren. Rosenberg gebruit de staande golven, maar voor de discussie over geleiding en andere verschijnselen zijn de periodiee randvoorwaarden een logischer euze. Deze zullen we in het vervolg dan oo gebruien. Overigens houden we in beide gevallen geen reening met de echte randen van het ristal. Aan het oppervla zal zeer iets speciaals gebeuren, maar omdat dit geen echte invloed heeft op de buleigenschappen, houden we daar geen reening mee. Bovenstaande afleiding voor de richting geldt natuurlij oo voor de y en z richtingen. De golffuncties zijn dus van de vorm: Ψ = Asin( )sin( )sin( ), (3-7) y z waarbij we de totale golfvector unnen schrijven als: 4π = y = + y + z = ( n ) + n y + nz. (3-8) L z De bijbehorende energie is: E h m =. (3-9) We unnen nu de energieverdeling van de eletronen afleiden. Hier zien we het essentiële verschil tussen de lassiee en de wantummechanische benadering: lassie 3
y F π/l unnen heel veel eletronen dezelfde energie hebben, maar wantummechanisch an ele golffunctie slechts twee eletronen bevatten (twee i.v.m. de twee spintoestanden). Als we de eletronen moeten verdelen over de golffuncties, beginnen we met het opvullen van de toestanden met de laagste energie, maar eindigen we met een veel hogere energie. Voor een gegeven aantal eletronen N is er natuurlij een maimale energie (voor temperatuur gelij aan 0). Deze energie wordt de Fermi energie genoemd. De waarde van de Fermi energie unnen we bepalen door het aantal toestanden te tellen. Bij de Fermi energie hoort een Fermi golfvecter F (dit is tevens de maimale golfvector bij T = 0). In de -ruimte zitten alle toestanden dus binnen een bol met straal F, zoals aangegeven in fig. 3-3 (NB Deze -ruimte lijt natuurlij veel op de reciproe ruimte die we bij het onderdeel diffractie besproen hebben). Het volume van de bol is: 4 3 π, (3-10) 3 F terwijl het volume per toestand wordt gegeven door (zie vgl. 3-6): 3 Fig. 3-3 In de -ruimte liggen de eletronen met de Fermi energie op een bol met straal F. Binnen deze bol liggen een groot aantal discrete toestanden die hier als punten staan weergegeven. In werelijheid is de dichtheid van punten heel erg groot en un je pratisch van een continue energieverdeling uitgaan. π. (3-11) L Deling van beide volumes geeft het totaal aantal toestanden in de bol, hetgeen nog met twee vermenigvuldigd moet worden i.v.m. de twee spintoestanden. Door dit gelij te stellen aan het aantal eletronen N, vinden we de Fermi golfvector en daarmee de Fermi energie: E F = h 3π N m V 3. (3-1) 4
Hierin is L 3 = V, het volume van ons stuje ristal. Invullen van de constanten in deze vergelijing levert op dat de Fermi energie voor metalen typisch tussen -10 ev ligt. (We iezen hier ev als energie eenheid, omdat dit een handige maat is voor energieën op atomaire schaal). Enele ev s is een hele hoge energie! Voor lassiee deeltjes is de energie gelij aan T, hetgeen bij amertemperatuur overeenomt met ca. 0.05 = 1/40 ev. De Fermi energie is dus ca. een factor honderd hoger dan de energie die je lassie zou verwachten. 3. De toestandsdichtheid Vergelijing (3-1) unnen we oo omdraaien, zodat we het aantal beschibare toestanden N(E) tot aan een energie E unnen uitreenen: V (m) N( E) E 3π h 3/ = 3/ 3 (3-13) De belangrije grootheid toestandsdichtheid, d.w.z. het aantal toestanden per energie interval, unnen we hieruit afleiden door te differentieren naar de energie: 3/ dn V (m) g( E) = = E 3 de π h 1/ 1/ g( E) E. (3-14) De toestandsdichtheid is dus evenredig met de wortel uit de energie. Bij 0 K zijn alle toestanden tot aan het Fermi niveau bezet, daarboven zijn alle toestanden leeg. Bij eindige temperatuur veranderd deze verdeling, omdat door thermische ecitaties eletronen in principe in een toestand van hogere energie (aangeslagen toestand) terecht unnen omen. Dit is vergelijbaar met het eciteren van eletronen in een atoom: door energie toe te voeren an een eletron van de ene schil in de andere overspringen. Het metaalristal is in zeere zin een heel groot atoom, met heel erg veel, dicht bij elaar gelegen toestanden. Bij ecitatie springt een eletron van een bezette toestand naar een lege, en laat dan natuurlij een lege toestand achter. Het energieverschil tussen deze toestanden bij thermische ecitatie moet gelij zijn aan de bijbehorende thermische energie. We hadden reeds gevonden dat de thermische energie bij amertemperatuur ongeveer een factor honderd leiner is dan de Fermi energie, en dus zullen alleen de eletronen dicht bij het Fermi niveau een dergelije overgang unnen maen. Dit is een belangrij punt: vanwege het wantummechanische arater van de eletronen, worden er slechts weinig geëciteerd, namelij alleen de eletronen in de buurt van het Fermi niveau. In de uitdruingen van eletrische of thermische geleiding om je om deze reden dan oo steeds de Fermi energie of de toestandsdichtheid bij het Fermi niveau tegen. Om de precieze toestandsverdeling bij eindige temperatuur te weten, hebben we een resultaat nodig uit de statische thermodynamica. Voor deeltjes waarvoor het uitsluitingsprincipe van Pauli geldt (zogenaamde fermionen), wordt de energieverdeling gegeven door de Fermi-Dirac verdeling: 5
1 f ( FD E) =. (3-15) ( E EF ) / T e + 1 Bij lage temperaturen is dit een functie die gelij is aan 1 beneden de Fermi energie, en gelij aan 0 boven de Fermi energie. Alleen in de buurt van het Fermi niveau zelf treden (leine) afwijingen op. Pas bij zeer hoge temperaturen (namelij vergelijbaar met de Fermi energie) treden afwijing op over een breed energiegebied. De Fermi-Dirac verdeling is volledig anders dan de Mawell-Boltzmann verdeling die geldt voor een lassie gas: f MB ( E) E / T e. (3-16) De lassiee toestandsdichtheid is dus evenredig met de beende Boltzmann factor, waardoor het aantal bezette toestanden eponentieel afneemt als functie van de energie. De dichtheid van de bezette eletronentoestanden n(e) is nu het product van de toestandsdichtheid met de Fermi-Dirac verdeling: n( E) = g( E) f ( E) (3-17) FD De onderwerpen in Rosenberg 7.7-8.7 behoeven geen verdere toelichting. 3.3 Bandentheorie In het vrije eletron model wordt helemaal geen reening gehouden met het feit dat er in het ristal allemaal atomen zitten, er wordt aangenomen dat de eletronen vrijelij unnen bewegen in een lege doos. De eletronen bewegen alle anten op en er is een vrijwel continue verdeling van golfvectoren in alle mogelije richtingen (binnen de Fermi bol). Wij weten anderzijds dat een echt metaal natuurlij geen lege doos is, maar juist bestaat uit een regelmatig patroon van atomen: met posities gegeven door het ristalrooster. In de bespreing van röntgenverstrooiing aan ristallen hadden we geleerd dat er diffractie op an treden als de röntgenstraling een hele specifiee golflengte en richting heeft: de impulsoverdracht moet precies gelij zijn aan een reciproe roostervector. Maar hetzelfde geldt natuurlij voor de eletronen! Dit zijn oo deeltjes met een zeere golflengte, en er moet dus in principe oo diffractie op unnen treden. Omdat de eletronen in het vrije eletron model alle mogelije richtingen en energieën hebben, is diffractie zelfs heel waarschijnlij! Het blijt dat als we de resultaten van het vrije eletron model combineren met die over diffractie aan een ristalrooster, we het verschil tussen geleiders en isolatoren unnen begrijpen. De situatie staat geschetst in figuur 3-4. In de -ruimte (reciproe ruimte) unnen we tegelijertijd de mogelije eletronentoestanden teenen (binnen de Fermi bol) en de reciproe roostervectoren H. Diffractie treedt op als geldt: K f K i = H, (3-18) d.w.z. als de impulsoverdracht (in dit geval van de eletronen) gelij is aan een reciproe roostervector. Fig. 3-4b geeft twee voorbeelden voor de begin en eind golfvectoren waarbij de 6
y Q= H K i,1 K f,1 π/a π/a K i, K K f, (a) Fermi bol reciproe roosterpunt (b) impulsoverdracht gelij is aan het reciproe roosterpunt met coördinaten (10), dus het punt met lengte π/a, met a de roosterparameter. Uit de figuur wordt duidelij dat voor de (10) reflectie, alle mogelije golfvectoren van de eletronen op de bissectrice liggen, dus op de lijn door π/a, loodrecht op de reciproe roostervector. Voor de eenvoud gaan we nu eerst verder met een één-dimensionaal rooster langs de -richting. In dat geval treedt diffractie op als: Fig. 3-4. (a) De Fermi bol waarbinnen de bezette eletronentoestanden zich bevinden, samen met het reciproe rooster van het ristal. Voor diverse waarden van de golfvectoren an diffractie optreden. (b) Voor de (10) reciproe roostervector liggen de mogelije golfvectoren op de stippellijn; twee mogelije inen uitgaande golfvectoren zijn geteend. π = n. (3-19) a Voor andere waarden van gebeurt er niets, maar voor deze waarden van wordt een golf die naar rechts loopt heel gemaelij terugverstrooid naar de lins, en vice versa. Het netto resultaat van dit diffractieproces is dat er staande golven ontstaan, en wel in twee soorten, zie figuur 3-5. De eerste soort heeft de nopen precies op de positie van de atomen/ionen, terwijl de tweede soort de nopen daar precies tussenin heeft. Bij de tweede soort staande golven, zit het eletron dus dicht in de buurt van het atoom/ion. Vanwege de aantreende potentiaal van dit atoom/ion zal het eletron dat bij deze golf hoort dus een lagere energie hebben dan je op grond van het vrije eletron model zou verwachten. De andere staande golf heeft omgeeerd juist een hogere energie. Bij deze golfvector blijt de energie dus op te splitsen in twee waarden, met daartussen een energiegebied waar geen enele golftoestand zich bevindt: de verboden band. Voor ele waarde van de golfvector waarvoor geldt: = nπ/a treedt een soortgelije splitsing op, waardoor de continue energieverdeling van het vrije eletron model nu verandert in een verdeling met een groot aantal losse banden. Het gebied -π/a π/a noemen we de eerste Brillouin zone. 7
E verboden band -π/a -π/a 0 π/a π/a Fig. 3-5. Voor eletronen met een golfvector gelij aan π/a treedt diffractie op en is het vrije eletron model niet geldig. In plaats van onafhanelije golven die naar lins of rechts bewegen, worden de golven zodanig geoppeld dat staande golven ontstaan. 3.4 Geleiders en isolatoren Voor het vrije eletron model hadden we afgeleid dat de afstand tussen de mogelje toestanden π/l bedraagt, met L de lengte van de doos. Nu we het ristalrooster epliciet meenemen, unnen we L uitdruen in eenheidscellen: L = Ma, met M het aantal eenheidscellen, en a de roosterconstante. Dus: π =. (3-0) Ma In de eerste Brillouin zone (-π/a π/a) passen dus in totaal (π/a)/ = M golffuncties. Vanwege de twee spintoestanden is het aantal toestanden in de eerste energieband dus M. Per eenheidscel zijn er dus twee mogelije toestanden. Dit geldt voor alle energiebanden, en oo voor drie dimensies, zodat we de volgende, zeer belangrije, conclusie mogen treen: Ele energieband an twee eletronen bevatten per eenheidscel. In hoeverre de mogelije toestanden daadwerelij bezet zijn, hangt natuurlij af van het aantal valentie eletronen per eenheidscel. Als een energieband helemaal gevuld is, is geen geleiding mogelij en is er sprae van een isolator. Is een energieband slechts voor de helft gevuld, dan an een eletron onder invloed van een eletrisch veld gemaelij naar een andere toestand overspringen en is geleiding mogelij. Dit staat geïllustreerd in figuur 3-6. We omen dus tot een heel eenvoudig beeld: is het aantal valentie eletronen per eenheidscel oneven, dan is het materiaal geleidend. Is dit aantal even, dan is het materiaal een isolator of eventueel een halfgeleider. Het verschil tussen een isolator of een halfgeleider wordt bepaald door de grootte van de verboden energieband. Is dit energieverschil vrij lein (in de buurt van een ev), dan zullen er bij eindige temperatuur een gering aantal eletronen in de volgende energieband zitten. Deze eletronen hebben wel onbezette toestanden beschibaar en unnen dus voor geleiding zorgen. Hoe hoger de temperatuur, hoe hoger het aantal eletronen in de 8
oneven aantal eletronen: geleider even aantal eletronen: isolator E E -π/a 0 π/a -π/a 0 π/a E E -π/a 0 π/a -π/a 0 π/a Figuur 3-6 Een schematisch overzicht van de eerste twee energiebanden geteend in het gereduceerde zone schema. De die grijze curves stellen de bezette eletronentoestanden voor. Als het aantal eletronen oneven is (twee liner figuren) unnen de eletronen bij het Fermi niveau zonder energiebarrière naar lege toestanden overspringen. Onder invloed van een eletrisch veld an dan geleiding optreden en hebben we dus een metaal. Als anderzijds het aantal eletronen even is, zijn de energiebanden helemaal gevuld en is het materiaal een isolator (of eventueel een halfgeleider als de verboden energieband lein is). volgende energieband, en dus oo hoe hoger de geleiding. Dit verlaart waarom voor halfgeleiders, in tegenstelling tot metalen, de weerstand afneemt als functie van de temperatuur. 3.5 Brillouin zones In het ééndimensionale geval dat we hierboven bespraen, vonden we dat we de energiebanden onden onderverdelen in Brillouin zones, met het interval -π/a π/a als de eerste Brillouin zone. In drie dimensies unnen we op soortgelije wijze afleiden voor wele waarden van er diffractie optreedt, en waarvoor er dus een verboden energieband zal ontstaan. In twee dimensies is dit eenvoudig grafisch voor te stellen, in figuur 3-4 hebben we dit voor één verstrooiingsvector eigenlij al gedaan. Voor ele reciproe roostervector liggen de golfvectoren waarvoor diffractie optreedt op de bissectrice. Door deze bissectrice te 9
teenen voor alle reciproe roostervectoren, verdelen we de reciproe ruimte in diverse stuen, zie fig. 3-7. Het vlaje bij de oorsprong heet de eerste Brillouin zone, de volgende de tweede Brillouin zone etc. 3.6 Eletronen in een periodiee potentiaal We gaan nu op wat formelere wijze het ontstaan van verboden banden afleiden. In het vrije eletron model hadden we de atomen helemaal verwaarloosd, en losten we de Schrödingervergelijing op voor eletronen in een lege doos: h m Ψ = EΨ. (3-1) Voor het gema beperen we ons tot één dimensie. Voor eletronen in een echt ristal wordt dit: h m Ψ + V ( ) Ψ = EΨ. (3-) Het enige verschil zit in de term met V(), de potentiaal die de eletronen voelen t.g.v. de atomen (of ionen). Deze potentiaal is periodie in de roostervector a: V() = V(+a). Ele periodiee functie un je schrijven als een Fourier rees: ih V ( ) = V H e, (3-3) H met H een reciproe roostervector en V H de epansie-coëfficiënt. Voor reële potentialen zal de waarde van V H snel afnemen voor grotere waarden voor H. In het geval van het vrije eletron model onden we volstaan met een enele sinus in Fig. 3-7. Voor iedere reciproe roostervector (hier als een zwarte cirel aangegeven) is eletronendiffractie mogelij voor golfvectoren die op een lijn (in drie dimensies: een vla) liggen loodrecht op de roostervector en precies op de halve afstand vanaf de oorsprong. Deze lijnen (of vlaen) verdelen de - ruimte in afzonderelije stuen die Brillouin zones genoemd worden. In dit voorbeeld is het lichtgrijze vla de eerste Brillouin zone en vormen de donergrijze stuen de tweede Brillouin zone. 10
de golffunctie. Dit is voor vergelijing (3-) onvoldoende, nu proberen we een algemenere vorm: i Ψ( ) = C( ) e, (3-4) waarbij C() de epansie-coëfficiënten zijn van de golffunctie en we over een op dit moment onbeende rees van golfvectoren sommeren. We vinden nu de golffuncties door (3-3) en (3-4) in te vullen in (3-). Dit is met name een boehoudundige eercitie i.v.m. de diverse epansies waar we reening mee moeten houden. We slaan dat allemaal over en vermelden slechts twee belangrije uitomsten. In de eerste plaats blijt er een relatie te bestaan tussen de coëfficiënten van de golffunctie en die van de potentiaal: ( E) C( K) + V C( H ) = 0, ε (3-5) K H H K met h ( K) ε K = (3-6) m en met K een reciproe rooster vector. In de tweede plaats blijt dat we in de golffunctie alleen over een rees van golfvectoren hoeven te sommeren die gelij zijn aan reciproe rooster vectoren: Ψ i( K ) ( ) = C( K) e. (3-7) K Danzij de potentiaal bestaat een eigentoestand van de Schrödingervergelijing nu uit een serie componenten die onderling qua golfvector een geheel aantal malen een reciproe 1-e Brillouin zone -K -K -K 0 K +K allemaal geoppeld Fig. 3-8 Een schematische voorstelling van de eerste energieband, geteend over meerdere Brillouin zones. Een eigenfunctie bestaat uit een som van golffuncties met een serie waardes van de golfvectoren die een reciproe roostervector van elaar verschillen. 11
roostervector van elaar verschillen, zie fig. 3-8. Voor ele golfvector uit de eerste Brillouin zone is er maar één eigentoestand (met ieder plaats voor twee eletronen). Hoe ster de diverse componenten zijn, hangt van de potentiaal af. Als we voldoende componenten van de potentiaal en de golffuncties meenemen, unnen we op deze manier een behoorlij realistische beschrijving van de eletronenstructuur rijgen, maar het is allemaal wel veel wer. Om toch op eenvoudige wijze te illustreren hoe een verboden energie band ontstaat, beperen we ons hier tot een discussie precies op de grens van de eerste Brillouin zone, dus = π/a = ½a, met a de reciproe roostervector. Verder nemen we als potentiaal t.g.v. de atomen een eenvoudige cosinus. In dat geval zijn er slechts twee epansie coëfficiënten van de potentiaal ongelij nul, namelij voor H = a en H = -a : V 1 = V + 1 = V. (3-8) Immers, dan rijgen we: ih ia ia V ( ) = VH e = V 1e + V+ 1e = V cos( a ). (3-9) H V heeft een negatieve waarde, immers de potentiaal is aantreend. De eletronen eigenfunctie bestaat in principe uit een hele rees componenten, maar in dit geval blijen de twee termen met de laagste golfvectoren dominant te zijn: = ½a en = ½a -a = -½a. In dat geval rijgen we dus: i( K ) ia / ia / Ψ( ) = C( K) e = C+ e + C e, (3-30) K waarbij de voor de twee epansie coëfficiënten voor het gema een + of - teen als label gebruien. Vanwege deze vereenvoudigingen, doen in vergelijing (3-5) slechts twee termen per waarde van de reciproe rooster vector K mee: en K 0 : ( ε E) C + + VC = 0 (3-31a) = K a : ( ε E) C + VC = 0, (3-31b) = + waar we geschreven hebben ε -a/ = ε a/ = ε. Dit stelsel vergelijingen heeft alleen een oplossing als de determinant gelij is aan nul: ε E V V ε E = 0 ( ε E) V = 0. (3-3) Hieruit volgen twee mogelije waardes voor de energie: E 1 = ε-v en E = ε+v. Als we de waarde voor E 1 invullen in (3-31a), vinden we dat geldt: C + = -C - = C Voor de bijbehorende golffunctie vinden we dan: 1
Ψ 1 = Ce ia / Ce ia / π = ic sin. (3-33) a Op analoge wijze vinden we voor de eigentoestand met de laagste energie E (immers V < 0): Ψ = Ce ia / + Ce ia / π = C cos. (3-34) a We hebben dus op formele wijze de staande golven en hun energieën gevonden die we al eerder hadden besproen en in fig. 3-5 waren geschetst. 13