Bijlae 2B Groei In deze bijlae leiden we eers de momenane of oenblikkelijke roeivoe af. Da is de roeivoe die berekkin heef op elke momen in de ijd. Daarna belichen we de evolen van he nie-lineaire karaker van roei, en onbinden we de roei van een areaa in zijn samensellende delen. Tensloe even we ook een eenvoudie vuisreel om de roei e linken aan de ijd nodi om een rooheid e verdubbelen. 1 Oenblikkelijke roeivoe De roeivoe die ebruik word in een coninue formulerin word de oenblikkelijke of momenane roeivoe (in he Enels: insananeous rowh rae ) enoemd. Een momen of oenblik is een periode die oneindi kor is. We kunnen daarom de oenblikkelijke roeivoe op een heurisische manier afleiden ui de roeivoe over een eindie periode door die periode seeds korer e maken. Sel da een variabele over één periode (bijvoorbeeld een jaar) oeneem van o 1. We drukken da ui als: (1 ). (2B.1) 1 Laa ons nu de roei over die ene periode opsplisen in wee deelperiodes die even lan zijn, en waar de roei over de deelperiode dan elijk is aan 2. Dan kunnen we (2B.1) herschrijven als: En als we he jaar indelen in vier kwaralen krijen we: 2 1 1. (2B.2) 2 of in he alemeen: 4 1 1, (2B.3) 4 n 1 1, (2B.4) n waarbij de ene periode in n deelperioden word opesplis. Als we n heel roo laen worden, word de eindwaarde 1 een limieeval: André Decoser 21.3.18 Bijlae 2B: roei 1
n 1 lim 1, (2B.5) n n wa we, als we n voorsellen door 1, ook kunnen schrijven als: x wan n Nu is x. x 1 1 lim 1, (2B.6) x x 1 lim 1 x x x (2B.7) de definiie van he eal e in de wiskunde (me als waarde 2,718). Da beeken da we de roei van o 1 over één periode ook kunnen schrijven als: e. (2B.8) 1 Verelijkinen (2B.2) o (2B.4) suereren de inerpreaie van deze roeivoe. We maken de periode waarover we de roeivoe berekenen seeds korer. Daardoor neem he sameneseld karaker van de roei verelijkbaar me he effec van sameneselde inresvoeberekeninen seeds oe. Als we n heel roo maken, is he alsof we op elk momen de nieuwe slowaarde berekenen waarop we dan weer de roeivoe oepassen. Daarom word deze roeivoe in he Enels de insananeous rowh rae enoemd. Hij eld op elk momen in de ijd. Verelijkin (2B.8) kan emakkelijk uiebreid worden o meerdere periodes:, (2B.9) e wa we, ezien he fei da hier een coninue variabele eworden is, beer noeren als: () e. (2B.1) Di is verelijkin (2.18) ui de eks. 2 De emiddelde jaarlijkse roeivoe De exponeniële funcie in verelijkin (2B.1) laa zien da roei een nie-lineair proces is. Da heef belanrijke implicaies voor bewerkinen me roeivoeen. We illusreren di aan de hand van abel 2.3 Als we som nemen van de jaarlijkse roeivoeen van he wereldbbp ussen 27 en 218 (kolom (3) van de abel), dan bekomen we 28%. Da zou verkeerdelijk kunnen suereren da he wereld-bbp over 15 jaar me 28% eroeid is, erwijl we ui de indexcijferreeks ween da he 31,6% was. De oorzaak van deze fou li in he opellen van de roeivoeen. Da onen we aan door he bbp jaar na jaar e berekenen, vanui de formule: (1 ), (2B.11) 1 André Decoser 21.3.18 Bijlae 2B: roei 2
die zelf direc afeleid is ui (2.17), en waarbij we de roeivoe zelf nu voor de bondiheid van de noaie in peruun uidrukken. Verrekkend van 27 krijen we dus voor de roeivoe in 28: En voor 29 word di: (1 ) (2B.12) 28 27 28 (1 ) (2B.13) 29 28 29 wa na subsiuie volende relaie eef ussen he niveau van he bbp in 29 en he niveau in 27: (1 )(1 ) 29 27 28 29 (1 ). 27 28 29 28 29 (2B.14) He is de producerm van de wee roeivoeen in de laase lijn van verelijkin (2B.14) die ervoor zor da de ewone som van de wee roeivoeen nie exac de roei ussen 27 en 29 weereef, maar slechs bij benaderin. Voor kleine roeipercenaes en weini periodes is de benaderin no amelijk precies, maar hoe roer de roeivoeen en vooral hoe laner de periodes, hoe roer de afwijkin word. We kunnen di inzich veralemenen om zo een emiddelde jaarlijkse roeivoe af e leiden. He niveau van he bbp in jaar kan erelaeerd worden aan he niveau in een verrekjaar door verelijkin (2B.11) seeds één jaar acherui e herschrijven o we in he verrekjaar zijn. Da eef: (1 ) 1 (1 )(1 ) 2 1 (1 )(1 )(1 )... 3 2 1 (1 )... (1 )(1 )(1 ). 1 2 1 (2B.15) He produc van de facoren 1 i eef de oale roei van o, en is analoo aan een berekenin me een sameneselde inresvoe. Als we nu een denkbeeldie roeivoe invoeren die elk jaar dezelfde was, dan kunnen we de laase lijn van verelijkin (2B.15) ook schrijven als: (1 ). (2B.16) Deze denkbeeldie roeivoe word de emiddelde jaarlijkse roeivoe enoemd. Verelijkin (2B.16) oon da die nie zomaar kan berekend worden als he rekenkundi emiddelde van de verschillende roeivoeen. De emiddelde roeivoe van een variabele die over periodes roei van o is wel elijk aan: 1 1. (2B.17) In he voorbeeld van abel 2.3 is 11. De emiddelde jaarlijkse roeivoe ussen 27 en 218 bedraa dus André Decoser 21.3.18 Bijlae 2B: roei 3
1 1 11 11 218 8279, 6 1 1, 2534, (2B.18) 27 62831,1 of 2,534%. Als je de emiddelde voe bereken vanui de som van de roeivoeen (nl. 28% edeeld door 11, is een emiddelde van 2,5414%), dan bekom je een ander roeivoe. He verschil is in di voorbeeld klein, omda de roeivoeen zelf amelijk klein zijn, en we slechs 11 perioden bekijken. Over lanere periodes en zeker me roere roeipercenaes kunnen de verschillen belanrijk worden. Een andere oepassin van deze inzichen vinden we bij he omzeen van roei over korere periodes, bijvoorbeeld een kwaraal (drie maanden) naar jaarlijkse roei. De roei in, bijvoorbeeld, he derde kwaraal van jaar is elijk aan:,3,2,3 (2B.19),2 waarbij we na de komma in he subscrip he kwaraal aanduiden waarvoor he niveau van he bbp eld. Door he fei da deze periode slechs drie maanden beslaa, zal he roeicijfer nauurlijk veel laer zijn. Om he roeicijfer verelijkbaar e maken me jaarlijkse roeicijfers, word he kwaraalcijfer daarom vaak uiedruk op jaarbasis. Dan zijn er wee moelijkheden. Ofwel bereken men de roei van he derde kwaraal op jaarbasis als: 4 (1,3) 1, (2B.2) waarbij men dus doe alsof de roei van he eobserveerde derde kwaraal zich een jaar lan zou voordoen. Om de redenen die we hierboven aven is da nie hezelfde als de kwaraalroei vermenivuldien me 4. Ofwel bereken men in he derde kwaraal de roei en opziche van hezelfde kwaraal een jaar eerder:,3 1,3 1,3, (2B.21) wa nauurlijk onmiddellijk een jaarlijks roeicijfer eef, maar ebaseerd op meer informaie dan enkel op de roei in he derde kwaraal van jaar. 3 Bijdraen o de roei van verschillende componenen in een som He bbp is een areaa van ienduizenden finale oederen en diensen, of de oeevoede waarde van honderden secoren. Vaak willen we een edeailleerd inzich in wa de roei van derelijk areaa bepaal. Dan is he handi de roei van he areaa e kunnen opsplisen naar verschillende componenen. We onen hoe de roei van een areaa kan onbonden worden in de roei van de onderliende componenen van di areaa aan de hand van verelijkin (19.4) in hoofdsuk 19, waar he bbp voor jaar eschreven werd als de som van vier besedinscomponenen: C G I NX. (2B.22) André Decoser 21.3.18 Bijlae 2B: roei 4
Om de roei in rooheid e onbinden, delen we de linker- en de recherkan van verelijkin (2B.22) door he niveau in de vooraande periode: C G I NX, (2B.23) 1 1 1 1 1 wa we aan de recherkan herschrijven als: C C 1 G G 1 I I 1 NX NX 1. (2B.24) C G I NX 1 1 1 1 1 1 1 1 1 De weede facor in elke erm aan de recherkan van (2B.24) eef he aandeel weer van deze bbp-componen in he bbp van jaar 1. We sellen di aandeel voor door C G I NX w voor consumpie, w voor overheidsbesedinen, w voor inveserinen en w voor neo-expor. De eerse facor in elke erm, en ook de linkerzijde van (2B.24) kan omeze worden in een roeivoe van de bereffende rooheid door (2B.11) e ebruiken. We krijen dan: C C G G I I NX NX 1 (1 ) w (1 ) w (1 ) w (1 ) w, (2B.25) C C G G I I NX NX C G I NX w w w w ( w w w w ) wa, aanezien de aandelen van de verschillende componenen sommeren o één, kan eschreven worden als: w w w w (2B.26) C C G G I I NX NX De roei van he bbp is de som van de roeivoeen van de verschillende componenen, i maar dan wel ewoen me weinsfacoren (hier vooreseld door w ). De weinsfacoren even he belan weer van de componen van he areaa, en zijn he aandeel van de componen in he areaa van he jaar voordien. Veralemenend kunnen we de roei van een areaa da ui n componenen besaa schrijven als: n. (2B.27) i1 i i w De roei van een som van ermen is de ewoen som van de roei van de verschillende ermen, waarbij de weinsfacoren he aandeel van de ermen zijn in he oaal van he vori jaar. Een voorbeeld van oepassin van deze onbindin vind je in fiuur 25.1 in he handboek. De privae consumpie, overheidsuiaven, privae inveserinen en neo-expor vormen samen de areaieve vraa, waar we in hoofdsuk 25 dieper op inaan. De decomposiie van de roei laa oe aan e duiden welk onderdeel van de areaieve vraa he mees heef bijedraen o de specaculaire vraauival in 29. De bijdrae van componenen aan de roei van een areaa op basis van verelijkin (2B.27) is ook elders oepasbaar. Zo kan de roei van he naionaal inkomen opesplis worden naar roei van de inkomenscomponenen (wedden en lonen, kapiaalinkomen, emend inkomen), of kunnen ook de bijdraen van verschillende secoren berekend worden in de creaie van de oeevoede waarde. Ook eorafisch word een bbp-roei vaak opesplis: voor hoeveel procenpun draen bijvoorbeeld André Decoser 21.3.18 Bijlae 2B: roei 5
de verschillende reio s bij o de Belische roei, of de verschillende wereldreio s o de roei van he wereld-bbp? 4 Een handie vuisreel De vuisreel voor een verdubbelin van een rooheid kan worden afeleid ui (2B.1). Een verdubbelin houd in: () 2, (2B.28) zoda ui (2B.1) vol: e 2 ln( e ) ln 2. (2B.29) ln 2 en dus is he aanal perioden da nodi is om bij roeivoe per periode, de rooheid e verdubbelen, elijk aan: ln 2, 693147. (2B.3) Wanneer de roeivoe word uiedruk in procen beeken he da een delin van (oneveer) 7 door de roeivoe he aanal perioden eef nodi om een rooheid e verdubbelen. Da is de vuisreel die we in verelijkin (2.23) hebben vooreseld. André Decoser 21.3.18 Bijlae 2B: roei 6