Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste computerfirma s hebben wel een programmapakket ontwikkeld dat is gebaseerd op dee Simplex-methode. Daarmee kunnen ook de grootste LP-modellen worden opgelost. Een beetje LP-model voor een praktijkprobleem heeft al gauw enkele tientallen tot honderden variabelen en enkele honderden tot soms duienden restricties. Vooral de LP-modellen uit de olie-industrie ijn bekend om hun enorme grootte. Wij bespreken in dee bijlage aan de hand van eenvoudige voorbeelden eerst een elementaire vorm van het Simplex-algoritme, het ogenoemde standaard Simplexalgoritme. Hiermee kunnen maximaliseringsproblemen worden opgelost die uitsluitend kleiner/gelijk-restricties hebben met positieve rechterleden. Dit algoritme wordt behandeld in deel. In deel wordt de tweefasen-methode behandeld, waarmee ook de algemene LP-problemen kunnen worden opgelost. Ten slotte wordt in deel ingegaan op een meer wiskundige aanpak van de gevoeligheidsanalyse. Deel Standaard Simplex-algoritme Het Simplex-algoritme wordt uitgelegd aan de hand van een planningsprobleem, waar twee producten worden gemaakt onder drie beperkende voorwaarden. De bijdrage aan de winst moet worden gemaximaliseerd. Het bij dit probleem behorende wiskundige model is: Maximaliseer = x + x m.b.t. x + x [boren] x + x 6 [draaien] [I] x + x [freen] x, x De eerste stap is dat we de drie ongelijkheidsrestricties gaan schrijven als gelijkheden. We kunnen dit bereiken door aan elke restrictie een extra variabele toe te voegen. Dit LP-probleem kan dan op de volgende manier worden herschreven (waarbij ook de doelfunctie op nul is herleid): x x = x + x + x = [II] x + x + x = 6 x + x + x = De variabelen x, x en x worden spelingsvariabelen genoemd, in het Engels slack variables. Men ou e kunnen interpreteren als niet-gebruikte capaciteitseenheden van de diverse capaciteitssoorten. Ook aan dee spelingsvariabelen stellen we de eis dat e niet-negatief mogen ijn. Het stelsel [II] is een stelsel van vier lineaire vergelijkingen met es onbekenden, en daarmee dus onbepaald. Dat wil eggen dat er in principe oneindig veel oplossingen bestaan. Wij oeken nu díe oplossing waarvoor o groot mogelijk is. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Eén oplossing is vrij gemakkelijk te bepalen: stelt men x = x =, dan vinden we: x =, x = 6, x = en =. Zo n oplossing van het stelsel, die men vindt door de echte variabelen gelijk aan nul te kieen, heet een basisoplossing. We kunnen het stelsel [II] in een ogenoemd eerste Simplex-tableau schrijven, ie tabel. Tabel Eerste Simplex-tableau Basis x x x x x RL x x x * 6 De eerste kolom wordt de basis genoemd, hierin staan de basisvariabelen die geamenlijk de basisoplossing vormen. De meest rechtse kolom bevat de getalswaarden van die oplossing en wordt het rechterlid (RL) genoemd, in het Engels: right-hand-side. De variabelen die niet in de basis itten, ijn per definitie gelijk aan nul. In dit voorbeeld dus x en x. Een basisoplossing heeft altijd naast de variabele nog oveel variabelen ongelijk aan nul als er beperkingen ijn. De volgende stap is nu een andere basisoplossing te oeken die aan twee eisen moet voldoen: de nieuwe basisoplossing levert een -waarde die niet lager is dan de huidige; de nieuwe basisoplossing moet ook een toelaatbare oplossing ijn. Als we de -rij bekijken, ien we dat we de waarde van groter kunnen maken door óf x, óf x positief te maken. De grootste bijdrage levert natuurlijk x ; dat wil eggen dat we x in de basis ouden willen opnemen en dat dus een van de huidige basisvariabelen daaruit moet verdwijnen. Om een toelaatbare oplossing te handhaven en daarmee dus aan de tweede eis te voldoen, kunnen we x niet verder 6 verhogen dan het minimum van, en. Zie de x -kolom in het eerste Simplex-tableau. Dat wil dus eggen dat we x met eenheden kunnen vergroten en ook dat x uit de basis verdwijnt: in de x -rij vinden we immers dat minimum. Op dee manier vinden we op het kruispunt van de x -kolom en de x -rij een element dat we het pivot-element noemen. Het is in het eerste Simplex-tableau van een sterretje (*) voorien. Om een nieuwe basisoplossing te krijgen, met een hogere -waarde en waar x in de basis it ten koste van x, gaan we pivoten om het pivot-element heen. Dit komt erop neer dat we met behulp van de pivot-rij de pivot-kolom gaan schoonvegen, odanig dat het pivot-element de waarde krijgt en de overige kolom-elementen de waarde krijgen. De bewerkingen hiervoor ijn dan: Vermenigvuldig de x -rij met. Vermenigvuldig vervolgens de x -rij met en tel dee op bij de -rij. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de x -rij. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de x -rij. Na dit pivoten krijgen we een tweede Simplex-tableau, ie tabel. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Tabel Tweede Simplex-tableau Basis x x x x x RL x x x * We vragen ons nu af of we de optimale oplossing hebben gevonden of dat we de - waarde van nog verder kunnen verhogen. In de -rij ien we dat de -waarde nog verder kan worden verhoogd door x te verhogen. Om aan de eis van toelaatbaarheid van de oplossing te blijven voldoen, kan x niet verder verhoogd worden dan het minimum van, en, dus. Dat wil ook eggen dat x de basis dient te verlaten ten gunste van x. Pivoten betekent nu de volgende bewerkingen uitvoeren: Vermenigvuldig de x -rij met. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de -rij. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de x -rij. Vermenigvuldig de x -rij met en tel dee op bij de x -rij. Hierna ontstaat het derde Simplex-tableau, ie tabel. Tabel Derde Simplex-tableau Basis x x x x x RL x x x In de -rij ien we dat introductie van één van de niet-basisvariabelen, x of x, in de basis niet meer leidt tot een verdere verhoging van de -waarde, immers de getallen ijn niet meer negatief. Dat wil eggen dat de oplossing die we nu hebben verkregen de optimale oplossing is. Dee optimale oplossing is dus: x = en x =, met als -waarde: =. Verder geldt nog: x = x = en x =. Voor problemen in de standaardvorm, met positieve rechterleden, kan de Simplexmethode als volgt worden samengevat: Stap Maak van alle kleiner/gelijk-restricties gelijkheden door ogenoemde spelingsvariabelen toe te voegen. Stel daarna het eerste Simplex-tableau op. Stap Als alle elementen in de -rij niet-negatief ijn, dan is de basisoplossing die bij dit tableau hoort de optimale oplossing. Als één of meer elementen in de -rij negatief ijn, ga dan naar stap. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Stap Selectie van de variabele die in de basis gaat Kies die variabele waarvan de coëfficiënt in de -rij het meest negatief is. Stap Selectie van de variabele die uit de basis gaat Deel de elementen in het rechterlid door de overeenkomstige positieve elementen uit de kolom van de variabele die in de basis gaat. Kies de kleinste breuk. De noemer van dee kleinste breuk is het pivot-element. De basisvariabele in de rij waarin het pivot-element voorkomt, is de variabele die de basis verlaat. Stap Pivoten om het pivot-element Dat wil eggen de kolom van de variabele die in de basis gaat, schoonvegen met de rij van de variabele die uit de basis gaat. Ga terug naar stap. Een basisoplossing met alle variabelen positief heet niet-gedegenereerd. Een basisoplossing met één of meer variabelen gelijk aan nul heet gedegenereerd. In beide gevallen, eventueel door het aanbrengen van kleine wijigingen, leidt de Simplex-methode in een eindig aantal stappen tot de optimale oplossing. Het optimale Simplex-tableau kan als volgt worden geïnterpreteerd: a De bij de basisvariabelen behorende optimale oplossing staat in de meest rechtse kolom. b In de -rij ijn de coëfficiënten van de spelingsvariabelen tevens de schaduwprijen van de betreffende restricties. c In de kolommen van de niet-basisvariabelen staat het aantal eenheden dat men moet opofferen (van de basisvariabelen) om één eenheid van de betreffende niet-basisvariabele in de oplossing te kunnen introduceren. d De coëfficiënten van de spelingsvariabelen in de -rij ijn tevens de optimale waarden van het overeenkomstige duale probleem. We illustreren het voorgaande aan de hand van het volgende LP-model, waarin de winst van vier producten moet worden gemaximaliseerd onder drie beperkende voorwaarden. Maximaliseer = x + x + x + x m.b.t. x + x + x + x x + x + x + x x + x + x + x x, x, x, x Het overeenkomstige duale probleem is: Minimaliseer = y + y + y m.b.t. y + y + y y + y + y y + y + y y + y + y y, y, y Het bij het primale probleem behorende laatste en dus optimale Simplex-tableau is weergegeven in tabel. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Tabel Optimaal Simplex-tableau Basis x x x x x x 6 x RL x x x 6 6 6 6 a De optimale oplossing is dus: x =, x =, x = en x =, met = 6. Verder is: x =, x 6 = en x =. In de optimale situatie worden dus de producten x en x niet gemaakt. b De schaduwprijen ijn: van de eerste restrictie (coëfficiënt van x in de - rij); van de tweede restrictie (coëfficiënt van x 6 in de -rij); van de derde restrictie (coëfficiënt van x in de -rij). c Als we toch één eenheid x willen maken, dan kost ons dat. We offeren dan op: eenheid x, eenheid x en 6 eenheid x 6, ie de x -kolom. Als we toch één eenheid x willen maken, dat wil dus eggen dat de beschikbaarheid in de derde restrictie geen is, maar, dan kost dat. We offeren dan op: eenheid x, eenheid x en eenheid x 6. d De coëfficiënten van de spelingsvariabelen in de -rij bepalen de optimale oplossing van het duale probleem, dus: y =, y = en y =. Dee oplossing voldoet inderdaad aan de beperkingen van het duale probleem: + + = + + = + + = 6 + + = De waarde van de duale doelfunctie is deelfde als van de primale doelfunctie: + + = 6 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Deel Tweefasen-methode In deel is het Simplex-algoritme alleen toegepast op LP-problemen die kleiner/gelijk-restricties bevatten en waarvan de doelfunctie moest worden gemaximaliseerd. De LP-problemen die groter/gelijk-restricties bevatten of gelijkheidsrestricties, of die moeten worden geminimaliseerd, kunnen niet onder meer worden opgelost met het standaard Simplex-algoritme. We latenaan de hand van een drietal LP-problemen ien hoe, via de ogenoemde tweefasenmethode, het Simplex-algoritme als oplossingsmethode kan worden gebruikt. Eerst gaan we het op te lossen LP-probleem transformeren in een gelijkwaardig LPprobleem, als volgt: Restricties met negatief rechterlid vermenigvuldigen we met ; het teken keren we om. De groter/gelijk-restricties etten we om in gelijkheidsrestricties door ogenoemde surplus-variabelen, s j, af te trekken van het linkerlid. Voor vrije variabelen x j substitueren we x j = x + j x j, met x + j en x j. Als een variabele x j is, dan substitueren we x j = x ' ' j, met x j. We voeren weer een variabele in, waarvoor moet gelden: Σc j x j = als we maximaliseren; + Σc j x j = als we moeten minimaliseren. Het o ontstane LP-probleem heeft alleen kleiner/gelijk-restricties en gelijkheidsrestricties. Vervolgens voeren we voor de kleiner/gelijk-restricties spelingsvariabelen in, oals we dat al eerder hebben gedaan. Voor de gelijkheidsrestricties voeren we ogenoemde kunstmatige variabelen, k j, in (Engels: artificial variables), waarvoor eveneens geldt: k j. Dee kunstmatige variabelen moeten we weer ien kwijt te raken, en dat lukt via de ogenoemde tweefasenmethode. Ten slotte voeren we nog een -rij in van de vorm: + Σk j =. In de eerste fase creëren we een toelaatbare oplossing, waarin alle hulpvariabelen nul ijn. Dit doen we door (= Σk j ) te maximaliseren (natuurlijk rekening houdend met de restricties). Dee eerste fase eindigt als de hulpvariabelen uit de basis ijn vertrokken (dan ijn e immers nul!). Overigens, als dit niet lukt, heeft het oorspronkelijke LP-probleem geen oplossing. In de tweede fase optimaliseren we de oorspronkelijke doelfunctie, startend met de toelaatbare oplossing van de eerste fase. We verduidelijken de tweefasenmethode door een drietal LP-problemen op te lossen. Probleem Gegeven het volgende LP-probleem: Maximaliseer = x + x m.b.t. x x x x + x x, x Als we dit probleem volgens de genoemde regels ometten, krijgen we: + k = x x = x x + x = x + x = x + x s + k = 6 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Na eliminatie van de kunstmatige variabele k uit de -rij, krijgen we: x x + s = x x = x x + x = x + x = x + x s + k = Het eerste tableau (met * = pivot-element en weglating van de -kolom) wordt dan weergegeven door tabel. Tabel Eerste tableau Basis x x x x s k RL x x k * In de eerste fase gebruiken we de -rij om het pivot-element te bepalen (we maximaliseren dus inderdaad ). Elke keer als een kunstmatige variabele uit de basis gaat, mogen we de bijbehorende kolom weglaten. De eerste fase eindigt als alle kunstmatige variabelen uit de basis ijn vertrokken. Zo kan, met behulp van het pivot-element op de kruising van de x -kolom en de k-rij, het tweede tableau worden bepaald, ie tabel 6. Tabel 6 Tweede tableau (e versie) Basis x x x x s k RL x x x 6 De (enige) k-kolom mag nu worden weggelaten, want de kunstmatige variabele k is uit de basis vertrokken. Bovendien ijn er geen andere kunstmatige variabelen meer in de basis aanweig, dus is tevens de eerste fase beëindigd. De -rij mag ook worden geschrapt, want + k = betekent immers k =. Het tableau aan het begin van de tweede fase, een vereenvoudiging dus van het tweede tableau, wordt dan oals weergegeven in tabel. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Tabel Tweede tableau (tweede versie) Basis x x x x s RL 6 x x x * Als we de regels van het Simplex-algoritme op de gewone manier toepassen, krijgen we het derde tableau, ie tabel. Tabel Derde tableau Basis x x x x s RL x s x * En het vierde tableau, tevens eindtableau, iet er als volg uit, ie tabel. Tabel Vierde tableau (eindtableau) Basis x x x x s RL x s 6 x De oplossing is dus: x =, x =, met als maximum =. Probleem We beschouwen het volgende LP-probleem: Minimaliseer = x + x m.b.t. x + x x x 6 x, x Na herschrijven ontstaat het volgende stelsel vergelijkingen: + k = x x + s = + x + x = x + x s + k = x + x = x + x = 6 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Na eliminatie van k uit de -rij wordt het eerste tableau gegeven in tabel. Tabel Eerste tableau Basis x x x x s k RL k x x * 6 Verder toepassen van het Simplex-algoritme geeft het tweede tableau, ie tabel. Tabel Tweede tableau Basis x x x x s k RL k x x * 6 Vervolgens komt x in de basis ten koste van k. De kunstmatige variabele k gaat dus uit de basis, odat de k-kolom mag worden weggelaten. Het derde tableau wordt dan oals weergegeven in tabel. Tabel Derde tableau Basis x x x x s RL x x x De eerste fase is hiermee afgelopen, maar de tweede fase ook, want er ijn geen negatieve coëfficiënten in de -rij. Dit derde tableau is dus tevens het optimale tableau. De oplossing is dus: x =, x =, met als minimum =. Probleem Gevraagd wordt het volgende LP-probleem op te lossen: Minimaliseer = x + x + 6x + x m.b.t. x + x x + x + x + x x + x + x + x x + x + 6x + x x, x, x, x Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Herschrijven geeft het volgende stelsel vergelijkingen: + k + k + k = + x + x + 6x + x = x + x + x + x s + k = x + x + x + x s + k = x + x + 6x + x s + k = Na eliminatie van de kunstmatige variabelen k, k en k uit de -rij kan het eerste tableau worden opgesteld, ie tabel. Tabel Eerste tableau Basis x x x x s s s k k k RL 6 k k k * 6 + Verder toepassen van het Simplex-algoritme geeft het tweede tot en met het vijfde tableau, ie de tabellen tot en met. Tabel Tweede tableau Basis x x x x s s s k k RL 6 k x k * Tabel Derde tableau Basis x x x x s s s k RL k x x Tabel 6 Vierde tableau * 6 6 Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Basis x x x x s s s k RL k x x * Tabel Vijfde tableau Basis x x x x s s s RL s x x 6 6 * 6 6 6 De eerste fase is hiermee beëindigd. De -rij kan worden weggelaten. Verdere toepassing van het Simplex-algoritme geeft het optimale tableau, ie tabel. Tabel Zesde (optimale) tableau Basis x x x x s s s RL s x x De optimale oplossing is dus: x =, x =, x =, x =, =. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Deel Gevoeligheidsanalyse met behulp van de Simplex-methode Als het aantal beslissingsvariabelen in een LP-probleem groter dan wordt, moet voor de gevoeligheidsanalyse een wiskundiger aanpak worden gekoen. Behalve de Simplex-methode speelt ook de duale vorm van LP-problemen een rol. Dee aanpak wordt besproken aan de hand van het volgende probleem. Een bedrijf maakt vier producten. De opbrengst per eenheid bedraagt respectievelijk,, en euro. Het capaciteitsbeslag per eenheid product is weergegeven in tabel. Tabel Capaciteitsbeslag Personeel Grondstof (kg) Grondstof (kg) A B C D Beschikbaar maximaal Gevraagd wordt een odanige productmix, dat de opbrengst o groot mogelijk is. Als beslissingsvariabelen definiëren we: x i = aantal producten te maken van product i, i =,,,. Het LP-model heeft dan de volgende vorm: Maximaliseer: = x + x + x + x m.b.t. x + x + x + x [personeelsrestrictie] x + x + x + x [grondstof--restrictie] x + x + x + x [grondstof--restrictie] x, x, x, x Het overeenkomstige duale probleem is, met y, y en y als beslissingsvariabelen: Mimimaliseer: = y + y + y met betrekking tot: m.b.t. y + y + y y + y + y y + y + y y + y + y y, y, y Het eerste tableau en het optimale eindtableau van het primale probleem worden weergegeven in tabel en. Tabel Eerste tableau Basis x x x x x x 6 x RL x x 6 x Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Tabel Eindtableau (optimale tableau) Basis x x x x x x 6 x RL x x 6 6 x 6 6 De optimale oplossing is dus: x =, x =, x = x =, met = 6. De producten en worden dus niet gemaakt. Alle personeelsleden ijn ingeschakeld. Alle grondstof is opgebruikt. Van grondstof is nog kilogram over. We beginnen de gevoeligheidsanalyse weer met de coëfficiënten van de doelfunctie en maken daarbij onderscheid tussen niet-basisvariabelen en basisvariabelen. Niet-basisvariabelen x en x Het is intuïtief duidelijk dat als de opbrengst per eenheid van de producten en lager wordt, de huidige oplossing optimaal blijft. Verhogen we de opbrengst per eenheid echter, dan kan de huidige oplossing mogelijk worden verbeterd. De vraag is dan, hoe hoog de opbrengst per eenheid moet worden opdat de huidige oplossing niet meer optimaal is. Veronderstel dat we de opbrengst per eenheid van x verhogen tot c. Wil de huidige oplossing optimaal blijven, dan moeten ook de huidige duale beperkingen blijven gelden. Dus ook de tweede duale beperking moet blijven gelden. In dee beperking hebben we in het rechterlid de huidige waarde van vervangen door c : y + y + y c. Substitutie van de optimale duale oplossing geeft dan: + + c. Hieruit volgt: c We kunnen dus de opbrengst per eenheid voor product met maximaal = verhogen, onder dat de huidige oplossing verandert. We noemen het getal van de grenswaarde. Op deelfde manier kunnen we ook de grenswaarde berekenen voor de coëfficiënt van x. De vierde duale beperking moet blijven gelden, dus: y + y + y c. Na substitutie van de optimale duale oplossing, vinden we: c. De grenswaarde wordt dan: =. Dee grenswaarden van en vinden we terug in het optimale Simplex-tableau als de coëfficiënten van respectievelijk x en x in de -rij. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Algemeen geldt: De grenswaarden van de niet-basisvariabelen ijn gelijk aan de coëfficiënten van de niet-basisvariabelen in de -rij van het optimale tableau. Basis-variabelen x en x Het is aannemelijk dat als de opbrengst per eenheid van de producten en maar voldoende lager wordt, de huidige oplossing niet meer optimaal blijft. Minder duidelijk is dat als de opbrengst per eenheid groter wordt, de huidige oplossing ook niet optimaal hoeft te blijven. Binnen welke grenen kunnen we nu schuiven met de coëfficiënten van x en x onder dat de optimale oplossing verandert? We beantwoorden dee vraag voor de coëfficiënt van x. Veronderstel: de coëfficiënt van x is ( + p ) in plaats van, met p niet negatief. De -rij van het laatste Simplex-tableau wordt dan: 6 px + x + x + x + x = De oplossing kan nu nog worden verbeterd, want er is in de -rij nog een negatieve coëfficiënt, namelijk die van x. We gaan dus verder pivoten. Vermenigvuldig de tweede rij met p en tel dee rij op bij de -rij. Dee -rij wordt dan: 6 + + p x + p x + + p x + p x = + p De oplossing is optimaal als alle coëfficiënten niet-negatief ijn. Voor p betekent dit: p. De huidige oplossing blijft dus optimaal voor voorgaande waarden van p. De opbrengst per eenheid van product kan dus variëren van, tot 6, onder dat de oplossing verandert. We kunnen ook een gevoeligheidsanalyse plegen op de rechterleden van de restricties. Het wijigen van de rechterleden van de restricties komt neer op het meer of minder ter beschikking hebben van personeel en/of grondstoffen. We merken eerst op dat als we een rechterlid wijigen en de basis blijft een toelaatbare oplossing, dee oplossing ook optimaal is, omdat de coëfficiënten in de -rij onveranderd ijn gebleven. Veronderstel dat we in de grondstof--restrictie in het eerste Simplex-tableau het rechterlid veranderen in + G. Voor dee rij hebben we x 6 als spelingsvariabele ingevoerd. Uit het laatste Simplex-tableau blijkt echter dat x 6 in de basis it, dus verandert de waarde van x 6 ook met G en wordt dus + G. De huidige oplossing blijft toelaatbaar olang G + is, odat moet gelden: G. Veronderstel nu dat we in de personeelsrestrictie het rechterlid in het eerste tableau vervangen door + P. Welke waarden kan P nu aannemen, odanig dat de oplossing toch toelaatbaar blijft? Om dee vraag te beantwoorden merken we op dat gedurende de Simplex-iteraties de manipulaties met dit rechterlid deelfde ijn als met de coëfficiënt van x in het rechterlid. Het laatste Simplex-tableau komt er dan dus uit te ien oals weergegeven in tabel. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten
Tabel Laatste tableau Basis x x x x x x 6 x RL x x 6 6 x 6 6 + P + P 6P P Voor een toelaatbare oplossing moet gelden dat de rechterleden allemaal nietnegatief ijn. Voor de waarde van P vinden we dan: P. 6 Als we dus met ons personeelsbestand tussen en blijven, dan produceren we in de optimale situatie toch alleen nog maar de producten en. Merk op dat als P =, de waarde van de doelfunctie met stijgt. We hebben dee waarde leren kennen als de schaduwprijs van de betreffende restrictie, hier in dit voorbeeld dus de schaduwprijs van de personeelsrestrictie. Ook de coëfficiënten van de restricties kunnen natuurlijk worden gevarieerd. Dee coëfficiënten eggen iets over de efficiency waarmee wordt geproduceerd. Gevoeligheidsanalyse op dee coëfficiënten is niet moeilijk, olang het maar nietbasisvariabelen betreft, in dit voorbeeld dus de variabelen x en x. Veronderstel dat we de coëfficiënt van x in de grondstof--restrictie veranderen van in + A, met A opnieuw niet-negatief. Dit betekent dus eigenlijk dat we veronderstellen meer grondstof nodig te hebben per eenheid x die we produceren. Wil de huidige oplossing optimaal blijven, dan moet ook de bijbehorende duale beperking geldig blijven, dus moet gelden: y + y + ( + A)y. Na substitutie van de optimale duale oplossing in voorgaande relatie vinden we dan: A. Wolters-Noordhoff bv Groningen/Houten