15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een examen in dit geval voor berekenen met de GR. Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond antwoord indien nodig af. Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond het antwoord niet af. Laat wortels, breuken etc. staan. Bereken met behulp van afgeleide: Bereken met behulp van differentiëren: Bereken de formule van de afgeleide. De rest van de berekening mag met de GR opgelost worden. 1

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Voorbeeld: Gegeven is de functie f(x) = 5x Van rechthoek OPQR ligt P op de positieve x-as, Q op de grafiek van f en R op de y-as. Bereken exact de maximale oppervlakte van rechthoek OPQR. Stap 1: Stel: x p = p De oppervlakte van rechthoek OPQR = OP PQ = p f(p) = p 5p De maximale oppervlakte van rechthoek OPQR is te berekenen door het maximum van p 5p te berekenen.

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Stap : Differentieer de functie y = p 5p y' [ p]' 5 p p[ 5 p]' 1 5 p p 1 5 p 5 p p 5 p 5 p p 5p 5p 53p 5 p 3

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Stap 3: Stel de afgeleide gelijk aan nul en controleer of de oplossing een maximum is. 53p 5 p 53p 0 3p 5 p 5 3 0 Uit de schets blijkt dat er hier sprake is van een maximum. Stap 4: Bereken de maximale oppervlakte van rechthoek OPQR. O(OPQR) = p 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 15 5p 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 4

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [] Voorbeeld: Gegeven zijn de functies f(x) = sin(x) 1 en g(x) = cos (x) met het domein [0, π] De lijn x = p snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B. Bereken exact voor welke p de lengte L van het lijnstuk AB maximaal is. Stap 1: Stel een formule op voor de lengte L van lijnstuk AB. L = g(p) f(p) = cos (p) (sin(p) 1)) = cos (p) sin(p) + 1 Stap : Differentieer de gevonden functie L. L = 4cos(p) -sin(p) cos(p) = -4sin(p)cos(p) -cos(p) 5

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [] Stap 3: Stel de afgeleide gelijk aan nul en controleer of de gevonden oplossing een maximum is. -4sin(p)cos(p) -cos(p) = 0 sin(p)cos(p) = -cos(p) sin(p) = -cos(p) cos(p ½π) = cos(p + π) [sin(a)cos(a) = sin(a)] [sin(a) = cos(a ½π] [-cos(a) = cos(a + π)] p ½π = - p - π + k π 4p = - ½π + k π p = - 1/8π + k ½π p = 3/8π p = 7/8π p ½π = p + π + k π geen oplossing Uit de schets volgt dat er bij p = 7/8π een maximum is. 6

15. Optimaliseringsproblemen [1] Voorbeeld: Gegeven: een doos met vierkante bodem (x bij x cm) en een hoogte van h cm. De som van de hoogte en de omtrek van de bodem is 300 cm. Bereken wanneer de inhoud I maximaal is. Stap 1: Schrijf I als functie van x en h: I = x x h = x h Stap : Zoek een verband tussen x en h en druk h uit in x: Hoogte + omtrek bodem = 300 h + 4x = 300 h = 300 4x Stap 3: Schrijf I als functie van x I = x h met h = 300 4x I = x (300 4x) I = 300x 4x 3 7

15. Optimaliseringsproblemen [1] Voorbeeld: Gegeven: een doos met vierkante bodem (x bij x cm) en een hoogte van h cm. De som van de hoogte en de omtrek van de bodem is 300 cm. Bereken wanneer de inhoud I maximaal is. Stap 4: Bereken wanneer de inhoud I maximaal is (gebruik de afgeleide): 3 I 300x 4x di dx di dx 600x1x 0 600x1x 0 x(600 1 x) 0 x 0 of x 50 Hieruit volgt dat de inhoud maximaal is bij een x van 50 centimeter en een h van 300 4 50 = 300 00 = 100 centimeter. 8

15. Optimaliseringsproblemen [] Voorbeeld: In het plaatje hiernaast zijn een aantal electriciteitskabels getekend (AP, BP en CP). De afstand van P tot de lijn BC wordt gelijkgesteld aan x meter. Bereken algebraïsch voor welke waarde van x de totale lengte van de kabels minimaal is. Stap 1: Stel een formule op voor de totale lengte van de kabels. Lengte = AP + BP + CP = AP + BP + BP = AP + BP AP = 00 x BP = x 60 Lengte = 00 x + x 3600 9

15. Optimaliseringsproblemen [] Stap : Stel de afgeleide op van de gevonden functie. dl x x 1 1 dx x x 3600 3600 Stap 3: Stel de afgeleide gelijk aan 0 en controleer of de gevonden oplossing een minimum is. x 1 0 x 3600 x 1 x 3600 x x 3600 4x x 3600 3x 3600 x 100 x 34,64 Uit de schets volgt dat bij 34,64 meter de totale lengte van de electriciteitskabels minimaal is. 10

15.3 Trillingen[1] Het punt A doorloopt tegen de wijzers van de klok in met constante snelheid de cirkel met middelpunt (0,0) en straal 3. Dit is een eenparige cirkelbeweging; x A = 3 cos(t) en y A = 3 sin(t); Op t = 0 is A in het punt (3, 0); De omlooptijd T van A is π seconden, omdat A na π seconden weer terug is in het punt (3,0); Een cirkel is 360 en dus π radialen; Het lijnstuk OA draait over een hoek van π radialen; 11

15.3 Trillingen[1] In π seconden draait OA over een hoek van π radialen; De hoeksnelheid ω is de hoek waarover OA gedurende 1 seconde draait; Hoeksnelheid = 1 omlooptijd T Als de hoeksnelheid positief is, draait het punt tegen de wijzers van de klok in; Als de hoeksnelheid negatief is, draait het punt met de wijzers van de klok mee. 1

15.3 Trillingen[1] Voorbeeld 1: Het punt R doorloopt met een hoeksnelheid van 6 rad/s de cirkel met middelpunt (3,5) en straal en is op t = 0 in het punt (5,5). De bewegingsvergelijkingen van R zijn: x R (t) = 3 + cos(6t) y R (t) = 5 + sin(6t) Deze formules samen beschrijven de baan van R en noemen we de parametervoorstelling (pv) van de baan van R. Algemeen: x R (t) = a + rcos(ωt) y R (t) = b + rsin(ωt) (a,b) is het middelpunt van de cirkel; r = straal van de cirkel; ω = hoeksnelheid in rad/s. 13

15.3 Trillingen[1] Het punt A wordt nu geprojecteerd op de y-as; De projectie A van A op de y-as voert een trilling uit; P doorloopt de cirkel met constante snelheid. Het punt P voert een harmonische trilling uit; Bij een eenparige cirkelbeweging van een punt P hoort een harmonische trilling van de projectie P van P op de y-as; Een trilling heeft een trillingstijd; De trillingstijd van de harmonische trilling is gelijk aan de omlooptijd van de bijbehorende eenparige cirkelbeweging. 14

15.3 Trillingen[1] Het faseverschil van twee punten is het gedeelte van de trillingstijd dat verstrijkt tussen de tijdstippen dat de punten de evenwichtsstand in dezelfde richting passeren. Voorbeeld 3: Gegeven zijn de harmonisch trillende punten P en Q die beschreven worden door u P = 8 sin (50πt) en u Q = 8 sin (50πt 1/10π) Bereken het faseverschil van de beide punten: De trillingstijd (T) van P en Q is 0,04 c 50 u Q = 8 sin (50πt 1/10π) = 8 sin (50π(t 0,00)) Bij een trillingstijd van 0,04 loopt het punt Q 0,00 voor op het punt P. Het faseverschil is nu gelijk aan 0,00 1 0,04 0 15

15.3 Trillingen[] Een samengestelde trilling is een trilling die de som is van twee of meer trillingen. Een samenstelling van twee harmonische trillingen met gelijke frequenties is weer een harmonische trilling met dezelfde frequentie. Voor het werken met samengestelde trillingen worden de formules van Mollweide gebruikt: sin(a) + sin(b) = sin(½(a + b))cos(½(a b)) sin(a) - sin(b) = sin(½(a - b))cos(½(a + b)) cos(a) + cos(b) = cos(½(a + b))cos(½(a b)) cos(a) + cos(b) = -sin(½(a + b))sin(½(a b)) De formule van een samengestelde trilling waarbij de twee afzonderlijke harmonische trillingen dezelfde frequentie en amplitude hebben is met bovenstaande formules op te stellen. Als de frequenties wel hetzelfde zijn maar de amplitudes niet kan een formule opgesteld worden met de GR. 16

15.3 Trillingen[] Voorbeeld 1: Stel de formule op van de samengestelde trilling u = u 1 + u met u 1 = sin(50πt) en u = sin(50π(t 0,01)) u = u 1 + u = sin(50πt) + sin(50π(t 0,01)) = sin(50πt) + sin(50πt ½π) = sin(½(50πt + 50πt ½π)) cos(½(50πt 50πt + ½π)) = sin(50πt ¼π) cos(¼π) = sin(50πt ¼π) ½ = sin(50π(t 1/00)) 17

15.3 Trillingen[] Voorbeeld : Gegeven zijn de harmonische trillingen u 1 = 5sin(30πt) en u = 6sin(30πt 0,3π). De samengestelde trilling wordt weergegeven door u = u 1 + u. Stel de formule op van u in de vorm u = b sin(c(t d)). Rond b af op twee decimalen en d op vier decimalen. Stap 1: u 1 en u hebben dezelfde frequentie, dus c = 30πt. Stap : Voer in de GR in: Y1 = 5sin(30πX) + 6sin(30πX 0,3π) De optie maximum geeft X 0,0 en Y 9,81. De amplitude (b) is dus gelijk aan 9,81 Stap 3: De optie zero geeft X 0,0055. Op het tijdstip 0,0055 passeert de grafiek de evenwichtsstand omhoog. (d = 0,0055) De formule van u wordt nu: u = 9,81 sin(30π(t 0,0055)) 18

15.3 Trillingen[3] Voorbeeld 1: Bereken de periode van de functie y = sin(6x) + sin(7x) De periode van y = sin(6x) is 6 De periode van y = sin(7x) is In [0, π] passen precies 6 periodes van y = sin(6x). In [0, π] passen precies 7 periodes van y = sin(7x). De getallen 6 en 7 hebben geen gemeenschappelijke deler. 7 De periode van y = sin(6x) + sin(7x) is gelijk aan π. 19

15.3 Trillingen[3] Voorbeeld : Bereken de periode van de functie y = sin(6x) + sin(9x) De periode van y = sin(6x) is 6 De periode van y = sin(9x) is In [0, π] passen precies 6 periodes van y = sin(6x). In [0, π] passen precies 9 periodes van y = sin(9x). De getallen 6 en 9 hebben als gemeenschappelijke deler 3. 9 In [0, /3π] passen precies periodes van y = sin(6x). In [0, /3π] passen precies 3 periodes van y = sin(9x). De periode van y = sin(6x) + sin(9x) is gelijk aan /3π. 0

15.4 Lissajous-figuren [1] Voorbeeld: De kromme K is gegeven door de parametervoorstelling x sin( t) y sin( t) Invullen in een tabel geeft op het interval [0, ½π] de volgende waarden: t 0 ¼ π ½π x 0 ½ 1 y 0 1 0 1

15.4 Lissajous-figuren [1] Voorbeeld: Op deze manier kan de kromme K getekend worden: De hier getekende kromme K heet een Lissajous-figuur. Een Lissajous-figuur is de baan van een punt dat gelijktijdig deelneemt aan twee harmonische trillingen in verschillende richtingen.

15.4 Lissajous-figuren [] Voorbeeld: Plot de kromme die hoort bij de parametervoorstelling x sin( t) y sin( t) Stap 1: Kies in het MODE menu op de derde regel RADIAN en op de vierde regel PAR. Stap : Vul bij Y= de parametervoorstelling in. 3

15.4 Lissajous-figuren [] Voorbeeld: Plot de kromme die hoort bij de parametervoorstelling x sin( t) y sin( t) Stap 3: Kies WINDOW en vul de volgende waarden in: Tmin = 0 Tmax = π Xmin = -1.5 Xmax = 1.5 Ymin = -1.5 Ymax = 1.5 Stap 4: Kies ZOOM ZOOM 5: ZSquare ENTER 4

15.4 Lissajous-figuren [3] Voorbeeld: 1 x sin( t ) Bij de parametervoorstelling 4 hoort de formule y = x 1 ysin( t) met -1 x 1. Toon dit aan. y x 1 1 4 1 sin( t) cos(( t )) 4 1 sin( t) cos( t ) 1 sin( t) cos(t1 ) sin( t) sin(t ) sin( t) (sin( t )) 1 sin( t) sin( t) cos(a) = 1- sin (A) sin (A) -1 = - cos(a) -cos(a) = cos(a + π) cos(a) = sin(a + ½π) sin(a + π) = sin(a) 5

15.4 Lissajous-figuren [3] Voorbeeld: 1 x sin( t ) Bij de parametervoorstelling 4 hoort de formule y = x 1 ysin( t) met -1 x 1. Toon dit aan. Een bewegend punt P waarvan de baan beschreven wordt door de bovenstaande parametervoorstelling doorloopt voortdurend de hiernaast getekende parabool tussen (-1, 1) en (1, 1). In de punten (-1, 1) en (1, 1) keert het punt P om. Dit zijn de keerpunten. In deze keerpunten hebben de formules voor x en y uit de parametervoorstelling beide een extreme waarde. 6

15.5 Goniometrische modellen [1] Voorbeeld: Van zeshoek ABCDEF is gegeven: AB = DE = 6, BC = CD = EF = FA = 4, AB // DE en CFE = α. Toon aan dat voor de oppervlakte O van de zeshoek geldt: O = 16 sin(α) + 48 sin(α) O(zeshoek) = O( AEF) + O(ABDE) + O( BDC) = O( AEF) + O(ABDE) = ½ AE FP + AB AE EP EP In FPE geldt: sin(α) = dus EP = 4 sin(α) [AE = EP = 8 sin(α)] EF 4 In FPE geldt: cos(α) = Hieruit volgt: O(zeshoek) FP FP EF 4 dus FP = 4 cos(α) = 8 sin(α) 4 cos(α) + 6 8 sin(α) = 3sin(α)cos(α) + 48sin(α) = 16sin(α) + 48sin(α) 7

15.5 Goniometrische modellen [] Voorbeeld: De oppervlakte O van de zeshoek is gelijk aan: 16 sin(x) + 48 sin(x). x is hierbij gegeven in radialen. Bereken algebraïsch bij welke hoek de oppervlakte van de zeshoek maximaal is. Stap 1: Bereken de afgeleide van de formule van de oppervlakte O. do 3cos( x) 48cos( x) dx Stap : Stel de afgeleide gelijk aan nul en los de ontstane vergelijking op. 3 cos(x) + 48cos(x) = 0 cos(x) + 3 cos(x) = 0 ( cos (x) 1) + 3 cos(x) = 0 4 cos (x) + 3 cos(x) = 0 8

15.5 Goniometrische modellen [] Stap : 4 cos (x) + 3 cos(x) = 0 [cos(x) = p] 4p + 3p = 0 D = 3 4 4 - = 41 3 41 3 41 p = of p = 8 8 cos(x) -1,175 of cos(x) 0,45 Geen oplossing x 1,131 + k π of x -1,131 + k π Stap 3: Controleer of de gevonden oplossing een maximum is. Uit een schets van de formule volgt dat er bij 1,131 een maximum is. Stap 4: Bereken de hoek waarbij de oppervlakte maximaal is. De oppervlakte is maximaal bij een hoek van 1,131 180 65 9

15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [1] s(t) =,1t + 3,6t is een tijd-afstandfunctie. De tijd-afstandfunctie geeft op een bepaald tijdstip de afgelegde afstand. s (t) = v(t) = 4,t + 3,6 is een snelheidsfunctie. De snelheidsfunctie geeft op een bepaald tijdstip de snelheid. De snelheidsfunctie is de afgeleide van de tijd-afstandfunctie. Wanneer de snelheidsfunctie bekend is kan de afgelegde afstand in een bepaalde periode berekend worden door deze snelheidsfunctie te primitiveren. Primitiveren van de snelheidsfunctie geeft de tijd-afstandfunctie. 30

15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [1] Voorbeeld: Gegeven is de snelheidsfunctie v(t) = s (t) = -½t + t + 1. Bereken de afgelegde afstand s op t = 4 als bekend is dat op t = 1 al een afstand van 5 meter is afgelegd. Afgelegde afstand s(1) op t = 1 is 5 meter. Afgelegde afstand van t = 1 tot t = 4 is 4 s '( t ) dt 1 Afgelegde afstand = 4 1 (1) 1 s t t dt 5 1 4 1 3 t t t 6 1 1 1 1 6 6 3 3 5 ( 4 4 4) 1 1 1 1 31

15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [] Definitie: Van een vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b is de x-coördinaat van het zwaartepunt: x z b a x f ( x) dx x f ( x) dx oppervlakte V f ( x) dx Definitie: Als het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafieken van f en g is de x-coördinaat van het zwaartepunt: x z b a b x ( f ( x) g( x)) dx a ( f ( x) g( x)) dx b a b a 3

15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [] Voorbeeld: Gegeven is de parabool y = x. Het vlakdeel V ligt rechts van de y-as en wordt ingesloten door de parabool, de y-as en de lijn y = 4. Het zwaartepunt van V is Z. Bereken algebraïsch de coördinaten van Z. Stap 1: Bereken de x-coördinaat van het zwaartepunt. O(V) = 0 3 4 x dx 4x x 8 0 5 1 8 1 3 3 3 3 1 4 x(4 x ) dx (4 x x ) dx x x (8 4) 0 4 4 0 0 0 0 x z 0 x f ( x) dx OV ( ) 4 1 5 3 33

15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [] Stap : Bereken de y-coördinaat van het zwaartepunt. Voor de x-coördinaat van het zwaartepunt geldt: x z 0 x 0 f ( x) dx f ( x) dx Voor de y-coördinaat van het zwaartepunt geldt: y z 4 0 y xdy 4 0 xdy De x en y worden hier dus als het ware omgedraaid. 34

15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [] Stap : Bereken de y-coördinaat van het zwaartepunt. y = x met 0 x geeft x = y met 0 y 4 4 4 4 1 1 4 y xdy y ydy y dy y y 16 1 5 5 5 0 0 0 0 4 O(V) = 1 5 3 y z 4 y xdy 4 1 5 OV ( ) 1 5 5 3 0 Stap 3: Geef de coördinaten van het zwaartepunt: Z 3, 4 5 35

15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [3] Definitie: Het lichaam L ontstaat als het vlakdeel V ingesloten door de grafiek van de functie f, de x-as en de lijnen x = a en x = b om de x-as wentelt. Voor de x-coördinaat van het zwaartepunt Z geldt: x Z b a b xy dx IL ( ) a b xy dx a y dx 36

15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [3] Definitie: De paraboloïde ontstaat door het vlakdeel ingesloten door de grafiek van y 9x, de x-as en de y-as te wentelen om de x-as. Bereken algebraïsch de x-coördinaat van het zwaartepunt Z van de paraboloïde. 9 9 9 0 0 0 1 1 1 I y dx (9 x) dx [ (9 x x )] (81 40 0) 40 37

15.6 Integralen bij snelheid en zwaartepunt [3] Definitie: De paraboloïde ontstaat door het vlakdeel ingesloten door de grafiek van y 9x, de x-as en de y-as te wentelen om de x-as. Bereken algebraïsch de x-coördinaat van het zwaartepunt Z van de paraboloïde. 9 9 9 xy dx x(9 x) dx (9 x x ) dx 0 0 0 9 3 (4 x x ) (364 43 0) 11 1 1 1 1 3 0 x Z 9 xy dx 1 11 3 1 40 0 IL ( ) 38

15 Samenvatting Bereken: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Bereken algebraisch: Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond antwoord indien nodig af. Bereken exact: Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond het antwoord niet af. Laat wortels, breuken etc. staan. Bereken met behulp van afgeleide: Bereken de formule van de afgeleide. Bereken met behulp van differentiëren: De rest van de berekening mag met de GR opgelost worden. Het punt A doorloopt tegen de wijzers van de klok in met constante snelheid de cirkel met middelpunt (0,0) en straal r. Dit is een eenparige cirkelbeweging; Het punt A wordt nu geprojecteerd op de y-as; De projectie A van A op de y-as voert een trilling uit; A doorloopt de cirkel met constante snelheid. Het punt A voert een harmonische trilling uit; De trillingstijd van de harmonische trilling is gelijk aan de omlooptijd van de bijbehorende eenparige cirkelbeweging. 39

15 Samenvatting Het faseverschil van twee punten is het gedeelte van de trillingstijd dat verstrijkt tussen de tijdstippen dat de punten de evenwichtsstand in dezelfde richting passeren; Een samengestelde trilling is een trilling die de som is van twee of meer trillingen. Formules van Mollweide: sin(a) + sin(b) = sin(½(a + b))cos(½(a b)) sin(a) - sin(b) = sin(½(a - b))cos(½(a + b)) cos(a) + cos(b) = cos(½(a + b))cos(½(a b)) cos(a) + cos(b) = -sin(½(a + b))sin(½(a b)) De kromme K is gegeven door de parametervoorstelling x sin t( t) y sin( t) De kromme K is een Lissajous-figuur. Dit is de baan van een punt dat gelijktijdig deelneemt aan twee harmonische trillingen in verschillende richtingen. 40

15 Samenvatting Van een vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b is de x-coördinaat van het zwaartepunt: x z b x f ( x) dx x f ( x) dx a oppervlakte V f ( x) dx Als het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafieken van f en g is de x-coördinaat van het zwaartepunt: b x z a b Het lichaam L ontstaat als het vlakdeel V ingesloten door de grafiek van de functie f, de x-as en de lijnen x = a en x = b om de x-as wentelt. Voor de x-coördinaat van het b b zwaartepunt Z geldt: x Z b a b a x ( f ( x) g( x)) dx a ( f ( x) g( x)) dx a xy dx IL ( ) a b xy dx a y dx 41