Eerste Toets Datastructuren 25 mei 2018, , Educ-Γ.

Transcriptie

1 Eerste Toets Datastructuren 25 mei 2018, , Educ-Γ. Motiveer je antwoorden kort! Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op hoe je de vraag interpreteert en beantwoord de vraag zoals je hem begrijpt. Cijfer: Vraag 6 telt voor 2pt en elke andere voor 3pt. Maak vragen 1 en 2 op de voorkant, vragen 3 en 4 op pagina 2 en vragen 5 en 6 op pagina 3 van je blad. 1. Zoeken: Gegeven is een long [] A waarvan de waarden aflopend geordend zijn. Geef een efficiënte methode bool Zoek(long X) die bepaalt of waarde X voorkomt in A. Oplossing: Met binair zoeken bepaal je de laatste waarde die >= X is, waarna je alleen nog moet kijken of die waarde gelijk is aan X. De invariant is nu A[i] X A[j] < X zodat na het zoeken, eventueel X op plek i kan staan (mits die binnen de arraygrenzen ligt): bool Zoek (long X) { int i = -1; int j = A.length; while(j > i+1) { m = (i+j)/2; if (A[m] < X) j=m; else i=m; } if (i == -1) return false; else return (A[i] == X); } Beoordeling/Toelichting: Tot 3pt. Drie verschillen met de standaardcode voor BS: (1) het gaat op longs ipv ints maar dat maakt nauwelijks verschil; (2) je moet een true/false uitkomst geven dus de i en j nog interpreteren; (3) de ordening is aflopend. Codes: A = Is een int genoeg voor de Afmeting van A? Misschien wil je hiervoor wel uint of long gebruiken, maar hier mocht je dat negeren. B = Geeft goede Booleaanse waarde niet. C = Met Conditie (j > i) loopt je lus oneindig door, 1pt eraf. D = Een Duale oplossing die de eerste waarde <= X bepaalt is even goed. E = Early Stopping kost altijd extra tests, minstens 2 per ronde. Er werden ook Early Stoppers gesignaleerd met drie en zelfs vijf tests per ronde! Vaak wijst dit op onzekerheid over wat je aan het doen bent. F = Een conditie mag in een booleaanse Formule staan, schrijf dus niet het omslachtige if (A[i]==X) return true; else return false; maar het kortere return A[i]==X;. G = Zoekcode Gebruikt A niet; verwar niet i met A[i]! K = Kijk eerst apart of X buiten de range van A valt, is overbodig. L = Lineair zoeken kost lineaire tijd, totaal max 1pt. M = Midpointberekening niet te ingewikkeld maken. De beste plek voor de berekening van m is het begin van de loopbody, dus niet buiten de loopbody of aan het eind. N = Foute initialisatie. Vaak werd (bij niet vermelden van een invariant impliciet) er van uit gegaan dat op plekken A[i] en A[j] de gezochte waarde niet staat. De initialisatie i=0; of j=a.length-1 is dan fout omdat je X op die plekken mist. Initialisatie van j op A.length+1 of MaxLong laat je programma uit de arraygrenzen lopen. R = Geen Rekening gehouden met aflopende sortering. S = Speciaal geval dat i == -1 (alle getallen zijn kleiner dan X) vergeten, -1/2pt. T = Binair zoeken gebruikt altijd Twee variabelen om het zoekgebied te beschrijven.

2 2. Sorteren: (a) Wanneer is een sorteermethode stabiel? (Geef definitie in 1 zin.) (b) Waarop moet je bij het programmeren van InsertionSort letten om de implementatie stabiel te krijgen? (Omschrijf in 1 zin.) (c) Bewering: SelectionSort werkt snel wanneer de keys in de invoer in bijna omgekeerde volgorde staan. Is dit juist? Onderbouw je antwoord (kort!). Oplossing: (a) Stabiel betekent dat het algoritme ervoor zorgt dat gelijke keys altijd in dezelfde volgorde in de uitvoer staan als in de invoer. (b) De in te voegen key moet alleen over keys heen springen die strikt kleiner zijn dan die, dus nooit over een gelijke. (c) Dit is onjuist. Elke Selectie-stap kijkt naar alle elementen die nog komen. De rekentijd is dus helemaal niet (zoals bij InsertionSort) afhankelijk van de beginvolgorde. Beoordeling/Toelichting: Per deelvraag 1pt. Codes: C = Concreter aangeven in welke situatie je keys niet moet verwisselen. I = Nee dit geldt voor InsSort : onvolledig want zegt niets over SelSort. L = Nee dan is SelectionSort juist Langzaam is onjuist, 1/2. V = Aantal Verplaatsigen is bij SelectionSort laag namelijk lineair. Z = Als je een USB-stick zoekt in honderd laadjes, ben je snel klaar als hij in een van de eerste laadjes ligt. Maar zoeken naar het kleinste element werkt zo niet! Ook als het kleinste bijna vooraan staat, moet je alles bekijken omdat je niet weet dat hij de kleinste is voordat je alles hebt bekeken.

3 3. Sommaties: Geef de uitkomst, en laat zien hoe je er aan komt, van: (a) n i=1 2i2 +3 i (b) k i=0 3i + 5 (c) n k=0 ( n k Oplossing: (a) De uitkomst is n(n + 1) + 3H n. Door termsplitsing kun je de som splitsen in een Rekenkundige plus Harmonische: n 2i 2 +3 i=1 = n i i=1 2i + 3 n 1 i=1 Termsplits, Const. Fac. i = (n + 1)n + 3H n Rekenkundige regel, Def. Harm. getal (b) De uitkomst is 1 2 (3k+1 1) + 5(k + 1). De term 3 i + 5 is niet meetkundig (reken maar na!) en je kunt de rekenregel meetkundige reeks pas gebruiken na termsplitsing (anders raak je de 5 helemaal kwijt!). Gebruik voor het eerste stukje vuistregel Meetkundige Reeks, voor het tweede deel de Constante Term (er zijn niet k maar k + 1 termen!). (c) Deze som is 2 n. Je mag als bekend gebruiken dat de som van de n de regel van de driehoek van Pascal, 2 n is. Elke kloppende afleiding (bv. met Newtons binomium) mag ook. Beoordeling/Toelichting: Te behalen 3pt, 1 voor elk goed antwoord. Om de zaak overzichtelijk te houden (voor jullie en mij) wordt er alleen een punt gegeven voor een goed antwoord, dus geen punt, halve, kwartpunt of taartpunt als je enkele van de nodige rekenregels goed hebt toegepast maar toch op iets anders uitkomt. A = Het Aantal is n bij (a) en k + 1 bij (b). F = Een goed antwoord verfouterd bij het vereenvoudigen, 1/2pt. H = H n is wel ongeveer ln n maar niet precies. M = De sommatie bij (b) is niet puur Meetkundig, je moet de 5 afsplitsen (TermSplitsing) voordat je de (V E)/(G 1)-regel toepast. N = Niet volledig versimpeld; als het antwoord een gesloten expressie is (dwz. geen sommatie meer bevat) werd meestal volledige punten toegekend. )

4 4. Ordes, Ω, Θ en O: Zijn deze beweringen WAAR of ONWAAR? (a) f(n) = O(2 n ) en f(n) = O(3 n ) zijn equivalent. (b) n 3 = Θ(2 n ). (c) 2 lg n = O(n). (d) O(n lg n) + O(n lg 2 n) = O(n lg n). (e) lg n = Θ( 10 log n). (f) Θ(lg(n 2 )) = Θ(lg(n 3 )). (g) lg((n 2 )!) = O(n 2 lg n). (h) lg(n 2 ) lg(n 2 ) = Θ(lg(n 4 )). (i) 4n lg n + 2n 2 + lg 2 n = O(n 2 ). (j) 4 lg 3 n + 2 n = O(lg n). (Geef duidelijk aan over welke bewering je het hebt.) Oplossing: (a) ONWAAR, want 2 n en 3 n zijn functies van verschillende orde. Bijvoorbeeld f(n) = 2, 5 n is niet O(2 n ), maar wel O(3 n ). (b) ONWAAR, n 3 is namelijk een polynomiale functie (kubisch), en dat is altijd van kleinere orde dan een exponentiële functie. (c) WAAR, want 2 lg n is gewoon n. (d) ONWAAR, de tweede term aan de linkerkant is van strikt grotere orde dan n lg n, en wordt niet geabsorbeerd. Integendeel, hij absorbeert de eerste en het geheel is O(n lg 2 n). (e) WAAR, logaritmen van verschillende grondtallen verschillen maar een constante factor en zijn dus van dezelfde orde (lg n 3, 3 log n). (f) WAAR want lg(n 2 ) is exact 2/3 lg n 3. (g) WAAR, op werkcollege is bewezen dat lg(n!) = Θ(n lg n). Toegepast op (n 2 )! betekent dit Θ(n 2 lg(n 2 )), en de kwadraat binnen de lg maakt geen verschil. (h) ONWAAR, beide factoren links zijn logaritmisch omdat lg(n 2 ) = 2 lg n. Het product is dus Θ(lg 2 n), wat meer is dan aan de rechterkant staat. (i) WAAR want links is de kwadratische term de grootste (ook al staat hij niet vooraan!) en absorbeert de andere termen. (j) ONWAAR, aan de linkerkant is de wortel van grotere orde dan de log, dus de wortel is hier de leidende term en het geheel is polynomiaal, niet polylogaritmisch. Beoordeling/Toelichting: Tot 3pt, 1/2 per goed antwoord vanaf het vijfde (dus 4 goed is 0pt, 5 goed is 1/2pt, 6 goed is 1pt, etc). T = Toelichting hoeft er niet bij, binair antwoord is genoeg.

5 5. Studentnummers sorteren: Je moet een programma schrijven waarmee dagelijks een log van aanmeldingen op de UU-netwerken wordt gesorteerd. Elke log-entry bestaat uit een studentnummer als int en een tekstje van ongeveer 100 karakters. Het aantal van een dag is ongeveer honderdduizend en het moet gesorteerd worden op studentnummer. Counting/RadixSort is hier een goede keuze, maar in hoeveel passes? (a) Hoeveel geheugen en tijd is ongeveer nodig wanneer je alleen Counting Sort gebruikt (dus 1 pass)? (b) Hoeveel geheugen en tijd is nodig als je twee passes gebruikt, eerst op de 16 minst significante bits en dan op de 16 meest significante? (c) Bespreek (kort!) een of twee mogelijke opties voor verdere verbetering. Oplossing: De omvang van de data is ca keer 100 bytes dus 10MB. Het lijkt zinvol, de hoeveelheid te gebruiken data in vergelijking hiermee te bekijken. In een ronde van CountingSort moet je n maal een counter ophogen, dan M optellingen doen voor de cumulatief, en n maal data verplaatsen. (a) Collegekaartnummers hebben 7 cijfers en lopen dus tot 10 miljoen. Je gebruikt een array van 10 miljoen counters (4B per stuk dus 40MB) en het cumuleren kost 10 miljoen stappen. Dat is veel meer dan de twee keer dat ik naar elk van de keys kijk. In O-notatie, van de complexiteit O(n + M) is hier de M dominant. (b) Dit gebruikt tweemaal CountingSort met een M van 65536, waarvoor je dus 4x ofwel 1/4 MB nodig hebt voor de counters, en optellingen voor het cumuleren. Geheugengebruik en cumuleren zijn nu vrij klein ten opzichte van de tijd en het geheugen dat je toch al gebruikt. (c) Kortere passes: Collegekaartnummers zijn altijd kleiner dan 10 miljoen dus van de 32 bits worden er maar 24 gebruikt. Sorteren in twee passes op de 12 minst significante en dan de volgende 12 verkleint de overhead nog wat. Meer passes: Vier passes waarin je op acht bits sorteert verkleinen de M wel, waarmee de tijd van CountingSort iets afneemt, maar je verdubbelt het aantal handelingen voor elk van de keys dus dit is niet slim. BucketSort: De spreiding van collegekaartnummers is niet gelijkmatig over het bereik. Te meer omdat sommige personen heel vaak inloggen. BucketSort is daarom geen goed idee. Insertion/Selection Sort: Kwadratische complexiteit, volkomen onaanvaardbaar. Quick/Merge/Heap Sort: Algemene methoden (comparison based) met Θ(n lg n) complexiteit, lijkt overbodig want Count/Radix-aanpak is veel sneller. Beoordeling/Toelichting: Een punt voor elke deelvraag. Het moet duidelijk zijn dat je begrijpt dat de M overhead bij (a) domineert en bij (b) juist klein is. Codes: B = Noemt BucketSort maar zegt niets over spreiding. Waarschijnlijk is bij een probleem als dit de spreiding slecht, maar als je dit aspect noemt (en zegt dat de spreiding goed is) is het al goed. C = Geheugen en tijd voor Counters (dus de extra Θ(M)) verwaarloosd. D = Elke log Direct invoegen kost je minstens logaritmische tijd per key dus is in totaal zeker niet beter dan twee passes CountingSort. E = Voor meerdere passes heb je maar Eenmaal de array met counters nodig omdat je die hergebruikt.

6 G = Geheugen keer 16b? De 16 MSB en 16 LSB sla je niet apart op. H = De Hoogte van de counters kan tot n oplopen. Tijdens het tellen al omdat je niets weet over de spreiding van de keys (in het meest extreme geval heeft 1 student keer ingelogd!). En bij het berekenen van de cumulatief lopen de waarden aan het eind van de tabel zeker op tot n. M = Meer passes verkleinen het geheugengebruik marginaal, maar laten wel de tijd toenemen, dus niet slim. R = Studentnummers zijn Redundant vanwege een checksum die maakt dat je alleen naar de eerste zes cijfers hoeft te kijken. Je kunt dus in een enkele pass met M = sorteren op (nummer mod 10), of dit nog weer over twee passes M = 1000 verdelen. S = De Satellietdata (100byte strings) wordt niet echt verplaatst. Meestal sla je dit op in objecten en sorteer je de array met objecten, waardoor er alleen pointers echt worden verplaatst.. U = De keys zijn zeker niet Uniek (met logs van studenten). Je kunt ook niet aannemen dat elke student even vaak inlogt; waarschijnlijker is meerdere logins voor weinig studenten en geen voor heel veel studenten. V = Veranderen van dataopslag is het Veranderen van het probleem, niet het oplossen ervan. (In de praktijk zijn siftwarebedrijven hier trouwens erg succesvol mee.) W = Als je twee passes gebruikt in plaats van een, wordt de M niet de helft, maar de Wortel van de oude. Z = Iets noemen wat al in a of b Zit is geen verbetering. 6. Rode kaart: Een standaard pak van 52 kaarten heeft 26 rode en 26 zwarte kaarten. Als je willekeurig tien kaarten eruit pakt, wat is dan de kans dat je precies 4 rode (en dus 6 zwarte) erbij hebt? Oplossing: Pas klassieke kansrekening toe, waarbij elke deelverzameling van tien kaarten een elementaire gebeurtenis is. Het aantal grepen van 10 kaarten is C(52, 10) = 1, 582e10. Hoeveel deelverzamelingen hebben exact vier rode? Er zijn C(26, 4) = combinaties van vier rode kaarten en C(26, 6) = combinaties van zes zwarte, dus 14950* = grepen van tien met vier rode. De gevraagde kans is dus C(26, 4)* C(26, 6) / C(52,10) = Beoordeling/Toelichting: Twee punten voor een goed onderbouwde Codes: D = Antwoord Deels goed. Meerdere keren werd in de teller opgeteld ipv vermenigvuldigd, dan 1/2 totaal. F = Foute formule/uitkomst zonder uitleg; 0pt. P = Als je met Permutaties rekent krijg je P(26, 4)* P(26, 6) / P(52,10) = , de kans dat je eerst achterelkaar vier rode en dan achterelkaar zes zwarte pakt. Vraag gaat hier niet over, 1/2pt. T = Berekening met Teruglegging: kans is C(10, 4) 1 = Geeft 1pt, mits goed 2 10 gemotiveerd en uitgevoerd. Bij teruglegging geeft elke trekking een onafhankelijke kans van 1/2 op een rode kaart, en dan kun je bernoulli gebruiken. Bedoeling van opgave was zonder teruglegging en tekst geeft geen aanleiding dat terugleggen gebeurt.