Torens van Hanoi. Een legende?

Transcriptie

1 Torens van Hanoi Een legende? In de tempel van Benares onder de koepel die het middelpunt van de wereld aangeeft, lag een koperen plaat waar drie diamanten naalden in zijn vastgeklonken, die elk een el hoog zijn en zo dik als een bij. Rond één van deze naalden pasten vierenzestig schijven van zuiver goud. De grootste schijf rustte op de koperen plaat en de andere schijven werden steeds kleiner en kleiner, tot aan de bovenste schijf. Dit is de toren van Brahma Volgens de legende hangt het lot van de wereld van de Brahmaanse priesters van de tempel van Benares af. Deze priesters verplaatsen schijf na schijf zodat nooit een grotere schijf op een kleinere schijf ligt. Als ze klaar zijn met hun werk zal de wereld vergaan. Dit is slechts een legende, want deze puzzel werd in feite in 1883 uitgevonden door de Franse wiskundige Edouard Lucas ( ) die zich bezig hield met het opstellen van wiskundige puzzels. Nu nog is deze puzzel populair en komt soms voor op TV. Om zijn puzzel bij het publiek succesvol te maken, werd het in 1883 aan het publiek voorgesteld als de creatie van een zekere meneer Claus van de academie van Li-Sou-Stian. Deze bizarre naam is niets anders dan een omwisseling van de letters van zijn naam en van het Lycée Saint-Louis waar hij les gaf. Hanoi was in de tijd van Lucas de hoofdstad van Vietnam, een afgelegen Franse kolonie. TorensvanHanoi -1/6-

2 Praktisch We verdelen de klas in 4 gelijke groepen A, B, C en D. Het houten model wordt gemaakt door 5 verschillende handelingen uit te voeren: 1. Maken van een papieren model om de puzzel op te lossen (Hanoitrappen) 2. Afschuren van de randen van de plaatjes met schuurpapier 3. Zagen van de staafjes met een metaalzaagje 4. Aanduiden van de gaten op de vierkantjes en de basisplaat 5. Boren van de gewenste gaten (onder begeleiding) en lijmen van de stokjes 1. Model in papier 2. Afschuren randen 3. Zagen stokjes 4. Afmeten plaatjes 5. Gaten boren Ronde 1 A B C D Ronde 2 A B C D Ronde 3 D A B C Ronde 4 C D A B Ronde 5 B C D A De klas wordt verdeeld in vijf werkplaatsen waar elke handeling om het model te maken apart wordt uitgevoerd. Na elke ronde starten de kinderen een andere activiteit zoals aangegeven in de tabel. Het boren kan uiteraard enkel nadat de activiteiten 4 en 5 werden uitgevoerd. Het boren en het zagen gebeurt steeds onder begeleiding van een volwassene. (veiligheid!) De kinderen houden steeds hun vierkante plaatjes en hun basisplaat bij zich als ze naar een andere activiteit gaan. Het schuurpapier, de metaalzaagjes en de boormachine blijven steeds op de werkplek En nu aan het werk. TorensvanHanoi -2/6-

3 Werkwijze JE HEBT NODIG: houten plankje (26cm x 10 cm) met een dikte van 1,5cm voor je basisplaat 5 vierkante houten plaatjes met zijden 2cm, 3cm, 4cm, 5cm en 6cm met een dikte van 5mm 3 ronde houten stokjes met een diameter van 5 mm en een lengte van 6cm houtboortjes van 5 mm en 8 mm houtlijm stokje tekengerei vierkantig plaatje basisplaat Activiteit 1: trappen van Hanoi Zie afzonderlijk blaadje. Activiteit 2: schuren Schuur met het schuurpapier alle randen en zijkanten van de vierkantjes en van je basisplaat perfect glad. Activiteit 3: stokjes zagen Zaag van het houten stokje 3 gelijke stukjes af van 6 cm lengte. Gebruik hiervoor een metaalzaagje en het speciale zaagplankje. Activiteit 4: afpassen gaatjes om te boren 1. Teken het middelpunt van elk vierkantig plaatje. Duid dit middelpunt aan door gebruik te maken van een priem. In een volgende activiteit boor je dan een gat van 8mm door elk vierkant. 2. Op de basisplaat teken je het middelpunt. Duid het met je priem aan. Maak met je priem ook in het midden van de plaat op 4,5 cm van de randen links en rechts en klein gaatje. Activiteit 5: 1. Boor een gaatje van 5mm in het midden van het plankje. 2. Boor links en rechts op 4,5 cm van de rand telkens een gaatje van 5mm. 3. Lijm de drie stokjes vast in de gaten van je plankje 4. Boor gaten van 8 mm in het midden van elk vierkantig plaatje TorensvanHanoi -3/6-

4 Een puzzel Het doel van de puzzel is om de vierenzestig schijven één per één naar de derde staaf te verplaatsen, hierbij mag nooit een grotere schijf boven een kleinere schijf geplaatst worden. Maar dat is een onmenselijke opdracht. Als de priesters de beste oplossing gebruiken en elke seconde een schijf verplaatsen dan hebben ze zo n 585 miljard jaar nodig. Speel het spel zoals hierboven beschreven. Gebruik de 5 vierkanten als schijven. Hoeveel zetten heb je nodig om tot het juiste resultaat te komen? Machten van twee. Als je maar één enkele steen hebt, moet je uiteraard maar één enkele zet doen. Heb je twee stenen, dan moet je al 3 zetten doen om de puzzel op te lossen. Je verplaatst het kleinste vierkantje naar het middelste stokje, het grote vierkant zet je dan op het rechter stokje om daarna het kleine vierkant op het grote vierkant te plaatsen. Als je drie vierkanten hebt, moet je al 7 zetten doen om de puzzel te maken. Een puzzel met 4 stenen vergt al 15 zetten om de puzzel tot een goed einde te brengen. Tel nu eventjes mee: 1 = 2-1, dat snap je wel. 3 = 2 x 2-1; 7 = 2 x 2 x 2-1; 15 = 2 x 2 x 2 x 2-1. Als je deze rij op dezelfde wijze verder zet, dan wordt het volgende getal gegeven door: 31 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1. Dit is het aantal zetten die nodig zijn om de puzzel met 5 stenen op te lossen. Om niet al deze 2 tjes te moeten schrijven heeft men het volgende bedacht: 2 3 = 2 x 2 x 2 = 8, zo is dus ook 2 5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32. Je spreekt dit laatste uit als de vijfde macht van twee. TorensvanHanoi -4/6-

5 Trappen van Hanoi Werkwijze JE HEBT NODIG: het plan op de volgende pagina een schaar en een lege balpen om te rillen Stap 1: ril met een lege balpen alle zwarte stippellijnen. Stap 2: plooi je blad op de lijn AB. De getekende lijnen komen naar de bovenkant. Stap 3: knip op de twee rode volle lijnen loodrecht op de plooilijn AB. Stop met knippen aan de gerilde zwarte stippellijn. Stap 4: doe je blad opnieuw open. Stap 5: maak op AB een dalvouw binnen de uitsnijding. Stap 6: maak van de twee uiterste delen van lijn AB bergvouwen Stap 7: maak bovenaan en onderaan de uitsnijding een bergvouw. Maak je eerste trap door de dalvouw tussen de insnijdingen naar beneden te duwen. Stap 8: plooi je blad netjes toe. De eerste trap verdwijnt nu tussen je blad. Stap 9: knip nu op de rode lijnen loodrecht op de vouw van de eerste trap. Zorg ervoor dat je enkel een trapje uitsnijdt. Maak je model opnieuw open. Duw het midden van het kleinere trapje naar buiten. Doe dit ook voor het andere trapje. Stap 10: doe zo verder tot je alle trapjes hebt gemaakt. De oplossing! Heb je het papieren model tot een goed einde gebracht, dan kan je aan de hand ervan de oplossing van de puzzel gemakkelijk aflezen. Wie vindt de oplossing? TorensvanHanoi -5/6-

6 TorensvanHanoi -6/6-