1. Opwekken van een sinusoïdale wisselspanning. Bij de industriële opwekking van de elektriciteit maakt men steeds gebruik van een draaiende beweging. Veronderstel dat een spoel met rechthoekige doorsnede draait met een constante hoeksnelheid ω in een homogeen magnetisch veld. Zij N = het aantal windingen v = omtreksnelheid [m/s] ω = hoeksnelheid [rad/s] α = de verdraaiinghoek gerekend vanaf de verticale stand α=ωt α v B d v Figuur 1: opwekken van een sinusvormige spanning.
Wat is de opgewekte spanning? Deze spanning kan op twee manieren bepaald worden. 1.1.1. Steunend op de fluxverandering in het raam. De eenparige hoeksnelheid veroorzaakt de verdraaiinghoek α = ω t De flux Φ door het oppervlak A is afhankelijk van de stand van het raam Φ = B.A = B.A.cosα = B l 2r cos α = 2 B l r cos ωt = 2 B l r sin(ωt+π) De opgewekte spanning, per wikkeling, volgens de wet van Lenz e = - dφ/dt = -d(2 B l r cos ωt )/dt = e = -2 B l r d(cos ωt)/dt = + 2ω.B.l.r.sin ωt Voor N windingen wordt dat: etot = + N*2ω.B.l.r.sin ωt Dit is de vergelijking van een sinusvormige spanning. De spanning is nul als sinωt = 0, dus als ϖt=0. De spoel staat dan vertikaal. De spanning is maximaal als sinωt = 1, dus als ϖt=π/2 rad=90. De spoel staat dan horizontaal. De amplitude (= 2Nω B l r= Emax) is o.a. recht evenredig met de frequentie. 1.1.2. Steunend op de beweging van de geleiders in het magnetisch veld. Over een geleider die beweegt in een magnetisch veld, ontstaat een spanning e = B l v waarbij de drie grootheden steeds loodrecht op elkaar moeten staan. Dit is het geval voor B en l, maar niet voor v. De snelheidscomponent van v die loodrecht staat op B en l kan wel bepaald worden: v = v sinα = v sinωt Merk op dat deze projectie wijzigt volgens en sinusvormige functie. De geïnduceerde spanning in 1 geleider: e = B l v sinωt. In de spoel heeft men N geleiders bovenaan waarover een spanning e ontstaat, gericht uit het blad (verklaar) en N geleiders, onderaan, waarover een spanning ontstaan in het blad (verklaar). Alle geleiders staan in serie, de spanningen tellen elkaar op (verklaar), waardoor er over alle windingen samen een spanning etot = 2 N e = 2 N B l v sinωt ontstaat. 1.1.3. Opmerkingen. Vermits v = 2πr/T = ω r zijn beide gevonden formules identiek! Verklaar waarom de voorste en achterste geleiders met lengte d = 2 r niet moeten beschouw worden om de totale spanning te bepalen.
1.2. Opgeloste oefening. Bepaal de amplitude en de gemiddelde waarde van de opgewekte spanning van bovenstaande spoel als N=400, d=3,2cm, l=15cm, B=0,4T en n=3000omw/min. Teken het verloop van de spanning en van de flux door de wikkelingen in functie van de tijd. s De baansnelheid is v := ω d v = 5.027 m s -1 Vergeet d niet in [m] om te zetten! 2 ( ) e( t) := 2 N B l v sin ω t Bepaal zelf e(t) via de andere manier! T t := 0,.. 2T 100 400 200 e( t) 200 0 0.02 0.04 E m := 2 N B l ve m = 241.274 V 400 t ( ) Φ ( t) := B l d cos ω t 0.002 Φ ( t) 0 0.02 0.04 0.002 t We stellen vast dat de geïnduceerde emk 90 naijlend is op de flux. Dit is in overeenstemming met de wet van Lenz. (De spanning is de afgeleide van de flux)
1.3. Het opwekken van een 3-fasige spanning. Om een driefasige spanning op te wekken, worden er drie spoelen gebruikt die 120 verschoven zijn t.o.v. elkaar. e1 e3 120 120 120 e2 B De spanning die over elke spoel ontstaat is dan ook 120 verschoven. Verklaar. Hoe zit het met de amplitude? Verklaar. In plaats van de amplitude te laten draaien kan men ook de effectieve waarde laten draaien. Merk op dat de projectie van deze draaiende vectoren op de imaginaire as NIET de ogenblikkelijke waarde, noch de effectieve waarde is! Hoe kan je, vertrekkend van de rechtse tekening, de ogenblikkelijke waarde vinden?
Om de energie van zo n generator over te brengen, kan men gebruik maken van 6 geleiders: Door de spoelen in ster of in driehoek te plaatsen kan men echter het aantal geleiders beperken. 1.3.1. Spoelen in ster. De 3 spoelen worden in ster geplaatst. Het centrale punt noemt met het sterpunt. Nu volstaan 4 geleiders om de energie over te brengen. De verbinding met de uiteinden van spoel 1, 2 en 3 noemt men de lijndraden L1 (lijn 1), L2 en L3. De verbinding met de centrale geleider noemt men N (nulgeleider). Volgens de Belgische normen moet de kleur van deze N-geleider steeds blauw zijn. In oude installaties kan je nog R, S en T vinden i.p.v. L1, L2 en L3. De spanning tussen de N-geleider en een L-geleider noemt men de fase spanning. Deze komt overeen met de spanning die geïnduceerd wordt in een spoel (vb.e1). Vermits de 3 spoelen nu een gemeenschappelijk punt hebben, is het mogelijk om een belasting (vb. een weerstand) te plaatsen tussen 2 lijnen. Over die belasting staat dan de lijnspanning (vb. E12 op de tekening). De lijnspanning
vindt men door de vectoriele som te maken van de fasespanningen. Zoal te zien op de tekening is E12 = E1 E 2. Let op het - teken! Verklaar! E12 Op dezelfde manier vindt men E23 en E31. E2 Im E31 E3 E12 E12 30 120 E1 Re E2 E23 De 3 lijnspanningen zijn telkens even groot en onderling verschoven met 120.
De lijnspanning is eenvoudig te berekenen via driehoeksmeetkunde: E12 = E L = E1² + E2² 2E1. E2.cos(120 ) 2.( E f )² 2.( E f )².( 0,5) = 3.( E f )² E = 3. L E f Bij een sterschakeling is de lijnspanning = de fase spanning vermenigvuldigd met de vierkantswortel van 3. Thuis bedaagt de spanning 230V. Het maakt niet uit van waar die spanning komt. Deze spanning kan zowel een lijnspanning als een fasespanning zijn. Als de fasespanning 230V is, dan is de lijnspanning 400V. (controleer) Men zegt dat het driefasig net een spanning heeft van 3N400V. Als de lijnspanning 230V is, dan is de fasespanning 133V. Men zegt dat het driefasig net een spanning heeft van 3N230V. Zoals je ziet wordt voor de spanning van een driefasig net telkens de lijnspanning aangeduid.
1.3.1.1. Opgeloste oefening Drie wikkelingen met onderstaande gegevens zijn telkens 120 t.o.v. elkaar verschoven en in ster geschakkeld. N := 250 d := 5cm l := 35cm B := 0.3T n := 3000 min 1 Gevraagd: Bepaal de amplitude van de fasespanning en de lijnspanning. Teken het verloop van die spanningen in functie van de tijd. Oplossing: uit n vinden we het aantal omwentelingen per seconde of de frequentie: n = 50Hz f := n T ω := 2πf ω = 314.159 rad s 1 := T = 0.02s f De baansnelheid is v := ω d 2 v = 7.854 m Vergeet d niet in [m] om te zetten! s ( ) e1( t) := 2 N B l v sin ω t Vermits de spoelen 120 verschoven zijn, zullen ook de spanningen 120 verschoven zijn t.o.v. elkaar. 2π e2( t) := 2 N B l v sin ω t 3 4π e3( t) := 2 N B l v sin ω t 3 t := 0, T.. 2T 100 Bepaal zelf e1(t),e2(t) en e2(t) via de andere manier! 500 e1( t) e2( t) e3( t) 0 0.02 0.04 E Fm := 2 N B l v E Fm = 412.334V 500 t e12( t) := e1( t) e2( t) e23( t) := e2( t) e3( t) e31( t) := e3( t) e1( t) 1000 e12( t) e23( t) e31( t) 0 0.02 0.04 E Lm := 3 E Fm E Lm = 714.183V 1000 t
1.3.2. Spoelen in driehoek. Een manier om nog een draad uit te sparen is door de 3 spoelen in driehoek te plaatsen. E1+E2+E3=? E3 E1 De totale spanning over de 3 spoelen moet nul zijn, daar er anders een stroom zou vloeien in de driehoek. Als de spanningen vectorieel opgeteld worden bekomen we het volgende: E2 E3 Im E1 Re E1+E2+E3=0 E3 E1 E2 E1+E2 E2 De vectoriele som is NUL. De driehoekschakeling ziet er als volgt uit:
Als nadeel t.o.v. de ster is dat er hier niet kan gekozen worden tussen 2 spanningen. De energie wordt nu via 3 lijndraden overbracht. Hier is er enkel sprake van lijnspanningen. De lijnspanning E1 komt overeen met de fasespanning over spoel 1.