Rekenregels voor het differentiëren deel 1 Wisnet-HBO update febr 2010 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les "Wat is Differentiëren" gaan. Verder zijn er Maplets om de rekenregels mee te oefenen (zie bij Maplet openen). In deze les leer je alle rekenregels die er zijn voor het differentiëren. Voor eventuele voorkennis van standaardfuncties wordt verwezen naar het onderwerp Standaardfuncties in Wisnet. 2 Notatie-afspraken Voor de afgeleide van een functie f noteren we wel vaak als f ' (f-accent). We bedoelen dan dat we de functie f naar x differentiëren. Een paar manieren om de afgeleide naar x te noteren. f ' Dit zijn allemaal notaties om de afgeleide functie aan te geven. 2.1 voorbeeld In de praktijk komt het differentiëren naar de tijd t ook vaak voor.
We spreken dan niet van f-accent maar van fluxie-f of ook wel f-stip. Het accent achter de f wordt dan vervangen door een stip boven de functie f. Zijn er meer letters in het spel, dan is het belangrijk om te vermelden waarnaar gedifferentiëerd wordt. Als je bijvoorbeeld naar x differentiëert, dan worden eventuele andere letters in de functie als constante verondersteld. Men gebruikt dan niet een rechte d om te differentiëren maar de notatie is dan als volgt met een zogenoemde "kromme d" betekent dat gedifferentiëerd moet worden naar x waarbij c constant verondersteld wordt. 2.2 voorbeeld Soms kan een functie opgevat worden als een functie van meer variabelen. De afgeleide van de functie naar x wordt als volgt genoteerd: De kromme d staat hier omdat er meer letters in de formule voorkomen. Bij differentiëren naar x worden de andere grootheden (L, en q) constant verondersteld. Zo kun je de functie van meer variabelen ook naar q of eventueel naar L differentiëren als die als variabele worden opgevat. 3 Rekenregels voor differentiëren In de volgende paragrafen worden de rekenregels voor differentiëren van functies van één variabele aannemelijk gemaakt. Deze rekenregels zie je ook terug bij het Maplet voor de training (zie bij Maplet openen). Eerst een kort overzicht:
SpreadSheet001 3.1 Constante functie (Constant) Een constante functie heeft als grafiek een horizontale rechte lijn. De afgeleide van een constante functie is dan ook altijd gelijk aan 0. Immers de raaklijn is dan ook altijd horizontaal en heeft richtingscoëfficiënt gelijk aan 0. of ook wel geschreven als c' = 0. 3.2 De afgeleide van de functie (Identity) De rechte lijn heeft steeds als richtingscoëfficiënt 1 (identiteit). Deze richtingscoëfficiënt verandert niet voor deze lijn, dus de afgeleide van de functie is altijd 1.
Het is ook wel logisch als variabele en functie dezelfde zijn. De verhouding is natuurlijk altijd 1. x' = 1 3.3 Vermenigvuldigen met een constante (Constant Multiple) Als je de functie met een constante (noem deze c) vermenigvuldigt, wordt de grafiek van deze functie ten opzichte van de x-as opgerekt. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn (in ieder punt) ondergaat dan dezelfde oprekking. Met andere woorden, de constante mag ervoor. Met de onderstaande animatie wordt dit aannemelijk gemaakt. Klik op de grafiek en zet de animatie in werking. Als de grafiek ten opzichte van de x-as wordt opgerekt met factor c, (de functiewaarde wordt met c vermenigvuldigd) dan wordt de raaklijn mee opgerekt en dan wordt de richtingscoëfficiënt ook met diezelfde factor c vermenigvuldigd. Script van de figuur 3.3.1 Voorbeeld
3.4 Somregel en verschilregel (Sum/Difference) Wil je de afgeleide van de som van twee of meer functies bepalen, dan bepaal je van iedere functie apart de afgeleide en tel ze daarna op. of ook wel geschreven als: (f + g) ' = f ' + g ' voor het verschil geldt eigenlijk dezelfde regel. (f - g) ' = f ' - g ' Het heeft te maken met de toename van f en de toename van g. Als de functies worden opgeteld, dan worden de toenamen van de functies ook opgeteld. In de figuur hieronder worden de groene en de blauwe grafiek opgeteld. Het resultaat is de rode grafiek. De bijbehorende raaklijnen (het startpunt is ) worden ook opgeteld en dat geeft het resultaat van de som van de richtingscoëfficiënten. script van de figuur 3.5 Machtregel (Power) Heb je een machtsfunctie, dan is de volgende regel handig om te onthouden. Deze regel geldt voor élke waarde van p. Nu volgen voorbeelden met uitleg: voorbeeld 1 Bepaal de afgeleide naar x. voorbeeld 2 Bepaal de afgeleide naar x.
voorbeeld 3 met negatieve macht Bepaal de afgeleide naar x. aanwijzing Maak gebruik van de machtregel en schrijf de functie eerst op een andere manier met behulp van de rekenregels voor machten. Betekent: dus de afgeleide van. andere schrijfwijze kun je ook schrijven als De afgeleide herleid is f ' = = voorbeeld 4 met gebroken macht Bepaal de afgeleide naar x. andere schrijfwijze kun je ook schrijven als aanwijzing
De functie anders geschreven kan nu gemakkelijk met de rekenregel voor machten van het differentiëren gedaan worden. De afgeleide kan nog weer anders geschreven worden met behulp van de rekenregels voor machten. Maak gebruik van de machtregel dus de afgeleide van is f ' = Maak verder gebruik van de rekenregels voor machten f ' = = = voorbeeld 5 vermenigvuldigen met een constante Bepaal de afgeleide naar x. aanwijzing Maak gebruik van de rekenregel: vermenigvuldigen met een constante. Als je eerst de afgeleide van met 5. Dus f ' = 5 (6 ) =. kun maken, vermenigvuldig daarna dan nog voorbeeld 6 met somregel, vermenigvuldigen met een constante en een losse constante Bepaal de afgeleide naar x.
toelichting In dit voorbeeld worden al een paar regels samengevoegd. De somregel: alle afzonderlijke termen kunnen allemaal apart gedifferentiëerd worden. De machtregel: bij de eerste twee termen: en kan zonder meer de machtregel gebruikt worden. Vermenigvuldigen met een constante en machtregel samen: Vermenigvuldigen met een constante en identiteit samen: Constante functie voorbeeld 7 met een constante andere letter Bepaal de afgeleide naar x. aanwijzing Maak gebruik van de rekenregel: vermenigvuldigen met een constante. Als je eerst de afgeleide van met a. Dus f ' = a (6 ) =. kun maken, vermenigvuldig daarna dan nog voorbeeld 8 met somregel, vermenigvuldigen met een constante en negatieve machten Differentiëer naar x.
Aanwijzing: Schrijf de functie als en werk dan met de machtregel en de vermenigvuldiging met een constante en natuurlijk de somregel. 3.6 Oefeningen Met de regels tot nu toe kun je oefeningen doen. Bepaal de afgeleide van de volgende functies. Neem pen en papier en doe de volgende oefeningen. Ga op de rode invoer staan en druk op Enter. Onder de knop is steeds het te vinden. (Ga weer op de rode invoer staan en druk op Enter.) Je kunt zelf eventueel iets aan de functie veranderen. Het wordt dan vanzelf aangepast als je op Enter drukt. LET OP. Verander de volgorde niet: als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma. oefening 1 (verschilregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentiëer naar x. oefening 2 (somregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentiëer naar x (alle andere letters zijn dan constant). aanwijzing De afgeleide van is gelijk aan a. Immers de afgeleide van is gelijk aan 3. oefening 3 (somregel, machtregel en vermenigvuldigen met een
constante) Differentieer naar x. aanwijzing f ' = f ' = verdere toelichting De afgeleide van Beter genoteerd: is met de machtregel De afgeleide van is met de machtregel en de regel van de vermenigvuldiging met een constante gelijk aan c =. Beter genoteerd als: = TIP Het valt misschien op dat er een "kromme d" gebruikt wordt. Dit houdt in dat als je naar x differentiëert dat dan de letter c constant gehouden moet worden! oefening 4 (verschilregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentieer naar x. aanwijzing f ' = f ' =
verdere aanwijzingen Als c een constante is, dan is ook 4 c een constante. De afgeleide van is dan de afgeleide van maal 4 c. Als a een constante is, dan is ook een constante. De afgeleide van is dus =. oefening 5 (somregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentiëer naar x. aanwijzing 1 Als a een constante is, dan is ook een constante. aanwijzing 2 De functie is ook te schrijven als Hierin kun je opvatten als een constante en verder is ook een constante en is ook een constante. aanwijzing 3 Let op dat er ook een losse a in de functie staat. De afgeleide van een losstaande constante functie is gelijk aan 0. oefening 6 (somregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante en afgeleide van een constante en afgeleide van x) Differentiëer naar a. LET OP, dus niet naar x differentiëren maar naar a!!!!! aanwijzing 1
Als je naar a differentieert, veronderstel dan x als constante. aanwijzing 2 Misschien is het handiger om de functie als volgt op te schrijven: Bij de eerste term is een constante en vervolgens bij de tweede term is een constante en ten slotte is de laatste x een constante. noot Je kunt nu niet meer het accent gebruiken voor f ' want het accent is gereserveerd voor het differentiëren naar x. oefening 7 (som/verschilregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante en negatieve macht) Differentiëer naar x. aanwijzing: Schrijf de functie als en werk dan met de machtregel. oefening 8 (machtregel en vermenigvuldigen met een constante) Differentiëer naar x. aanwijzing 1 Beschouw als constante en gebruik de rekenregel van vermenigvuldigen met een constante en de machtregel. Schrijf bijvoorbeeld de functie als. aanwijzing 2 De afgeleide van is
Hierin kan vereenvoudigd worden door de 2 weg te strepen. = oefening 9 (verschilregel en vermenigvuldigen met een constante) differentiëer naar x. aanwijzing 1 Werk eventueel eerst de haakjes weg tot en eventueel nog twee breuken ervan maken: Dus de functie kan geschreven worden als: f = x aanwijzing 2 Vat als constante op en is natuurlijk ook een constante. De afgeleide van de losse constante is gelijk aan 0. De afgeleide van x is gelijk aan. oefening 10 (verschilregel, machtregel en vermenigvuldigen met een constante) aanwijzing 1 Werk eventueel eerst de haakjes weg en bekijk wat de constanten zijn.
aanwijzing 2 Je kunt de functie ook schrijven als ( ) met als constante. Vervolgens de afgeleide van. is eenvoudig te bepalen namelijk: