Datastructuren en algoritmen voor CKI

Transcriptie

1 Datastructuren en algoritmen voor CKI Jeroen Bransen 1 11 september met dank aan Hans Bodlaender en Gerard Tel

2 Heaps en heapsort

3 Heap

4 Heap operaties max-heapify: zorg voor behoud max-heap eigenschap build-max-heap: maak heap van array heapsort: sorteer gegeven array met behulp van heap

5 Heapsort heapsort(a) 1 build-max-heap(a) 2 for i = A.length downto 2 3 wissel A[1] en A[i] 4 A.heap-size = A.heap-size 1 5 max-heapify(a, 1)

6 Slechtste geval max-heapify:

7 Slechtste geval max-heapify: O(log n)

8 Slechtste geval max-heapify: O(log n) build-max-heap: O(n) (zien we zo)

9 Slechtste geval max-heapify: O(log n) build-max-heap: O(n) (zien we zo) heapsort: O(n log n)

10 Slechtste geval build-max-heap Simpele analyse geeft bovengrens O(n log n) (want: n/2 keer O(log n) werk)

11 Slechtste geval build-max-heap Simpele analyse geeft bovengrens O(n log n) (want: n/2 keer O(log n) werk) Maximaal n 2 h+1 knopen op hoogte h

12 Slechtste geval build-max-heap Simpele analyse geeft bovengrens O(n log n) (want: n/2 keer O(log n) werk) Maximaal n 2 h+1 knopen op hoogte h Tijd voor een knoop op hoogte h is O(h)

13 Slechtste geval build-max-heap Simpele analyse geeft bovengrens O(n log n) (want: n/2 keer O(log n) werk) Maximaal n 2 h+1 knopen op hoogte h Tijd voor een knoop op hoogte h is O(h) Dus n O(h) = O n 2h+1 log n h=0 log n h=0 h 2 h

14 Slechtste geval build-max-heap Simpele analyse geeft bovengrens O(n log n) (want: n/2 keer O(log n) werk) Maximaal n 2 h+1 knopen op hoogte h Tijd voor een knoop op hoogte h is O(h) Dus n O(h) = O n 2h+1 log n h=0 h=0 h 2 h = 2 log n h=0 h 2 h

15 Slechtste geval build-max-heap Simpele analyse geeft bovengrens O(n log n) (want: n/2 keer O(log n) werk) Maximaal n 2 h+1 knopen op hoogte h Tijd voor een knoop op hoogte h is O(h) Dus n O(h) = O n 2h+1 log n h=0 Dus totaal O(n) h=0 h 2 h = 2 log n h=0 h 2 h

16 Onder- en bovengrenzen

17 Big O O is asymptotische bovengrens O(g(n)) = {f (n) : er zijn positieve constanten c en n 0 met 0 f (n) c g(n) voor alle n n 0 } O(n) is dus een verzameling van functies die lineaire tijd kosten We schrijven f (n) = O(n) ipv f (n) O(n) Informeel: vergeet constanten en kijk alleen naar grootste factor

18 Big O Bijvoorbeeld: 3n 2 = O(n 2 ) 7n log n = O(n log n) 2n 3 + 4n 2 + 3n + 5 = O(n 3 ) Maar ook: n log n = O(n 2 ) n 3 = O(n 4 )

19 Omega Ω is asymptotische ondergrens Ω is duaal aan O Ω(g(n)) = {f (n) : er zijn positieve constanten c en n 0 met 0 c g(n) f (n) voor alle n n 0 } Ω(n) is dus een verzameling van functies die minstens lineaire tijd kosten

20 Theta Θ is combinatie van O en Ω Θ geeft asymptotisch strakke grenzen (tight bound) Θ(g(n)) = {f (n) : positieve constanten c 1, c 2 en n 0 met 0 c 1 g(n) f (n) c 2 g(n) voor alle n n 0 } Oftewel: als f (n) = O(g(n)) en f (n) = Ω(g(n)), dan f (n) = Θ(g(n)) Bijvoorbeeld: 4n 2 + 7n = Θ(n 2 )

21 Onder- en bovengrenzen

22 Onder- en bovengrenzen Ω geeft ondergrens O geeft bovengrens Θ geeft exacte grens O vaak gebruikt terwijl Θ bekend is

23 Voorbeelden Zoek-in-rij: Θ(n) slechtste geval Θ(1) beste geval Θ(n) gemiddelde geval Binair zoeken: Θ(log n) slechtste geval Θ(log n) beste geval (kan beter) Θ(log n) gemiddelde geval

24 Voorbeelden Insertion sort, bubble sort: Θ(n 2 ) slechtste geval Θ(n) beste geval Θ(n 2 ) gemiddelde geval Merge sort, heap sort: Θ(n log n) slechtste geval Θ(n log n) beste geval Θ(n log n) gemiddelde geval Quicksort: Θ(n 2 ) slechtste geval Θ(n log n) beste geval Θ(n log n) gemiddelde geval

25 Andere grenzen

26 Kleine o O geeft groter of gelijk aan -grens o is altijd een groter dan -grens o(g(n)) = {f (n) : voor elke positieve constante c > 0 bestaat een constante n 0 zodat 0 f (n) < c g(n) voor alle n n 0 } Bijvoorbeeld: 2n = o(n 2 ) Maar: 2n 2 o(n 2 )

27 Kleine ω Op dezelfde manier ω voor Ω ω(g(n)) = {f (n) : voor elke positieve constante c > 0 bestaat een constante n 0 zodat 0 c g(n) < f (n) voor alle n n 0 } Bijvoorbeeld: n 2 /2 = ω(n) Maar: n 2 /2 ω(n 2 )

28 ADTs

29 ADT Abstract DataType Niet hetzelfde als implementatie of datastructuur ADT geeft: Type van de data Operaties op de datastructuur Type van de parameters van operaties Bijvoorbeeld: Heap is ADT, de array implementatie van heap een concrete datastructuur

30 Voorbeeld ADT: Set Operatie: bevat(x) geeft boolean die bepaalt of de set een element bevat Mogelijke implementaties: Ongesorteerde array: O(n) Gesorteerde array: O(log n) Heap, gebalanceerde boom, etc...

31 Meer heap operaties

32 Operaties heap-maximum: Geeft maximum element in max-heap heap-extract-max: Haalt maximum element uit max-heap heap-increase-key: Verhoog waarde op bepaalde positie in max-heap max-heap-insert: Voeg waarde toe aan max-heap Te gebruiken voor Priority Queue (zien we later)

33 Heap-maximum heap-maximum(a) 1 return A[1] Slechtste (en beste) geval: Θ(1)

34 Heap-extract-max heap-extract-max(a) 1 if A.heap-size < 1 2 error heap is leeg 3 max = A[1] 4 A[1] = A[A. heap-size] 5 A.heap-size = A.heap-size 1 6 max-heapify(a, 1) 7 return max Slechtste geval: Θ(log n)

35 Heap-increase-key heap-increase-key(a, i, key) 1 if key < A[i] 2 error nieuwe waarde is kleiner dan oude waarde 3 A[i] = key 4 while i > 1 and A[parent(i)] < A[i] 5 wissel A[i] en A[parent(i)] 6 i = parent(i) Slechtste geval: Θ(log n)

36 Max-heap-insert max-heap-insert(a, key) 1 A.heap-size = A.heap-size A[A. heap-size] = 3 heap-increase-key(a, A. heap-size, key) Slechtste geval: Θ(log n)