Dag van wiskunde. Zaterdag 17 november Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad
|
|
- Karen Eva Hendriks
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Dag van wiskunde Zaterdag 7 november 007 Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad Inhoudstafel pagina. Verticale samenhang leerinhouden. Zwaartepunt van een driehoek werken met formule? 3. fstand van een punt tot een rechte werken met parametervoorstelling? 4. Inspiratie uit wiskunde-olympiades 5. Meetkundige problemen analytisch oplossen 6. Van goniometrische getallen naar analytische meetkunde 7. Meetkundige plaatsen nalytische Meetkunde Luc De Wilde
2 . nalytische Meetkunde van het vlak: tweede-derde graad SO-KSO-TSO ste leerjaar: ste graad -stroom.m. de graad: - punten in het vlak door middel van coördinaten bepalen - in het vlak evenwijdige, snijdende en loodrechte rechten herkennen en definiëren - eigenschappen in verband met evenwijdigheid en loodrechte stand van rechten verwoorden - de afstand van een punt tot een rechte definiëren - de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek definiëren en tekenen met behulp van een geodriehoek - een hoogtelijn en een zwaartelijn van een driehoek definiëren - hoogtelijnen en zwaartelijnen in een driehoek tekenen met behulp van een geodriehoek - straal, middellijn, koorde en middelpuntshoek in een cirkel herkennen en tekenen de leerjaar leerplan a - het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden - de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen alsook de omgekeerde van deze eigenschap bewijzen - het kenmerk van de bissectrices van een paar snijdende rechten verwoorden - de eigenschap van de bissectrices van een paar snijdende rechten bewijzen alsook de omgekeerde van deze eigenschap bewijzen - de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met behulp van de passer de leerjaar leerplan b - het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden - het kenmerk van de bissectrices van een paar snijdende rechten verwoorden - de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met behulp van de passer ste leerjaar SO, TSO/KSO (lpl a) de graad - algemene vergelijking van een rechte ( ax + by + c = 0 met a 0 of b 0 ) en verband leggen met de verwante eerstegraadsfunctie - stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden - problemen analytisch oplossen: vraagstukken, eigenschappen analytisch bewijzen (niet in SO 4u) - vectoren (niet in SO 4u, B IW, U elders TSO/KSO) nalytische Meetkunde Luc De Wilde
3 opmerking SO (5u): het vectorbegrip gebruiken om een vergelijking van een rechte op te stellen een rechte? parametervoorstelling van de leerjaar SO (5u) - loodrechte stand: scalair product (U), loodlijn, afstand van een punt tot een rechte, bissectrices van een rechtenpaar - de cirkel: vergelijking, raaklijn(en), snijpunt(en) van een cirkel en een rechte, snijpunt(en) van twee cirkels - problemen analytisch oplossen (afstand, loodrechte stand, cirkels) opmerking: in 4u enkel vergelijking cirkel ste leerjaar TSO (lpl b): - algemene vergelijking van een rechte ( ax + by + c = 0 met a 0 of b 0 ) en verband leggen met de verwante eerstegraadsfunctie - stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden - vraagstukken - vectoren (B 4+, U 4) ste leerjaar TSO (lpl c) - de leerjaar TSO/KSO (lpl d) - algemene vergelijking van een rechte ( ax + by + c = 0 met a 0 of b 0 ) en verband leggen met de verwante eerstegraadsfunctie - stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden - vraagstukken TSO/KSO (lpla) Vlakke analytische meetkunde 3 de graad - vectoren - loodrechte stand: scalair product (U), loodlijn, afstand van een punt tot een rechte, bissectrices van een rechtenpaar - de cirkel: vergelijking, raaklijn(en), snijpunt(en) van een cirkel en een rechte, snijpunt(en) van twee cirkels - problemen analytisch oplossen (afstand, loodrechte stand, cirkels) nalytische Meetkunde Luc De Wilde 3
4 Elementaire kegelsneden (verplicht IW, keuze elders) - Een ellips, een hyperbool en een parabool definiëren als een verzameling van punten. - De canonieke vergelijking opstellen van een ellips, een hyperbool en een parabool. - De vergelijking opstellen van de raaklijn in een punt van een ellips, een hyperbool en een parabool. - De vergelijking opstellen van de normaal in een punt van een ellips, een hyperbool en een parabool. - De vergelijking opstellen van de middellijn toegevoegd aan een richting. Krommen (keuze) - Meetkundige voorwaarden analytisch vertolken. - De baan van een punt in het vlak beschrijven met een stel parametervergelijkingen. - Een kromme tekenen als de poolvergelijking gegeven is. - Een kromme gegeven in poolcoördinaten omzetten naar zijn cartesiaanse gedaante en omgekeerd. SO (lpl a) nalytische Meetkunde (keuze) - De parabool, ellips en hyperbool als meetkundige plaatsen definiëren en hun eigenschappen gebruiken om meetkundige problemen op te lossen. - Poolcoördinaten gebruiken om krommen voor te stellen. - Parametervergelijkingen gebruiken om krommen te bestuderen. - Meetkundige plaatsen en krommen bestuderen door ze voor te stellen door een gepaste vergelijking. nalytische Meetkunde B (keuze) - Punten en rechten beschrijven t.o.v. een affiene en euclidische ijk - Meetkundige plaatsen en krommen bestuderen door ze voor te stellen door een gepaste vergelijking - Punten en rechten beschrijven in het gecompleteerde vlak - ffiene eigenschappen van kegelsneden in het gecompleteerde vlak onderzoeken en toepassen - Euclidische eigenschappen van kegelsneden onderzoeken en toepassen nalytische Meetkunde Luc De Wilde 4
5 . Zwaartepunt van een driehoek: werken met formule? - m.b.v. tekenprogramma kunnen leerlingen exploratieopdracht uitvoeren zwaartepunt_numeriek.fig - elke leerling kan zijn/haar zwaartepunt berekenen - is er een verband tussen de coördinaten van het zwaartepunt en de coördinaten van de hoekpunten van de gegeven driehoek? - leerkracht kan, m.b.v. symbolisch programma, dit verband aantonen Beschouw hiertoe zo algemeen mogelijk een driehoek BC met ( a b) ; B( c, d ) en C( e,f ),. De drie zwaartelijnen gaan respectievelijk door c + e d + f a + e b + f a + c b + d ( a, b) en D, ; B( c, d ) en E, ; C( e, f ) en F,. In dit bewijs maken we bewust gebruik van een cartesiaanse vergelijking van een rechte y y x x = x x y! door twee punten in de vorm ( )( ) ( )( ) Men toont dan aan dat a + c + e b + d + f Z, 3 3 y. Zie zwaartepunt.dfw nalytische Meetkunde Luc De Wilde 5
6 3. fstand van een punt tot een rechte: werken met parametervoorstelling? Numeriek Bepaal de afstand van het punt (,) Methode : klassieke methode P tot de rechte r x + y + 3 = 0 of y = x 3. Methode Stel Q ( t, t 3) het voetpunt van de loodlijn uit P op r. t 5 t Het punt Q heeft dan coördinaten 9 3, 5 5. Er geldt dat PQ loodrecht staat op r en dus is ( ) = De gevraagde afstand is PQ = + + = waaruit 9 t =. 5 Methode 3 Deze methode steunt op de afstand als minimale afstand : Q t, t 3 het voetpunt van de loodlijn uit P op r. Stel terug ( ) = ( t) + ( 5 + t) = 5t + 8t + 6 PQ. PQ is minimaal van zodra dat PQ minimaal is (en omgekeerd). 8 9 Nu is 5t + 8t + 6 minimaal voor t = =. 0 5 Het vervolg is analoog als hierboven. Veralgemening tot uc + vd + w u + v Bepaal de afstand van het punt ( c d ) Stel Q ( t at + b) P, tot de rechte r y = ax + b, het voetpunt van de loodlijn uit P op r. at + b d Er geldt dat PQ loodrecht staat op r en dus is a = waaruit t c ad ab + c a d + ac + b Het punt Q heeft dan coördinaten,. a + a + De gevraagde afstand PQ = = ad ab a a + a c ac + b d + a + ( ac + b d ) + ( ac + b d ) ( a +) ad ab + c t =. a + nalytische Meetkunde Luc De Wilde 6
7 = = ( ac + b d ) a + ac + b d () a + Is een vergelijking van de rechte gegeven in de vorm ux + vy + w = 0 met v 0 u w c d u w v v uc + vd + w (dus y = x ) dan wordt () herleid tot = = (). v v u u + v + v Is een vergelijking van de rechte van de vorm ux + w = 0 (de rechte is dan verticaal), dan kan men gemakkelijk aantonen dat () geldig blijft. Een analoge opmerking geldt indien de rechte een horizontale stand aanneemt ( vy + w = 0 ). nalytische Meetkunde Luc De Wilde 7
8 4. Inspiratie uit wiskunde-olympiades Voorbeeld : R vraag 9 Gegeven het vierkant hiernaast. Wat geldt er voor de oppervlakten, B en C? Multiple choice open vragen? Synthetisch analytisch? Voorbeeld : 90-9 R vraag Voorbeeld 3: R vraag 8 nalytische Meetkunde Luc De Wilde 8
9 Voorbeeld 4: 90-9 R vraag 9 Voorbeeld 5: R vraag 3 opgave aanpassen? Voorbeeld 6: R vraag nalytische Meetkunde Luc De Wilde 9
10 Voorbeeld 7: R vraag 7 Voorbeeld 8: 0-0 R vraag 5 Voorbeeld 9: R vraag 0 enz nalytische Meetkunde Luc De Wilde 0
11 5. Meetkundige problemen analytisch oplossen Zwaartelijn in een rechthoekige driehoek: C in een rechthoekige driehoek is de zwaartelijn naar de schuine zijde half zo lang als de schuine zijde M B Middenparallel van een trapezium: het lijnstuk dat de middens van de nietevenwijdige zijden van een trapezium verbindt is evenwijdig met de twee evenwijdige zijden en half zo lang als hun som D C N M Eigenschappen van een vierhoek: eig_vierhoek().fig in een vierhoek zijn de middens van de diagonalen en het midden van het lijnstuk dat de snijpunten van de overstaande zijden verbindt collineair D M N C E B O F nalytische Meetkunde Luc De Wilde
12 de lijnstukken die de middens van twee opeenvolgende zijden van een willekeurige vierhoek verbinden vormen een parallellogram eig_vierhoek().fig D H E G C F B Opgelet met: Toon analytisch de stelling van Pythagoras aan!!! Projectie-eigenschap: Projecteer elk hoekpunt van een driehoek BC loodrecht op een willekeurig gekozen rechte r. Noem de loodrechte projecties respectievelijk, B en C. projectie-eigenschap.fig C Vanuit laat je de loodlijn a neer op BC, vanuit B laat je de loodlijn b neer op C en vanuit C laat je de loodlijn c neer op B. Stel vast dat de rechten a, b en c door één punt S gaan. Toon bovenstaande vaststellingen aan op analytische wijze. Doe dit voor driehoek BC met (-,5), B (8,3) en C (3,). Welke rechte kies je voor r? a' r B B' S C' c' ' b' Cirkel van Feuerbach Maak gebruik van een tekenprogramma om de volgende opdracht uit te voeren : - Teken een driehoek BC. - Bepaal de middens van de drie zijden ( P, P en P 3 ). - Bepaal de voetpunten van de drie hoogtelijnen ( P P P ) - Bepaal het snijpunt van de hoogtelijnen (H). - Bepaal de middens van [ H] [ BH] [ CH], en 6. 7, 8 en 9. - Toon aan dat de punten P, P,..., P9 op één cirkel liggen. Bepaal het middelpunt M en de straal r van deze cirkel. Men noemt de cirkel door de negen punten P, P,..., P9 de negenpuntscirkel van Feuerbach. 4 5, en. ( P P P ) nalytische Meetkunde Luc De Wilde
13 De vaststellingen die je met behulp van een tekenprogramma hebt gedaan kan je ook op analytische wijze aantonen. Doe dit voor driehoek BC met (-5,-3), B(,5) en C(7,3). cirkel van Feuerbach.fig H P4 P8 B P6 P9 P P7 M C P P3 P5 Cirkel van Feuerbach en kegelsneden: - lle kegelsneden die de drie hoekpunten van een driehoek BC en het snijpunt H van de hoogtelijnen bevatten, zijn orthogonale hyperbolen. - De meetkundige plaats van het middelpunt van de voorgaande hyperbolen is een cirkel. - Deze cirkel gaat door de middens van de zes zijden van de volledige vierhoek BCH en door de drie diagonaalpunten, namelijk B CH, BC C en C BH. Voor meer uitleg: zie cirkel van Feuerbach.dfw nalytische Meetkunde Luc De Wilde 3
14 Raaklijn aan een cirkel BCD is een vierkant met B = 60. P is een punt van [CD] zodat DP = 30. Q is een punt van [BC] zodat BQ = 0. raaklijn aan cirkel().fig Is de rechte PQ een raaklijn aan de cirkel met als middelpunt en straal 60? Veralgemening tot eigenschap? BCD is een rechthoek. P is een punt op [B] zodat D = P. Door P trekt men de rechte r evenwijdig met D. c is de cirkel met B als middelpunt en straal BC. Noem Q het snijpunt van r en c binnen de rechthoek BCD. raaklijn aan cirkel().fig Is de driehoek BQ rechthoekig in Q? gulden snede! Parabool en rechthoekige driehoek Men beschouwt een parabool met topvergelijking y px p,0 trekt men een rechte, niet evenwijdig met de as van de parabool, en die de parabool snijdt in de punten B en C. De rechte evenwijdig met de as door het midden van [ BC ] snijdt de topraaklijn in D. Toon aan dat de driehoek BD rechthoekig is. =. Door het punt ( ) ( p,0), BC y = m( x p). y = px B en C vinden we via y = m Bijgevolg is m ( x p) = px of ( m + ) x + m p = 0 ( x p) m x p. De som van de oplossingen van deze vergelijking is gelijk p ( m + ) p( m + ) p aan zodat x M = en y M =. m m m p Hieruit volgt dat D 0,. Rico D = en rico BC = m m m zodat beide rechten loodrecht op elkaar staan.. D parabool().fig B M F C nalytische Meetkunde Luc De Wilde 4
15 Parabool en concurrentie van rechten Beschouw een parabool met brandpunt F. De loodlijn l in F op de as van de parabool snijdt de parabool in de punten Q en R. De normaal in Q snijdt de parabool een tweede keer in S. Toon aan dat de raaklijn in Q, de evenwijdige door R aan de y-as en de raaklijn in S door één punt gaan. p P x = py, F 0,, d y = p snijdt de parabool in de punten p p Q p, en R p,. p - raaklijn t in Q: y = x, normaal n in Q 3p y = x +. x = py - snijpunten van n met de parabool: 3p y = x + Hieruit volgt dat x px 3p = 0. l y = p parabool().fig Q F R S Eén van de oplossingen (zie punt Q) is p zodat de andere oplossing 3p is. 9 p Bijgevolg is S 3p,. 9 p - raaklijn in S: y = 3x, de rechte door R en evenwijdig met de y-as: x = p. p y = x 3p Men toont gemakkelijk aan dat p, de enige oplossing is van x = p. 9 p y = 3x nalytische Meetkunde Luc De Wilde 5
16 Ellips en midden van een lijnstuk Op een ellips neemt men de toppen S en T op de grote as en een willekeurig punt P. De topraaklijn in S snijdt de rechte TP in U en de raaklijn in P aan de ellips in V. Bewijs dat V het midden is van [ SU ]. Neem bijvoorbeeld de ellips met als vergelijking x + y = 5 9. Stel P( 5 cost,3sin t). - topraaklijn in S : x = 5 x cost y sin t - raaklijn in P: + = 5 3 3sin t - rechte PT: y = ( x 5) 5cost cost - S ( 5,0), V 5, en sin t ellips().fig 6sin t 6 + cost U 5, of nog: U, cost sin t lternatieve oplossing ( ) 5. Hieruit volgt dat V het midden is van [ ] SU. Stel P ( c, d ) een punt van de ellips, dus c + d = topraaklijn in S : x = 5 - raaklijn in P: cx + dy = 5 9 d - rechte PT: y = ( x 5) c S ( 5,0) ( 5 + c) 0d, V 5, en U 5,. 5d 5 c 5d - Het midden van [ SU ] heeft coördinaten 5,. 5 c Dit punt valt samen met het punt V als en slechts als 5d d c c d ( 5 c ) = + = P Ke = ( 5 c) 5 d 9 + = 5 c 5d of nog: nalytische Meetkunde Luc De Wilde 6
17 Ellips en cirkel Toon aan: het beeld van een brandpunt van een ellips door de spiegeling t.o.v. een willekeurige raaklijn behoort tot de cirkel die als middelpunt het andere brandpunt heeft en als straal de lengte van de grote as. ellips.fig Oplossing: zie bestand ellips().dfw nalytische Meetkunde Luc De Wilde 7
18 Een ellips anders bekeken nalytische Meetkunde Luc De Wilde 8
19 nalytische Meetkunde Luc De Wilde 9
20 Hyperbool en parallellogram Op een hyperbool neemt men een willekeurig punt P. De rechten door P evenwijdig met de asymptoten van deze hyperbool vormen met deze asymptoten een parallellogram waarvan het maatgetal van de oppervlakte constant is. Toon dit aan. hyperbool().fig Q P O R Oplossing: zie bestand hyperbool().dfw nalytische Meetkunde Luc De Wilde 0
21 6. Van goniometrische getallen analytische meetkunde Beschouw de goniometrische cirkel We verkrijgen: cost ( cos t,0) ; B( 0,sin t) ; C(, tan t) ; D( cot t, ); E,0 en F 0, sin t Een analoge constructie m.b.v. een cirkel met straal r levert dan: r r ( r cos t,0) ; B( 0, r sin t) ; C( r, r tan t) ; D( r cot t, r) ; E,0 en F 0, cost sin t Bovenstaande resultaten zijn een uiterst handig hulpmiddel voor de volgende constructies: x = a cost x y - ellips: met t [ 0,π [ ; + = y = bsin t a b x cost y sin t - raaklijn in een punt van een ellips aan die ellips + = : deze rechte snijdt de a b a x-as in S,0 cos t nalytische Meetkunde Luc De Wilde
22 a x = cost y = b tan t - hyperbool: en t [ 0,π [ π 3π x y \, ; = a b x y tan t - raaklijn in een punt van een hyperbool aan hyperbool = : deze rechte a cost b snijdt de x-as in S ( a cost,0). Zie hiervoor de bestanden: ellips_parametervgln.fig raaklijn ellips.fig hyperbool_parametervgln.fig raaklijn hyperbool.fig 7. Meetkundige plaatsen nalytische Meetkunde Luc De Wilde
23 Meetkundige plaats Gegeven is een parabool met top T. Op deze parabool neemt men een variabel punt. De raaklijn a in aan de parabool snijdt de raaklijn t in de top in het punt B. Bepaal de meetkundige plaats van de middelpunten van de omgeschreven cirkel van de driehoek TB. Neem voor de eenvoud de parabool met als vergelijking MP.fig y = x 4 x² - y + = 0 x² - 4 y = 0 S T B x P y = 4 t t T ( 0,0), t,,,0 4 B middelloodlijn TB : x = t, 4 t t midden T,, 8 4 t middelloodlijn T : y = x + + t 8 eliminatie: y = x + t rico T = 4 Meetkundige plaats nalytische Meetkunde Luc De Wilde 3
24 Op een cirkel met straal r neemt men de vaste middellijn B en één variabel punt P. Bepaal de meetkundige plaats van het zwaartepunt Z van de driehoek BP als P de cirkel doorloopt. MP.fig P S B Stel ( r, 0) ; B( r,0) en P( c, d ) met c + d = r. c c d x = 3 Voor het zwaartepunt geldt: Z,, m.a.w.:. 3 3 d y = 3 De parameters c en d elimineren we via de verbindingsvergelijking meetkundige plaats van het zwaartepunt wordt gegeven door Meetkundige plaats 3!!! c + d = r zodat de r x + y =. 9 Gegeven is de cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. De rechte t raakt aan C in het punt.. Er zijn vier punten die zowel op afstand cm van t als op afstand cm van c liggen. Construeer deze vier punten.. Bepaal de meetkundige plaats van de punten die even ver van t als van c liggen. constructie analytische uitwerking!!! MP3.fig nalytische Meetkunde Luc De Wilde 4
25 t P W Q V PQ = 3 en V en W (spiegelbeeld van W t.o.v. Q) fungeren als schuifpasser. Stel M(0,0), c x + y = 9, y = 3 t en ( 0, 3). Een punt P(x,y) ligt op de meetkundige plaats als en slechts als d P, t = 3 (P binnen de cirkel) of d ( P, t) = MP 3 (P buiten de cirkel). ( ) MP Dit betekent dat y = 3 x y of + 3 = x + y 3 y en dus x + y = 3 y + 3 of x + y = 3 + y + 3. Is y 3 dan volgt hieruit dat x + y = 6 + y Bijgevolg: x of 36 = y x + y = y mits 6 3 y (enkel voor (, 3) 0!) of x = 0 mits y 3. Is y 3 dan volgt hieruit dat x + y = y of x + y = 6 + y x 36 Bijgevolg: x = 0 mits 3 y 0 of = y mits y 3 36 Samengevat: x = 0 voor y 0 ; y = x voor y Merk op dat y = x een parabool is met brandpunt het punt M en als richtlijn de rechte met als vergelijking y = 6. nalytische Meetkunde Luc De Wilde 5
26 Meetkundige plaats 4 Constructieopdracht Een driehoek BC heeft twee vaste hoekpunten en B terwijl het hoekpunt C zich verplaatst op een vaste rechte evenwijdig met B. Bepaal de meetkundige plaats van - het zwaartepunt van deze driehoek (MP4_Z.fig), - het hoogtepunt van deze driehoek (MP4_H.fig), - het middelpunt van de omgeschreven cirkel van deze driehoek (MP4_M.fig) - het middelpunt van de ingeschreven cirkel van deze driehoek (MP4_I.fig). Neem bijvoorbeeld (-4,0), B(4,0) en C(t,4) Z: 4 y = 3 C F E S D B H: y = x C H B M: x = 0 nalytische Meetkunde Luc De Wilde 6
27 C M B I: y + ( 6 x ) y + x 3 = 0 C I B Oplossing: zie bestand MP4.dfw nalytische Meetkunde Luc De Wilde 7
28 Meetkundige plaats 5 link met projectieve kegelsneden Gegeven is een vaste driehoek BC. De rechte r is een variabele rechte evenwijdig met de zijde B van de driehoek. Het snijpunt van r met BC is het punt D en het snijpunt van r met C is E. We bepalen de meetkundige plaats van het snijpunt S van de rechten D en BE. We veronderstellen stilzwijgend dat r verschillend is van B. MP5.fig C B S E P D Neem bijvoorbeeld (,0), B( 3,0) en C( 0,4). De rechte r heeft als vergelijking y = t. Hieruit volgt: 3t t 4 D, t en E, t 4 tx + 3t 0 y + 8t = 4 Eliminatie t levert y = 8 x + 4. Uitgebreide uitwerking: zie bestand MP5.dfw, D ( ) 0 en tx + ( 0 t) y 6t = 0 BE. Link met projectieve kegelsneden: de gevraagde meetkundige plaats kan ook beschouwd worden als de poollijn van het punt B ten opzichte van de ontaarde kegelsnede bepaald door de rechten C en CB. nalytische Meetkunde Luc De Wilde 8
29 Meetkundige plaats 6 x y Beschouw de ellips K e + =, T is de top met coördinaten (-a,0). b a De loodlijn uit een willekeurig punt P van de ellips K e op de x-as snijdt deze x-as in het punt Q. Noem s de rechte door P en evenwijdig met de x-as. De rechte r door Q en evenwijdig met de rechte TP snijdt de rechte s in een punt S. Toon aan: de meetkundige plaats van de punten S, als P de ellips doorloopt, is de ellips met x a 4a vergelijking ( ) + = MP6.fig y b. c d d P, met + =, voor Q geldt: Q ( c,0), rico TP = met a + c 0. b a a + c d y = ( x c) S a + c. y = d Uit dit stelsel halen we c en d en we substitueren de verkregen resultaten in de x a c d c = verbindingsvergelijking + = : b zodat ( ) x a y + =. a 4a b d = y Stel ( c d ) nalytische Meetkunde Luc De Wilde 9
30 Meetkundige plaats 7 Beschouw een willekeurige rechte l door de oorsprong die de cirkel c = x + y a snijdt in een punt P en de cirkel c x + y = b in een punt Q. Men construeert de raaklijn p in P aan c en de raaklijn q in Q aan c. De rechte p snijdt de x-as in een punt R en de rechte q snijdt de y-as in een punt S. Door R tekent men een evenwijdige r met de y-as en door S tekent men een evenwijdige s met de x-as. De rechten r en s snijden elkaar in het punt T. Bepaal de meetkundige plaats van het punt T als l om de oorsprong wentelt. MP7.fig a x = cos t a b Voor het punt T geldt dat. Hieruit volgt dat + = een vergelijking is van de b x y y = sin t gevraagde meetkundige plaats. nalytische Meetkunde Luc De Wilde 30
31 Meetkundige plaats 8: trifolium van de Longchamps Gegeven zijn twee vaste punten O en en een rechte l die O bevat. De orthogonale projectie van op l is B. Bepaal de meetkundige plaats van de orthogonale projectie P op l van het symmetrisch punt C van B ten opzichte van de rechte O als l rond O wentelt. MP8.fig We redeneren voor de eenvoud in het eerste kwadrant. Neem O in de oorsprong en O = a. De rechte l heeft als cartesiaanse vergelijking y = x tanθ. Voor het punt B geldt (polair): B ( a cosθ,θ ). Bijgevolg is C ( a cosθ, θ ) waardoor P ( a cosθ.cos θ, θ ) (te verkrijgen via een eenvoudige redenering in de rechthoekige driehoek OPC). De gevraagde meetkundige plaats heeft als poolvergelijking r = a cosθ.cos θ. O P B C l Om een cartesiaanse vergelijking van r = a cosθ.cos θ te vinden merken we vooraf op dat deze kromme de pool O bevat. 4 a cosθ.cos θ r = ar cosθ. r cos θ r r = ( ) ( x + y ) = ax. ( x y ) nalytische Meetkunde Luc De Wilde 3
32 Meetkundige plaats 9 Gegeven zijn de vaste punten O en. Beschouw de cirkel c met diameter O en de raaklijn t aan c in. Een variabele rechte l door O snijdt c in C en t in B. Bepaal de meetkundige plaats van het midden P van [ BC ]. MP9.fig We redeneren voor de eenvoud in het eerste kwadrant: Stel O ( 0,0) en ( a,0). De variabele rechte l gaat door het punt C ( a cosθ,θ ) (redeneer in de rechthoekige driehoek OC). a Voor het punt B geldt: B cosθ,θ. De gevraagde meetkundige plaats heeft als a poolvergelijking r = cosθ +. cosθ Een analoge redenering in het vierde kwadrant leidt tot eenzelfde resultaat. O c C P t B Een cartesiaanse vergelijking vinden we als volgt: a a x r uit r = cosθ + volgt dat r = + of cosθ r x r x = a x + r. x + r r = a zodat rx ( ) Bijgevolg verkrijgen we als cartesiaanse vergelijking ( x y ) x = a( x + y ) Opmerking +. Het is heel wat moeilijker om de gezochte meetkundige plaats te bepalen ten opzichte van een cartesiaans assenstelsel. We illustreren dit met behulp van het bestand MP9.dfw. nalytische Meetkunde Luc De Wilde 3
Oefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatieDan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²
1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
Nadere informatieOverzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Nadere informatiehéöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =
héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
Nadere informatieVlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen. Cursus voor de vrije ruimte
Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Meetkundige plaatsen 1.1 Herhaling: analytische meetkunde 1.1.1 Affiene
Nadere informatieDossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
Nadere informatieSamenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.
Nadere informatieVl. M. Nadruk verboden 1
Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is
Nadere informatieVoorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,
Nadere informatieLijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieDefinitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel:
13.0 Voorkennis Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn
Nadere informatie9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden
9.0 Voorkennis [1] Definitie middelloodlijn: De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn door het midden van dat lijnstuk die loodrecht op dat lijnstuk staat. Definitie bissectrice: De bissectrice van
Nadere informatie11.1 De parabool [1]
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieVlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,
Nadere informatie2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]
2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2013-I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatiePascal en de negenpuntskegelsnede
Pascal en de negenpuntskegelsnede De zijden van driehoek ABC hierboven vatten we op als lijnen en niet als lijnstukken. De middens van de lijnstukken AB, BC en CA zijn D, E en F. De middens van de lijnstukken
Nadere informatieDriehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008
Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een
Nadere informatieLaat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden
Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieVlakke Meetkunde Goniometrie
Vlakke Meetkunde Goniometrie L. Van Maldeghem Cursus voor de tweede graad Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Moderne Talen-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Het euclidische vlak 1.1 Herhaling 1.1.1 Het begrip
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatieTentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieVoorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen). Jozef Hoekmeters bevindt zich op de top van een berg die hoog uit zee rijst (zie figuur ). Aan de overkant van het water ziet hij een appartementsgebouw vlakbij
Nadere informatie12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]
12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde
Nadere informatieAtheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht
Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatieCabri-werkblad Negenpuntscirkel
Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.
Nadere informatie1 Het midden van een lijnstuk
Inleiding Deze basisconstructies worden aan de leerlingen gegeven in de vorm van werkbladen voor zelfstandig werken. Met behulp van een beginschets van de gegevens en de constructiebeschrijving maken de
Nadere informatieVlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde
Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte Vlakke Ruimtemeetkunde
Nadere informatieSpelen met passer en liniaal - werkboek
Spelen met passer en liniaal - werkboek Basisconstructie 1: het midden van een lijnstuk (de middelloodlijn) Gegeven: lijnstuk AB. Gevraagd: het midden van lijnstuk AB. Instructie Teken (A, r) en (B, r)
Nadere informatieOAB. A 0,2q gaat. x q m q mx. l x y b x b y. c x c y. c x y c c. x b y b bx 2. x c y c cx. a y q en b x q m.
Voor een driehoek ABC zijn de punten A en B vast en is C een veranderlijk punt Bepaal de meetkundige plaats van het punt C zodat het produt van de zijden AC en BC gelijk is aan het kwadraat van het zwaartelijnstuk
Nadere informatieAntwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
Nadere informatiewiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieHoofdstuk 8 : De Cirkel
- 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatiewiskunde B vwo 2015-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten
Nadere informatieTentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Nadere informatieBasisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk
Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructie 1 Het lijnstuk AB Neem vanuit A een afstand tussen de benen van de passer die wat groter is dan van A tot het geschatte midden
Nadere informatieHierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden.
WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG Onder dit motto nodigde de VVWL alle wiskundeleraren uit Vlaanderen en Nederland uit om deel te nemen aan een wiskundewedstrijd. De tien vragen van de eerste editie, waarbij
Nadere informatieVlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39. Het construeren van figuren
Vlakke Meetkunde. Les 20 Nadruk verboden 39 20,1. De cirkel Het construeren van figuren Een cirkel of cirkelomtrek is een gesloten kromme lijn, waarvan alle punten in hetzelfde vlak liggen en even ver
Nadere informatieHoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN
1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.
Nadere informatiewiskunde B vwo 2017-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatie8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Willem-Jan van der Zanden
8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] 1 8.1 Gelijkvormige en congruente driehoeken [1] Twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn. De twee rode hoeken (F-hoeken) zijn gelijk.
Nadere informatieVlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal
Nadere informatieDe constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Nadere informatieVerdieping - De Lijn van Wallace
Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatieUitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6. Meetkundige plaatsen.
Uitwerkingen Hoofdstuk 25 deel vwob1,2 6 1 Meetkundige plaatsen. 1 Punt F(0, 1) en de lijn l : y = -1 a. Voor de oorsprong O geldt: d( O, F) = d( O, l) = 1 ben c. c. Waarschijnlijk liggen de gevraagde
Nadere informatieBewijs. Zie figuur 2. Zijn U en V de projecties van P en Q op r, dan geldt: PU = PR (in driehoek RQV met PU // QV) QV QR
Cabri-vraag VRAAG Hoe teken je een kegelsnede waarvan een punt P, een brandpunt F en de bij F behorende richtlijn r gegeven zijn? ANTWOORD Zoals bekend kan je met Cabri een kegelsnede tekenen (we spreken
Nadere informatieOpen het programma Geogebra. Het beginscherm verschijnt. Klik voordat je verder gaat met je muis ergens in het
Practicum I Opgave 1 Tekenen van een driehoek In de opgave gaan we op twee verschillende manieren een driehoek tekenen. We doen dit door gebruik te maken van de werkbalk (macrovenster) en van het invoerveld.
Nadere informatieSTELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie
STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieOpgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5
2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook
Nadere informatieVlakke meetkunde en geogebra
Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie1 Coördinaten in het vlak
Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem
Nadere informatieMeetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
Nadere informatieMeetkundige constructies Leerlingmateriaal
Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een
Nadere informatie1 Analytische meetkunde
Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde
Nadere informatieICT Practicumboek (4e JAAR secundair onderwijs)
ICT Practicumboek (4e JAAR secundair onderwijs) GeoGebra Dit leerwerkboekje is bruikbaar in alle klassen aso tso kso van alle netten Functieleer, meetkunde & complexe getallen in het vierde jaar met GeoGebra
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieLeerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat.
Het gevolgde leerplan is D/2002/0279/047. In de onderstaande tabel vind je een overzicht van de doelstellingen en waar ze in Delta Nova 4a en 4b (leerweg 5) terug te vinden zijn. B = basisdoelstelling
Nadere informatieEllips-constructies met Cabri
Ellips-constructies met Cabri 0. Inleiding De meest gebruikte definitie van de ellips luidt: Een ellips is de verzameling van punten () waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten (F 1 en F,
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-II
Eindeamen vwo wiskunde 04-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatie1 Analytische meetkunde
Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 018 tijdvak 1ti maandag 14 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Nadere informatieAnalytische Meetkunde
Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs
Nadere informatieEen bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek
Een bol die raakt aan de zijden van een scheve vierhoek Dick Klingens Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel oktober 005 We bewijzen allereerst de volgende hulpstelling: Hulpstelling 1 De meetkundige
Nadere informatie1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg
1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem
Nadere informatieE = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc²
E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² De boom en het stokje staan loodrecht op de grond in het park. De boom is 3 en het stokje 1. Hoe lang is de schaduw van het stokje
Nadere informatieHoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden
Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:
Nadere informatiePQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP
OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is
Nadere informatieParagraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde
Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde Les 1 : Vergelijkingen maken bij meetkundige figuren Herhaling (1) Bijzondere rechthoekige driehoeken
Nadere informatie1 Cartesische coördinaten
Cartesische coördinaten Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Analytische Meetkunde Cartesische coördinaten Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatie10 Afstanden. rood. even ver van A als van C even ver van A, van C en van E. 10 m. blauw
28 1 10 fstanden even ver van als van C even ver van, van C en van E 10 m Q ligt even ver van P als van Q, net zo. Dus is middelloodlijn van lijnstuk PQ, dus lijn staat loodrecht op lijn. 180 + = 90 2
Nadere informatieEen andere dimensie van GeoGebra Andre Heck (Universiteit van Amsterdam), Nationale Wiskunde Dagen 2019
Een andere dimensie van GeoGebra Andre Heck (Universiteit van Amsterdam), A.J.P.Heck@uva.nl Nationale Wiskunde Dagen 2019 Nationale Wiskunde Dagen 2019 Een andere dimensie van GeoGebra 1 / 36 Overzicht
Nadere informatie