Les 6 Toepassing van de Forier transformatie 6. Belangrijke voorbeelden We zllen in deze les een aantal belangrijke Forier transformaties expliciet berekenen. Rechthoek impls Zij f(t) een rechthoek impls van sterkte tssen de tijden a en a, ds { als t a f(t) := als t > a dan berekenen we de Forier getransformeerde F () := F[f(t)] als volgt: F () = f(t)e it dt = = e ia e ia = i a a e it dt = i e it a a = i (e ia e ia ) sin(a) = sin(a) Om de Forier getransformeerden voor verschillende breedten van de impls goed te knnen vergelijken, is het handig als we de integraal f(t) dt tot normeren, hiervoor moeten we naar een impls van sterkte a in plaats van kijken. Omdat de Forier transformatie een lineaire afbeelding is, hoeven we n niet opniew te rekenen, we moeten het resltaat alleen maar met a vermenigvldigen. De fnctie g(t) met g(t) := { a heeft ds de Forier getransformeerde als t a als t > a G() = F[g(t)] = a sin(a) = sin(a) a. We zien dat de parameter a van de rechthoek impls bij de Forier getransformeerde de rol van een schaling van de -as speelt: Als we a verdbbelen, moeten we de -as met een factor samen schiven. Dit betekent in het bijzonder dat voor een grotere waarde van a, ds een langere impls, de Forier getransformeerde met stijgende freqenties sneller afneemt als voor en kleinere waarde van a. Dit zoden we ook zo verwachten, want een korte impls geeft een snelle verandering en heeft ds met hogere freqenties te maken. In Figr I.9 zijn de Forier getransformeerden van een rechthoek impls voor a = en a = 4 te zien. Het valt op dat de getransformeerde van de langere impls met a = 4 didelijk sneller afneemt. 66
- - - - Figr I.9: Forier getransformeerden van rechthoek implsen met a = (links) en a = 4 (rechts). Driehoek impls Zij f(t) een driehoek impls die tssen de tijden a en lineair van tot groeit en tssen en a weer lineair naar daalt, ds { t f(t) := a als t a als t > a De Forier getransformeerde F () van f(t) is F () = f(t)e it dt = a ( + t a )e it dt + a ( t a )e it dt. Dit lossen we met partiële integratie op, de primitieve van e it is de afgeleide van ± t a is ± a. Voor de eerste integraal volgt hierit a ( + t a )e it dt = ( + t a ) i e it a = i + a i = i + a a a a a i e it dt e it dt = i a (i) e it a eia Net zo krijgen we voor de tweede integraal a ( t a )e it dt = ( t a ) i e it a = + i a a e it dt = i = i a e ia + a 67 a i + a a i e it dt (i) e it a i e it en
Als we de twee integralen bij elkaar optellen, krijgen we ds F () = i + a a eia + i a e ia + a = a ( eia e ia ). Met een klein trcje knnen we dit nog iets eenvodiger schrijven, er geldt namelijk Hierit volgt (e i a e i a ) = e ia + e ia = ( e ia e ia ) sin ( a ) = (ei a e i a i ) = 4 ( eia e ia ) en als we dit met de formle van F () vergelijken, hebben we iteindelijk: F () = 4 a sin ( a ) = a ( a ) sin ( a ( sin( a ) = a ) ) a. Als we ook bij deze fnctie de integraal f(t) dt op normeren, moeten we f(t) met a vermenigvldigen, dit geeft de fnctie g(t) := a t ( ) voor t a en g(t) = elders. a Deze heeft als Forier getransformeerde ( sin( a F[g(t)] = ) a ds speelt ook hier de parameter a de rol van een schaling van de -as. ) - - Figr I.: Forier getransformeerden van driehoek implsen met a = (links) en a = 4 (rechts). Ook de plaatjes van de Forier getransformeerden van de driehoek impls in Figr I. laten didelijk zien dat bij de kortere impls voor a = de hogere freqenties een grotere rol spelen dan bij de impls voor a = 4. 68
Gass fnctie Een belangrijke rol bij de Forier transformaties wordt door de Gass fncties e ax gespeeld, die we in verband met de normaalverdeling ook in de kansrekening en statistiek tegen komen. De opmerkelijke eigenschap van deze fnctie ten opzichte van de Forier transformatie is, dat de Forier getransformeerde weer een fnctie van dezelfde soort is. Om dit na te gaan hebben we wel een resltaat over de integraal van tot van de Gass fnctie nodig, namelijk: e x dx = π en e at dt = π a waarbij de tweede integraal met de sbstittie a t = x, a dt = dx it de eerste volgt. Voor een Gass fnctie f(t) := e at met a > geldt voor de Forier getransformeerde F () := F[f(t)]: F () = e at e it dt = e a(t +i a t) dt = e a(t+i a ) e a(i a ) dt = e 4a e a(t+i a ) dt = e 4a e aτ π dτ = a e 4a waarbij we in de voorlaatste stap de sbstittie τ = t + i a, dτ = dt toepassen. Dit resltaat betekent dat de Forier getransformeerde van een Gass fnctie ook weer een Gass fnctie is. De Gass fnctie van een normaalverdeling met standaardafwijking σ is f(t) = e t σ, ds moeten we a = in ons resltaat invllen. Dit geeft σ π a = π σ en, ds geldt: 4a = σ f(t) = e t σ F () = F[f(t)] = π σ e σ. De Forier getransformeerde van een normaalverdeling met standaardafwijking σ is ds een normaalverdeling met standaardafwijking σ = σ. In het bijzonder heeft de Forier getransformeerde van een normaalverdeling met standaardafwijking zelf ook standaardafwijking. Eindige cosins golf We kijken naar een cosins fnctie op het eindige interval [ a, a], ds { cos(ωt) als t a f(t) := als t > a 69
De Forier getransformeerde is F () = a f(t)e it dt = a a a cos(ωt)e it dt = a a (eiωt + e iωt )e it dt = e i( ω)t dt + e i(+ω)t dt a a = i( ω) e i( ω)t a a + i( + ω) e i(+ω)t a a = ω ( e i( ω)a e i( ω)a) i + ω (e i(+ω)a e i(+ω)a) i sin(a( ω)) sin(a( + ω)) = + ω + ω Als we dit resltaat met de Forier getransformeerde van een rechthoek impls vergelijken, zien we dat die de som van twee Forier getransformeerden van die soort is, waarvan een om ω naar rechts en de andere om ω naar links is verschoven. Maar net zo als een verschiving in het tijd domein om t met een vermenigvldiging van de Forier getransformeerde met e it correspondeert, correspondeert een verschiving van een Forier getransformeerde om ω in het freqentie domein met een vermenigvldiging met e iωt in het tijd domein. Maar als we een rechthoek impls met e iωt vermenigvldigen, krijgen we de fnctie e iωt op een eindig interval, en door een keer om ω en een keer om ω te verschiven krijgen we e iωt + e iωt = cos(ωt) op een eindig interval, en dit is precies waarmee we zijn begonnen 4 3 - - - - Figr I.: Forier getransformeerden van eindige cosins golven met freqentie ω = π op het interval [ a, a] voor a = (links) en a = 4 (rechts). Exponentiële afname Een exponentiële afname wordt door de fnctie { e at als t f(t) := als t < a > 7
beschreven. Hierbij is de afname om zo sneller hoe groter de parameter a is. Als Forier getransformeerde hiervan hebben we F () = f(t)e it dt = e at e it dt = = i + a e (i+a)t = i + a = a i + a = e (i+a)t dt a + a i + a want voor t gaat e t en ds ook e (i+a)t = e i+a e t. Om ook in dit geval verschillende parameters a goed te knnen vergelijken, normeren we f(t) dt weer op, hiervoor moeten we e at met a vermenigvldigen, want e at dt = a e at = a. De fnctie g(t) := ae at als t en g(t) := als t < heeft ds de Forier getransformeerde G() = a ia a a met reëel deel R(G()) = + a +. - - Figr I.: Forier getransformeerden van exponentiële afname met a = (links) en a = 4 (rechts). Ook hier is in de plaatjes van Figr I. didelijk te zien dat de snellere afname voor a = 4 een grotere bijdrage van hoge freqenties tot gevolg heeft. Omdat we het hier eigenlijk met een fnctie te maken hebben, die alleen maar voor positieve tijden gedefinieerd is, is dit een typisch geval om de Forier cosins transformatie F c () = f(t) cos(t) dt 7
toe te passen. Hiervoor hebben we weer een partiële integratie nodig: e at cos(t) dt = e at sin(t) ( a)e at sin(t) dt = e at sin(t) + a e at sin(t) dt = e at sin(t) + a (e at ( ) cos(t) ( a)e at ( ) ) cos(t) dt = e at sin(t) a e at cos(t) a e at cos(t) dt Met + a = +a volgt hierit ( F c () = e at cos(t) dt = a + e at sin(t) a ) e at cos(t) ( = e at a + sin(t) ae at cos(t) ) = a a + want voor t gaat e at sin(t) ae at cos(t). De Forier cosins transformatie levert ds inderdaad het reële deel van de complexe Forier transformatie op (maar eist wel behoorlijk meer rekenwerk). Dirac δ-fnctie Een knstmatige maar iterst belangrijke fnctie is de Dirac δ-fnctie of δ- impls. Deze fnctie is overal, behalve van een oneindige spits in het nlpnt en is gedefinieerd door de eigenschap dat de integraal van tot de waarde heeft. We knnen dit zien als limiet van een rechthoek impls op het interval [ a, a] van sterkte a, waarbij men a laat gaan. Deze fnctie wordt aangegeven met δ(x). De wezenlijke eigenschappen van de δ-impls zijn: δ(x) dx = en f(x)δ(x x ) dx = f(x ). De tweede eigenschap gaat men na door de δ-fnctie door een rechthoek impls te benaderen en de limiet δ te laten gaan: Een rechthoek impls van breedte δ rond een pnt x is gegeven door de fnctie { r δ (x) := δ als x [x δ, x + δ ] als x [x δ, x + δ ] We veronderstellen n dat we een primitieve van f(x) kennen, ds een fnctie F (x) met F (x) = f(x). Er geldt n f(x)r δ (x) dx = x + δ x δ f(x) δ dx = δ F (x) x + δ x δ = F (x + δ ) F (x δ ) δ Maar de laatste qotiënt is jist de differentiaalqotiënt waarmee de afgeleide van F (x) in het pnt x δ gedefinieerd is, ds gaat deze qotiënt voor δ naar F (x δ ) = F (x ) = f(x ). 7
Wat de eigenschap f(x)δ(x x ) dx = f(x ) in feite betekent is dat het convoltie prodct van een fnctie f(x) met de δ-fnctie met spits in het pnt x de waarde van f(x) in dit pnt oplevert. Hierit volgt meteen wat de Forier getransformeerde van de δ-fnctie is, namelijk: F () = δ(t)e it dt = e i = Dit zegt dat de Forier getransformeerde de constante fnctie met waarde voor alle is. De inverse Forier transformatie geeft n een alternatieve schrijfwijze voor de δ-fnctie, namelijk δ(t) = F [] = π e it d = e it d. π Voor de δ-fnctie δ(t t ) met spits in t vinden we met de formle voor een verschoven fnctie (of direct) dat F[δ(t t )] = e it. De samenhang F[F[f(t)]] = πf( t) tssen Forier transformatie en inverse Forier transformatie geeft n ook de mogelijkheid om de Forier transformatie van constante fncties te berekenen. We hadden gezien dat F[δ(t)] =, en als we de variabel t tot hernoemen, volgt hierit: F[] = F[F[δ()]] = π δ( ) = π δ() omdat de δ-fnctie met spits in = een even fnctie is. Als we in de relatie F[δ(t t )] = e it voor de verschoven δ-fnctie de variabelen hernoemen tot t, t ω, t lidt deze F[δ( + ω)] = e iωt en met hetzelfde argment als boven volgt: F[e iωt ] = F[F[δ( + ω)]] = π δ( + ω) = π δ( ω), waarbij we weer it symmetrie redenen weten dat δ( + ω) = δ( ω). Samenvattend geeft dit de twee paren van relaties: F[δ(t)] = F[δ(t t )] = e it F[] = π δ() F[e iωt ] = π δ( ω). Met de gewone theorie van integralen is het eigenlijk onzin naar een integraal als eit d te kijken, want de limiet L van L L eit d bestaat niet. Om hier wel na te knnen kijken, moeten we noodzakelijk een niewe fnctie met de eigenschappen van de δ-fnctie definiëren. Dit is een verder voorbeeld van een definitie die door de wiskndigen (en natrkndigen) is verzonnen, om it een doodlopende straat te ontsnappen. 73
Omdat we gezegd hebben, dat we de δ-fnctie als limiet van een rechthoek impls met oppervlakte knnen zien, knnen we n nog eens kijken of de net gevonden Forier transformaties ook interpreteerbaar zijn als limieten van de Forier transformaties voor de rechthoek implsen. De Forier getransformeerde van een rechthoek impls van breedte a was F () = sin(a) a. Deze fnctie heeft voor = de waarde en de nlpnten zijn gegeven door a = kπ met k Z, ds = kπ a. In het bijzonder ligt het kleinste positieve nlpnt bij = π a. Als we n de limiet a bekijken, betekent dit dat de eerste nlpnt naar oneindig gaat, ds de hevel rond = wordt steeds breder en in de limiet wordt de hevel helemaal plat en wordt de fnctie F () de constante fnctie. Omgekeerd laten we n eens voor een rechthoek impls van sterkte en breedte a de parameter a lopen. Deze rechthoek impls heeft de Forier getransformeerde F () = sin(a) = a sin(a) a en voor a wordt de fnctie sin(a) a en spits van hoogte in het nlpnt, ds wordt F () inderdaad een δ-fnctie. (Dat de constanten hierbij kloppen moet men met een integratie nagaan.) We zien ds dat de knstmatige definitie van de δ-fnctie tenminste ten opzichte van de Forier transformatie de goede eigenschappen heeft. Periodieke fncties Met behlp van de δ-fnctie knnen we n ook de Forier transformaties van periodieke fncties bepalen. Een periodieke fnctie f(t) met periode L en grondfreqentie ω = π L knnen we schrijven als Forier reeks f(t) = c k e iωkt. Uit de lineariteit van de Forier transformatie en de resltaten voor de δ-fnctie volgt F () = F[f(t)] = c k F[e iωkt ] = c k δ( ωk) (waarbij we ons geen zorgen over de oneindige som maken). Dit betekent dat we een periodieke fnctie beschrijven door een som van δ-fncties met spitsen op de veelvoden van de grondfreqentie en geschaald volgens de Forier coëfficiënten. In feite is deze beschrijving van een periodieke fnctie niets anders dan de beschrijving door de Forier reeks. Als we n nog eens terg kijken naar de Forier transformaties van eindige cosins golven in Figr I., zien we dat de fnctie voor a = 4 al twee didelijke spitsen heeft. Als we het interval [ a, a] van de cosins golf n laten groeien, worden deze spitsen steeds geprononceerder en voor a krijgen we iteindelijk de som van twee δ-fncties met spitsen in ω en ω. Sprong N dat we de δ-fnctie kennen en de Forier getransformeerde hiervan hebben bepaald, knnen we ook naar fncties met een sprong kijken. Het eenvodigste 74
voorbeeld hiervan is de fnctie f(t), gegeven door { als t < f(t) := als t Omdat voor de Dirac δ-fnctie geldt dat t t δ(x) dx = als t < en δ(x) dx = als t >, is f(t) een primitieve van de δ-fnctie. Omgekeerd betekent dit dat f (t) = δ(t). Dit is een verdere motivatie om een fnctie zo als de δ-fnctie te definiëren. We hadden in de vorige les gezien dat F[f (t)] = if[f(t)], maar omdat we het hier met de δ-fnctie te maken hebben, moeten we iets voorzichtig zijn. Er geldt f(t) + f( t) = (behalve voor t = ). Hierit volgt dat F[f(t)] + F[f( t)] = F[] = πδ(). Maar voor F () = F[f(t)] is F[f( t)] = F ( ), ds hebben we F () + F ( ) = πδ(). We schrijven n dan geldt F () = kδ() + G() πδ() = F () + F ( ) = kδ() + G() + kδ( ) + G( ) = kδ() + G() + G( ) omdat de δ-fnctie een even fnctie is. Hierit volgt dat k = π en dat G() = G( ), ds moet G() een oneven fnctie zijn. Er geldt n = F[δ(t)] = F[f (t)] = if[f(t)] = if () = iπδ() + ig(). Men kan aantonen dat δ() =, ds volgt hierit dat G() = i. Bij elkaar genomen hebben we ds voor de sprong fnctie f(t) dat 6. Filters F[f(t)] = πδ() + i. Het idee bij een filter is dat we zekere freqentieaandelen in een signaal willen versterken en andere onderdrkken. Dit gebert typisch door de Forier getransformeerde met een geschikte fnctie te vermenigvldigen en het resltaat met de inverse Forier transformatie terg naar het tijd domein te transformeren: Een fnctie f(t) met F[f(t)] = F () veranderen we in het freqentie domein met behlp van de filter fnctie H() tot G() = F () H() en krijgen hierit het gefilterde signaal F [G()] = f(t) h(t), waarbij h(t) de inverse Forier transformatie van H() is. In Figr I.3 is een voorbeeld van de toepassing van een low pass en een high pass filter op een satelliet opname te zien. Bij een low pass filter worden de lage freqenties doorgelaten en de hoge onderdrkt en bij een high pass filter is het omgekeerd, de lage freqenties worden onderdrkt en de hoge doorgelaten. Het effect is, dat met een low pass filter het grove patroon van een signaal 75
Figr I.3: Origineel, low pass en high pass gefilterd versie van een satelliet foto. hetzelfde blijft, maar de scherpe contrasten tot een meer geleidelijke overgang verzacht worden. Omgekeerd benadrkt een high pass filter alleen maar de scherpe contrasten, terwijl bijvoorbeeld de informatie over de intensiteit van het signaal verloren gaat. Zo is in het rechterplaatje niet meer te achterhalen of een gebied in het origineel licht of donker grijs is, maar wel heel didelijk waar de grijstonen sterk veranderen. Belangrijke typen van filters zijn: () Low pass filter: De lage freqenties corresponderen met de grove kenmerken over grotere gebieden. Een filter die deze freqenties benadrkt en hogere freqenties onderdrkt heet een low pass filter. In de beeldverwerking zal zo n filter een zachter beeld tot gevolg hebben, waarbij de scherpe contrasten afgezwakt zijn. () High pass filter: De hoge freqenties corresponderen met snelle veranderingen. Een filter die lage freqenties onderdrkt en hoge freqenties benadrkt heet high pass filter. Bij de beeldverwerking worden hierdoor scherpe contrasten, zo als knikken benadrkt en hierdoor kan een beeld scherper lijken. Figr I.4: Origineel, low pass en high pass gefilterd versie van een eenvodig plaatje. (3) Gass filter: We hebben gezien dat een Gass fnctie de mooie eigenschap heeft dat ook zijn Forier getransformeerde weer een Gass fnctie is. 76
Dit maakt het omschakelen tssen tijd en freqentie domein bijzonder eenvodig. Met H() = A e σ krijgt men een low pass filter waarbij de parameter σ (de standaardafwijking) aangeeft, hoe breed de filter is, d.w.z. voor een grotere σ worden meer freqenties doorgelaten, terwijl een kleine σ bijna alle freqenties wegdraait. Een Gass high pass filter krijgt men in het eenvodigste geval als verschil van een constante fnctie en een Gass low pass filter, namelijk als H() = A( e σ ). Algemener neemt men vaak het verschil van twee Gass fncties met parameters σ en ρ: H() = A e σ B e ρ. (4) Notch filter: In het pnt = geeft de Forier getransformeerde het gemiddelde F () = f(t) dt van de fnctie f(t) aan. Door dit op te zetten, wordt bijvoorbeeld de helderheid van plaatjes genormeerd. De hiervoor benodigde filter heeft in het freqentie domein de fnctie H() = en H() = voor. Om hiervan een contine fnctie te maken moeten we rond = een scherpe dip hebben. In principe knnen we hiervoor een high pass filter nemen, die alleen maar de freqenties heel dicht bij = onderdrkt. Een mogelijkheid hiervoor is een Gass high pass filter H() = e σ met een kleine waarde van σ. Maar ook een fnctie zo als H() = (a) +(a) met een grote waarde van a is geschikt. - -.5.5 - -.5.5 Figr I.5: (a) +(a). Notch filters, links Gass high pass filter, rechts met fnctie Voorbeeld: Rechthoek impls We kijken naar een rechthoek impls f(t) van breedte en sterkte, hiervoor hebben we in het begin van deze les al de Forier getransformeerde bepaald, namelijk F () = sin( ). De kleinste positieve nlpnt van F () is π, zo als ook in het middelste plaatje van Figr I.6 te zien is. 77
- - - - - t Figr I.6: Rechthoek impls, Forier getransformeerde en Gass low pass en high pass filters We gaan n een Gass low pass en high pass filter op dit signaal toepassen en kiezen hiervoor (enigszins willekerig) de filter fnctie H l () = e π. De breedte van de Gass fnctie H l () is zo gekozen, dat bij het minimm van F () op = 3π de filter fnctie ongeveer bij.5 zit. Als high pass filter kiezen we H h () = H l () = e π. De twee filter fncties zijn in het rechterplaatje van Figr I.6 te zien. y y - - - - Figr I.7: Prodct van Forier getransformeerde met Gass low pass en high pass filters Het idee bij een filter is dat we zekere freqenties onderdrkken, hiervoor vermenigvldigen we de Forier getransformeerde met de filter fnctie. Voor de low pass filter krijgen we zo de fnctie G l () = F () H l () en voor de high pass filter G h () = F () H h (). De fncties G l () en G h () zijn in Figr I.7 te zien en het is didelijk hoe de low pass filter de hevels in de Forier getransformeerde F () onderdrkt, behalve van de hoofdspits in =. Omgekeerd verdwijnt bij de high pass filter deze hoofdspits helemaal, terwijl de andere maxima en minima voor hogere freqenties didelijk zichtbaar blijven. Het gefilterde signaal krijgen we n als inverse Forier transformatie van het 78
- - t - - - - t Figr I.8: Inverse Forier transformatie van het prodct met de filter fncties geeft de gefilterde signalen prodct van de Forier getransformeerde en de filter fnctie in het freqentie domein, ds het low pass gefilterde signaal is f l (t) = F [F () H l ()] en het high pass gefilterde signaal is f h (t) = F [F () H h ()]. Deze signalen zijn in Figr I.8 te zien. Het is didelijk dat de low pass filter het signaal grofweg bewaart, maar de scherpe knikken tot ronde bochten verzacht. In tegenstelling hiermee geeft het high pass gefilterde signaal aan, waar het signaal sterk verandert, namelijk in de pnten t = ±.5 van de knikken. In het pnt t = waar het signaal de grootste intensiteit heeft, geeft de high pass filter zelf de waarde, want hier veranderd de signaal niet. Dit is in overeenstemming met de waarnemingen bij Figr I.3: Als de grijs-intensiteit op een gebied nawelijks veranderd, geeft de high pass filter steeds eenzelfde grijs-klering, onafhankelijk of het origineel in dit gebied licht of donker grijs is. Het feit dat H l () + H h () = heeft tot gevolg dat F () = F () H l () + F () H h () en hierit volgt dat f(t) = F [F ()] = F [F () H l ()] + F [F () H h ()]. Dit betekent dat in dit geval het originele signaal de som van het low pass gefilterde signaal en het high pass gefilterde signaal is. Voorbeeld: Driehoek impls We kijken op een soortgelijke manier naar het voorbeeld van een driehoek impls f(t) tssen en die in t = de sterkte heeft.. Hiervoor hadden we als ( sin( ) Forier getransformeerde de fnctie F () = ) bepaald. In dit geval passen we een scherpere low pass filter toe, die al op de freqentie = π waar F () het kleinste positieve nlpnt heeft een waarde van ongeveer.5 heeft. Hiervoor kiezen we H l () = e π. Net zo als in het voorbeeld van de rechthoek nemen we als high pass filter het verschil H l (), ds H h () = e π. 79
- - - - t Figr I.9: Driehoek impls, Forier getransformeerde en Gass low pass en high pass filters y y - - Figr I.3: Prodct van Forier getransformeerde met Gass low pass en high pass filters Als we in dit geval naar de prodcten van de Forier getransformeerde F () met de filter fncties kijken, zien we didelijk dat de low pass filter alleen maar de hoofdspits doorlaat en de rest van de Forier getransformeerde onderdrkt. Interessant is hier het prodct met de high pass filter. De fnctie F () heeft het eerste positieve maximm bij = 3π, maar in het rechterplaatje van Figr I.3 is didelijk te zien dat het prodct F () H h () in = π al een maximm heeft. Met het blote oog is dit verschil tssen de hoofdspitsen van F () en F () H l () nawelijks te zien omdat de absolte hoogte van de spits overweegt. Maar de inverse Forier transformatie van de prodcten in het freqentie domein maakt didelijk dat de sbtiele verschillen een belangrijke effect op het signaal hebben. In het linkerplaatje van Figr I.3 zien we dat de low pass filter de vorm van de driehoek impls ongeveer bewaart, maar wel de knikken behoorlijk verzacht. Dit is het gevolg van onze keze van een relatief scherpe low pass filter. Het high pass gefilterde signaal in het rechterplaatje laat didelijk de drie knikken van de driehoek impls bij t =, t = en t = zien. 8
.5..5 - - t -.5 - - t -. Figr I.3: Inverse Forier transformatie van het prodct met de filter fncties geeft de gefilterde signalen Belangrijke begrippen in deze les Forier getransformeerde van rechthoek impls Forier getransformeerde van Gass fncties zijn Gass fncties Dirac δ-fnctie low pass en high pass filters Opgaven 3. Zij f(t) de fnctie gegeven door f(t) := (i) Maak een schets van de fnctie. { t als t als t >. (ii) Bepaal de Forier getransformeerde F () = F[f(t)] van f(t). (iii) Maak een schets van de Forier getransformeerde F (). 3. Bepaal de Forier getransformeerden van (i) cos(ωt), (ii) sin(ωt). 3. Laat zien dat voor de signm fnctie, gegeven door { als t < f(t) := als t > geldt, dat F[f(t)] = i. 8