Het drie-reservoirs probleem

Modelleren A WH01 Het drie-reservoirs probleem Michiel Schipperen (0751733) Stephan van den Berkmortel (077098) Begeleider: Arris Tijsseling juni 01

Inhoudsopgave 1 Samenvatting Inleiding.1 De probleemstelling................................. De doelstelling....................................3 Plan van aanpak.................................. 3 3 Uitwerking 3 3.1 Aannames...................................... 3 3. Modellen met twee reservoirs........................... 3 3..1 Één pijpleiding............................... 3 3.. Twee stukken pijp............................. 5 3..3 Drie stukken pijp.............................. 7 3.3 Het drie-reservoirs probleem............................ 8 3.3.1 Laminaire stroming............................ 9 3.3. Turbulente stroming............................ 10 4 Conclusie 11 5 Bijlagen 1 5.1 Moody-diagram................................... 1 5. Uitwerking berekening drie-reservoirs probleem (laminair)........... 1 5.3 Uitwerking berekening drie-reservoirs probleem (turbulent).......... 14 1

1 Samenvatting Het doel van dit project is onderzoeken hoe snel en in welke richting water stroomt in een systeem van drie verschillende open reservoirs die verbonden zijn door 3 buizen die samenkomen in een knooppunt. Voor dit onderzocht kan worden, zal er eerst gekeken worden naar drie simpelere systemen met reservoirs die verbonden zijn door respectievelijk 1, en 3 in serie geschakelde buizen. Er zal onderscheid gemaakt moeten worden tussen twee mogelijke situaties: een systeem met laminaire stromingen, die voorkomen bij kleinschalige systemen zoals bijvoorbeeld in nano-buisjes, of een systeem met turbulente stromingen, die voorkomen bij grotere systemen zoals bijvoorbeeld onderling verbonden stuwmeren. Het zal blijken dat een probleem met enkel laminaire stroming veel gemakkelijker op te lossen valt dan een met turbulente stromingen, maar beide zijn oplosbaar. Het water zal altijd van hogere naar lagere druk stromen, en dus is de stromingsrichting en -snelheid in de buis aan het middelste reservoir afhankelijk van de druk in het knooppunt. Inleiding.1 De probleemstelling Het probleem dat in dit verslag uitgewerkt wordt, is het zogeheten drie-reservoirs probleem. Dit is een klassiek voorbeeld in de vloeistofmechanica. Het betreft drie reservoirs (bijvoorbeeld stuwmeren of grote watertanks of misschien wel een systeem van nanobuisjes) die met elkaar verbonden zijn via een drietal pijpleidingen die samenkomen in een knooppunt, zoals geïllustreerd in figuur 1. De vraag bij dit probleem luidt: in welke richting en hoe snel stroomt het water in elk van de buizen? Figuur 1: Een schets van het drie-reservoirs probleem. De doelstelling Het water kan bijvoorbeeld van de twee hoger gelegen tanks naar de laagst gelegen tank stromen, of van het hoogstgelegen reservoir naar de twee lager gelegen reservoirs. In een bijzonder geval kan er zelfs helemaal geen water stromen naar het in het midden gelegen reservoir! Het

doel van dit project is om met behulp van de basisprincipes van de vloeistofmechanica de stroomrichting en -snelheid van het water te bepalen..3 Plan van aanpak Het probleem wordt als volgt aangepakt. Op de eerste plaats worden enkele aannames gemaakt om met een simpeler en dus meer hanteerbaar model te kunnen werken. Met deze aannames wordt vervolgens gekeken naar het meest basale model waaruit dit probleem is opgebouwd: twee reservoirs met verschillende waterniveaus, verbonden door één stuk pijp. Daarna wordt dit basismodel uitgebreid door, in plaats van één stuk pijp, twee stukken te nemen met verschillende diameter en lengte. Na dit te hebben uitgewerkt, wordt aan dít uitgebreide model een pijp toegevoegd van nog een andere diameter en lengte. Met bovengenoemde modellen uitgewerkt, kan ten slotte het echte probleem worden uitgewerkt via een relatief makkelijke weg. 3 Uitwerking 3.1 Aannames Er worden nu enkele aannames gemaakt die de modellen versimpelen bij het uitwerken. Allereerst wordt aangenomen dat de reservoirs aan de bovenzijde open zijn. Ook wordt aangenomen dat ze zó groot zijn dat het hoogteverschil ten gevolge van de water in- of uitstroom niet significant is. Met andere woorden wordt dus aangenomen dat het waterniveau in de reservoirs constant is. Nog een aanname is dat de buizen altijd geheel gevuld zijn met water en dat dit water niet samendrukbaar is, waardoor de instroom aan de ene kant van een buis altijd gelijk is aan de uitstroom aan de andere kant van diezelfde buis. Verder wordt er van uitgegaan dat water altijd stroomt van hoge naar lage druk. Als laatste worden de reservoirs voor het gemak van het hoogste naar het laagste waterniveau genummerd (dit betekent ook dat de druk van ieder reservoir van hoog naar laag genummerd is; dit wordt in de volgende paragraaf uitgelegd). 3. Modellen met twee reservoirs 3..1 Één pijpleiding Nu kan er gekeken worden naar het basismodel: Twee reservoirs met verschillende waterniveaus h 1 en h (h 1 > h ) verbonden door één stuk pijp. Dit model is weergegeven in figuur. De parameters L en D geven de lengte respectievelijk diameter van de buis. Omdat er is aangenomen dat het niveau van het water in beide reservoirs constant is, kan nu de formule voor de hydrostatische druk worden toegepast om de druk te berekenen in de aanknopingspunten van de buis aan elk van de reservoirs (p 1 en p ): p i = p 0 + ρgh (1) Hierin is p i de druk in het aanknopingspunt van het i-de reservoir met zijn buis, p 0 de luchtdruk boven het reservoir (dus hier de atmosferische druk), ρ de dichtheid van de vloeistof (in dit geval de dichtheid van water: 998 kg/m 3 ), g de gravitatiekracht (ongeveer 9,81 m/s ) en h de hoogte van het wateroppervlak ten opzichte van het punt waar de druk berekend 3

L h 1 D h p 1 p Figuur : Basismodel met twee reservoirs, verbonden door één pijpleiding wordt. Omdat de h constant wordt genomen, staan in het rechterlid alleen constante factoren. Daarmee is de druk in het betreffende punt dus ook constant. Daarnaast is aangenomen dat de hoogte van het wateroppervlak in het tweede reservoir lager is dan de hoogte in het eerste reservoir, waardoor ook p < p 1 en er dus een drukverlies optreedt in de buis tussen de reservoirs. Dit is het gevolg van de wrijvingskracht die het oppervlak van de buis uitoefent op het stromende water. De grootte van deze wrijving wordt beschreven door de Darcy-Weisbach vergelijking. In deze formule is: p = f ρ L D v () p het drukverlies ten gevolge van de wrijving in de buis [Pa] f de dimensieloze Darcy-wrijvingscoëfficiënt (verdere uitleg volgt) L de lengte van de buis in meter [m] D de diameter van de buis in meter [m] v de gemiddelde stroomsnelheid van het water [m/s] De Darcy-wrijvingscoëfficiënt in deze formule is een corrigerende constante die afhankelijk is van het zogeheten Reynolds getal. Dit dimensieloze getal, Re, is van groot belang bij het oplossen van dit probleem. Het bepaalt namelijk het omslagpunt tussen een laminaire en turbulente stroming, afhankelijk van de stroomsnelheid. Laminair wil zeggen dat de stroming gelaagd is, oftewel dat alle deeltjes (bij benadering) parallel aan elkaar bewegen. Bij een turbulente stroming kan er ook een stroming plaatsvinden die loodrecht op de stroming staat. Wat van belang is bij deze verschillende stromingen, is dat de formule voor de Darcywrijvingscoëfficiënt afhangt van het type stroming en deze formule betrekkelijk makkelijk wordt bij een laminaire stroming. 4

Laminaire stroming Bij een laminaire stroming is de coëfficiënt namelijk te benaderen met f 64/Re. de formule voor het getal van Reynold is deze constante dan uit te rekenen: Met Re = ρ L v η De nieuwe parameter, η, is de viscositeit van de vloeistof waarvan het Reynoldsgetal berekend wordt. In dit geval is dat dus de viscositeit van water, welke 1, 0 is. Als nu de f gesubstitueerd wordt in de Darcy-Weisbachvergelijking, dan rolt daar na kort omschrijfwerk de volgende lineaire formule voor de stroomsnelheid uit: v = 1 D p (3) 3 Deze formule is vrij gemakkelijk te hanteren voor het drie-reservoirs probleem en wordt daarom niet verder uitgewerkt voor de andere modellen met twee reservoirs. Turbulente stroming Voor het geval van een turbulente stroming is er geen uitdrukking voor de wrijvingscoëfficiënt zoals die in het laminaire geval bestaat. Wel kan de coëfficiënt worden opgezocht in het zogeheten Moody-diagram (zie de bijlagen, paragraaf 5.1). In dit diagram staat de Darcywrijvingscoëfficiënt uitgedrukt tegenover het Reynoldsgetal voor buizen met verschillende ruwheden van het oppervlak van de buis. Het probleem is echter dat voor het vinden van het Reynoldsgetal de stroomsnelheid nodig is, terwijl deze juist een onbekende is die uitgerekend moet worden. Dit brengt veel complicaties met zich mee en daarom wordt f in het geval dat deze stroming optreedt als constante in de vergelijking gelaten. Door het ontbreken van een mooie uitdrukking voor f, blijft de stroomsnelheid in de Darcy-Weisbach (D-W) vergelijking kwadratisch. Dit is een stuk lastiger rekenen, maar aangezien het de enige onbekende is, is deze vergelijking nog vrij recht toe, recht aan op te lossen. Vrijschrijven van de v in de D-W vergelijking levert in dit geval namelijk: D p v = f ρ L Voor beide gevallen is de stroomsnelheid in de buis nu berekend voor dit model. Nu wordt voor een beter begrip van het geval van turbulente stroming dit model uitgebreid naar een model waarin de twee reservoirs verbonden zijn door twee in serie geschakelde buizen. 3.. Twee stukken pijp Een schematische weergave van dit model is hieronder weergegeven in figuur 3. De twee buizen kunnen in lengte en diameter van elkaar verschillen en hebben dus verschillende parameters in de vergelijking. De buizen worden van links naar rechts gedefinieerd als buis 1 en buis. Zoals ook te zien is in de figuur, definiëren we nu ook een druk p m op het aansluitingspunt van de ene buis op de andere. Vanwege de continuïteit van de druk is p m1 (de druk bij p m in het punt dat nog nét in buis 1 ligt) nagenoeg gelijk aan p m. Met andere woorden is 5

L 1 L h 1 D 1 D h p 1 p m p Figuur 3: Eerste uitbreiding: twee reservoirs, verbonden door twee pijpleidingen p m dezelfde variabele in beide buizen. Dus kan nu voor beide buizen een D-W vergelijking worden opgesteld, afhankelijk van dezelfde p m. p 1 p m = f 1 ρ L1 v 1 D 1 p m p = f ρ L v D Het probleem is nu wel dat er sprake is van drie onbekenden: v 1, v en p m. Dat terwijl er slechts twee vergelijkingen (namelijk de bovengenoemde) zijn. Dit is op te lossen door gebruik te maken van de aannames dat de buizen volledig gevuld zijn met water en dat het water niet samendrukbaar is. Hierdoor is het mogelijk gebruik te maken van de regel dat de instroom in buis 1 gelijk is aan de uitstroom in buis : πr in v in = πr uit v uit (4) Invullen van deze vergelijking levert de derde en laatste vergelijking om het stelsel op te lossen: ( D 1 ) πv 1 = ( D ) πv Door de eerste en tweede vergelijking bij elkaar op te tellen, ontstaat een vergelijking die alleen afhangt van v 1 en v. p 1 p m + p m p = p 1 p = f 1 ρ L1 v 1 D 1 + f ρ L v D Met deze vergelijking en de derde vergelijking kunnen nu de v 1 en v berekend worden. Het berekenen van p m wordt hier buiten beschouwing gelaten. Deze variabele wordt hier en in het volgende model slechts gebruikt als tussenvariabele om de snelheden in de verschillende buizen te berekenen. De uitdrukkingen voor de twee snelheden worden gegeven door: v = v 1 = D v D 5 1 D (p 1 p ) ρ(f 1 L 1 D 5 + f L D 5 1 ) 6

3..3 Drie stukken pijp Nu de situatie met twee reservoirs verbonden door twee verschillende, in serie geschakelde pijpstukken helemaal onder de knie is, is het tijd om de situatie nog verder uit te breiden naar drie in serie geschakelde buizen. Nu er drie buizen zijn, zijn er twee knooppunten waar L 1 L L 3 h 1 D D 1 D 3 h p 1 p m1 p m p Figuur 4: Tweede uitbreiding: twee reservoirs, drie stukken pijp de druk onbekend is en drie onbekende snelheden die berekend moeten worden. Wederom zijn de snelheden uit te rekenen met behulp van de D-W vergelijking: p 1 p m1 = f 1 ρ L1 v 1 D 1 p m1 p m = f ρ L v D p m p = f 3 ρ L3 v 3 D 3 Door deze formules bij elkaar op te tellen, wordt de volgende formule verkregen: (p 1 p m1 ) + (p m1 p m ) + (p m p ) = p 1 p = ρf 1L 1 D 1 v 1 + ρf L D v + ρf 3L 3 D 3 v 3 Echter zijn er nu nog twee onbekenden teveel aangezien er op dit moment maar één vergelijking is met drie onbekenden. Om dit op te lossen, kan er weer gebruik gemaakt worden van het feit dat er, volgens gemaakte aannames, altijd even veel water de pijp in stroomt als er uit stroomt. Hieruit zal dus weer volgen: ( D 1 ) πv 1 = ( D ) πv ( D ) πv = ( D 3 ) πv 3 7

Nu zijn er 3 vergelijkingen met 3 onbekenden en dit is een stelsel dat prima op te lossen is: (p 1 p ) (D 1 D v 1 = 5 D 5 3 ) ρ (D 5 1 D 5 f 3 L 3 + D 5 1 D 5 3 f L + D 5 D 5 3 f 1 L 1 ) 3.3 Het drie-reservoirs probleem v = D 1 D v 1 v 3 = D 1 D 3 v 1 Met bovenstaande modellen wordt nu gekeken naar het oorspronkelijke probleem, het driereservoirs probleem. Zoals bij het basismodel al verteld is, wordt dit probleem op twee manieren opgelost. Met de eerste manier wordt er vanuit gegaan dat er sprake is van een laminair stromend systeem; via de tweede manier wordt het tegengestelde aangenomen, namelijk dat het systeem een turbulente stroming heeft. Ook is genoemd dat er sprake is van een omslagpunt (eerder een omslagtraject) afhankelijk van het Reynoldsgetal waar de stroming van laminair verandert naar een turbulente stroming. De stroming is namelijk: laminair, als Re < 300 turbulent, als Re > 3500 óf laminair óf turbulent, afhankelijk van verschillende factoren, als 300 < Re < 3500 p 3 h 3 h 1 h p 1 p m p Figuur 5: Het drie-reservoirs probleem 8

Ook hier kan iedere buis vanuit het reservoir naar het knooppunt m een verschillende diameter en lengte hebben. Verder zal het water altijd van het hoogst gelegen reservoir naar het laagst gelegen reservoir stromen, dus van reservoir 1 naar reservoir 3. Wat bepaald moet worden is welke richting het water uit stroomt en met welke snelheid. Hiervoor wordt er onderscheid gemaakt tussen drie gevallen: p m < p p m = p p m > p De gevallen van laminaire en turbulente stroming worden hieronder apart bekeken. 3.3.1 Laminaire stroming Als eerst wordt er gekeken naar het laminaire geval. Omdat de wrijvingsfactor voor een laminaire stroming het probleem lineair maakt, is het relatief eenvoudig op te lossen. De uitdrukking voor de druk in het knooppunt m, p m, is voor ieder van de drie bovengenoemde gevallen gelijk. Een bewijs hiervoor is terug te vinden in de bijlagen onder paragraaf 5.. Ook is in deze bijlage deze algemene uitdrukking terug te vinden, maar wordt voor de volledigheid ook hier nog een keer weergegeven: p m = D3 1 p 1 + D 3 p + D 3 3 p 3 D 3 1 + D3 + D3 3 (5) De formules voor de stroomsnelheden v 1 en v 3 staan ook vast, aangezien het water altijd van reservoir 1 wegstroomt en naar reservoir 3 toe stroomt. Deze zijn: v 1 = D 1(p 1 p m ) 3 v 3 = D 3(p m p 3 ) 3 Deze uitdrukkingen zijn gevonden door voor de p in vergelijking (3) het verschil tussen de druk van het betreffende reservoir en van het knooppunt te nemen. Dit kan ook worden toegepast op de stroomsnelheid v, alleen is deze stroomsnelheid afhankelijk van de grootte van p m, dus moet er een onderscheid van gevallen gemaakt worden: D (p p m ) voor p m < p 3 v = D (p m p ) voor p m > p 3 0 voor p m = p Voor het geval van een laminaire stroming is nu een uitdrukking gevonden voor alle onbekenden. 9

3.3. Turbulente stroming Wanneer er sprake is van een systeem met turbulente stromingen in plaats van laminaire stromingen, zal het probleem een stuk moeilijker op te lossen zijn doordat er niet meer alleen maar lineaire vergelijkingen zijn. Net als in het geval van laminaire stroming, is er voor elk van de drie situaties die genoemd zijn aan het begin van dit paragraaf ( 3.3) dezelfde uitdrukking te vinden voor de druk in knooppunt m, p m. Het bewijs hiervoor is te vinden in de Bijlagen ( 5.3), waar ook de uitdrukking voor p m te vinden is voor turbulente stroming. De formules voor de snelheden v 1 en v staan ook weer vast omdat het water altijd van reservoir 1 af zal stromen en naar reservoir 3 toe. Deze formules zijn vrij eenvoudig af te leiden uit de D-W vergelijking: p 1 p m = f 1L 1 ρ v D 1 (p 1 p m ) 1 v 1 = D 1 f 1 L 1 ρ p m p 3 = f 3L 3 ρ D 3 v 3 v 3 = D 3 (p m p 3 ) f 3 L 3 ρ Op dezelfde manier is de snelheid in buis ook eenvoudig uit te drukken. Echter is deze uitdrukking wel verschillend voor verschillende stromingsrichtingen van het water, oftewel: hij is afhankelijk van p m : D (p p m ) voor p m < p f L ρ v = D (p m p ) voor p m > p f L ρ 0 voor p m = p Hiermee is een uitdrukking gevonden voor alle onbekenden in het geval van een systeem met turbulente stromingen. 10

4 Conclusie Het drie-reservoirs probleem kent twee oplossingen: een oplossing voor een situatie met laminaire stromingen en een oplossing voor een situatie met turbulente stromingen. Wanneer er op zeer kleine schaal gewerkt wordt (nanobuisjes, etc.), zal de oplossing van het probleem vrij simpel zijn doordat het dan om laminaire stromingen gaat. Wanneer het echter gaat om een grotere schaal, neem bijvoorbeeld een systeem met 3 stuwmeren, dan is de oplossing een stuk ingewikkelder, maar nog steeds oplosbaar met behulp van een rekenprogramma. Waarheen het water zal gaan stromen is voornamelijk afhankelijk van de druk in het middelste reservoir. Is deze druk namelijk hoger dan die in het knooppunt van de drie buizen, dan zal het water van de hoogste twee naar het laagste reservoir stromen en wanneer de druk in het middelste reservoir lager is dan die van het knooppunt, dan zal het water dus van het hoogste naar de laagste twee reservoirs stromen. Het omslagpunt zal logischerwijs liggen bij een drukverschil van nul tussen het middelste reservoir en het knooppunt. In die situatie zal het water alleen van het hoogste naar het laagste reservoir stromen. De snelheid van het water in elk van de buizen is afhankelijk van de dichtheid van het water, de doorsnede en de lengte van de buizen en van de Darcy-wrijvingscoëfficiënt (die o.a. afhankelijk is van de ruwheid van de buis). 11

5 Bijlagen 5.1 Moody-diagram Figuur 6: Moody-diagram om de Darcy-wrijvingscoëfficiënt op te zoeken; Bron: Wikipedia 5. Uitwerking berekening drie-reservoirs probleem (laminair) Het geval dat p m p Darcy-Weisbach vergelijkingen in de drie verschillende buizen (met de laminaire wrijvingsfactor gesubstitueerd): p 1 p m = 3 v 1 D 1 p p m = 3 v D p m p 3 = 3 v 3 D 3 v 1 = D 1(p 1 p m) 3 v = D (p p m) 3 v 3 = D 3(p m p 3 ) 3 De totale instroom bij knooppunt m is gelijk aan de totale uitstroom bij m, dus door toepassing van formule (4) levert dit de vergelijking: v 1 A 1 + v A = v 3 A 3 v 1 π 4 D 1 + v π 4 D = v 3 π v 1 + v D = v 3 D3 4 D 3 [ 1 ] D3 D v 1 = v 3 v [ ] 1

Invullen van de vergelijkingen van [ 1 ] in de vergelijking van [ ] geeft een formule voor p m, uitgedrukt in enkel de parameters: D 1 (p 1 p m ) 3 = D3 3 (p m p 3 ) 3D 1 D3 (p p m ) 3D 1 D 3 1p 1 D 3 1p m = D 3 3p m D 3 3p 3 D 3 p + D 3 p m D 3 1p m D 3 p m D 3 3p m = D 3 1p 1 D 3 p D 3 3p 3 p m (D 3 1 + D 3 + D 3 3) = D 3 1p 1 + D 3 p + D 3 3p 3 p m = D3 1 p 1 + D 3 p + D 3 3 p 3 D 3 1 + D3 + D3 3 Het geval dat p m > p Darcy-Weisbach vergelijkingen in de drie verschillende buizen (ook hier met de laminaire wrijvingsfactor gesubstitueerd): p 1 p m = 3 v 1 D 1 p m p = 3 v D p m p 3 = 3 v 3 D 3 v 1 = D 1(p 1 p m) 3 v = D (p m p ) 3 v 3 = D 3(p m p 3 ) 3 De totale instroom bij knooppunt m is gelijk aan de totale uitstroom bij m, dit levert de formule: v 1 A 1 = v A + v 3 A 3 v 1 D 1 = v D + v 3 D 3 [ 1 ] D D3 v 1 = v + v 3 [ ] Invullen van de vergelijkingen van [ 1 ] in de vergelijking van [ ] geeft een formule voor p m, uitgedrukt in enkel de bekende parameters: D 1 (p 1 p m ) 3 = D3 (p m p ) 3D 1 + D3 3 (p m p 3 ) 3D 1 D 3 1p 1 D 3 1p m = D 3 p m D 3 p + D 3 3p m D 3 3p 3 D 3 1p m D 3 p m D 3 3p m = D 3 1p 1 D 3 p D 3 3p 3 p m (D 3 1 + D 3 + D 3 3) = D 3 1p 1 + D 3 p + D 3 3p 3 p m = D3 1 p 1 + D 3 p + D 3 3 p 3 D 3 1 + D3 + D3 3 Resultaat Uit de uitwerking van beide gevallen blijkt dat de uitdrukking voor p m in alle gevallen gelijk is. Als de parameters bekend zijn, kan de hierboven gevonden uitdrukking worden ingevuld en gekeken worden van welk geval er sprake is. 13

5.3 Uitwerking berekening drie-reservoirs probleem (turbulent) Het geval dat p m p De totale instroom bij knooppunt m is gelijk aan de totale uitstroom bij m, dit levert de formule: v 1 A 1 + v A = v 3 A 3 v 1 π 4 D 1 + v π 4 D = v 3 π v 1 + v D = v 3 D3 4 D 3 D3 D v 1 = v 3 v [ 1 ] Darcy-Weisbach vergelijkingen in de drie verschillende buizen: p 1 p m = f 1L 1 ρ D 1 v1 v 1 = p p m = f L ρ D v v = p m p 3 = f 3L 3 ρ D 3 v3 v 3 = (p 1 p m) f 1 L 1 ρ D (p p m) f L ρ D3 (p m p 3 ) f 3 L 3 ρ [ ] Invullen van de formules uit [] in de vergelijking van [1] levert: 5(p 1 p m ) D 5 + (p p m ) D3 5 = (p m p 3 ) f 1 L 1 ρ f L ρ f 3 L 3 ρ Deze formule oplossen met behulp van het rekenprogramma Mathematica levert dan de oplossing voor p m : De keuze voor + of voor het wortelteken hangt af van alle gekozen parameters. Wanneer men deze formule gebruikt om p m te berekenen, dient men eerst voor het minteken te kiezen. Wanneer de uitkomst van p m dan negatief blijkt te zijn, weet men dat er een plusteken gebruikt had moeten worden. 14

Het geval dat p m > p De totale instroom bij knooppunt m is gelijk aan de totale uitstroom bij m, dit levert de formule: v 1 A 1 = v A + v 3 A 3 v 1 π 4 D 1 = v π 4 D + v 3 π v 1 = v D + v 3 D3 4 D 3 D D3 v 1 = v + v 3 [ 1 ] Darcy-Weisbach vergelijkingen in de drie verschillende buizen: p 1 p m = f 1L 1 ρ D 1 v1 v 1 = p m p = f L ρ D v v = p m p 3 = f 3L 3 ρ D 3 v3 v 3 = (p 1 p m) f 1 L 1 ρ D (p m p ) f L ρ D3 (p m p 3 ) f 3 L 3 ρ [ ] Invullen van de formules uit [] in de vergelijking van [1] levert: 5(p 1 p m ) D 5 = (p m p ) D3 5 + (p m p 3 ) f 1 L 1 ρ f L ρ f 3 L 3 ρ Deze formule oplossen met behulp van het rekenprogramma Mathematica levert dan de oplossing voor p m : De keuze voor een plus- of minteken is wederom afhankelijk van de ingevulde parameters. Resultaat De gevonden oplossingen voor p m in het geval dat p m > p en het geval dat p m p zijn gelijk aan elkaar. Hieruit valt dus te concluderen dat door invullen van de parameters, bepaald kan worden van welke situatie er sprake is. 15