Discrete valuatieringen

Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Discrete valuatieringen Bachelorproef Doryan Temmerman Promotor: Dr. Florian Eisele 2e Semester 2012-2013

I Inhoudsopgave 1 Inleiding.............................. 1 2 p-adische getallen......................... 1 3 De p-adische absolute waarde................... 4 4 Valuaties.............................. 11 5 Discrete valuatieringen...................... 16

1 Inleiding 1 1 Inleiding De bedoeling van deze bachelorproef is het lezen, en natuurlijk begrijpen van Hoofdstuk II( 1-4), The Theory of Valuations uit [4]. Hoewel deze bachelorproef de titel Discrete valuatieringen draagt, zal hij in het begin vooral gaan over de p-adische (gehele) getallen, een voorbeeld van een discrete valuatiering. Hiervoor is enkel een voorkennis vereist van elementaire begrippen uit de Ringtheorie en Topologie. Op het einde van het laatste hoofdstuk zullen we een algemene constructie uit de doeken doen van complete discrete valuatieringen, waarvan de p-adische gehele getallen een voorbeeld zijn. Toepassingen van de p-adische getallen (eerst ingevoerd door Kurt Hensel in 1897) vinden we in vele takken de wiskunde terug. Een voorbeeld hiervan is het feit dat een diophantische vergelijking een oplossing heeft in p-adische getallen als en slechts al ze een oplossing heeft modulo p n voor elke n. 2 p-adische getallen Voor we beginnen over valuatieringen behandelen we in dit eerste hoofdstuk de p- adische getallen. Voor de rest van de tekst zal p steeds een priemgetal voorstellen. Laten we kijken naar een willekeurig getal f N. Voor elk priemgetal p kunnen we f op de volgende unieke manier uitschrijven: f = a 0 + a 1 p +... + a n p n, waarbij we de coëfficiënten a i in {0,..., p 1} nemen. Deze manier om f te noteren heet de p-adische expansie van f. We bekomen deze expansie door herhaaldelijk toepassen van het delingsalgoritme van Euclides: f = a 0 + pf 1, f 1 = a 1 + pf 2,. f n 1 = a n 1 + pf n, f n = a n. We zien dat a i = f i mod p en 0 a i < p, dus is a i de gewoonlijke representant van f i mod p in Z/pZ. Soms schrijven we f dan ook als a 0, a 1 a 2... a n, bv. : 21 = 1, 0101, (2-adisch) 21 = 0, 12, (3-adisch) 21 = 1, 4. (5-adisch)

2 p-adische getallen 2 Willen we met deze p-adische expansie ook negatieve getallen voorstellen, dan merken we dat we ook oneindige expansies a v p v zullen moeten toelaten (bv. 1 = (p 1) + (p 1)p + (p 1)p 2 +...). Dit geeft aanleiding tot volgende definitie. Definitie 2.1. Zij p een vast priemgetal. Een p-adisch geheel getal is een formele oneindige som a 0 + a 1 p + a 2 p 2 +... met a i {0, 1,..., p 1} voor elke i. We noteren de verzameling van alle p- adische gehele getallen als Z p. Met deze definitie van p-adische gehele getallen kunnen we ook elementen uit de verzameling Z (p) = { g g, h Z, p h} h v=0 voorstellen. Hiervoor hebben we volgende eigenschap nodig. Eigenschap 2.2. De residuklassen a mod p n Z/p n Z, a Z kunnen op een unieke manier voorgesteld worden door a a 0 + a 1 p +... + a n 1 p n 1 mod p n met a i {0,..., p 1} voor elke i. Bewijs. Per inductie op n: n = 1: Dit is duidelijk. Onderstel dat dit klopt voor n 1. We hebben dan een unieke representatie voor a van de vorm a = a 0 + a 1 p +... + a n 2 p n 2 + gp n 1 met g een geheel getal en a i van de gewenste vorm. Stel nu g a n 1 mod p zodat 0 a n 1 < p, dan is a n 1 uniek bepaald door a en verkrijgen we volgende gelijkheden (voor een bepaalde k Z) a = a 0 + a 1 p +... + a n 2 p n 2 + gp n 1 = a 0 + a 1 p +... + a n 2 p n 2 + (a n 1 + kp)p n 1 = a 0 + a 1 p +... + a n 2 p n 2 + a n 1 p n 1 + kp n a 0 + a 1 p +... + a n 2 p n 2 + a n 1 p n 1 waarmee de inductie bewezen is. mod p n

2 p-adische getallen 3 Als we nu f Z (p) willekeurig nemen, dan kunnen we hiermee een rij van residuklassen s n = f mod p n Z/p n Z vinden die we door vorige eigenschap op volgende (unieke) manier kunnen voorstellen s 1 = a 0 mod p, s 2 = a 0 + a 1 p mod p 2, s 3 = a 0 + a 1 p + a 2 p 2 mod p 3,. met a 0, a 1,... {0,..., p 1}. Deze residuklassen definiëren een p-adisch geheel getal a v p v v=0 die we de p-adische ontwikkeling van f noemen. Dit gaat niet op deze manier voor elk rationaal getal want bijvoorbeeld 1 heeft geen representant a p 0 mod p omdat in Z/pZ de residuele klasse 0 p mod p niet inverteerbaar is. Om ook willekeurige rationale getallen toe te laten gaan we de definitie van p-adische gehele getallen uitbreiden naar formele sommen v= m a v p v met m Z en opnieuw a i {0,..., p 1}. Dit noemen we de p-adische getallen en de verzameling van alle p-adische getallen wordt genoteerd door Q p. Als we nu f Q willekeurig nemen, dan kunnen we dit getal op volgende manier schrijven: f = g h p m met g, h Z, en (gh, p) = 1. Als a 0 + a 1 p +... de p-adische expansie is van g h Z (p), dan zeggen we dat het p-adisch getal a 0 p m + a 1 p m+1 +... + a m + a m+1 p +... de p-adische expansie is van f. Op deze manier vinden we een canonische inbedding Q Q p die ook Z inbed in Z p. Deze afbeelding is inderdaad injectief want als we a, b Z nemen met dezelfde p-adische expansie, dan is a b deelbaar door p n voor elke

3 De p-adische absolute waarde 4 n, dus a b = 0 (een iets moeilijkere maar analoge redenering gaat op voor Q). We willen nu van Z p (en bijgevolg ook Q p want elk element f Q p kan men schrijven als f = p m g met g Z p, m Z) een ring maken. Beschouw alle ringen Z/p n Z, dan kunnen we canonische projecties definiëren. Kijk nu naar de ring Z/pZ λ 1 Z/p 2 Z λ 2 Z/p 3 Z λ 3... Z/p n Z = {(x n ) n N x n Z/p n Z} en n=1 hierbinnen de verzameling van compatibele elementen (x n ) n N waarvoor geldt λ n (x n+1 ) = x n en dit voor elke n. Deze verzameling heet de projectieve limiet van de ringen Z/p n Z, noteren we als limz/p n Z en is een deelring van Z/p n Z = {(x n ) n N n n=1 x n Z/p n Z}. We hebben volgende stelling (zonder bewijs): Stelling 2.3. Z p = lim n Z/p n Z, en dus wordt op deze manier Z p een ring met als deelring Z. Bij uitbreiding wordt Q p een lichaam (het breukenlichaam van Z p ) met deellichaam Q. Deze optelling en vermenigvuldiging komt overeen met wat we intuïtief zouden doen als we twee formele oneindige reeksen (rekening houdend met de machten van p) zouden optellen of vermenigvuldigen. 3 De p-adische absolute waarde De representatie van een p-adisch getal als reeks, a 0 + a 1 p +..., 0 a i < p, (1) convergeert niet steeds als we de absolute waarde. gebruiken. Anderzijds, de decimale ontwikkeling van een reëel getal tussen 0 en 10: a 0 + a 1 ( 1 10 ) + a 2( 1 10 )2 +..., 0 a i < 10, convergeert wel. Dit komt omdat we met behulp van de absolute waarde uit Q het lichaam R kunnen construeren (door equivalentieklassen van Cauchy rijen). Het blijkt dat we, door. te vervangen door de zogenaamde p-adische absolute waarde. p we de reeks (1) wel kunnen laten convergeren. Zoals we R konden afleiden uit Q door., zullen we Q p kunnen afleiden uit Q door. p. Deze constructie wordt in dit hoofdstuk uit de doeken gedaan.

3 De p-adische absolute waarde 5 Zij a = b Q \ {0}, b, c Z \ {0}. We halen nu uit b en c een zo groot c mogelijke macht van het priemgetal p: a = p m b c, (b c, p) = 1, m Z. Deze exponent noemt men de p-adische exponentiële valuatie van het getal a en noteren we door v p (a). Formeel stellen we v p (0) =, en dit uit de motivatie dat 0 deelbaar is door elke macht van p. Dit geeft ons een functie v p : Q Z { }, die voldoet aan volgende eigenschappen: 1. v p (a) = a = 0, 2. v p (ab) = v p (a) + v p (b), 3. v p (a + b) min{v p (a), v p (b)}, waar we m + =, + = en > m, m Z stellen. De enige eigenschap die misschien niet onmiddellijk duidelijk is, is 3, maar deze volgt uit volgende redenering: zij a = p m c c, b = pn met c, d, c, d allen relatief priem d d met p. Zonder de algemeenheid te schaden nemen we aan dat n m, dan geldt a + b = p m c d c + pn = p m ( c c + d pn m d d ) = pm ( cd + p n m c d ). dd Omdat dd geen factor van p meer bevat, kunnen we geen negatieve macht van p buiten de haakjes brengen. Dit toont dat v p (a + b) m = min{v p (a), v p (b)}. In het geval dat a = 0 (mutadis mutandis b = 0) hebben we v p (a + b) = v p (b) = min{v p (a), v p (b)} want v p (a) = v p (b). Deze p-adische exponentiële valuatie geeft aanleiding tot de aangekondigde p-adische absolute waarde (ook wel p-adische multiplicatieve valuatie genoemd):. p : Q R : a a p = p vp(a). Deze absolute waarde meet dus niet meer hoe groot een getal is (zoals de normale absolute waarde dat doet), maar wordt kleiner naarmate een getal deelbaar is door een hoge macht van p. Uit de eigenschappen die hierboven beschreven staan voor de p-adische exponentiële valuatie volgen volgende eigenschappen voor de p- adische absolute waarde: 1. a p = 0 a = 0, 2. ab p = a p b p, 3. a + b p max{ a p, b p } a p + b p.

3 De p-adische absolute waarde 6 Onze p-adische absolute waarde is dus een norm op Q. Als een norm. voldoet aan a + b max{ a, b } spreken we ook van een ultranorm. We zullen in het volgende hoofdstuk aantonen dat de normen. p en de absolute waarde de enige topologisch verschillende normen zijn op Q. Noteren we de absolute waarde door., dan hebben we volgende opmerkelijke formule: Eigenschap 3.1. a Q: a p = 1, waar we p laten variëren over alle priemgetallen en het symbool. p Bewijs. Bekijken we de ontbinding van a in priemgetallen (eventueel priemgetallen tot een negatieve macht) a = ± p vp, p priem dan is de exponent v p juist de p-adische exponentiële valuatie van a. Het teken a van a kunnen we noteren door a. De vorige vergelijking wordt dan: a = a a p priem p vp(a) = a a p priem 1 a p, wegens de definitie van. p, dus p a p = 1. In wat volgt zullen we sommige duidelijke eigenschappen niet bewijzen omdat deze analoog zijn aan wat we zagen in [2] en [5]. De Cauchy rijen van Q met betrekking tot de norm. p vormen een ring, die we R zullen noteren, en de nulrijen vormen een maximaal ideaal m. We definëren nu het lichaam der p-adische getallen Q p := R/m. Opmerking. A priori gaan we hier wat (eigenlijk heel erg) kort door de bocht omdat we de notatie Q p en de p-adische getallen al gedefiniëerd hebben in hoofdstuk 2. Doch zal dit niet erg blijken: we zullen namelijk de rest van het hoofdstuk gebruiken om aan te tonen dat deze notaties en benamingen equivalent zijn. In de rest van het hoofdstuk zullen we met de p-adische getallen en Q p de laatstgenoemde definities bedoelen. We kunnen Q inbedden in Q p door elke a Q te associëren met de residuele klasse van de rij (a, a, a,...). We kunnen de resultaten uit [5] aanhalen om in te zien dat Q p de completie is van Q met betrekking tot. p. Hierin zagen we ook dat we de p-adische absolute waarde kunnen uitbreiden naar Q p door voor elk element x = [(x n ) n ] Q p te stellen: x p := lim n x n p.

3 De p-adische absolute waarde 7 Deze limiet bestaat in R omdat (x n ) n en dus ook ( x n p ) n een Cauchy rij is. Ze is ook onafhankelijk van de gekozen representant voor x omdat het verschil tussen 2 representanten ((x n ) n en (y n ) n ) een nulrij is (zie de definitie van Q p ) zodat lim x n p = lim x n y n + y n p lim x n y n p + y n p = lim y n p n n n n en vice versa. Op eenzelfde manier kunnen we de p-adische exponentiële valuatie uitbreiden naar Q p : voor x = [(x n ) n ] Q p definiëren we v p (x) = lim n v p (x n ). Deze heeft een aangename eigenschap. Aangezien v p (x n ) = log p x n p zal ofwel (v p (x n )) n ook een Cauchy rij zijn in Z, ofwel zal deze divergeren naar. Aangezien Z discreet is, kunnen we dus stellen dat vanaf een bepaalde n 0 de rij (v p (x n )) n constant wordt (als de verschillen kleiner worden dan 1, dan moeten ze gelijk zijn). We hebben dan dat v p (x) = v p (x n ) n n 0. Opnieuw hebben we dat x p = p vp(x) en dit voor elke x in Q p. Elke p geeft dus aanleiding tot een nieuw veld Q p zodat we een oneindig aantal velden Q 2, Q 3, Q 5, Q 7,..., Q = R, krijgen. Het feit dat de p-adische absolute waarde een ultranorm is ( x + y p max{ x p, y p }) zorgt ervoor dat we volgende stelling hebben: Stelling 3.2. De verzameling Z p := {x Q p x p 1}, is een deelring van Q p. Het is de sluiting (met betrekking tot. p ) van de ring Z in Q p. Bewijs. Dat Z p gesloten is onder optelling en vermenigvuldiging volgt uit x + y p max{ x p, y p } en xy p = x p y p. Merk op dat x Z : x p 1, dit volgt uit de definitie. Als (x n ) n een Cauchy rij is in Z (ingebed in Q p ) en x = lim x n, dan impliceert x n p 1 dat ook n x p = x n0 p 1, dus x Z p. We verkrijgen dat Z Z p. Omgekeerd, neem x = lim x n Z p Q p voor een Cauchy rij (x n ) n in Q (denk eraan dat Q p n de completie is van Q). Hierboven zagen we dat n 0 N 0, n n 0 : x n p = x p 1. Opnieuw de definitie van. p in gedachten houdend wil dit zeggen dat x n = an b n met a n, b n Z en (b n, p) = 1. Uit dit laatste volgt dat b n inverteerbaar is

3 De p-adische absolute waarde 8 in Z/p n Z. We kunnen dus steeds een oplossing y n Z vinden zodat b n y n a n mod p n. Dit uitschrijven geeft ons een k Z en a n b n y n = kp n, b n (x n y n ) = kp n, x n y n = kpn b n. Omdat (b n, p) = 1 moet v p (x n y n ) n, en dus x n y n p 1 p n. Dit betekent dat ook x = lim n y n, dus x Z, wat de stelling bewijst. Het blijkt ook niet moeilijk te zijn om de eenheden te vinden in deze ring. Eigenschap 3.3. Z p = {x Z p x p = 1} Bewijs. Als x Z p, dan x 1 Z p. 1 = 1 p = xx 1 p = x p x 1 p x p = 1 x 1 p, en zowel x p als x 1 p moeten kleiner dan of gelijk zijn aan 1. Dit kan enkel indien ze beiden gelijk zijn aan 1. Omgekeerd, neem een x Z p met x p = 1. Deze heeft een inverse x 1 in Q p en opnieuw moet x p = 1 x 1 p zodat ook x 1 p = 1. Elk element x Q p kunnen we op een unieke manier schrijven als x = p m u met m Z en u Z p. Inderdaad, onderstel dat v p (x) = m, dan is v p (xp m ) = 0, en dus xp m p = 1. De vorige eigenschap zegt ons dat xp m = u Z p. Volgende eigenschap is de laatste die we nodig hebben voor we het doel van dit hoofdstuk kunnen bereiken: Eigenschap 3.4. De niet-nulle idealen van Z p zijn de hoofdidealen p n Z p = {x Q p v p (x) n}, met n 0, en we hebben Z p /p n Z p = Z/p n Z. Bewijs. Zij I (0) een ideaal van Z p en p m u = x I, u Z p, een element van I met de kleinst mogelijke m (dit kan want x p 1 impliceert m 0). We bewijzen dat I = p m Z p. Neem p n u = y I, u Z p. Dan is n m, dus y = (p n m u )p m p m Z p. Omgekeerd, zij y = p m h p m Z p, dan is y = (p m u)(u 1 h) = x(u 1 h) I, dus I = p m Z p. Het homomorfisme Z Z p /p n Z p : a a mod p n Z p,

3 De p-adische absolute waarde 9 heeft als kern p n Z: beschouw deze afbeelding als samenstelling van de inbedding van Z in Z p en de canonieke afbeelding van Z p in Z p /p n Z p. De kern van de laatste afbeelding is p n Z p. Deze kern, gesneden met het beeld van de eerste afbeelding Z geeft p n Z. Het homomorfisme is ook surjectief. Inderdaad, omdat Z p de sluiting is van Z (zie 3.2) kunnen we voor elke x Z p een a Z vinden zodat x a p 1, oftewel v n p (x a) n, dus x a p n Z p. Dit betekent dat x a mod p n Z p, dus is er sprake van een surjectie. We bekomen een isomorfisme Z/p n Z = Z p /p n Z p. Herinner de definitie uit hoofdstuk 2 van een projectieve limiet limz/p n Z = {(x n ) n n Z/p n Z x n+1 x n }. n=1 We weten dat de definitie van de p-adische gehele getallen uit hoofdstuk 2 hiermee equivalent was. Aangezien Z p /p n Z p = Z/p n Z hebben we voor elke n een surjectief homomorfisme Z p Z/p n Z. Deze homomorfismen induceren een homomorfisme Dit blijkt een isomorfisme te zijn: Stelling 3.5. Het homomorfisme is een isomorfisme. Z p lim n Z/p n Z. Z p lim n Z/p n Z, Bewijs. Als x Z p afgebeeld wordt op 0 betekent dit dat x p n Z p voor elke n, dus x p 1 voor elke n. x p n p moet dus gelijk zijn aan 0, zodat x = 0. Dit toont injectiviteit. Een element van limz/p n Z wordt gegeven door een rij van partieelsommen n n 1 s n = a v p v, 0 a v < p. v=0 Deze rij is een Cauchy rij in Z p want voor n > m geldt: s n s m p = n 1 v=m a v p v p max m v<n { a vp v p } 1 p m.

3 De p-adische absolute waarde 10 Deze rij convergeert naar een element x = a v p v Z p. Aangezien x s n = v=0 a v p v p n Z p hebben we dat x s n v=n mod p n voor elke n, wat wil zeggen dat x wordt afgebeeld op het element (s n ) n lim n Z/p n Z, zodat we surjectiviteit hebben. We hebben hier dus een mooi verband tussen een formele reeks a v p v v=0 enerzijds, en anderzijds een ruimte waarin deze convergeert als reeks. Deze stelling bewijst ook, samen met 2.3, dat beide definities van Z p (in hoofdstukken 2 en 3) equivalent zijn, en dus ook voor Q p. Zoals we kunnen verwachten uit de interpretatie van Z p als formele machtreeksen hebben we volgende stelling: Stelling 3.6. Er is een canoniek isomorfisme Z p = Z[[X]]/(X p). Bewijs. Beschouw het homomorfisme Z[[X]] Z p : a v X v v=0 a v p v. Dit is duidelijk een surjectie. Aangezien X p Z[[X]] afgebeeld wordt op p + p = 0 Z p zit het hoofdideaal (X p) in de kern van de afbeelding. Neem nu f(x) = a v X v zodat f(p) = a v p v = 0 (m.a.w. f(x) zit in de kern v=0 van de afbeelding). Aangezien Z p /p n Z p = Z/p n Z betekent dit dat v=0 v=0 a 0 + a 1 p + a 2 p 2 +... + a n 1 p n 1 0 mod p n, voor elke n. We kunnen dus in Z een vinden. We krijgen b n 1 = 1 p n (a 0 + a 1 p + a 2 p 2 +... + a n 1 p n 1 ), a 0 = pb 0, a n = b n 1 pb n. voor n 1. Als we deze invullen in f(x) krijgen we (a 0 + a 1 X + a 2 X 2 +...) = (X p)(b 0 + b 1 X + b 2 X 2 +...), zodat f(x) behoort tot (X p).

4 Valuaties 11 Zoals aangekondigd, zullen we nu meer ingaan op de valuaties zelf en aantonen dat we elke norm op Q kennen. 4 Valuaties In vorige sectie hebben we multiplicatieve valuaties gezien voor Q, maar niets staat ons in de weg dit ook in het algemeen te doen voor een arbitrair lichaam: Definitie 4.1. Een (multiplicatieve) valuatie van een veld K is een functie die voldoet aan de eigenschappen 1. x 0 en x = 0 x = 0, 2. xy = x y, 3. x + y x + y.. : K R, Zoals bij normen wordt de laatste eigenschap soms ook wel de driehoeksongelijkheid genoemd. We sluiten hier een bepaalde valuatie uit, namelijk de valuatie die 1 is voor elk element verschillend van 0. Vanaf nu zullen we met K steeds een lichaam bedoelen. Merk op dat 1 = 1 voor elke valuatie van K want 1 = 1 1 1 = 1 of 1 = 0, maar dit laatste kan niet. Opmerking. Er is daadwerkelijk een verschil tussen een norm en een valuatie: normen zijn gedefiniëerd op een vectorruimte, waar dus sprake is van een scalaire vermenigvuldiging voor eigenschap 2. Het is wel zo dat een valuatie steeds een norm definiëert door het lichaam te gaan beschouwen als 1-dimensionale vectorruimte over zichzelf. Zoals verwacht kunnen we dan op K een metriek definiëren: d(x, y) = x y, x, y K, zodat K ook een topologische ruimte wordt. Definitie 4.2. Twee valuaties op K heten equivalent als ze dezelfde topologie definiëren op K. Eigenschap 4.3. Twee valuaties. 1 en. 2 op K zijn equivalent a.s.a. bestaat een 0 < s R zodat er x 1 = x s 2, x K.

4 Valuaties 12 Bewijs. Als. 1 =. s 2, met s > 0, dan hebben we y B 1 (x, r) x y 1 < r x y s 2 < r y B 2 (x, r 1 s ), zodat de topologieën duidelijk dezelfde zijn. Merk op dat, voor elke valuatie. op K, de ongelijkheid x < 1 equivalent is met de uitspraak dat de rij (x n ) n naar 0 convergeert in de topologie bepaald door.. Daarom, als. 1 en. 2 equivalent zijn, hebben we volgende implicatie x 1 < 1 = x 2 < 1 (2) Onderstel dus dat. 1 en. 2 equivalent zijn en fixeer een element y K die voldoet aan y 1 > 1 (dit kan, aangezien y K \ {0} : y 1 1 (de valuatie waarvoor dit niet geldt hebben we namelijk uitgesloten). Als y 1 > 1, dan is het ok, anders nemen we y 1 zodat y 1 1 = 1 y 1 > 1). Neem nu x K \ {0} willekeurig maar vast. Dan bestaat er een α R zodat x 1 = y α 1. Neem nu ( m i n i ) i een rij in Q die langs boven naar α convergeert, maar er nooit gelijk aan wordt. Neem ook n i > 0 voor elke i. We hebben dan x 1 = y α 1 < y x n i 1 < y m i 1, dus x n i < 1 = x n i < 1, 1 2 y m i (2) y m i m i n i 1 m i n zodat x 2 < y i 2 en x 2 y α 2. Doen we hetzelfde met een rij ( m i n i ) i die langs onder naar α convergeert en er nooit gelijk aan wordt, dan krijgen we volledig analoog x 2 y α 2, zodat we besluiten dat x 2 = y α 2. Voor elke x K \ {0} krijgen we dus volgende gelijkheid: log x 2 x 1 = log x 1 = log y 1 =: s, log x 2 log y 2 dus x 1 = x s 1 2. Aangezien y 1 > 1 < 1 < 1 y 2 > 1 hebben 1 (2) 2 we dat s > 0. Uit het vorige bewijs volgt het volgende: 1 y Gevolg 4.4. Twee valuaties. 1 en. 2 op K zijn equivalent a.s.a. x 1 < 1 = x 2 < 1. Volgende stelling geeft nog meer geloofwaardigheid aan de definitie van equivalente valuaties. Stelling 4.5 (Benaderingsstelling). Zij. 1,. 2,...,. n paarsgewijs niet-equivalente valuaties van K en a 1, a 2,..., a n gegeven elementen uit K. Dan kunnen we voor elke ε > 0 een x K vinden zodat en dit voor elke i = 1,..., n. x a i i < ε y

4 Valuaties 13 Bewijs. Merk eerst op dat wegens gevolg 4.4 en het feit dat. 1 en. n niet equivalent zijn, er een α K bestaat zodat α 1 < 1 en α n 1. Mutatis mutandis vinden we een β K zodat β n < 1 en β 1 1. Dit geeft ons een y = β α K met y 1 > 1 en y n < 1. Per inductie op n > 1 bewijzen we nu dat er een z K bestaat zodat z 1 > 1 en z j < 1 voor j = 2,..., n. n = 2: dit hebben we juist gedaan. Onderstel dat we een z K gevonden hebben zodat z 1 > 1 en z j < 1 voor j = 2,..., n 1. Als z n 1, dan volstaat het om z m y (y zoals hierboven beschreven voor n) te nemen voor m groot genoeg: z m y 1 = z m 1 y 1 > 1 want zowel z 1 en y 1 zijn strikt groter dan 1. z m y n = z m n y n < 1 want z n 1 en y n < 1. Aangezien y j vast is voor een vaste j en z j < 1 kunnen we m groot genoeg kiezen zodat z m y j = z m j y j < 1. Anderzijds, als z n > 1, beschouw dan de rij (t m = zm ) 1+z m m. Omdat 1 + z m 1 j = z m j 0 convergeert 1 + z m naar 1 voor. j, en dit voor elke j = 2,..., n 1. Hierdoor kunnen we zien dat t m j = z m = zm j 1+z m j 1+z m j 0 waaruit we besluiten dat (t m ) m convergeert naar 0 voor. j. Neem nu k K willekeurig. We kunnen schrijven dat z m i k 1 i z m (k 1) i = 1 + z m k i, i {1, n}. Uit het feit dat z m i zien we dat ook 1 + z m i. Hieruit besluiten we dat (t m ) m convergeert naar 1 voor. 1 en. n want z m 1 + z 1 m = 1 i 1 + z m = 1 i 0, i {1, n}. i 1 + z m i Door een redenering analoog aan het vorige punt kunnen we dus besluiten dat, voor m voldoende groot, we t m y kunnen nemen. We hebben nu bewezen dat er een z K bestaat zodat z 1 > 1 en z j < 1 voor j = 2,..., n. Omdat de rij ( zm 1+z m ) m naar 1 convergeert voor. 1 en naar 0 voor. 2,...,. n kunnen we een z 1 vinden die dicht ligt bij 1 voor. 1 en bij 0 voor. i met i = 2,..., n. Natuurlijk kunnen we dit ook doen voor elke andere index, en niet alleen voor index 1. We verkrijgen dus voor i = 1,..., n een z i K zodat z i dicht licht bij 1 voor. i en dicht bij 0 ligt voor. j met j i. Stel nu x = a 1 z 1 + a 2 z 2 +... + a n z n, dan heeft deze x de gewenste eigenschap.

4 Valuaties 14 Het blijkt dat we valuaties in 2 soorten kunnen onderverdelen: Definitie 4.6. Een valuatie. heet niet-archimedisch als n begrensd is voor n N. Anders noemen we de valuatie archimedisch. Merk hierbij op dat we met n N binnen een lichaam K bedoelen: 1 +... + 1 }{{} n keer waar 1 K. Voorbeeld. In Q is de gewone absolute waarde (. ) archimedisch en de p- adische absolute waarde (. p ) is niet-archimedisch, en dit voor elk priemgetal p. Eigenschap 4.7. Een valuatie. is niet-archimedisch a.s.a. zij voldoet aan de sterke driehoeksongelijkheid x + y max{ x, y }. Bewijs. Als de sterke driehoeksongelijkheid geldt, dan hebben we duidelijk n = 1 + 1 +... + 1 1 = 1. Omgekeerd, zij n N voor elke n N. Dan is N 1 = 1. Neem nu x, y K willekeurig en zonder de algemeenheid te schaden stellen we x y. Dan is x v y n v x n voor elke v 0. Gebruikmakend van het binomium van Newton verkrijgen we n ( ) x + y n n n x v y n v N x n = N(n + 1) x n, v v=0 v=0 (waar natuurlijk ( ) n N geldt omdat ( n v v) N) dus x + y N 1 n (n + 1) 1 n x = N 1 n (n + 1) 1 n max{ x, y }. We verkrijgen x + y max{ x, y } door n. Een gevolg van het bewijs van deze eigenschap is dat we steeds n 1 hebben voor een niet-archimedische valuatie, maar wat valt er te zeggen over archimedische valuaties? Lemma 4.8. Zij. een archimedische valuatie, dan geldt: n N\{0} : n 1. Bewijs. Stel dat er een n N bestaat zodat n < 1. Neem m N willekeurig, en beschouw zijn n-adische ontwikkeling m = a 0 + a 1 n + a 2 n 2 +... + a l n l. Wegens de driehoeksongelijkheid hebben we dan m l a i n i max{ 0, 1,..., n 1 } n i 1 = max{ 0, 1,..., n 1 } 1 n, maar dit is een contradictie want de valuatie was archimedisch.

4 Valuaties 15 We hebben nu voldoende stellingen gezien om de reeds aangekondigde en opmerkelijke stelling 4.9 te bewijzen. Stelling 4.9. Elke valuatie van Q is equivalent met een van de valuaties. p of.. Bewijs. Zij. een niet-archimedische valuatie op Q. Dan is n 1 en er is een priemgetal p zodat p < 1. Anders zou wegens de priemontbinding voor elk natuurlijk n getal gelden dat n = 1. Wegens de gelijkheid 1 = 1 = 1 1 volgt dat 1 = ±1, dus 1 = 1. Bij uitbreiding zouden dus ook alle gehele getallen een valuatie hebben van 1 (nl. voor de negatieve getallen n geldt n = 1 n = n ). Dit zorgt er voor dat alle elementen in Q \ {0} ook een valuatie hebben van 1 ( n n = q Q : q = = 1), maar dan bekomen we m m de valuatie die we per definitie hebben uitgesloten. Beschouw nu de verzameling I = {a Z a < 1}, dan is dit een ideaal van Z zodat pz I Z. Dit betekent dat I = pz omdat pz een maximaal ideaal is. Neem nu een a Z en schrijf a = bp m met p b, zodat b / I. Dan is b = 1 en dus a = p m = (p log p p ) m = (p m ) log p p = 1 (p m ) log p p = a s p, waar we s := log p p > 0 stellen. Deze gelijkheid geldt dan ook voor q Q wegens de multipliciteit van. en. p. Zij nu. wel archimedisch. We hebben voor elke 1 < n, m N dat 1 1 m log m = n log n. Inderdaad, we mogen schrijven (zie hoofdstuk 2) m = a 0 + a 1 n +... + a r n r, waar we a i {0,... n 1} kiezen en n r m. Dus, aangezien r log m log n, a i = 1 +... + 1 a i 1 n en n 1 krijgen we m r a i n i r a i n r r n n log m log n = (r + 1)n n log m log n ( log m log n + 1)n n log m log n. In deze formule vervangen we nu m door m k en we nemen de k-de wortel: m k 1 + k log m k log m k n n k log n. log n Als nu k, dan verkrijgen we m n log m log n m 1 log m n 1 log n.

5 Discrete valuatieringen 16 We hebben natuurlijk ook gelijkheid wegens symmetrie. Stel nu c = n c = e s, dan geldt voor elk rationaal getal x = ± a Q, a 0, b > 0: b 1 log n en x = a = ( a 1 log a ) log a b ( b = ( n 1 log n ) log a 1 1 log b ) log b ( n = clog a log n ) log b c log b = c log a b = c log x = e s log x = x s, zodat we zien dat. en. equivalent zijn op Q. Natuurlijk kunnen we ook compleetheid voor een willekeurig lichaam met een valuatie definiëren. Definitie 4.10. Een lichaam met multiplicatieve valuatie (K,. ) noemen we compleet indien elke Cauchy rij convergeert binnen K (voor. ). Voorbeeld. Als voorbeeld hebben we Q p voor elk priemgetal met als niet-archimedische valuatie. p. Een voorbeeld van een compleet lichaam met betrekking tot een archimedische valuatie vinden we in R (of C) met de absolute waarde (respectievelijk modulus). We vermelden zonder bewijs ook nog de stelling van Ostrowksi, die aantoont dat we alle lichamen (op isomorfisme en equivalentie van valuaties na) kennen die compleet zijn met betrekking tot een archimedische valuatie. Stelling 4.11 (Ostrowski). Zij K een lichaam dat compleet is met betrekking tot een archimedische valuatie.. Dan is er een isomorfisme σ van K naar R of C die voldoet aan a = σa s a K, voor een vaste 0 < s 1. 5 Discrete valuatieringen Zoals we in hoofdstuk 3 de p-adische exponentiële valuatie gedefiniëerd hebben op Q, kunnen we dit ook in het algemeen doen: Definitie 5.1. Een afbeelding die voldoet aan 1. v(x) = x = 0, 2. v(xy) = v(x) + v(y), 3. v(x + y) min{v(x), v(y)}, v : K R { },

5 Discrete valuatieringen 17 wordt een exponentiële valuatie van K genoemd (opnieuw stellen we a R : a <, a + =, + = ). We sluiten, naar analogie aan hoofdstuk 4, de triviale exponentiële valuatie uit die voldoet aan v(x) = 0 voor elke x 0 en v(0) =. Opmerking. Als. een niet-archimedische valuatie is van K, dan kunnen we een exponentiële valuatie v definiëren: v(x) = log x, x 0, v(0) =. De eigenschap 3. volgt dan uit 4.7 en de monotonie van de logaritmische functie. Omgekeerd kunnen we van een exponentiële valuatie v steeds een valuatie. op K maken. Neem hiervoor een q R, q > 1 en stel x = q v(x). Deze valuatie noemen we soms ook wel de geassociëerde multiplicatieve valuatie, of absolute waarde. Definitie 5.2. Twee exponentiële valuaties v 1 en v 2 op K heten equivalent als s R + : v 1 = sv 2. Gevolg 5.3. Twee exponentiële valuaties v 1 en v 2 op K zijn equivalent a.s.a. de geassociëerde valuaties. 1 en. 2 equivalent zijn. Bewijs. Dit volgt eenvoudig uit eigenschap 4.3 en het feit dat q > 1 log q > 0. Lemma 5.4. De verzameling O = {x K v(x) 0} = {x K x 1}, is een ring met inverteerbare elementen en uniek maximaal ideaal O = {x K v(x) = 0} = {x K x = 1}, P = {x K v(x) > 0} = {x K x < 1}. Bewijs. Dat O gesloten is onder vermenigvuldiging en optelling volgt uit v(xy) = v(x) + v(y) en v(x + y) min{v(x), v(y)}. We hebben ook v(1) = v(1 1) = v(1) + v(1), dus v(1) = 0 of v(1) =, maar dit laatste kan niet, want 1 0. Als x O, dan is v(x) 0, v(x 1 ) 0 en 0 = v(xx 1 ) = v(x) + v(x 1 ), zodat v(x) = 0 = v(x 1 ). Omgekeerd, als x O en v(x) = 0, dan is 0 = v(xx 1 ) = v(x) + v(x 1 ) = v(x 1 ), dus x 1 O

5 Discrete valuatieringen 18 en x O. Verder is het duidelijk dat P een ideaal is. Stel dat er een ideaal I bestaat zodat P I O, dan bestaat er een x I \ P O, dus v(x) = 0. Wegens het vorige is x inverteerbaar, en dus I = O. De uniciteit van P volgt uit de volgende redenering: als M een maximaal ideaal is, dan bevat ze geen inverteerbare elementen, dus M O \ O = {x K v(x) > 0} = {x K x < 1} = P P = M. Het is duidelijk dat O een domein is (als 0 = ab, dan is = v(ab) = v(a) + v(b), dus moet v(a) = of v(b) = ) met breukenlichaam K, en als eigenschap heeft dat x K : x O of x 1 O (dit komt omdat 0 = v(xx 1 ) = v(x) + v(x 1 ), dus v(x) = v(x 1 ) zodat x O of x 1 O). Een ring met deze eigenschappen heet een valuatiering. Zoals in het bewijs hierboven hebben we dat er een uniek maximaal ideaal P = {x O x 1 / O} bestaat. Het lichaam O/P wordt het residulichaam genoemd. Lemma 5.5. Een valuatiering is altijd integraal gesloten (integraal over zijn breukenlichaam). Bewijs. Zij x K integraal over O, dan bestaan er a i O : x n + a 1 x n 1 +... + a n = 0. Stel dat x / O, dan moet x 1 O zodat (vermenigvuldig de gelijkheid hierboven met (x 1 ) n 1 ) een contradictie. x = a 1 a 2 x 1... a n (x 1 ) n 1 O, Een exponentiële valuatie noemen we discreet indien het strikt positieve beeld van de valuatie een minimale waarde s > 0 bereikt. In dit geval vinden we v(k ) = sz. Inderdaad, stel dat p K met v(p) = s. Dan is v(p z ) = zs, z Z. Omgekeerd, stel dat er een x K bestaat zodat v(x) = k / sz. We mogen veronderstellen dat k > 0, anders nemen we x 1. Beschouw nu v( x) = k s. p Dit wil zeggen dat k 2s (anders is s < k s < s, en zou k s kleiner zijn dan s). Natuurlijk, omdat k / sz moet dan k > 2s. Dit kunnen we, per inductie, doen voor elke x, zodat we steeds krijgen: k > ns. Dit wil zeggen dat k =, p n maar dan is x = 0, een contradictie. We noemen zo een discrete exponentiële valuatie genormaliseerd als s = 1, maar we kunnen dit steeds bekomen door van een valuatie v een equivalente valuatie v = 1v te maken. Merk op dat dit O, s O en P invariant laat. Van zo n genormaliseerde discrete valuatie noemen we een element π O zodat v(π) = 1, een priemelement. We kunnen zelfs elk element x K op een unieke manier schrijven als x = uπ m

5 Discrete valuatieringen 19 met u O en m Z. Inderdaad, zij v(x) = m Z, dan is v(xπ m ) = 0, dus xπ m = u O. In wat volgt zullen we een algemene constructie geven van een complete discrete valuatiering, uitgaande van een perfect lichaam K met karakteristiek p, de zogenoemde ring van Witt-vectoren over K. Zij X 0, X 1,... een oneindige rij van onbekenden en fixeer een priem p. Stel W n (X 0, X 1,...) = X pn 0 + px pn 1 1 +... + p n X n, voor n 0. Men kan aantonen (zie [6]) dat er veeltermen S 0, S 1,... en P 0, P 1,... in Z[X 0, X 1,... ; Y 0, Y 1,...] bestaan zodat W n (S 0, S 1,...) = W n (X 0, X 1,...) + W n (Y 0, Y 1,...), (3) W n (P 0, P 1,...) = W n (X 0, X 1,...) W n (Y 0, Y 1,...). (4) Merk ook op dat S n en P n slechts afhangen van X 0,..., X n, Y 0,..., Y n, en geen constante term hebben. We hebben S 0 (X 0, X 1,... ; Y 0, Y 1,...) = X 0 + Y 0 en P 0 (X 0, X 1,... ; Y 0, Y 1,...) = X 0 Y 0. Neem nu A een willekeurige commutatieve ring. Voor a = (a 0, a 1,...) en b = (b 0, b 1,...) met a i, b i A definiëren we een optelling en vermenigvuldiging als volgt: a + b = (S 0 (a, b), S 1 (a, b),...) en a b = (P 0 (a, b), P 1 (a, b),...). De verzameling {(a 0, a 1,...) a i A} met deze operaties noemen we de ring van Witt-vectoren over A (genoteerd als W (A)). Lemma 5.6. Als p = 1 } + 1 + {{... + 1 } geen nuldeler is binnen A, dan is W (A) p keer een ring. Bewijs. Beschouw i : W (A) A A... : a (W 0 (a), W 1 (a),..., W n (a),...), waar A A... een ring is met componentsgewijze optelling en vermenigvuldiging. Deze afbeelding is injectief: stel dat a b en toch n : W n (a) = W n (b). Zij n de kleinste index waarin a en b verschillen, dan is 0 = W n (a) W n (b) = n a pn i i p i n b pn i i p i = p n (a n b n ). Omdat p geen nuldeler is in A moet dan a n b n = 0, een contradictie. Deze afbeelding bewaart ook de operaties gedefiniëerd op W (A) want er geldt W n (a + b) = W n (S 0 (a, b), S 1 (a, b),...) = W n (a) + W n (b) wegens 3, en analoog W n (a b) = W n (P 0 (a, b), P 1 (a, b),...) = W n (a) W n (b) wegens 4. We kunnen nu de ringaxiomas van A A... overerven naar W (A). De associativiteit, commutativiteit (beide zowel voor optelling als vermenigvuldiging) en distributiviteit

5 Discrete valuatieringen 20 kunnen op een gelijkaardige manier bewezen worden. Hier volgt een voorbeeld voor de associativiteit van de optelling: i((a + b) + c) = (i(a) + i(b)) + i(c) = i(a) + (i(b) + i(c)) = i(a + (b + c)), waar we gebruik maken van het feit dat i de optelling bewaart. Wegens de injectiviteit van i is nu (a + b) + c = a + (b + c). Dezelfde redenering toont ons ook dat, indien we een neutraal element voor de optelling (of vermenigvuldiging) of een invers element voor de optelling willen, deze als beeld respectievelijk het neutraal element en het invers element in A A... moeten hebben. We kunnen dan makkelijk zien dat (0, 0,...) W (A) (en (1, 0, 0...) W (A)) het neutraal element is voor de optelling (vermenigvuldiging) want en i(0, 0,...) = (W 0 (0, 0,...), W 1 (0, 0,...),...) = (0, 0,...), i(1, 0, 0...) = (W 0 (1, 0, 0...), W 1 (1, 0, 0...),...) = (1, 1 p, 1 p2,...) = (1, 1,...). Voor het bestaan van een invers element voor de optelling is het voldoende een invers element voor 1 W (A) te vinden. Deze moet als beeld (zie de redenering hierboven) juist ( 1, 1,...) hebben. We moeten hier een onderscheid maken op het priemgetal p. Als p 2, dan is dit het element ( 1, 0,...) W (A) want n : W n ( 1, 0,...) = ( 1) pn = 1 wegens het feit dat p n steeds oneven is. Dit zorgt ervoor dat i( 1, 0,...) = ( 1, 1,...). Anderzijds, als p = 2, dan n is dit het element ( 1, 1,...) want n : W n ( 1, 1,...) = ( 1) 2n i 2 i = n 1 2 i +( 1)2 n = (2 n 1) 2 n = 1, dus is i( 1, 1,...) = ( 1, 1,...). Om bepaalde notaties makkelijker te maken zullen we vanaf nu a W (A) stellen dat a (n) := W n (a). We definiëren V, F : W (A) W (A) door V a = (0, a 0, a 1,...) en F a = (a p 0, a p 1,...), en noemen deze de verschuiving- en Frobenius-afbeelding. Lemma 5.7. Als p geen nuldeler is van A, dan geldt (V a) (n) (F a) (n 1) + p n a n = a (n), voor elke a W (A). Bewijs. Dit volgt eenvoudig uit = pa (n 1) en (V a) (n) = (0, a 0, a 1,...) (n) = 0 pn + pa pn 1 0 + p 2 a pn 2 1 +... + p n a n 1 = p(a pn 1 0 + pa pn 2 1 +... + p n 1 a n 1 ) = pa (n 1)

5 Discrete valuatieringen 21 en (F a) (n 1) = (a p 0, a p 1,...) (n 1) = (a p 0) pn 1 + p(a p 1) pn 2 +... + p n 1 (a p n 1) = a pn 0 + pa pn 1 1 +... + p n 1 a p n 1 = a (n) p n a n. We zetten nu een aantal stappen achteruit en kijken opnieuw naar onze ring A. Als in A het element p wel een nuldeler was, dan kunnen we van i niet noodzakelijk een injectie maken. Doch zal ook in dit geval W (A) een ring blijken. Lemma 5.8. W (A) is een ring. Bewijs. We bewezen dit reeds als in A het element p geen nuldeler was. Zij daarom nu A een ring waarin p wel een nuldeler is. Neem B een willekeurige (maar vaste) ring waarin p geen nuldeler is en zodat er een ringepimorfisme φ van B naar A bestaat (bijvoorbeeld de polynomenring over Z met voldoende onbekenden). Definiëer nu ϕ : W (B) W (A) : (b 0, b 1,...) (φ(b 0 ), φ(b 1 ),...). Deze afbeelding is surjectief omdat φ dit is. Omdat φ een ringhomomorfisme is zal voor elke polynoom P en b W (B) gelden dat φ(p (b)) = P (ϕ(b)). We hebben dus voor elke a, b W (B): ϕ(a + b) = ϕ(s 0 (a, b), S 1 (a, b),...) = (φ(s 0 (a, b)), φ(s 1 (a, b)),...) = (S 0 (ϕ(a), ϕ(b)), S 1 (ϕ(a), ϕ(b)),...) = ϕ(a) + ϕ(b). We kunnen hetzelfde doen voor de vermenigvuldiging, zodat ϕ zowel optelling als vermenigvuldiging bewaart. Net zoals bij 5.6 kunnen we dan de ringaxiomas op W (A) nagaan. Opnieuw zullen commutativiteit, associativiteit en distributiviteit analoog kunnen bewezen worden. We geven een voorbeeld voor de associativiteit. Neem a, b, c W (A) willekeurig en a, b, c W (B) zodat φ(a ) = a, φ(b ) = b en φ(c ) = c. We hebben dan (a + b) + c = (φ(a ) + φ(b )) + φ(c ) = φ((a + b ) + c ) = φ(a + (b + c )) = φ(a ) + (φ(b ) + φ(c )) = a + (b + c). Door een analoge redenering moeten de neutrale elementen van W (A) (voor optelling en vermenigvuldiging) de beelden zijn van de neutrale elementen in W (B) en het invers element van a = ϕ(a ) W (A) moet ϕ( a ) zijn. W (A) is dus ook een ring als p een nuldeler is van A.

5 Discrete valuatieringen 22 We bekijken nu de afbeeldingen V en F zoals hierboven gedefiniëerd maar dan op W (K), waarbij K een lichaam is van karakteristiek p. We nemen opnieuw een ring B waar p geen nuldeler is, en ϕ : W (B) W (K) zoals hierboven beschreven. Beschouw volgend diagram waarbij we abusievelijk geen verschil in notatie hanteren voor de afbeeldingen V van W (B) naar W (B) en van W (K) naar W (K): W (B) V W (B) ϕ ϕ W (K) V W (K) Het is makkelijk na te gaan dat dit diagram commuteert. Eigenschap 5.9. V is een groepsendomorfisme van (W (K), +). Bewijs. Wegens de surjectiviteit en additiviteit van ϕ is het voldoende te bewijzen dat V een groepshomomorfisme is van W (B) (zie bovenstaand diagram). Definiëer V : B B... B B... : x = (x 0, x 1,...) (0, px 0, px 1,...). Deze V is duidelijk een groepsendomorfisme van (B B..., +). Zij b = (b 0, b 1,...) W (B) willekeurig. We hebben i(v (b)) = ((V (b)) (0), (V (b)) (1),...) = (0, pb (0), pb (1),...), want (V (b)) (n) = pb (n 1) voor n 1 en (V (b)) (0) = 0. Anderzijds is V (i(b)) = V (b (0), b (1),...) = (0, pb (0), pb (1),...) = i(v (b)), dus is volgend diagram commutatief: W (B) V W (B) i i V B B... B B... Neem a, b W (B) willekeurig. Dan is i(v (a + b)) = V (i(a + b)) = V (i(a) + i(b)) = V (i(a)) + V (i(b)) = i(v (a)) + i(v (b)) = i(v (a) + V (b)), dus V (a + b) = V (a) + V (b). We hebben bewezen dat V een groepshomomorfisme is voor (W (B), +) (en dus ook voor (W (K), +)).

5 Discrete valuatieringen 23 Eigenschap 5.10. F is een ringendomorfisme van W (K). Bewijs. We weten dat x x p een ringendomorfisme is voor K (want deze heeft karakteristiek p). We hebben dus voor elke polynoom P en a W (K): P (a) p = P (a p 0, a p 1,...) = P (F (a)). Voor de optelling hebben we F (a + b) = F (S 0 (a, b), S 1 (a, b),...) = (S 0 (a, b) p, S 1 (a, b) p,...) = (S 0 (F (a), F (b)), S 1 (F (a), F (b)),...) = F (a) + F (b), en analoog voor F (a b). Het is ook duidelijk dat F (1) = 1. Eigenschap 5.11. In W (K) geldt V F a = F V a = pa. Bewijs. Neem a W (K) willekeurig, dan is V F a = V (a p 0, a p 1,...) = (0, a p 0, a p 1,...) = F (0, a 0, a 1,...) = F V a. Er rest ons te bewijzen dat V F a = pa. Beschouw hiervoor, in W (B) een willekeurig element a. Stel b = V F a pa W (B), dan is i(b ) = i(v F a pa ) = i(v F a ) i(pa ) dus n : b (n) = (V F a ) (n) (pa ) (n) = p(f a ) (n 1) pa (n) = p(a (n) p n a n) pa (n) = p n+1 a n (hiervoor gebruiken we de gelijkheden uit 5.7 op pg. 20). Per inductie op n bewijzen we nu dat b n een factor p bevat: n = 0: b 0 = b (0) = pa 0, ok. Stel dat het ok is voor b i met i n 1 (b i = pβ i ). b (n) = n b pn i i p i = p n+1 a n, n 1 b np n = p n+1 a n b pn i i p i n 1 = p n+1 a n (pβ i ) pn i p i n 1 = p n+1 a n n 1 p pn i β pn i i p i = p n+1 a n p pn i +i β pn i i. n 1 In p pn i +i β pn i i kunnen we zeker nog een factor p n+1 vinden want p n i + i n + 1 voor i n + 1. Het rechterlid is dus een veelvoud van p n+1, zodat b n een veelvoud wordt van p.

5 Discrete valuatieringen 24 Omdat φ(p) = φ(1 + 1 +... + 1) = 1 + 1 +... + 1 = 0 K zal dan ϕ(b ) = (φ(b 0), φ(b 1),...) = (0, 0,...). In W (B) hebben we dus dat V F a = pa +b met ϕ(b ) = 0. We kunnen nu bewijzen dat V F a = pa in W (K). Voor elk element a W (K) bestaat er een a W (B) zodat ϕ(a ) = a. Nu is V F a = V F (ϕ(a )) = ϕ(v F a ) = ϕ(pa + b ) = pϕ(a ) + ϕ(b ) = pϕ(a ) = pa. We gaan nu over tot de constructie van een discrete valuatiering. Veronderstel daarvoor dat het lichaam K ook nog eens perfect is (elk element heeft een p e - machtswortel) en definiëer met v(0) =. v : W (K) Z : (a 0, a 1,...) min{i a i 0}, Lemma 5.12. We kunnen elk element a W (K) \ {0} schrijven als a = p n a voor een zekere macht n = v(a), a W (K) en v(a ) = 0. Bewijs. Stel dat er een a bestaat waarvoor dit niet kan. Dan moet a = (0, a 1, a 2,...) (anders is a = p 0 a). Dus, a = V (a 1, a 2,...) = V F ( p a 1, p a 2,...) = p( p a 1, p a 2,...). Nu is ofwel a 1 0, en dan is a = p( p a 1, p a 2,...) van de goede vorm, anders kunnen we per inductie verder gaan. Dit moet ooit stoppen want a 0, dus i : a i 0. Uit deze redenering volgt ook dat v(a) = v(p n a ) = v((v F ) n a ) = n. Eigenschap 5.13. v is een exponentiële valuatie. Bewijs. Het is duidelijk dat v(x) = x = 0. Zij a, b W (K), v(a) = m v(b) = n. Omdat dan zowel bij a als b de eerste m coördinaten 0 zijn, zal S i (a, b) = 0 (i m) want deze gebruikt slechts de eerste i coördinaten van a en b en heeft geen constante term. Er volgt dat v(a + b) m = min{v(a), v(b)}. Stel a = p i a en b = p j b van de vorm uit 5.12. Dan is ab = p i+j a b. De eerste coëfficiënt van a b is a 0 b 0 0, dus is ab = p i+j a b van de vorm uit 5.12, en v(ab) = i + j = v(a) + v(b). Definiëer { } : K W (K) : x (x, 0, 0...), dan kan men bewijzen dat (a 0, a 1,...) = {a i } 1 p i p i, waarbij de reeks convergeert met betrekking tot de norm afgeleid uit de valuatie v. Een gevolg hiervan is dat (a 0, a 1,...) een multiplicatieve inverse heeft als en slechts als a 0 0, dus W (K) = {(a 0, a 1,...) W (K) a 0 0}. Als we dus een willekeurige a W (K) zoals hierboven noteren als a = p i a, dan a W (K).

5 Discrete valuatieringen 25 Stelling 5.14. W (K) is een complete, discrete valuatiering met residulichaam K. Bewijs. Om aan te tonen dat W (K) een valuatiering is moeten we bewijzen dat x Quot(W (K)) ofwel x W (K) ofwel x 1 W (K). Aangezien x Quot(W (K)), kunnen we zeggen dat x = a met a, b W (K). Schrijven we a b en b zoals in 5.12, dan krijgen we x = pi a i j a = p p j b b, waar a W (K) zit omdat a en b in W (K) zitten. Dus, als i j 0, dan b zit p i j W (K) (en dus ook x W (K)), anders zit x 1 j i b = p in W (K). a Ze is ook discreet wegens de definitie van de valuatie v. Als uniek maximaal ideaal verkrijgen we P = {a W (K) v(a) 1} = {(0, a 1, a 2,...) a i K}. Door het epimorfisme W (K) K : (a 0, a 1,...) a 0, te beschouwen zien we dat het residulichaam W (K)/P = K. Neem (x n ) n een willekeurige Cauchy rij in W (K). Wegens de definitie van een Cauchy rij en de norm op W (K) mogen we schrijven: N N, n N, m n N : v(x nn x m ) N. De eerste N plaatsen van x nn x m zijn dus steeds 0. Aangezien deze enkel bepaald worden door de eerste N plaatsen van x nn en x m, en m willekeurig is, blijven deze plaatsen vast voor x m, m n N. Definiëer nu x W (K) door op de N e plaats, de N e coëfficient van x nn te plaatsen. Dan is het duidelijk dat N 0, n N : n n N : v(x x n ) N, dus x n x W (K) als n. Opmerking. Nemen we K = F p, een perfect lichaam van karakteristiek p, dan zal W (K) isomorf zijn met Z p. Deze constructie is dus een veralgemening van de p-adische gehele getallen.

Referenties [1] Stefaan Caenepeel. Algebraïsche meetkunde. VUBuitgaven, 2012-2013. [2] Eva Colebunders. Reële getallen en verzamelingen. VUBuitgaven, 2010-2011. [3] Eric Jespers. Algebra II. VUBuitgaven, 2011-2012. [4] Jurgen Neukirch. Algebraic Number Theory. Springer, 1999. [5] Mark Sioen. Functionaalanalyse. VUBuitgaven, 2011-2012. [6] Ernst Witt. Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad p n. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. J. Reine Angew. Math., 176:126 140, 1936.