-vi.l-:,: I :!!: : : Overdruk uit het Landbuwkundig Tijdschrift 77ste jaargang: nr., december 965 Gebruik van veeltermen bij het cntinu maken van functies ƒ. 7. N. VENEKAMP Een eenvudig verband tussen twee grtheden wrdt vaak weergegeven als een veelterm van lage graad. Een dergelijke veelterm met in de regel niet wrden pgevat als de juiste frmule, maar als een praktische benadering die vldet. In het vlgende wrdt de aandacht gevraagd vr twee verschillende punten die te maken hebben met de vergang in de cntinue functie van een rij getallen, zals deze vergang binnen de vrm van de veelterm mgelijk is. Eerst wrdt een ude handige interplatiefrmule behandeld; daarna wrdt ingegaan p de gevlgen van het verschil tussen rthgnale vectren en rthgnale cntinue functies (functievectren) bij plynmen. INTERPOLATIEPORMULE VAN GREGORY-NEWTON Als een astrnm p de tijdstippen x, Xi, x x m een eigenschap van een ster heeft gemeten met als resultaten y, y ; y y m, dan beschikt hij ver de punten (x;, yj ) die hij met generaliseren tt een eenduidige cntinue functie y = f(x). Een nderzeker die pbrengsten bij bemestingstrappen waarneemt, verkeert in een vereenkmstige situatie. Als functie kiest hij misschien een veelterm. Als men in het algemeen dr ml punten (x;, y ; ) i =,,,... m een veelterm wil berekenen van de vrm y = a a ix a x -f" a m x m, kan men de cëfficiënten a, a^ a... a m verkrijgen dr m-f- simultane vergelijkingen p te lssen. / Sms is er een handiger methde. Als de waarden van x equidistant zijn, d.w.z. als (x ii xi ) cnstant is, kunnen de waarden x, Xi, x x r - dr een eenvudige schaalverandering getransfrmeerd wrden tt x =,, m. Hierna kan men de interplatiefrmule van Gregry-Newtn tepassen (). Deze luidt: X[J x[] x[m] Y. = 7 A y ^- A y A-y ()!! m! In deze frmule staan de factriële mmenten: x [I] = x xra = x (x-) xpl= x(x-l)(x-) enz. Landbuwkundig Tijdschrift 77 85
J. T. N. VENEKAMP en de differenties: A y = yi y A y = y y x y A y = y y yi y Frmule () uit de differentierekening kmt vereen met de frmule van Taylr uit de differentiaalrekening: f (x) = f () f '() f "()., ()!! waarin f '(), f "() differentialen vrstellen bij x =. a. Bewijs dat de cëfficiënten van frmule () ged zijn Er bestaat een frmele vereenkmst tussen het differentiëren in de differentialarekening en het nemen van differenties in de differentierekening. Z geldt bijvrbeeld naast z w = X k / > Zv = x k - in de differentiaalrekening k! (k ) x[k] x^- ' ZL = vazic = in de differentierekening k! (k )! Uitgaande van een frmule met de nbekende cëfficiënten a, a^ a..a m : vlgt als eerste differentie hiervan: X[U x[] x[m] y x = a -\ ai - a H a m ()!! m! Xm X[m-] Ay x = ai H a -\ a m (4)! (m )! Hierin geeft x = als uitkmst A y = ai Z kan k wrden bewezen dat A y = a enz. b. Tweede bewijs Vr degenen die liever met matrices werken, vlgt hier een andere afleiding. Vr het gemak wrdt m = genmen. x[ ] xw xœ xpl Uitschrijven van -,,, bij x =,,, geeft: X xf l! x[i]! x]]! x[] i * 85 Landbuwkundig Tijdschrift 77
VEELTERMEN BIJ HET CONTINU MAKEN VAN FUNCTIES dus: y y.i J' = ys ri! = L i ï - \ i! a ai a as is een andere schrijfwijze vr frmule () De transfrmatie ndig m de waarden van a, a ; a, a p te lssen, vindt plaats met behulp van de reciprke matrix. Vermenigvuldiging van linker- en rechterlid met deze reciprk geeft: r I i i i - y yi y ys y f f A y A y f: a ai a ag y yi y y yi y.ys y yi y Tepassing Welke veelterm behrt bij de waargenmen waarden y x als x =,,,? X Ay A y Ay ï - a &x! a U a -,,. Bij invulling van de waarden in frmule () krijgt men: y _i x 4 x (x-) ^ - 8 x (x-) (x-) - f!!! y = 6j x 6x -fl^x 5 OPMERKINGEN OVER ORTHONORMALE VECTOREN EN CONTINUE FUNCTIES BIJ POLYNOMEN Orthgnale plynmen van Tchebycheff Als in de regressierekening (y; ) I (i =,,, 4) verklaard wrdt dr (), (xi), (xi ), ntstaat een regressievergelijking: fa) =a () a x ( Xi ) a (x ; ) (5) De vectren (), (x-, ), (xi ) vrmen een basis () in een driedimensinale lineaire vectrruimte. De vectr.(y; ) ligt in deze ruimte. Een keuze van een andere basis in dezelfde ruimte dr een lineaire transfrmatie van (), (x; ), (x; ) tt een nieuw stel lineaire nafhankelijke basisvectren heeft geen invled p (y ; ). Landbuwkundig Tijdschrift 77 87
I'IIJII J. T. N. VENEKAMP De grte vrijheid van keuze van basisvectren binnen de regressieruimte geeft gelegenheid m een handige, liefst rthgnale basis te kiezen. Men neme bijv. vectren die behren bij de rthgnale plynmen van Tchebycheff (, 4) : J/ / j/ J/Ö ï- J/ J/ J/Ö J/ f in de gebruikelijke ntatie [f > q.? ç ] (4) Frmule (5) mag vlgens het bvenstaande getransfrmeerd wrden tt een vergelijking, waarin deze vectren zijn pgenmen: (y i )=b b ' b ^ (6) In de praktijk begint men met (6) te berekenen, vert deze tt (5) terug en generaliseert ver een zeker geslten gebied van x tt y a - - &X x -f- ax Als aangenmen wrdt dat bij i =,,, 4 de waarden van x; zijn: = ^, ' ~^~' ~^' bestaat het vlgende verband tussen de vectren van Tchebycheff en de veeltermen: /5 Orthnrmale vectren en rthnrmale cntinue functies * Bvenstaande vectren staan in de vrm van veeltermen. Deze veeltermen kunnen wrden aangeduid met: P =y, Pi = --x,p 8 J/5 6 In deze ntatie is pzettelijk de beperking in de mgelijke waarden van x weggelaten. Als bvenstaande veeltermen wrden beschuwd als cntinue functies p een bepaald interval van x, zal het ndig zijn bij x = ~> ' ~^ ' "^^ aasl ^e f unct i ewaar den een gewicht één te te kennen en * Strikt genmen is de uitdrukking rthnrmale cntinue functie niet juist. Orthnrmaliteit slaat steeds p vectren. De term wrdt hier gebruikt, mdat men k spreekt van rthgnale plynmen. 88 Landbuwkundig Tijdschrift 77
VÜELTERMÜN BIJ HET CONTINU MAKEN VAN FUNCTIES bij alle andere waarden van x een gewicht nul, als men P, Pi, P en P gelijkwaardig wil laten zijn aanl > f [, ' en. Met de meer vr de hand liggende pvatting dat de cntinue functies P, een gelijkmatige dichtheid zullen hebben ver het cntinue en begrensde gebied van x, mist men de aansluiting bij de rthgnale vectren vlgens Tchebycheff, zals uit het vlgende zal blijken. Orthnrmaliteit van vectren kan men in het algemeen niet p de bijbehrende cntinue veeltermen verdragen. Definiëring van rthnrmaliteit bij cntinue juncties Terwijl men bij vectren de rthgnaliteit en de nrmering vastlegt dr <5i = als i = j ' l<5ij = als = j ligt het vr de hand bij cntinue functies integralen te kiezen in plaats van smmen. Men det alsf er ver een geslten interval een neindig aftelbaar aantal punten xi zijn, die hmgeen ver dit interval zijn verdeeld. De rthgnalisering en nrmering definieert men dr / R Pj dx = 'h, waarin Pi en Pj veeltermen in x van de i e resp. 'f graad zijn. Hiermede wrdt de gewne vectrruimte verlaten. Thans is het mgelijk te werken in een functievectrruimte (Hilbert-ruimte), waarin functievectren de basis vrmen (6). Deze basisvectren kan men pvatten als genrmeerde vectren met neindig veel elementen; zie verder Synge (6). Legendre-plynmen- Als men het bvenstaande rthnrmalisatieprces vlgt, begint men natuurlijk met de veelterm van de laagste graad P. Elke vlgende veelterm die men in het prces betrekt, is een graad hger. Het resultaat is afhankelijk van de grenzen a en b van het integratiegebied van x. Kiest men a =, «- en. l. b = -f-yals grenzen van het integratiegebied, dan verkrijgt men als functievectren juist de gewne rthgnale plynmen van Legendre. Er bestaan frmules (, 5) waaruit is af te leiden, dat men bij keuze van a ^ x ^ -)-a als geslten interval en na nrmering kmt tt de algemene frmule: P^l/^i- illvl k _ll (7) r a k! d\ Om aan te sluiten bij het vrgaande waarin x== ^, > ~^ ' ~^~^ gekzen werd, zu men als interval ^ x ^ -\- kunnen nemen. Tepassing van frmule (7) is nu mgelijk, maar rechtstreekse tepassing van het rthnrmalisatieprces ligt vr de hand. Landbuwkundig Tijdschrift 77 89 a
J. T. N.VENEKAMP Uit/ (P ) dx = vlgt P = r Uit y P Pidxen - enz. Naast (Tchebycheff) f. - jd) «è w «- w- 4 / i K ( x ' = - '-'' ) - Vl)' dx = vlgt Px = wrdt gevnden ' 4 Pi =^l/x P = 4l/7-x_ ( < x < ) - = 4 Vx (Legendre) -i- * - --l/7x 8 Als we de bvenstaande veeltermen vergelijken (nder verwaarlzing vande discntinuïteit bij Tchebycheff), blijken de verschillende rthgnalisatiemethden tt verschillende uitkmsten te leiden. Dit blijkt verder k bij vergelijking van de vectren (de discntinuïteit is nu k bij Legendre ingeverd). / / -j/ -j/ ]/Ö /Ö - -= - / / Vrbeeld ter telichting Stel dat bij (xi ) = tegenver ' ' I-iy,-lly,- i. y7-8 64 56 - - 4 _ I / _ ^ /5 «/7 8 64 56 /,:r- /5,^- 4 /7 8 64 56 9 - - / - /5 /7 8 64 56 > werc^ waargenmen 7,, 6, 4. Gevraagd wrdt de regressievergelijking van de tweede graad. a. Vlgens degew he regressieanalyse f met behulp van de methde van Tchebycheff wrdt als vectr van beste schattingen gevnden (y, ) = 66,5, 5,5, 9,5, 8,5. De bijbehrende cntinue functie is y = 4 5x 8 x. 84 Landbuwkundig Tijdschrift 77
"*H"»''-T Tl''" VEELTERMEN BIJ HET CONTINU MAKEN VAN FUNCTIES b. Vlgens de methde van Legendre wrden de waarnemingen eerst van tepassing verklaard p het gebied ^ x ^ -j-. Gevnden wrdt dat de waarnemingen van x en y vlden aan y = 4 - - 4jx 8x 5x. Er wrdt een tweedegraads regressievergelijking gevraagd. Deze wrdt ver- 5 kregen dr het aandeel van P = yz ^7 x -g- V7 x als rthgnale futcmpnent van y = 4 -f- 4 x 8x 4" 5x af te splitsen. 5 X De vergelijking bevat ^^^ Pß- 'Na zuivering van deze fut krijgt men: y = 4 4-x 8x. 4.- De schattingen vr (y-, ) zijn dan: 74 g-, 8g-,-f- g-, 46g- Hier blijkt duidelijk dat eerst de regressie bepalen en daarna cntinu maken een ander resultaat geeft dan eerst cntinu maken en daarna regressie bepalen. SLOTOPMERKING Het is niet de bedeling geweest m het gebruik van gewne rthgnale plynmen af te raden. Wel is bedeld te waarschuwen tegen de gedachte, dat als bij vectren een splitsing in nafhankelijke (rthgnale) delen ged verlpt, dit bij cntinue functies net z zal zijn. SUMMARY Use f plynmials in making junctins cntinuus In the first part the use f the ld Gregry-Newtn interplatin frmula in curve-fitting is demnstrated. A plynmial functin y = a -j- a^ -j- a x a m x m can be calculated given y, y ; y y m at equidistant values f x by means f descending factrial mments and difference-qutients. In the secnd part attentin is paid t the difference between rthgnal vectrs and rthgnal cntinuus functins r functin-vectrs. Tchebycheff and Legendre plynmials are cmpared. Orthgnality f the vectrs des nt imply rthgnality f the statisfying cntinuus^ plynmial functins, neither des the rthgnality f plynmial functins warrant the rthgnality f the vectrs included. LITERATUUR / REFERENCES Aitken, A. C. : Statistical mathematics. Oliver and Byd, Lndn 957, p. 46. Byerly, W. C. : An elementary treatise n Furier's series. Dver Publ., New Yrk 959, p. 6. Crsten, L. C. A. : Vectrs a tl in statistical regressin thery. Veenman & Znen, Wageningen 957, p. 9. 4 Fisher, R. A. & Yates, F. : Statistical tables, 6th ed. Oliver and Byd, Lndn 96, p.. 5 Kendall, M. G. & Stuart, A. : The advanced thery f statistics II. Charles Griffin & Cmp. Ltd., Lndn 96, p. 444. 6 Synge, J. L. : The hypercircle in mathematical physics. Cambridge University Press, 959, p. 55. Landbuwkundig tijdschrift 77 84