Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

Transcriptie

1 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1 Auteur Laatst gewijzigd Licentie Webadres Vrijescholen 23 august 2017 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

2 Inhoudsopgave Periode projectieve meetkunde Inleiding: Oerfenomeen van ligging Bij figuur 1 Bij figuur 2 Bij figuur 3 Stelling van Desargues Bewijs van de stelling van Desargues Uitzonderingen Oefenen met de stelling Dualiteit De uitzondering en het opheffen daarvan Het gebruik van de oneigenlijke punten Oefening in het dualiseren Stellingen van Pappos en Brianchon Dubbelverhouding Collineaties Projectieve kegelsneden Maatverdelingen op een lijn Een transformatie van het vlak Over dit lesmateriaal Pagina 1 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

3 Periode projectieve meetkunde Hieronder volgt de beschrijving van een periode projectieve meetkunde. De ervaring is dat de beschreven manier van werken goed door alle leerlingenvan alle niveaus gevolgd kan worden. De stukken tekst zijn zorgvuldig zo geformuleerd dat er geen verwarring over de meetkundige betrekkingen kan ontstaan. Daarmee wordt bijvoorbeeld bedoeld dat er nooit gesproken wordt van het snijpunt van twee evenwijdige lijnen, of de snijlijn van twee evenwijdige vlakken. Ook wordt in de tekeningen een oneigenlijk punt (een richting) steeds weergegeven met een dubbelpijl: Inleiding: Oerfenomeen van ligging Het is goed om de periode te beginnen met enige geruststelling voor de leerlingen. Tenslotte hebben enkele leerlingen in klas 11 al gekozen om een eindexamen te doen zonder wiskunde en anderen zijn van plan examen vwo met wiskunde B of D te doen. Veel verschil dus. Ter geruststelling kan je dan melden dat we met de meetkunde helemaal opnieuw beginnen, dat er voorlopig geen meetkunde in de ruimte komt, alleen maar in het platte vlak en verder dat er deze periode nauwelijks gerekend zal worden, zeker geen algebra. We beginnen de periode met een oefening die elke leerling zonder meer kan uitvoeren. Er zijn in een vlak 6 punten gegeven. (De meeste leerlingen kunnen nog wel mee met de tussenopmerking dat als je deze punten namen gaat geven dat dat dan op 6! manieren kan.) Het gaat om "punten in algemene ligging" dat wil zeggen dat er geen drietal op één lijn ligt. De figuren worden als werkbladen in de klas uitgedeeld. De leerlingen kunnen kiezen of ze op deze bladen werken of dat ze voor de veel nettere werkwijze kiezen waarbij ze het werkblad als een mal gebruiken om de punten op de juiste plaats in het periodeschrift te krijgen. Ik werk altijd met de leerlingen mee op de beamer. Daarbij gebruik ik de geogebra bestanden die grondslagen zijn voor de uitgedeelde figuren. Deze bestanden staan op de downloadpagina wiskunde. Bij figuur 1 We benoemen de zes punten als volgt: Door die benaming horen de punten in twee drietallen bij elkaar maar ook in drie tweetallen. Pagina 2 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

4 De twee drietallen vormen elk een driehoek. We zoeken de snijpunten van overenkomstige zijden. De zijden worden getekend en doorgetrokken totdat ze elkaar snijden. Bij zijde: hoort zijde. Het snijpunt noemen we. Op soortgelijke wijze worden de snijpunten van de andere zijden gevonden. Deze drie snijpunten vormen een driehoek Vervolgens verbinden we de overeenkomstige punten enz. Dat geeft drie lijnen, deze drie vormen een driezijde. Dat is natuurlijk een nieuw woord, maar Pagina 3 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

5 goed te verdedigen omdat het hier niet gaat om punten maar om lijnen, de zijden die een driehoek vormen. uitwerking Bij figuur 2 In figuur 2 zien we weer de zes punten, maar nu in een geheel andere ligging. Weer kunnen we de driehoek en de driezijde construeren. Met de uitwerking: Bij figuur 3 Pagina 4 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

6 Figuur 3 kn.nu/ww.8374e97 (ggb, maken.wikiwijs.nl) Uitwerkung Pagina 5 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

7 Het is van groot belang dat de leerlingen de figuur mentaal in beweging kunnen krijgen. Dat moeten ze zich voor kunnen stellen. Daarbij twee opmerkingen: 1. Het programma GEOGEBRA staat toe dat de figuur veranderd kan worden door gewoon een van de punten naar een andere plaats te slepen. Dat is natuurlijk heel knap geprogrammeerd. Het is zeker ook bruikbaar, maar het gevaar bestaat dat de leerlingen niet meer uitgedaagd worden om hun voorstellingsvermogen te gebruiken en te scherpen. Het is derhalve aan te bevelen om de leerlingen zich de veranderende figuur te laten voorstellen, alvorens de techniek te hulp wordt geroepen. 2. Door een van de punten zo te verschuiven dat de driezijde tot een punt wordt en de driehoek tot een drietal punten op een lijn is geenszins een bewijs van de stelling van Desargues. Het is van groot belang dat de leeerlingen dat goed inzien. Dat bewijs komt later. Figuur 3: Pagina 6 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

8 Uitwerking van figuur 3: Dezelfde figuur 3 in beweging: Van de zes gegeven punten houden we er vijf vast. Alleen wordt verplaatst, en wel over de lijn zodat ook deze lijn op zijn plaats blijft. De lijnen blijven ook vast. De lijn Pagina 7 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

9 draait met om het punt tegen de klok in. Zie de pijltjes. Daarmee schuift punt over de lijn naar boven. De groene driehoek wordt smaller en tenslotte tot een lijn. Verder draait de lijn met punt om het punt tegen de klok in. Zie de pijltjes. Daarmee wordt de rode driezijde kleiner en tenslotte tot een punt. Zowel de driehoek (groen) als de driezijde (rood) ontaarden. De een wordt een lijn en de ander een punt. We vermoeden dat dat op hetzelfde moment gebeurt. Dat is wat de stelling van Desargues zegt, maar dat is nu nog niet bewezen. Stelling van Desargues Op dit moment in de periode is een uitstapje naar de periode platonische lichamen van klas 8 op zijn plaats. Daar is de dualiteit tussen bijvoorbeeld de kubus en de octaëder besproken. Dat begrip speelt in de projectieve meetkunde een centrale rol. De eerste plaats waar het naar voren komt is bij de formulering van de stelling van Desargues. Later wordt deze dualiteit nog een hoofdonderwerp. Eerst bespreken we de twee vormen van perspectiviteit (in het platte vlak). Pagina 8 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

10 Deze twee begrippen stellen ons in staat om de stelling van Desargues bijzonder kort te formuleren: Dat wordt getekend in figuur 4. Let op, daarin zijn niet alleen de gebruikelijke zes punten gegeven, maar ook de drie punten A, B en C en het perspectiviteitscentrum P. Dat is om de leerlingen meer "steun" te geven zodat de figuur goed kloppend getekend kan worden. Figuur 4 Pagina 9 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

11 Uitgewerkte figuur 4: Pagina 10 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

12 Bewijs van de stelling van Desargues Deze stelling kan alleen bewezen worden als je de de figuur ruimtelijk ziet. (Als het gaat om zuiver vlakke projectieve meetkunde, dan wordt de stelling van Desargues meestal als axioma aangenomen. Er wordt dan gesproken van een desarguesprojectief vlak. Het is ook mogelijk om de stelling van Desargues in het vlak te bewijzen, maar dan zijn andere axioma's nodig.) Een paar didactisch opmerkingen, die nodig zijn omdat er tegenwoordig weinig ruimtemeetkunde (stereometrie) in het leerplan zit: 1. Herhaal met de leerlingen enkele ruimtemeetkundige waarheden zoals: Een vlak is bepaald door drie punten. Of: twee vlakken snijden elkaar in een lijn. 2. Beschrijf de ruimtelijke situatie eerst door hem in "de lucht" aan te wijzen. Sommige leerlingen zien niet direct diepte in een vlakke figuur. heel handig is een ruimtelijk draadmodel van de configuratie van Desargues. Pagina 11 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

13 De leerlingen krijgen de volgende voorgewerkte figuur: Uitgewerkt: Pagina 12 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

14 Figuur 5 (NB deze figuur is een 3d figuur, het bestand op de downloadpagina werkt alleen met GEOGEBRA 5 en hoger) Uitzonderingen Nu de stelling van Desargues zo mooi en kort geformuleerd is komen we bijna als vanzelf op de uitzonderingen. Ten eerste kan het zo zijn dat twee zijden van de gegeven driehoeken evenwijdig zijn. Gevolg is dat punt C niet te vinden is: Werkblad Het is zelfs mogelijk dat alle drie de zijden van de twee gegeven driehoeken evenwijdig zijn. Geen van de punten A, B en C is dan te vinden: Pagina 13 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

15 We krijgen dan twee gelijkvormige driehoeken: Uitwerking En ten derde is het ook mogelijk dat de lijnen a, b en evenwijdig zijn. Punt P is dan niet te vinden: Werkblad Deze uitzonderingen hebben allemaal te maken met de bijzondere situatie dat er twee (of meer) lijnen evenwijdig lopen. Het is nu juist de kracht van de projectieve meetkunde Uitwerking dat een goed antwoord is gevonden op die uitzonderingssituatie. Dat wordt in het vervolg duidelijk. Voorlopig blijven we nog zitten met de uitzondering: "behalve als de lijnen evenwijdig lopen". Pagina 14 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

16 Werkblad Uitwerking Oefenen met de stelling De hele figuur van de stelling van Desargues wordt ook wel een 10-3 configuratie genoemd. Elke lijn heeft drie punten en door elk punt gaan drie lijnen. (je moet dan wel alleen letten op de punten die bij de stelling een echte rol spelen, niet de punten die "per ongeluk" ontstaan als je de figuur 2D tekent.) Alle lijnen zijn gelijkwaardig alle punten zijn gelijkwaardig. We zijn in figuur 1 begonnen met het geven van zes punten in algemene ligging. We hadden helemaal niet van deze zes uit hoeven gaan, we haaden ook een ander zestal van de tien punten kunnen kiezen. Ik heb in de klas altijd een ruimtelijk draadmodel waarin ik de stelling van Desargues kan aanwijzen, steeds uitgaande van een ander perspectiviteitscentrum. Het is voor de leerlingen een oefening in volhardig om de volgende opdracht uit te voeren. Gegeven de 10-3 configuratie. Teken in 10 verschillende situaties het centrum, de twee perspectieve driehoeke en de as van de figuur. Veel leerlingen hebben moeite met het "zien" van de driehoeken. Lang niet ierdereen heeft het volhardingsvermogen om alle tien de figuren te tekenen. Maar de bevrediging is groot als alle mogelijkheden echt doorlopen zijn. Ik ga uit van het volgende werkblad, ook te vinden op de downloadpagina. Pagina 15 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

17 dubbelzijdig af te drukken werkblad De Opdracht is dan: 1. Kies een punt uit als centrum (kleur het blauw) 2. Markeer de drie stralen door dat centrum (rood) 3. Zoek de twee driehoeken met punten op deze rode stralen (kleur ze lichtgroen en donkergroen) NB Een rode straal is nooit een zijde van een groene driehoek! 4. Zoek de overeenkomstige zijden, deze groene zijden hebben hun eindpunten op dezelfde rode straal en markeer het snijpunt (paars) 5. Teken de as door de drie paarse punten (geel) 6. Voer de stap 1 t/m 5 tien keer uit steeds in een andere figuur. Desargues-5keer.doc kn.nu/ww.b6c964d (doc, maken.wikiwijs.nl) Dualiteit Pagina 16 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

18 Aan de configuraie van Desargues ontdekken we een heel mooi summetrieprincipe. Het wordt "dualiteit" genoemd. Het gaat om een functionele symmetrie. De rol van punten en die van lijnen is gelijkwaardig. Je kunt de spelers, punt en lijn, van rol laten wisslen en de meetkunde uitspraken blijven steeds geldig. Het is wel noodzakelijk dat de bijbehorende werkwoorden en voorzetsels aangepast worden: Voorbeeld: Twee punten heben altijd één verbindingslijn Twee lijnen hebben altijd één snijpunt Drie punten, in algemene ligging, hebben altijd drie verbindingslijnen Vier punten, in algemene ligging, hebben altijd zes verbindingslijnen Drie lijnen, in algemene ligging, hebben altijd drie snijpunten Vier lijnen, in algemene ligging, hebben altijd zes snijpunten Een stukje verder in de periode zullen we ook het principe van de dualiteit in de ruimte bespreken. De uitzondering en het opheffen daarvan Dit ziet er prachtig symmetrisch uit, maar er blijven steeds uitzonderingen bestaan. Deze hebben alle te maken met evenwijdige lijnen. In de gewone, euclidische meetkunde heben lijnen niet altijd een snijpunt. Als ze evenwijdig lopen Het gebruik van de oneigenlijke punten nevendriehoek/nevendriezijde Oefening in het dualiseren Een nuttige oefening voor het dualiseren vinden we in de zogenaamde 13-4 configuratie. Dat is een zelf duale figuur bestaande uit 13 punten en 13 lijnen. Het is eigenlijk een voortzetting van het tekenen van de nevendriehoek bij een vierzijde danwel een nevendriezijde bij een gegeven vierhoek. De leerlingen krijgen twee werkbladen, de ene met vier punten en de andere met vier lijnen: Pagina 17 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

19 De opdracht is om met de figuur met de gegeven punten te beginnen. en dan de volgende opdracht uit te voeren. Daarna de duale opdracht op te stellen en dan deze ook uit te voeren: Opdracht 1. Gegeven vier punten (kleur ze blauw) 2. Teken de 6 verbindingslijnen (kleur ze rood) 3. Teken de 3 extra snijpunten (kleur ze groen) 4. Teken 3 verbindingslijnen van de groene punten (kleur ze geel) 5. Teken de zes extra snijpunten van gele en rode lijnen (kleur ze paars) 6. Teken de 4 verbindingslijnen van blauwe en paarse punten (kleur ze groen) 7. Neem de volgende uitspraken over en vul aantallen in: 1. De figuur bevat 9 lijnen met elk... punten 2. Verder zijn er 4 lijnen met elk... punten 3. Er zijn 9 punten waardoorheen telkens... lijnen gaan 4. Tenslotte zijn er 4 punten met... lijnen Gedualiseerde tekst: 1. Gegeven vier lijnen (kleur ze blauw) 2. Teken de 6 snijpunten (kleur ze rood) 3. Teken de 3 extra verbindingslijnen (kleur ze groen) 4. Teken 3 snijpunten van de groene lijnen (kleur ze geel) 5. Teken de zes extra verbindingslijnen van gele en rode punten (kleur ze paars) 6. teken de 4 snijpuntenen van blauwe en paarse lijnen (kleur ze groen) 7. Neem de volgende uitspraken over en vul aantallen in: 1. De figuur bevat 9 punten met elk... lijnen 2. Verder zijn er 4 punten met elk... lijnen 3. Er zijn 9 lijnen waardop telkens... punten liggen 4. Tenslotte zijn er 4 lijnen met... punten Pagina 18 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

20 De verrassing is dan hopelijk dat de leerlingen ontdekken dat ze twee keer dezelfde figuur hebben getekend. Stellingen van Pappos en Brianchon Dubbelverhouding Dubbelverhouding De gerichte verhouding Onder verstaan we positief als de lijnstukken dezelfde kant op wijzen en anders negatief. In de figuur moet je op de verschillende plaatsen denken. verder: is het midden van De dubbelverhouding Bij vier collineaire punten noemen we: de dubbelverhouding. Deze is positief als het Pagina 19 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

21 puntenpaar en het puntenpaar en niet scheidt. Voorbeeld, in de figuur geldt: boven: onder:, deze ligging noemen we ``harmonisch''. De gerichte verhouding is behouden onder evenwijdige projectie, snavelbekfiguur. De dubbelverhouding is behouden onder centrale projectie. Bewijs: analoog: dus: En dat is dus alleen afhankelijk van de hoeken. er geldt dus: Uit de definitie volgt probleemloos: en Een bijzondere verwisseling is de volgende: en en dus geldt Harmonische ligging in de volledige vierhoek Stelling: In een volledige viehoek liggen steeds vier punten op een lijn, met dubbelverhouding -1, dus harmonisch. Bewijs: Er geldt, vanuit : en Er geldt, vanuit : dus: Er zijn twee mogelijkheden: dat kan niet want en zijn verschillende punten dat kan prima, ze liggen dus harmonisch Pagina 20 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

22 Het midden in de euclidische meetkunde De vraag kan zijn: ``waar moet je de derde lantaarnpaal tekenen die precies midden tussen de andere twee ligt?'' Niet op gelijke afstand want de afstanden worden steeds kleiner. De andere figuur geeft een idee. Harmonische ligging Je ziet dat harmonische ligging het projectieve equivalent is van het euclidische begrip ``midden'' M\"obiusnetwerk Teken een m\"obiusnetwerk uitgaande van {\tt MOEB-WB.WPG} Met daarin de ``moederparabool'' die verschijnt als ellips! Collineaties Een bordtekening: En nog een bordtekening: Pagina 21 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

23 En in het schrift: of: Pagina 22 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

24 nog een bordtekening en in het schrift: Pagina 23 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

25 Projectieve kegelsneden Projectieve voortbrenging van kegelsneden Benodigde achtergrondkennis Begrippen perspectiviteit en projectiviteit. Perspectiviteit wordt vastgelegd door 2 paren punten, waarbij 2 punten op liggen op lijn1 en 2 gerelateerde punten op lijn2. Projectiviteit is een keten van twee of meer perspectiviteiten. Pagina 24 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

26 Bij projectiviteit geldt dus dat. Voor een projectiviteit heb je 3 paren punten nodig. Constructieopdracht Ga uit van 3 paren gerelateerde punten. Toon aan dat geldt dat. Voer achtereenvolgens de volgende stappen uit: 1. Teken 2 lijnen lijn1 en lijn2. Kies op lijn1 de punten A 1, B 1, C 1 en op lijn2 de punten A 2, B 2, C Teken de lijn A 1 A 2 en kies hierop 2 willekeurige punten T 1 en T Construeer het snijpunt van de lijnen T 1 B 1 met T 2 B 2 en noem dit B. 3. Construeer het snijpunt van de lijnen T 1 C 1 met T 2 C 2 en noem dit C. 4. Teken de lijn door B en C en noem die lijn3. Pagina 25 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

27 1. Kies X 1 willekeurig op lijn1. Construeer het snijpunt van T 1 X 1 met lijn3 en noem dit X. Construeer het snijpunt van T 2 X met lijn 2 en noem dit X 2. Door X willekeurig te kiezen, ontstaat een lijnenwaaier A 1 A 2, B 1 B 2, C 1 C 2, X 1 X 2. Deze lijnenwaaier kunnen we "uit elkaar trekken", waardoor de kegelsneden ontstaan. Constructie van een puntenellips Constructiestappen: 1. Kies 5 willekeurige punten A t/m E (bij voorkeur een holle vorm). 2. Teken een pentagram (5-ster) en een pentagon (5-hoek). 3. Kies P 1 en P 2 en teken de lijnen a 1, b 1, b 1 en a 2, b 2, c 2. Pagina 26 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

28 1. Kies een willekeurige punt X 1 op BE. door P Projecteer X 1 via B' naar X Teken CX 2 en construeer het punt X. 4. Herhaal stappen 4 t/m 6 en voeg de punten X toe aan de puntenverzameling. 5. Kies 2 nieuwe hoekpunten P 1 en P 2 en teken de lijnen a 1, b 1, b 1 en a 2, b 2, c 2. Herhaal hiermee stappen 4 t/m 6 en voeg punten toe aan de puntenverzameling. 6. Verbind alle punten uit de puntenverzameling. Constructie van een lijnenellips Hiermee wordt als het ware een ellips uitgespaard. De samenhang tussen de verschillende kegelsneden Iedere kegelsnede is te construeren uit 5 willekeurige punten. Als de 5 punten op een cirkelboog liggen, ontstaat een cirkel. Als de 5 punten ovaalvormig liggen, ontstaat een ellips. Als de ovaal aan één zijde "open" is, ontstaat een parabool. Als één van de 5 punten in het midden ligt, ontstaat een hyperbool. Grafisch is dit ook als volgt weer te geven. Pagina 27 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

29 Als 2 brandpunten samenvallen, ontstaat een cirkel. Als de 2 brandpunten uit elkaar bewegen, ontstaat een ellips. Als één van de brandpunten in het oneindige ligt, ontstaat een parabool. Als dit brandpunt via het oneindige aan de overzijde terugkeert, ontstaat ene hyperbool. Geraadpleegde bronnen Boek Lessen in Projectieve Meetkunde van Martin Kindt, ISBN Maatverdelingen op een lijn Een transformatie van het vlak padcurven Pagina 28 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1

30 Over dit lesmateriaal Colofon <p>de uitgewerkte tekeningen zijn veelal van leerlingen, de bordtekeningen zijn van R.Klinkenberg en B.Geels</p> Auteur Vrijescholen Laatst gewijzigd 23 august 2017 om 19:12 Licentie Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 3.0 Nederlands licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om: het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden. Meer informatie over de CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie Aanvullende informatie over dit lesmateriaal Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar: Eindgebruiker Moeilijkheidsgraad leraar gemiddeld Gebruikte Wikiwijs Arrangementen in Nederland, vrijescholen. (z.d.). Sjabloon periodevak. riodevak_ Pagina 29 Periode klas 11 projectieve meetkunde versie 1