7 Totaalbeeld Samenvatten Je hebt nu het onderwerp "Vectormeetkunde" doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet wat je er mee kunt doen. Ga ook na of je de activiteiten die staan genoemd kunt uitvoeren. Maak een eigen samenvatting! Begrippenlijst 21: vector kentallen som, verschil, scalair product 22: inproduct van vectoren normaalvector 2: plaatsvector richtingsvector vectorvoorstelling van een lijn 24: D cartesisch assenstelsel coördinaten en vectoren in D 25: vectorvoorstellingen en vergelijkingen van vlakken 26: snijdende, evenwijdige en kruisende lijnen snijdende en evenwijdige vlakken Activiteitenlijst 21: vectoren optellen, aftrekken en scalair vermenigvuldigen werken met kentallen 22: inproduct van vectoren berekenen hoek tussen vectoren berekenen 2: vectorvoorstellingen van lijnen opstellen hoeken tussen lijnen en afstanden berekenen 24: werken met coördinaten en kentallen in D 25: vectorvoorstellingen en vergelijkingen van vlakken in D opstellen 27: onderlinge ligging van punten, lijnen en vlakken bepalen hoeken en afstanden berekenen Achtergronden www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectormeetkunde Totaalbeeld Achtergronden Testen Opgave 1 Gegeven is de regelmatige vierzijdige piramide T.ABCD door T(0,0,6), A(,,0), B(,,0), C(,,0) en D(,,0). Verder zijn gegeven de punten E(,9,0) en F(1, 1,4). a) Teken deze piramide (of construeer hem in CabriD). b) Toon aan, dat E op het verlengde van CB ligt. STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009 1
c) Bereken de coördinaten van het snijpunt van lijn EF en vlak TAB. d) Bereken de lengte van de loodrechte projectie van lijnstuk BF op vlak ABCD. e) Vlak V gaat door A en F en is evenwijdig aan BD. V snijdt ribbe BT in punt G. Bereken de coördinaten van G. f) Op ribbe AD ligt een punt H zo, dat de cosinus van de hoek tussen OH en CT gelijk is aan 2 15. Bereken de coördinaten van H. Opgave 2 Kubus OABC.DEFG is in een cartesisch Oxyz-assenstelsel gegeven door de punten A(6, 8,0), C(8,6,0) en D(0,0,10). S is het snijpunt van AC en OB. P is het punt (0,0,15). a) Teken de kubus. b) Bereken de coördinaten van de punten op lijn AG die een afstand van 8 hebben tot het diagonaalvlak OBFD. c) M is het midden van AE en N dat van CG. Het vlak V gaat door P, M en N. Bereken de coördinaten van de snijpunten van dit vlak met de ribben van de kubus. Teken nu het deel van dit vlak dat binnen de kubus ligt. d) Bereken de hoek die dit vlak maakt met het grondvlak OABC van de kubus. e) Het vlak met vergelijking x = p, met 0 p 6, snijdt de kubus volgens een rechthoek met een oppervlakte van 10. Bereken p. Opgave Een driezijdige piramide T.ABC is gegeven door A(0,,0), B(4,,0), C(0,,0) en T(0,0,). a) Bewijs dat de vlakken ABT en ACT loodrecht op elkaar staan. b) Bereken de afstand tussen de lijnen BT en AC. c) Bereken de hoek die vlak BCT maakt met lijn AB. Opgave 4 In dit rechte driezijdige prisma ABC.DEF geldt: AC = AB = 5 en AD = BC = 6. Punt P is het midden van CF en punt Q is het midden van AD. a) Toon aan dat de lijnen BF en DP elkaar loodrecht kruisen. Kies een cartesisch coördinatenstelsel Oxyz zo, dat O het midden van BC is, punt A op de x-as ligt en B en C op de y-as liggen. (De eenheden op de assen passen bij de gegeven lengtes.) b) Bepaal de coördinaten van het punt K op lijn AP zo, dat KF = KB. c) Toon aan dat driehoek BDK een gelijkbenige driehoek is. d) Op diagonaal BF ligt een punt L. Door L gaat een rechte lijn evenwijdig aan de y-as. Deze lijn snijdt CF in punt M. L doorloopt de lijn BF. Bereken de maximale inhoud van piramide L.AQMC. Opgave 5 Een afgeknotte balk ABCD.EFG is in een cartesisch Oxyz-assenstelsel gegeven door A(6,0,0), B(0,0, 6), C( 6,0,0), D(0,0,6), E(0,6, 6), F( 6,6,0) en G(0,6,6). a) Teken deze afgeknotte balk. STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009 2
b) Punt M is het midden van AG en punt N is het midden van AE. Bereken de hoek die de lijnen MN en MF met elkaar maken. c) Een lijn door C snijdt de lijn AF en de lijn GN. Het snijpunt met GN is punt P. Bereken de lengte van CP. d) Het vlak door de punten C, M en N snijdt ribbe DG in Q en ribbe BE in R. Bereken de coördinaten van Q en R. e) Bereken de oppervlakte van vijfhoek MNQCR. Toepassen Opgave 6 Octaëder Een octaëder is een regelmatig achtvlak. Alle ribben van zo n achtvlak zijn even lang. De figuur bestaat uit acht gelijkzijdige driehoeken. a) Bereken de hoek tussen twee grensvlakken die een ribbe van het achtvlak gemeenschappelijk hebben. b) Onderzoek welke mogelijke hoeken de ribben van de octaëder met elkaar kunnen maken. Opgave 7 Constructie van een doorsnede Gegeven is de piramide T.OABC met A(6,0,0), B(6,6,0), C(0,6,0) en T(,,12). Verder zijn gegeven de punten P(2,2,8), Q(5,1,4) en R(1 1 2,4 1 2,6). a) Laat zien dat de punten P, Q en R op ribben van de piramide liggen. b) Teken de piramide en deze drie punten. Bekijk nu eerst wat de drie vlakken stelling inhoudt via: www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectormeetkunde Totaalbeeld Toepassingen c) Vlak PQR snijdt ook het grondvlak OABC van de piramide. Leg uit hoe je met behulp van de drie vlakken stelling de snijlijn van PQR en OABC kunt tekenen. d) Je kunt deze snijlijn ook berekenen. Gebruik de vergelijkingen van de vlakken PQR en OABC om een vectorvoorstelling van de snijlijn van beide te vinden. Ga na, dat je dezelfde lijn krijgt als bij c). e) Teken nu de complete doorsnede van vlak PQR met de piramide (dus alle snijlijnen met de grensvlakken). Opgave 8 Uitproduct Een normaalvector van een vlak kun je berekenen door gebruik te maken van het uitwendig product van beide richtingsvectoren. Bekijk eerst wat wordt verstaan onder het uitproduct van twee vectoren via www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectormeetkunde Totaalbeeld Toepassingen ur ur a) Laat met behulp van het inproduct zien, dat het uitproduct a b van twee vectoren a ur en b ur een vector is die inderdaad loodrecht op zowel a ur als b ur staat. b) Vlak V gaat door de punten P(,4,8), Q(6,1,5) en R(1,5,4). Stel met behulp van het uitproduct een vergelijking van dit vlak op. STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
Opgave 9 Polydron Misschien ken je Polydron wel, bouwmateriaal voor ruimtelijke figuren bestaande uit aan elkaar te klikken vierkanten, driehoeken, vijfhoeken, etc. Hier zie je een vierkant en een gelijkzijdige driehoek van Polydron. Met 4 van deze vierkanten en 10 van deze gelijkzijdige driehoeken maak je de figuur hieronder. Hij is in een assenstelsel geplaatst waardoor de hoekpunten van grondvlak ABCD (dat uit twee vierkanten bestaat) de coördinaten A(, 6,0), B(,6,0), C(,6,0) en D(, 6,0) hebben. a) Bepaal nu zelf de coördinaten van de hoekpunten E, F, G, H en T. b) Toon aan dat vierkant BCGF en driehoek FGT niet in één vlak liggen en bereken de hoek die ze met elkaar maken. c) Onderzoek of de lijnen BF en GT elkaar snijden. Snijden ze elkaar niet, bereken dan hun kortste onderlinge afstand. d) Bereken de hoek die de lijnen CE en ET met elkaar maken. e) Het vlak door E, C en T snijdt nog meer ribben van de figuur. Welke ribben? Examenopgaven Opgave 10 Ten opzichte van een cartesisch assenstelsel Oxyz zijn gegeven de punten A(12,0,0), C(0,12,0) en T(12,12,0). Deze punten zijn hoekpunten van een regelmatige vierzijdige piramide T.ABCD met T als top. a) Teken in een ruimtelijke figuur de doorsnede van de piramide en het vlak met vergelijking y = 8. Geef een duidelijke toelichting, bijvoorbeeld door berekening van de snijpunten van dit vlak met alle ribben van de piramide. b) Bereken de oppervlakte van deze doorsnede. c) De lijn AE snijdt het vlak met vergelijking y = 8 in het punt S. Bereken de coördinaten van S. d) Op de ribbe BT ligt een punt F zo, dat de som van de lengten van de lijnstukken AF en FE minimaal is. Bereken AF + FE. (bron: examen wiskunde B vwo 1985, eerste tijdvak) STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009 4
Antwoorden 1a) - b) x 0 E(,9,0) op CB: y = 0 + p 1 z 0 0 klopt voor p = 9. c) x 1 2 EF: y = 1 + t 5 z 4 2 en TAB: 2y + z = 6 hebben snijpunt (0; 1,5;). d) 4 2 e) V: 2x + 2y + z = 12 en G = ( 1,1,4). f) Inproduct van CT = en OH = h 2 2 geeft 9 + h = 54 9 + h 15 6 0 Dit levert op h = 1, dus H = (,1,0). 2a) B(14, 2,0), E(6, 8,10), F(14, 2,10) en G(8,6,10) zijn de andere hoekpunten. b) x 6 2 AG: y = 8 + t 14 z 0 10 en OBFD: x + 7y = 0. Lijn door P(6+2t, 8+14t,10t) en loodrecht op OBFD snijden met OBFD. Snijpunt uitdrukken in t en dan de gevraagde afstand uitdrukken in t. Die afstand is bekend, dus t uitrekenen: t = 0, V t = 0,7. Gevraagde punten zijn (6,6;,8;) en (7,4;1,8;7). c) Vlak V door P(0,0,15), M(6, 8,5) en N(8,6,5) is: 7x y + 5z = 75. V snijden met DE geeft snijpunt (, 4,10). V snijden met AB geeft snijpunt (10, 5,0). V snijden met BC geeft snijpunt (11,2,0). V snijden met AB geeft snijpunt (4,,10). d) Inproduct nemen van de normaalvectoren van beide vlakken. De gevraagde hoek is ongeveer 55. e) De rechthoek heeft een lengte (hoogte) van 10. Dus moet de breedte 1 zijn: 4 p + 4 12 p = 1. Dit geeft p = 25. a) Inproduct van beide normaalvectoren is 0. b) Vlak V door BT en evenwijdig met AC is x 4z = 24. De afstand van C (een punt van AC) tot dit vlak berekenen. De gevraagde afstand is 4,8. c) BCT: x + 2y + 2z = 6. Dan hoek tussen normaalvector van BCT en richtingsvector van AB berekenen. De gevraagde hoek is ongeveer 47. 4a) Ook bij a) kun je goed gebruik maken van het assenstelsel dat in de opgave is beschreven. Het inproduct van de richtingsvectoren van BF en DP is 0. b) K(4 4t, t,t) en dan uit KF = KB de waarde van t vinden: t = 0,5. Dit geeft K = (2; 1,5;1,5). c) Laat zien dat KD = KB. d) L(0, s,s) en vlak AQMC is x 4y = 12. Lijn door L en loodrecht op AQMC snijden met AQMC geeft: d(l,aqmc) = 48 8s. Dit is de hoogte van de piramide. De oppervlakte van vierhoek AQMC is 7,5 + 2,5s. De inhoud van L.AQMC is I = 1 (7,5 + 2,5s)(48 8s). STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009 5
Deze parabool heeft een top als s = 1,5. En max.i(1,5) = 15. 5a) - 0 9 b) MN = 0 en MF =. Het inproduct geeft de gevraagde hoek: 72,5. 6 c) H(0,6,0) is midden van EG. Punt P is het snijpunt van AH en GN. Dit geeft P(2,4,0) en CP = 80. d) Q(0,2,6) en R(0,2, 6). e) Opp(MNQCR) = 21 10. 6a) De hoek tussen twee van dergelijke vlakken in ongeveer 109,5. b) 60 en 90. 7a) P op OT, Q op AT en R op CT. b) - c) Van de vlakken PQR, OAT en OABC gaan de snijlijnen door één punt K. K is het snijpunt van PQ en OA (de x-as). Van de vlakken PQR, OCT en OABC gaan de snijlijnen door één punt L. L is het snijpunt van PR en OC (de y-as). KL is nu de snijlijn van PQR met het grondvlak OABC. d) PQR: 12x + 8y + 7z = 96 en OABC: z = 0. Snijlijn gaat door het snijpunt van PQR, OABC en de x-as: K(8,0,0). Snijlijn gaat door het snijpunt van PQR, OABC en de y-as: L(0,12,0). e) - 8a) - b) uur 2 15 uur uur uur PQ = en PR = 1 dus PQ PR = 6 4 en V: 15x + 6y z =. 9a) E(,, ), F(,, ), G(,, ), H(,, ) en T(0,0, + 2 ) b) De normaalvectoren hebben verschillende richtingen. De gevraagde hoek is ongeveer 5,. c) BF en GT hebben geen snijpunt. Een vlak door BF en evenwijdig GT is ( 2 )x + y + z = 9 2. Bereken nu de afstand van T tot dit vlak. Je vindt voor de gevraagde afstand: d(bf,gt) = 6 6 2 d) Ongeveer 71,4. 8 2 6 f) ECT: ( + 2 )x + ( +4 2 )y + z = + 15 2. Dit vlak snijdt AB en HG. 10a) B(6,6, 6 2 ), D(6,6,6 2 ). De doorsnede wordt een vijfhoek KLMNP met (bijvoorbeeld) K(12,8,0), L(8,8, 4 2 ), M(4,8, 4 2 ), N(4,8,4 2 ) en P(8,8,4 2 ). b) 48 2 c) (4,8,2 2 2 ) d) 6 7 STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009 6