Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de basisrekenregels voor machten. Deze rekenregels worden geoefend in de les over Machten. We gaan ervan uit dat we in deze les rekenen met alleen de reële getallen. Voor het rekenen met complexe getallen, waarbij er aan de verzameling van de reële getallen de imaginaire getallen worden toegevoegd, zien we een andere les. Dit komt later. De bedoeling is deze les door te werken met behulp van pen en papier. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel) De vierkantswortel (Engels: square root afkorting sqrt) is de (tweede machts) wortel. Denk aan. 2.1 leer uit het hoofd
In de volgende voorbeelden staan de letters steeds voor positieve reële getallen. Ga zorgvuldig de volgende voorbeelden na en als je het niet helemaal begrijpt, kijk je naar de aanwijzingen die erbij gegeven worden. Vaak zijn er verschillende schrijfwijzen voor dezelfde vorm. Het is belangrijk voor de communicatie dat je álle mogelijke schrijfwijzen kent. De volgende rode voorbeelden zijn eigenlijk basisrekenregels voor wortels. Ga deze in ieder geval even na. 2.2 voorbeeld De wortel uit is het zelfde als de macht van De betekenis is de volgende: De uitkomst van is een getal dat in het kwadraat levert. want want Het zal duidelijk zijn dat onder het wortelteken geen negatief getal kan staan. Immers iets in het kwadraat kan niet negatief zijn. 2.2.1 vraag Je zou kunnen zeggen: kan de uitkomst van dan niet zijn? Immers is toch ook 4? 2.2.1.1 antwoord De afspraak is dat een wortelfunctie éénwaardig is en dat we de positieve waarde nemen. Dus de uitkomst van is steeds per afspraak een positief getal. 2.2.2 vraag
Wat komt er uit als je niet weet of zelf positief of negatief is? 2.2.2.1 antwoord Zie voor de afspraak van de eenwaardige wortelfunctie bij vraag 2.2.1. Je zou kunnen zeggen als x positief is en als x negatief is. Dus Korter is te zeggen dat Zo ben je ingedekt. 2.2.3 vraag Wat is de uitkomst van. 2.2.3.1 antwoord Zie bij vraag 2.2.1 voor de afspraak die gemaakt is over eenwaardige wortelfuncties. 2.3 voorbeeld Ga ervan uit dat a en b reëel zijn en positief. Bedenk een voorbeeld van de rekenregel 2.3.1 antwoord Een antwoord zou kunnen zijn: 2.4 voorbeeld Ga na dat en dat dit voor elk positief getal geldt.
2.4.1 aanwijzing Je kunt dit op verschillende manieren beredeneren. Het eenvoudigste is om te bedenken dat Je moet dan natuurlijk wel de rekenregels voor machten kennen en dan zul je zien dat dit natuurlijk niet alleen voor het getal 3 geldt maar ook dat bijvoorbeeld. 2.5 voorbeeld Bedenk een voorbeeld van de rekenregel 2.5.1 antwoord Een antwoord zou kunnen zijn 2.6 voorbeeld Vaak is het handig om niet al te grote getallen onder het wortelteken te hebben. Maak de getallen onder het wortelteken zo klein mogelijk zodat de formule er eenvoudiger op wordt. 2.6.1 antwoord Verder kan is. natuurlijk korter geschreven worden omdat het getal 4 en kwadraat Zoek dus de kwadraten in een groot getal. 2.7 voorbeeld Zie voorbeeld 2.6 en vereenvoudig de volgende wortelvormen:
2.7.1 antwoord 3 Optellen en vermenigvuldigen van wortels Zoals in voorbeeld 5 is te zien, kun je gelijke wortels optellen (en aftrekken) Als de wortels ongelijk zijn, kun je niet optellen en aftrekken (maar wel vermenigvuldigen). kan niet verder opgeteld worden kan verder geschreven worden als
3.1 voorbeeld (optellen en vermenigvuldigen van wortels) Vereenvoudig de volgende wortelvormen waarbij aangenomen wordt dat en reëel en positief zijn. 3.1.1 3.1.1.1 antwoord Dezelfde wortels kun je optellen tot 3.1.2 3.1.2.1 antwoord Vermenigvuldigen levert: De volgorde van de vermenigvuldiging veranderen: 3.1.3 3.1.3.1 antwoord Ongelijke wortels kun je niet verder optellen dus dat blijft zo staan 3.1.4
3.1.4.1 antwoord Vermenigvuldigen levert: 3.2 voorbeeld (wortels zo klein mogelijk maken) Ga zorgvuldig na dat Het doel is eigenlijk om het getal onder het wortelteken zo klein mogelijk te houden. 3.2.1 aanwijzing Zie ook voorbeeld 2.3 dat je kunt schrijven 3.3 voorbeeld (wortel uit de noemer halen) Ga zorgvuldig na dat Het doel is eigenlijk om geen wortelvormen in de noemer te hebben. 3.3.1 aanwijzing Vermenigvuldig teller en noemer met Immers zie ook voorbeeld 2.4.
3.4 voorbeeld (breuken uit de wortel halen) Ga zorgvuldig na dat Hier is het doel eigenlijk om geen breuken onder het wortelteken te hebben en geen wortels meer in de noemer. 3.4.1 aanwijzing Ga na dat waarbij truc Zorg dus dat je van de noemer een kwadraat maakt zodat de wortel eruit getrokken kan worden. Dus 4 Training Neem pen en papier ter hand en maak de volgende opgaven waarbij de gebruikte letters positieve reële getallen voorstellen. Bij het vereenvoudigen van wortelvormen zorg je ervoor dat het getal onder het wortelteken zo klein mogelijk is en vrij is van breuken. Zorg er ook voor dat in breuken er geen wortels in de noemer zitten. Klik steeds op het antwoord om te zien of je het goed deed. Ga er steeds van uit dat de gebruikte letters staan voor positieve reële getallen. 4.1 oefening Vereenvoudig de volgende wortelvorm en maak het getal onder het wortelteken zo klein mogelijk. 4.1.1 aanwijzing Ontbind zoveel mogelijk in kwadraten. 4.1.2 antwoord
Zie ook de rekenregel van voorbeeld 2.3. 4.2 oefening Vereenvoudig de volgende wortelvorm en maak de wortelvorm breukvrij. 4.2.1 aanwijzing 1 Maak van de breuk en zie ook voorbeeld 3.4. 4.2.2 aanwijzing 2 Je kunt ook apart de wortel van de teller en de noemer nemen Vervolgens de teller en de noemer met vermenigvuldigen 4.2.3 antwoord Dit wordt ook wel geschreven als 4.3 oefening Vereenvoudig de volgende vorm. De bedoeling is dat onder het wortelteken het getal zo klein mogelijk is.
= 4.3.1 antwoord 4.3.2 aanwijzing Ga na dat Evenzo geldt Zie verder voorbeeld 3.1 om wortels samen te nemen. 4.4 oefening Vereenvoudig de volgende vorm. De bedoeling is dat onder het wortelteken het getal zo klein mogelijk is. 4.4.1 antwoord 4.4.2 aanwijzing 5 Basisrekenregels voor machten We noemen de uitdrukking een macht van a (in dit geval de vierde macht van a). Het grondtal is a en de exponent is hier het getal 4. Voor a en b ongelijk aan 0 gelden de volgende algemene rekenregels voor het werken met machten. Hierbij kunnen de getallen m en n (de exponenten) zowel negatief als positief, maar ook gebroken zijn. Eerst oefenen we met gehele exponenten om de rekenregels te leren kennen. Als er een spatie tussen de letters staat, dan betekent dat een vermenigvuldiging:. Ga onderstaande rekenregels nog eens na en probeer in gedachten even een voorbeeld erbij te bedenken. Als je geen voorbeelden kunt bedenken, ga je naar de les over Machten.
= =