TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (Y480) op november 999, 4.00-7.00 uur Formuleer de uitwerkingen der opgaven duidelijk en schrijf ze overzichtelijk op.. Zij v(x,y) := e x (x sin y + y cos y) voor x,y R. Bepaal een analytische functie f(z)zo dat (met z = x + iy) geldt Im f(z)= v(x,y) en f(0) = 0.. Gegeven zij de reeks ( ) z n (n + ) (z C,z = 0). z + n=0 (a) Bepaal het convergentiegebied. (b) Bepaal de som. 3. Gegeven de functie f(z):= (sin z) a z b z, bepaal de constanten a en b zo dat f(z)een ophefbare singulariteit heeft in z = 0.Watisin dit geval f(0)? 4. Bereken de integraal z cos z z =π sin z dz. 5. Bereken de integraal sin z dz, C z 3 waarbij de integratieweg C bestaat uit het interval (, ] op de reële as, de halve eenheidscirkel in het bovenvlak, en het interval [, ). Normering 3 4 5 ab 0 55 0 0 0 Het totaal wordt gedeeld door 5.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (Y480) op november 999, 4.00-7.00 uur Opgave Zij v(x,y) :=e x (x sin y +y cos y) voor x,y R. Bepaal een analytische functie f(z) zo dat (met z = x + iy) geldt Im f(z)= v(x,y) en f(0) = 0. Oplossing: De functies u(x, y) en v(x,y) voldoen aan de vergelijkingen van Cauchy-Riemann: u x = v y, u y = v x Er geldt v x = e x (x sin y + y cos y + sin y), v y = e x (x cos y + cos y y sin y). We integreren u y = v x naar y en vinden u(x, y) = e x (x cos y y sin y) + ϕ(x), waar ϕ onfahankelijk is van y. We differentiëren u naar x en gebruiken u x = v y : u x = e x (x cos y y sin y + cos y) + ϕ (x) = v y = e x (x cos y + cos y y sin y). Hieruit volgt dat ϕ (x) = 0, dus dat ϕ(x) = C constant is. Omdat f(0) = 0, geldt 0 = Re f(0) = u(0, 0) = ϕ(0) = C. We convluderen u(x, y) = e x (x cos y y sin y). We drukken nog f(z)in z uit: f(z)= u(x, y) + iv(x, y) = e x [(x cos y y sin y) + i(x sin y + y cos y)]= = e x [(x + iy) cos y + i(x + iy) sin y] =(x + iy)e x (cos y + i sin y) = ze z.
Opgave Gegeven zij de reeks ( ) z n (n + ) (z C,z = ). z + n=0 (a) Bepaal het convergentiegebied. (b) Bepaal de som. Oplossing: (a) We introduceren de variabele w := z z+. De reeks n=0 (n + )wn is een machtreeks. Volgens bijv. het criterium van d Alembert is deze reeks convergent voor w < en divergent voor w >. Voor w = is de absolute waarde van de algemene term (n + )w n. De termen gaan dus niet naar nul. Bijgevolg divergeert de reeks. We zien dus dat de reeks convergeert dan en slechts dan als w <. De oorspronkelijke reeks convergeert dan en slechts dan als z < z +. Meetkundig betekent deze voorwaarde: De afstand van z tot het punt is kleiner dan de afstand tot het punt. Dit is het geval als het punt z in het rechterhalfvlak ligt, dus als Re z>0. We kunnen dit laatste resultaat ook door berekening vinden door de ongelijkheid z < z + te kwadrateren en uit te werken in reële en imaginaire deel. (b) Om de functie F(w) := n=0 (n + )wn te bepalen voor w <, definiëren we G(w) := n=0 wn = ( w). Dan vinden we door termsgewijs differentiëren dat G (w) = n= nwn = n=0 (n + )wn = F(w). Dus F(w) = ( w). In de variabele z uitgedrukt wordt dit (n + ) n=0 ( ) z n = F z + ( ) ( z = z ) = 4 z + z + ( + z). Opgave 3 Gegeven de functie f(z):= (sin z) a z b z, bepaal de constanten a en b zo dat f(z)een ophefbare singulariteit heeft in z = 0. Watisinditgevalf(0)?
3 Oplossing: We berekenen de Laurentontwikkeling van g(z) :=/(sin z) om het punt z = 0. We vinden achtereenvolgens sin z = z 6 z3 + O(z 5 ) = z( 6 z + O(z 4 )), (sin z) = (z( 6 z + O(z 4 ))) = z ( 3 z + O(z 4 )), (sin z) = z ( + 3 z + O(z 4 )) = z + 3 + O(z ). In de laatste vergelijking hebben we gebruikt dat ( w) = ( + w + w + ) Uit deze berekeningen volgt f(z)= (sin z) a z b z = a z b z + 3 + O(z ). We zien dat f(z)analytisch in z = 0 als a = enb = 0. In dat geval is f(0) = 3. Opgave 4 Bereken de integraal z cos z sin z dz. z =π Oplossing: We onderzoeken de singuliere punten van de functie f(z):= z cos z sin z. De teller T(z) := z cos z is nul als z = 0 of als cos z = 0. Het laatste doet zich voor als z = (k + )π, voor k Z. Alle nulpunten van T(z) zijn enkelvoudig, want in de nulpunten is T (z) = cos z z sin z = 0. De noemer N(z) := sin z is gelijk aan nul als sin z =, dus als z = z k := (k + )π met k Z. Deze nulpunten zijn tweevoudig, want N (z k ) = cos z k = 0enN (z k ) = sin z k =. Combinatie van deze resultaten levert dat f(z)een enkelvoudige pool heeft in de punten z k. Voor de berekening van de gevraagde integraal hebben we alleen de polen van f binnen de cirkel z =π nodig. Van de punten z k is dat alleen z 0 = π (z = 5 π en z = 3 π. Allebei zijn ze groter dan π in modulus).
4 We berekenen het residu van f(z)in π. Daartoe substitueren we z = π + w en we introduceren h(w) :=f( π + w). Dan vinden we h(w) = ( π + w) cos( π + w) sin( π + w) = ( π + w) sin w cos w = ( π + w)(w + O(w3 )) ( w + O(w 4 )) = ( π + w)( + O(w )) w( +. O(w )) = dus h(w) = w π + O(w) + O(w ) = π + analytische functie. w Hieruit volgt dat Res f(z)= Res h(w) = π. z= π w=0 We vinden zo dat de gevraagde integraal gelijk is aan πi Res z= π f(z)= π i. Opgave 5 Bereken de integraal sin z dz, z 3 C waarbij de integratieweg C bestaat uit het interval (, ] op de reële as, de halve eenheidscirkel in het bovenvlak, en het interval [, ). Oplossing: We schrijven f(z) := (sin z)/z 3 = (f (z) f (z))/(i), waar f (z) := e iz /z 3 en f (z) :=e iz /z 3. De gevraagde integraal I kunnen we overeenkomstig splitsen: I = (I I )/(i). De integraal I := f (z) dz C
5 berekenen we door de contour met een grote halve cirkel C R := {z C Im z 0, z =R} af te sluiten in het bovenhalfvlak en het stuk R van de oorspronkelijke integratieweg te nemene gelegen tussen R en R op de reële as. Voor R gaat de bijdrage over de halve cirkel C R naar nul, omdat f (z) /R 3. Anderzijds heeft de functie f (z) geen singulariteit binnen de contour. We concluderen dus dat I = 0. De integraal I := C f (z) dz berekenen we op soortgelijke manier, maar dan met een contour die een halve cirkel in het onderhalfvlak bevat. De bijdrage over die halve cirkel gaat weer naar nul als R. Nu is er echter een pool binnen de contour, namelijk het punt z = 0. We berekenen het residu van f (z) in dit punt. Res f e iz (z) = Res z=0 z=0 z 3 = Res z=0 z 3 ( + ( iz) + ( iz) + ) = Met een extra minteken vanwege de integratierichting vinden we nu I = πi Res z=0 f (z) = πi. Tenslotte is I = I /(i) = πi/(i) = π.