handleiding machten
inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 enzovoort 4 2 toepassingen 5 3 meer regels Error! Bookmark not defined. 4 onderzoek 5 tijdpad 9 materialen voor een klassengesprek 10 1 gereedschappen 10 2 vragen Error! Bookmark not defined. 3 hoofdzaken Error! Bookmark not defined. 4 samenhang Error! Bookmark not defined. 5 leerlingopgaven Error! Bookmark not defined. 1 februari 2010 handleiding machten 2
de grote lijn hoofdlijn aan de zijlijn Herhaald vermenigvuldigen Fractals Definitie Macht macht, grondtal, exponent Combinatoriek g 0 = 1 als g 0 0 0 =?? Hoofdeigenschap Metrieke stelsel Namen voor machten van 10 Meer regels handleiding machten 3
bespreking per paragraaf Applets Sommige applets zijn nog in een oude versie van Java geprogrammeeerd. Bij deze applets wordt een nieuwe htmlpagina geopend. DraakApplet bij opgave 1van paragraaf 1. Voorbeeld van een fractal FractalApplet bij opgave 2 en 20 van paragraaf 1. Voorbeelden van fractals en hoe machten van een getal een rol daarin kunnen spelen. Er kunnen verschillende grondtallen gekozen worden. VijverApplet bij opgave 3 en 4 van paragraaf 1. Hoe snel exponentiële toename is. Er kan uit verschillende groeifactoren gekozen worden StaafApplet bij opgave 5 van paragraaf 1. Doorsnijden van een banketstaaf: exponentiële groei met factor 2 en met factor 1. VermApplet bij opgave 14 van paragraaf 1 Legt de hoofdregel voor het rekenen met machten uit. AfstandsmatenAlphaApplet bij opgave 4 van paragraaf 2 Legt verband tussen verschillende afstandsmaten. OppervlakteMatenApplet bij opgave 5 van paragraaf 2. Legt verband tussen verschillende oppervlaktematen. InhoudsMatenApplet bij opgave 6 van paragraaf 2. Legt verband tussen verschillende inhoudsmaten. SeinenApplet bij opgave 17 van paragraaf 2. Hierin wordt een verband gelegd tussen het aantal seinen die een lamp kan geven en aantal wegen in een wegendiagram. TorensApplet bij opgave 19 van paragraaf 2. Laat zien hoeveel verschillende torens van hoogte 3 er met blokken van drie kleuren gemaakt kunnen worden. TotoApplet bij opgave 21 van paragraaf 2. Hier worden alle mogelijkheden om een totoformulier met drie wedstrijden in te vullen bekeken. MachtmachtApplet bij opgave 5 van paragraaf 3. De regel (a p ) q =a pq wordt duidelijk gemaakt. BreukApplet bij opgave 5 van paragraaf 3. n n p p De regel = q wordt duidelijk gemaakt. n q DuivelApplet bij opgave 1 van paragraaf 4. Duivel zoeken door zoekgebied telkens te halveren HanoiApplet bij opgave 3 van paragraaf 4. Bij het bekende probleem: de torens van Hanoi KleurenApplet bij opgave 4 van paragraaf 4. Binaire kleurcodes voor het computerscherm. EgypteApplet bij opgave 5 van paragraaf 4 Verdubbelingstabellen maken om Egyptisch te vermenigvuldigen. 1 enzovoort In de draakfractal wordt steeds weer hetzelfde herhaald. Dit is aanleiding om herhaald vermenigvuldigen aan de orde te stellen. Dat gebeurt ook in andere contexten. Dit brengt ons bij de definitie van a n : als je n keer herhaald met a vermenigvuldigt, heb je in totaal met a n vermenigvuldigd. Machten worden uitgerekend, ook met negatieve en gebroken grondtallen. Terminologie als "derdemacht" en "macht van 3" wordt geoefend. handleiding machten 4
bespreking per paragraaf De hoofdregel voor het rekenen met machten is: a p a q = a p+q. Deze wordt vanuit een context (voorouders) geïntroduceerd en ook algebraïsch bewezen. Ook wordt de betekenis van a 0 vastgelegd vanuit contexten die al in de eerste paragraaf zijn ontmoet. En de betekenis van a 0 wordt getoetst aan de hoofdeigenschap. Speciale aandacht is er voor 0 0. 2 toepassingen Het metrieke stelsel is een toepassingsgebied van machten, namelijk machten van 10. Leerlingen verschillen heel erg op dit terrein: afhankelijk van de aandacht die het heeft gekregen op de basisschool. Namen van machten van 10 komen aan de orde. Een ander toepassingsgebied is de combinatoriek: er moet een aantal keer gekozen worden uit een aantal mogelijkheden. Alle opgaven komen op hetzelfde neer, maar het principe blijkt moeilijk te zijn. Als er k keer gekozen moet worden, steeds uit n dingen, hoeveel mogelijkheden zijn er dan, k n of n k? 3 meer regels Uit de hoofdregel worden andere regels afgeleid. De leerlingen kunnen goed zien dat deze logisch volgen uit de hoofdregel. De regels worden ook in woorden geformuleerd. De afgeleide regels zijn: het product van drie machten van hetzelfde grondtal het quotiënt van twee machten met hetzelfde grondtal een macht van een macht het product van twee machten met dezelfde exponent een macht van een breuk De leerlingen moeten de regels twee kanten op kunnen gebruiken: 2 n 5 n = 10 n, en ook 10 n = 2 n 5 n. 4 onderzoek De antwoorden van de opdrachten. Opdracht 1 b Halveer steeds het gebied waar de duivel kan zitten. De grootte van dat gebied is dan achtereenvolgens: 800, 400, 200, 100, 50, 25, 13, 7, 4, 2, 1. Na 11 stappen heb je de duivel dus gevonden. c 13 d 725 bij 725 (725 2 > 2 19 en 274 2 < 2 19 ) Opdracht 2 a Een persoon telt per dag van 16 werkuren: 16 60 60 5 = 288.000 erwten. Per jaar is dat 105.120.000 (dus ruim 100 miljoen erwten). Als bijvoorbeeld 100 vrienden meehelpen, hebben we na 1 jaar ruim 10 miljard erwten geteld. En dat is veel minder dan 2 64 ( 1,8 10 19 ). b Ruim 1,75 10 11 en dat is ongeveer 25 keer de wereldbevolking. Zoveel vrienden heb je niet. c Een erwt is ongeveer 100 mm 3. De oppervlakte van Nederland is ongeveer 40.000 km 2, dat is 4 10 16 mm 2. De laag wordt dus 4 10 14 mm dik, dat is 45 10 5 mm, dus 4,5 km. handleiding machten 5
bespreking per paragraaf Opdracht 3 b aantal schijven 2 3 4 5 aantal zetten 3 7 15 31 c In a zetten kan je de bovenste 10 schijven van A naar B verplaatsen. Je hebt 1 zet nodig om de onderste schijf van A naar C te verplaatsen. In weer a zetten kun je de 10 schijven van B naar C verplaatsen. In totaal kan de dus de 11 schijven in a + 1 + a = 2a+1 zetten van A naar C verplaatsen. Dat het niet sneller kan, komt omdat je eerste de onderste schijf op A moet vrijmaken en daar heb je a zetten voor nodig. Daarna heb je ook nog a zetten nodig om de 10 bovenste schijven naar C te verplaatsen. d 2 3 + 1 = 7 ; 2 7 + 1 = 15 ; 2 15 + 1 = 31 e 2 31 + 1 = 63 ; 127 ; 255 ; 511 ; 1023 f De Torens van Hanoi (soms ook wel de Toren van Brahma of de "Einde van de wereld puzzel" genoemd) werd in 1883 uitgevonden door een Franse wiskundige, Edouard Lucas (1842-1891), onder het pseudoniem prof. Claus. Het was een verkleinde versie van een oude mythe: De Toren van Brahma In de grote tempel van Benares bevindt zich, onder de koepel die het centrum van de wereld aangeeft, een koperen plaat waarin drie diamanten staven zijn bevestigd van een el hoog en zo dik als het lijfje van een bij. Tijdens de schepping plaatste God op één van deze staven 64 schijven van zuiver goud; de grootste schijf rustte op de koperen plaat en de volgende werden naar boven toe steeds kleiner. Dit is de toren van Brahma. Priesters dragen dag en nacht schijven van de ene diamanten staaf naar de andere volgens de vaste en onveranderlijke wetten van Brahma, die eisen dat de priester die dienst heeft niet meer dan één schijf mag verplaatsen en dat hij dat zo moet doen dat er geen kleinere schijf onder ligt. Wanneer de 64 schijven zijn overgebracht van de staaf waarop God ze bij de schepping plaatste naar één van de andere staven, zullen de toren, de tempel en de Brahmanen tot stof vergaan en zal de wereld met een donderslag verdwijnen. (Deze beschrijving komt uit het boek van M. De Parville, La Nature, 1884.) Opdracht 4 In deze opdracht wordt met het binaire stelsel gewerkt. Dit is aan de orde geweest in Hoofdstuk 1, paragraaf 1 a 11111111 is 10-tallig: 255 Zo is 10000110 tientallig: 1 2 7 +0 2 6 + 1 2 2 +1 2 1 +0 2 0 =134 en 10010111 is tientallig 151. b c d 2 8+8+8 =2 24 =16777216 Veronderstel je hebt bijvoorbeeld een getal binair geschreven met 12 cijfers. Neem ze in blokjes van vier samen: Schrijf de drie binaire getallen in elk blokje hexadecimaal. Je krijgt dan de hexadecimale schrijfwijze van het getal. Dat komt omdat x 2 8 +y 2 4 +z=x 16 2 +y 16 1 +z 16 0. handleiding machten 6
bespreking per paragraaf Zie het volgende onderdeel voor een uitgebreider voorbeeld. e Dat kan ook van bijvoorbeeld het twee naar het viertallig stelsel. Je hebt bijvoorbeeld een getal binair geschreven met 6 cijfers. Neem ze in blokjes van twee samen: Schrijf het getal in elk blokje viertallig. Zo krijg je het getal viertallig geschreven. Bijvoorbeeld: 110110 tweetallig betekent tientallig: 1 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +1 2 2 +1 2 1 +0 2 0 = (1 2 1 +1 2 0 ) 2 4 +(0 2 1 +1 2 0 ) 2 2 +(1 2 1 +0 2 0 ) = 3 4 2 +1 4 1 +2 4 0, dus viertallig geschreven is het 312. Opdracht 5 Let op: in onderdeel d is sprake van het binaire stelsel. Dit is aan de orde geweest in Hoofdstuk 1, paragraaf 1 a 1 2 4 8 16 32 64 53 106 212 424 848 1696 3392 b c d 13 53=(8+4+1) 53=8 53+4 53+1 53 17 53=16 53+1 53. Je moet dus het eerste en het vijfde getal in de tabel bij elkaar tellen. Je schrijft het getal dat je met 53 moet vermenigvuldigen binair, laten we zeggen dat dit 1100111 wordt. Dan is de uitkomst van de vermenigvuldiging: 1 3392+1 1696+1 848+0 424+0 212+1 106+1 53. Opdracht 6 Let op: in onderdeel c is sprake van het binaire stelsel. Dit is aan de orde geweest in Hoofdstuk 1, paragraaf 1 a Je kunt 2 1 +2 2 +2 3 +2 4 =30 rijtjes maken. b c wiskunde Getallen kleiner dan 10000 binair zijn getallen die met vier tekens 0 of 1 geschreven worden. Hierbij is 0 wel een getal maar je hebt geen Morseteken met 0 strepen en punten. Opdracht 7 Let op: in deze opgave gaat het over het vijf- en zestallig stelsel.. Dit is aan de orde geweest in Hoofdstuk 1, paragraaf 1. a 10000 b Dus vijftallig gezien is 10000 1=4444, dit betekent tientallig: 5 4 1=4 5 3 +4 5 2 +4 5 1 +4 5 0, c Uit b volgt : 5 4 1=4(5 3 +5 2 +5 1 +5 0 ). Als je nu beide zijden door 4 deelt, krijg je het gewenste resultaat. d e 0 1 6 5 1 Die formule is: 5 + 5 +... + 5 =. 4 Je vindt hem door op te merken dat: 4444444+1=100000000 vijftallig geschreven. 0 1 6 6 1 6 + 6 +... + 6 = 5 7 7 handleiding machten 7
bespreking per paragraaf Je vindt de formule door op te merken dat zestallig geschreven: 5555555=10000000 1 f a 0 + a 1 +... + a n 1 n a 1 = a 1 Opdracht 8 a Uiteindelijk zijn er 4 4 =256 briefjes waar haar naam bovenaan staat, dus ze krijgt 256 5=1280 euro b Bij 5 namen krijg je 5 5 5=15625 euro c Mensen doen niet mee. Opdracht 9 Let op: in deze opgave gaat het over het vijf- en zestallig stelsel.. Dit is aan de orde geweest in Hoofdstuk 1, paragraaf 1. a 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 b 10100 en 10101 c d e f g 32 1=31 Alle getallen met 8 cijfers zijn na 7 belrondes gebruikt. Tweetallig geschreven zijn dat alle getallen kleiner dan 100000000. Na n belrondes zijn 2 n+1 1 personen op de hoogte. Je kunt de personen dan 'labellen' met drietallig geschreven getallen. Na drie belrondes heb je dan alle getallen kleiner dan 100000 (drietallig) gebruikt. Dat zijn 242 getallen, dus 242 personen. Als je telkens twee personen belt, heb je 7 belrondes nodig, dat kost 7 2 2=28 minuten. Als je telkens drie personen belt, heb je 4 belrondes nodig, dat kost 4 3 2=24 minuten. De belboom met drie personen werkt sneller. handleiding machten 8
tijdpad 1: Turven en superturven 2 lessen 2: Tellen en formules 2 lessen 3: Tellen en plaatjes 2 lessen 4: Veelvouden en delers 2 lessen 5: onderzoek 2 lessen proeftoets 2 lessen handleiding machten 9
materialen voor een klassengesprek 1 handleiding machten 10