b 2c c 2b b c 3 3. b) De drie hoogtelijnen in een driehoek zijn concurrent. Hun snijpunt heet het hoogtepunt H van de driehoek.

Transcriptie

1 Olossingen ewijs de volgende stellingen: a) De drie zwaartelijnen in een driehoek zijn concurrent Hun snijunt heet het zwaarteunt Z van de driehoek We stellen b en c met b c b De middens zijn M c M en bc M De vergelijkingen van de zwaartelijnen zijn: z y x bc cb ; z y xb ; z y xc bc bc Deze rechten snijden elkaar in het zwaarteunt Z 3 3 b) De drie hoogtelijnen in een driehoek zijn concurrent Hun snijunt heet het hoogteunt H van de driehoek De rico s van de zijden zijn m m en m b c De vergelijkingen van de hoogtelijnen zijn : h x ; h y cx b Deze rechten snijden elkaar in het hoogteunt H bc ; h ybx c c) De drie middelloodlijnen in een driehoek zijn concurrent Het snijunt is het middelunt M van de omgeschreven cirkel van de driehoek De vergelijkingen van de middelloodlijnen zijn : m b ybx c ; m ycx ; m bc x Deze rechten snijden elkaar in het unt M bc bc d) De drie unten Z H en M zijn collineair De rechte waar ze o liggen wordt de rechte van Euler genoemd 3bc De vergelijking van de rechte is ZM y xbc en uiteraard ligt H hiero bc e) Voor de afstanden geldt: ZH MZ 6 3 MZ b c 9bc 8bc ZH b c 9bc 8bc ZH MZ ls toemaatje: een meetkundig bewijs van de stelling van Euler eschouw de homothetie met centrum Z en factor Deze beeldt driehoek af of de mediale driehoek ' ' ' De hoogtelijnen van driehoek worden afgebeeld o de middelloodlijnen van die tevens de hoogtelijnen zijn van de mediale driehoek ' ' ' Het beeld van H onder de homothetie is M dus de unten H Z en M zijn collineair en er geldt ZH MZ

2 O een arabool P met to O as s en brandunt F beschouw je een unt D O De rechte DO snijdt de richtlijn van P in De rechte DF snijdt P een tweede keer in ewijs dat // s Stel P y x dan is Noem D met R O sy en F DO y x y x Het snijunt met de richtlijn ( d x ) is dan Voor DF werken we met een arametervoorstelling (zo omzeilen we de moeilijkheid als DF// y ): xk DF y k De snijunten van DF met de arabool P vinden we door in te vullen: k k k k k k : 6 : k kk 8 Met k komt unt D overeen 8 6 x 8 8 Het tweede snijunt is k y en hebben dus dezelfde y -coördinaat zodat inderdaad evenwijdig is met de x -as 3 Door het brandunt F van een arabool P brengen we een rechte r aan loodrecht o de as s van P die P snijdt in en O r nemen we een willekeurig unt De loodrechte rojecties van o de raaklijnen aan P in en noemen we een raaklijn is aan de arabool Waar ligt het raakunt? Stel P y x dan is s y q met qr ' en ' ewijs dat ' ' en F Dus zijn en De raaklijn in is t yx yx naloog is t yx De loodlijn door o t is dan l yx q naloog vindt je dat l yx q

3 q yx x q q q q Snijunt ': dus ' naloog vindt je dat ' q yx q y Dus q q ' ' qy x of na vereenvoudiging q ' ' yqx Dit is inderdaad een raaklijn aan P in het unt Qq q met dezelfde ordinaat als eaal de (coördinaten van de) unten en o P y x zodat deze unten samen met de to O een gelijkzijdige driehoek vormen Omdat O O moet de x -as een symmetrieas zijn Stel dus en dan ook O 6 3 De unten worden dus gegeven door 6 3 en ls Px y P y x dan hebben we bewezen dat tyy x x raaklijn in P aan P de vergelijking is van de ewijs dat als P buiten de arabool P ligt de rechte t de rechte is die de unten verbindt waar de raaklijnen vanuit P de arabool P raken We noemen t in dat geval de oollijn van P Stel dat de rechten t en t die elkaar snijden in P de arabool raken in de unten x y en Voor de raaklijn in geldt t yy x x Dus P t y y x x naloog is t yy x x Dus Pt y y x x t t x y 6 Vier verschillende unten van de arabool P y x zijn concyclisch (liggen o één cirkel) ewijs dat de som van de y-coördinaten van die unten nul zijn Noem die vier unten Px y P x y P x y en P x y Stel dat de cirkel waar ze o liggen is met We x y ax byc berekenen de snijunten: y y x x y x x y axbyc y y y a y a by c De vier y -coördinaten van de unten moeten dus de olossing zijn van y y by c a y 8by c De ontbinding van deze vergelijking is er definitie gelijk aan y y y y y y y y 3 De coëfficiënt van 3 y in beide vergelijkingen moet gelijk zijn dus y y y3 y y y y3 y

4 7 De drie zijden van een driehoek raken aan een arabool P a) ewijs dat het hoogteunt van de driehoek o de richtlijn van de arabool ligt Noem P y x en neem P b bp en c Voor de raaklijn in P geldt: P c c P P a a P t y a x a a y x a P naloog vind je: tp byx b en tp cyx c Noem het snijunt van byxb t P en t P : c y x c xb bc b bc y b c b c :byb cyc y bc b c bcbc bc b c We vinden dus bc b c en analoog ac a c en ab a b b c De rico van de loodlijnen o en zijn resectievelijk c a en b De hoogtelijn door o is dus h y a x bc b c naloog zijn h ybxaca c en h y c x ab a b Het hoogteunt is het snijunt van (bijvoorbeeld) h en h We stellen gelijk om de abscis van H te berekenen: axbcb c b x ac a c x ababc abc ba ba x het hoogteunt H ligt o de richtlijn d x (de ordinaat is irrelevant) ba b) ewijs dat het brandunt van P o de omgeschreven cirkel van de driehoek ligt De middelloodlijn van gaat door abc M bc ac en heeft rico ml c dus abc abc l ycxbcac ycxbc ac naloog: l ybxbcab a c b We zoeken de coördinaat van het middelunt van de omgeschreven cirkel M :

5 abc abbcac ycxbc ac x acb abcabc ybxbcab y abc acb : cxbc ac bxbcab a cb a bc bcab bc ac x bc bcab x x bc a cb a bc bc ac bcab bc ac bc bc bc bcabac bc abbcac abbcac abc yc bc ac c a b yabcbc ac bc ac c c a b abcabc yabcbc ac bc ac c De straal van de omgeschreven cirkel is gelijk aan: abbcac abcabc r M bc bc r ab bc ac a b c 8abc ab bc ac a b c 8abc Voor de afstand van het brandunt tot het middelunt van de omgeschreven cirkel geldt: abbcac abcabc MF MF abbcac abc8abc Het brandunt zal dus o de omgeschreven cirkel van de driehoek liggen als en slechts als r FM abbcac abc8abc abbcac abc8abc ab bc ac a b c 8abc ab bc ac a b c 8abc abac bc abacbc a8abc bc a8abcbc abac bc abacbc a8abc bc a8abcbc ab ac bc a8abcbc abacbc a8abcbc ab ac bc a 8abcb c 6abcab6abc acabac6abc6abc