Rekenen met letters RGO-Middelharnis 1 1 c RGO-wiskunde 1
Inhoudsopgave 2
1 Korter schrijven 1 Korter schrijven 7 + 7 + 7 + 7 = 4 7 8 + 8 + 8 + 8 = 4 8 9 + 9 + 9 + 9 = 4 9 Zoals de drie regels hierboven kunnen we er nog veel meer opschrijven. Behalve 7 of 8 of 9 kun je ieder getal kiezen. Ook 12: 12 + 12 + 12 + 12 = 4 2 Merk op: Er wordt niets uitgerekend, maar alleen wordt 7 + 7 + 7 + 7 korter geschreven. Omdat het er niet toe doet welk getal je kiest kunnen we ook opschrijven: a + a + a + a = 4 a Zo n uitdrukking betekent:welk getal je ok voor a invult, of het 7 of 8 of 9 of 12 is, altijd is a + a + a + a = 4 Notatie: In plaats van het -teken wordt ook wel eens een gebruikt. Maar meestal schrijft men bij een vermenigvuldiging helemaal niets tussen een getal en een letter. Dus: a + a + a + a = 4 a = 4 a = 4a 2 Opgaven 1. Schrijf korter: 6 + 6 e. 15 + 15 + 15 +... + 15 12keer 6 + 6 + 6 f. 12 + 12 + 12 +... + 12 15keer 6 + 6 + 6 + 6 g. 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 12 + 12 + 12 h. 7 + 7 + 7 + 7 2. Schrijf korter: a + a + a e. b + b + b + b a + a + a + a f. p + p + p a + a g. x + x + x + x + x a + a + a + a + a h. y + y +.. + y 100keer. Bereken voor a = 4 : a + a + a e. 4a a + a f. 5a a + a + a + a g. 12a a + a +.. + a 0keer h. 10a 4. Bereken:
Optellen 4 4a voor a = 5 e. 6a voor a = 8 a voor a = 2 f. 8a voor a = 2 1 2 2a voor a = 5 g. 4a voor a = 2 1 2 5a voor a = 8 h. 10a voor a = 1 2 Optellen 4a betekent a + a + a + a 5a betekent a + a + a + a + a Dus 4a + 5a = a + a + a + a+a + a + a + a + a = 9a Net zo is: 20a + 0a = a + a +.. + a 20keer + a + a +.. + a 0keer = a + a +.. + a = 50a 50keer 4 Opgaven 1. Bereken (schrijf korter): 5a + 7a e. 4x + 8x 5a + 12a f. x + 18x 8a + a g. 8x + 57x 12a + 17a h. 14x + 7 2. Bereken: 5p + 10p e. 7q + 15q 21p + 21p f. q + 8q p + 5p g. 12q + 48q 2p + p h. 9q + 16q. Bereken: 7a + 6a + 4a e. 14q + 6q + 11q 8a + a + 10a f. 9q + 9q + 18q 9x + 19x + 29x g. 5m + 16m + 25m 6p + 2p + 14p h. 2z + z + z 4. Bereken: 4x + 12x + 15x + 8x e. 12a + 12a + a + 5a 15b + 14b + 1b + 12b f. 6z + 16z + 26z + 6z 18y + 24y + 0y + 6y g. 8p + 6p + 4p + 2p p + 2p + p + 4p h. 16m + m + 9m + 15m
5 Meer letters 5 5 Meer letters De uitdrukking a + b kun je niet korter schrijven. a + b betekent dat je de getallen a en b bij elkaar wilt optellen als je weet hoe groot de getallen a en b zijn. De uitdrukking a + a + a + b + b + a + b kun je wel korter schrijven: a + a + a + b + b + a + b = 4a + Zo is dus 4a + 8a + 6b + 9b = 12a + 15 6 Opgaven 1. Bereken (schrijf korter): a + 7a + 5b + 8b e. 14p + p + 8q + 11q 12x + 8y + 2y + 4x f. 7 + y + 8 + y 7p + 5q + 15p + 17q g. 4a + 16b + 27b + 8a 1n + 5 + 8 + 2n h. 17c + 0c + 8d + 17d 2. Bereken (schrijf korter): 4x + x + 6y + 5x + y e. 12a + 15 + 26a + 8 + 25a 9a + a + 5b + 6a + 12a f. 6p + 4q + 9q + 12p + 5p 17m + 12m + 15m + 11n + 10n g. p + 10q + p + 10q + p 28q + 17 + q + 15q + 2 h. 6x + 5x + 1x + 8y + 7x. Bereken: 4a + b als a = 2 en b = e. 12a + 15 + 26a + 8 + 25a als a = 2 2a + 5b als a = en b = 2 f. 6p + 4q + 9q + 12p + 5p als p = 2 en q = a + 4b als a = 2 en b = g. p + 10q + p + 10q + p als p = 1 en q = 1 5a + 8b als a = 1 en b = 0 h. 6x + 5x + 1x + 8y + 7x als x = 1 en y = 0
7 Tegengestelde 6 7 Tegengestelde Twee getallen heten elkaars tegengestelde als hun som nul is. De getallen 7 en 7 zijn dus elkaars tegengestelde:7 + ( 7) = 0 Zo zijn de getallen a en a ook elkaars tegengestelde:a + ( a) = 0 Zo zijn ook a en ( a) elkaars tegengestelde want: a = a + a + a en ( a) = a + a + a en a + a + a + a + a + a = 0 Omdat ( a) = a geldt: a + a = 0. Dus het tegengestelde van a is a Voorbeelden: a + 8a = 5a 8a + a = 5a 8 Opgaven 1. Bereken: a + 8a e. 16x + 15x 6a + 7a f. 2x + 24x 5p + 4p g. x + 5x 9p + 6p h. x + 7x 2. Bereken: 1m + 6m e. 11b + 7b 4p + 4p f. 5k + 5k 2x + 2x g. 8k + 9k 7a + a h. 10z + 10z. Bereken: 6a + 5a + 4a e. 4q + 4q + 4q a + 7a + 4a f. 7a + a + 5a 8p + 10p + 7p g. 6x + 6x + 6x 9x + 4x + 7x h. 4p + 4p + 8p 4. Bereken: 17x + 24x + 11x + x e. p + 28p + 7p + 4p 6b + 4b + 9b + 2b f. 12q + 10q + 6q + 4q 14a + 7a + 11a + 2a g. 19 + 8 + 64 + 25 + 9 + 7 + 5 h. 18x + 75x + 12x + 21x 5. Bereken: 7p + 4p + q e. 8x + 15 + 7 8x + 12x + 5y f. 9a + 5a + 4b 1a + 5b + 5a g. 16p + 11q + 8p 4p + 12p + 5 h. 14p + 17 + 8
9 Aftrekken 7 9 Aftrekken Zoals 7a + a = 10a is 10a 7a = a Omdat 10a + a = 7a zeggen we aftrekken is optellen met het tegengestelde. 10 Opgaven 1. Bereken: 8a a e. 16x 15x 6a 7a f. 2x 24x 5p 4p g. x 5x 9p + 6p h. x 7x 2. Bereken: 4q 5q e. 4y + 12y 6p 12p f. 9p 9p 4x 8x g. 5x 5x 6a a h. 7z + 4z. Bereken: q 5q e. 11p 5p 5p 11p f. 11p 5p 5p 11p g. 11p 5p 5p 11p h. 5p 11p 4. Bereken: 11q 10q e. 14b 17b 17c + 12c f. 12q + 6q 28z 15z g. p + 5p 19a + 15a h. 4a 5a 5. Bereken: 16c 11c e. 15p + 14p 2x 16x f. q q 18z z g. 6a 5a a + 4a h. 17z 17z 6. Bereken: 1a 15a + 6a e. 6d 8d + 5d 4x x 2x f. 10y 7y 4y 6p + p 5p g. 2b + 14b 8b 12q 10q 9q h. 7a 8a a
10 Opgaven 8 7. Bereken: 5q 4q + q e. 16b 11b 14b 6a 8a 10a f. 9y + 1y 12y 22x + 18x 16x g. 4x 16x + 7x 12p 8p + 7p h. 6a 9a + 4a 8 Bereken: 14a + 8b 6a b e. 7c 9d + 6c + 8d 11p 5q 8p + 2q f. 14x 17x 6y + 11y x + 5y 4x 7y g. 8a 14b 9b a 8m 16n 14n + 4n h. 6p 7q 8q 9p 9 Bereken: 9c 4d c + 11d e. 6y 7x x 2y 6a 5 19 6a f. 14p + 18q q + 4p 7x + 7y 5x 5y g. 2b 8c 4b + 2c 12p 12q 17p + 17q h. 4x 9x y y 10 Bereken: 14p 8q 6p + 5p q e. 16m 14m 11m 7n + 1n 4x 4x + 7y 5y x f. 8y 6z 4y 6z + y 11b 16a a + 2a 4b g. a 4b 9a 4b + 8a q 11 q 5q + 2q h. 5 + 5z 7 4 1 11 Bereken: 1a 15a + 6a als a = 2 e. 6d 8d + 5d als d = 0 4x x 2x als x = 1 f. 10y 7y 4y als y = 1 2 6p + p 5p als p = g. 2b + 14b 8b als b = 5 12q 10q 9q als q = 1 h. 7a 8a a als a = 12 12 Bereken 1a 15a + 6b 5b als a = 2 en b = 1 4x y 2x + y als x = 1 en y = 2 6q + q 5p + q als p = en q = 1 12q 10q 9p p als p = 0 en q = 1
11 Het tegengestelde van x+y 9 11 Het tegengestelde van x+y Het tegengestelde van x + y is (x + y) want (x + y) + (x + y) = 0 Maar: x + y + x + y = 0. Dus (x + y) = x + y of (x + y) = x y. Zo is ook: (2x + y) = 2x y (2x y) = 2x + y ( 2x y) = 2x + y 5x + (x 4y) = 5x x + 4y = 2x + 4y 12 Opgaven 1. Schrijf zonder haakjes: (a + 2b) e. ( a b) (a 2b) f. ( 2a + b) (a 2b) g. (4a 2b) (a + 2b) h. ( 4a 2b) 2. Schrijf zo kort mogelijk: 4a (2a + 2b) e. 8b ( a b) 5b (a 2b) f. 2a ( 2a + b) 2a + (a 2b) g. 4a (4a 2b) 6a + (a + 2b) h. 2b ( 4a 2b). Schrijf zo kort mogelijk: a (a + 2b) 4b e. a ( a b) b 2a (a 2b) + a f. 2a + b ( 2a + b) a + (a 2b) 4b g. b (4a 2b) a 4b + (a + 2b) 2a h. a ( 4a 2b) b 4. Schrijf zo kort mogelijk: (4x + y) ( x + 2y) e. 7q + 12p (p 5q) 4q p + 5q (2p + q) f. 5x ((4y 6x) + 4x y 6a 5b (2a 4b) g. 4a (4b 4a) 18 (4c + 7) ( 14 c) h. (5k 11) ( 12 + 7k) k
1 Vermenigvuldigen 10 1 Vermenigvuldigen a = a + a + a 4 a = a + a + a + a + a + a + a + a + a Anders: a = a, dus 4 a = (4 ) a = 12 a = 12a Daarom is a 4b = a 4 b = 4 a b = 12ab 14 Opgaven 1. Schrijf zo kort mogelijk: 12 e. x.6y 4x.7y f. 2p.q 6p.5 g. 8b 84d h. 4m.20 + a + a + a = 12a 2. Schrijf zo kort mogelijk: 14b e. 5k.7 8q.2p f. 7p.q 17.x g. 11y.z 5y.7z h. 64b. Schrijf zo kort mogelijk: 5 c e. b 2p.7q f. 15x.6y 4x. 6y g. 12p. 10q 8m.8n h. 9m. 4 4. Schrijf zo kort mogelijk: 14.k e. 2y.x 11p. 6q f. 6k. m 108b g. 5z. 7 5x.9y h. 2 5. Schrijf zo kort mogelijk: 5 2 6c e. 7x. 5y. 2z 10x.5y. 7z f. p.8q. 4 4p.q. r g. 2 9.4b 7m. 8n. 5 h. 17. 2 2d
15 Machten 11 15 Machten 4 =... Net zo is a 4 = a a heet het grondtal en 4 heet de exponent. Dus a.a 4 = a. a = a 7. Je kunt dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigen door de exponenten van die machten bij elkaar op te tellen. Dus: x 4 x 5 = x 9 En 5x 6x 4 = 0x 7 16 Opgaven 1. Schrijf zo kort mogelijk: x 5.x 2 e. q 7.q 5 x 4.x 6 f. z 8.z 2 p 2.p g. c 4.c 4 a 7.a h. b 9 2. Schrijf zo kort mogelijk: m 10.m 8 e. d 5.d 5 p.p 4 f. y 2.y 8 a 12.a 17 g. a 6 q 8.q h. q 10.q 4. Schrijf zo kort mogelijk: k 2.k 6 e. n 5.n 8 z 7.z 8 f. a 7.a p 5.p 15 g. c 10.c 20 x.x 14 h. y 9.y 6 4. Schrijf zo kort mogelijk: a 5.a 6.a 7 e. x 10.x 5.x p.p.p 6 f. b b 5.b 8 z 4.z 4.z 4 g. d 2.d 5.d q.q 2.q h. k 6.k 8.k 10 5. Schrijf zo kort mogelijk: 6a 4.a 5 e. 9c 2. 9c 4 7p 2.11p 4 f. 15x. 7x 8x 5.4x 5 g. 10m 4.5m 6 5q.8q 10 h. 12p. p 12 6. Schrijf zo kort mogelijk: 24c 4. 4c 8 e. 4k 4.4k 4.6k 6 m 5.m 5.m 5 f. n. 6n 6. 11n 11 q 7. 2q 17.5q 27 g. a 2.2a 10.10a 2 y.y.y h. b 12. b 4
17 Machten van machten 12 17 Machten van machten (a ) 4 = } a.a {{.a.a } = a a a a = a 12 4keer (a b 2 ) 4 = a b 2 a b 2 a b 2 a b 2 = a 12 b 8 Zo is: (x ) = x 9 (x 5 ) 6 = x 0 ( a ) 2 = a a = a 6 (a ) 2 = a 6 18 Opgaven 1. Schrijf zo kort mogelijk: (a 2 ) 5 e. ( p 5 ) (x 4 ) f. (x 2 ) 6 (p 5 ) g. ( y 2 ) 5 (b 2 ) 7 h. (b 6 ) 2. Schrijf zo kort mogelijk: (a b 2 ) 4 e. (c 5 q 2 ) 2 (c 5 d ) 2 f. ( a 5 p ) 5 ( x 2 y 5 ) g. (b x) 4 (c 5 q 2 ) 2 h. ( y z ) 4. Schrijf zo kort mogelijk: (a 4 b 2 ) (a 2 b 5 ) 2 e. ( q 5 r 5 ) 5 ( q 2 r ) ( x 5 y 2 ) 4 (x y) f. (a 4 y ) 4 ( a 2 y) 4 ( c 2 d 5 ) 2 ( cd ) 2 g. (b 4 p 6 ) 4 ( b 2 p) 4 (p 5 x ) 4 ( p 2 x 4 ) h. (m 5 n 2 ) 4 ( mn ) 2
19 Delen 1 19 Delen 6a 2 = a want 2.a = 6a 6a 2a = want 2 = 6a Zo geldt ook: ab a 6ab 2b = b = a 6ab 2ab = 12a = 4a 20 Opgaven 1. Schrijf zo kort mogelijk: 4a 12x 2 e. x 9b f. 18q 6q 5c 10m c g. 4 4p 27a 2p h. a 2. Schrijf zo kort mogelijk: 16bc 4b e. 48pq 16q 24pq 25cd q f. 5c 12mn 4 g. 60ab 10ab h.. Schrijf zo kort mogelijk: 2x 5x e. 18ap 18ap a 7pm 7qm 4y 16ab xy f. 4ab pq 8a q g. 6b 5a 10ab h. 15qr 0q
20 Opgaven 14 4. Schrijf zo kort mogelijk: 22pq 40cd p e. 10c 17ad 25a 51d f. 75a 14m 21m g. p 6q 4a 15x 7b h. 0x 5. Schrijf zo kort mogelijk: 16b 56 2ab e. 8xy 10x 40x f. 28p 14qr 6pq 24pq g. 7ab 7ac 9a b h. 12x 24 6. Schrijf zo kort mogelijk: 4x.6y 12y e. 18xy 6c y f. 16pq 4p 2p 54p 6p q 9ab 18mn 5b g..n 6a 10ab 5b h. 0q 5q 2pq
21 Delen van machten 15 21 Delen van machten x 6 x = x.x.x.x.x.x 4 x.x.x.x = x 2 Als je twee machten met gelijk grondtal op elkaar deelt, worden de exponenten van elkaar afgetrokken. Zo is: x 9 x = x 6 6x 5 x = 2x 2 22 Opgaven 1. Schrijf zo kort mogelijk: x 6 x 2 e. a 7 a 2 f. q 7 q 6 y 2 y b 5 c b g. 6 c 4 p 12 z p h. 5 5 z 2. Schrijf zo kort mogelijk: 7a 4 7a 4 e. 8x 5 4x 2 15m 2 25z m f. 4 2 5z 18y 7 y 6 g. 5p 5p 24c 6 8c h.. Schrijf zo kort mogelijk: 16q 5 4 14a 2 b 5 2ab e. 28m 5 n 14mn 18x 7 y 7 x 4 y 6 f. 24p 2 y 5 8p 2 y 5 0p 4 q 5 10b 10q g. 4 c 5b 15c 6 d 8 48a c d h. 5 b 6 12ab 5
2 Optellen en aftrekken van breuken 16 2 Optellen en aftrekken van breuken Zoals 2 7 + 7 = 5 7 is ook 4p 7 + 5p 7 = 9p 7 Dus: 4 a + 6 a = 10 a En a 2 + a a = }{{ } 6 + 2a = 5a }{{ 6 6 } nietgelijknamigebreuken gelijknamigmaken 24 Opgaven 1. Schrijf zo kort mogelijk: p + p e. p p f. 5p 4 p 4 6xy 7 + xy 7 2p 4 + p 4k 4 g. 2 5 2k2 5 5p 4 + p 4 h. 9xy 2 10 4xy2 10 2. Schrijf zo kort mogelijk: 4 x 2a x e. 2 5b + 2b2 5b 4 x + a 2c x f. 2 5b + c2 5b a 4 + b 4 g. 1 ap + 2 ap a x + b x h. 1 ap + 2q ap. Schrijf zo kort mogelijk: a 2 + a e. 2a 2 + 5a a 2 a f. 2a 2 5a a a ab 2 g. 6 + ab 5 b 4 + c a 2 h. 2 a + 2a2 5a
25 Vermenigvuldigen van breuken 17 4. Schrijf zo kort mogelijk: a + 5 a e. b 4 + a b p q + p f. b a + a b 5x y + x 2b g. c + c 2b 4k 5 + 2m d 5 h. 5e + e d 25 Vermenigvuldigen van breuken Zoals 2 4 5 = 8 15 a b c d = ac bd en a b c d = ac bd zo is: 26 Opgaven 1. Schrijf zo kort mogelijk: 2 a 4 e. 5 a a b 4 5 f. a 4 b 4 5 a b g. a b 4 4 5 a b h. b 1 2. Schrijf zo kort mogelijk: a b c d e. a b c d f. 2p q 4x y q 2x y a b c d g. 4tx y 4 5z 2a b c ab 5d h. c d pq
26 Opgaven 18. Schrijf zo kort mogelijk: 5 a 1 5 e. 5ab 7cd ce 10ab a 4b b f. 100p 0q 9q 5p 6ab 10 15 bc g. abc pq 4p bcd pq 6p 2 q h. 4. Schrijf zo kort mogelijk: a 2 4 8 2a e. pt 6q 6x 2 y 2x 4qy 4yt x 9y 8p 2 2a a2 12x 4p f. 4 6p p 2 4x 5 ab 2 p p 2 12x a 2 b g. 4 2 6p p 4x 4 ab 2 4q 2q2 9xz b h. 2 2z 4p pz
27 Haakjes wegwerken I 19 27 Haakjes wegwerken I Zoals a = a + a + a is (a + b) = a + b + a + b + a + b = a + b Dus: (2a + b) = 6a + 9b (2a b) = 6a 9b (2a + b) = 6a 9b (2a b) = 6a + 9b a(2a + b) = 2a 2 + ab 2a(a + 4b) = 6a 2 + 8ab 28 Opgaven 1. Werk de haakjes weg: (a + b) e. ( 2a + 2b) (a b) f. (2a 2b) (a + 2b) g. (a + 2) (a 2b) h. ( a 2) 2. Werk de haakjes weg: ( a + 1) e. ( a + 2) (1 a) f. (2a b) ( 1 a) g. (a + 1) (a b) h. ( a 1). Werk de haakjes weg: 5( + 2a) e. 4 1 2 (2a 4b) 2(a 2b) f. 6( 2a + ) (a + 4b) g. 5(5 a) ( a + 1 2b) h. (1 + 5a) 4. Werk de haakjes weg: 4(a 2 + ) e. 2(a b) 4(a 2 2) f. (a 2 + 2b 2 (a 6b 2 ) g. 4( a + 2b) 1(a + b) h. 4(a 2b) 5. Werk de haakjes weg: (a 2b) e. 6(a 2q) (a 2b) f. (p 2q) 2(a 5b) g. (b + 2c) (a 5b) 2 h. (ab + 2c)
28 Opgaven 20 6. Werk de haakjes weg: a(p + q) e. a(2p + q) a(p q) f. a( 2p + q) a(2p + q) g. a(2 + c) a(2p q) h. (2c )a 7. Werk de haakjes weg: a(a + b) e. 2b(a + 2b) b(a + b) f. 2b(2a b) b(2a + b) g. a(a 1) b(2a 2b) h. a( a b) 8. Schrijf zo kort mogelijk: a(a ab) e. a( a 4ac) a(ab a) f. a(5 a) 2a(ab b) g. a(5a ) 2a(2a + 2ab) h. 4a(a 2ac) 9. Schrijf zo kort mogelijk: a 2 (a + 5) e. a 2 (a 2 5ab) a(a 2 5) f. a 2 (ab 5a 2 b) a 2 (a 2 5) g. a(a 2ab) a 2 (a 2 5a) h. a 2 (a 2 2b) 10. Schrijf zo kort mogelijk: pq(p 2 p 2 q) e. 4ac(ac + 4z) p 2 (p 2 pq) f. 4ac(a 2 c + 4z) p 2 (p 2 p 2 q) g. p(p 2 p) 4c(c 2 + c) h. 2p(p 2 p) 11. Schrijf zo kort mogelijk: pq(p 2 p) e. 2x 2 (x 2 x) pq(p 2 q) f. x 2 (x 2y) q 2 (p 2 2q) g. xy(xy y 2 ) 2xy(x 2 x) h. 2x 2 (xy 2 2x 2 )
29 Haakjes wegwerken II 21 29 Haakjes wegwerken II Zoals we zagen geldt: p(a + b) = ap + bp Dus ook geldt: (a + b)p = ap + bp (a + b) (c + d) p = a p (c+d) +b p (c+d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd Zo is (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b)(c d) = ac ad + bc bd (a b)(c d) = ac ad bc + bd (a + 2)(a + ) = a 2 + a + 2a + 6 = a 2 + 5a + 6 (2a + b)(4a + 5b) = 8a 2 + 10ab + 12ab + 15b 2 = 8a 2 + 22ab + 15b 2 0 Opgaven 1. Schrijf zo kort mogelijk: (a + b)(c + d) e. (a + )(b + c) (a + b)(p + q) f. (a + b)( + d) (c + d)(e + f) g. (2a + b)(c + d) (a + b)(c + ) h. (2a + b)(2c + d) 2. Schrijf zo kort mogelijk: (2p + q)(t + 2v) e. (4x + 4)(y + z) (2p + q)(t + 2) f. ( + 4a)(2 + b) (5a + 4)(2b + ) g. (1 + a)(2b + 1) ((4x + y)(a + 2b) h. (p + q)(4 + 2t). Schrijf zo kort mogelijk: (a + b)(c d) e. (a + )(b c) (a + b)(p q) f. (a + )(b 4) (c d)(e + f) g. (a )(b 4) (c d)(e f) h. (2a + )(b 4) 4. Schrijf zo kort mogelijk: (2a b)(c d) e. ( a b)(c d) (5a + 1)(b 2) f. ( 2a + b)(c 4) (2x y)(a + b) g. (6p 2)(2 q) ( a + b)(c d) h. (a 4)( b + 4) 5. Schrijf zo kort mogelijk: (x + )(x + 4) e. (p + 1)(p + 2) (x + 1)(x + 5) f. (y + )(y + 7) (x + 6)(x + 1) g. (y + 8)(y + 2) (p + 2)(p + ) h. (k + 1)(k + 5)
0 Opgaven 22 6. Schrijf zo kort mogelijk: (z + 4)(z + ) e. (a + )(a + 9) (z + 2)(z + 8) f. (a + 10)(a + 11) (c + 2)(c + 7) g. (b + 1)(b + ) (c + 1)(c + 6) h. (b + 4)(b + 10) 7. Schrijf zo kort mogelijk: (a 2)(a ) e. (x + 1)(x 2) (a 5)(a 7) f. (y + 6)(y ) (a 4)(a 1) g. (t 6)(t 2) (x 1)(x ) h. (x 4)(x 1) 8. Schrijf zo kort mogelijk: (2x + )(x 5) e. (a 5)(2a 5) (2x )(x 5) f. (y )(y 1) (2x )(x + 5) g. (2x 4)(x 4) (2x + )(x + 5) h. (6y + 2)(y + 2)
1 (a + b) 2 2 1 (a + b) 2 Zoals a 2 = a a, zo is (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + 2ab + b 2 Dus:(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Met woorden erbij: (a + b) 2 = a 2 deeersteinhetkwadraat Net zo is: (a + ) 2 = a 2 + 6a + 9 (a 4) 2 = a 2 8a + 16 (2a + b) 2 = 4a 2 + 12ab + 9b 2 + 2ab hetdubbeleprodukt + b 2 delaatsteinhetkwadraat 2 Opgaven Som 1 (a + b) 2 e. ( 2a + b) 2 (a + b) 2 f. (a + b) 2 (2a + b) 2 g. (5a b) 2 (2a b) 2 h. ( 1 2 a + b)2 Som 2 (a + 1) 2 e. ( 2a + ) 2 (a + ) 2 f. (a + ) 2 (2a + ) 2 g. (5 b) 2 (2a ) 2 h. ( 1 2 + b)2 Som (12a + 10b) 2 e. ( 25a + 5b) 2 (7a + 8b) 2 f. (1a + 2b) 2 (15a + 2b) 2 g. (25a 1b) 2 (2a 1b) 2 h. ( 1 2 a + 2b)2
(a + b)(a b) 24 (a + b)(a b) Haakjes wegwerken in de uitdrukking (a+b)(a b) levert het volgende resultaat: (a + b)(a b) = a 2 ab + ab b 2 = a 2 b 2 Dus(a + b)(a b) = a 2 b 2 we zeggen:(a + b)(a b) is het verschil van twee kwadraten n.l dat van a en dat van (a + b)(a b) = a 2 b 2 hetverschilvantweekwadraten Zo is: (2a + b)(2a b) = 4a 2 9b 2 (a b)(a + b) = a 2 b 2 (a )(a + ) = a 2 9 (2a + 5)(2a 5) = 4a 2 25 4 Opgaven Som 1 (a + 2b)(a 2b) e. ( 2a + b)(2a + b) (a + b)(a b) f. (a + b)(a b) (2a + b)(2a b) g. (5a b)(5a + b) (2a b)(2a + b) h. (a + 5)(a 5) Som 2 (a + 2)(a 2) e. ( 12a + 1b)(12a + 1b) (a + 7)(a 7) f. (1a + 1b)(1a 1b) (2a + )(2a ) g. (15a 1b)(15a + 1b) (2a 1)(2a + 1) h. (10a + 5)(10a 5) Som (12a + 21b)(12a 21b) e. ( 52a + b)(52a + b) (11a + 4b)(11a 4b) f. (a + b)(a b) (2a + 7b)(2a 7b)g. (15a 2b)(15a + 2b) (22a 2b)(22a + 2b) h. (7a + 5)(7a 5)
5 Ontbinden in factoren I 25 5 Ontbinden in factoren I We weten: a(b + c) = ab + bc Omgekeerd: ab + bc = a(b + c) We hebben de uitdrukking ab + bc in(twee) factoren ontbonden. Namelijk de factoren a en b + c Zo kunnen de volgende uitdrukkingen als volgt in factoren worden ontbonden: x + 6 = (x + 2) x + 12 = (x + 4) a 2 + ab = a(a + b) a + = (a + 1) a 2 + a = a(a + 1) 6 Opgaven 1. Ontbind in factoren: x + 9 e. 16a 20b x + 18 f. 16a 20 5x + 5 g. 16a 16 6a + 9b h. 24 8a 2. Ontbind in factoren: 5x + 7y e. 16 + 16x 5x + 70y f. 11x 88y 40x + 2y g. 4a + 8b + 16c 40 + 2y h. 10x + 25y + 0z. Ontbind in factoren: 4ab + 6a e. 8xz 4z 18b 16bc f. 16y + 8yz 7xy + 7yz g. 24xy + 2x 7xy 7pq h. 100a 0ab 4. Ontbind in factoren: 25cx 25xy e. 100x 20y 25cy 25xy f. 18pq + 2py 18pq 1px g. xyz 6xy 100xy 20x h. xy 6xyz
6 Opgaven 26 5. Ontbind in factoren: x 2 + x e. 8xz 4z x 2 6x f. 6x 2 x 2 6x g. 4x + 2x 2 x 6x 2 h. 5x 2 10x 6. Ontbind in factoren: 5x 2 + 16x e. 15x 2 12y 2 6x 2 54x f. 16x y + 4x 2 15x 7 x 6 g. 16x y + 4xy 80x 5 2x h. 7x 2 y 2 8xy
7 Ontbinden in factoren II 27 7 Ontbinden in factoren II (x + 2)(x + ) = x 2 + 2x + x + 6 = x 2 + 5x + 6 Kijken we,omgekeerd, naar x 2 + 5 x + 6 dan kunnen we die uitdrukking in 2+ 2 factoren ontbinden:x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + ) Ontbinden we x 2 + 6x + 8 dan moeten we zoeken naar twee getallen die 6 zijn als je die twee getallen bij elkaar optelt en 8 als je die twee getallen met elkaar vermenigvuldigt: Met proberen vind je: 2 + 4 = 6 en 2 4 = 8 Dus x 2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) of x 2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2) Zo is: x 2 + 8x + 12 = (x + 2)(x + 6) want 2 + 6 = 8 en 2 6 = 12 x 2 + 8x + 15 = (x + )(x + 5) want + 5 = 8 en 5 = 15 x 2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) x 2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) x 2 5x + 6 = (x 2)(x ) x 2 + x 10 = (x + 5)(x 2) 8 Opgaven 1. Ontbind: a 2 + 5a + 6 e. x 2 + 9x + 8 x 2 + 5x + 6 f. x 2 + 8x + 12 x 2 + 7x + 6 g. x 2 + 7x + 12 x 2 + 6x + 8 h. x 2 + 1x + 12 2. Ontbind: x 2 + 12x + 20 e. x 2 + 20x + 6 x 2 + 9x + 20 f. x 2 + 15x + 6 x 2 + 12x + 6 g. x 2 + x + 2 x 2 + 7x + 6 h. x 2 + 70x + 69. Ontbind: x 2 5x + 6 e. a 2 6a + 5 x 2 7x + 6 f. a 2 5a + 6 x 2 10x + 9 g. x 2 7x + 10 x 2 6x + 9 h. x 2 11x + 10 4. Ontbind: x 2 9x + 14 e. a 2 16a + 15 x 2 15x + 14 f. a 2 19a + 18 x 2 2x + 1 g. x 2 11x + 18 a 2 8a + 15 h. x 2 9x + 18
8 Opgaven 28 5. Ontbind: x 2 7x 0 e. x 2 29x 0 x 2 + 7x 0 f. x 2 + 29x 0 x 2 1x 0 g. x 2 6x 16 x 2 x 0 h. x 2 + 2x 15 6. Ontbind: x 2 4x 12 e. x 2 2x 15 x 2 5x 24 f. x 2 8x 20 x 2 + x 56 g. x 2 + 2x 48 x 2 4x 5 h. x 2 6x 27 7. Ontbind: x 2 8x + 15 e. x 2 + 14x + 49 x 2 + 10x 25 f. x 2 x + 54 x 2 8x + 15 g. x 2 + 16x + 60 x 2 + 12x + 5 h. x 2 2x 48