De hevel. Rik Schepens Rob Wu maart Modelleren A Vakcode: 2WH01. Begeleider: Arris Tijsseling

Transcriptie

1 De hevel Rik Schepens Rob Wu maart 2012 Begeleider: Arris Tijsseling Modelleren A Vakcode: 2WH01

2 Inhoudsopgave Samenvatting 1 1 Inleiding 1 2 Theorie 2 3 Model 3 4 Resultaten en conclusie 4 5 Discussie 4 A Berekeningen 5 A.1 Verwerking formules A.2 Een aantal uitkomsten B Programma 8 Referenties 11

3 Samenvatting Een hevel is een (niet noodzakelijk continue dalende) buis die wordt gebruikt om een vloeistof van een reservoir naar een lager gelegen reservoir. Onder invloed van de luchtdruk vloeit het water omhoog, waarna het zakt vanwege de zwaartekracht. De stroomsnelheid is afhankelijk van de druk, de gravitatiekracht, het hoogteverschil en de gebruikte vloeistof. Deze kan worden gevonden met behulp van de wet van Bernoulli, en de vergelijking van Darcy-Weisbach, beide afkomstig uit de vloeistofdynamica. In de praktijk is de weerstand van de hevel te verwaarlozen. Wanneer de verhouding tussen de lengte en het kwadraat van de diameter groter is dan 1000, is de wrijving niet meer te verwaarlozen. De maximale hoogte waarover geheveld kan worden is 10 meter. De maximale lengte is afhankelijk van de diameter van de buis. Zolang de verhouding lengte lager is als , is de hevel nog werkzaam, met een redelijke diameter 2 stroomsnelheid. 1 Inleiding Een hevel is een buis of slang die wordt gebruikt om te hevelen. Hevelen is het overbrengen van vloeistof van het ene reservoir naar een ander lager reservoir. Het bijzondere hieraan is dat dit niet hoeft te gebeuren via een continu dalende slang/buis. Dankzij natuurkundige principes kan deze buis eerst een stuk omhoog lopen en daarna pas naar beneden. Dit is handig voor een groot aantal toepassingen in het dagelijks leven. Van het legen van een zwembad tot het stelen van benzine uit de tank van een auto. Dit is een verslag van het onderzoek naar de eigenschappen (waaronder de stroomsnelheid en invloed van weerstand) en fysieke grenzen van dit principe. Hiervoor worden er eerst twee belangrijke formules uit de vloeistofdynamica gepresenteerd, die in het model verwerkt worden. Dit model is geïmplementeerd in een programma, waarmee de gezochte resultaten worden berekend. 1

4 Figuur 1: Een hevel 2 Theorie Wet van Bernoulli Volgens de Wet van Bernoulli een relatie tussen de stroomsnelheid van de vloeistof, de valversnelling, het hoogteverschil, de druk en de dichtheid. Deze wet wordt beschreven door de volgende formule: v gh + P = constant (1) Waarbij, voor een gegeven punt geldt: v is de stroomsnelheid van de vloeistof in het punt (m/s) g is de valversnelling (m s 2 ) h is het hoogteverschil (m) P is de druk in het punt (Pa = kg m s 2 ) is de dichtheid van de vloeistof (kg m 3 ) Darcy-Weisbach vergelijking Om de invloed van wrijving te berekenen, wordt de Darcy-Weisbach vergelijking gebruikt. Het resultaat van deze formule is een indicatie van het energieverlies door wrijving. Dit verlies is in de formule van Bernoulli terug te zien in de vorm van een verlaagde druk: h f = f L D V 2 2g, (2) Hierbij geldt voor een gegeven punt: h f is de stijghoogte ten gevolge van wrijving (m) f is de Darcy-wrijvingscoëfficiënt (dimensieloos), gegeven door f = 64 Re, waarbij Re het getal van Reynolds is, gegeven door Re = vd µ is de dichtheid van de vloeistof (kg m 3 ) µ is de dynamische viscositeit van de vloeistof (Pa s) L is de lengte van de buis (m) D is de hydraulische diameter van de buis (m). In het geval van een buis is dit precies gelijk aan de binnenste diameter. V is de gemiddelde stroomsnelheid van de vloeistof (m s 1 ) (Merk op, omdat de hevel een gesloten circuit is, is deze gelijk aan de snelheid v) 2

5 g is de valversnelling (m s 2 ) Met de stijghoogte kan vervolgens het drukverlies worden berekend: p is het drukverlies (kg m s 2 ) is de dichtheid van de vloeistof (kg m 3 ) g is de valversnelling (m s 2 ) h f is de stijghoogte (m) 3 Model p = g h f (3) De hevel is verwerkt in een eenvoudig model (zie het programma A.2). Aan de hand van een beschrijving van de hevel (zie fig 3) berekent dit programma de gevraagde onbekenden. Hiervoor zijn eerst de formules van Bernoulli (vergelijking 1) en Darcy-Weisbach (vergelijking 2) omgeschreven, om op handige wijze de waarden van onder andere de maximale hoogte te vinden. De uitwerking hiervan is te vinden in bijlage (A). Zo kan dit model voor elke beschreven hevel de mondingssnelheid uitrekenen. Deze wordt gevonden door de volgende berekening uit te voeren: v = 2 g h c (4) Echter omdat de hevel een aaneengesloten systeem is, is deze snelheid begrensd. Het stuk dat het water omhoog moet lopen kan namelijk niet onbeperkt snel. De maximale snelheid wordt vervolgens gegeven door: ( ) P v max = 2 g h b (5) 3

6 Figuur 2: Illustratie van het hevelmechanisme (Bron: [?] In het voorgaande is de invloed van wrijving niet vermeld, aangezien deze in de praktijk vaak verwaarloosbaar is. Wanneer er echter wordt gekeken naar buitengewone gevallen, zoals hevelen over een grote afstand door een zeer dunne buis, dan is de invloed van de wrijving niet meer verwaarloosbaar. Als de L D 2 verhouding 1000 of hoger is, kan de wrijving niet meer worden verwaarloosd. In dit geval moet het drukverlies p worden berekend (formule 2 en 3), zodat de waarde van de druk P in formule 1 kan worden aangepast. 4 Resultaten en conclusie Na verwerking van de gegevens (zie A) volgt dat de maximale hoogte waarover water kan worden geheveld ongeveer 10 meter is. Ook blijkt dat de maximale lengte van de buis heel groot kan zijn, zolang de diameter ten minste groot genoeg is. Anders gezegd, zolang de L -verhouding hoogstens D is. Wanneer de waarde van deze verhouding hoger is, is de snelheid zó laag, dat het niet meer rendabel is.(zie A.2 5 Discussie In het model is alleen rekening gehouden met de mogelijkheden tot opschalen van de hevel. Wanneer er onderzocht moet worden hoe de hevel op kleine schaal zich gedraagt, moet ook nog rekening worden gehouden met de eventuele capillaire werking. 4

7 A Berekeningen A.1 Verwerking formules Hieronder is de toepassing van de wet van Bernoulli en de Darcy-Weisbach vergelijking worden verder uitgewerkt. In deze uitwerkingen worden de volgende variabelen gebruikt: v is de stroomsnelheid van de vloeistof in het punt (m/s) g is de valversnelling (m s 2 ) y is het hoogteverschil (m) P is de druk in het punt (Pa = kg m s 2 ) is de dichtheid van de vloeistof (kg m 3 ) h f is de stijghoogte ten gevolge van wrijving (m) f is de Darcy-wrijvingscoëfficiënt (dimensieloos), gegeven door f = 64 Re, waarbij Re het getal van Reynolds is, gegeven door Re = vd µ is de dichtheid van de vloeistof (kg m 3 ) µ is de dynamische viscositeit van de vloeistof (Pa s) L is de lengte van de buis (m) D is de hydraulische diameter van de buis (m) V is de gemiddelde stroomsnelheid van de vloeistof (m s 1 ) g is de valversnelling (m s 2 ) µ is de dynamische viscositeit (Pa s) Figuur 3: Betekenis h b en h c [1] 5

8 Pas de vergelijking van Bernoulli toe op het bovenste reservoir. De oppervlakte van het water daalt in feite continu, maar er wordt aangenomen dat deze gelijk blijft. Dit is in de meeste gevallen voldoende. Het model kan wel worden uitgebreid om ook het verloop van het waterniveau in bovenste reservoir mee te nemen. Verder wordt er vanuit gegaan dat de druk aan de oppervlakte (punt B) en bij de uitgang (punt c) gelijk zijn aan de atmosferische druk, en dat er wordt geheveld met vloeibaar water. Dit levert: g(0) + P atm Pas nu de vergelijking van Bernoulli toe op punt A, va 2 2 g d + P A Pas nu de vergelijking van Bernoulli toe op punt B, vb g h B + P B Pas nu de vergelijking van Bernoulli toe op punt C, vc 2 2 g h C + P atm = constant (6) = constant (7) = constant (8) = constant (9) Omdat de hevel één systeem is, moet deze constante overal gelijk zijn. Het combineren van vergelijkingen 6 en 9 levert de volgende vergelijking: g 0 + P atm = v2 c 2 g h c + P atm (10) Dit levert vervolgens: v c = 2 g h c (11) Omdat de snelheid in de hevel overal even groot is levert dit: v c = 2 g h c (12) Maar aangezien in het hele systeem de snelheid gelijk is, wordt deze snelheid begrensd. In het punt B moet de druk positief zijn. Om deze reden worden de vergelijkingen 6 en 8 aan elkaar gelijk gesteld. Dit levert: vb g h B + P B = g(0) + P atm (13) 6

9 Neem P B = 0. Dan geldt voor v max : v max = 2 ( Patm g h b ) Door 13 op te lossen naar h b levert de volgende vergelijking voor h b : h b = P atm g v2 2g De hoogst mogelijke waarde voor h b wordt dus bereikt als v = 0, dus: (14) (15) h b,max = P atm g (16) A.2 Een aantal uitkomsten 7

10 B Programma 1 2 / 3 s Rik Schepens 6 / 7 import java. u t i l. Scanner ; 8 9 p u b l i c c l a s s Hevel { double v, hc, hb, g, p, rho, l, d, mu, f, dp ; 12 Scanner sc = new Scanner ( System. in ) ; //Get the d e s c r i p t i o n by the user, in t h i s case i t i s a lready given that you use water on Earth. Changes can be made e a s i l y 15 void g e t V a r i a b l e s ( ) { 16 System. out. p r i n t l n ( What i s the a c c e l e r a t i o n due to g r a v i t y?(m/ s ˆ2) ) ; 17 //g = sc. nextdouble ( ) ; 18 g = ; 19 System. out. p r i n t l n ( What i s the e l e v a t i o n d i f f e r e n c e between the s u r f a c e o f the top r e s e r v o i r and the s u r f a c e o f the bottom r e s e r v o i r?(m) ) ; 20 hc = sc. nextdouble ( ) ; 21 System. out. p r i n t l n ( What i s the maximum siphon e l e v a t i o n compared to the top r e s e r v o i r?(m) ) ; 22 hb = sc. nextdouble ( ) ; 23 System. out. p r i n t l n ( What i s the p r e s s u r e at the chosen point?(pa) ) ; 24 //p = sc. nextdouble ( ) ; 25 p = ; 26 System. out. p r i n t l n ( What i s the d e n s i t y o f the used f l u i d?( kg/mˆ3) ) ; 27 // rho = sc. nextdouble ( ) ; 28 rho = 1000; System. out. p r i n t l n ( What i s the length o f the pipe?(m) ) ; 31 l = sc. nextdouble ( ) ; 32 System. out. p r i n t l n ( What i s the h y d r a u l i c diameter o f the pipe?(m) ) ; 33 d = sc. nextdouble ( ) ; 34 System. out. p r i n t l n ( What i s the dynamic v i s c o s i t y o f the f l u i d?(pa s ) ) ; 35 //mu = sc. nextdouble ( ) ; 36 mu = ; 37 } double c a l c u l a t e V ( ) { 40 double t = Math. s q r t (2 g hc ) ; 41 i f ( t > calculatevmax ( ) ) { 42 return calculatevmax ( ) ; 43 } e l s e { 44 return t ; 8

11 45 } 46 } double calculatevmax ( ) { 49 return Math. s q r t ( p / rho g hb ) ; 50 } double calculatehb ( ) { 53 return ( p / ( rho g ) ( v v ) / (2 g ) ) ; 54 } double calculatehbmax ( ) { 57 return ( p / ( rho g ) ) ; 58 } double c a l c u l a t e R e y n o l d s ( ) { 61 return rho v d / mu; 62 } double c a l c u l a t e F ( ) { 65 return 64 / c a l c u l a t e R e y n o l d s ( ) ; 66 } double calculatedp ( ) { 69 return f l / d rho v v / 2 ; 70 } //Use t h i s to c a l c u l a t e what you want to know. This i s an example we used a l o t. 73 void run ( ) { 74 g e t V a r i a b l e s ( ) ; v = c a l c u l a t e V ( ) ; 78 System. out. p r i n t l n ( Without f r i c t i o n : ) ; 79 System. out. p r i n t l n ( vmax = + calculatevmax ( ) ) ; 80 System. out. p r i n t l n ( hbmax = + calculatehbmax ( ) ) ; 81 f = c a l c u l a t e F ( ) ; 82 dp = calculatedp ( ) ; 83 p = p dp ; 84 v = c a l c u l a t e V ( ) ; 85 System. out. p r i n t l n ( With f r i c t i o n : ) ; 86 System. out. p r i n t l n ( v = + c a l c u l a t e V ( ) ) ; 87 System. out. p r i n t l n ( vmax = + calculatevmax ( ) ) ; 88 System. out. p r i n t l n ( hbmax = + calculatehbmax ( ) ) ; 89 } p u b l i c s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ) { 92 new Hevel ( ). run ( ) ; 93 } 9

12 94 } 10

13 Referenties [1] Siphon. Wikipedia. URL: [2] Bernoulli s equation. Wikipedia. URL: wiki/bernoulli s_equation [3] Darcy Weisbach equation. Wikipedia. URL: org/wiki/darcy-weisbach_equation [4] Darcy friction factor. Wikipedia. URL: wiki/darcy_friction_factor_formulae#laminar_flow [5] Reynolds number. Wikipedia. URL: Reynolds_number#Flow_in_pipe 11