Hoofstuk De afgeleie lazije 9 V-a 8 8 8 kg lengte in m gewiht in kg 8 7 8 9 8 gewiht 8 8 lengte m weegt 8 kg us m weegt 8 : 8 kg. e 8 m 8 8 is het startgetal en 8 is het hellingsgetal. V-a ();(); ();( );( ) 9 8 7 9 8 7 7 8 9 Kies ijvooreel ( ) en ( ). Dan vershillen e -oörinaten. Kies ijvooreel ( ) en ( ). Dan vershillen e -oörinaten. e Aan ; het hellingsgetal. 7 8 9 7 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - De afgeleie V-a 9 8 7 9 8 7 7 8 9 ( ) + + + Dus is het snijpunt ( ). Het hellingsgetal moet zijn en het startgetal van l is Dus gelt voor lijn l e formule: + Voor lijn m gelt: + ( ) invullen geeft: + 88 + 8 Dus is 8 het startgetal van lijn m 7 8 9 lazije 9 V-a 8 B 8 A 7 8 9 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v 7
Hoofstuk - De afgeleie 8 9 + V-a Hellingsgetal 8 De formule is us van e vorm + en gaat oor het punt ( 8). Dus + 8. Lineaire formule + Hellingsgetal 9 7 De formule is us van e vorm 7 + en gaat oor het punt ( ). Dus 7 + 9. Lineaire formule 7+ Hellingsgetal 78 ( ) ( ) ( ) invullen in + geeft + Lineaire formule V-a ( 7) invullen in + geeft 7 + 7 Lineaire formule 7 De lijn is evenwijig aan + 8 us is van e vorm + ( ) invullen in + geeft + Dus is een formule + en is e lineaire formule Hellingsgetal 9 ( ) invullen in + geeft 9 Lineaire formule + 9 V-7a Per uur rant m op. Nieuw was e kaars 8 m. t+ 8 met t 7 V-8a m 9 8 l 7 9 8 7 7 8 9 7 7 8 9 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v n
Hoofstuk - De afgeleie m: n: + V-9a 8 8 Dus heeft lijn l rihtingsoëffiiënt + Dus heeft lijn m rihtingsoëffiiënt 8 us ( ) 8 9 us (9 ) us ( ) us ( ) ( ) 8 + 8 8 8 8 8. Snijpunt ( ) V-a Vul e eerste vergelijking in e tweee vergelijking in je krijgt: + ( + ) 9 9 + Snijpunt ( ) Vul e eerste vergelijking in e tweee vergelijking in je krijgt: ( ) 8 Snijpunt ( ) Vul e eerste vergelijking in e tweee vergelijking in je krijgt: ( ) + ( ) + 7 Snijpunt ( 7) De eerste vergelijking 8 8. Vul eze in e tweee vergelijking in je krijgt ( ) + 8 + 8 8 8 8 Snijpunt ( ) V-a ( ) ( ) of ( ) of f( ) ( ) en f( ) ( ) 8 Snijpunten ( ) en ( 8) f( ) ( ) ( ) ( ) + 8+ ( ) Dus zijn er twee samenvallene oplossingen en raakt e lijn e paraool. Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v 7
Hoofstuk - De afgeleie lazije 9 a Het e uur. Afname van e temperatuur met C geurene het e uur. Een afname van e temperatuur over het voorgaane uur. Om 7 uur is e temperatuur C. De toename is C en us is om 8. uur e temperatuur C. De toename over het 9 e uur is C. De temperatuur om 9. uur is us C. lazije 97 a toename lengte in m 7 8 9 leeftij in jaren + + + m. a toename R P toename K t 7 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - De afgeleie toename h 9 8 7 A 7 a toename T in C 7 8 9 h in km e aling van e temperatuur over e eerste km. + C per km us + 8 C Waar het toenameiagram over gaat van positieve waaren naar negatieve waaren. a + + +9 + 8 m. Je weet haar geoortelengte niet. De toenamen woren kleiner. 7 m. Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v 7
Hoofstuk - De afgeleie e toename van e lengte in m 8 8 7 8 9 leeftij in jaren lazije 98 a De grafiek stijgt meer over het tijsinterval [ ] an over het tijsinterval [ ] Een stijgene rehte lijn. f( ) 987 9. Na minuten heeft e wielrenner ijna km afgeleg. f( ) f( ) is e afgelege afstan geurene het tijsinterval [ ] e f( ) f( ) 8 987 7 km/min. f 787 km/uur. g f( ) f( ) 8 9 87 9 km/min ( 7 km/uur). lazije 99 7a f( ) ( ) f( ) ( ) f() f() f() f() 7 8a f( ) f( ) 8 87 8 87 9 Het ere kwartier is het tijsinterval [ ] f( ) f() 9 78 878 km/min. 9 9a p() p() p() p() ( ) p() 9 p() ( ) 9 7 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - De afgeleie p 7 7 8 t p 7 7 8 t a H() H() 8 7 H() H() 7 H() H() De grafiek is toenemen stijgen en us wort e lijn oor het egin- en einpunt stees steiler. H() H( ) H( ) H( ) De helling van e lijn oor het egin- en einpunt veranert stees miner als e punten op e grafiek ihter ij elkaar komen te liggen. H( ) H( ) H( ) H( ) De uitkomsten naeren e waare e helling in het punt ( ). Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v 77
Hoofstuk - De afgeleie a afstan tij Na 9 minuten. f( ) f( ) 8 km/min. lazije a a km in uur us gemiel km/uur. A rijt onstant km/uur. B gaat eerst sneller van start e snelhei neemt toe. Na uur laat B het wat afweten en gaat het miner snel. Uiteinelijk komt hij tegelijk met A aan. Ron t is e voorsprong maimaal. A() A() A() A() A( ) A() A() A( ) B() B() B() B() B( ) B() 9 B() B( ) 8 7 A rijt met onstante snelhei us is over elk interval het ifferentiequotiënt gelijk aan. Het laatste interval. B( ) B( ) 797 7 97 a s( ) s( ) 9998 9 99 8 m/s. s( ) s( ) 998 998 m/s. 78 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - De afgeleie s( ) s( ) 9 999998 m/s. De auto zal na seonen stilstaan. s( ) en is er nog m over. lazije a De eie grafieken gaan stees meer op elkaar lijken. f( ) f( ) 999 999 Waarshijnlijk a f( ) f( ) 7 7 Dus zal e helling van f in ( ) waarshijnlijk zijn. f( ) f( ) 77 7 7 Dus zal e helling van f in ( ; 7) waarshijnlijk zijn. 7a f( ) 9 ( ) 9 f( ) f( ) Dit komt overeen met het hellingsgetal van e lijn. f( ) f( ) ( 9 ) invullen in + geeft 9 + en us De gezohte vergelijking is lazije f( ) f( ) 8a f( ) f( ) 9a Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v 79
Hoofstuk - De afgeleie g( ) g( ) 997 987 Vermoeelijk g( ) g( ) 99987 f( ) f( ) a f( ) f( ) g( ) g( ) ( 7 8) ( ) 7 g( ) g( ) ( 7 8) ( ) 7 De helling van een rehte lijn is overal ezelfe. Stees want e helling van e ijehorene rehte lijn is overal. a Voor t is N t Voor t is P want t want N( ) N( ) P( ) P( ) ( + ) ( + ) Voor t is N t Voor t is P t 8 want N( ) N( ) 8 8 want P( ) P( ) ( + ) ( + ) 8 7 7 Als een grafiek omhoog of omlaag wort geshoven veranert e helling niet. lazije a ( ) en ( 9 ) ; e ifferentiaalquotiënten zijn en want e raaklijn aar is horizontaal. Spiegelen in e -as geeft ( ) a - De helling in het punt ( ) is en e helling in ( 7; 79 ) is 7 8 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - De afgeleie a De helling in het punt ( ) is: B( ) B( ) 99 ( ) 99 Uit e tael volgtat e punten met helling 7 zijn ( 8 ) en ( ). Uit e tael volgt at e punten met helling zijn ( ) en ( ). De punten met helling zijn e punten met een horizontale raaklijn us e toppen van e grafiek. Uit e grafiek van B lijkt ineraa at ( ) en ( ) toppen zijn. a s() s() 8 ; e gemiele snelhei over het tijsinterval [] s( ) s( ) De snelhei op tijstip t is m/s. Zeer waarshijnlijk wel maar % zekerhei he je niet. lazije 7a Y De helling in het punt met is. De helling is 7 in het punt met -oörinaat us ( ). 8a f () f'( ) f ( ) f () 7 7 f 9 8 Dan moet gelen f'( ) 9 9. Dus in het punt ( ). 9a Het hellingsgetal is. In elk punt is e helling us f'( ) en f'(). f () a - Wanneer je e tael van e hellingen vergelijkt met ie van lijken e hellingen stees keer zo groot. f () f ( ) e Dus moet gelen f () 7 7 of Dus in ( f ()) ( ) en ( f( )) ( ) lazije a - g () g () 9 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v 8
Hoofstuk - De afgeleie a f () f (). De helling in het punt ( ) is an f '( ) 8 De helling in het punt ( ) is 8 e raaklijn is an van e vorm 8+ Het raakpunt ( ) ligt natuurlijk op eze lijn us gelt 8 + 8 De raaklijn is: 8 8 a v () t t v () en w () t t w (). w'( ) > v'() e grafiek van w is steiler an ie van v in ( ). De grafieken zijn even steil als e hellingen gelijk zijn us v'( t) w'() t t t Beie grafieken plotten en het snijpunt epalen geeft t 79. a Voor t > is zijn snelhei a m/s ( ) () ( ) m/s t voor < t < () t avoor t > Dus is () ; ( ) ; () en ( ) 7 e f 7 m/s a 7 (e snelhei) Ook moet ( ) 7 + en us is 7 t lazije a - De helling van f is keer e helling van g. f () a 7 omhoog. De hellingen zijn hetzelfe. g () 7a f () f () f () 9 g () t e h ( p) p 8 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - De afgeleie 8a s t s t t s t 8 s t 7 t s t s t t 9a Overal f () g () 9 g () lazije 7 a Plot e grafieken van f en g. Aflezen geeft en Uit f () g () volgt 7 en Omat f( ) en us is P( ; ) a L () t 7 t L ( ) B () t < Omat B'( ) < L'() krimpt het hout sneller in e reete an in e lengte. Lt () Bt () t + t t t t of t 7 7 Dus na 7 maanen is e plaat weer vierkant. L () t B () t 7t t 9 7 a De grafieken zijn even steil us f () g () of f () maar e afgeleie van e funtie h moet je enaeren met + h ( + ) h ( ) h () Voer eze enaering van h () en f () in e rekenmahine in en epaal e -oörinaat van het snijpunt. Je vint at voor 8 eie ongeveer gelijk zijn. lazije 8 a Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v 8
Hoofstuk - De afgeleie f () f () of f ( ) Invullen van het punt ( f ( )) ( ) in + geeft + + De vergelijking van e raaklijn is + a 9 8 7 9 8 7 7 8 9 7 8 9 f () g () oplossen met e rekenmahine geeft 9 of 8 of 9 8 7 De snijpunten zijn (; ) en ( 8 ; 7 ) Met ehulp van e grafiek en e oplossing van opraht a vint je < of < < 8 f () f () en g() Dus moet of e De grafiek van f aalt sneller an ie van g voor < < of < < a V( ) m V t t 8 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - De afgeleie v 8 t e f g h De grafiek is overal alen. Inhou tank De gemiele uitstroomsnelhei Benoige tij m /s. De tank stroomt het snelst leeg als v'( t) maimaal is. v'( t) t. Deze is maimaal voor t. 8 Op t stroomt e tank het snelst leeg. De regel is: e afgeleie van e som van een aantal funties is e som van e afgeleien van elk van ie funties. Dit geeft V () t + t 8 De gemiele uitstroomsnelhei is m /s. Dus moet gelen: V () t + t t t 8 8 lazije 9 a Toiletgeruik koffie of thee zetten. - Waarshijnlijk is e normale ruk atm. want at is e ruk op t - De ruk is atmosfeer na minuten en na 8 minuten. Dus minuut. - De ruk neemt in e zese minuut af van atmosfeer tot 7 atmosfeer. Dus is e snelhei waarmee e ruk afneemt atmosfeer per minuut. - D( ) 9 atm. - Dt () t t+ t t+ 8 ( t )( t 8) t t + t of t 8. De ruk is us minuten lager an atm. volgens het moel. - De snelhei waarmee e ruk e zese minuut afneemt is D() D(). Dus met atm/min. Als t t+ minimaal is an is maimaal en t t+ t t+ minimaal. e Het minimum van t t+ vin je als e afgeleie is us als t t 7 De minimale ruk volgens het moel is an D( 7) atm. net als in e grafiek. f De ruk mag op t 7 niet oner atm. komen us voor t 7 en t t+ p aaruit volgt weer at t t+ p voor t 7 7 7+ p p Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v 8
Hoofstuk - De afgeleie lazije I-a Een roe stip is een afname; een groene stip is een toename. De temperatuur stijgt met C als e hoogte veranert van 9 naar km. e De groene staafjes zijn allemaal even lang. f + 8 C g De staafjes tussen twee meetwaaren zijn stees even lang us is er sprake van een lineaire formule en liggen e meetwaaren op een rehte lijn. lazije I-a Filip was het langst ij e geoorte en Naomi was het langst na jaar. De grafiek van Naomi is an steiler. In e tael komt e lengte van Naomi stees ihter ij e lengte van Filip. De toenamen ij Naomi zijn groter an ij Filip. I-a Lampje : uur en lampje : uur. Lampje : Afnamen ie stees groter woren toename hoogte 7 8 9 7 8 9 t in uren Lampje : Constante afnamen toename hoogte 7 8 9 7 8 9 t in uren I-a Constante stijging 8 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - De afgeleie Stijging gaat stees sneller afnemene stijging an stijging en vervolgens toenemene aling. I- 7 8 9 7 8 9 7 8 9 7 7 7 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v 87
Hoofstuk - De afgeleie lazije I-a A heeft km in uur gelopen. Hij ging snel van start maar gaat an langzamer lopen tot hij helemaal stilstaat en gaat an weer stees sneller lopen. De afstan en e totale tij zijn hetzelfe maar nu via een rehte lijn. e gemiele snelhei is km/uur. Tijsinterval - - - - Toename tij Toename afstan 7 7 Gemiele snelhei 7 7 Tijsinterval Toename tij Toename afstan 9 9 Gemiele snelhei 9 8 8 8 8 9 e Hij liep sneller an zijn gemiele van het egin tot t 8 en aarna van t tot het ein. Op twee momenten liep hij met e gemiele snelhei. I-7a Na seonen m/s m/s ; m/s ; m/s. van t tot t is e gemiele snelhei omhoog gelijk aan e gemiele snelhei omlaag van t tot t. Daarom is e gemiele snelhei van t tot t gelijk aan. m/s lazije I-8a f() 8; f( 9) 8 8 8 9 I-9a naam a interval - - -9 9- iff. quotiënt 7 88 I-a f() f() ( 8 ) ( 8 ) 8 7 f() f( ) ( 8 ) ( 8 ) 8 8 97 Hoe kleiner het interval hoe miner lijn en grafiek op at interval van elkaar vershillen. H() H() 8 7 H() H() 7 H() H() Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - De afgeleie De grafiek van H is toenemen stijgen H() H( ) H( ) H( ) Omat e grafiek toenemen stijgen is is het ifferentiequotiënt op [ ; ] kleiner an op [ ; ]. H( ) H( ) H( ) H( ) De uitkomsten naeren e waare e helling van e grafiek in ( ). I-a - f( ) f( ) ( ) ( ) f( ) f( ) ( ) ( ) Naert ineraa e waare e helling van lijn Je moet ook nog ontroleren of e lijn met vergelijking oor het punt ( f ()) ( 9) gaat. Geruik VU-grafiek. Met e shuifparameter vin je at voor het raakpunt is ij 8 8. De raaklijn wort an 9 88. Ter ontrole neem je het ifferentiequotiënt op het interval [ ; ]. f( ) f( ) 997 ( ) 9 9. lazije I-a ; Helling Vul e waare in. Je krijgt ( ) ; Helling 8 helling Helling is gelijk aan ( ; ) I-a De formule voor e hellingsgrafiek is De formule voor e hellingsgrafiek is + lazije I-a De helling in het punt met is Raakpunt ( ) en e raaklijn heeft helling en is van e vorm + en gaat oor ( ) us. De raaklijn is Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v 89
Hoofstuk - De afgeleie Het hellingsgetal is us f'( ) Voor is f() 9Dus is het raakpunt ( 9 ). I-a f '( ) en f '( 7) f () I-a - f () f () f () 9 8 I-7a f () ; g () f () en g () De helling is us e grafieken lopen horizontaal. f () en g () Dus is e grafiek van g het steilst in Q. De grafieken lopen even steil us f'( ) g'() ( ) of of 8 I-8a Voor t > is zijn snelhei a m/s ( ) () ( ) m/s t voor < t < () t avoor t > Dus is () ; ( ) ; () en ( ) 7 7 m/s e a 7 (e snelhei) Ook moet ( ) 7 + en us is f 7 t 9 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - De afgeleie lazije 8 T- aantal ezoekers....... t in uren T-a R( ) R( ) 98 uizen euro. R( ) R( ) 88 uizen euro. De gemiele omzetstijging is R( ) R( ) euro/mahine respetievelijk R( ) R( ) euro / mahine R( 7) R( ) 88 7 uizen / etra mahine 7 R( 8) R( ) 88 uizen / etra mahine 8 R( 9) R( ) 97 88 uizen / etra mahine 9 Omat R( 9) < R( 8) oet e negentiene mahine e weekoprengst alen. T- De helling van f in ( ) is f De helling van g in ( ) is g f( ) f( ) g( ) g( ) Dus in het punt ( ) is e grafiek van g steiler an e grafiek van f in het punt ( ). T-a De gemiele snelhei is r r() r() 8 7 m/s t r r( ) r( ) 7 m/s t A π (()) r π 9 m A π r r (( )) π ( ()) m /s t Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v 9
Hoofstuk - De afgeleie lazije 9 T-a k () t t k () k () t t k ( ) De helling van e grafiek van k voor t is k'( ) k () t t 8 t 7 Dus is t en is k( ) 8 Dus in punt ( 8) is e helling 8. e Omat e -as smmetrieas is is e helling in ( ) tegengestel aan e helling in ( ). T-a p () 8 7 f () st () t + s () t t ht () ( t) + t t+ 9t + t + 9t h () t 8t e Nt () 9t N () t 8t f A ( u) g jt () ( t ) + t t t+ 9+ t t + 9 j () t 8t h h () r πr T-7a De val stopt als h 9 t t Dus na seone. Uit h () t 98 t volgt: h () ; h () 9 8 ; h () 9en h () 9 h ( ) 97 m/s h( ) h( ) 8 Dus is e gemiele valsnelhei ongeveer 8 m/s e h'( t) 8 98 t 8 t Na seonen is e valsnelhei preies gelijk aan e gemiele valsnelhei. T-8a 8 t Er gaan twee raaklijnen aan e grafiek van f oor ( ). De eerste gelijkhei geeft aan at e grafiek van f en e lijn een punt (het raakpunt) gemeenshappelijk moeten heen. De tweee gelijkhei geeft aan at e hellingen van e grafiek en e lijn gelijk zijn. 9 Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v
Hoofstuk - De afgeleie f () en f () a. Opgelost moet us woren: + a Invullen van e tweee vergelijking in e eerste geeft f'( ) a a a + a a a 8 a 8 8 of a 8 8 T-9a f () + een onstante Omat e afgeleie van een onstante is zijn ermeerere mogelijkheen. P ligt op eie grafieken us fa () ga () en eie grafieken heen in P ezelfe helling us f () a g () a (kijk eventueel nog eens naar opraht T-8) Moerne wiskune 9e eitie Havo B eel Noorhoff Uitgevers v 9