Twee kegelsneden en een driehoek Dick Klingens juni 2005 We gaan in hetgeen volgt steeds uit van twee kegelsneden S en S' en van een driehoek ABC die beschreven is in S (een ingeschreven driehoek van S) en die zelfgeconjugeerd is met S'. Figuur 1 N.b. Een driehoek is zelfgeconjugeerd (zelftoegevoegd, autopolair) met een kegelsnede, als elk hoekpunt van de driehoek de pool is van de overstaande zijde van dat hoekpunt bij die kegelsnede (zie figuur 1). We bewijzen nu allereerst: Stelling 1. Als een driehoek in een kegelsnede beschreven is én de driehoek is zelfgeconjugeerd met een tweede kegelsnede, dan zijn er oneindig veel van die driehoeken met die eigenschappen. Figuur 2 Bewijs: zie figuur 2. Zij A' een (willekeurig) van A verschillend punt op S. De poollijn a' van A' bij S' snijdt S in B' en C' en snijdt S' in P en Q. Duidelijk is nu dat A'B'C' beschreven is in S. We zullen aantonen dat A'B'C' zelfgeconjugeerd is bij S'. Zij verder a' /\ BC = X en a' /\ AA' = X'. Nu is X de pool van AA' bij S'; immers, X ligt op de poollijn BC van A en X ligt op de poollijn a' van A' (beide bij S'). Dan zijn X en X' toegevoegde punten bij S', zodat (PQXX') = -1 (per definitie). Op dezelfde wijze kunnen we ook bij BB' en CC' punten Y, Y' en Z, Z' op a' met (PQYY') = -1 en (PQZZ') = -1. [1] Copyright 2005 PandD Software - Rotterdam
P en Q zijn nu de dubbelpunten van een involutie op a' met paren (X, X'), (Y, Y'), (Z, Z'). Op B'C' een snijlijn van S wordt ook door de bundel kegelsneden bepaald door de punten A, B, C, A' een involutie geïnduceerd (volgens de involutie-stelling van Desargues). Die beide involuties zijn identiek. Omdat S tot bedoelde bundel behoort, geldt dus ook (PQB'C') = -1, waaruit volgt dat de poollijn van B' door C' gaat. B' ligt ook op de poollijn van A', zodat de poollijn van B' ook door A' gaat. Met andere woorden: de poollijn van B' bij S' is A'C'. Analoog kan worden bewezen dat A'B' de poollijn is van C' bij S'. Driehoek A'B'C' is dus zelfgeconjugeerd met S'. U We kunnen stelling 1 ook formuleren als: Stelling 2. Als twee driehoeken zelfgeconjugeerd zijn met een kegelsnede, dan liggen de zes hoekpunten van die driehoeken op een tweede kegelsnede. (Deze stelling wordt toegeschreven aan Jean-Victor Poncelet, Metz 1788 Parijs 1867.) Bewijs: Zijn ABC en A'B'C' zelfgeconjugeerde driehoeken met S'. Volgens stelling 1 is dan (B', C') een puntenpaar van de involutie die door de kegelsnedenbundel door A, B, C, A' wordt ingesneden op B'C'. Een kegelsnede door A, B, C, A', B' gaat dus ook door C'. U De omgekeerde stelling van stelling 2 luidt: Stelling 3. Als twee driehoeken beschreven zijn in een kegelsnede, dan is er een tweede kegelsnede waarmee beide driehoeken zelfgeconjugeerd zijn. Figuur 3 Bewijs: zie figuur 3. Zijn ABC en A'B'C' beschreven in de kegelsnede S. Verder: B'C' /\ BC = X, B'C' /\ AA' = Y, BC /\ AA' = X". Zijn nu P en Q de dubbelpunten van de involutie op B'C' bepaald door de puntenparen (B', C') en (X, X'), en zijn K en L de dubbelpunten van de involutie bepaald door de puntenparen (B, C) en (X, X"). We beschouwen nu de kegelsnede S' door de punten P, Q, K, L, die de lijn AK raakt in het punt K. We tonen aan dat ABC en A'B'C' zelfgeconjugeerd zijn met S'. Nu zijn (XX'PQ) = -1 en (XX"KL) = -1, zodat X'X" de poollijn is van X bij S'. De poollijnen van X en K bij S' gaan beide door het punt A, zodat XK (= BC) de poollijn is van A bij S'. Verder is (BCKL) = -1, zodat B en C geconjugeerde punten zijn bij S'. [2] Copyright 2005 PandD Software - Rotterdam
En dan is ABC zelfgeconjugeerd met S'. N.b. We kunnen stelling 1 nu niet gebruiken om A'B'C' ook zelfgeconjugeerd te verklaren met S', maar Zij nu A" de pool van B'C' bij S'. Wegens (B'C'PQ) = -1 zijn B' en C' geconjugeerde punten bij S'. Dus (wel) is driehoek A"B'C' zelfgeconjugeerd met S'. We tonen nu aan dat A" = A'. B'C' gaat door X, dus A" ligt op AA' (die lijn is immers de poollijn van X). Volgens stelling 2 liggen de hoekpunten van de driehoeken ABC en A"B'C' op een kegelsnede. Maar die kegelsnede is nu juist de kegelsnede S (immers S gaat door de vijf punten A, B, C, B', C'). Het punt A", liggend op AA' en op S, valt dus samen met A. Waarmee stelling 3 bewezen is. U Uiteraard gelden binnen de (projectieve) meetkunde ook de duale formuleringen van bovenstaande stellingen. Stelling 1d. Bij een kegelsnede met een omgeschreven driehoek die zelfgeconjugeerd is met een tweede kegelsnede, is een oneindig aantal van dergelijke omgeschreven driehoeken. Stelling 2d. Zijn twee driehoeken zelfgeconjugeerd met een kegelsnede, dan raken de zes zijden van die driehoeken aan een tweede kegelsnede. Stelling 3d. Als twee driehoeken beschreven zijn om een kegelsnede, dan is er een tweede kegelsnede waarmee beide driehoeken zelfgeconjugeerd zijn. Combinatie van deze stellingen geeft dan: Stelling 4. Als twee driehoeken beschreven zijn in een kegelsnede, dan raken hun zes zijden aan een tweede kegelsnede. En omgekeerd: als twee driehoeken beschreven zijn om een kegelsnede, dan liggen hun hoekpunten op een tweede kegelsnede. En vervolgens de belangrijke stelling: Stelling 5. (Sluitingsstelling van Poncelet) Is een driehoek beschreven in een kegelsnede én beschreven om een tweede kegelsnede, dan zijn er oneindige veel van die driehoeken. Figuur 4 [3] Copyright 2005 PandD Software - Rotterdam
Bewijs: zie figuur 4. De hoekpunten A, B, C, A', B', C' van twee willekeurige driehoeken liggen op een kegelsnede S. We kiezen twee punten, bijvoorbeeld A' en C, als toppen van lijnenwaaiers. Nu is er een projectieve afbeelding f van waaier A' op waaier C, en wel zo, dat f (A'A) = CA, f (A'C') = CC', f (A'B') = CB', f (A'B) = CB De afbeelding f induceert nu een projectieve afbeelding g van AB op B'C', waarbij: g(a) = P, g(x) = C', g(y) = B', g(b) = Q De lijnen AP, XC', YB', BQ omhullen dus een kegelsnede S' die ook raakt aan de dragers AB en B'C' van deze puntenrijen (immers S' raakt tevens aan de voortbrengenden; de kegelsnede is nu vastgelegd door 5 raaklijnen). Er is precies één kegelsnede die raakt aan AP, XC', YB', BQ en AB, namelijk de kegelsnede S'. Dus B'C' raakt ook aan S'. U Vervolgens geven we enkele toepassingen van het bovenstaande. Allereerst een drietal definities. Definities. - Een cirkel is een kegelsnede die gaat door de zogenoemde cirkelpunten. Dit zijn twee bijzondere punten, meestal aangegeven met I en J, op de oneigenlijke rechte. - Een parabool is een kegelsnede die raakt aan de oneigenlijke rechte. - Een brandpunt van een kegelsnede is een punt waardoor twee raaklijnen aan die kegelsnede bestaan die door I en J gaan. Nu hebben we: Stelling 6. De omcirkel (omgeschreven cirkel) van een om een parabool beschreven driehoek gaat door het brandpunt van die parabool. Figuur 5 Bewijs: zie figuur 5. Zij ABC een driehoek waarvan de zijden raken aan een parabool P. De driehoek FIJ is dan ook een driehoek die beschreven is om de parabool P, immers de lijn IJ (de oneigenlijke rechte l ) raakt aan P (dit is dus de 'projectieve' definitie van de parabool). De zes punten A, B, C, F, I, J liggen volgens stelling 4 op een kegelsnede. Maar omdat die kegelsnede gaat door de punten I en J, is die kegelsnede een cirkel. U En vervolgens [4] Copyright 2005 PandD Software - Rotterdam
Figuur 6 Definitie. Zij P een punt dat niet samenvalt met de hoekpunten van een driehoek ABC; zie figuur 6. De snijpunten A', B', C' van opvolgend de lijnen PA, PB, PC (P-cevianen) met BC, CA, AB vormen de ceviaan-driehoek A'B'C' van P bij driehoek ABC. De omcirkel van A'B'C' heet ceviaan-cirkel van P. Dan geldt: Stelling 7. Zijn A'B'C' en A"B"C" ceviaan-driehoeken van de punten P en P' bij een driehoek ABC die beschreven is in een kegelsnede S, én liggen P en P' eveneens op S, dan liggen de hoekpunten van A'B'C' en A"B"C" op een kegelsnede S'. Bewijs: Zie allereerst figuur 6. Vierhoek PBCA vormt een in S beschreven volledige vierhoek, waarvan A'B'C' de diagonaaldriehoek is. A'B'C' is daardoor zelfgeconjugeerd met S. Zie nu figuur 7. Figuur 7 De driehoeken A'B'C' en A"B"C" zijn dus beide zelfgeconjugeerd met S. De hoekpunten liggen dan volgens stelling 2 op een tweede kegelsnede S'.U En we hebben dan ook: Stelling 8. De zes hoekpunten van de ceviaan-driehoeken van twee punten bij een gegeven driehoek liggen op een kegelsnede. [5] Copyright 2005 PandD Software - Rotterdam
Bewijs: zie figuur 8. Figuur 8 Door de punten A, B, C, P en P' gaat een kegelsnede S. De beide ceviaan-driehoeken A'B'C' (van P) en A"B"C" (van P') zijn zelfgeconjugeerd met S. Volgens stelling 7 liggen de hoekpunten van die driehoeken dan op een kegelsnede S'.U Definities. - Een hyperbool is een kegelsnede die de oneigenlijke rechte in twee punten snijdt. - Het middelpunt van een kegelsnede is de pool van de oneigenlijke rechte bij die kegelsnede. - Twee rechte lijnen staan loodrecht op elkaar als hun snijpunten met de oneigenlijke rechte harmonisch liggen met de punten I en J. Stelling 9. Is een driehoek beschreven in een orthogonale hyperbool, dan gaat de ceviaan-cirkel van een op die hyperbool liggend punt door het middelpunt van die hyperbool. Figuur 9 Figuur 10 Bewijs: zie figuur 9 (en figuur 10). Driehoek ABC is beschreven in de kegelsnede S die de lijn l (de oneigenlijke rechte) snijdt in de punten H 1 en H 2. S is dus een hyperbool. De raaklijnen in die punten aan S (dat zijn de asymptoten van S) snijden elkaar in het middelpunt O van S. A'B'C' is de ceviaan-driehoek van P eveneens liggend op S bij driehoek ABC. Verder zijn de punten H 1 en H 2 zo op l gekozen dat (IJH 1 H 2 ) = -1, waardoor S een orthogonale hyperbool is. [6] Copyright 2005 PandD Software - Rotterdam
Nu is driehoek OIJ zelfgeconjugeerd met S; driehoek A'B'C' is dat ook (zie stelling 7). Volgens stelling 8 liggen de punten A', B', C', O, I, J dan op een kegelsnede S'. S' is dan per definitie een cirkel, immers S' gaat door I en door J. Waarmee stelling 9 bewezen is.u Gevolg. Zoals (wellicht) bekend ligt het hoogtepunt H van een driehoek op elke orthogonale hyperbool die door de hoekpunten van die driehoek gaat. Laten we nu het punt P samenvallen met dat punt H, dan vinden we: Stelling 10. Het middelpunt van een orthogonale hyperbool waarin een driehoek beschreven is, ligt op de negenpuntscirkel (Feuerbach-cirkel) van die driehoek. Figuur 11 Bewijs: zie figuur 11. De P-cevianen (H-cevianen) bij driehoek ABC (die beschreven is in een orthogonale hyperbool S) zijn nu de hoogtelijnen van die driehoek. A'B'C' is de voetpuntsdriehoek van ABC. De omcirkel daarvan is de zogenoemde negenpuntscirkel S' van ABC (met middelpunt Ne). Volgens stelling 9 gaat deze cirkel door O, het middelpunt van S. U Literatuur [1] H.S.M Coxeter: Projective Geometry. New York: Springer-Verlag Inc. (1987). [2] N.V. Efimov: Higher Geometry. Moskou: Mir Publishers (1980, vertaald uit het Russisch). [3] G. Huvent: Triangles autopolaires, applications à l'hyperbole équilatère. PDF-bestand (2000). Te downloaden via: http://www.cabri.net/abracadabri/coniques. [4] Dick Klingens: Absolute elementen in het projectieve vlak. Op: http://www.pandd.demon.nl/promeet/abselem.htm. [5] Dick Klingens: Pool en poollijn. Op: http://www.pandd.demon.nl/conics/poollijn.htm. [7] Copyright 2005 PandD Software - Rotterdam