1 Module 8 Utwerkngen van de opdrachten Hoofdstuk 1 Inledng Opdracht 1 Analyse De constructe estaat ut een dre keer geknkte staaf de j A s ngeklemd en j B n vertcale rchtng s gesteund. De staafdelen waarvan de assen door de werkljn van de kracht gaan, worden op ugng en dwarskracht elast. De staafdelen waarvan de assen de werkljn van de kracht net snjden, worden ook op wrngng elast. De staafdelen AB en DE worden net op wrngng elast. Voor staafdeel BC geldt: T = 10 = 0 knm Voor staafdeel CD geldt: T = 10 1 = 10 knm Opdracht Analyse Balk ABC s een lgger op dre steunpunten. De reactekracht n B werkt excentrsch op de alk en veroorzaakt een wrngend moment n de alk. Omdat de lgger symmetrsch s ten opzchte van B zal het wrngend moment geljk worden verdeeld over de twee delen. Reactekracht: B V = 5 8 3 30 = 11,5 kn Het moment van de reactekracht ten opzchte van de lggeras: T = 11,5 0, = 5 knm Dt veroorzaakt n ede lggerdelen een wrngend moment: T,AB = T,BC = 5 =,5 knm Het mnteken geeft aan dat het wrngend moment n lggerdeel BC tegengesteld werkt aan wrngend moment n deel AB.
Hoofdstuk rngspannngen Opdracht 3 Analyse Het etreft her steeds een rond profel met dezelfde utwendge dameter. De edoelng s om na te gaan wat het verschl s tussen een masseve staaf en een usprofel. a I = I P = π R = π 50 = 9 817 77 mm R 100 10 50 τ = = = 509, N/mm I 9 817 77 I = I P = π (R r ) = π (50 5 ) = 9 03 88 mm R 100 10 50 τ = = = 53, N/mm I 90388 c De spannng wordt verdueld, dus het traaghedsmoment I wordt gehalveerd. I,us = 1 I,massef π (R r ) = 1 π R (R r ) = 1 R r = 1 R r = 1 R = 0,809 R De wanddkte s dus: d = R r = R 0,8 R = 0,1 R = 0,1 50 = 8 mm Opdracht De exacte formule kan worden herschreven tot: I P,exact = π ( R3 d R d + R d 3 d ) De enaderngsformule evat alleen de eerste term: I P,enaderd = π ( R3 d)
3 Omdat R veel groter s dan d zal de som van de weggelaten termen negatef zjn. De enaderde waarde s dus groter dan de exacte waarde. De voorwaarde wordt nu: I P, enaderd 1,03 I P,exact π ( R3 3 3 d) 1,03 π ( R d R d + R d d 1 1,03 ( R3 d) ( R 3 d R d + R d 3 d ) Met d = α R ontstaat de formule: 3,883 α R α R α R + α 3 R α R 0,117α α + α 3 α 0 Met computeralgera of een geavanceerde rekenmachne kan deze ongeljkhed worden opgelost. De utkomst s: 0 α 0,0. Als de wanddkte meer s dan % van de straal van de us s de afwjkng van de enaderng meer dan 3%. Alternateve erekenng Programmeer n een spreadsheet de exacte formule en de enaderngsformule en ereken de verhoudng. Dt kan als volgt: Neem een vaste waarde voor R (100 mm). Plaats n kolom 1 de wanddkte (dt s de varaele n de erekenng). Programmeer n kolom de exacte formule met kolom 1 als varaele. Programmeer n kolom 3 de enaderngsformule met kolom 1 als varaele. Programmeer n kolom de verhoudng tussen enaderng en exact, dus kolom 3 gedeeld door kolom. Kopeer deze formules een aantal rjen naar eneden. Vul n kolom 1 nu de waarden n voor de wanddkte d, en ga na j welke waarden van d de verhoudng tussen exact en enaderng tussen 0,97 en 1,03 ljft. Opdracht 5 a en De schufstroom s onafhankeljk van de wanddkte: 100 10 S = = = 1018, N/mm A π 50 S 1018, τ = = 135 N/mm d d d 7,5 mm
Opdracht a Met l = 100 kan de nwendge oppervlakte worden enaderd met: A = π 100 + 100 00 = 51 1 mm De schufstroom wordt dan: 00 10 S = = = 195 N/mm A 51 1 De schufspannng n de us wordt: S τ,us = d us 195 = = 389 N/mm 5 Deze waarde wordt net eïnvloed door de dkte van de plaat. De maxmale schufspannng kan dus net worden verlaagd door de plaat dkker te maken. Met een plaatdkte van 10 mm zal de schufspannng n het ronde deel maatgevend zjn. 00 10 A = = = 133 333 mm d 5 150 A = π 100 + l 00 = 133 333 l = 510 mm Opdracht 7 a A = 130 80 = 3 00 mm 10 10 τ = = =,87 N/mm d A 0 3 00 A = 190 10 = 30 00 mm 10 10 τ = = = 1,5 N/mm d A 10 30 00 Opdracht 7a a A 000 7000 = 8 10 mm d mn = 00 mm T = 100 = 00 knm 00 10 τ,max = = d A 00 8 10 mn = 0,03 N/mm
5 Deze vraag kan pas na estuderng van hoofdstuk 3 worden eantwoord. Het wrngngstraaghedsmoment kan worden erekend met: I = β[( h 3 ) utw. ( h 3 ) nw.] = 0,1[(7 3 ) (, 3,5 3 )] = 38,99 m Herj kan β worden gevonden n tael.1 (lz. ). Voor de verdraang geldt de formule: l ϕ = G I Voor de wrngstjfhed geldt dus: l l l 1 = = = T G I 50 38,99 1950 knm Opdracht 8 a h 00 0 = 10 = α = 0,333 = 0,333 103 00 = 00 mm 3 5 10 τ = = 75,1 N/mm 00 h 100 5 = 0 = α = 0,91 = 0,91 03 100 = 3 800 mm 3 5 10 τ = = 1,5 N/mm 3800 c h 50 1,5 = 0 = α = 0,1 = 0,1 03 50 = 707 00 mm 3 5 10 τ = = 7,07 N/mm 707 00 Opdracht 9 De fguren a, en c zjn samengestelde profelen. De erekenng van het toelaatare moment ludt als volgt: I = Σβ 3 h T,toelaataar =,toelaataar max I
Fguur a: Fguur : I = 0,91 0 3 00 + 0,30 0 3 0 = 390 00 mm 100 390 00 T,toelaataar = 10 0 = 10,97 knm Fguur c: I = 0,31 0 3 00 + 0,30 0 3 0 = 1 000 mm 100 1 000 T,toelaataar = 10 0 = 8,3 knm I = 0,31 0 3 00 + 0,333 10 3 0 + 0,30 10 3 130 = 1 18 180 mm 100 118180 T,toelaataar = 10 0 = 5,8 knm Fguur d s een kokerprofel: Opdracht 10 T = τ d A = 100 10 (190 80) 10 = 10, knm a Naj de opleggng s het ugende moment nul. Er werken een dwarskracht en een wrngend moment n de doorsnede. De wrngspannng s overal n de doorsnede geljk, omdat de schufstroom en de wanddkte overal geljk zjn. De dwarskracht veroorzaakt de maxmale schufspannng ter plaatse van de y-as. Daar waar de spannngen n dezelfde rchtng werken, ontstaat de maxmale spannng. Met Huer-Hencky kan daar de deële spannng worden erekend. 3 V S 15 10 17 000 τ V = = = 9,8 N/mm I ( 10) 138 10 15 10 τ = = = 59,5 N/mm d A 10 (10 90) Maxmale schufspannng: τ = τ + τ V = 59,5 + 9,8 = 9,3 N/mm Ideële spannng: σ = + 3 = 0 + 3 9,3 = 10 N/mm
7 Naj de mddendoorsnede zjn de dwarskracht en het wrngende moment hetzelfde als j de opleggng. Nu werkt er echter ook een moment n de doorsnede. De maatgevende comnate van ug- en schufspannng zal optreden n twee dagonaal gelegen hoekpunten. (Ga dt na door de spannngsfguren voor dwarskracht, wrngng en ugng te tekenen.) Omdat de schufspannng door dwarskracht n de hoeken een ondudeljk verloop heeft, wordt de erekenng utgevoerd n een punt langs de ovenrand op 10 mm vanaf de zjkant. Het statsch moment van het afgeschoven deel s dan: S = 80 10 95 = 7 000 mm 3 De afzonderljke spannngen zjn daar: 3 V S 15 10 7 000 τ V = = I ( 10) 138 10 =,3 N/mm 15 10 τ = = = 59,5 N/mm d A 10 (10 90) My z 5 10 75 σ = = = 50, N/mm I 138 10 y σ = + 3 = 50, + 3 (59,5 +,) = 73, N/mm Opdracht 11 a De doorsnede wordt genomen n het deel AB waarj de afstand tot B nhl s. Er werken n de doorsnede: een normaalkracht van 5 kn een dwarskracht van 10 kn een ugend moment van 5 knm een wrngend moment van 10 knm Voor het erekenen van de spannngen zjn de volgende doorsnedengrootheden nodg: Oppervlakte van de doorsnede: A = π (R r ) = π (75 7 ) = 359 mm Traaghedsmoment: I y = I z = π (R r ) = π (75 7 ) = 90 10 mm rngngstraaghedsmoment: I = I P = I y + I z = 90 10 = 180 10 mm
8 Statsch moment van de halve doorsnede ten opzchte van de mddelljn: S = 3 (R3 r 3 ) = 3 (753 7 3 ) = 80 71 mm 3 Oppervlakte van de doorsnede nnen de hartljn: R + r A = π 75 + 7 = π = 15 837 mm De maxmale spannngen ten gevolge van de verschllende elastngen zjn: V S 10000 8071 Dwarskracht: τ V = = = 5,59 N/mm I 1 90 10 10 10 rngend moment: τ = = = 39, N/mm d A 8 15837 Normaalkracht: σ N = N 5000 A = 359 = 1,0 N/mm M y 5 10 75 Bugend moment: σ B = = = 1,57 N/mm I 90 10 z In tael 8.1 zjn de spannngen op de verschllende plaatsen gecomneerd: Tael 8.1 Gecorrgeerde spannngen Lnks Rechts Boven Onder Dwarskracht 5,59 5,59 0 0 rngng 39, 39, 39, 39, Normaalkracht 1,0 1,0 1,0 1,0 Bugng 1,57 1,57 0 0 Schufspannng 33,87,95 39, 39, Normaalspannng 0,07,97 1,0 1,0 Ideële spannng 71,0 88,9 8, 8, c Gezen de spannngsverdelng s de deële spannng rechts de maxmale spannng. Naj punt A werken dezelfde nwendge krachten op de doorsnede. De kracht van 10 kn veroorzaakt nu ook een moment van 30 knm. De maxmale spannng ten gevolge van dt moment edraagt 9, N/mm n de uterste vezels op de vertcale as (ze tael 8.).
9 Tael 8. Gecorrgeerde spannngen Lnks Rechts Boven Onder Dwarskracht 5,59 5,59 0 0 rngng 39, 39, 39, 39, Normaalkracht 1,0 1,0 1,0 1,0 Bugng 1,57 1,57 9, 9, Schufspannng 33,87,95 39, 39, Normaalspannng 0,07,97 8,0 50,8 Ideële spannng 71,0 88,9 57,3 0,0 d De doorsnede wordt nu op duele ugng elast. Voor het erekenen van de maxmale ugspannng moeten de momenten worden samengesteld: M max = M + M = y z 30 + 5 = 30,1 knm De maxmale ugspannng wordt dan: σ,max = 30,1 30 9, = 5,8 N/mm Omdat de ugngsas nu net preces overeenkomt met de y-as, zal er ter plaatse van de maxmale ugspannng ook een dwarskrachtspannng heersen. Schat deze waarden op 1 N/mm. De schufspannng s dan 0,5 N/mm en de normaalspannng 5,3 N/mm. De maxmale deële spannng wordt dan: σ,max = 5,3 + 3 0,5 = 3,8 N/mm Hoofdstuk 3 Vervormngen door wrngng Opdracht 1 De formule voor de verdraang ten gevolge van wrngng ludt: l ϕ = G I I = π (R r ) = π (150 10 ) = 19 178 10 mm l a ϕ = G I 0 10 000 = = 0,03 rad 81000 19178 10
10 Nu neemt het wrngend moment af met de afstand tot de nklemmng. De verdraang s recht evenredg met het moment, dus kan de torsehoek worden epaald met het gemddelde moment. T ϕ = G I,gemddeld l 30 10 000 = 81000 19178 10 = 0,011 rad c Het wrngngstraaghedsmoment van het dkke deel s: I = 8 31 10 mm l 0 10 3000 0 10 3000 = = + = 0,01 rad G I 81000 19178 10 81000 8 31 10 d De verdraang s lnear afhankeljk van het torsemoment. De nvloeden van de verschllende momenten kunnen dus gesuperponeerd worden. l 0 10 000 10 10 000 = = = 0,0077 rad G I 81000 19178 10 81000 19178 10 Opdracht 13 Lengte alk ABC: 3 m Lengte console BD: 1 m Ut tael.1 (lz. ) ljkt dat voor deze alk geldt: β = 0,9. Het traaghedsmoment tegen wrngng s: I = β 3 h = 0,9 100 3 00 = 580 10 mm Het wrngend moment n de alkdelen s: T = 0,3 5 = 0,75 knm De verdraang van punt C s: l ϕ C = G I 0,75 10 1500 = = 0,0351 rad 700 580 10 De zakkng van punt D s dan: δ D = ϕ C l = 0,0351 1000 = 35,1 mm
11 Opdracht 1 Voor het erekenen van het wrngngstraaghedsmoment geldt de formule: I,ϕ = v Σβ 3 h Met v ut fguur 3.3 (lz. 75) en β ut tael.1 (lz. ): I,ϕ = 1,30 (0,307 8 3 80 + 0,333 3 100 + 0, 0 3 0) = 11 5 mm De verdraang van de top s dan: l 5 10 3000 ϕ = = = 1,5 rad G I, 81000 11 5 Hoofdstuk rngng n statsch onepaalde constructes Opdracht 15 Een lgger op twee steunpunten, aan de enden gesteund tegen torse. De torsestjfhed van een lggerdeel wordt erekend met: T T G I = = l l G I G I G I Voor deel AB s dt en voor BC. De torsestjfhed van deel BC s dus dre keer zo 3 1 groot als de van AB. Deel BC zal dan ook dre verde deel van het wrngende moment opnemen en AB één verde deel. Ut de V-, M- en T-ljnen ljkt dat de doorsnede drect rechts van B de zwaarst elaste s met V = 7,5 kn, M = 7,5 knm en M = 7,5 knm. Bj opdracht 11 s erekend dat I y = 138 10 mm en S halve doorsnede = 17 000 mm 3. De maxmale spannngen ten gevolge van de afzonderljke elastngen zjn: Met opmerkngen [IH1]: Is dt just? V S 7500 17 000 Dwarskracht: τ V = = =,90 N/mm I 0 138 10 7,5 10 rngend moment: τ = = = 9,7 N/mm d A 10 (90 10) M z 7,5 10 75 Bugend moment: σ B = = = 1,73 N/mm I 138 10 y
1 Het punt waar de deële spannng het grootst s, s een hoekpunt. Kes voor de erekenng het punt op de ovenrand n het verlengde van de nnenzjkant. De wrngspannng en ugspannng zjn her maxmaal. De dwarskrachtspannng s her: V S 7500 (80 10 70) τ V = = = 1,5 N/mm I 0 138 10 De deële spannng s: σ = + 3 = 1,73 + 3 (1,5 + 9,7) = 8, N/mm Opdracht 1 Voor de erekenng zjn de volgende doorsnedengrootheden van elang: koker: I y = 1 1 (100 003 80 180 3 ) = 50 10 mm IPE10: I y = 89 10 mm elastctetsmodulus van staal: E = 10 000 N/mm I = 0,9 (100 3 00 80 3 180) = 70 10 mm a Als de verndngen zjn utgevoerd als scharneren worden de consoles op ugng elast. De krachten van de alk op de consoles zjn,5 q kn. De zakkng van de console s: 3 3 F l 500 q 000 δ c = = 3 EI 3,1 10 50 10 5 = 0,1 q De doorugng van de alk: 3 5 q l 5 q 5000 δ = = 38 EI 38,1 10 89 10 5 =, q De totale zakkng mag 15 mm zjn, dus: (0,1 +,) q = 15 q = 15 =,9 N/mm =,9 kn/m 5,07 Als de verndngen momentvast zjn utgevoerd, worden de consoles ook op wrngng elast. Het wrngende moment n de consoles s ook het nklemmngsmoment voor de alk. De consoles zullen een torsevervormng ondergaan, dus de nklemmng van de alk s net volledg. De verdraang van de alkenden zal geljk zjn aan de torsehoek van de consoles. Met deze aanslutvoorwaarde s het moment n de verndngen te erekenen.
13 Kes het nklemmngsmoment als onekende (M). De verdraang van de alkenden s dan: rechts 3 q l M lnks l M rechts l = EI EI 3 EI y y y 3 q5000 M 5000 =,1 10 89 10,1 10 89 10 5 5 3 9 =,85 10 q 1,370 10 M De torsevervormng van de console s: l ϕ = G I M 000 81000 70 10 = = 9,997 10 10 M Geljkstellen levert: 9,997 10 10 M =,85 10 3 q 1,370 10 9 M,370 10 9 M =,85 10 3 q M = 1,0 10 q N/mm = 1,0 q knm De doorugng van de alk wordt: 5 q l M l δ = = 38 EI 8 EI 1,0 10 q 5000 =, q 8,1 10 89 10 5 = (,,05) q =,1 q mm De totale zakkng s: δ = δ + δ c = (,1 + 0,1) q = 3,0 q mm De toelaatare elastng s: 3,0 q = 15 q = 5,0 N/mm = 5,0 kn/m M = 1,0 q = 1,0 5 = knm M =,5 q = 5 5 = 5 knm V =,5 q =,5 5 = 1,5 kn Met deze gegevens s de maxmale deële spannng te erekenen als n opdracht 15. De utkomst s: σ = 1,3 N/mm.