Opgaven Sommaties Datastructuren, 8 mei 019, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven. 1. Huiswerk: Susan helpt 18 dagen lang studenten met hun wiskunde-huiswerk. De eerste dag helpt ze 6 studenten, de dagen daarna steeds 4 studenten meer. Hoeveel studenten helpt Susan? Oplossing: 70. De constante groei (steeds 4 meer) wijst op een rekenkundige reeks. De eerste dag helpt Susan 6 studenten, de laatste dag 74, de (E+L)A/-regel geeft dus antwoord 70.. Pizza s: Petra bezorgt 3 dagen lang pizza s. De eerste dag bezorgt ze 13 pizza s, de dagen daarna steeds 3 pizza s meer. Hoeveel pizza s bezorgt Petra? Oplossing: 1058. De constante groei (steeds 3 meer) wijst op een rekenkundige reeks. De eerste dag bezorgt Petra 13, de laatste dag 79, de (E+L)A/-regel geeft dus antwoord 1058. 3. Sommaties uitschrijven: Schrijf de termen van deze sommaties (voor zover mogelijk) uit en geef het antwoord met de juiste sommatieregel. (a) 8 j=0 j ; (b) 8 j=0 (3j j ); (c) 8 j=0 56 ( 1 )j. Oplossing: (a) De negen termen zijn 1 4 8 16 3 64 18 56 met som 511. De tweemachtregel (V-E) geeft 51 1 = 511. (b) De negen termen zijn 0 1 5 19 65 11 665 059 6305 met som 9330. De term is niet puur meetkundig dus je moet eerst termsplitsen en dan tweemaal de regel voor meetkundige som toepassen: 8 j=0 (3j j ) = 8 j=0 3j 8 j=0 j = (3 9 1)/ ( 9 1) = 9330. (c) De negen termen zijn 56 18 64 3 16 8 4 1 met som 511. De rekenregel (V-E)/(G-1) ofwel (E-V)/(1-G) geeft hier (56 1)/(1 1) = 511. De volgorde van de termen mag natuurlijk niet uitmaken voor (a) of (c), en je ziet dat dit bij correcte toepassing van de regel inderdaad zo is.
4. Bob de Bakker: Bobs Bakkerszaak loopt erg slecht. Op de eerste dag van februari verkoopt hij 115 broden, en elke dag verkoopt hij 4 broden minder dan de dag ervoor. Hoeveel broden verkoopt Bob in februari? Kan deze som ook in juli? Oplossing: Op 8 februari verkoopt hij er nog 7, totaal 14*(115+7) is 1708. In een schrikkeljaar verkoopt Bob nog 3 broden op de 9e dus totaal 1711. In juli kan het alleen als Bob ook het inleveren van oude broden faciliteert, wat me wel een grappig idee lijkt, maar niet vaak voorkomt. In juli wordt er 1 brood teruggebracht op de 30e en zelfs 5 op de 31e, zodat de netto verkoop 1705 is. In dit voorbeeld is E=115, L= 5, A=31 dus de uitkomst 1705 volgt ook uit de vuistregel. 5. Tweemaal Een Driehoeksgetal: Schrijf uit en los op met de sommatieregel: (a) n i=0 i; (b) n i=1 i. Oplossing: (a) De som is 0 + 1 + +... + (n 1) + n, dus n + 1 termen met Eerste 0 en Laatste n, oplossing (0 + n)(n + 1)/. (b) De som is 1 + +... + (n 1) + n, dus n termen met Eerste 1 en Laatste n, oplossing (1 + n)(n)/. De extra 0 term mag natuurlijk niets uitmaken, en je ziet dat dit bij correcte toepassing van de regel ook zo is. 6. Is het wel even?: De (E+L)A/-regel voor rekenkundige sommen deelt door. Otto denkt dat er hierdoor een voorbeeld kan zijn, waarin je alleen gehele getallen optelt, maar de uitkomst niet geheel is. Kun je zo n voorbeeld vinden, of waarom kan het niet? Oplossing: In alle gevallen (waarin alle termen geheel zijn) is tenminste een van de factoren (E+L) of A even. Het product is dan even zodat het geheeltallig door gedeeld kan worden. Als A even is, klopt dit natuurlijk evident. Bij oneven A, bedenk eerst dat L E = (A 1)V (met V het vaste verschil van opeenvolgende termen) en dat deze (A 1) nu even is. Het verschil van E en L is dus (bij een oneven aantal termen) zeker even, dus ze zijn beide oneven of beide even. Maar dan is hun som E+L zeker even. Omdat de regel klopt, geeft hij natuurlijk altijd een geheel getal als je er de som van gehele getallen mee uitrekent. 7. Sommaties oplossen: Geef een gesloten formule voor (a) n i=0 (i + 5); (b) n i=0 3; (c) 4 j=0 ( )j. Oplossing: (a) Rekenkundige reeks, (E+L)A/-regel geeft (5 + n + 5)(n + 1)/ dus (n + 11n + 10)/. (b) Constante term, let op dat er (n + 1) termen zijn, dus antwoord 3(n + 1) of 3n + 3. (c) Meetkundige reeks, (V-E)/(g-1)-regel geeft (( ) 5 1)/( 3) = 11.
8. Meetkundige sommaties: Geef een gesloten formule voor (a) n j=0 (j+1 j ); (b) n i=1 3 i ; (c) n i=1 3 ( )i. Oplossing: (a) Je kunt hier de term splitsen, of direct gebruiken dat j+1 j = j, je vindt n+1 1 met de tweemachtregel. (b) Factor 3 naar buiten brenegn, of rechtstreeks met machtregel geeft 3 ( n+1 ) = 6 n 6. (c) Gebruik de meetkundige somregel, (V-E)/(G-1) geeft (3 ( ) n+1 3 ( ))/( 3) = ( ) n+1. 9. Telescoop-sommatie: Een term A k heet een telescopische term als je hem kunt herschrijven tot A k = T k T k 1. Het sommeren van een telescopische term levert een eenvoudig resultaat omdat opeenvolgende T -termen wegvallen. (a) Bereken k 3 (k 1) 3. (b) Bewijs dat n 3 = n k=1 (3k 3k + 1). (c) Geef een formule voor de som van n kwadraten: n k=1 k. Oplossing: (a) k 3 (k 1) 3 = k 3 (k 3 3k + 3k 1) = 3k 3k + 1. (b) Gebruik inductie naar n. Voor n = 0 is de LHS 0, en de RHS een lege som dus ook 0. Stel (IH) dat (n 1) 3 = n 1 k=1 (3k 3k + 1), dan geldt n k=1 (3k 3k + 1) = n 1 k=1 (3k 3k + 1) + (3n 3n + 1) Afsplitsen = (n 1) 3 + (3n 3n + 1) IH toepassen = n 3 Vereenvoudigen (c) Noem deze kwadraatsom, die we nog niet weten, K(n), de Lineaire som, die we wel weten, L(n) = n k=1 k = 1n(n + 1), en de Eensom E(n) = n k=1 1 = n. Uit n 3 = n k=1 (3k 3k + 1) volgt (door het splitsen van de RHS) dat n 3 = 3K(n) 3L(n) + E(n) dus K(n) = 1 3 (n3 + 3L(n) E(n)) = 1 n(n + 1)(n + 1). 6 De methode van differentiesommatie probeert in feite, elke mogelijke sommatieterm te schrijven als telescoopterm. Dat is hoe Mathematica sommatiesommetjes oplost. 10. Dubbele sommatie: Bereken (a) n i i=0 j=0 j en (b) n i i=0 j=0 (j + 1). Oplossing: Je moet bij deze sommetjes van binnenuit werken, dus de binnenste sommatie eerst oplossen. (a) n i i=0 j=0 j = n i=0 (i+1 1) = n+ (n + 1). Pas hiervoor tweemaal de tweemachtregel toe. (b) n i=0 i j=0 (j + 1) = n i=0 De term 1(i+1)(1+i+1) is i +i+1 dus n i=0 (zie Telescoop-sommatie). 1 (i + 1)(1 + i + 1), immers de binnensom is rekenkundig. (i+1)(1+i+1) is K(n)+L(n)+n+1 1
11. Sommatie van Polynoom: Bewijs dat n i=1 i3 = Θ(n 4 ). Bewijs dat n i=1 im = Θ(n m+1 ) Oplossing: Omdat er n termen zijn met grootste term n 3, geldt in ieder geval n i=1 i3 n n 3 = 1 n 4. Voor even n: van de n termen hebben er n/ een i die minstens n/ is, dus is n i=1 i3 n ( n )3 = 1 16 n4. (Voor oneven n 3 is n 1 n, dus n 3 i=1 i3 > n 1 i=1 i3 1 (n 16 1)4 1 81 n4.) Omdat er n termen zijn met grootste term n m, geldt in ieder geval n i=1 im n n m = 1 n m+1. Voor even n: van de n termen hebben er n/ een i die minstens n/ is, dus is n i=1 im n ( n )m = 1 n m+1. m+1 Het stukje over oneven n hoeft er niet eens bij. 1. Harmonisch verschil: Voor positieve integers a en b, met b > a, laat S = H b H a = b b+1 i=a+1 1/i. Bewijs dat ln( ) < S < ln( b ). a+1 a Oplossing: Door blokjes met hoogte 1/i te tekenen, net onder of boven de grafiek van y = 1/x, zie je dat S meer is dan de oppervlakte onder het stuk [a, b] maar minder dan onder het stuk [a + 1, b + 1]. Gebruik t dx = ln t. s x s
13. Sommatie van Fibonacci s: De Fibonacci-getallen zijn gedefinieerd door f 0 = 0, f 1 = 1, en f i = f i 1 + f i voor i > 1. (a) Schrijf de eerste tien Fibonacci-getallen, f 0 t/m f 9, op. (b) Bereken de som van de eerste acht. (c) Bewijs dat voor alle n, n i=0 f i = f n+ 1. Oplossing: (a) 0 1 1 3 5 8 13 1 34. (b) Alles t/m de 13 bij elkaar is 33, hm, net 1 minder dan 34. (c) We bewijzen de stelling n : n i=0 f i = f n+ 1 met Volledige Inductie naar n. Voor n = 0 zijn de LHS ( Left Hand Side ) en RHS beide 0; namelijk de LHS is de som van 1 getal dat 0 is, dus 0, en de RHS is f 0 dus ook 0. Neem nu als InductieHypothese (IH) dat de gelijkheid klopt voor index n, dus (IH) n i=0 f i = f n+ 1. We gaan hieruit bewijzen dat de stelling geldt voor index n + 1, dus: n+1 i=0 f i = f n+3 1. Om dit uit de IH af te leiden, splitsen we van deze som de laatste term af: n+1 i=0 f i = n i=0 f i + f n+1 Afsplitsen = f n+ 1 + f n+1 Gebruik IH = f n+3 1 Def. f n+3 Voor (a) en (b) elk 1/pt, voor (c) pt, totaal 3. Beoordelingscodes: B = Veel stellingen over Fibonacci-getallen worden bewezen met twee Basisgevallen (n = 0 en n = 1), maar hier is eentje genoeg. Als je toch ook n = 1 apart (maar correct) afhandelt, geen aftrek. S = Begin met de IH en het bewijsdoel van de Inductiestap uit te Schrijven! In wiskundeboeken wordt dit meestal verkort tot stel dat het klopt, dan gaan we nu voor n + 1 bewijzen. Maar je bewijs zal beter lukken als je je goed realiseert, wat je precies moet bewijzen en wat je mag gebruiken.
14. Sommaties: Geef de uitkomst, en laat zien hoe je er aan komt, van: (a) n i=0 (3i 5) (b) S+1 1 k=1 (3k 1) (c) n k=, k even 1/k Oplossing: (a) De uitkomst is 1 (3n 7n 10). Berekening: Dit is een Rekenkundige reeks en de (E+L)A/-regel geeft hier ( 5 + 3n 5)(n + 1)/ wat ook gelijk is aan 1 (3n 7n 10). (b) De uitkomst is 3S+ 3 1 (S + 1). 4 Berekening: S+1 k=1 (c) Het is 1 H n/. Afleiding: 1 (3k 1) = 1 S+1 k=1 (3k 1) Const. Fac. = 1( S+1 k=1 3k S+1 k=1 1) Termsplits = 1( 3S+ 3 = 3S+ 3 4 1 (S + 1)) (V-E)/(g-1), Const. term 3 1 (S + 1)) Half naar binnen n k=1 k even 1/k = k n k =1 1/k Herschrijf even index = n/ k =1 1/ 1/k Herschrijf = 1/ n/ k =1 1/k Const. Fact. = 1/H n/ Definitie H (Bij oneven n moet je de deling in de bovengrens als integerdeling opvatten, dus afgerond naar beneden.) Te behalen 3pt, 1 voor elk goed antwoord. A = Het Aantal is n + 1 bij (a), niet n. B = Naar de berekening kijken we nauwelijks; als het antwoord goed is kunnen de punten al worden gegeven, tenzij duidelijk blijkt dat iets verkeerd is uitgewerkt. F = Een goed antwoord verfouterd bij het vereenvoudigen, 1/pt. H = H n is wel ongeveer ln n maar niet precies. M = De sommatie bij (b) is niet puur Meetkundig, je moet de 1 afsplitsen (TermSplitsing) voordat je de (V E)/(G 1)-regel toepast. N = Niet volledig versimpeld; als het antwoord een gesloten expressie is (dwz. geen sommatie meer bevat) werd meestal volledige punten toegekend.
15. Sommaties: Geef de uitkomst, en laat zien hoe je er aan komt, van: (a) n 1 i=0 (i + 3) (b) k=1 (c) n 3 k k= k Oplossing: (a) De uitkomst is n + n. Berekening: Dit is een Rekenkundige reeks van n termen, Eerste is 3 en Laatste is n + 1, en de (E+L)A/-regel geeft hier 1n(3 + (n 1) + 3) wat vereenvoudigt tot n + n. (b) De uitkomst is 1. Je kunt dit afleiden uit de oneindige meetkundige reeks k=0 xk = 1 : 1 x k=1 = 3 k k=0 Afsplitsen 3 k = k=0 ( 1 3 )k Const. Fact. = 1 Const. Fact. 1 1/3 = 1 (c) Het is n+1 4. Som van tweemachten is Volgende min Eerste. Te behalen 3pt, 1 voor elk goed antwoord. A = Het Aantal is n bij (a), niet n + 1. B = Naar de berekening kijken we nauwelijks; als het antwoord goed is kunnen de punten al worden gegeven, tenzij duidelijk blijkt dat iets verkeerd is uitgewerkt. C = Doe een kleine Check! Bv vul bij (a) eens in n = 3 en bereken 3 1 i=0 (i + 3) is 3 + 5 + 7 ofwel 15. Vul n = 3 ook in in een juiste formule: 3 + 3 is 15. De uitkomst van de sommatie en de formule moeten gelijk zijn! Dit is geen bewijs dat de formule klopt, maar wel een handige check die alle foute antwoorden zou ontmaskeren die ik heb gezien! D = Vuistregels voor Rekenkundige en Meetkundige reeks kun je Direct toepassen (als de reeks van het goede type is) dus naar buiten werken van 3 of factor is niet nodig. F = Een goed antwoord verfouterd bij het vereenvoudigen, 1/pt. G = Groeifactor is 1/3 bij (b) en bij (c). L = Voor de Laatste term moet je de hoogste i, n 1, invullen in de termformule. N = Niet volledig versimpeld; als het antwoord een gesloten expressie is (dwz. geen sommatie meer bevat) werd meestal volledige punten toegekend. R = Rekenfout waardoor je wel de goede methode toepast maar niet een goed antwoord vindt, streng afstraffen, 0pt. 16. Sommaties: Geef een gesloten formule voor (a) n+1 i=0 (3i 4) (b) k j=1 /(3j ) Oplossing: (a) Rekenkundige reeks. De eerste term is 4, de laatste term is 3n 1, het aantal termen is n + dus de uitkomst is 1 (n + )(3n 5). (b) Meetkundige reeks. De eerste term is, de volgende term (j = k + 1) is 3 /3k+1 en de groeifactor is 1/3. De formule (E V)/(1 g) geeft dus (/3 /3 k+1 )/(/3) ofwel (1 1/3 k ). Per goed antwoord een punt.
17. Sommatieregels: (a) Hoe luidt de rekenregel voor Termsplitsing? (b) Is de sommatie n 1 i=1 3i een Rekenkundige, Meetkundige of Harmonische sommatie? Zeg waarom. (c) Geef de uitkomst van n 1 i=1 3i. Oplossing: (a) q i=p (A i + B i ) = q i=p A i + q i=p B i. (b) Het is meetkundig, want voor elke i is het quotient van opeenvolgende termen, A i+1 /A i, gelijk aan 3 (i+1) /3 i is 9, dus constant. (Rekenkundig en Harmonisch is het niet.) (c) Het is een meetkundige sommatie met groeifactor 9, eerste term 1 en volgende term 3 n (of 9 n 1 ), het antwoord is dus 1 8 (3n 1) of 9n 1 1 8. Per deelvraag een punt. Beoordelingscodes: A = Ander Domein bij a mag ook. Je moet wel een domein noemen. B = Voor toepassen van de vuistregel hoef je geen factoren Buiten haakjes te brengen of de sommatie anderzins te normaliseren! Zodra je hebt vastgesteld dat de reeks meetkundig is, mag je de E, V en G identificeren. Hoe minder overbodige poespas je erbij haalt, des te minder fouten kun je maken! D = Dat is Domeinsplitsing. F = Je moet bij a wel een Formule geven, een omschrijving in woorden is niet genoeg. G = De Groeifactor is hier 9, niet 3! I = De sommatievariabele i mag niet voorkomen in de uitkomst want het is een gebonden variabele. L = Je gebruikt de Laatste ipv de Volgende term. M = Met de Machten: q i=p (Ai + B i ) = q i=p Ai + q i=p Bi geldt je formule eigenlijk als voorbeeld! Let erop dat een superscript en een punt (dus A of A i) de betekenis hebben van een concrete rekenkundige bewerking! Met subscript A i bedoel je: de i de term van A, of de formule A geevalueerd in waarde i, dit is dus een veel algemenere notatie. N = Je vergeet (G 1) in de Noemer te zetten. T = Veel mensen kennen wel de regel (V E)/(G 1) maar konden hem niet Toepassen. Men vond bv. de verkeerde groeifactor (3 ipv. 9) of men gebruikte de Laatste ipv. de Volgende term. Houd het zo simpel mogelijk! Je hoeft de sommatie niet te normaliseren door factoren af te splitsen of te herschrijven tot de exponent gelijk is aan i. V = Een Voorbeeld is minder sterk dan de algemene regel, levert ook minder op.
18. Sommaties: Geef de uitkomst, en laat zien hoe je er aan komt, van: (a) n i=1 i +3 i (b) k i=0 3i + 5 (c) n k=0 ( n k Oplossing: (a) De uitkomst is n(n + 1) + 3H n. Door termsplitsing kun je de som splitsen in een Rekenkundige plus Harmonische: n i +3 i=1 = n i i=1 i + 3 n 1 i=1 Termsplits, Const. Fac. i = (n + 1)n + 3H n Rekenkundige regel, Def. Harm. getal (b) De uitkomst is 1 (3k+1 1) + 5(k + 1). De term 3 i + 5 is niet meetkundig (reken maar na!) en je kunt de rekenregel meetkundige reeks pas gebruiken na termsplitsing (anders raak je de 5 helemaal kwijt!). Gebruik voor het eerste stukje vuistregel Meetkundige Reeks, voor het tweede deel de Constante Term (er zijn niet k maar k + 1 termen!). (c) Deze som is n. Je mag als bekend gebruiken dat de som van de n de regel van de driehoek van Pascal, n is. Elke kloppende afleiding (bv. met Newtons binomium) mag ook. Te behalen 3pt, 1 voor elk goed antwoord. Om de zaak overzichtelijk te houden (voor jullie en mij) wordt er alleen een punt gegeven voor een goed antwoord, dus geen punt, halve, kwartpunt of taartpunt als je enkele van de nodige rekenregels goed hebt toegepast maar toch op iets anders uitkomt. A = Het Aantal is n bij (a) en k + 1 bij (b). F = Een goed antwoord verfouterd bij het vereenvoudigen, 1/pt. H = H n is wel ongeveer ln n maar niet precies. M = De sommatie bij (b) is niet puur Meetkundig, je moet de 5 afsplitsen (TermSplitsing) voordat je de (V E)/(G 1)-regel toepast. N = Niet volledig versimpeld; als het antwoord een gesloten expressie is (dwz. geen sommatie meer bevat) werd meestal volledige punten toegekend. )
19. Sommaties: Los op: (a) n i=0 (5 3i) (b) n 1 j=0 j+1 (c) n i=1 (A i A n i ) Oplossing: (a) Pas de regel (E+L)A/ voor rekenkundige reeksen toe: 1 (n + 1)(10 3n), of 1 ( 3n + 7n + 10). (b) Meetkundige reeks, dus regel (V-E)/(G-1), met groeifactor 4: 1 3 (n+1 ). (c) Hier komt A n A 0 uit. Je kunt dit inzien door het voor een kleine n even uit te schrijven, bv. n = 5 geeft (A 1 A 4 ) + (A A 3 ) + (A 3 A ) + (A 4 A 1 ) + (A 5 A 0 ), wat na wegvallen gewoon A 5 A 0 is. Of mooier, met echte wiskunde: n i=1 (A i A n i ) = n i=1 A i n i=1 A n i Termsplitsing = n i=1 A i n 1 i=0 A i Dummy Trans i wordt n i = n 1 i=1 A i + A n (A 0 + n 1 i=1 A i) Tweemaal afsplitsen = A n A 0 Wegvallende sommen Per deelvraag een punt. Codes: A = Aantal bij (a) is n + 1. G = (b) lijkt een tweemacht maar door de i in de exponent is de Groeifactor hier 4. J = Vraag (b) vermeldde abusievelijk i in de exponent (antwoord is dan n i+1 wegens constante term), maar na tweemaal mondelinge correctie zijn hier gelukkig geen vergissingen mee gemaakt.